vphnb

Nội Dung

GIẢI TÍCH CƠ BẢN§4. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

PGS.TS Lê Hoàn Hoá

Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư Phạm TPHCM

http://math.hcmup.edu.vn

Ngày 19 tháng 12 năm 2009

PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao học năm 2010

Nội Dung

Nội dung

1 Sự liên tụcKhông gian ℝn

Giới hạn và sự liên tục :

2 Sự khả viĐạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn

Sự liên tụcSự khả vi

Không gian ℝn

Nội dung

Không gian ℝn

Chuẩn EuclideVới x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ ℝn,đặt:

i) ∥x∥ = (x21 + x22 + . . .+ x2n )12 là chuẩn Euclide của x

ii) d(x , y) = ∥x−y∥ = [(x1−y1)2+(x2−y2)2+ . . .+(xn−yn)2]12

là khoảng cách giữa x , y .

iii) B(x , r) = {y ∈ ℝn/d(x , y) < r} là quả cầu mở tâm x , bánkính r .

Không gian ℝn

Chuẩn Euclide

Với x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ ℝn,đặt:

Không gian ℝn

Định nghĩa

Điểm biênCho D ⊂ ℝn, điểm x ∈ ℝn được gọi là điểm biên của D nếu vớimọi r > 0 thì B(x , r) ∩ D ∕= Ø và B(x , r) ∩ (ℝn ∖ D) ∕= Ø.Nếu x là điểm biên của D thì x cũng là điểm biên của ℝn ∖ D.Tập tất cả các điểm biên của D được gọi là biên của D, ký hiệu∂D.Ta có: ∂D = ∂(ℝn ∖ D)

Tập mở

Tập D được gọi là mở nếu mọi x ∈ D, có r > 0 sao choB(x , r) ⊂ D. Nếu D là tập mở, x ∈ D thì x không là điểm biêncủa D.Vậy nếu D là tập mở thì D không chứa điểm biên của D và ngượclại.

Không gian ℝn

Định nghĩa

Điểm biên

Cho D ⊂ ℝn, điểm x ∈ ℝn được gọi là điểm biên của D nếu vớimọi r > 0 thì B(x , r) ∩ D ∕= Ø và B(x , r) ∩ (ℝn ∖ D) ∕= Ø.Nếu x là điểm biên của D thì x cũng là điểm biên của ℝn ∖ D.Tập tất cả các điểm biên của D được gọi là biên của D, ký hiệu∂D.Ta có: ∂D = ∂(ℝn ∖ D)

Tập mở

Không gian ℝn

Định nghĩa

Điểm biênCho D ⊂ ℝn, điểm x ∈ ℝn được gọi là điểm biên của D nếu vớimọi r > 0 thì B(x , r) ∩ D ∕= Ø và B(x , r) ∩ (ℝn ∖ D) ∕= Ø.

Nếu x là điểm biên của D thì x cũng là điểm biên của ℝn ∖ D.Tập tất cả các điểm biên của D được gọi là biên của D, ký hiệu∂D.Ta có: ∂D = ∂(ℝn ∖ D)

Tập mở

Không gian ℝn

Định nghĩa

Điểm biênCho D ⊂ ℝn, điểm x ∈ ℝn được gọi là điểm biên của D nếu vớimọi r > 0 thì B(x , r) ∩ D ∕= Ø và B(x , r) ∩ (ℝn ∖ D) ∕= Ø.Nếu x là điểm biên của D thì x cũng là điểm biên của ℝn ∖ D.

Tập tất cả các điểm biên của D được gọi là biên của D, ký hiệu∂D.Ta có: ∂D = ∂(ℝn ∖ D)

Tập mở

Không gian ℝn

Định nghĩa

Tập mở

Không gian ℝn

Định nghĩa

Tập mở

Không gian ℝn

Định nghĩa

Tập mở

Tập D được gọi là mở nếu mọi x ∈ D, có r > 0 sao choB(x , r) ⊂ D. Nếu D là tập mở, x ∈ D thì x không là điểm biêncủa D.

Vậy nếu D là tập mở thì D không chứa điểm biên của D và ngượclại.

Không gian ℝn

Định nghĩa

Tập mở

Không gian ℝn

Định nghĩa

Tập đóng

Tập A ⊂ ℝn được gọi là đóng nếu ℝn ∖ A là tập mở. A là tập đóng⇔ ∂A ⊂ AĐặt :

0D = D ∖ ∂D là tập mở lớn nhất chứa trong D và gọi là phầntrong của D.−D = D ∪ ∂D là tập đóng bé nhất chứa D và gọi là bao đóngcủa D

Tập bị chặn

Tâp D được gọi là bị chặn nếu có M ≥ 0 sao cho ∣∣x ∣∣ ≤ M vớimọi x ∈ D

Không gian ℝn

Định nghĩa

Tập đóng

Tập bị chặn

Không gian ℝn

Định nghĩa

Tập đóng

Tập A ⊂ ℝn được gọi là đóng nếu ℝn ∖ A là tập mở. A là tập đóng⇔ ∂A ⊂ A

Đặt :0D = D ∖ ∂D là tập mở lớn nhất chứa trong D và gọi là phầntrong của D.−D = D ∪ ∂D là tập đóng bé nhất chứa D và gọi là bao đóngcủa D

Tập bị chặn

Không gian ℝn

Định nghĩa

Tập đóng

0D = D ∖ ∂D là tập mở lớn nhất chứa trong D và gọi là phầntrong của D.

−D = D ∪ ∂D là tập đóng bé nhất chứa D và gọi là bao đóngcủa D

Tập bị chặn

Không gian ℝn

Định nghĩa

Tập đóng

Tập bị chặn

Không gian ℝn

Định nghĩa

Tập đóng

Tập bị chặn

Không gian ℝn

Định nghĩa

Tập đóng

Tập bị chặn

Không gian ℝn

Định lý

i) ℝn là không gian đầy đủ, nghĩa là mọi dãy cơ bản trong ℝn

đều hội tụ.

ii) Cho A là tập đóng bị chặn trong ℝn và (xk)k là dãy trong A.Khi đó có dãy con (xk i )i của dãy (xk)k sao cho lim

i→∞xk i = x

và x ∈ A

Không gian ℝn

Định lý

đều hội tụ.

i→∞xk i = x

và x ∈ A

Không gian ℝn

Định lý

đều hội tụ.

i→∞xk i = x

và x ∈ A

Không gian ℝn

Định lý

đều hội tụ.

i→∞xk i = x

và x ∈ A

Không gian ℝn

Nội dung

Không gian ℝn

Định nghĩa

Điểm giới hạnCho D ⊂ ℝn

i) Điểm x0 ∈ ℝn được gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của Dnếu với mọi r > 0 thì

D ∩ B(x0, r) ∖ {x0} ∕= Ø

ii) Mệnh đề: x0 là điểm giới hạn của D nếu và chỉ nếu có dãy(xk)k trong D, xk ∕= x0, lim

k→∞xk = x0

Không gian ℝn

Định nghĩa

Điểm giới hạn

Cho D ⊂ ℝn

D ∩ B(x0, r) ∖ {x0} ∕= Ø

k→∞xk = x0

Không gian ℝn

Định nghĩa

D ∩ B(x0, r) ∖ {x0} ∕= Ø

k→∞xk = x0

Không gian ℝn

Định nghĩa

D ∩ B(x0, r) ∖ {x0} ∕= Ø

k→∞xk = x0

Không gian ℝn

Định nghĩa

D ∩ B(x0, r) ∖ {x0} ∕= Ø

k→∞xk = x0

Không gian ℝn

Định nghĩa

Giới hạn của hàm số

Cho f : D → ℝ và x0 là điểm giới hạn của D.Ta nói:

x→x0f (x) = a ∈ ℝ⇔ ∀" > 0, ∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �

⇒ ∣f (x)− a∣ < "

ii)lim

x→x0f (x) = +∞⇔ ∀A ∈ ℝ,∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �

⇒ f (x) > A

ii)lim

x→x0f (x) = −∞⇔ ∀A ∈ ℝ,∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �

⇒ f (x) < A

Không gian ℝn

Định nghĩa

x→x0f (x) = a ∈ ℝ⇔ ∀" > 0, ∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �

⇒ ∣f (x)− a∣ < "

ii)lim

x→x0f (x) = +∞⇔ ∀A ∈ ℝ,∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �

⇒ f (x) > A

ii)lim

x→x0f (x) = −∞⇔ ∀A ∈ ℝ,∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �

⇒ f (x) < A

Không gian ℝn

Định nghĩa

x→x0f (x) = a ∈ ℝ⇔ ∀" > 0, ∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �

⇒ ∣f (x)− a∣ < "

ii)lim

x→x0f (x) = +∞⇔ ∀A ∈ ℝ,∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �

⇒ f (x) > A

ii)lim

x→x0f (x) = −∞⇔ ∀A ∈ ℝ,∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �

⇒ f (x) < A

Không gian ℝn

Định nghĩa

x→x0f (x) = a ∈ ℝ⇔ ∀" > 0, ∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �

⇒ ∣f (x)− a∣ < "

ii)lim

x→x0f (x) = +∞⇔ ∀A ∈ ℝ,∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �

⇒ f (x) > A

ii)lim

x→x0f (x) = −∞⇔ ∀A ∈ ℝ,∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �

⇒ f (x) < A

Không gian ℝn

Định nghĩa

x→x0f (x) = a ∈ ℝ⇔ ∀" > 0, ∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �

⇒ ∣f (x)− a∣ < "

ii)lim

x→x0f (x) = +∞⇔ ∀A ∈ ℝ, ∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �

⇒ f (x) > A

ii)lim

x→x0f (x) = −∞⇔ ∀A ∈ ℝ,∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �

⇒ f (x) < A

Không gian ℝn

Định nghĩa

x→x0f (x) = a ∈ ℝ⇔ ∀" > 0, ∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �

⇒ ∣f (x)− a∣ < "

ii)lim

x→x0f (x) = +∞⇔ ∀A ∈ ℝ, ∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �

⇒ f (x) > A

ii)lim

x→x0f (x) = −∞⇔ ∀A ∈ ℝ, ∃� > 0 : ∀x ∈ D, 0 < d(x , x0) < �

⇒ f (x) < A

Không gian ℝn

Giới hạn và sự liên tục

Giới hạn của hàm sốTa có :lim

x→x0f (x) = a⇔ ∀(xk)k ⊂ D, xk ∕= x0, lim

k→∞xk = x0

⇒ limk→∞

f (xk) = a

Ghi chúĐể chứng minh không có lim

x→x0f (x) ta cần chỉ ra có hai dãy

(xk)k , (yk)k trong D xk ∕= x0, yk ∕= y0, limk→∞

xk = x0 = limk→∞

yk mà

limk→∞

f (xk) ∕= limk→∞

f (yk)

Không gian ℝn

Ta có :lim

k→∞xk = x0

⇒ limk→∞

f (xk) = a

yk mà

limk→∞

f (yk)

Không gian ℝn

k→∞xk = x0

⇒ limk→∞

f (xk) = a

yk mà

limk→∞

f (yk)

Không gian ℝn

k→∞xk = x0

⇒ limk→∞

f (xk) = a

Ghi chú

Để chứng minh không có limx→x0

f (x) ta cần chỉ ra có hai dãy

yk mà

limk→∞

f (yk)

Không gian ℝn

k→∞xk = x0

⇒ limk→∞

f (xk) = a

yk mà

limk→∞

f (yk)

Không gian ℝn

Định nghĩa

Hàm số liên tụcCho f : D → ℝ và x0 ∈ D. Ta nói:

f liên tục tại x0 ⇔ ∀" > 0,∃� > 0 : ∀x ∈ D, d(x , x0) < �⇒ ∣f (x)− f (x0)∣ < "

Nếu f liên tục tại mọi x ∈ D ta nói f liên tục trên D

Không gian ℝn

Định nghĩa

Hàm số liên tục

Cho f : D → ℝ và x0 ∈ D. Ta nói:

Không gian ℝn

Định nghĩa

Không gian ℝn

Định nghĩa

Không gian ℝn

Định nghĩa

Không gian ℝn

Hàm số liên tụcf liên tục trên D⇔ ∀x ∈ D,∀" > 0,∃� > 0 : ∀x ′ ∈ D, d(x , x ′) < �⇒ ∣f (x)− f (x ′)∣ < "

f liên tục đều trên D⇔ ∀" > 0,∃� > 0 : ∀x , x ′ ∈ D, d(x , x ′) < �⇒ ∣f (x)− f (x ′)∣ < "

Không gian ℝn

f liên tục trên D⇔ ∀x ∈ D,∀" > 0,∃� > 0 : ∀x ′ ∈ D, d(x , x ′) < �⇒ ∣f (x)− f (x ′)∣ < "

Không gian ℝn

Hàm số liên tụcf liên tục trên D⇔ ∀x ∈ D, ∀" > 0,∃� > 0 : ∀x ′ ∈ D, d(x , x ′) < �⇒ ∣f (x)− f (x ′)∣ < "

Không gian ℝn

Hàm số liên tụcf liên tục trên D⇔ ∀x ∈ D, ∀" > 0,∃� > 0 : ∀x ′ ∈ D, d(x , x ′) < �⇒ ∣f (x)− f (x ′)∣ < "

f liên tục đều trên D⇔ ∀" > 0, ∃� > 0 : ∀x , x ′ ∈ D, d(x , x ′) < �⇒ ∣f (x)− f (x ′)∣ < "

Không gian ℝn

Ta có: Nếu x0 ∈ D và x0 là điểm giới hạn của D thì:f liên tục tại x0 ⇔ lim

x→x0f (x) = f (x0)

Định nghĩa

Tập D ⊂ ℝn được gọi là liên thông nếu không có hai tập mởO1,O2 sao cho :

D ∩ Oi ∕= Ø,i = 1, 2

D ⊂ O1 ∪ O2

D ∩ O1 ∩ O2 = O

Không gian ℝn

x→x0f (x) = f (x0)

Định nghĩa

D ∩ Oi ∕= Ø,i = 1, 2

D ⊂ O1 ∪ O2

D ∩ O1 ∩ O2 = O

Không gian ℝn

x→x0f (x) = f (x0)

Định nghĩa

D ∩ Oi ∕= Ø,i = 1, 2

D ⊂ O1 ∪ O2

D ∩ O1 ∩ O2 = O

Không gian ℝn

x→x0f (x) = f (x0)

Định nghĩa

D ∩ Oi ∕= Ø,i = 1, 2

D ⊂ O1 ∪ O2

D ∩ O1 ∩ O2 = O

Không gian ℝn

x→x0f (x) = f (x0)

Định nghĩa

D ∩ Oi ∕= Ø,i = 1, 2

D ⊂ O1 ∪ O2

D ∩ O1 ∩ O2 = O

Không gian ℝn

x→x0f (x) = f (x0)

Định nghĩa

D ∩ Oi ∕= Ø,i = 1, 2

D ⊂ O1 ∪ O2

D ∩ O1 ∩ O2 = O

Không gian ℝn

Định lý

Định lýCho A là tập đóng bị chặn trong ℝn và f : A→ ℝ liên tục. Khi đó:

i) f liên tục đều trên A

ii) f đạt cực đại, cực tiểu trên A, nghĩa là có x0, y0 ∈ A sao cho :

f (x0) = max{f (x), x ∈ A}

f (y0) = min{f (x), x ∈ A}

iii) Nếu giả sử thêm A liên thông và đặt :m = min{f (x), x ∈ A} , M = max{f (x), x ∈ A}

