türev 07

İÇİNDEKİLER:

•TÜREV KAVRAMI

•TÜREV ALMA KURALLARI

•FONKSİYON TÜREVLERİ

•TÜREV UYGULAMALARI

TÜREV KAVRAMI:

Tanım:f:A B , y=f(x) fonksiyonu ve sürekli olmak üzere,

limiti bir reel sayı ise;bu değere f fonksiyonunun

x=a noktasındaki türevi denir.

Bu f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi, veya

sembolleri ile gösterilir.

Aa

ax

afxf

ax

)()(lim

)(' af )(adx

df

)(' af

Dolayısıyla f fonksiyonunun a noktasındaki türevi; ( h>0 )

h

afhaf

ax

afxfaf

hax

)()(lim

)()(lim)(

0

'

‘dır

ÖRNEK:f:R R fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini bulalım.

2)( xxf

bulunur.

ÇÖZÜM: fonksiyonu x =2 de süreklidir.

Türev tanımından, dir.

2)( xxf

2

)2()(lim)2(

2

'

x

fxff

x

42

)2)(2(lim

2

4lim)2(

2

2

2

'

x

xx

x

xf

xx

O halde, tür.4)2()2(' dx

dff

SOLDAN VE SAĞDAN TÜREV:

Tanım:A R,a A da sürekli ve f:A R fonksiyonunda:

1. limitinin bir reel sayı değeri varsa bu değere, f

fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi denir ve şeklinde

gösterilir.

2. limitinin bir reel sayı değeri varsa bu değere, f

fonksiyonunun a noktasındaki sağdan türevi denir ve şeklinde

gösterilir.

ise, f fonksiyonu a noktasında türevlidir ve

dır. ise a noktasında türevi yoktur.

ax

afxfax

)()(lim

)(' af

ax

afxfax

)()(lim

)(' af

)()( '' afaf

)()()( ''' afafaf )()( '! afaf

TÜREVİN SÜREKLİLİKLE İLİŞKİSİ:

Teorem:AB ,aA olmak üzere; f:A B fonksiyonu a noktasında

türevli ise ,bu noktada süreklidir.Bu teoremin tersi olarak f fonksiyonu

a noktasında sürekli değilse,türevsizdir de diyebiliriz.

ÖRNEK: fonksiyonu hangi noktalarda türevsizdir?

ÇÖZÜM:f fonksiyonu paydanın sıfır olduğu noktalarda tanımsız,

dolayısıyla süreksizdir.

x = -1 ve x = 2 noktalarında süreksiz olduğundan

f fonksiyonu bu noktalarda türevsizdir.

2

2)(

2

2

xx

xxf

022 xx

TÜREV ALMA KURALLARI:Sabit fonksiyonun türevi:A B, f:A B, f(x) = c ile tanımlanan

sabit fonksiyonun türevi f ’(x) = 0 dır.Örneğin;

f (x) = 5 ise, f ‘(x) =0

f (x) = -3 ise, f ‘(x) = 0 dır.

n N+ için Fonksiyonunun Türevi:

n N+ için f:R R , fonksiyonunun türevi;

dir.Bu kural n negatif olsa da geçerlidir.Örneğin;

dır.

nxxf )(

nxxf )(

1' .)( nxnxf

1)()( ' xfxxf 3'4 4)()( xxfxxf

Bir Sabitle Bir Fonksiyonun Çarpımının Türevi:

c R ve f fonksiyonu , x noktasında türevli bir fonksiyon ise ,

dır.Örneğin; )(.)(. '' xfcxfc

xxxfxxf 10.2.5)(.5)( '2

İki Fonksiyonun Toplamının Türevi:

f :R R, g :R R türevlenebilen iki fonksiyon ise f+g fonksiyonunun

türevi, [f(x) +g(x)] ’=f ’(x)+g’(x) dır.yani her fonksiyonun ayrı ayrı

türevi alınarak bulunur.Örneğin;

ise, dır.452)( 23 xxxf xxxf 106)(' 2

İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi:

f :R R, g :R R türevlenebilen iki fonksiyon ise f.g fonksiyonunun

türevi, [f(x).g(x)]‘ =f ‘(x).g(x)+g ‘(x).f(x) dır.Örneğin;

fonksiyonu veriliyor.

dır.

Ikı Fonksiyonun Bölümünün Türevi:

f :R R, g :R R türevlenebilen iki fonksiyon ve g0 ise f/g

fonksiyonunun türevi, dır.

)1)(1()(;: 32 xxxfRRf

xxxxxxxxf 235)1.(3)1.(2)(' 24223

2)(

)().(')().('

)(

)(

xg

xfxgxgxf

xg

xf

FONKSİYON TÜREVLERİBileşke Fonksiyonun Türevi:

g ,x te türevlenebilen; f , g(x) te türevlenebilen birer fonksiyon olmak

üzere fog fonksiyonu x te türevlenebilir ve

dır.

