vphnb
Post on 05-Dec-2014
2.443 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Nội Dung
GIẢI TÍCH CƠ BẢN§4. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
PGS.TS Lê Hoàn Hoá
Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư Phạm TPHCM
http://math.hcmup.edu.vn
Ngày 19 tháng 12 năm 2009
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Nội Dung
Nội dung
1 Sự liên tụcKhông gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
2 Sự khả viĐạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Nội dung
1 Sự liên tụcKhông gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
2 Sự khả viĐạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Không gian ℝn
Chuẩn EuclideVới x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ ℝn,đặt:
i) ∥x∥ = (x21 + x22 + . . .+ x2n )12 là chuẩn Euclide của x
ii) d(x , y) = ∥x−y∥ = [(x1−y1)2+(x2−y2)2+ . . .+(xn−yn)2]12
là khoảng cách giữa x , y .
iii) B(x , r) = {y ∈ ℝn/d(x , y) < r} là quả cầu mở tâm x , bánkính r .
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Không gian ℝn
Chuẩn Euclide
Với x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ ℝn,đặt:
i) ∥x∥ = (x21 + x22 + . . .+ x2n )12 là chuẩn Euclide của x
ii) d(x , y) = ∥x−y∥ = [(x1−y1)2+(x2−y2)2+ . . .+(xn−yn)2]12
là khoảng cách giữa x , y .
iii) B(x , r) = {y ∈ ℝn/d(x , y) < r} là quả cầu mở tâm x , bánkính r .
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Không gian ℝn
Chuẩn EuclideVới x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ ℝn,đặt:
i) ∥x∥ = (x21 + x22 + . . .+ x2n )12 là chuẩn Euclide của x
ii) d(x , y) = ∥x−y∥ = [(x1−y1)2+(x2−y2)2+ . . .+(xn−yn)2]12
là khoảng cách giữa x , y .
iii) B(x , r) = {y ∈ ℝn/d(x , y) < r} là quả cầu mở tâm x , bánkính r .
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Không gian ℝn
Chuẩn EuclideVới x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ ℝn,đặt:
i) ∥x∥ = (x21 + x22 + . . .+ x2n )12 là chuẩn Euclide của x
ii) d(x , y) = ∥x−y∥ = [(x1−y1)2+(x2−y2)2+ . . .+(xn−yn)2]12
là khoảng cách giữa x , y .
iii) B(x , r) = {y ∈ ℝn/d(x , y) < r} là quả cầu mở tâm x , bánkính r .
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Không gian ℝn
Chuẩn EuclideVới x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ ℝn,đặt:
i) ∥x∥ = (x21 + x22 + . . .+ x2n )12 là chuẩn Euclide của x
ii) d(x , y) = ∥x−y∥ = [(x1−y1)2+(x2−y2)2+ . . .+(xn−yn)2]12
là khoảng cách giữa x , y .
iii) B(x , r) = {y ∈ ℝn/d(x , y) < r} là quả cầu mở tâm x , bánkính r .
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Không gian ℝn
Chuẩn EuclideVới x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ ℝn,đặt:
i) ∥x∥ = (x21 + x22 + . . .+ x2n )12 là chuẩn Euclide của x
ii) d(x , y) = ∥x−y∥ = [(x1−y1)2+(x2−y2)2+ . . .+(xn−yn)2]12
là khoảng cách giữa x , y .
iii) B(x , r) = {y ∈ ℝn/d(x , y) < r} là quả cầu mở tâm x , bánkính r .
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Điểm biênCho D ⊂ ℝn, điểm x ∈ ℝn được gọi là điểm biên của D nếu vớimọi r > 0 thì B(x , r) ∩ D ∕= Ø và B(x , r) ∩ (ℝn ∖ D) ∕= Ø.Nếu x là điểm biên của D thì x cũng là điểm biên của ℝn ∖ D.Tập tất cả các điểm biên của D được gọi là biên của D, ký hiệu∂D.Ta có: ∂D = ∂(ℝn ∖ D)
Tập mở
Tập D được gọi là mở nếu mọi x ∈ D, có r > 0 sao choB(x , r) ⊂ D. Nếu D là tập mở, x ∈ D thì x không là điểm biêncủa D.Vậy nếu D là tập mở thì D không chứa điểm biên của D và ngượclại.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Điểm biên
Cho D ⊂ ℝn, điểm x ∈ ℝn được gọi là điểm biên của D nếu vớimọi r > 0 thì B(x , r) ∩ D ∕= Ø và B(x , r) ∩ (ℝn ∖ D) ∕= Ø.Nếu x là điểm biên của D thì x cũng là điểm biên của ℝn ∖ D.Tập tất cả các điểm biên của D được gọi là biên của D, ký hiệu∂D.Ta có: ∂D = ∂(ℝn ∖ D)
Tập mở
Tập D được gọi là mở nếu mọi x ∈ D, có r > 0 sao choB(x , r) ⊂ D. Nếu D là tập mở, x ∈ D thì x không là điểm biêncủa D.Vậy nếu D là tập mở thì D không chứa điểm biên của D và ngượclại.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Điểm biênCho D ⊂ ℝn, điểm x ∈ ℝn được gọi là điểm biên của D nếu vớimọi r > 0 thì B(x , r) ∩ D ∕= Ø và B(x , r) ∩ (ℝn ∖ D) ∕= Ø.
Nếu x là điểm biên của D thì x cũng là điểm biên của ℝn ∖ D.Tập tất cả các điểm biên của D được gọi là biên của D, ký hiệu∂D.Ta có: ∂D = ∂(ℝn ∖ D)
Tập mở
Tập D được gọi là mở nếu mọi x ∈ D, có r > 0 sao choB(x , r) ⊂ D. Nếu D là tập mở, x ∈ D thì x không là điểm biêncủa D.Vậy nếu D là tập mở thì D không chứa điểm biên của D và ngượclại.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Điểm biênCho D ⊂ ℝn, điểm x ∈ ℝn được gọi là điểm biên của D nếu vớimọi r > 0 thì B(x , r) ∩ D ∕= Ø và B(x , r) ∩ (ℝn ∖ D) ∕= Ø.Nếu x là điểm biên của D thì x cũng là điểm biên của ℝn ∖ D.
Tập tất cả các điểm biên của D được gọi là biên của D, ký hiệu∂D.Ta có: ∂D = ∂(ℝn ∖ D)
Tập mở
Tập D được gọi là mở nếu mọi x ∈ D, có r > 0 sao choB(x , r) ⊂ D. Nếu D là tập mở, x ∈ D thì x không là điểm biêncủa D.Vậy nếu D là tập mở thì D không chứa điểm biên của D và ngượclại.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Điểm biênCho D ⊂ ℝn, điểm x ∈ ℝn được gọi là điểm biên của D nếu vớimọi r > 0 thì B(x , r) ∩ D ∕= Ø và B(x , r) ∩ (ℝn ∖ D) ∕= Ø.Nếu x là điểm biên của D thì x cũng là điểm biên của ℝn ∖ D.Tập tất cả các điểm biên của D được gọi là biên của D, ký hiệu∂D.Ta có: ∂D = ∂(ℝn ∖ D)
Tập mở
Tập D được gọi là mở nếu mọi x ∈ D, có r > 0 sao choB(x , r) ⊂ D. Nếu D là tập mở, x ∈ D thì x không là điểm biêncủa D.Vậy nếu D là tập mở thì D không chứa điểm biên của D và ngượclại.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Điểm biênCho D ⊂ ℝn, điểm x ∈ ℝn được gọi là điểm biên của D nếu vớimọi r > 0 thì B(x , r) ∩ D ∕= Ø và B(x , r) ∩ (ℝn ∖ D) ∕= Ø.Nếu x là điểm biên của D thì x cũng là điểm biên của ℝn ∖ D.Tập tất cả các điểm biên của D được gọi là biên của D, ký hiệu∂D.Ta có: ∂D = ∂(ℝn ∖ D)
Tập mở
Tập D được gọi là mở nếu mọi x ∈ D, có r > 0 sao choB(x , r) ⊂ D. Nếu D là tập mở, x ∈ D thì x không là điểm biêncủa D.Vậy nếu D là tập mở thì D không chứa điểm biên của D và ngượclại.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Điểm biênCho D ⊂ ℝn, điểm x ∈ ℝn được gọi là điểm biên của D nếu vớimọi r > 0 thì B(x , r) ∩ D ∕= Ø và B(x , r) ∩ (ℝn ∖ D) ∕= Ø.Nếu x là điểm biên của D thì x cũng là điểm biên của ℝn ∖ D.Tập tất cả các điểm biên của D được gọi là biên của D, ký hiệu∂D.Ta có: ∂D = ∂(ℝn ∖ D)
Tập mở
Tập D được gọi là mở nếu mọi x ∈ D, có r > 0 sao choB(x , r) ⊂ D. Nếu D là tập mở, x ∈ D thì x không là điểm biêncủa D.
Vậy nếu D là tập mở thì D không chứa điểm biên của D và ngượclại.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Điểm biênCho D ⊂ ℝn, điểm x ∈ ℝn được gọi là điểm biên của D nếu vớimọi r > 0 thì B(x , r) ∩ D ∕= Ø và B(x , r) ∩ (ℝn ∖ D) ∕= Ø.Nếu x là điểm biên của D thì x cũng là điểm biên của ℝn ∖ D.Tập tất cả các điểm biên của D được gọi là biên của D, ký hiệu∂D.Ta có: ∂D = ∂(ℝn ∖ D)
Tập mở
Tập D được gọi là mở nếu mọi x ∈ D, có r > 0 sao choB(x , r) ⊂ D. Nếu D là tập mở, x ∈ D thì x không là điểm biêncủa D.Vậy nếu D là tập mở thì D không chứa điểm biên của D và ngượclại.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Tập đóng
Tập A ⊂ ℝn được gọi là đóng nếu ℝn ∖ A là tập mở. A là tập đóng⇔ ∂A ⊂ AĐặt :
0D = D ∖ ∂D là tập mở lớn nhất chứa trong D và gọi là phầntrong của D.−D = D ∪ ∂D là tập đóng bé nhất chứa D và gọi là bao đóngcủa D
Tập bị chặn
Tâp D được gọi là bị chặn nếu có M ≥ 0 sao cho ∣∣x ∣∣ ≤ M vớimọi x ∈ D
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Tập đóng
Tập A ⊂ ℝn được gọi là đóng nếu ℝn ∖ A là tập mở. A là tập đóng⇔ ∂A ⊂ AĐặt :
0D = D ∖ ∂D là tập mở lớn nhất chứa trong D và gọi là phầntrong của D.−D = D ∪ ∂D là tập đóng bé nhất chứa D và gọi là bao đóngcủa D
Tập bị chặn
Tâp D được gọi là bị chặn nếu có M ≥ 0 sao cho ∣∣x ∣∣ ≤ M vớimọi x ∈ D
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Tập đóng
Tập A ⊂ ℝn được gọi là đóng nếu ℝn ∖ A là tập mở. A là tập đóng⇔ ∂A ⊂ A
Đặt :0D = D ∖ ∂D là tập mở lớn nhất chứa trong D và gọi là phầntrong của D.−D = D ∪ ∂D là tập đóng bé nhất chứa D và gọi là bao đóngcủa D
Tập bị chặn
Tâp D được gọi là bị chặn nếu có M ≥ 0 sao cho ∣∣x ∣∣ ≤ M vớimọi x ∈ D
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Tập đóng
Tập A ⊂ ℝn được gọi là đóng nếu ℝn ∖ A là tập mở. A là tập đóng⇔ ∂A ⊂ AĐặt :
0D = D ∖ ∂D là tập mở lớn nhất chứa trong D và gọi là phầntrong của D.