Khi đó :f (A) = [m,M]

Không gian ℝn

Định lý

Cho A là tập đóng bị chặn trong ℝn và f : A→ ℝ liên tục. Khi đó:

f (x0) = max{f (x), x ∈ A}

f (y0) = min{f (x), x ∈ A}

Không gian ℝn

Định lý

f (x0) = max{f (x), x ∈ A}

f (y0) = min{f (x), x ∈ A}

Không gian ℝn

Định lý

f (x0) = max{f (x), x ∈ A}

f (y0) = min{f (x), x ∈ A}

Không gian ℝn

Định lý

f (x0) = max{f (x), x ∈ A}

f (y0) = min{f (x), x ∈ A}

Không gian ℝn

Định lý

f (x0) = max{f (x), x ∈ A}

f (y0) = min{f (x), x ∈ A}

Không gian ℝn

Ví dụ 1

1. Cho f (x , y) =√

1− x2 − y2, miền xác địnhDf = {x2 + y2 ≤ 1} là tập đóng, bị chặn trong ℝ2

Cho g(x , y) =

4+ y2 − 1 + ln(4− x2 − y2) miền xác định:

{(x , y) ∈ ℝ2/x2 + y2 < 4,

4+ y2 ≥ 1

Không gian ℝn

Ví dụ 1

1. Cho f (x , y) =√

Cho g(x , y) =

{(x , y) ∈ ℝ2/x2 + y2 < 4,

4+ y2 ≥ 1

Không gian ℝn

Ví dụ 1

1. Cho f (x , y) =√

Cho g(x , y) =

{(x , y) ∈ ℝ2/x2 + y2 < 4,

4+ y2 ≥ 1

Không gian ℝn

Ví dụ 1

Biên của Dg là hai đường cong :

4+ y2 = 1

}, C2 = {x2 + y2 = 4}

Mọi (x , y) ∈ C1, (x , y) ∕= (±2, 0) thì (x , y) ∈ Dg

Mọi (x , y) ∈ C2 thì (x , y) /∈ Dg

Dg là tập bị chặn, Dg không là tập đóng cũng không là tập mở.Dg không liên thông

Không gian ℝn

Ví dụ 1

4+ y2 = 1

}, C2 = {x2 + y2 = 4}

Mọi (x , y) ∈ C2 thì (x , y) /∈ Dg

Không gian ℝn

Ví dụ 1

4+ y2 = 1

}, C2 = {x2 + y2 = 4}

Mọi (x , y) ∈ C2 thì (x , y) /∈ Dg

Không gian ℝn

Ví dụ 1

4+ y2 = 1

}, C2 = {x2 + y2 = 4}

Mọi (x , y) ∈ C2 thì (x , y) /∈ Dg

Không gian ℝn

Ví dụ 1

Thật vậy, đặt:

O1 = {(x , y) ∈ ℝ2/y > 0} ,O2 = {(x , y) ∈ ℝ2/y < 0}

O1,O2 là tập mở thỏa mãn:

Dg ∩ Oi ∕= Ø, i = 1, 2, Dg ⊂ O1 ∪ O2, Dg ∩ O1 ∩ O2 = Ø

Không gian ℝn

Ví dụ 1

Thật vậy, đặt:

O1 = {(x , y) ∈ ℝ2/y > 0} ,O2 = {(x , y) ∈ ℝ2/y < 0}

O1,O2 là tập mở thỏa mãn:

Dg ∩ Oi ∕= Ø, i = 1, 2, Dg ⊂ O1 ∪ O2, Dg ∩ O1 ∩ O2 = Ø

Không gian ℝn

Ví dụ 2

2. Cho A ={

(x , y) ∈ ℝ2/x , y ∈ ℚ ∩ [0, 1]}

(x , y) ∈ ℝ2/x , y ∈ [0, 1] ∖ℚ}

Khi đó :

∂A = ∂B = [0, 1]× [0, 1],0A =

0B = Ø,A = B = [0, 1]× [0, 1]

Không gian ℝn

Ví dụ 2

2. Cho A ={

(x , y) ∈ ℝ2/x , y ∈ ℚ ∩ [0, 1]}

(x , y) ∈ ℝ2/x , y ∈ [0, 1] ∖ℚ}

Khi đó :

∂A = ∂B = [0, 1]× [0, 1],0A =

0B = Ø,A = B = [0, 1]× [0, 1]

Không gian ℝn

Ví dụ 2

Thật vậy , với (x , y) ∈ [0, 1]× [0, 1] và r > 0, trong quả cầu mởtâm (x , y) bán kính r , gọi D là hình vuông mở chứa trong quả cầu

D =(x − r

2, x +

)×(y − r

2, y +

)Do mỗi khoảng mở khác rỗng đều chứa vô số số hữu tỉ và số vô tỉnên D ∩ A ∕= Ø,D ∩ B ∕= Ø,D ∩ (ℝ2∖A) ∕= Ø,D ∩ (ℝ2∖B) ∕= ØVậy (x , y) ∈ ∂A, (x , y) ∈ ∂BNgoài ra, tập các điểm giới hạn của D cũng là [0, 1]× [0, 1]

Không gian ℝn

Ví dụ 2

D =(x − r

2, x +

)×(y − r

2, y +

Do mỗi khoảng mở khác rỗng đều chứa vô số số hữu tỉ và số vô tỉnên D ∩ A ∕= Ø,D ∩ B ∕= Ø,D ∩ (ℝ2∖A) ∕= Ø,D ∩ (ℝ2∖B) ∕= ØVậy (x , y) ∈ ∂A, (x , y) ∈ ∂BNgoài ra, tập các điểm giới hạn của D cũng là [0, 1]× [0, 1]

Không gian ℝn

Ví dụ 2

D =(x − r

2, x +

)×(y − r

2, y +

)Do mỗi khoảng mở khác rỗng đều chứa vô số số hữu tỉ và số vô tỉnên D ∩ A ∕= Ø,D ∩ B ∕= Ø,D ∩ (ℝ2∖A) ∕= Ø,D ∩ (ℝ2∖B) ∕= Ø

Vậy (x , y) ∈ ∂A, (x , y) ∈ ∂BNgoài ra, tập các điểm giới hạn của D cũng là [0, 1]× [0, 1]

Không gian ℝn

Ví dụ 2

D =(x − r

2, x +

)×(y − r

2, y +

)Do mỗi khoảng mở khác rỗng đều chứa vô số số hữu tỉ và số vô tỉnên D ∩ A ∕= Ø,D ∩ B ∕= Ø,D ∩ (ℝ2∖A) ∕= Ø,D ∩ (ℝ2∖B) ∕= ØVậy (x , y) ∈ ∂A, (x , y) ∈ ∂BNgoài ra, tập các điểm giới hạn của D cũng là [0, 1]× [0, 1]

Không gian ℝn

Ví dụ 3

3. Tính các giới hạn:

a) limx ,y→0

sin xy

1− 3√

1 + xy= lim

1− (1 + t)13

= limt→0

= −3

(đặt t = xy)

b) limx ,y→0

1− cos xy

y2= lim

x ,y→0

x2(1− cos xy)

x2y2= 0

c) limx ,y→+∞

(x2 + y2)e−(x+y) = 0

Không gian ℝn

Ví dụ 3

3. Tính các giới hạn:

a) limx ,y→0

sin xy

1− 3√

1 + xy= lim

1− (1 + t)13

= limt→0

= −3

(đặt t = xy)

b) limx ,y→0

1− cos xy

y2= lim

x ,y→0

x2(1− cos xy)

x2y2= 0

c) limx ,y→+∞

(x2 + y2)e−(x+y) = 0

Không gian ℝn

Ví dụ 3

Thật vậy :x2 + y2

ex+y≤ x2

limx ,y→0

không tồn tại.

