trigo no metri
Post on 16-Jan-2016
216 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Perbandingan ,fungsi, persamaan dan
identitas trigonometri
Adaptif
Seorang ingin mengukur tinggi tiang benderSeorang ingin mengukur tinggi tiang benderaa
dengan menggunakan klinometerdengan menggunakan klinometer
Perbandingan trigonometri
Hal.: 2 Trigonometri
Adaptif
Pengalaman Belajar Seorang siswa program keahlian bangunan ingin
praktik membuat rangka atap rumah dengan ketentuan ukuran seperti gambar berikut. Maka panjang x adalah …
x m
4 m
2 m
3
Perbandingan Trigonometri
Hal.: 3 Trigonometri
Adaptif
Pengalaman BelajarPengalaman Belajar Puncak suatu menara dilihat dari tempat A dengan sudut Puncak suatu menara dilihat dari tempat A dengan sudut
elevasi 30elevasi 3000 dan dilihat dari B dengan sudut elevasi 45 dan dilihat dari B dengan sudut elevasi 450 0
seperti pada gambar. Apabila jarak A dan B adalah 20 seperti pada gambar. Apabila jarak A dan B adalah 20 meter, berapa tinggi menara tersebut?meter, berapa tinggi menara tersebut?
300 450
A B
20 m
Perbandingan Trigonometrri
Hal.: 4 Trigonometri
Adaptif
APA yang terjadi ?APA yang terjadi ?
Apabila ada beberapa guru memberi tugas pada Apabila ada beberapa guru memberi tugas pada muridnya sbb:muridnya sbb:
“ “Segitiga siku-siku ABC mempunyai sisi-sisi Segitiga siku-siku ABC mempunyai sisi-sisi AC=4, BC=6AC=4, BC=6 dan dan AB=8AB=8. Tentukan . Tentukan besar sudut besar sudut A.”A.”
Perbandingan Trigonometri
Hal.: 5 Trigonometri
Adaptif
Sekilas ???Sekilas ???
Tidak ada yang aneh dalam soal yang diberikan Tidak ada yang aneh dalam soal yang diberikan oleh guru tersebut?oleh guru tersebut?
Murid ya mencoba menghitung besar sudut A Murid ya mencoba menghitung besar sudut A dengan terlebih dahulu menghitung nilai Sinus Adengan terlebih dahulu menghitung nilai Sinus A
Guru merasa tak bersalahGuru merasa tak bersalah
Perbandingan Trigonometri
Hal.: 6 Trigonometri
Adaptif
4M
3 M
BERAPA M TINGGI ANAK TANGGA?
Perbandingan Trigonometri
Hal.: 7 Trigonometri
Adaptif
Manakah bangun yang kelilingnya terpanjang?
4)
1) 2)
3)
Perbandingan Trigonometri
Hal.: 8 Trigonometri
Adaptif
RuangRuang Lingkup Lingkup
2. Sudut-sudut Istimewa ( Khusus )
3. Rumus-rumus Trigonometri
4. Koordinat Kartesius dan Kutub
5. Aturan Sinus, Kosinus dan Luas segitiga
1. Perbandingan Trigonometri suatu sudut
6. Identitas Trigonometri
7. Persamaan Trigonometri
Perbandingan Trigonometri
Hal.: 9 Trigonometri
Adaptif
SINUS ADALAH PERBANDINGAN ANTARA SISI DIDEPAN SUDUT DENGAN HIPOTENUSA PADA SUATU SEGITIGA SIKU-SIKU
Sin AOC = ACOC
0 A
C
Perbandingan Trigonometri
Hal.: 10 Trigonometri
Adaptif
Perbandingan Trigonometri
Cosinus adalah nilai perbandingan antara sisi disampaing sudut dengan hipotenua suatu segitiga siku-siku
O A
C
Cos AOB =OAOC
Hal.: 11 Trigonometri
Adaptif
Perbandingan Trigonometri
Tangen adalah nilai perbandingan antara sisi didepan sudut dengan sisi disamping sudut
O
C
A
Tan AOC =ACOA
Hal.: 12 Trigonometri
Adaptif
Sudut Dalam Kedudukan Baku
A
B
C
θ
Sudut θ tidak dlm kedudukan baku
X
Y
A B
C
θ
Sudut θ dalam kedudukan baku
Sisi AB disebut sisi permulaan dari sudut θ
Sisi AC disebut sisi batas dari sudut θ
Perbandingan trigonometri
Hal.: 13 Trigonometri
Adaptif
PERBANDINGAN TRIGONOMETRIPERBANDINGAN TRIGONOMETRI
KONSEP SINUS
...AEEE'
ADDD'
ACCC'
ABBB'
Hal.: 14 Trigonometri
Adaptif
PERBANDINGAN TRIGONOMETRIPERBANDINGAN TRIGONOMETRI
KONSEP KOSINUS
...AEAE'
ADAD'
ACAC'
ABAB'
Hal.: 15 Trigonometri
Adaptif
PERBANDINGAN TRIGONOMETRIPERBANDINGAN TRIGONOMETRI
KONSEP TANGEN
...AE'
EE'
AD'
DD'
AC'
CC'
AB'
BB'
Hal.: 16 Trigonometri
Adaptif
Diketahui segitiga ABC, siku-siku di C. Panjang sisi AB = 10 cm, sisi BC = 5 cm. Nilai cos A dan tan A berturut-turut adalah ....
didapat 5V3C
B
5
A
10
?
Maka diperoleh : sin A = ½ Jadi : cos A = ½ V3 tan A = 1/3 V3
Perbandingan trigonometri
Hal.: 17 Trigonometri
Adaptif
Dikembangkan Soal
Dengan mengukur panjang tangga BC, dan mengukur besa sudut ABC, dan menggunakan konsep sinus, maka siswa ditugasi untuk menentukan ketinggian lantai II dari dasar lantai.
A B
C
Tangga
Perbandingan Trigonometri
Hal.: 18 Trigonometri
Adaptif
Perbandingan Trigonometri
C
A B
Tali pancang
Tiang
Dengan mengukur besar sudut BAC dan jarak AB, serta menggunakan konsep
kosinus maka siswa dapat menentukan panjang tali pancang AC, yang sudah
waktunya diganti itu!
Hal.: 19 Trigonometri
Adaptif
Sudut KhususSudut khusus
S
A B
C
D P Q
R
ABC sama sisipanjang sisi = 2a
PQRS persegipanjang sisi = 2a
Perbandingan Trigonometri
Hal.: 20 Trigonometri
Adaptif
Perbandingan Trigonometri
Dengan menggunakan gambar di atas,tentukan nilai perbandingan :
0o 300 450 600 900
…. …. …. …. ….
…. …. …. …. ….
…. …. …. …. ….
…. …. …. …. ….
…. …. …. …. ….
…. …. …. …. ….
sin
costg
ctgsec
eccos
Hal.: 21 Trigonometri
Adaptif
Sudut KhususSudut Khusus
1
45o
45o
90o
1
V2sin 45o = ½ V2
cos 45o = ½ V2
tan 45o = 1
V32
160o
30o
90o
sin 30o = ½
cos 30o = ½ V3
tan 30o = 1/3 V3
sin 60o = ½V3
cos 60o = ½
tan 60o = V3
Perbandibgan Trigonometri
Hal.: 22 Trigonometri
Adaptif
RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRIRUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI
A. Relasi/Rumus Dasar Fungsi Trigonometri1. a. Relasi Kebalikan:
csc α = sec α = cot α = tan
1
cos
1sinα
1
cosαsinα
αsinαcos
b. Relasi Pembagian: tan α =
cot α =
c. Relasi “Pythagoras”: sin2α + cos2α = 1 (dan variasinya) tan2α + 1 = sec2α 1 + cot2α = csc2α
Perbandingan Trigonometry
Hal.: 23 Trigonometri
Adaptif
Sudut BerelasiSudut Berelasi
2. Fungsi trigonometri sudut-sudut yang berelasi a. sin(90 – α)o = cos αo cos(90 – α)o = sin αo
tan(90 – α)o = cot αo cot(90 – α)o = tan αo
sec(90 – α)o = csc αo csc(90 – α)o = sec αo
b. sin(180 – α)o = sin α0 sin(180 + α)o = –sin αo
cos(180 – α)o = –cos α0 cos(180 + α)o = –cos αo
tan(180 – α)o = –tan α0 tan(180 + α)o = tan αo
c. sin(360 – α)o = –sin α0 sin(–αo) = –sin αo
cos(360 – α)o = cos α0 cos(–αo) = cos αo
tan(360 – α)o = –tan α0 tan(–αo) = –tan αo
AllSin
Tan Cos
Bernilai ”+”
Perbandingan Trigonometri
Hal.: 24 Trigonometri
Adaptif
1. 1. Jika Jika ααoo + + ββoo + + γγoo = 180 = 180oo , maka: , maka:
sin(sin(αα + + ββ))oo = sin(180 – = sin(180 – γγ))oo = sin = sin γγoo
cos( cos(αα + + ββ))oo = cos(180 – = cos(180 – γγ))oo = –cos = –cos γγoo
sin ½ ( sin ½ (αα + + ββ))oo = sin(90 – ½ = sin(90 – ½ γγ))oo = cos ½ = cos ½ γγoo
cos cos ½ ( ½ (αα + + ββ))oo = = coscos (90 – ½ (90 – ½ γγ))oo = sin ½ = sin ½ γγoo
Hal KhususHal Khusus
2. 2. Jika Jika ααoo + + ββoo + + oo = 270 = 270oo, maka:, maka:
sin(sin(αα + + ββ))oo = sin(270 – = sin(270 – ))oo = –cos = –cos oo
cos(cos(αα + + ββ))oo = cos(270 – = cos(270 – ))oo = –sin = –sin oo
Perbandingan Trigonometri
Hal.: 25 Trigonometri
Adaptif
Koordinat Kartesius dan KutubKoordinat Kartesius dan Kutub
y
x
x
Y P( x,y )
o Koordinat Kartesius
y
x
X
YP( r, )
r
O
Koordinat Kutub
x = r cos aY = r sin a
r2 = x2 + y2
tan α = xy
Koordinat Kutub ke Kartesius Koordinat Kartesius ke Kutub
Hal.: 26 Trigonometri
Adaptif
Rumus Trigonometri dalam SegitigaRumus Trigonometri dalam Segitiga
1.Aturan (rumus) sinus dalam segitiga ABC:
sinsinsin
cba
2. Aturan (rumus) kosinus:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos α b2 = a2 + c2 – 2ac cos β c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ
2ca
2b2a2c
cos α =
cos β =
2bc
2a2c2b
2ab2c2b2a cos γ =
atau
Hal.: 27 Trigonometri
Adaptif
Dari sebuah pelabuhan kapal A bertolak dengan kecepatan 10 knot (mil/jam) ke arah 160o dan kapal B ke arah 220o dengan kecepatan 16 knot. Berapa jarak kedua kapal 2 jam kemudian?
160o
220o
60o
20
32
O
A
B
AB2 = 202 + 322 – 2. 20 . 32 . cos 60o
= 400 + 1024 – 640
= 784
AB = 28
Jarak antara kedua kapal 28 mil
Rumus Trigonometri dalam segitiga
U
Hal.: 28 Trigonometri
Adaptif
37
51
20
A B
C
Berapakah nilai tan A dan sin B?