−D = D ∪ ∂D là tập đóng bé nhất chứa D và gọi là bao đóngcủa D
Tập bị chặn
Tâp D được gọi là bị chặn nếu có M ≥ 0 sao cho ∣∣x ∣∣ ≤ M vớimọi x ∈ D
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Tập đóng
Tập A ⊂ ℝn được gọi là đóng nếu ℝn ∖ A là tập mở. A là tập đóng⇔ ∂A ⊂ AĐặt :
0D = D ∖ ∂D là tập mở lớn nhất chứa trong D và gọi là phầntrong của D.−D = D ∪ ∂D là tập đóng bé nhất chứa D và gọi là bao đóngcủa D
Tập bị chặn
Tâp D được gọi là bị chặn nếu có M ≥ 0 sao cho ∣∣x ∣∣ ≤ M vớimọi x ∈ D
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Tập đóng
Tập A ⊂ ℝn được gọi là đóng nếu ℝn ∖ A là tập mở. A là tập đóng⇔ ∂A ⊂ AĐặt :
0D = D ∖ ∂D là tập mở lớn nhất chứa trong D và gọi là phầntrong của D.−D = D ∪ ∂D là tập đóng bé nhất chứa D và gọi là bao đóngcủa D
Tập bị chặn
Tâp D được gọi là bị chặn nếu có M ≥ 0 sao cho ∣∣x ∣∣ ≤ M vớimọi x ∈ D
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Tập đóng
Tập A ⊂ ℝn được gọi là đóng nếu ℝn ∖ A là tập mở. A là tập đóng⇔ ∂A ⊂ AĐặt :
0D = D ∖ ∂D là tập mở lớn nhất chứa trong D và gọi là phầntrong của D.−D = D ∪ ∂D là tập đóng bé nhất chứa D và gọi là bao đóngcủa D
Tập bị chặn
Tâp D được gọi là bị chặn nếu có M ≥ 0 sao cho ∣∣x ∣∣ ≤ M vớimọi x ∈ D
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Không gian ℝn
Định lý
i) ℝn là không gian đầy đủ, nghĩa là mọi dãy cơ bản trong ℝn
đều hội tụ.
ii) Cho A là tập đóng bị chặn trong ℝn và (xk)k là dãy trong A.Khi đó có dãy con (xk i )i của dãy (xk)k sao cho lim
i→∞xk i = x
và x ∈ A
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Không gian ℝn
Định lý
i) ℝn là không gian đầy đủ, nghĩa là mọi dãy cơ bản trong ℝn
đều hội tụ.
ii) Cho A là tập đóng bị chặn trong ℝn và (xk)k là dãy trong A.Khi đó có dãy con (xk i )i của dãy (xk)k sao cho lim
i→∞xk i = x
và x ∈ A
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Không gian ℝn
Định lý
i) ℝn là không gian đầy đủ, nghĩa là mọi dãy cơ bản trong ℝn
đều hội tụ.
ii) Cho A là tập đóng bị chặn trong ℝn và (xk)k là dãy trong A.Khi đó có dãy con (xk i )i của dãy (xk)k sao cho lim
i→∞xk i = x
và x ∈ A
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Không gian ℝn
Định lý
i) ℝn là không gian đầy đủ, nghĩa là mọi dãy cơ bản trong ℝn
đều hội tụ.
ii) Cho A là tập đóng bị chặn trong ℝn và (xk)k là dãy trong A.Khi đó có dãy con (xk i )i của dãy (xk)k sao cho lim
i→∞xk i = x
và x ∈ A
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Nội dung
1 Sự liên tụcKhông gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
2 Sự khả viĐạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Điểm giới hạnCho D ⊂ ℝn
i) Điểm x0 ∈ ℝn được gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của Dnếu với mọi r > 0 thì
D ∩ B(x0, r) ∖ {x0} ∕= Ø
ii) Mệnh đề: x0 là điểm giới hạn của D nếu và chỉ nếu có dãy(xk)k trong D, xk ∕= x0, lim
k→∞xk = x0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Điểm giới hạn
Cho D ⊂ ℝn
i) Điểm x0 ∈ ℝn được gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của Dnếu với mọi r > 0 thì
D ∩ B(x0, r) ∖ {x0} ∕= Ø
ii) Mệnh đề: x0 là điểm giới hạn của D nếu và chỉ nếu có dãy(xk)k trong D, xk ∕= x0, lim
k→∞xk = x0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Điểm giới hạnCho D ⊂ ℝn
i) Điểm x0 ∈ ℝn được gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của Dnếu với mọi r > 0 thì
D ∩ B(x0, r) ∖ {x0} ∕= Ø
ii) Mệnh đề: x0 là điểm giới hạn của D nếu và chỉ nếu có dãy(xk)k trong D, xk ∕= x0, lim
k→∞xk = x0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Điểm giới hạnCho D ⊂ ℝn
i) Điểm x0 ∈ ℝn được gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của Dnếu với mọi r > 0 thì
D ∩ B(x0, r) ∖ {x0} ∕= Ø
ii) Mệnh đề: x0 là điểm giới hạn của D nếu và chỉ nếu có dãy(xk)k trong D, xk ∕= x0, lim
k→∞xk = x0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Điểm giới hạnCho D ⊂ ℝn
i) Điểm x0 ∈ ℝn được gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của Dnếu với mọi r > 0 thì
D ∩ B(x0, r) ∖ {x0} ∕= Ø
ii) Mệnh đề: x0 là điểm giới hạn của D nếu và chỉ nếu có dãy(xk)k trong D, xk ∕= x0, lim
k→∞xk = x0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Giới hạn của hàm số
Cho f : D → ℝ và x0 là điểm giới hạn của D.Ta nói:
i)lim
x→x0f (x) = a ∈ ℝ⇔ ∀" > 0, ∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �
⇒ ∣f (x)− a∣ < "
ii)lim
x→x0f (x) = +∞⇔ ∀A ∈ ℝ,∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �
⇒ f (x) > A
ii)lim
x→x0f (x) = −∞⇔ ∀A ∈ ℝ,∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �
⇒ f (x) < A
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Giới hạn của hàm số
Cho f : D → ℝ và x0 là điểm giới hạn của D.Ta nói:
i)lim
x→x0f (x) = a ∈ ℝ⇔ ∀" > 0, ∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �
⇒ ∣f (x)− a∣ < "
ii)lim
x→x0f (x) = +∞⇔ ∀A ∈ ℝ,∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �
⇒ f (x) > A
ii)lim
x→x0f (x) = −∞⇔ ∀A ∈ ℝ,∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �
⇒ f (x) < A
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Giới hạn của hàm số
Cho f : D → ℝ và x0 là điểm giới hạn của D.Ta nói:
i)lim
x→x0f (x) = a ∈ ℝ⇔ ∀" > 0, ∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �
⇒ ∣f (x)− a∣ < "
ii)lim
x→x0f (x) = +∞⇔ ∀A ∈ ℝ,∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �
⇒ f (x) > A
ii)lim
x→x0f (x) = −∞⇔ ∀A ∈ ℝ,∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �
⇒ f (x) < A
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Giới hạn của hàm số
Cho f : D → ℝ và x0 là điểm giới hạn của D.Ta nói:
i)lim
x→x0f (x) = a ∈ ℝ⇔ ∀" > 0, ∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �
⇒ ∣f (x)− a∣ < "
ii)lim
x→x0f (x) = +∞⇔ ∀A ∈ ℝ,∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �
⇒ f (x) > A
ii)lim
x→x0f (x) = −∞⇔ ∀A ∈ ℝ,∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �
⇒ f (x) < A
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Giới hạn của hàm số
Cho f : D → ℝ và x0 là điểm giới hạn của D.Ta nói:
i)lim
x→x0f (x) = a ∈ ℝ⇔ ∀" > 0, ∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �
⇒ ∣f (x)− a∣ < "
ii)lim
x→x0f (x) = +∞⇔ ∀A ∈ ℝ, ∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �
⇒ f (x) > A
ii)lim
x→x0f (x) = −∞⇔ ∀A ∈ ℝ,∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �
⇒ f (x) < A
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Giới hạn của hàm số
Cho f : D → ℝ và x0 là điểm giới hạn của D.Ta nói:
i)lim
x→x0f (x) = a ∈ ℝ⇔ ∀" > 0, ∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �
⇒ ∣f (x)− a∣ < "
ii)lim
x→x0f (x) = +∞⇔ ∀A ∈ ℝ, ∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �
⇒ f (x) > A
ii)lim
x→x0f (x) = −∞⇔ ∀A ∈ ℝ, ∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �
⇒ f (x) < A
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Giới hạn và sự liên tục
Giới hạn của hàm sốTa có :lim
x→x0f (x) = a⇔ ∀(xk)k ⊂ D, xk ∕= x0, lim
k→∞xk = x0
⇒ limk→∞
f (xk) = a
Ghi chúĐể chứng minh không có lim
x→x0f (x) ta cần chỉ ra có hai dãy
(xk)k , (yk)k trong D xk ∕= x0, yk ∕= y0, limk→∞
xk = x0 = limk→∞
yk mà
limk→∞
f (xk) ∕= limk→∞
f (yk)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Giới hạn và sự liên tục
Giới hạn của hàm số
Ta có :lim
x→x0f (x) = a⇔ ∀(xk)k ⊂ D, xk ∕= x0, lim
k→∞xk = x0
⇒ limk→∞
f (xk) = a
Ghi chúĐể chứng minh không có lim
x→x0f (x) ta cần chỉ ra có hai dãy
(xk)k , (yk)k trong D xk ∕= x0, yk ∕= y0, limk→∞
xk = x0 = limk→∞
yk mà
limk→∞
f (xk) ∕= limk→∞
f (yk)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Giới hạn và sự liên tục
Giới hạn của hàm sốTa có :lim
x→x0f (x) = a⇔ ∀(xk)k ⊂ D, xk ∕= x0, lim
k→∞xk = x0
⇒ limk→∞
f (xk) = a
Ghi chúĐể chứng minh không có lim
x→x0f (x) ta cần chỉ ra có hai dãy
(xk)k , (yk)k trong D xk ∕= x0, yk ∕= y0, limk→∞
xk = x0 = limk→∞
yk mà
limk→∞
f (xk) ∕= limk→∞
f (yk)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Giới hạn và sự liên tục
Giới hạn của hàm sốTa có :lim
x→x0f (x) = a⇔ ∀(xk)k ⊂ D, xk ∕= x0, lim
k→∞xk = x0
⇒ limk→∞
f (xk) = a
Ghi chú
Để chứng minh không có limx→x0
f (x) ta cần chỉ ra có hai dãy
(xk)k , (yk)k trong D xk ∕= x0, yk ∕= y0, limk→∞
xk = x0 = limk→∞
yk mà
limk→∞
f (xk) ∕= limk→∞
f (yk)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Giới hạn và sự liên tục
Giới hạn của hàm sốTa có :lim
x→x0f (x) = a⇔ ∀(xk)k ⊂ D, xk ∕= x0, lim
k→∞xk = x0
⇒ limk→∞
f (xk) = a
Ghi chúĐể chứng minh không có lim
x→x0f (x) ta cần chỉ ra có hai dãy
(xk)k , (yk)k trong D xk ∕= x0, yk ∕= y0, limk→∞