Không gian ℝn

Ví dụ 3

Thật vậy :x2 + y2

ex+y≤ x2

limx ,y→0

không tồn tại.

Không gian ℝn

Ví dụ 3

Hướng dẫn:

Thật vậy, đặt: f (x , y) =xy

x + y,chọn:

(xk , yk) =

)→ (0, 0), lim

k→∞f

(x ′k , y′k) =

k,−1

)→ (0, 0), lim

k→∞f (x ′k , y

′k) = lim

k→∞

k(−1

= −1

limx ,y→0

x4 + y2không tồn tại.

Không gian ℝn

Ví dụ 3

Hướng dẫn:

x + y,

chọn:

(xk , yk) =

)→ (0, 0), lim

k→∞f

(x ′k , y′k) =

k,−1

)→ (0, 0), lim

k→∞f (x ′k , y

′k) = lim

k→∞

k(−1

= −1

limx ,y→0

Không gian ℝn

Ví dụ 3

Hướng dẫn:

x + y,chọn:

(xk , yk) =

)→ (0, 0), lim

k→∞f

(x ′k , y′k) =

k,−1

)→ (0, 0), lim

k→∞f (x ′k , y

′k) = lim

k→∞

k(−1

= −1

limx ,y→0

Không gian ℝn

Ví dụ 3

Đặt: f (x , y) =x2y

x4 + y2, chọn:

(xk , yk) =

)→ (0, 0), lim

k→∞f

(x ′k , y′k) =

)→ (0, 0), lim

k→∞f

Không gian ℝn

Ví dụ 3

x4 + y2,

chọn:

(xk , yk) =

)→ (0, 0), lim

k→∞f

(x ′k , y′k) =

)→ (0, 0), lim

k→∞f

Không gian ℝn

Ví dụ 3

x4 + y2, chọn:

(xk , yk) =

)→ (0, 0), lim

k→∞f

(x ′k , y′k) =

)→ (0, 0), lim

k→∞f

Không gian ℝn

Ví dụ 4

4. Cho D là tập bị đóng, bị chặn trong ℝn và x0 ∈ ℝn. Chứngminh: có x1, y1 ∈ D sao cho :

d(x0, x1) = max{d(x0, x), x ∈ D}

d(x0, y1) = min{d(x0, x), x ∈ D}

Hướng dẫn:Đặt f : D → ℝ định bởi: f (x) = d(x0, x) thì f liên tục.Do D là tập đóng, bị chặn nên f đạt cực đại, cực tiểu trong D.

Không gian ℝn

Ví dụ 4

d(x0, x1) = max{d(x0, x), x ∈ D}

d(x0, y1) = min{d(x0, x), x ∈ D}

Không gian ℝn

Ví dụ 4

d(x0, x1) = max{d(x0, x), x ∈ D}

d(x0, y1) = min{d(x0, x), x ∈ D}

Không gian ℝn

Ví dụ 5

5. Cho D là tập đóng trong ℝn và x0 ∈ ℝn. Chứng minh: cóx1 ∈ D sao cho :

d(x0, x1) = min{d(x0, x), x ∈ D}

Hướng dẫn:Đặt: f : D → ℝ định bởi: f (x) = d(x0, x) thì f liên tục.Với M > 0 đủ lớn sao cho D ∩ B ′(x0,M) ∕= Ø (B ′(x0, r) là quảcầu đóng).Đặt D1 = D ∩ B ′(x0,M) thì D1 là tập đóng, bị chặn.Vậy có x1 ∈ D sao cho:

d(x0, x1) = min{d(x0, x), x ∈ D1} ≤ M

Không gian ℝn

Ví dụ 5

d(x0, x1) = min{d(x0, x), x ∈ D}

d(x0, x1) = min{d(x0, x), x ∈ D1} ≤ M

Không gian ℝn

Ví dụ 5

d(x0, x1) = min{d(x0, x), x ∈ D}

d(x0, x1) = min{d(x0, x), x ∈ D1} ≤ M

Không gian ℝn

Ví dụ 5

Với x ∈ D, xét hai trường hợp:

x ∈ D1 thì d(x0, x) ≥ d(x0, x1)

x /∈ D thì d(x0, x) > M ≥ d(x0, x1)

Vậy d(x0, x1) = min{d(x0, x), x ∈ D}

Không gian ℝn

Ví dụ 5

Với x ∈ D, xét hai trường hợp:

x ∈ D1 thì d(x0, x) ≥ d(x0, x1)

x /∈ D thì d(x0, x) > M ≥ d(x0, x1)

Vậy d(x0, x1) = min{d(x0, x), x ∈ D}

Không gian ℝn

Ví dụ 6

6. Cho f : ℝn → ℝ liên tục và thỏa mãn: lim∣∣x ∣∣→∞

f (x) = 0. Chứng

minh: f liên tục đều.Hướng dẫn: Với " > 0, do lim

∣∣x ∣∣→∞f (x) = 0, có M > 0 sao cho khi

∣∣x ∣∣ > ℝ thì: ∣f (x)∣ < "

3Khi đó: với x , y ∈ ℝn, ∣∣x ∣∣ > M, ∣∣y ∣∣ > M thì

∣f (x)− f (y)∣ < 2"

Không gian ℝn

Ví dụ 6

f (x) = 0. Chứng

minh: f liên tục đều.

Hướng dẫn: Với " > 0, do lim∣∣x ∣∣→∞

f (x) = 0, có M > 0 sao cho khi

∣∣x ∣∣ > ℝ thì: ∣f (x)∣ < "

∣f (x)− f (y)∣ < 2"

Không gian ℝn

Ví dụ 6

f (x) = 0. Chứng

∣∣x ∣∣ > ℝ thì: ∣f (x)∣ < "

Khi đó: với x , y ∈ ℝn, ∣∣x ∣∣ > M, ∣∣y ∣∣ > M thì

∣f (x)− f (y)∣ < 2"

Không gian ℝn

Ví dụ 6

f (x) = 0. Chứng

∣∣x ∣∣ > ℝ thì: ∣f (x)∣ < "

∣f (x)− f (y)∣ < 2"

Không gian ℝn

Ví dụ 6

Do f liên tục đều trên tập đóng, bị chặn B ′(0,M + 1) nên có� > 0 sao cho khi x , y ∈ B ′(0,M + 1), d(x , y) < � thì∣f (x)− f (y)∣ < " Vậy f liên tục đều trên ℝn.

Không gian ℝn

Ví dụ 6

Do f liên tục đều trên tập đóng, bị chặn B ′(0,M + 1) nên có� > 0 sao cho khi x , y ∈ B ′(0,M + 1), d(x , y) < � thì∣f (x)− f (y)∣ < " Vậy f liên tục đều trên ℝn.

Không gian ℝn

Ví dụ 7

7. Cho

f (x , y) =

{(x2 + y2)x2+y2

, x2 + y2 > 0a , x = y = 0

g(x , y) =

{(x2 + y2)ex2−y2

, x2 + y2 > 0b , x = y = 0

Định a, b để f , g liên tục tại (0, 0).Hướng dẫn:Đặt t = x2 + y2, ta có: lim

x ,y→0(x2 + y2)x2+y2

= limt→0

tt = 1

(do limt→0

ln tt = limt→0

t ln t = 0)

Không gian ℝn

Ví dụ 7

7. Cho

f (x , y) =

{(x2 + y2)x2+y2

, x2 + y2 > 0a , x = y = 0

g(x , y) =

{(x2 + y2)ex2−y2

, x2 + y2 > 0b , x = y = 0

Định a, b để f , g liên tục tại (0, 0).

