toward robust preliminary design - centralesupelec
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Toward Robust Preliminary
Design
1 Laboratoire G-SCOP, UMR 5272, Grenoble
2 Laboratoire LGEP, Paris
3 Design Processing Technologies SA, 38410 Saint Martin d’URIAGE
Journées SEEDS,Optimisation, Avril 2010
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Contexte: pré-dimensionnement
FaisabilitéPré-
dimensionnementAnalyse
Maquettage/prototype
Production
Modèle
analytique
Paramètres de
conceptionSolutions
Cahier des charges
Contraintes + Objectifs
Exemple de processus de conception
Phase de quantification de solution
Besoin client : cahier des charges
• Incertitudes sur modèles de dimensionnement
– Incertitudes propres à la modélisation (« épistémiques »)
– Moteur :
• Incertitudes sur paramètres de dimensionnement
« incertitudes stochastiques »
– La géométrie, Propriétés des matériaux, Vieillissement…
• Imprécisions liées à la résolution numérique des modèles :
– méthodes de résolution, convergence, discrétisation, maillage, ...
H.-G. Beyer and B. Sendhoff (2007) Robust Optimization : A comprehensive Survey. Computer Methods in
Applied Mechanics and Engineering, Vol. 196, No. 33-34, pp. 3190-3218.
B. Huang and X. Du (2006)Rrobust design method using variable transformation and Gauss–Hermite
integration. International Journal For Numerical Methods In Engineering, 66:1841–1858 3/12
Robuste
Capacité d’un
condensateur C=f(t)
Différences entre
nominale et réelle
Influence
température
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Comment aborder le design
robuste?• Six Sigma TM(Production)
– Maîtriser la variabilité des facteurs.clefs
– 6σ < 3,4 Défauts Par Million d’Opportunités (DPMO)
• Plans d’expériences (Production, Conception)
– Sélectionner et ordonner les essais
– Identifier les effets des paramètres sur les performances
• Propagation d’incertitude (Tolérancement)
– Analyser les variations des performances lorsque
paramètres varient
• Design For Six Sigma TM (Conception)
– Analyse statistique de la conception
– Même principe que 6σ
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Approche Analyse Robuste
Expert
Modélisation
Analyse
Robuste
Optimisation
classique
Solution
optimale
Modèle analytique
Multi-physique
Economique
Variabilité des
paramètres
e sOpt
Expert
Maths appliquées ese
ese
sss
sss
Variabilités des
performances
Utilisateur
Dimensionnement
Cahier des charges
Contraintes +
Objectifs
« Rebus »
Performance
Performance
améliorée
P.N. Koch et al. (2004)
Design for six sigma through robust
optimization, Structural and Multidisciplinary
Optimization, Vol.26 235-248
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Outils mathématiques pour analyse
– Simulations de Monte-Carlo sur modèle exact
• Mise en œuvre aisée
• Applicable à tous types de problèmes / domaines
• Nombreuses évaluation du modèle (104 à 106 simulations)
• Bonne caractérisation des « performances »
• Problème des temps de calculs….
– Objectif : réduire le temps de calcul
• En réduisant le nombre de simulations
• En facilitant une évaluation rapide du modèle
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Outils mathématiques pour l’analyse
– Méthode de Monte-Carlo diminuée
• Echantillonnage préférentiel (importance sampling)
– Certaines valeurs ont plus d’impact que d’autres
– Choisir distribution qui encourage les valeurs importantes
– Correction du biais : simulation pondérées
• Monte Carlo « Latin Hypercube sampling »
– N k -> N
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Outils mathématiques pour l’analyse
– Méthode de Taguchi
• Objectif: mesurer au moindre coût de l’impact des paramètres
mis en cause dans l’élaboration du produit
– Analyse de sensibilité
– Surface de réponse (RSM response surface model)
• Remplacer un modèle couteux par un modèle simple peu
couteux
Outils mathématiques pour l’analyse
– Simulations de Monte Carlo sur modèle approché
• Polynômes de Chaos
– Utilisable lors de boîte noire
– Suite de polynômes orthogonaux (Legendre, Laguerre,
Hermite,…)
– Constantes déterministes à évaluer en executant le modèle
origine limité a quelques point d’entree
» Choix des point crucial
• Développement de Taylor (ordre variable)
– Possession du modèle analytique
– Ordre 2 déjà performant (30 versus 10000)9/12
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Outils mathématiques pour
optimisation robuste
Optimisation Robuste rapide
Reformulation du modèle
Lien entre dispersions des entrées et des sorties
– Estimation des moments (µ, σ, …):
• Univariate dimension reduction method.
• E{h(x1,x2)}=E{h(µ1,x2)+h(x1,µ2)-h(µ1,µ2)} généralisée à l’ordre N
• Performance moment integration
• Transformation de Rosenblatt
• -> N intégrales à une dimension au lieu d’une integrale à N dimensionPb Poids gauss dans integrale
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Outils mathématiques pour
optimisation robuste
Optimisation Robuste rapide
Reformulation du modèle
Lien entre dispersions des entrées et des sorties
– Autres bonnes candidates à priori:
• Développement de Taylor,
• Polynôme de chaos
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Expert
Modélisation
Experts
Informatique
Maths appliquées
Utilisateur
Dimensionnement
Cahier des charges
Contraintes +
Objectifs
Solution optimale
robuste
Expert
Maths appliquées
Optimisation
Robuste
Analyse
Reformulation
Automatique
Modèle de
Conception
Robuste
Modèle analytique
Multi-physique
Economique
Variabilité des
paramètres
Opte
se
ese
sss
sss
Approche Dimensionnement
Robuste
Illustration Analyse
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Source de chaleur ponctuelle
Dissipateur à ailettes en deux parties
Ventilateur (courbe Debit/Pression)
Non linéaire, Sous contraintes, Problème hybride (continu/discret):
Géométrie et Matériau
Dissipateur
• Nombre total de paramètres: 82
• DDL 23
14/6
15/6
Taylor ordre 2 et modèle correspondent parfaitement
Temps gagné en calcul variable
MC:500
Max: 19
16/6
MC:1000
Max: 21
17/6
MC:10 000
Max: ~14
18/6
MC:100 000
Quelques resultats
Tir Reel Taylor Analytique
500 µ 33,24 33,24 33,24
σ 0,02954 0,02954 0,02938 0.54%
1 000 µ 33,24 -
σ 0,03041 0,03041 3,51%
10 000 µ 33,24 -
σ 0,02956 0,61%
100 000 µ 33,24 -
σ 0,02938 0%
1 000 000 µ 33,24 -
σ
19/6
Variations <0, 1%
Quelques résultats
Tir Reel Taylor Analytique Erreur
500 µ 33,24 33,24 33,24
σ 0,3601 0,3601 0,3659 -1,59%
1 000 µ 33,24 -
σ 0,3731 0,3731 1,97%
10 000 µ 33,24 -
σ 0,3687 0,77%
100 000 µ 33,24 -
σ 0,3653 -0,16%
1 000 000 µ 33,24 -
σ 0,3659 0%
20/6
Variations jusqu’à 10%
Conclusion
• Etude de méthodes candidates analyse robuste /
optimisation robuste
– Sélection de méthode(s) adaptée(s) aux modèles
analytiques
• Développement d’un méthode de type Taylor
– Test en vraie grandeur
– Autorise « facilement » une reformulation
• Objectif:
– Intégration dans un environnement d’optimisation
– Introduction de type optimisation déterministe globales
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