xk = x0 = limk→∞
yk mà
limk→∞
f (xk) ∕= limk→∞
f (yk)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Hàm số liên tụcCho f : D → ℝ và x0 ∈ D. Ta nói:
f liên tục tại x0 ⇔ ∀" > 0,∃� > 0 : ∀x ∈ D, d(x , x0) < �⇒ ∣f (x)− f (x0)∣ < "
Nếu f liên tục tại mọi x ∈ D ta nói f liên tục trên D
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Hàm số liên tục
Cho f : D → ℝ và x0 ∈ D. Ta nói:
f liên tục tại x0 ⇔ ∀" > 0,∃� > 0 : ∀x ∈ D, d(x , x0) < �⇒ ∣f (x)− f (x0)∣ < "
Nếu f liên tục tại mọi x ∈ D ta nói f liên tục trên D
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Hàm số liên tụcCho f : D → ℝ và x0 ∈ D. Ta nói:
f liên tục tại x0 ⇔ ∀" > 0,∃� > 0 : ∀x ∈ D, d(x , x0) < �⇒ ∣f (x)− f (x0)∣ < "
Nếu f liên tục tại mọi x ∈ D ta nói f liên tục trên D
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Hàm số liên tụcCho f : D → ℝ và x0 ∈ D. Ta nói:
f liên tục tại x0 ⇔ ∀" > 0,∃� > 0 : ∀x ∈ D, d(x , x0) < �⇒ ∣f (x)− f (x0)∣ < "
Nếu f liên tục tại mọi x ∈ D ta nói f liên tục trên D
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa
Hàm số liên tụcCho f : D → ℝ và x0 ∈ D. Ta nói:
f liên tục tại x0 ⇔ ∀" > 0,∃� > 0 : ∀x ∈ D, d(x , x0) < �⇒ ∣f (x)− f (x0)∣ < "
Nếu f liên tục tại mọi x ∈ D ta nói f liên tục trên D
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Giới hạn và sự liên tục
Hàm số liên tụcf liên tục trên D⇔ ∀x ∈ D,∀" > 0,∃� > 0 : ∀x ′ ∈ D, d(x , x ′) < �⇒ ∣f (x)− f (x ′)∣ < "
f liên tục đều trên D⇔ ∀" > 0,∃� > 0 : ∀x , x ′ ∈ D, d(x , x ′) < �⇒ ∣f (x)− f (x ′)∣ < "
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Giới hạn và sự liên tục
Hàm số liên tục
f liên tục trên D⇔ ∀x ∈ D,∀" > 0,∃� > 0 : ∀x ′ ∈ D, d(x , x ′) < �⇒ ∣f (x)− f (x ′)∣ < "
f liên tục đều trên D⇔ ∀" > 0,∃� > 0 : ∀x , x ′ ∈ D, d(x , x ′) < �⇒ ∣f (x)− f (x ′)∣ < "
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Giới hạn và sự liên tục
Hàm số liên tụcf liên tục trên D⇔ ∀x ∈ D, ∀" > 0,∃� > 0 : ∀x ′ ∈ D, d(x , x ′) < �⇒ ∣f (x)− f (x ′)∣ < "
f liên tục đều trên D⇔ ∀" > 0,∃� > 0 : ∀x , x ′ ∈ D, d(x , x ′) < �⇒ ∣f (x)− f (x ′)∣ < "
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Giới hạn và sự liên tục
Hàm số liên tụcf liên tục trên D⇔ ∀x ∈ D, ∀" > 0,∃� > 0 : ∀x ′ ∈ D, d(x , x ′) < �⇒ ∣f (x)− f (x ′)∣ < "
f liên tục đều trên D⇔ ∀" > 0, ∃� > 0 : ∀x , x ′ ∈ D, d(x , x ′) < �⇒ ∣f (x)− f (x ′)∣ < "
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Giới hạn và sự liên tục
Hàm số liên tục
Ta có: Nếu x0 ∈ D và x0 là điểm giới hạn của D thì:f liên tục tại x0 ⇔ lim
x→x0f (x) = f (x0)
Định nghĩa
Tập D ⊂ ℝn được gọi là liên thông nếu không có hai tập mởO1,O2 sao cho :
D ∩ Oi ∕= Ø,i = 1, 2
D ⊂ O1 ∪ O2
D ∩ O1 ∩ O2 = O
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Giới hạn và sự liên tục
Hàm số liên tục
Ta có: Nếu x0 ∈ D và x0 là điểm giới hạn của D thì:f liên tục tại x0 ⇔ lim
x→x0f (x) = f (x0)
Định nghĩa
Tập D ⊂ ℝn được gọi là liên thông nếu không có hai tập mởO1,O2 sao cho :
D ∩ Oi ∕= Ø,i = 1, 2
D ⊂ O1 ∪ O2
D ∩ O1 ∩ O2 = O
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Giới hạn và sự liên tục
Hàm số liên tục
Ta có: Nếu x0 ∈ D và x0 là điểm giới hạn của D thì:f liên tục tại x0 ⇔ lim
x→x0f (x) = f (x0)
Định nghĩa
Tập D ⊂ ℝn được gọi là liên thông nếu không có hai tập mởO1,O2 sao cho :
D ∩ Oi ∕= Ø,i = 1, 2
D ⊂ O1 ∪ O2
D ∩ O1 ∩ O2 = O
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Giới hạn và sự liên tục
Hàm số liên tục
Ta có: Nếu x0 ∈ D và x0 là điểm giới hạn của D thì:f liên tục tại x0 ⇔ lim
x→x0f (x) = f (x0)
Định nghĩa
Tập D ⊂ ℝn được gọi là liên thông nếu không có hai tập mởO1,O2 sao cho :
D ∩ Oi ∕= Ø,i = 1, 2
D ⊂ O1 ∪ O2
D ∩ O1 ∩ O2 = O
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Giới hạn và sự liên tục
Hàm số liên tục
Ta có: Nếu x0 ∈ D và x0 là điểm giới hạn của D thì:f liên tục tại x0 ⇔ lim
x→x0f (x) = f (x0)
Định nghĩa
Tập D ⊂ ℝn được gọi là liên thông nếu không có hai tập mởO1,O2 sao cho :
D ∩ Oi ∕= Ø,i = 1, 2
D ⊂ O1 ∪ O2
D ∩ O1 ∩ O2 = O
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Giới hạn và sự liên tục
Hàm số liên tục
Ta có: Nếu x0 ∈ D và x0 là điểm giới hạn của D thì:f liên tục tại x0 ⇔ lim
x→x0f (x) = f (x0)
Định nghĩa
Tập D ⊂ ℝn được gọi là liên thông nếu không có hai tập mởO1,O2 sao cho :
D ∩ Oi ∕= Ø,i = 1, 2
D ⊂ O1 ∪ O2
D ∩ O1 ∩ O2 = O
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định lý
Định lýCho A là tập đóng bị chặn trong ℝn và f : A→ ℝ liên tục. Khi đó:
i) f liên tục đều trên A
ii) f đạt cực đại, cực tiểu trên A, nghĩa là có x0, y0 ∈ A sao cho :
f (x0) = max{f (x), x ∈ A}
f (y0) = min{f (x), x ∈ A}
iii) Nếu giả sử thêm A liên thông và đặt :m = min{f (x), x ∈ A} , M = max{f (x), x ∈ A}
Khi đó :f (A) = [m,M]
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định lý
Định lý
Cho A là tập đóng bị chặn trong ℝn và f : A→ ℝ liên tục. Khi đó:
i) f liên tục đều trên A
ii) f đạt cực đại, cực tiểu trên A, nghĩa là có x0, y0 ∈ A sao cho :
f (x0) = max{f (x), x ∈ A}
f (y0) = min{f (x), x ∈ A}
iii) Nếu giả sử thêm A liên thông và đặt :m = min{f (x), x ∈ A} , M = max{f (x), x ∈ A}
Khi đó :f (A) = [m,M]
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định lý
Định lýCho A là tập đóng bị chặn trong ℝn và f : A→ ℝ liên tục. Khi đó:
i) f liên tục đều trên A
ii) f đạt cực đại, cực tiểu trên A, nghĩa là có x0, y0 ∈ A sao cho :
f (x0) = max{f (x), x ∈ A}
f (y0) = min{f (x), x ∈ A}
iii) Nếu giả sử thêm A liên thông và đặt :m = min{f (x), x ∈ A} , M = max{f (x), x ∈ A}
Khi đó :f (A) = [m,M]
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định lý
Định lýCho A là tập đóng bị chặn trong ℝn và f : A→ ℝ liên tục. Khi đó:
i) f liên tục đều trên A
ii) f đạt cực đại, cực tiểu trên A, nghĩa là có x0, y0 ∈ A sao cho :
f (x0) = max{f (x), x ∈ A}
f (y0) = min{f (x), x ∈ A}
iii) Nếu giả sử thêm A liên thông và đặt :m = min{f (x), x ∈ A} , M = max{f (x), x ∈ A}
Khi đó :f (A) = [m,M]
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định lý
Định lýCho A là tập đóng bị chặn trong ℝn và f : A→ ℝ liên tục. Khi đó:
i) f liên tục đều trên A
ii) f đạt cực đại, cực tiểu trên A, nghĩa là có x0, y0 ∈ A sao cho :
f (x0) = max{f (x), x ∈ A}
f (y0) = min{f (x), x ∈ A}
iii) Nếu giả sử thêm A liên thông và đặt :m = min{f (x), x ∈ A} , M = max{f (x), x ∈ A}
Khi đó :f (A) = [m,M]
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Định lý
Định lýCho A là tập đóng bị chặn trong ℝn và f : A→ ℝ liên tục. Khi đó:
i) f liên tục đều trên A
ii) f đạt cực đại, cực tiểu trên A, nghĩa là có x0, y0 ∈ A sao cho :
f (x0) = max{f (x), x ∈ A}
f (y0) = min{f (x), x ∈ A}
iii) Nếu giả sử thêm A liên thông và đặt :m = min{f (x), x ∈ A} , M = max{f (x), x ∈ A}
Khi đó :f (A) = [m,M]
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 1
1. Cho f (x , y) =√
1− x2 − y2, miền xác địnhDf = {x2 + y2 ≤ 1} là tập đóng, bị chặn trong ℝ2
Cho g(x , y) =
√x2
4+ y2 − 1 + ln(4− x2 − y2) miền xác định:
Dg =
{(x , y) ∈ ℝ2/x2 + y2 < 4,
x2
4+ y2 ≥ 1
}
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 1
1. Cho f (x , y) =√
1− x2 − y2, miền xác địnhDf = {x2 + y2 ≤ 1} là tập đóng, bị chặn trong ℝ2
Cho g(x , y) =
√x2
4+ y2 − 1 + ln(4− x2 − y2) miền xác định:
Dg =
{(x , y) ∈ ℝ2/x2 + y2 < 4,
x2
4+ y2 ≥ 1
}
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 1
1. Cho f (x , y) =√
1− x2 − y2, miền xác địnhDf = {x2 + y2 ≤ 1} là tập đóng, bị chặn trong ℝ2
Cho g(x , y) =
√x2
4+ y2 − 1 + ln(4− x2 − y2) miền xác định:
Dg =
{(x , y) ∈ ℝ2/x2 + y2 < 4,
x2
4+ y2 ≥ 1
}
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 1
Biên của Dg là hai đường cong :
C1 =
{x2
4+ y2 = 1
}, C2 = {x2 + y2 = 4}
Mọi (x , y) ∈ C1, (x , y) ∕= (±2, 0) thì (x , y) ∈ Dg
Mọi (x , y) ∈ C2 thì (x , y) /∈ Dg
Dg là tập bị chặn, Dg không là tập đóng cũng không là tập mở.Dg không liên thông
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 1
Biên của Dg là hai đường cong :
C1 =
{x2
4+ y2 = 1
}, C2 = {x2 + y2 = 4}
Mọi (x , y) ∈ C1, (x , y) ∕= (±2, 0) thì (x , y) ∈ Dg
Mọi (x , y) ∈ C2 thì (x , y) /∈ Dg
Dg là tập bị chặn, Dg không là tập đóng cũng không là tập mở.Dg không liên thông
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 1
Biên của Dg là hai đường cong :
C1 =
{x2
4+ y2 = 1
}, C2 = {x2 + y2 = 4}
Mọi (x , y) ∈ C1, (x , y) ∕= (±2, 0) thì (x , y) ∈ Dg
Mọi (x , y) ∈ C2 thì (x , y) /∈ Dg
Dg là tập bị chặn, Dg không là tập đóng cũng không là tập mở.Dg không liên thông