Hướng dẫn:Đặt t = x2 + y2, ta có: lim

x ,y→0(x2 + y2)x2+y2

= limt→0

tt = 1

(do limt→0

ln tt = limt→0

t ln t = 0)

Không gian ℝn

Ví dụ 7

7. Cho

f (x , y) =

{(x2 + y2)x2+y2

, x2 + y2 > 0a , x = y = 0

g(x , y) =

{(x2 + y2)ex2−y2

, x2 + y2 > 0b , x = y = 0

Định a, b để f , g liên tục tại (0, 0).Hướng dẫn:Đặt t = x2 + y2, ta có: lim

x ,y→0(x2 + y2)x2+y2

= limt→0

tt = 1

(do limt→0

ln tt = limt→0

t ln t = 0)

Không gian ℝn

Ví dụ 7

Vậy: f liên tục tại (0, 0)⇔ a = 1Do x , y → 0, có thể giả sử x2 + y2 < 1. Khi đó:

(x2 + y2)x2+y2 ≤ (x2 + y2)x2−y2 ≤ (x2 + y2)−(x2+y2)

Suy ra: limx ,y→0

(x2 + y2)x2−y2= 1

Vậy g liên tục tại (0, 0)⇔ b = 1

Không gian ℝn

Ví dụ 7

Vậy: f liên tục tại (0, 0)⇔ a = 1

Do x , y → 0, có thể giả sử x2 + y2 < 1. Khi đó:

(x2 + y2)x2+y2 ≤ (x2 + y2)x2−y2 ≤ (x2 + y2)−(x2+y2)

Suy ra: limx ,y→0

(x2 + y2)x2−y2= 1

Không gian ℝn

Ví dụ 7

(x2 + y2)x2+y2 ≤ (x2 + y2)x2−y2 ≤ (x2 + y2)−(x2+y2)

Suy ra: limx ,y→0

(x2 + y2)x2−y2= 1

Không gian ℝn

Ví dụ 7

(x2 + y2)x2+y2 ≤ (x2 + y2)x2−y2 ≤ (x2 + y2)−(x2+y2)

Suy ra: limx ,y→0

(x2 + y2)x2−y2= 1

Không gian ℝn

Bài tập

1. Khảo sát các giới hạn sau:

a) limx ,y→0

y(x2 + y2)

y2 + (x2 + y2)2

b) limx→0y→1

(1 + xy)

x2 + xy

Không gian ℝn

Bài tập

1. Khảo sát các giới hạn sau:

a) limx ,y→0

y(x2 + y2)

y2 + (x2 + y2)2

b) limx→0y→1

(1 + xy)

x2 + xy

Không gian ℝn

Bài tập

2. Định a để các hàm số sau lên tục:

a) f (x , y) =

⎧⎨⎩ cosx3 − y3

x2 + y2, x2 + y2 > 0

a , x = y = 0

b) g(x , y) =

⎧⎨⎩ x cos1

x2 + y2, x2 + y2 > 0

a , x = y = 0

Không gian ℝn

Bài tập

2. Định a để các hàm số sau lên tục:

a) f (x , y) =

⎧⎨⎩ cosx3 − y3

x2 + y2, x2 + y2 > 0

a , x = y = 0

b) g(x , y) =

⎧⎨⎩ x cos1

x2 + y2, x2 + y2 > 0

a , x = y = 0

Không gian ℝn

Bài tập

3. Chứng minh hàm số sau liên tục đều trên ℝ2:

f (x , y) =

⎧⎨⎩ (x + y) sin1

x2 + y2, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

HD: limx2+y2→∞

f (x , y) = 0

Không gian ℝn

Bài tập

f (x , y) =

⎧⎨⎩ (x + y) sin1

x2 + y2, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

HD: limx2+y2→∞

f (x , y) = 0

Không gian ℝn

Bài tập

f (x , y) =

⎧⎨⎩ (x + y) sin1

x2 + y2, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

HD: limx2+y2→∞

f (x , y) = 0

Không gian ℝn

Bài tập

4. Chứng minh hàm số sau không liên tục đều trên ℝ2:

f (x , y) =

⎧⎨⎩ (x2 + y2) cos1

x2 + y2, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

HD: Hàm f (x , y) tương đương với hàm g(x , y) = x2 + y2 khix2 + y2 → +∞

Không gian ℝn

Bài tập

f (x , y) =

⎧⎨⎩ (x2 + y2) cos1

x2 + y2, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

Không gian ℝn

Bài tập

f (x , y) =

⎧⎨⎩ (x2 + y2) cos1

x2 + y2, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

Đạo hàm riêngSự khả viHàm ẩn

Nội dung

Định nghĩa

Đạo hàm riêngCho D là tập mở trong ℝn, f : D → ℝ.Đặt ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (thành phần thứ i bằng 1).

Với x ∈ D, đạo hàm riêng của f tại x theo biến xi , ký hiệu∂f

∂xi(x),

định bởi:

∂xi(x) = lim

(x + tei )− f (x)

t(nếu giới hạn tồn tại, hữu hạn)

Định nghĩa

∂xi(x),

định bởi:

∂xi(x) = lim

(x + tei )− f (x)

Định nghĩa

∂xi(x),

định bởi:

∂xi(x) = lim

(x + tei )− f (x)

Nội dung

Sự khả vi

Cho D là tập mở trong ℝn, f : D → ℝ và x ∈ D. Giả sử tồn tại

các đạo hàm riêng∂f

∂xi(x), i = 1, . . . , n.

Ta nói f khả vi tại x nếu với h = (h1, h2, . . . , hn) ∈ ℝn sao chox + h ∈ D thì:

f (x + h)− f (x) =n∑

∂xi(x)hi + ∣∣h∣∣'(h)

trong đó ' xác định trong lân cận của Oℝn thỏa: limh→Oℝn

'(h) = 0

Sự khả vi

∂xi(x), i = 1, . . . , n.

f (x + h)− f (x) =n∑

∂xi(x)hi + ∣∣h∣∣'(h)

'(h) = 0

Sự khả vi

∂xi(x), i = 1, . . . , n.

f (x + h)− f (x) =n∑

∂xi(x)hi + ∣∣h∣∣'(h)

'(h) = 0

Sự khả vi

∂xi(x), i = 1, . . . , n.

f (x + h)− f (x) =n∑

∂xi(x)hi + ∣∣h∣∣'(h)

'(h) = 0

Sự khả vi

Vi phânVi phân của f tại x , ký hiệu là df (x), định bởi:

df (x) =n∑

∂xi(x)hi =

n∑i=1

∂xi(x)dxi thay hi bằng dxi

Mệnh đề:

i) Nếu f khả vi tại x thì f liên tục tại x .

ii) Nếu các đạo hàm riêng∂f

∂xi, i = 1, 2, . . . , n liên tục tại x thì f

khả vi tại x

Sự khả vi

Vi phân

Vi phân của f tại x , ký hiệu là df (x), định bởi:

df (x) =n∑

∂xi(x)hi =

n∑i=1

Mệnh đề:

khả vi tại x

Sự khả vi

df (x) =n∑

∂xi(x)hi =

n∑i=1

Mệnh đề:

khả vi tại x

Sự khả vi

df (x) =n∑

∂xi(x)hi =

n∑i=1

Mệnh đề:

khả vi tại x

Sự khả vi

df (x) =n∑

∂xi(x)hi =

n∑i=1

Mệnh đề:

khả vi tại x

Sự khả vi

df (x) =n∑

∂xi(x)hi =

n∑i=1

Mệnh đề:

khả vi tại x

Sự khả vi

df (x) =n∑

∂xi(x)hi =

n∑i=1

Mệnh đề:

khả vi tại x

Ghi chú

Ghi chú: Hàm

f (x , y) =

x2 + y2, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

có∂f

∂x(0, 0) =

∂y(0, 0) = 0 nhưng f không liên tục tại (0, 0) (do

không tồn tại limx ,y→0

f (x , y)).

Ghi chú

Ghi chú: Hàm

f (x , y) =

x2 + y2, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

có∂f

∂x(0, 0) =

∂y(0, 0) = 0 nhưng f không liên tục tại (0, 0) (do

không tồn tại limx ,y→0

f (x , y)).

Ví du 1

Ví dụ 1:

f (x , y) = esin(

⇒ ∂f

∂x(x , y) =

y⋅ e

∂y(x , y) = − x

y⋅ e

Ví du 1

Ví dụ 1:

f (x , y) = esin(

⇒ ∂f

∂x(x , y) =

y⋅ e

∂y(x , y) = − x

y⋅ e

Ví dụ 1

f (x , y , z) = (y

x)z = e

∂x(x , y , z) = − z

∂z= ln

Ví dụ 1

f (x , y , z) = (y

x)z = e

∂x(x , y , z) = − z

∂z= ln

Ví dụ 1

f (x , y) =

∫ x2 + y2

sin xet2dt

∂x(x , y) = 2xe(x2 + y2)2 − cos xesin

∂y(x , y) = 2ye(x2 + y2)2

Ví dụ 1

f (x , y) =

∫ x2 + y2

sin xet2dt

∂x(x , y) = 2xe(x2 + y2)2 − cos xesin

∂y(x , y) = 2ye(x2 + y2)2

Ví dụ 2

Ví dụ 2:a) Xét sự khả vi của các hàm sau tại (0, 0)

f (x , y) =

⎧⎨⎩ x +xy2√

x2 + y2, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

Ví dụ 2

Ví dụ 2:a) Xét sự khả vi của các hàm sau tại (0, 0)

f (x , y) =

⎧⎨⎩ x +xy2√

x2 + y2, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

Ví dụ 2 a)

Ta có:∂f

∂x(0, 0) = lim

f (t, 0)− f (0, 0)

∂y(0, 0) = lim

f (0, t)− f (0, 0)

Với h = (s, t),

'(s, t) =1√

s2 + t2

[f (s, t)− f (0, 0)− ∂f

∂x(0, 0)s − ∂f

∂y(0, 0)t

]'(s, t) =

s2 + t2. Suy ra: lim

s,t→0'(s, t) = 0

Vậy f khả vi tại (0, 0)

Ví dụ 2 a)

Ta có:∂f

∂x(0, 0) = lim

f (t, 0)− f (0, 0)

∂y(0, 0) = lim

f (0, t)− f (0, 0)

Với h = (s, t),

'(s, t) =1√

s2 + t2

[f (s, t)− f (0, 0)− ∂f

∂x(0, 0)s − ∂f

∂y(0, 0)t

]'(s, t) =

s2 + t2. Suy ra: lim

s,t→0'(s, t) = 0

Ví dụ 2

b) f (x , y) = 3√

x3 + y3

∂x(0, 0) = lim

f (t, 0)− f (0, 0)

∂y(0, 0) = lim

f (0, t)− f (0, 0)

Với h = (s, t),

'(s, t) =1√

s2 + t2

[f (s, t)− f (0, 0)− ∂f

∂x(0, 0)s − ∂f

∂y(0, 0)t

]'(s, t) =

1√s2 + t2

s3 + t3 − s − t]

Ví dụ 2

b) f (x , y) = 3√

x3 + y3

∂x(0, 0) = lim

f (t, 0)− f (0, 0)

∂y(0, 0) = lim

f (0, t)− f (0, 0)

Với h = (s, t),

'(s, t) =1√

s2 + t2

[f (s, t)− f (0, 0)− ∂f

∂x(0, 0)s − ∂f

∂y(0, 0)t

]'(s, t) =

1√s2 + t2

s3 + t3 − s − t]

Ví dụ 2 b)

Chọn s = t > 0, '(s, s) =1

3√2− 2s

3√2− 2

)Suy ra: không có lim

s,t→0'(s, t) = 0

Vậy f không khả vi tại (0, 0)

Ví dụ 2 b)

Chọn s = t > 0, '(s, s) =1

3√2− 2s

3√2− 2

)Suy ra: không có lim

s,t→0'(s, t) = 0

Vậy f không khả vi tại (0, 0)

Ví dụ 3

Ví dụ 3: Cho

f (x , y) =

⎧⎨⎩ x2 sin1

x2 + y2, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

Xét sự khả vi của f tại mọi (x , y) ∈ ℝ2. Xét sự liên tục của∂f

∂x,∂f

∂ytại (0, 0).

+ Tại (x , y) ∕= (0, 0):

Ví dụ 3

Ví dụ 3: Cho

f (x , y) =

⎧⎨⎩ x2 sin1

x2 + y2, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

Xét sự khả vi của f tại mọi (x , y) ∈ ℝ2. Xét sự liên tục của∂f

∂x,∂f

∂ytại (0, 0).

+ Tại (x , y) ∕= (0, 0):

Ví dụ 3

∂x(x , y) = 2x sin

x2 + y2− 2x3

(x2 + y2)2cos

x2 + y2

∂y(x , y) = − 2x2y

(x2 + y2)2cos

x2 + y2

Do∂f

∂x,∂f

∂yliên tục tại mọi (x , y) ∕= (0, 0) nên f khả vi tại mọi

(x , y) ∕= (0, 0).+ Tại (0, 0):

Ví dụ 3

∂x(x , y) = 2x sin

x2 + y2− 2x3

(x2 + y2)2cos

x2 + y2

∂y(x , y) = − 2x2y

(x2 + y2)2cos

x2 + y2

Do∂f

∂x,∂f

∂yliên tục tại mọi (x , y) ∕= (0, 0) nên f khả vi tại mọi

(x , y) ∕= (0, 0).+ Tại (0, 0):

Ví dụ 3

∂x(0, 0) = lim

f (t, 0)− f (0, 0)

∂y(0, 0) = lim

f (0, t)− f (0, 0)

Với h = (s, t), '(s, t) =s2√

s2 + t2sin

s2 + t2

Suy ra: lims,t→0

'(s, t) = 0

Ví dụ 3

∂x(0, 0) = lim

f (t, 0)− f (0, 0)

∂y(0, 0) = lim

f (0, t)− f (0, 0)

Với h = (s, t), '(s, t) =s2√

s2 + t2sin

s2 + t2

Suy ra: lims,t→0

'(s, t) = 0

Ví dụ 3

Chọn:

(xk , yk) = (0,1

k)→ (0, 0),

∂x(0,

k) = 0,

∂y(0,

k) = 0

(x ′k , y′k) = (

k�)→ (0, 0),

∂x(x ′k , y

′k) =

∂y(x ′k , y

′k) = −16

√k�

Suy ra không tồn tại limx ,y→0

∂x(x , y), lim

x ,y→0

∂y(x , y)

Ví dụ 3

Chọn:

(xk , yk) = (0,1

k)→ (0, 0),

∂x(0,

k) = 0,

∂y(0,

k) = 0

(x ′k , y′k) = (

k�)→ (0, 0),

∂x(x ′k , y

′k) =

∂y(x ′k , y

′k) = −16

√k�

Suy ra không tồn tại limx ,y→0

∂x(x , y), lim

x ,y→0

∂y(x , y)

Ví dụ 3

Vậy∂f

∂x,∂f

∂ykhông liên tục tại (0, 0)

Ví dụ 3

Vậy∂f

∂x,∂f

∂ykhông liên tục tại (0, 0)

Bài tập

1) Cho

f (x , y) =sin xy

x, x ∕= 0

Định giá trị của f tại (0, y) để f liên tục. Khi đó tính∂f

∂x(0, 0),

∂y(0, 0)

Bài tập

1) Cho

f (x , y) =sin xy

x, x ∕= 0

Định giá trị của f tại (0, y) để f liên tục. Khi đó tính∂f

∂x(0, 0),

∂y(0, 0)

Bài tập

2) Cho

f (x , y) =

⎧⎨⎩x2 − 2y2

x − y, x ∕= y

0 , x = y

a) Xét tính liên tục của f tại (0, 0) và (1, 1)

b) Tính∂f

∂x(0, 0),

∂y(0, 0)

Bài tập

2) Cho

f (x , y) =

⎧⎨⎩x2 − 2y2

x − y, x ∕= y

0 , x = y

a) Xét tính liên tục của f tại (0, 0) và (1, 1)

b) Tính∂f

∂x(0, 0),

∂y(0, 0)

Bài tập

3) Cho

f (x , y) =

⎧⎨⎩x sin y√x2 + y2

, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

Xét sự khả vi của f tại (0, 0).