cos A = sehingga cos B =
cos B = sehingga sin A =
Rumus trigonometri dalam segitiga
Hal.: 29 Trigonometri
Adaptif
RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUTRUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT
1. 1. Rumus jumlahRumus jumlah sin(sin(αα + + ββ) = sin ) = sin αα cos cos ββ + cos + cos αα sin sin ββ cos(cos(αα + + ββ) = cos ) = cos αα cos cos ββ – sin – sin αα sin sin ββ
tantan1
tantan)tan(
Rumus selisihRumus selisih sin(sin(αα – – ββ) = sin ) = sin αα cos cos ββ – cos – cos αα sin sin ββ cos(cos(αα – – ββ) = cos ) = cos αα cos cos ββ + sin + sin αα sin sin ββ
tantan1
tantan)(tan
2. 2. Rumus sudut rangkapRumus sudut rangkap Sin 2Sin 2αα = 2 sin = 2 sin αα cos cos αα Cos 2Cos 2αα = cos = cos22αα – sin – sin22αα
Rumus setengah sudutRumus setengah sudut 2 sin2 sin22 ½ ½ αα = 1 - cos = 1 - cos αα 2 cos2 cos22 ½ ½ αα = 1 + cos = 1 + cos αα
2tan1
tan22tan
cos1
cos1tan 2
12
cos1
sintan 2
1
Hal.: 30 Trigonometri
Adaptif
RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUTRUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT
3. Rumus sudut rangkap tiga3. Rumus sudut rangkap tiga
Sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α Sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α
Cos 3α = 4cos3α – 3 cos α Cos 3α = 4cos3α – 3 cos α
2
3
tan31
tantan33tan
Hal.: 31 Trigonometri
Adaptif
Rumus Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Rumus Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali
Fungsi Sinus/KosinusFungsi Sinus/Kosinus
1. 1. Hasil kali sinus dan kosinusHasil kali sinus dan kosinus 2 sin 2 sin αα cos cos ββ = sin( = sin(αα + + ββ) + sin() + sin(αα – – ββ)) 2 cos 2 cos αα sin sin ββ = sin( = sin(αα + + ββ) – sin() – sin(αα – – ββ)) 2 cos 2 cos αα cos cos ββ = cos( = cos(αα + + ββ) – cos() – cos(αα – – ββ)) ––2 sin 2 sin αα sin sin ββ = cos( = cos(αα + + ββ) – cos() – cos(αα – – ββ))
atau 2 sin α sin β = cos(α – β) – cos(α + β)atau 2 sin α sin β = cos(α – β) – cos(α + β)
22. Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus/Kosinus. Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus/Kosinus sin A + sin B = 2 sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B)sin ½ (A + B) cos ½ (A – B) sin A – sin B = 2 cos sin A – sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B) ½ (A + B) sin ½ (A – B) cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos cos ½ (A – B) ½ (A – B) cos A – cos B = –2 sin cos A – cos B = –2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B) ½ (A + B) sin ½ (A – B)
Hal.: 32 Trigonometri
Adaptif
IDENTITAS TRIGONOMETRIIDENTITAS TRIGONOMETRI
IdentitasIdentitas adalah suatu kalimat terbuka yang adalah suatu kalimat terbuka yang
bernilai benar untuk setiap pengganti nilai bernilai benar untuk setiap pengganti nilai
variabelnya, misal : variabelnya, misal : sin2α + cos2α = 1
x
x
x
xx
sin
cos1
cos1
sincsc2
Buktikan !Buktikan !