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 1
Biên của Dg là hai đường cong :
C1 =
{x2
4+ y2 = 1
}, C2 = {x2 + y2 = 4}
Mọi (x , y) ∈ C1, (x , y) ∕= (±2, 0) thì (x , y) ∈ Dg
Mọi (x , y) ∈ C2 thì (x , y) /∈ Dg
Dg là tập bị chặn, Dg không là tập đóng cũng không là tập mở.Dg không liên thông
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 1
Thật vậy, đặt:
O1 = {(x , y) ∈ ℝ2/y > 0} ,O2 = {(x , y) ∈ ℝ2/y < 0}
O1,O2 là tập mở thỏa mãn:
Dg ∩ Oi ∕= Ø, i = 1, 2, Dg ⊂ O1 ∪ O2, Dg ∩ O1 ∩ O2 = Ø
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 1
Thật vậy, đặt:
O1 = {(x , y) ∈ ℝ2/y > 0} ,O2 = {(x , y) ∈ ℝ2/y < 0}
O1,O2 là tập mở thỏa mãn:
Dg ∩ Oi ∕= Ø, i = 1, 2, Dg ⊂ O1 ∪ O2, Dg ∩ O1 ∩ O2 = Ø
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 2
2. Cho A ={
(x , y) ∈ ℝ2/x , y ∈ ℚ ∩ [0, 1]}
B ={
(x , y) ∈ ℝ2/x , y ∈ [0, 1] ∖ℚ}
Khi đó :
∂A = ∂B = [0, 1]× [0, 1],0A =
0B = Ø,A = B = [0, 1]× [0, 1]
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 2
2. Cho A ={
(x , y) ∈ ℝ2/x , y ∈ ℚ ∩ [0, 1]}
B ={
(x , y) ∈ ℝ2/x , y ∈ [0, 1] ∖ℚ}
Khi đó :
∂A = ∂B = [0, 1]× [0, 1],0A =
0B = Ø,A = B = [0, 1]× [0, 1]
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 2
Thật vậy , với (x , y) ∈ [0, 1]× [0, 1] và r > 0, trong quả cầu mởtâm (x , y) bán kính r , gọi D là hình vuông mở chứa trong quả cầu
D =(x − r
2, x +
r
2
)×(y − r
2, y +
r
2
)Do mỗi khoảng mở khác rỗng đều chứa vô số số hữu tỉ và số vô tỉnên D ∩ A ∕= Ø,D ∩ B ∕= Ø,D ∩ (ℝ2∖A) ∕= Ø,D ∩ (ℝ2∖B) ∕= ØVậy (x , y) ∈ ∂A, (x , y) ∈ ∂BNgoài ra, tập các điểm giới hạn của D cũng là [0, 1]× [0, 1]
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 2
Thật vậy , với (x , y) ∈ [0, 1]× [0, 1] và r > 0, trong quả cầu mởtâm (x , y) bán kính r , gọi D là hình vuông mở chứa trong quả cầu
D =(x − r
2, x +
r
2
)×(y − r
2, y +
r
2
)
Do mỗi khoảng mở khác rỗng đều chứa vô số số hữu tỉ và số vô tỉnên D ∩ A ∕= Ø,D ∩ B ∕= Ø,D ∩ (ℝ2∖A) ∕= Ø,D ∩ (ℝ2∖B) ∕= ØVậy (x , y) ∈ ∂A, (x , y) ∈ ∂BNgoài ra, tập các điểm giới hạn của D cũng là [0, 1]× [0, 1]
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 2
Thật vậy , với (x , y) ∈ [0, 1]× [0, 1] và r > 0, trong quả cầu mởtâm (x , y) bán kính r , gọi D là hình vuông mở chứa trong quả cầu
D =(x − r
2, x +
r
2
)×(y − r
2, y +
r
2
)Do mỗi khoảng mở khác rỗng đều chứa vô số số hữu tỉ và số vô tỉnên D ∩ A ∕= Ø,D ∩ B ∕= Ø,D ∩ (ℝ2∖A) ∕= Ø,D ∩ (ℝ2∖B) ∕= Ø
Vậy (x , y) ∈ ∂A, (x , y) ∈ ∂BNgoài ra, tập các điểm giới hạn của D cũng là [0, 1]× [0, 1]
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 2
Thật vậy , với (x , y) ∈ [0, 1]× [0, 1] và r > 0, trong quả cầu mởtâm (x , y) bán kính r , gọi D là hình vuông mở chứa trong quả cầu
D =(x − r
2, x +
r
2
)×(y − r
2, y +
r
2
)Do mỗi khoảng mở khác rỗng đều chứa vô số số hữu tỉ và số vô tỉnên D ∩ A ∕= Ø,D ∩ B ∕= Ø,D ∩ (ℝ2∖A) ∕= Ø,D ∩ (ℝ2∖B) ∕= ØVậy (x , y) ∈ ∂A, (x , y) ∈ ∂BNgoài ra, tập các điểm giới hạn của D cũng là [0, 1]× [0, 1]
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 3
3. Tính các giới hạn:
a) limx ,y→0
sin xy
1− 3√
1 + xy= lim
t→0
sin t
1− (1 + t)13
= limt→0
t−t
3
= −3
(đặt t = xy)
b) limx ,y→0
1− cos xy
y2= lim
x ,y→0
x2(1− cos xy)
x2y2= 0
c) limx ,y→+∞
(x2 + y2)e−(x+y) = 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 3
3. Tính các giới hạn:
a) limx ,y→0
sin xy
1− 3√
1 + xy= lim
t→0
sin t
1− (1 + t)13
= limt→0
t−t
3
= −3
(đặt t = xy)
b) limx ,y→0
1− cos xy
y2= lim
x ,y→0
x2(1− cos xy)
x2y2= 0
c) limx ,y→+∞
(x2 + y2)e−(x+y) = 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 3
Thật vậy :x2 + y2
ex+y≤ x2
ex+
y2
ey
limx ,y→0
xy
x + y
không tồn tại.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 3
Thật vậy :x2 + y2
ex+y≤ x2
ex+
y2
ey
limx ,y→0
xy
x + y
không tồn tại.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 3
Hướng dẫn:
Thật vậy, đặt: f (x , y) =xy
x + y,chọn:
(xk , yk) =
(1
k, 0
)→ (0, 0), lim
k→∞f
(1
k, 0
)= 0
(x ′k , y′k) =
(1
k,−1
k+
1
k2
)→ (0, 0), lim
k→∞f (x ′k , y
′k) = lim
k→∞
1
k(−1
k+
1
k2)
1
k2
= −1
limx ,y→0
x2y
x4 + y2không tồn tại.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 3
Hướng dẫn:
Thật vậy, đặt: f (x , y) =xy
x + y,
chọn:
(xk , yk) =
(1
k, 0
)→ (0, 0), lim
k→∞f
(1
k, 0
)= 0
(x ′k , y′k) =
(1
k,−1
k+
1
k2
)→ (0, 0), lim
k→∞f (x ′k , y
′k) = lim
k→∞
1
k(−1
k+
1
k2)
1
k2
= −1
limx ,y→0
x2y
x4 + y2không tồn tại.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 3
Hướng dẫn:
Thật vậy, đặt: f (x , y) =xy
x + y,chọn:
(xk , yk) =
(1
k, 0
)→ (0, 0), lim
k→∞f
(1
k, 0
)= 0
(x ′k , y′k) =
(1
k,−1
k+
1
k2
)→ (0, 0), lim
k→∞f (x ′k , y
′k) = lim
k→∞
1
k(−1
k+
1
k2)
1
k2
= −1
limx ,y→0
x2y
x4 + y2không tồn tại.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 3
Đặt: f (x , y) =x2y
x4 + y2, chọn:
(xk , yk) =
(1
k, 0
)→ (0, 0), lim
k→∞f
(1
k, 0
)= 0
(x ′k , y′k) =
(1
k,1
k2
)→ (0, 0), lim
k→∞f
(1
k,1
k2
)=
1
2
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 3
Đặt: f (x , y) =x2y
x4 + y2,
chọn:
(xk , yk) =
(1
k, 0
)→ (0, 0), lim
k→∞f
(1
k, 0
)= 0
(x ′k , y′k) =
(1
k,1
k2
)→ (0, 0), lim
k→∞f
(1
k,1
k2
)=
1
2
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 3
Đặt: f (x , y) =x2y
x4 + y2, chọn:
(xk , yk) =
(1
k, 0
)→ (0, 0), lim
k→∞f
(1
k, 0
)= 0
(x ′k , y′k) =
(1
k,1
k2
)→ (0, 0), lim
k→∞f
(1
k,1
k2
)=
1
2
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 4
4. Cho D là tập bị đóng, bị chặn trong ℝn và x0 ∈ ℝn. Chứngminh: có x1, y1 ∈ D sao cho :
d(x0, x1) = max{d(x0, x), x ∈ D}
d(x0, y1) = min{d(x0, x), x ∈ D}
Hướng dẫn:Đặt f : D → ℝ định bởi: f (x) = d(x0, x) thì f liên tục.Do D là tập đóng, bị chặn nên f đạt cực đại, cực tiểu trong D.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 4
4. Cho D là tập bị đóng, bị chặn trong ℝn và x0 ∈ ℝn. Chứngminh: có x1, y1 ∈ D sao cho :
d(x0, x1) = max{d(x0, x), x ∈ D}
d(x0, y1) = min{d(x0, x), x ∈ D}
Hướng dẫn:Đặt f : D → ℝ định bởi: f (x) = d(x0, x) thì f liên tục.Do D là tập đóng, bị chặn nên f đạt cực đại, cực tiểu trong D.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 4
4. Cho D là tập bị đóng, bị chặn trong ℝn và x0 ∈ ℝn. Chứngminh: có x1, y1 ∈ D sao cho :
d(x0, x1) = max{d(x0, x), x ∈ D}
d(x0, y1) = min{d(x0, x), x ∈ D}
Hướng dẫn:Đặt f : D → ℝ định bởi: f (x) = d(x0, x) thì f liên tục.Do D là tập đóng, bị chặn nên f đạt cực đại, cực tiểu trong D.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 5
5. Cho D là tập đóng trong ℝn và x0 ∈ ℝn. Chứng minh: cóx1 ∈ D sao cho :
d(x0, x1) = min{d(x0, x), x ∈ D}
Hướng dẫn:Đặt: f : D → ℝ định bởi: f (x) = d(x0, x) thì f liên tục.Với M > 0 đủ lớn sao cho D ∩ B ′(x0,M) ∕= Ø (B ′(x0, r) là quảcầu đóng).Đặt D1 = D ∩ B ′(x0,M) thì D1 là tập đóng, bị chặn.Vậy có x1 ∈ D sao cho:
d(x0, x1) = min{d(x0, x), x ∈ D1} ≤ M
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 5
5. Cho D là tập đóng trong ℝn và x0 ∈ ℝn. Chứng minh: cóx1 ∈ D sao cho :
d(x0, x1) = min{d(x0, x), x ∈ D}
Hướng dẫn:Đặt: f : D → ℝ định bởi: f (x) = d(x0, x) thì f liên tục.Với M > 0 đủ lớn sao cho D ∩ B ′(x0,M) ∕= Ø (B ′(x0, r) là quảcầu đóng).Đặt D1 = D ∩ B ′(x0,M) thì D1 là tập đóng, bị chặn.Vậy có x1 ∈ D sao cho:
d(x0, x1) = min{d(x0, x), x ∈ D1} ≤ M
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 5
5. Cho D là tập đóng trong ℝn và x0 ∈ ℝn. Chứng minh: cóx1 ∈ D sao cho :
d(x0, x1) = min{d(x0, x), x ∈ D}
Hướng dẫn:Đặt: f : D → ℝ định bởi: f (x) = d(x0, x) thì f liên tục.Với M > 0 đủ lớn sao cho D ∩ B ′(x0,M) ∕= Ø (B ′(x0, r) là quảcầu đóng).Đặt D1 = D ∩ B ′(x0,M) thì D1 là tập đóng, bị chặn.Vậy có x1 ∈ D sao cho:
d(x0, x1) = min{d(x0, x), x ∈ D1} ≤ M
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 5
Với x ∈ D, xét hai trường hợp:
x ∈ D1 thì d(x0, x) ≥ d(x0, x1)
x /∈ D thì d(x0, x) > M ≥ d(x0, x1)
Vậy d(x0, x1) = min{d(x0, x), x ∈ D}
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 5
Với x ∈ D, xét hai trường hợp:
x ∈ D1 thì d(x0, x) ≥ d(x0, x1)
x /∈ D thì d(x0, x) > M ≥ d(x0, x1)
Vậy d(x0, x1) = min{d(x0, x), x ∈ D}
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 6
6. Cho f : ℝn → ℝ liên tục và thỏa mãn: lim∣∣x ∣∣→∞
f (x) = 0. Chứng
minh: f liên tục đều.Hướng dẫn: Với " > 0, do lim
∣∣x ∣∣→∞f (x) = 0, có M > 0 sao cho khi
∣∣x ∣∣ > ℝ thì: ∣f (x)∣ < "
3Khi đó: với x , y ∈ ℝn, ∣∣x ∣∣ > M, ∣∣y ∣∣ > M thì
∣f (x)− f (y)∣ < 2"
3< "
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 6
6. Cho f : ℝn → ℝ liên tục và thỏa mãn: lim∣∣x ∣∣→∞
f (x) = 0. Chứng
minh: f liên tục đều.