Bài tập

3) Cho

f (x , y) =

⎧⎨⎩x sin y√x2 + y2

, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

Xét sự khả vi của f tại (0, 0).

Bài tập

4) Cho

f (x , y) =

⎧⎨⎩1

x2 + y2e− 1√

x2+y2 , x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

Tính∂f

∂x(x , y),

∂y(x , y) và xét tính liên tục của chúng tại mọi

(x , y), đặc biệt tại (0, 0)

HD: Dùng limt→∞

Bài tập

4) Cho

f (x , y) =

⎧⎨⎩1

x2 + y2e− 1√

x2+y2 , x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

Tính∂f

∂x(x , y),

Bài tập

4) Cho

f (x , y) =

⎧⎨⎩1

x2 + y2e− 1√

x2+y2 , x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

Tính∂f

∂x(x , y),

Bài tập

5) Chứng tỏ các hàm sau có đạo hàm riêng∂f

∂x,∂f

∂ykhông liên tục

tại (0, 0) nhưng f khả vi tại (0, 0):

a) f (x , y) =

⎧⎨⎩ (x2 + y2) sin1√

x2 + y2, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

b) f (x , y) =

⎧⎨⎩ ln(1 + x2 + y2) sin1√

x2 + y2, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

Bài tập

5) Chứng tỏ các hàm sau có đạo hàm riêng∂f

∂x,∂f

∂ykhông liên tục

tại (0, 0) nhưng f khả vi tại (0, 0):

a) f (x , y) =

⎧⎨⎩ (x2 + y2) sin1√

x2 + y2, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

b) f (x , y) =

⎧⎨⎩ ln(1 + x2 + y2) sin1√

x2 + y2, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

Bài tập

6) Cho

f (x , y) =

⎧⎨⎩ x2 sin1

(x2 + y2)1/3, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

Chứng minh các đạo hàm riêng∂f

∂x,∂f

∂yliên tục tại mọi

(x , y) đặc biệt tại (0, 0)

Bài tập

6) Cho

f (x , y) =

⎧⎨⎩ x2 sin1

(x2 + y2)1/3, x2 + y2 > 0

0 , x = y = 0

Chứng minh các đạo hàm riêng∂f

∂x,∂f

∂yliên tục tại mọi

(x , y) đặc biệt tại (0, 0)

Hướng dẫn

HD:∂f

∂x(x , y) = 2x sin

(x2 + y2)13

(x2 + y2)43

(x2 + y2)13

∂y(x , y) = −2

(x2 + y2)43

(x2 + y2)13

0 ≤ ∣x ∣3

(x2 + y2)43

≤ ∣x ∣(x2 + y2)

≤ ∣x ∣13

0 ≤ x2∣y ∣(x2 + y2)

≤ ∣y ∣(x2 + y2)

≤ ∣y ∣13

Hướng dẫn

HD:∂f

∂x(x , y) = 2x sin

(x2 + y2)13

(x2 + y2)43

(x2 + y2)13

∂y(x , y) = −2

(x2 + y2)43

(x2 + y2)13

0 ≤ ∣x ∣3

(x2 + y2)43

≤ ∣x ∣(x2 + y2)

≤ ∣x ∣13

0 ≤ x2∣y ∣(x2 + y2)

≤ ∣y ∣(x2 + y2)

≤ ∣y ∣13

Nội dung

Hàm ẩn

Định nghĩa

Cho A ⊂ ℝn,B ⊂ ℝp, mỗi phần tử của A× B ghi là (x , y) vớix ∈ A, y ∈ B . Cho f : A× B → ℝp. Mỗi(x , y) ∈ A× B , f (x , y) ∈ ℝp ghi là:

f (x , y) = (f1(x , y), f2(x , y), . . . , fp(x , y))

Các hàm f1, f2, . . . , fp : A× B → ℝ được gọi là hàm thành phầncủa f .Mỗi hàm thành phần là một hàm số thực theo n + p biến số thực(x , y) = (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yp)

Hàm ẩn

Định nghĩa

f (x , y) = (f1(x , y), f2(x , y), . . . , fp(x , y))

Hàm ẩn

Định nghĩa

f (x , y) = (f1(x , y), f2(x , y), . . . , fp(x , y))

Các hàm f1, f2, . . . , fp : A× B → ℝ được gọi là hàm thành phầncủa f .

Mỗi hàm thành phần là một hàm số thực theo n + p biến số thực(x , y) = (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yp)

Hàm ẩn

Định nghĩa

f (x , y) = (f1(x , y), f2(x , y), . . . , fp(x , y))

Phương trình vectơ

Định nghĩaPhương trình

f (x , y) = Oℝp (1)

tương đương với hệ thống gồm p phương trình:⎧⎨⎩f1(x , y) = 0f2(x , y) = 0..................fp(x , y) = 0

Định nghĩa

Phương trình

f (x , y) = Oℝp (1)

Định nghĩaPhương trình

f (x , y) = Oℝp (1)

Ánh xạ ẩn

Khi nào từ phương trình vectơ (1) có thể giải được y = '(x) ?

Ánh xạ ' xác định trong tập con của ℝn có giá trị trong ℝp, nếucó, được gọi là ánh xạ ẩn suy ra từ phương trình vectơ (1).

Ánh xạ ẩn

Hàm ẩnĐiều này tương đương với bài toán: khi nào từ hệ phương trình (2)có thể giải được y1, y2, . . . , yp là các hàm theo các biếnx1, x2, . . . , xn: ⎧⎨⎩

y1 = '1(x1, x2, . . . , xn)y2 = '2(x1, x2, . . . , xn)...................................yp = 'p(x1, x2, . . . , xn)

Các hàm '1, '2, . . . , 'p, nếu có, được gọi là hàm ẩn suy ra từ hệphương trình (2)

Hàm ẩnĐiều này tương đương với bài toán: khi nào từ hệ phương trình (2)có thể giải được y1, y2, . . . , yp là các hàm theo các biếnx1, x2, . . . , xn: ⎧⎨⎩

y1 = '1(x1, x2, . . . , xn)y2 = '2(x1, x2, . . . , xn)...................................yp = 'p(x1, x2, . . . , xn)

Các hàm '1, '2, . . . , 'p, nếu có, được gọi là hàm ẩn suy ra từ hệphương trình (2)

Định lý hàm ẩn i)

Sau đây là định lí hàm ẩn cho trường hợp đặc biệti) Phương trình f (x , y) = 0:

Cho f có đạo hàm riêng∂f

∂x,∂f

∂yliên tục trong lân cận của (x0, y0).

Giả sử: f (x0, y0) = 0 và∂f

∂y(x0, y0) ∕= 0

Khi đó, có khoảng mở I chứa x0, hàm y : I → ℝ khả vi liên tụcthỏa mãn:

y(x0) = y0, f (x , y(x)) = 0, ∀x ∈ I

Định lý hàm ẩn i)

Sau đây là định lí hàm ẩn cho trường hợp đặc biệti) Phương trình f (x , y) = 0:

Cho f có đạo hàm riêng∂f

∂x,∂f

∂yliên tục trong lân cận của (x0, y0).