sec4 – sec2 = tan4 + tan2
Hal.: 33 Trigonometri
Adaptif
Bukti:
xsin)xcos1(
)xcos1(xsin 22
xsin)xcos1(
xcosxcos21xsin 22
xsin)xcos1(
xcos22
xsin
2
(terbukti)kanan ruas xcsc2
x
x
x
x
sin
cos1
cos1
sin
IDENTITAS TRIGONOMETRI
Hal.: 34 Trigonometri
Adaptif
IDENTITAS TRIGONOMETRI
Bukti:
Alternatif I Dari ruas kiri lternatif II Dari ruas kanan
Ruas kiri: Ruas kanan:
sec4 – sec2 tan 4 + tan 2
= sec2(sec2 – 1) = tan 2(tan 2 + 1)
= sec 2 x tan 2 = (sec 2 – 1) sec 2
= (1 + tan 2) x tan 2 = sec 4 – sec 2
= tan 2 + tan 4 = ruas kiri (terbukti)
= tan 4 + tan 2
= ruas kanan (terbukti)
Hal.: 35 Trigonometri
Adaptif
Persamaan Trigonometri SederhanaPersamaan Trigonometri Sederhana
1). Jika sin 1). Jika sin xx sin sin maka: maka: x x + + kk. 360. 360 atau atau xx (180 (180 ) + ) + kk. 360. 360 , , kk B B
2). Jika cos 2). Jika cos xx cos cos maka : maka : xx + + kk. 360. 360 atau atau
xx + + kk. 360. 360, , kk B B3). Jika tan 3). Jika tan xx tan tan maka : maka : xx + + kk. 180. 180 kk B B
Rumus I :Rumus I :
Hal.: 36 Trigonometri
Adaptif
Rumus II : Pada keadaan sama dengan nolRumus II : Pada keadaan sama dengan nol
1). Jika sin 1). Jika sin xx 0 0
maka: maka: x x kk.180.180 , , kk B B
2). Jika cos 2). Jika cos xx 0 0
maka: maka: x x 90 90 + + kk.180.180 , , kk B B
3). Jika tan 3). Jika tan xx 0 0
maka: maka: x x kk.180.180 , , kk B B
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Hal.: 37 Trigonometri
Adaptif
Rumus III : Rumus III : Persamaan mengandung harga negatifPersamaan mengandung harga negatif
1). Jika sin 1). Jika sin xx - sin - sin sin (- sin (-)) maka: maka: x x - - + + kk. 360. 360 atau atau
xx (180 (180 + + ) + ) + kk. 360. 360 , , kk B B
2). Jika cos 2). Jika cos xx - cos - cos cos (180 + cos (180 + ) ) maka: maka: x x 180 + 180 + + + kk. 360. 360 atau atau
xx - 180 - 180 - - + + kk. 360. 360 , , kk B B
3). Jika tan 3). Jika tan xx - tan - tan tan (- tan (-)) maka: maka: x x - - + + kk. 180. 180 , , kk B B
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Hal.: 38 Trigonometri
Adaptif
Contoh Soal
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri
berikut: Untuk 0 ≤ x < 360:
a) sin x0 = sin 400 b) cos 2x0 =
Jawab:
a) sin x0 = sin 400 x = 40 + k.360 atau x = (180 – 40) + k.360
untuk k = 0 → x = 40 k = 0 → k = 140
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {40, 140}
adalah {30, 150, 210, 330}
2
1
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Hal.: 39 Trigonometri
Adaptif
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
b) cos 2x 0 =
cos 2x 0 = cos 60 0
maka 2x = 60 + k.360 atau 2x = -60 + k.360
x = 30 + k.1 80 x = -30 + k.180
untuk k = 0 → x = 30 Untuk k = 1 → x = 2100
k = 1 → x = 150 k = 2 → x = 330
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
{30, 150, 210, 330}
2
1
Hal.: 40 Trigonometri
Adaptif
Soal :
1.Diketahui segitiga ABC, AC =25 cm, BC=40 cm, dan panjang garis tinggi dari C,yaitu CD=24 cm. Nilai cos A dan tan B berturut-turut adalah ....
2. Dua kapal meninggalkan suatu pelabuhan secara bersamaan. Kapal pertama berlayar dengan arah 030° dengan kecepatan 8 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 090° dengan kecepatan 10 km/jam. Jarak kedua kapal itu setelah berlayar 3 jam adalah ... km
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Hal.: 41 Trigonometri
Adaptif
Kerangka atap suatu bangunan berbentuk seperti gambar berikut:
Hitunglah panjang AB
35,30
BA
10,30 m
28,50
2,20 m
panjang AB adalah 3,14 m
Penerapan ke prgram keahlian
Hal.: 42 Trigonometri
Adaptif
Perhatikan gambar:
a) Hitunglah jarak ABb) Hitunglah jarak BC
18 cm
400 950
700
A
B
C
a) jarak AB = 12,6 cm
b) jarak BC = 21,97 cm
Penerapan ke program keahlian
Hal.: 43 Trigonometri
top related