Hướng dẫn: Với " > 0, do lim∣∣x ∣∣→∞
f (x) = 0, có M > 0 sao cho khi
∣∣x ∣∣ > ℝ thì: ∣f (x)∣ < "
3Khi đó: với x , y ∈ ℝn, ∣∣x ∣∣ > M, ∣∣y ∣∣ > M thì
∣f (x)− f (y)∣ < 2"
3< "
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 6
6. Cho f : ℝn → ℝ liên tục và thỏa mãn: lim∣∣x ∣∣→∞
f (x) = 0. Chứng
minh: f liên tục đều.Hướng dẫn: Với " > 0, do lim
∣∣x ∣∣→∞f (x) = 0, có M > 0 sao cho khi
∣∣x ∣∣ > ℝ thì: ∣f (x)∣ < "
3
Khi đó: với x , y ∈ ℝn, ∣∣x ∣∣ > M, ∣∣y ∣∣ > M thì
∣f (x)− f (y)∣ < 2"
3< "
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 6
6. Cho f : ℝn → ℝ liên tục và thỏa mãn: lim∣∣x ∣∣→∞
f (x) = 0. Chứng
minh: f liên tục đều.Hướng dẫn: Với " > 0, do lim
∣∣x ∣∣→∞f (x) = 0, có M > 0 sao cho khi
∣∣x ∣∣ > ℝ thì: ∣f (x)∣ < "
3Khi đó: với x , y ∈ ℝn, ∣∣x ∣∣ > M, ∣∣y ∣∣ > M thì
∣f (x)− f (y)∣ < 2"
3< "
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 6
Do f liên tục đều trên tập đóng, bị chặn B ′(0,M + 1) nên có� > 0 sao cho khi x , y ∈ B ′(0,M + 1), d(x , y) < � thì∣f (x)− f (y)∣ < " Vậy f liên tục đều trên ℝn.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 6
Do f liên tục đều trên tập đóng, bị chặn B ′(0,M + 1) nên có� > 0 sao cho khi x , y ∈ B ′(0,M + 1), d(x , y) < � thì∣f (x)− f (y)∣ < " Vậy f liên tục đều trên ℝn.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 7
7. Cho
f (x , y) =
{(x2 + y2)x2+y2
, x2 + y2 > 0a , x = y = 0
g(x , y) =
{(x2 + y2)ex2−y2
, x2 + y2 > 0b , x = y = 0
Định a, b để f , g liên tục tại (0, 0).Hướng dẫn:Đặt t = x2 + y2, ta có: lim
x ,y→0(x2 + y2)x2+y2
= limt→0
tt = 1
(do limt→0
ln tt = limt→0
t ln t = 0)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 7
7. Cho
f (x , y) =
{(x2 + y2)x2+y2
, x2 + y2 > 0a , x = y = 0
g(x , y) =
{(x2 + y2)ex2−y2
, x2 + y2 > 0b , x = y = 0
Định a, b để f , g liên tục tại (0, 0).
Hướng dẫn:Đặt t = x2 + y2, ta có: lim
x ,y→0(x2 + y2)x2+y2
= limt→0
tt = 1
(do limt→0
ln tt = limt→0
t ln t = 0)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 7
7. Cho
f (x , y) =
{(x2 + y2)x2+y2
, x2 + y2 > 0a , x = y = 0
g(x , y) =
{(x2 + y2)ex2−y2
, x2 + y2 > 0b , x = y = 0
Định a, b để f , g liên tục tại (0, 0).Hướng dẫn:Đặt t = x2 + y2, ta có: lim
x ,y→0(x2 + y2)x2+y2
= limt→0
tt = 1
(do limt→0
ln tt = limt→0
t ln t = 0)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 7
Vậy: f liên tục tại (0, 0)⇔ a = 1Do x , y → 0, có thể giả sử x2 + y2 < 1. Khi đó:
(x2 + y2)x2+y2 ≤ (x2 + y2)x2−y2 ≤ (x2 + y2)−(x2+y2)
Suy ra: limx ,y→0
(x2 + y2)x2−y2= 1
Vậy g liên tục tại (0, 0)⇔ b = 1
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 7
Vậy: f liên tục tại (0, 0)⇔ a = 1
Do x , y → 0, có thể giả sử x2 + y2 < 1. Khi đó:
(x2 + y2)x2+y2 ≤ (x2 + y2)x2−y2 ≤ (x2 + y2)−(x2+y2)
Suy ra: limx ,y→0
(x2 + y2)x2−y2= 1
Vậy g liên tục tại (0, 0)⇔ b = 1
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 7
Vậy: f liên tục tại (0, 0)⇔ a = 1Do x , y → 0, có thể giả sử x2 + y2 < 1. Khi đó:
(x2 + y2)x2+y2 ≤ (x2 + y2)x2−y2 ≤ (x2 + y2)−(x2+y2)
Suy ra: limx ,y→0
(x2 + y2)x2−y2= 1
Vậy g liên tục tại (0, 0)⇔ b = 1
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Ví dụ 7
Vậy: f liên tục tại (0, 0)⇔ a = 1Do x , y → 0, có thể giả sử x2 + y2 < 1. Khi đó:
(x2 + y2)x2+y2 ≤ (x2 + y2)x2−y2 ≤ (x2 + y2)−(x2+y2)
Suy ra: limx ,y→0
(x2 + y2)x2−y2= 1
Vậy g liên tục tại (0, 0)⇔ b = 1
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Bài tập
1. Khảo sát các giới hạn sau:
a) limx ,y→0
y(x2 + y2)
y2 + (x2 + y2)2
b) limx→0y→1
(1 + xy)
1
x2 + xy
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Bài tập
1. Khảo sát các giới hạn sau:
a) limx ,y→0
y(x2 + y2)
y2 + (x2 + y2)2
b) limx→0y→1
(1 + xy)
1
x2 + xy
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Bài tập
2. Định a để các hàm số sau lên tục:
a) f (x , y) =
⎧⎨⎩ cosx3 − y3
x2 + y2, x2 + y2 > 0
a , x = y = 0
b) g(x , y) =
⎧⎨⎩ x cos1
x2 + y2, x2 + y2 > 0
a , x = y = 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Bài tập
2. Định a để các hàm số sau lên tục:
a) f (x , y) =
⎧⎨⎩ cosx3 − y3
x2 + y2, x2 + y2 > 0
a , x = y = 0
b) g(x , y) =
⎧⎨⎩ x cos1
x2 + y2, x2 + y2 > 0
a , x = y = 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Bài tập
3. Chứng minh hàm số sau liên tục đều trên ℝ2:
f (x , y) =
⎧⎨⎩ (x + y) sin1
x2 + y2, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
HD: limx2+y2→∞
f (x , y) = 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Bài tập
3. Chứng minh hàm số sau liên tục đều trên ℝ2:
f (x , y) =
⎧⎨⎩ (x + y) sin1
x2 + y2, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
HD: limx2+y2→∞
f (x , y) = 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Bài tập
3. Chứng minh hàm số sau liên tục đều trên ℝ2:
f (x , y) =
⎧⎨⎩ (x + y) sin1
x2 + y2, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
HD: limx2+y2→∞
f (x , y) = 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Bài tập
4. Chứng minh hàm số sau không liên tục đều trên ℝ2:
f (x , y) =
⎧⎨⎩ (x2 + y2) cos1
x2 + y2, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
HD: Hàm f (x , y) tương đương với hàm g(x , y) = x2 + y2 khix2 + y2 → +∞
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Bài tập
4. Chứng minh hàm số sau không liên tục đều trên ℝ2:
f (x , y) =
⎧⎨⎩ (x2 + y2) cos1
x2 + y2, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
HD: Hàm f (x , y) tương đương với hàm g(x , y) = x2 + y2 khix2 + y2 → +∞
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Không gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
Bài tập
4. Chứng minh hàm số sau không liên tục đều trên ℝ2:
f (x , y) =
⎧⎨⎩ (x2 + y2) cos1
x2 + y2, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
HD: Hàm f (x , y) tương đương với hàm g(x , y) = x2 + y2 khix2 + y2 → +∞
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Nội dung
1 Sự liên tụcKhông gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
2 Sự khả viĐạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định nghĩa
Đạo hàm riêngCho D là tập mở trong ℝn, f : D → ℝ.Đặt ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (thành phần thứ i bằng 1).
Với x ∈ D, đạo hàm riêng của f tại x theo biến xi , ký hiệu∂f
∂xi(x),
định bởi:
∂f
∂xi(x) = lim
t→0
(x + tei )− f (x)
t(nếu giới hạn tồn tại, hữu hạn)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định nghĩa
Đạo hàm riêngCho D là tập mở trong ℝn, f : D → ℝ.Đặt ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (thành phần thứ i bằng 1).
Với x ∈ D, đạo hàm riêng của f tại x theo biến xi , ký hiệu∂f
∂xi(x),
định bởi:
∂f
∂xi(x) = lim
t→0
(x + tei )− f (x)
t(nếu giới hạn tồn tại, hữu hạn)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định nghĩa
Đạo hàm riêngCho D là tập mở trong ℝn, f : D → ℝ.Đặt ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (thành phần thứ i bằng 1).
Với x ∈ D, đạo hàm riêng của f tại x theo biến xi , ký hiệu∂f
∂xi(x),
định bởi:
∂f
∂xi(x) = lim
t→0
(x + tei )− f (x)
t(nếu giới hạn tồn tại, hữu hạn)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Nội dung
1 Sự liên tụcKhông gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
2 Sự khả viĐạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Sự khả vi
Sự khả vi
Cho D là tập mở trong ℝn, f : D → ℝ và x ∈ D. Giả sử tồn tại
các đạo hàm riêng∂f
∂xi(x), i = 1, . . . , n.
Ta nói f khả vi tại x nếu với h = (h1, h2, . . . , hn) ∈ ℝn sao chox + h ∈ D thì:
f (x + h)− f (x) =n∑
i=1
∂f
∂xi(x)hi + ∣∣h∣∣'(h)
trong đó ' xác định trong lân cận của Oℝn thỏa: limh→Oℝn
'(h) = 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Sự khả vi
Sự khả vi
Cho D là tập mở trong ℝn, f : D → ℝ và x ∈ D. Giả sử tồn tại
các đạo hàm riêng∂f
∂xi(x), i = 1, . . . , n.
Ta nói f khả vi tại x nếu với h = (h1, h2, . . . , hn) ∈ ℝn sao chox + h ∈ D thì:
f (x + h)− f (x) =n∑
i=1
∂f
∂xi(x)hi + ∣∣h∣∣'(h)
trong đó ' xác định trong lân cận của Oℝn thỏa: limh→Oℝn
'(h) = 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Sự khả vi
Sự khả vi
Cho D là tập mở trong ℝn, f : D → ℝ và x ∈ D. Giả sử tồn tại
các đạo hàm riêng∂f
∂xi(x), i = 1, . . . , n.
Ta nói f khả vi tại x nếu với h = (h1, h2, . . . , hn) ∈ ℝn sao chox + h ∈ D thì:
f (x + h)− f (x) =n∑
i=1
∂f
∂xi(x)hi + ∣∣h∣∣'(h)
trong đó ' xác định trong lân cận của Oℝn thỏa: limh→Oℝn
'(h) = 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Sự khả vi
Sự khả vi
Cho D là tập mở trong ℝn, f : D → ℝ và x ∈ D. Giả sử tồn tại
các đạo hàm riêng∂f
∂xi(x), i = 1, . . . , n.
Ta nói f khả vi tại x nếu với h = (h1, h2, . . . , hn) ∈ ℝn sao chox + h ∈ D thì:
f (x + h)− f (x) =n∑
i=1
∂f
∂xi(x)hi + ∣∣h∣∣'(h)
trong đó ' xác định trong lân cận của Oℝn thỏa: limh→Oℝn
'(h) = 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Sự khả vi
Vi phânVi phân của f tại x , ký hiệu là df (x), định bởi:
df (x) =n∑
i=1
∂f
∂xi(x)hi =
n∑i=1
∂f
∂xi(x)dxi thay hi bằng dxi
Mệnh đề:
i) Nếu f khả vi tại x thì f liên tục tại x .
ii) Nếu các đạo hàm riêng∂f
∂xi, i = 1, 2, . . . , n liên tục tại x thì f
khả vi tại x
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Sự khả vi
Vi phân
Vi phân của f tại x , ký hiệu là df (x), định bởi:
df (x) =n∑
i=1
∂f
∂xi(x)hi =
n∑i=1
∂f
∂xi(x)dxi thay hi bằng dxi
Mệnh đề:
i) Nếu f khả vi tại x thì f liên tục tại x .
ii) Nếu các đạo hàm riêng∂f
∂xi, i = 1, 2, . . . , n liên tục tại x thì f
khả vi tại x
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Sự khả vi
Vi phânVi phân của f tại x , ký hiệu là df (x), định bởi:
df (x) =n∑
i=1
∂f
∂xi(x)hi =
n∑i=1
∂f
∂xi(x)dxi thay hi bằng dxi
Mệnh đề:
i) Nếu f khả vi tại x thì f liên tục tại x .
ii) Nếu các đạo hàm riêng∂f
∂xi, i = 1, 2, . . . , n liên tục tại x thì f
khả vi tại x
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Sự khả vi
Vi phânVi phân của f tại x , ký hiệu là df (x), định bởi:
df (x) =n∑
i=1
∂f
∂xi(x)hi =
n∑i=1
∂f
∂xi(x)dxi thay hi bằng dxi
Mệnh đề:
i) Nếu f khả vi tại x thì f liên tục tại x .
ii) Nếu các đạo hàm riêng∂f
∂xi, i = 1, 2, . . . , n liên tục tại x thì f
khả vi tại x
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Sự khả vi
Vi phânVi phân của f tại x , ký hiệu là df (x), định bởi:
df (x) =n∑
i=1
∂f
∂xi(x)hi =
n∑i=1
∂f
∂xi(x)dxi thay hi bằng dxi
Mệnh đề:
i) Nếu f khả vi tại x thì f liên tục tại x .
ii) Nếu các đạo hàm riêng∂f
∂xi, i = 1, 2, . . . , n liên tục tại x thì f
khả vi tại x
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Sự khả vi
Vi phânVi phân của f tại x , ký hiệu là df (x), định bởi:
df (x) =n∑
i=1
∂f
∂xi(x)hi =
n∑i=1
∂f
∂xi(x)dxi thay hi bằng dxi
Mệnh đề:
i) Nếu f khả vi tại x thì f liên tục tại x .
ii) Nếu các đạo hàm riêng∂f
∂xi, i = 1, 2, . . . , n liên tục tại x thì f
khả vi tại x
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Sự khả vi
Vi phânVi phân của f tại x , ký hiệu là df (x), định bởi:
df (x) =n∑
i=1
∂f
∂xi(x)hi =
n∑i=1
∂f
∂xi(x)dxi thay hi bằng dxi
Mệnh đề:
i) Nếu f khả vi tại x thì f liên tục tại x .
ii) Nếu các đạo hàm riêng∂f
∂xi, i = 1, 2, . . . , n liên tục tại x thì f
khả vi tại x
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ghi chú
Ghi chú: Hàm
f (x , y) =
{ xy
x2 + y2, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
có∂f
∂x(0, 0) =
∂f
∂y(0, 0) = 0 nhưng f không liên tục tại (0, 0) (do
không tồn tại limx ,y→0
f (x , y)).
