volumes de sÓlidos de revoluÇÃo_mÉtodo dos discos e arruelas

FACIG

Cálculo II

Prof. Márcio J Ottoni

Volumes de sólidos de revolução

1. Método dos discos e das arruelas

1) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região gerada pela função ( ) √ ( )

e o eixo x no intervalo 0 em torno do eixo x.

2) Encontre o volume gerado ao rotacionar a região compreendida entre os gráficos de ( )

e ( ) ao redor da reta y = 1.

3) Encontre o volume do sólido formado ao rotacionar a região limitada pelos gráficos de

, , e , em torno do eixo y.

4) Encontre o volume do sólido formado ao girar a superfície entre os gráficos das funções

√ e em torno do eixo x, conforme ilustra a figura abaixo.

5) Uma furadeira faz um furo no centro de uma esfera de metal de 5 cm de raio, conforme a

figura abaixo. O furo tem um raio de 3 cm. Qual o volume do anel resultante?

6) Nos exercícios abaixo, calcule o volume do sólido formado ao rotacionar a região

sombreada ao redor do eixo x.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

7) Nos exercícios abaixo, calcule o volume do sólido formado ao girar a região sombreada ao

redor do eixo y.

a)

b)

c)

d)

8) No exercício abaixo, encontre o volume do sólido formado ao girar a região dada em torno

do eixo especificado.

a) R1 em torno de x = 0

b) R1 em torno de x = 1

c) R2 em torno de y = 0

d) R2 em torno de y = 1

e) R3 em torno de x = 0

f) R3 em torno de x= 1

g) R2 em torno de x = 0

h) R2 em torno de x = 1

9) A região mostrada na figura é girada ao redor dos eixos indicados. Calcule os volumes dos

sólidos formados.

a) Em torno do eixo x

b) Em torno do eixo y

c) Em torno da reta x = 3

10) Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo x a região limitada

pelos gráficos das funções e

Resp.: V=

11) Calculeo volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo y a região limitada

pelo gráfico de ( ) , com 0 b. Este sólido se denomina toro, conforme

mostra a figura abaixo.

Resp.:

12) Calcule o volume do sólido obtido girando em torno do eixo dos x a região limitada pelo

gráfico da função , no intervalo -1 < x < 1 e o eixo dos x.

Resp.: ( )

13) Calculo o volume do sólido de revolução obtido girando em torno da reta y = 4 a

região limitada pela curva , com 1 2 e pela reta y = -1.

Resp.:

14) Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno da reta x = -1 a região

limitada pela curva

e pelas retas y = 2.

Resp.:

15) Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno da reta x = 6 a região

limitada pelo gr[afico de e pela reta x = 4.

Resp.:

16) Encontre o volume obtido ao rotacionar a área delimitada pelas funções

ao redor do eixo x.

Resp.: