tugas i matematika - trigonmetri -kelompok ii
Post on 23-Dec-2015
249 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
A
B
C
ca
bGb. 2.2. perbandingan trigonometri
Kelompok II
1) Materi Fungsi Trigonometri
A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku
Gambar di samping adalah segitiga
siku-siku dengan titik sudut sikunya
di C. Panjang sisi di hadapan sudut
A adalah a, panjang sisi di hadapan
sudut B adalah b, dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah c.
Terhadap sudut :
Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut
Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut
Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa
Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan
trigonometri terhadap sudut sebagai berikut:
1.sinα=panjang sisi siku-siku di depan sudut A
panjang hipotenusa=ac
2.c os α=
panjang sisi siku-siku di dekat ( berimpit ) sudut Apanjang hipotenusa
=bc
3.tan α=panjang sisi siku-siku di depan sudut A
panjang sisi siku-siku di dekat sudut A=ab
4.csc α=panjang hipotenusa
panjang sisi siku-siku di depan sudut A= ca
5.sec α=panjang hipotenusa
panjang sisi siku-siku di dekat sudut A= cb
1
Gb. 2.4.a. sudut istimewa
2
45
1
1Gb. 2.4.b. sudut istimewa
3
60
30
1 2
6.cot α=panjang sisi siku-siku di dekat sudut A
panjang sisi siku-siku di depan sudut A= ca
Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus:
tan α=sin α
cos α dancot α=cos α
sin α
sec α= 1cos α dan
csc α= 1sin α
B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa
Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya
dapat dicari tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0,
30, 45,60, dan 90.
Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30, 45,dan 60.
Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa
digunakan segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.
Dari gambar 2.4.a dapat ditentukan
sin 45°=1
√2=1
2√2 csc 45°= √2
1=√2
cos 45°=1
√2=1
2√2 sec 45°= √2
1=√2
2
tan 45°=11=1 cot 45 °=
11=1
Dari gambar 2.4.b dapat ditentukan
sin 30 °=12
sin 60 °= √32=1
2√3
cos 30 °= √32=1
2√3 cos 60 °=
12
tan 30°=1
√3=1
3√3 tan 60°= √3
1=√3
csc 30°=21=2 csc 60°=
2
√3=2
3√3
sec 30°=2
√3=2
3√3 sec 60°=
21=2
cot 30 °= √31=√3 cot 60 °=
1
√3=1
3√3
Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.
0 30 45 60 90
sin 012
12√2
12√3 1
cos 112√3
12√2
12
0
tan 013√3 1 √3
tak
terdefinisi
cot tak
terdefinisi√3 1
13√3 0
3
y
x X
YP(x,y)
r
1
Gb. 2.5
O
y
x X
YP(x,y)
r
1
O
y
x X
YP(x,y)
r
2
O
y
x
X
Y
r
3O
y
x
X
Y
r
4
O
C. Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran
P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP
adalah garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam koordinat
kartesius, sehingga XOP dapat bernilai 0 sampai dengan
90. Perlu diketahui bahwa
OP=√ x2+ y2=r dan r 0
Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku
dapat didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r)
sebagai berikut:
1.sin α=ordinat P
panjang OP= yr 4.
csc α=panjang OPordinat P
= ry
2.cos α=absis P
panjang OP= xr 5.
sec α=panjang OPabsis P
= rx
3.tan α=ordinat P
absis P= yx 6.
cot α=absis Pordinat P
= xy
Dengan memutar garis OP maka XOP = dapat terletak di kuadran I,
kuadran II, kuadran III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.
4
y
x
X
Y
P(x,y)
r
(90-)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
y = x
Gb. 2.7. sudut yang berelasi
O
Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran:
Perbandingan
Trigonometri
Kuadran
I II III IV
sin + + - -
cos + - - +
tan + - + -
csc + + - -
sec + - - +
cot + - + -
D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi
Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90 ),
(180 ), (360 ), dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada
yang diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk
sudut dengan (90 - ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut
dengan (180 - ). Contoh: penyiku sudut 50 adalah 40, pelurus
sudut 110 adalah 70.
1. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90 - )
Dari gambar 2.7 diketahui
Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)
akibat pencerminan garis y x,
sehingga diperoleh:
a. XOP = dan XOP1 = 90 -
5
y
x X
Y
P(x,y)r
(180-)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
O
Gb. 2.8. sudut yang berelasi
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:
a.sin (90 °−α )=
y1
r1
= xr=cosα
b.cos (90 °−α )=
x1
r1
= yr=sinα
c.tan (90 °−α )=
y1
x1
= xy=cot α
Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri
sudut dengan (90 - ) dapat dituliskan sebagai berikut:
2. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - )
Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari
titik P(x,y) akibat pencerminan
terhadap sumbu y, sehingga
a. XOP = dan XOP1 = 180 -
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan:
a.sin (180 °−α )=
y1
r 1
= yr=sinα
a. sin (90 °−α )=cosα d. csc (90 °−α )=sec α
b. cos (90 °−α )=sinα e. sec (90 °−α )=cosec α
c. tan (90 °−α )=cot α f. cot ( 90°−α )=tan α
6
y
x X
YP(x,y)
r
(180+)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1O
Gb. 2.9. sudut yang berelasi
b.
cos180 cos
1
1
r
x
r
x
c.tan (180 °−α )=
y1
x1
= y−x
=−tan α
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
3. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + )
Dari gambar 2.9 titik P1(x1,y1) adalah
bayangan dari titik P(x,y) akibat
pencerminan terhadap garis y x,
sehingga
a. XOP = dan XOP1 = 180 +
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan:
a.sin (180 °+α )=
y1
r1
=− yr
=−sinα
b.cos (180 °+α )=
x1
r1
=−xr=−cosα
c.tan (180°+α )=
y1
x1
=− y−x
= yx=tan α
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
a. sin (180−α )°=sinα ° d. csc (180 °−α )=cscα
b. cos (180 °−α )=−cosα e. sec (180 °−α )=−sec α
c. tan (180 °−α )=−tan α f. cot (180 °−α )=−cot α
a. sin (180 °+α )=−sinα d. csc (180 °+α )=−csc α
b. cos (180 °+α )=−cos α e. sec (180°+α )=−sec α
c. tan (180 °+α )=tan α f. cot (180 °+ α )=cot α
7
y
x
X
YP(x,y)
r
(360-1)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
O -
Gb. 2.10. sudut yang berelasi
4. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- )
Dari gambar 2.10 diketahui titik
P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)
akibat pencerminan terhadap
sumbu x, sehingga
a. XOP = dan XOP1 = -
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan
a.sin (−α )=
y1
r1
=− yr
=−sinα
b.cos (−α )=
x1
r1
= xr=cosα
c.tan (−α )=
y1
x1
=− yx
=−tan α
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
a. sin (−α )=−sin α d. csc (−α )=−csc α
b. cos (−α )=cosα e. sec (−α )=sec α
c. tan (−α )=−tan α f. cot (−α )=−cot α
8
y
x X
Y P(r, )
r
O
Gb. 2.12. koordinat kutub
y
x X
YP(x,y)
O
Gb. 2.11. koordinat kartesius
Untuk relasi dengan (- ) tersebut identik dengan relasi dengan
360 , misalnya sin (360 ) sin .
E. Menentukan Koordinat kartesius dan Koordinat Kutub
Cara lain dalam menyajikan letak sebuah titik pada bidang
xy selain koordinat kartesius adalah dengan koordinat kutub.
Pada gambar 2.11 titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan
dalam koordinat kutub dengan P(r, ) seperti pada gambar 2.12.
Jika koordinat kutub titik P(r, ) diketahui, koordinat kartesius dapat
dicari dengan hubungan:
cos α= xr x=r cos α
sinα= yr y=rsin α
jika koordinat kartesius titik P(x,y) diketahui, koordinat kutub titik
P(r, ) dapat dicari dengan hubungan:
r=√x2+ y2
tan α= yx arc tan
yx , arc tan adalah invers dari tan
9
y
x X
Y P(x, y)
r
O
Gb. 2.13. rumus identitas
F. Identitas Trigonometri
D a r i g a m b a r d i s a m p i n g d i p e r o l e h
cos α= xr ,
sinα= yr dan r=√x2+ y2
. Sehingga
sin2 α+cos2α= y2
r2+ x
2
r2
= x
2+ y2
r2=r
2
r2=1
G. Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana
1. Menyelesaikan persamaan sin x sin
Dengan mengingat rumus
sin (180 - ) sin dan sin ( + k. 360) sin , maka diperoleh:
2. Menyelesaikan persamaan cos x cos
Dengan mengingat rumus
Jika sin x sin maka
x + k. 360 atau x (180 ) + k. 360 , k B
sin2 +cos2 1Jadi
10
rr
O A
B
A D E B
C
G F
cos (−α )=cosα dan cos ( + k. 360) cos , diperoleh
3. Menyelesaikan persamaan tan x tan
Dengan mengingat rumus
tan (180 + ) tan dan tan ( + k. 360) tan , maka
diperoleh:
Catatan: satuan sudut selain derajat adalah radian, di mana satu
radian adalah besarnya sudut yang menghadap busur lingkaran
yang panjangnya sama dengan jari-jari.
AOB = 1 rad
Hubungan radian dengan derajat
360 =
2πrr rad
= 2 rad
180 = rad
pendekatan 1 rad = 57,3.
H. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut
1. Rumus cos ( + ) dan cos ( )
Jika cos x cos maka
x + k. 360 atau x + k. 360, k B
Jika tan x tan maka
x + k. 180 , k B
11
Pada gambar di samping diketahui garis CD dan AF keduanya
adalah garis tinggi dari segitiga ABC. Akan dicari rumus cos (
+ ).
cos (α+β )=ADAC AD=AC cos (α+β )
Pada segitiga sikusiku CGF
sin α=GFCF GF=CF sin α …………..(1)
Pada segitiga sikusiku AFC,
sin β=CFAC CF=AC sin β …………..(2)
cos β=AFAC AF=AC cos β …………..(3)
Pada segitiga sikusiku AEF,
cos α=AEAF AE=AF cos α …………..(4)
Dari (1) dan (2) diperoleh
GF AC sin sin
Karena DE GF maka DE AC sin sin
Dari (3) dan (4) diperoleh
AE AC cos cos
Sehingga AD AE DE
AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin
cos ( + ) cos cos sin sin
Gb. 2.14
12
Jadi
Untuk menentukan cos ( ) gantilah dengan lalu
disubstitusikan ke rumus cos ( + ).
cos ( ) cos ( + ())
cos cos () sin sin ()
cos cos sin (sin )
cos cos + sin sin
Jadi
2. Rumus sin ( + ) dan sin ( )
Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin ( ) perlu diingat
rumus sebelumnya, yaitu: sin (90 ) cos dan
cos (90 ) sin
sin ( + ) cos (90 ( + ))
cos ((90 ) )
cos (90 ) cos + sin (90 ) sin
sin cos + cos sin
Jadi
Untuk menentukan sin ( ), seperti rumus kosinus selisih dua
sudut gantilah dengan lalu disubstitusikan ke sin ( + ).
sin ( ) sin ( + ( ))
sin cos () + cos sin ()
sin cos + cos (sin )
cos ( ) cos cos + sin sin
sin ( + ) sin cos + cos sin
13
sin cos cos sin
Jadi
3. Rumus tan ( + ) dan tan ( )
Dengan mengingat tan α=sin α
cos α , maka
tan (α+β )=sin ( α+β )cos (α+β )
=sin α cos β+cos α sin βcos α cos β−sin α sin β
tan (α+β )=
sinα cos β+cosα sin βcosα cos βcos α cos β−sin α sin βcos α cos β
=
sinαcos α
+sin βcos β
1−sinαcos α
⋅sin βcos β
=tan α+ tan β
1−tan α tan β
Jadi
Untuk menentukan tan ( ), gantilah dengan lalu
disubstitusikan ke tan ( + ).
tan ( ) tan ( + ( ))
=tan α+ tan (−β )1− tan α tan (−β )
=tan α− tan ( β )1−tan α (−tan β )
=tan α− tan β1+ tan α tan β
Jadi
sin ( ) sin cos cos sin
tan (α+β )=tan α+ tan β1−tan α tan β
tan (α−β )=tan α− tan β1+ tan α tan β
14
I. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
Dari rumusrumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat
dikembangkan menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap.
1. sin 2 sin ( + ) sin cos + cos sin 2 sin cos
Jadi
2. cos 2 cos ( + ) cos cos sin sin cos2 sin2
Jadi
Rumusrumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat
diturunkan dengan mengingat rumus dasar cos2 + sin2 1.
cos 2 cos2 sin2 cos 2 cos2 sin2
cos2 (1 cos2) (1 sin2) sin2
2cos2 1 1 2 sin2
Sehingga
3.tan 2α= tan ( α+α )=tan α+ tan α
1− tan α tan α= 2 tan α
1−tan2α
Jadi
J. Mengubah Rumus Perkalian ke rumus
Penjumlahan/Pengurangan
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos2 sin2
1) cos 2 cos2 sin2
2) cos 2 2cos2 1
3) cos 2 1 2 sin2
tan 2α= 2 tan α
1−tan2α
15
+
+
1. Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:
cos ( + ) cos cos sin sin
cos ( ) cos cos + sin sin
cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos
Jadi
cos ( + ) cos cos sin sin
cos ( ) cos cos + sin sin
cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin
Jadi
2. Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:
sin ( + ) sin cos + cos sin
sin ( ) sin cos cos sin
sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos
Jadi
sin ( + ) sin cos + cos sin
sin ( ) sin cos cos sin
sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos
Jadi
cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos
cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin
sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos
sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin
16
1) Contoh grafik Y=cos 2x dalam interval 0 ≤x ≤ 360
Contoh grafik Y = 2 sin 2x + 6 cos2x-5 dalam interval 0 ≤x ≤ 360
17
top related