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ghi chú
Ghi chú: Hàm
f (x , y) =
{ xy
x2 + y2, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
có∂f
∂x(0, 0) =
∂f
∂y(0, 0) = 0 nhưng f không liên tục tại (0, 0) (do
không tồn tại limx ,y→0
f (x , y)).
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví du 1
Ví dụ 1:
f (x , y) = esin(
x
y)
⇒ ∂f
∂x(x , y) =
1
ycos
x
y⋅ e
sin(x
y)
∂f
∂y(x , y) = − x
y2cos
x
y⋅ e
sin(x
y)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví du 1
Ví dụ 1:
f (x , y) = esin(
x
y)
⇒ ∂f
∂x(x , y) =
1
ycos
x
y⋅ e
sin(x
y)
∂f
∂y(x , y) = − x
y2cos
x
y⋅ e
sin(x
y)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 1
f (x , y , z) = (y
x)z = e
z lny
x
∂f
∂x(x , y , z) = − z
y(y
x)z ,
∂f
∂y=
z
y(y
x)z ,
∂f
∂z= ln
y
x(y
x)z
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 1
f (x , y , z) = (y
x)z = e
z lny
x
∂f
∂x(x , y , z) = − z
y(y
x)z ,
∂f
∂y=
z
y(y
x)z ,
∂f
∂z= ln
y
x(y
x)z
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 1
f (x , y) =
∫ x2 + y2
sin xet2dt
∂f
∂x(x , y) = 2xe(x2 + y2)2 − cos xesin
2 x ,
∂f
∂y(x , y) = 2ye(x2 + y2)2
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 1
f (x , y) =
∫ x2 + y2
sin xet2dt
∂f
∂x(x , y) = 2xe(x2 + y2)2 − cos xesin
2 x ,
∂f
∂y(x , y) = 2ye(x2 + y2)2
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 2
Ví dụ 2:a) Xét sự khả vi của các hàm sau tại (0, 0)
f (x , y) =
⎧⎨⎩ x +xy2√
x2 + y2, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 2
Ví dụ 2:a) Xét sự khả vi của các hàm sau tại (0, 0)
f (x , y) =
⎧⎨⎩ x +xy2√
x2 + y2, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 2 a)
Ta có:∂f
∂x(0, 0) = lim
t→0
f (t, 0)− f (0, 0)
t= 1,
∂f
∂y(0, 0) = lim
t→0
f (0, t)− f (0, 0)
t= 0
Với h = (s, t),
'(s, t) =1√
s2 + t2
[f (s, t)− f (0, 0)− ∂f
∂x(0, 0)s − ∂f
∂y(0, 0)t
]'(s, t) =
st2
s2 + t2. Suy ra: lim
s,t→0'(s, t) = 0
Vậy f khả vi tại (0, 0)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 2 a)
Ta có:∂f
∂x(0, 0) = lim
t→0
f (t, 0)− f (0, 0)
t= 1,
∂f
∂y(0, 0) = lim
t→0
f (0, t)− f (0, 0)
t= 0
Với h = (s, t),
'(s, t) =1√
s2 + t2
[f (s, t)− f (0, 0)− ∂f
∂x(0, 0)s − ∂f
∂y(0, 0)t
]'(s, t) =
st2
s2 + t2. Suy ra: lim
s,t→0'(s, t) = 0
Vậy f khả vi tại (0, 0)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 2
b) f (x , y) = 3√
x3 + y3
∂f
∂x(0, 0) = lim
t→0
f (t, 0)− f (0, 0)
t= 1,
∂f
∂y(0, 0) = lim
t→0
f (0, t)− f (0, 0)
t= 1
Với h = (s, t),
'(s, t) =1√
s2 + t2
[f (s, t)− f (0, 0)− ∂f
∂x(0, 0)s − ∂f
∂y(0, 0)t
]'(s, t) =
1√s2 + t2
[3√
s3 + t3 − s − t]
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 2
b) f (x , y) = 3√
x3 + y3
∂f
∂x(0, 0) = lim
t→0
f (t, 0)− f (0, 0)
t= 1,
∂f
∂y(0, 0) = lim
t→0
f (0, t)− f (0, 0)
t= 1
Với h = (s, t),
'(s, t) =1√
s2 + t2
[f (s, t)− f (0, 0)− ∂f
∂x(0, 0)s − ∂f
∂y(0, 0)t
]'(s, t) =
1√s2 + t2
[3√
s3 + t3 − s − t]
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 2 b)
Chọn s = t > 0, '(s, s) =1
s√2
[s
3√2− 2s
]=
1√2
[(
3√2− 2
)Suy ra: không có lim
s,t→0'(s, t) = 0
Vậy f không khả vi tại (0, 0)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 2 b)
Chọn s = t > 0, '(s, s) =1
s√2
[s
3√2− 2s
]=
1√2
[(
3√2− 2
)Suy ra: không có lim
s,t→0'(s, t) = 0
Vậy f không khả vi tại (0, 0)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 3
Ví dụ 3: Cho
f (x , y) =
⎧⎨⎩ x2 sin1
x2 + y2, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
Xét sự khả vi của f tại mọi (x , y) ∈ ℝ2. Xét sự liên tục của∂f
∂x,∂f
∂ytại (0, 0).
+ Tại (x , y) ∕= (0, 0):
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 3
Ví dụ 3: Cho
f (x , y) =
⎧⎨⎩ x2 sin1
x2 + y2, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
Xét sự khả vi của f tại mọi (x , y) ∈ ℝ2. Xét sự liên tục của∂f
∂x,∂f
∂ytại (0, 0).
+ Tại (x , y) ∕= (0, 0):
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 3
∂f
∂x(x , y) = 2x sin
1
x2 + y2− 2x3
(x2 + y2)2cos
1
x2 + y2
∂f
∂y(x , y) = − 2x2y
(x2 + y2)2cos
1
x2 + y2
Do∂f
∂x,∂f
∂yliên tục tại mọi (x , y) ∕= (0, 0) nên f khả vi tại mọi
(x , y) ∕= (0, 0).+ Tại (0, 0):
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 3
∂f
∂x(x , y) = 2x sin
1
x2 + y2− 2x3
(x2 + y2)2cos
1
x2 + y2
∂f
∂y(x , y) = − 2x2y
(x2 + y2)2cos
1
x2 + y2
Do∂f
∂x,∂f
∂yliên tục tại mọi (x , y) ∕= (0, 0) nên f khả vi tại mọi
(x , y) ∕= (0, 0).+ Tại (0, 0):
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 3
∂f
∂x(0, 0) = lim
t→0
f (t, 0)− f (0, 0)
t= 0,
∂f
∂y(0, 0) = lim
t→0
f (0, t)− f (0, 0)
t= 0
Với h = (s, t), '(s, t) =s2√
s2 + t2sin
1
s2 + t2
Suy ra: lims,t→0
'(s, t) = 0
Vậy f khả vi tại (0, 0)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 3
∂f
∂x(0, 0) = lim
t→0
f (t, 0)− f (0, 0)
t= 0,
∂f
∂y(0, 0) = lim
t→0
f (0, t)− f (0, 0)
t= 0
Với h = (s, t), '(s, t) =s2√
s2 + t2sin
1
s2 + t2
Suy ra: lims,t→0
'(s, t) = 0
Vậy f khả vi tại (0, 0)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 3
Chọn:
(xk , yk) = (0,1
k)→ (0, 0),
∂f
∂x(0,
1
k) = 0,
∂f
∂y(0,
1
k) = 0
(x ′k , y′k) = (
1
2√
k�,
1
2√
k�)→ (0, 0),
∂f
∂x(x ′k , y
′k) =
∂f
∂y(x ′k , y
′k) = −16
√k�
Suy ra không tồn tại limx ,y→0
∂f
∂x(x , y), lim
x ,y→0
∂f
∂y(x , y)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 3
Chọn:
(xk , yk) = (0,1
k)→ (0, 0),
∂f
∂x(0,
1
k) = 0,
∂f
∂y(0,
1
k) = 0
(x ′k , y′k) = (
1
2√
k�,
1
2√
k�)→ (0, 0),
∂f
∂x(x ′k , y
′k) =
∂f
∂y(x ′k , y
′k) = −16
√k�
Suy ra không tồn tại limx ,y→0
∂f
∂x(x , y), lim
x ,y→0
∂f
∂y(x , y)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 3
Vậy∂f
∂x,∂f
∂ykhông liên tục tại (0, 0)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 3
Vậy∂f
∂x,∂f
∂ykhông liên tục tại (0, 0)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
1) Cho
f (x , y) =sin xy
x, x ∕= 0
Định giá trị của f tại (0, y) để f liên tục. Khi đó tính∂f
∂x(0, 0),
∂f
∂y(0, 0)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
1) Cho
f (x , y) =sin xy
x, x ∕= 0
Định giá trị của f tại (0, y) để f liên tục. Khi đó tính∂f
∂x(0, 0),
∂f
∂y(0, 0)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
2) Cho
f (x , y) =
⎧⎨⎩x2 − 2y2
x − y, x ∕= y
0 , x = y
a) Xét tính liên tục của f tại (0, 0) và (1, 1)
b) Tính∂f
∂x(0, 0),
∂f
∂y(0, 0)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
2) Cho
f (x , y) =
⎧⎨⎩x2 − 2y2
x − y, x ∕= y
0 , x = y
a) Xét tính liên tục của f tại (0, 0) và (1, 1)
b) Tính∂f
∂x(0, 0),
∂f
∂y(0, 0)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
3) Cho
f (x , y) =
⎧⎨⎩x sin y√x2 + y2
, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
Xét sự khả vi của f tại (0, 0).
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
3) Cho
f (x , y) =
⎧⎨⎩x sin y√x2 + y2
, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
Xét sự khả vi của f tại (0, 0).