Bu işleme türevde zincir kuralı denir.Sonuç olarak,

biçiminde verilen üslü fonksiyonun türevi, bileşke

fonksiyonun türev kuralı uygulanarak

şeklinde bulunur.

xgxgfxgfxfog .)(

nxgxf )()(

xgxgnxf n '1..

ÖRNEK:1- fonksiyonunun türevini,

şeklinde buluruz.

199823 1 xxxf

xxxxxf 23.1.1998 2199723

2- fonksiyonuna göre f ´(1) nedir?

türevinde x terine 1 yazarsak;

buluruz.

523 32 xxxf

xxxxxf 43.32.5 223

12804.51 4 f

Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri:

f:R R ,f(x) = sin x fonksiyonunun türevi f´(x) = cos x dir.

f:R R ,f(x) = cos x fonksiyonunun türevi f´(x) = -sin x dir.

u x’e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;

f(x) = tan u dur.

f(x) = cot u dur.

)tan1.(sec.cos

)( 222

uuuuu

uxf

)cot1.(cos.sin

)( 222

uuuecuu

uxf

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVLERİMUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ:

f:A R , y=|f(x)| verilsin.aA , f(a)0 olmak üzere fonksiyonunun türevi;

y`= f `(x)= -f `(x) , f(a) <0

f `(x) , f(a) >0

f(a)=0 ise ,fonksiyonun bu noktadaki türevi olmayabilir.Bunu araştırmak için ,fonksiyonun sağdan ve soldan türevine bakılır.Soldan ve sağdan türevler eşitse ,fonksiyon bu noktada türevlidir.Aksi halde türevi yoktur.

ÖRNEK:1)( 2 xxf fonksiyonu veriliyor.

f``(-2) ve f``(1) değerleri varsa hesaplayalım.

x=-2 için fonksiyon sıfırdan büyük olduğundan aynen çıkar yani,

dır.

x=1 için fonksiyon sıfıra eşittir.Dolayısıyla sağdan ve soldan

türevlere bakılır.

olduğundan f `(1) yoktur.

ÇÖZÜM:

4)2(2)( fxxf

)1()1( ff

TAM DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ:

f:A R, verilsin.Eğer fonksiyonu aA

nokyasında sürekli ise ,fonksiyonun bu noktadaki türevi sıfırdır.

Sürekli değilse türevi yoktur.

fonksiyonunda f(x)Z ise süreklidir ve türevi

sıfırdır.Fakat f(x)Z ise sürekli olup olmadığına bakılır.

Süreksizse türev yoktur.

)(xfy )(xfy

)(xfy

İŞARET FONKSİYONUNUN TÜREVİ:

f:A R ,y = sgn f(x) fonksiyonu verlsin.Eğer a A noktasında

sürekli ise ,bu noktada türevi sıfırdır.Süreksizse türevi yoktur.

y´= 0 ,f(a)0 ise

Yoktur , f(a)= ise dır.Örneğin;

fonksiyonu veriliyor.f´(1) değerini bulalım.

x=1 için ifadesinin değeri -6 0 olduğundan f´(1)=0

dır.

)6sgn()( 2 xxxf

62 xx

KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ:

Tanım:x ve y değişken olmak üzere ,F(x,y)=0 denklemiyle verilen

Bağıntılara kapalı fonksiyon denir.Kapalı fonksiyonların türevi

hesaplanırken önce x sonra da y sabit alınarak türev bulunur.

),(

),(0).,(),(

yxF

yxF

dx

dyyyyxFyxF

y

xyx

bulunur.

ÖRNEK: bağıntısı veriliyor.

Bunun türevini bulalım.

0242),( 22 xyxyxF

ÇÖZÜM:Bu bağıntının türevini bulurken önce x’e daha sonra da

y’ye göre türev alıp ,birbirine böleriz.

y

x

y

x

yxF

yxFy

y

x

1

2

22

),(

),(buluruz.

PARAMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ:

Bu tür fonksiyonlarda, x ile y birbirine t parametresi ile bağlıdır.

x=h(t) ve y=g(t) denklemlerinden t parametresi yok edilerek , x ile

y arasında y=f(x) bağıntısı elde edilir.Buradan y nin x e göre türevi

bulunur.

)(

)(

th

tg

dtdxdtdy

dx

dt

dt

dy

dx

dy

ÖRNEK: parametrik fonksiyonunun türevini bulalım.

3

22

tty

tx

ÇÖZÜM:

x= t – 2 t = x+2 değeri türevde yerine konulursa

y´= 2(x+2) – 1= 2x+3 bulunur.