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
4) Cho
f (x , y) =
⎧⎨⎩1
x2 + y2e− 1√
x2+y2 , x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
Tính∂f
∂x(x , y),
∂f
∂y(x , y) và xét tính liên tục của chúng tại mọi
(x , y), đặc biệt tại (0, 0)
HD: Dùng limt→∞
tn
et= 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
4) Cho
f (x , y) =
⎧⎨⎩1
x2 + y2e− 1√
x2+y2 , x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
Tính∂f
∂x(x , y),
∂f
∂y(x , y) và xét tính liên tục của chúng tại mọi
(x , y), đặc biệt tại (0, 0)
HD: Dùng limt→∞
tn
et= 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
4) Cho
f (x , y) =
⎧⎨⎩1
x2 + y2e− 1√
x2+y2 , x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
Tính∂f
∂x(x , y),
∂f
∂y(x , y) và xét tính liên tục của chúng tại mọi
(x , y), đặc biệt tại (0, 0)
HD: Dùng limt→∞
tn
et= 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
5) Chứng tỏ các hàm sau có đạo hàm riêng∂f
∂x,∂f
∂ykhông liên tục
tại (0, 0) nhưng f khả vi tại (0, 0):
a) f (x , y) =
⎧⎨⎩ (x2 + y2) sin1√
x2 + y2, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
b) f (x , y) =
⎧⎨⎩ ln(1 + x2 + y2) sin1√
x2 + y2, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
5) Chứng tỏ các hàm sau có đạo hàm riêng∂f
∂x,∂f
∂ykhông liên tục
tại (0, 0) nhưng f khả vi tại (0, 0):
a) f (x , y) =
⎧⎨⎩ (x2 + y2) sin1√
x2 + y2, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
b) f (x , y) =
⎧⎨⎩ ln(1 + x2 + y2) sin1√
x2 + y2, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
6) Cho
f (x , y) =
⎧⎨⎩ x2 sin1
(x2 + y2)1/3, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
Chứng minh các đạo hàm riêng∂f
∂x,∂f
∂yliên tục tại mọi
(x , y) đặc biệt tại (0, 0)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
6) Cho
f (x , y) =
⎧⎨⎩ x2 sin1
(x2 + y2)1/3, x2 + y2 > 0
0 , x = y = 0
Chứng minh các đạo hàm riêng∂f
∂x,∂f
∂yliên tục tại mọi
(x , y) đặc biệt tại (0, 0)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Hướng dẫn
HD:∂f
∂x(x , y) = 2x sin
1
(x2 + y2)13
− 2
3
x3
(x2 + y2)43
cos1
(x2 + y2)13
∂f
∂y(x , y) = −2
3
x2y
(x2 + y2)43
cos1
(x2 + y2)13
0 ≤ ∣x ∣3
(x2 + y2)43
≤ ∣x ∣(x2 + y2)
13
≤ ∣x ∣13
0 ≤ x2∣y ∣(x2 + y2)
43
≤ ∣y ∣(x2 + y2)
13
≤ ∣y ∣13
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Hướng dẫn
HD:∂f
∂x(x , y) = 2x sin
1
(x2 + y2)13
− 2
3
x3
(x2 + y2)43
cos1
(x2 + y2)13
∂f
∂y(x , y) = −2
3
x2y
(x2 + y2)43
cos1
(x2 + y2)13
0 ≤ ∣x ∣3
(x2 + y2)43
≤ ∣x ∣(x2 + y2)
13
≤ ∣x ∣13
0 ≤ x2∣y ∣(x2 + y2)
43
≤ ∣y ∣(x2 + y2)
13
≤ ∣y ∣13
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Nội dung
1 Sự liên tụcKhông gian ℝn
Giới hạn và sự liên tục :
2 Sự khả viĐạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Hàm ẩn
Định nghĩa
Cho A ⊂ ℝn,B ⊂ ℝp, mỗi phần tử của A× B ghi là (x , y) vớix ∈ A, y ∈ B . Cho f : A× B → ℝp. Mỗi(x , y) ∈ A× B , f (x , y) ∈ ℝp ghi là:
f (x , y) = (f1(x , y), f2(x , y), . . . , fp(x , y))
Các hàm f1, f2, . . . , fp : A× B → ℝ được gọi là hàm thành phầncủa f .Mỗi hàm thành phần là một hàm số thực theo n + p biến số thực(x , y) = (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yp)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Hàm ẩn
Định nghĩa
Cho A ⊂ ℝn,B ⊂ ℝp, mỗi phần tử của A× B ghi là (x , y) vớix ∈ A, y ∈ B . Cho f : A× B → ℝp. Mỗi(x , y) ∈ A× B , f (x , y) ∈ ℝp ghi là:
f (x , y) = (f1(x , y), f2(x , y), . . . , fp(x , y))
Các hàm f1, f2, . . . , fp : A× B → ℝ được gọi là hàm thành phầncủa f .Mỗi hàm thành phần là một hàm số thực theo n + p biến số thực(x , y) = (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yp)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Hàm ẩn
Định nghĩa
Cho A ⊂ ℝn,B ⊂ ℝp, mỗi phần tử của A× B ghi là (x , y) vớix ∈ A, y ∈ B . Cho f : A× B → ℝp. Mỗi(x , y) ∈ A× B , f (x , y) ∈ ℝp ghi là:
f (x , y) = (f1(x , y), f2(x , y), . . . , fp(x , y))
Các hàm f1, f2, . . . , fp : A× B → ℝ được gọi là hàm thành phầncủa f .
Mỗi hàm thành phần là một hàm số thực theo n + p biến số thực(x , y) = (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yp)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Hàm ẩn
Định nghĩa
Cho A ⊂ ℝn,B ⊂ ℝp, mỗi phần tử của A× B ghi là (x , y) vớix ∈ A, y ∈ B . Cho f : A× B → ℝp. Mỗi(x , y) ∈ A× B , f (x , y) ∈ ℝp ghi là:
f (x , y) = (f1(x , y), f2(x , y), . . . , fp(x , y))
Các hàm f1, f2, . . . , fp : A× B → ℝ được gọi là hàm thành phầncủa f .Mỗi hàm thành phần là một hàm số thực theo n + p biến số thực(x , y) = (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yp)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Phương trình vectơ
Định nghĩaPhương trình
f (x , y) = Oℝp (1)
tương đương với hệ thống gồm p phương trình:⎧⎨⎩f1(x , y) = 0f2(x , y) = 0..................fp(x , y) = 0
(2)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Phương trình vectơ
Định nghĩa
Phương trình
f (x , y) = Oℝp (1)
tương đương với hệ thống gồm p phương trình:⎧⎨⎩f1(x , y) = 0f2(x , y) = 0..................fp(x , y) = 0
(2)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Phương trình vectơ
Định nghĩaPhương trình
f (x , y) = Oℝp (1)
tương đương với hệ thống gồm p phương trình:⎧⎨⎩f1(x , y) = 0f2(x , y) = 0..................fp(x , y) = 0
(2)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Phương trình vectơ
Ánh xạ ẩn
Khi nào từ phương trình vectơ (1) có thể giải được y = '(x) ?
Ánh xạ ' xác định trong tập con của ℝn có giá trị trong ℝp, nếucó, được gọi là ánh xạ ẩn suy ra từ phương trình vectơ (1).
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Phương trình vectơ
Ánh xạ ẩn
Khi nào từ phương trình vectơ (1) có thể giải được y = '(x) ?
Ánh xạ ' xác định trong tập con của ℝn có giá trị trong ℝp, nếucó, được gọi là ánh xạ ẩn suy ra từ phương trình vectơ (1).
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Phương trình vectơ
Ánh xạ ẩn
Khi nào từ phương trình vectơ (1) có thể giải được y = '(x) ?
Ánh xạ ' xác định trong tập con của ℝn có giá trị trong ℝp, nếucó, được gọi là ánh xạ ẩn suy ra từ phương trình vectơ (1).
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Phương trình vectơ
Hàm ẩnĐiều này tương đương với bài toán: khi nào từ hệ phương trình (2)có thể giải được y1, y2, . . . , yp là các hàm theo các biếnx1, x2, . . . , xn: ⎧⎨⎩
y1 = '1(x1, x2, . . . , xn)y2 = '2(x1, x2, . . . , xn)...................................yp = 'p(x1, x2, . . . , xn)
Các hàm '1, '2, . . . , 'p, nếu có, được gọi là hàm ẩn suy ra từ hệphương trình (2)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Phương trình vectơ
Hàm ẩnĐiều này tương đương với bài toán: khi nào từ hệ phương trình (2)có thể giải được y1, y2, . . . , yp là các hàm theo các biếnx1, x2, . . . , xn: ⎧⎨⎩
y1 = '1(x1, x2, . . . , xn)y2 = '2(x1, x2, . . . , xn)...................................yp = 'p(x1, x2, . . . , xn)
Các hàm '1, '2, . . . , 'p, nếu có, được gọi là hàm ẩn suy ra từ hệphương trình (2)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định lý hàm ẩn i)
Sau đây là định lí hàm ẩn cho trường hợp đặc biệti) Phương trình f (x , y) = 0:
Cho f có đạo hàm riêng∂f
∂x,∂f
∂yliên tục trong lân cận của (x0, y0).
Giả sử: f (x0, y0) = 0 và∂f
∂y(x0, y0) ∕= 0
Khi đó, có khoảng mở I chứa x0, hàm y : I → ℝ khả vi liên tụcthỏa mãn:
y(x0) = y0, f (x , y(x)) = 0, ∀x ∈ I
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định lý hàm ẩn i)
Sau đây là định lí hàm ẩn cho trường hợp đặc biệti) Phương trình f (x , y) = 0:
Cho f có đạo hàm riêng∂f
∂x,∂f
∂yliên tục trong lân cận của (x0, y0).
Giả sử: f (x0, y0) = 0 và∂f
∂y(x0, y0) ∕= 0
Khi đó, có khoảng mở I chứa x0, hàm y : I → ℝ khả vi liên tụcthỏa mãn:
y(x0) = y0, f (x , y(x)) = 0, ∀x ∈ I
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định lý hàm ẩn ii)
ii) Phương trình f (x , y , z) = 0:Cho f có đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của (x0, y0, z0)
Giả sử f (x0, y0, z0) = 0 và∂f
∂z(x0, y0, z0) ∕= 0
Khi đó có tập mở D ⊂ ℝ2, (x0, y0) ∈ D, hàm z : D → ℝ có đạohàm riêng liên tục thỏa mãn:
z(x0, y0) = z0 , f (x , y , z(x , y)) = 0 , ∀(x , y) ∈ D
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định lý hàm ẩn ii)
ii) Phương trình f (x , y , z) = 0:Cho f có đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của (x0, y0, z0)
Giả sử f (x0, y0, z0) = 0 và∂f
∂z(x0, y0, z0) ∕= 0
Khi đó có tập mở D ⊂ ℝ2, (x0, y0) ∈ D, hàm z : D → ℝ có đạohàm riêng liên tục thỏa mãn:
z(x0, y0) = z0 , f (x , y , z(x , y)) = 0 , ∀(x , y) ∈ D
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định lý hàm ẩn ii)
và
∂z
∂x(x , y) = −
∂f
∂x(x , y , z(x , y))
∂f
∂z(x , y , z(x , y))
,∂z
∂y(x , y) = −
∂f
∂y(x , y , z(x , y))
∂f
∂z(x , y , z(x , y))
, ∀(x , y) ∈ D
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định lý hàm ẩn ii)
và
∂z
∂x(x , y) = −
∂f
∂x(x , y , z(x , y))
∂f
∂z(x , y , z(x , y))
,∂z
∂y(x , y) = −
∂f
∂y(x , y , z(x , y))
∂f
∂z(x , y , z(x , y))
, ∀(x , y) ∈ D
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định lý hàm ẩn iii)
iii) Hệ phương trình: {f (x , y , z) = 0g(x , y , z) = 0
Cho f , g có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận củaM0(x0, y0, z0). Giả sử:
{f (x0, y0, z0) = 0g(x0, y0, z0) = 0
và
∣∣∣∣∣∣∣∂f
∂x(M0)
∂f
∂y(M0)
∂g
∂x(M0)
∂g
∂y(M0)
∣∣∣∣∣∣∣ ∕= 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định lý hàm ẩn iii)
iii) Hệ phương trình: {f (x , y , z) = 0g(x , y , z) = 0
Cho f , g có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận củaM0(x0, y0, z0). Giả sử:
{f (x0, y0, z0) = 0g(x0, y0, z0) = 0
và
∣∣∣∣∣∣∣∂f
∂x(M0)
∂f
∂y(M0)
∂g
∂x(M0)
∂g
∂y(M0)
∣∣∣∣∣∣∣ ∕= 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định lý hàm ẩn iii)
Khi đó có khoảng mở I chứa z0 và các hàm x , y : I → ℝ khả viliên tục thỏa mãn:
x(z0) = x0, , y(z0) = y0,{f (x(z), y(z), z) = 0g(x(z), y(z), z) = 0
, với ∀z ∈ I
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định lý hàm ẩn iii)
Khi đó có khoảng mở I chứa z0 và các hàm x , y : I → ℝ khả viliên tục thỏa mãn:
x(z0) = x0, , y(z0) = y0,{f (x(z), y(z), z) = 0g(x(z), y(z), z) = 0
, với ∀z ∈ I
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định lý hàm ẩn iii)
và đạo hàmdx
dz,dy
dzđược tính từ hệ phương trình tuyến tính:⎧⎨⎩
∂f
∂x⋅ dx
dz+∂f
∂y⋅ dy
dz+∂f
∂z= 0
∂g
∂x⋅ dx
dz+∂g
∂y⋅ dy
dz+∂g
∂z= 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định lý hàm ẩn iii)
và đạo hàmdx
dz,dy
dzđược tính từ hệ phương trình tuyến tính:⎧⎨⎩
∂f
∂x⋅ dx
dz+∂f
∂y⋅ dy
dz+∂f
∂z= 0
∂g
∂x⋅ dx
dz+∂g
∂y⋅ dy
dz+∂g
∂z= 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định lý hàm ẩn iv)
iv)Hệ phương trình: {f (x , y , u, v) = 0g(x , y , u, v) = 0
Cho f , g có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận củaM0(x0, y0, u0, v0). Giả sử:
{f (x0, y0, u0, v0) = 0g(x0, y0, u0, v0) = 0
và
∣∣∣∣∣∣∣∂f
∂u(M0)
∂f
∂v(M0)
∂g
∂u(M0)
∂g
∂v(M0)
∣∣∣∣∣∣∣ ∕= 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định lý hàm ẩn iv)
iv)Hệ phương trình: {f (x , y , u, v) = 0g(x , y , u, v) = 0
Cho f , g có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận củaM0(x0, y0, u0, v0). Giả sử:
{f (x0, y0, u0, v0) = 0g(x0, y0, u0, v0) = 0
và
∣∣∣∣∣∣∣∂f
∂u(M0)
∂f
∂v(M0)
∂g
∂u(M0)
∂g
∂v(M0)
∣∣∣∣∣∣∣ ∕= 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định lý hàm ẩn iv)
Khi đó có một lân cận mở D của (x0, y0) và hai hàm u, v : D → ℝcó đạo hàm riêng liên tục theo x , y thỏa mãn:
u(x0, y0) = u0, , v(x0, y0) = v0,{f (x , y , u(x , y), v(x , y)) = 0g(x , y , u(x , y), v(x , y)) = 0
, với ∀(x , y) ∈ D
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định lý hàm ẩn iv)
Khi đó có một lân cận mở D của (x0, y0) và hai hàm u, v : D → ℝcó đạo hàm riêng liên tục theo x , y thỏa mãn:
u(x0, y0) = u0, , v(x0, y0) = v0,{f (x , y , u(x , y), v(x , y)) = 0g(x , y , u(x , y), v(x , y)) = 0
, với ∀(x , y) ∈ D
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định lý hàm ẩn iv)
Các đạo hàm riêng∂u
∂x,∂u
∂y,∂v
∂x,∂v
∂ycho bởi hệ 4 phương trình:
⎧⎨⎩
∂f
∂u⋅ ∂u
∂x+∂f
∂v⋅ ∂v
∂x+∂f
∂x= 0
∂g
∂u⋅ ∂u
∂x+∂g
∂v⋅ ∂v
∂x+∂g
∂x= 0
∂f
∂u⋅ ∂u
∂y+∂f
∂v⋅ ∂v
∂y+∂f
∂y= 0
∂g
∂u⋅ ∂u
∂y+∂g
∂v⋅ ∂v
∂y+∂g
∂y= 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Định lý hàm ẩn iv)
Các đạo hàm riêng∂u
∂x,∂u
∂y,∂v
∂x,∂v
∂ycho bởi hệ 4 phương trình:
⎧⎨⎩
∂f
∂u⋅ ∂u
∂x+∂f
∂v⋅ ∂v
∂x+∂f
∂x= 0
∂g
∂u⋅ ∂u
∂x+∂g
∂v⋅ ∂v
∂x+∂g
∂x= 0
∂f
∂u⋅ ∂u
∂y+∂f
∂v⋅ ∂v
∂y+∂f
∂y= 0
∂g
∂u⋅ ∂u
∂y+∂g
∂v⋅ ∂v
∂y+∂g
∂y= 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 1
Ví dụ 1: Cho z = z(x , y) xác định từ hệ phương trình⎧⎨⎩x = u + vy = u2 + v2
z = u3 + v3u ∕= v
Tính∂z
∂x,∂z
∂y
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 1
Ví dụ 1: Cho z = z(x , y) xác định từ hệ phương trình⎧⎨⎩x = u + vy = u2 + v2
z = u3 + v3u ∕= v
Tính∂z
∂x,∂z
∂y
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 1
Hướng dẫn:Ta xem u = u(x , y), v = v(x , y), z = z(x , y) là hàm ẩn.Từ ba phương trình trên, đạo hàm theo x , y :⎧⎨⎩
1 =∂u
∂x+∂v
∂x
0 = u∂u
∂x+ v
∂v
∂x
⇒ ∂u
∂x=
v
v − u,
∂v
∂x=−u
v − u
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 1
Hướng dẫn:Ta xem u = u(x , y), v = v(x , y), z = z(x , y) là hàm ẩn.Từ ba phương trình trên, đạo hàm theo x , y :⎧⎨⎩
1 =∂u
∂x+∂v
∂x
0 = u∂u
∂x+ v
∂v
∂x
⇒ ∂u
∂x=
v
v − u,
∂v
∂x=−u
v − u
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 1
⎧⎨⎩0 =
∂u
∂y+∂v
∂y
1 = 2u∂u
∂y+ 2v
∂v
∂y
⇒ ∂u
∂y=
−12(v − u)
,∂v
∂y=
1
2(v − u)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 1
⎧⎨⎩0 =
∂u
∂y+∂v
∂y
1 = 2u∂u
∂y+ 2v
∂v
∂y
⇒ ∂u
∂y=
−12(v − u)
,∂v
∂y=
1
2(v − u)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 1
⎧⎨⎩∂z
∂x= 3u2
∂u
∂x+ 3v2∂v
∂x
∂z
∂y= 3u2
∂u
∂y+ 3v2∂v
∂y
⇒
∂z
∂x= −uv
∂z
∂y=
3
2(u + v)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 1
⎧⎨⎩∂z
∂x= 3u2
∂u
∂x+ 3v2∂v
∂x
∂z
∂y= 3u2
∂u
∂y+ 3v2∂v
∂y
⇒
∂z
∂x= −uv
∂z
∂y=
3
2(u + v)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 2
Ví dụ 2: Cho u = u(x , y), v = v(x , y) là hàm ẩn suy ra từ hệphương trình: {
euv + u + v = x + 1uv + u2 + v = x + y
với giả thiết u(0, 0) = 0, v(0, 0) = 0
Tính∂u
∂x(0, 0),
∂u
∂y(0, 0),
∂v
∂x(0, 0),
∂v
∂y(0, 0)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 2
Ví dụ 2: Cho u = u(x , y), v = v(x , y) là hàm ẩn suy ra từ hệphương trình: {
euv + u + v = x + 1uv + u2 + v = x + y
với giả thiết u(0, 0) = 0, v(0, 0) = 0
Tính∂u
∂x(0, 0),
∂u
∂y(0, 0),
∂v
∂x(0, 0),
∂v
∂y(0, 0)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 2
Hướng dẫn:Xem u = u(x , y), v = v(x , y) là hàm ẩn, từ hai phương trình đạohàm theo x , y :⎧⎨⎩
(u∂u
∂x+ v
∂v
∂x)euv +
∂u
∂x+∂v
∂x= 1
u∂u
∂x+ v
∂v
∂x+ 2u
∂u
∂x+∂v
∂x= 1
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 2
Hướng dẫn:Xem u = u(x , y), v = v(x , y) là hàm ẩn, từ hai phương trình đạohàm theo x , y :⎧⎨⎩
(u∂u
∂x+ v
∂v
∂x)euv +
∂u
∂x+∂v
∂x= 1
u∂u
∂x+ v
∂v
∂x+ 2u
∂u
∂x+∂v
∂x= 1
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 2
⎧⎨⎩(u∂u
∂y+ v
∂v
∂y)euv +
∂u
∂y+∂v
∂y= 0
u∂u
∂y+ v
∂v
∂y+ 2u
∂u
∂y+∂v
∂y= 1
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 2
⎧⎨⎩(u∂u
∂y+ v
∂v
∂y)euv +
∂u
∂y+∂v
∂y= 0
u∂u
∂y+ v
∂v
∂y+ 2u
∂u
∂y+∂v
∂y= 1
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 2
Thay u(0, 0) = 0, v(0, 0) = 0, ta được:⎧⎨⎩∂u
∂x(0, 0) +
∂v
∂x(0, 0) = 1
∂v
∂x(0, 0) = 1
⇒ ∂u
∂x(0, 0) = 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 2
Thay u(0, 0) = 0, v(0, 0) = 0, ta được:⎧⎨⎩∂u
∂x(0, 0) +
∂v
∂x(0, 0) = 1
∂v
∂x(0, 0) = 1
⇒ ∂u
∂x(0, 0) = 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 2
⎧⎨⎩∂u
∂y(0, 0) +
∂v
∂y(0, 0) = 0
∂v
∂y(0, 0) = 1
⇒ ∂u
∂y(0, 0) = −1
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Ví dụ 2
⎧⎨⎩∂u
∂y(0, 0) +
∂v
∂y(0, 0) = 0
∂v
∂y(0, 0) = 1
⇒ ∂u
∂y(0, 0) = −1
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
Bài 1: Cho z = z(x , y) là hàm ẩn suy ra từ các phương trình sau,
tính∂z
∂x,∂z
∂y:
a) z ln(x + z)− xy
z= 0
b) xz − ez/y + x3 + y3 = 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
Bài 1: Cho z = z(x , y) là hàm ẩn suy ra từ các phương trình sau,
tính∂z
∂x,∂z
∂y:
a) z ln(x + z)− xy
z= 0
b) xz − ez/y + x3 + y3 = 0
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
Bài tập 2: Cho x = x(z), y = y(z) là hàm ẩn suy từ hệ:⎧⎨⎩ x2 + y2 − z2
2= 0
x + y + z = 2
Tính x ′(2), y ′(2)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
Bài tập 2: Cho x = x(z), y = y(z) là hàm ẩn suy từ hệ:⎧⎨⎩ x2 + y2 − z2
2= 0
x + y + z = 2
Tính x ′(2), y ′(2)
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
Bài tập 3: Cho u = u(x , y), v = v(x , y), z = z(x , y) là hàm ẩn suyra từ: ⎧⎨⎩
x = u + ln vy = v − ln uz = 2u + v
Tính∂z
∂x,∂z
∂ytại điểm u = 1, v = 1.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
Bài tập 3: Cho u = u(x , y), v = v(x , y), z = z(x , y) là hàm ẩn suyra từ: ⎧⎨⎩
x = u + ln vy = v − ln uz = 2u + v
Tính∂z
∂x,∂z
∂ytại điểm u = 1, v = 1.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
Bài tập 4: Cho u = u(x , y), v = v(x , y) là hàm ẩn suy từ:{xeu+v + 2uv − 1 = 0
yeu−v − u
1 + v− 2x = 0
Tính∂u
∂x(1, 2),
∂v
∂y(1, 2),
∂u
∂x(1, 2),
∂v
∂y(1, 2), biết
u(1, 2) = 0, v(1, 2) = 0HD: Sau khi đạo hàm riêng hai phương trình theo x , y thay điềukiện u(1, 2) = 0, v(1, 2) = 0.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
Bài tập 4: Cho u = u(x , y), v = v(x , y) là hàm ẩn suy từ:{xeu+v + 2uv − 1 = 0
yeu−v − u
1 + v− 2x = 0
Tính∂u
∂x(1, 2),
∂v
∂y(1, 2),
∂u
∂x(1, 2),
∂v
∂y(1, 2), biết
u(1, 2) = 0, v(1, 2) = 0
HD: Sau khi đạo hàm riêng hai phương trình theo x , y thay điềukiện u(1, 2) = 0, v(1, 2) = 0.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
Sự liên tụcSự khả vi
Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn
Bài tập
Bài tập 4: Cho u = u(x , y), v = v(x , y) là hàm ẩn suy từ:{xeu+v + 2uv − 1 = 0
yeu−v − u
1 + v− 2x = 0
Tính∂u
∂x(1, 2),
∂v
∂y(1, 2),
∂u
∂x(1, 2),
∂v
∂y(1, 2), biết
u(1, 2) = 0, v(1, 2) = 0HD: Sau khi đạo hàm riêng hai phương trình theo x , y thay điềukiện u(1, 2) = 0, v(1, 2) = 0.
PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010
top related