121

12

t

t

dtdxdtdy

y

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ:

u x e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;

21).(arcsin1

u

uu

21).(arctan3

u

u

21).(arccos2

u

u

21)cot.(4

u

uuarc

LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ:

Bileşke fonksiyonda yazdığımız teoremden de yararlanarak

logaritmik fonksiyonlar için şu sonuca varabiliriz;

u,x’e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;

1-

2-

eu

uxfuxf aa log)(log)(

u

uxfuxf

)(ln)(

ÖRNEK:

1-f(x)=ln(sin x) fonksiyonunun türevini bulunuz.

Çözüm: buluruz.

2-ln(sin y)+ln(cos x)-1= 0 ise dydx değerini bulunuz.

Çözüm: buluruz.

xx

x

x

xxf cot

sin

cos

sin

)(sin)(

yxy

y

yyxx

yF

xF

dx

dytan.tan

cot

tan

sincoscossin

ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ:

u, x’e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;

1-

2- Örneğin;

fonksiyonunun türevini bulalım.

uuaxfaxf uu ln..)()(

uexfexf uu .)()( xxf tan3)(

3ln.).(tan3)(3)( tantan xxfxf xx

3ln.sec.3)( 2tan xxf x bulunur.

A. Artan Ve Azalan Fonksiyonlar

1) Her x1, x2 A için, x1<x2 iken, f(x1)< f(x2)

ise, fonksiyonu, A kümesinde, artandır.

2) Her x1, x2 A için, x1<x2 iken, f(x1)> f(x2)

ise, f fonksiyonu, A kümesinde, azalandır.

SONUÇ:f:[a,b]R fonksiyonu, (a,b) aralığında artan ve türevli ise,

fonksiyonun bu aralıktaki türevi pozitiftir

Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında artan bir fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için f’(x)>0’dır.

a b

f’(x)

f(x)

+ + + + + artan

Sonuç:f:[a,b]R, fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi negatiftir.

Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için, f’(x)<0’dır.

f’(x)

f(x)

a b

- - - - -

azalan

B) YEREL MAKSİMUM NOKTASI:

Tanım: f:[a,b]R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0(a,b) ve > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ,xo+ ) aralığında en büyük değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir yerel maksimumu vardır.f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel maksimum değeri denir.

x0- xo+ x0

f(x0)

a b

Y=f(x)

f ’(x)

f(x)

a x0 b

+ -

f(x0)

Maksimum

C)YEREL MİNİMUM NOKTASI:

Tanım: f:[a,b]R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0(a,b) ve > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ,xo+ ) aralığında en küçük değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir yerel minimumu vardır.

f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel minimum değeri denir.

Y=f(x)x0- xo+ x0

a b

f(x0)

f ’(x)

f(x)

a x0 b

+-

f(x0)

Minimum

SONUÇ:

a

f(a)

b

f(b)

c

f(c)

d

f(d)

+

++

+++ - -

---

--

-- +

++++

++

y=f(x)

f ’(x)>0 f ’(x)<0

Yerel maksimum

f ’(x)>0

Yerel minimum

f:[a,b] R fonksiyonu, (a,b) aralığında ikinci basamaktan türevli olsun:

a b

y=f(x)

A

B

x1 x2

Eğrinin çukurluk yönü yukarı doğru bakmaktadır.

a’dan b’ye, teğetlerin eğim açılarının büyüdüğüne dikkat edelim.

y=f(x)

a b

A

B

x1 x2

Bu teğetlerin eğimleri;

m1= tan=f’(x1) ve m2=tan=f’(x2)

tan< tan f’(x1) < f’(x2) ‘dir. Yani;

x1< x2 için, f’(x1) < f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu artan’dır. f’ fonksiyonu artan olduğundan, türevi, f’’(x) > 0 ‘dır.

Şimdi de, eğrilik yönü aşağı doğru olan bir eğri inceleyelim:

a b

A

B

x1 x2

a’dan b’ye , teğetlerin eğim açılarının küçüldüğüne dikkat!

Bu teğetlerin eğimleri;

m1= tan=f’(x1) ve m2= tan =f’(x2) ‘dir.

a b

A

B

x1 x2

tan> tan f’(x1) > f’(x2) ‘dir.

Yani;

x1< x2 için, f’(x1) > f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu azalan’dır. f’ fonksiyonu azalan olduğundan, türevi, f’’(x) < 0 ‘dır.

SONUÇ: Bir f fonksiyonu için, aralığın her noktasında, f’’(x)<0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü aşağı doğrudur.

f’’(x)< 0 Konkav(İç bükey)

Bir f fonksiyonu için, aralığın her noktasında, f’’(x)>0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü yukarı doğrudur.

f’’(x)> 0 Konveks(Dış bükey)