Giả sử: f (x0, y0) = 0 và∂f

∂y(x0, y0) ∕= 0

Khi đó, có khoảng mở I chứa x0, hàm y : I → ℝ khả vi liên tụcthỏa mãn:

y(x0) = y0, f (x , y(x)) = 0, ∀x ∈ I

Định lý hàm ẩn ii)

ii) Phương trình f (x , y , z) = 0:Cho f có đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của (x0, y0, z0)

Giả sử f (x0, y0, z0) = 0 và∂f

∂z(x0, y0, z0) ∕= 0

Khi đó có tập mở D ⊂ ℝ2, (x0, y0) ∈ D, hàm z : D → ℝ có đạohàm riêng liên tục thỏa mãn:

z(x0, y0) = z0 , f (x , y , z(x , y)) = 0 , ∀(x , y) ∈ D

ii) Phương trình f (x , y , z) = 0:Cho f có đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của (x0, y0, z0)

Giả sử f (x0, y0, z0) = 0 và∂f

∂z(x0, y0, z0) ∕= 0

Khi đó có tập mở D ⊂ ℝ2, (x0, y0) ∈ D, hàm z : D → ℝ có đạohàm riêng liên tục thỏa mãn:

z(x0, y0) = z0 , f (x , y , z(x , y)) = 0 , ∀(x , y) ∈ D

∂x(x , y) = −

∂x(x , y , z(x , y))

∂z(x , y , z(x , y))

∂y(x , y) = −

∂y(x , y , z(x , y))

∂z(x , y , z(x , y))

, ∀(x , y) ∈ D

∂x(x , y) = −

∂x(x , y , z(x , y))

∂z(x , y , z(x , y))

∂y(x , y) = −

∂y(x , y , z(x , y))

∂z(x , y , z(x , y))

, ∀(x , y) ∈ D

Định lý hàm ẩn iii)

iii) Hệ phương trình: {f (x , y , z) = 0g(x , y , z) = 0

Cho f , g có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận củaM0(x0, y0, z0). Giả sử:

{f (x0, y0, z0) = 0g(x0, y0, z0) = 0

∣∣∣∣∣∣∣∂f

∂x(M0)

∂y(M0)

∂x(M0)

∂y(M0)

∣∣∣∣∣∣∣ ∕= 0

iii) Hệ phương trình: {f (x , y , z) = 0g(x , y , z) = 0

Cho f , g có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận củaM0(x0, y0, z0). Giả sử:

{f (x0, y0, z0) = 0g(x0, y0, z0) = 0

∣∣∣∣∣∣∣∂f

∂x(M0)

∂y(M0)

∂x(M0)

∂y(M0)

∣∣∣∣∣∣∣ ∕= 0

Khi đó có khoảng mở I chứa z0 và các hàm x , y : I → ℝ khả viliên tục thỏa mãn:

x(z0) = x0, , y(z0) = y0,{f (x(z), y(z), z) = 0g(x(z), y(z), z) = 0

, với ∀z ∈ I

Khi đó có khoảng mở I chứa z0 và các hàm x , y : I → ℝ khả viliên tục thỏa mãn:

x(z0) = x0, , y(z0) = y0,{f (x(z), y(z), z) = 0g(x(z), y(z), z) = 0

, với ∀z ∈ I

và đạo hàmdx

dzđược tính từ hệ phương trình tuyến tính:⎧⎨⎩

∂x⋅ dx

dz+∂f

∂y⋅ dy

dz+∂f

∂z= 0

∂x⋅ dx

dz+∂g

∂y⋅ dy

dz+∂g

∂z= 0

và đạo hàmdx

dzđược tính từ hệ phương trình tuyến tính:⎧⎨⎩

∂x⋅ dx

dz+∂f

∂y⋅ dy

dz+∂f

∂z= 0

∂x⋅ dx

dz+∂g

∂y⋅ dy

dz+∂g

∂z= 0

Định lý hàm ẩn iv)

iv)Hệ phương trình: {f (x , y , u, v) = 0g(x , y , u, v) = 0

Cho f , g có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận củaM0(x0, y0, u0, v0). Giả sử:

{f (x0, y0, u0, v0) = 0g(x0, y0, u0, v0) = 0

∣∣∣∣∣∣∣∂f

∂u(M0)

∂v(M0)

∂u(M0)

∂v(M0)

∣∣∣∣∣∣∣ ∕= 0

iv)Hệ phương trình: {f (x , y , u, v) = 0g(x , y , u, v) = 0

Cho f , g có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận củaM0(x0, y0, u0, v0). Giả sử:

{f (x0, y0, u0, v0) = 0g(x0, y0, u0, v0) = 0

∣∣∣∣∣∣∣∂f

∂u(M0)

∂v(M0)

∂u(M0)

∂v(M0)

∣∣∣∣∣∣∣ ∕= 0

Khi đó có một lân cận mở D của (x0, y0) và hai hàm u, v : D → ℝcó đạo hàm riêng liên tục theo x , y thỏa mãn:

u(x0, y0) = u0, , v(x0, y0) = v0,{f (x , y , u(x , y), v(x , y)) = 0g(x , y , u(x , y), v(x , y)) = 0

, với ∀(x , y) ∈ D

Khi đó có một lân cận mở D của (x0, y0) và hai hàm u, v : D → ℝcó đạo hàm riêng liên tục theo x , y thỏa mãn:

u(x0, y0) = u0, , v(x0, y0) = v0,{f (x , y , u(x , y), v(x , y)) = 0g(x , y , u(x , y), v(x , y)) = 0

, với ∀(x , y) ∈ D

Các đạo hàm riêng∂u

∂x,∂u

∂y,∂v

∂x,∂v

∂ycho bởi hệ 4 phương trình:

⎧⎨⎩

∂u⋅ ∂u

∂x+∂f

∂v⋅ ∂v

∂x+∂f

∂x= 0

∂u⋅ ∂u

∂x+∂g

∂v⋅ ∂v

∂x+∂g

∂x= 0

∂u⋅ ∂u

∂y+∂f

∂v⋅ ∂v

∂y+∂f

∂y= 0

∂u⋅ ∂u

∂y+∂g

∂v⋅ ∂v

∂y+∂g

∂y= 0

Các đạo hàm riêng∂u

∂x,∂u

∂y,∂v

∂x,∂v

∂ycho bởi hệ 4 phương trình:

⎧⎨⎩

∂u⋅ ∂u

∂x+∂f

∂v⋅ ∂v

∂x+∂f

∂x= 0

∂u⋅ ∂u

∂x+∂g

∂v⋅ ∂v

∂x+∂g

∂x= 0

∂u⋅ ∂u

∂y+∂f

∂v⋅ ∂v

∂y+∂f

∂y= 0

∂u⋅ ∂u

∂y+∂g

∂v⋅ ∂v

∂y+∂g

∂y= 0

Ví dụ 1

Ví dụ 1: Cho z = z(x , y) xác định từ hệ phương trình⎧⎨⎩x = u + vy = u2 + v2

z = u3 + v3u ∕= v

Tính∂z

∂x,∂z

Ví dụ 1

Ví dụ 1: Cho z = z(x , y) xác định từ hệ phương trình⎧⎨⎩x = u + vy = u2 + v2

z = u3 + v3u ∕= v

Tính∂z

∂x,∂z

Ví dụ 1

Hướng dẫn:Ta xem u = u(x , y), v = v(x , y), z = z(x , y) là hàm ẩn.Từ ba phương trình trên, đạo hàm theo x , y :⎧⎨⎩

1 =∂u

∂x+∂v

0 = u∂u

∂x+ v

⇒ ∂u

v − u,

∂x=−u

v − u

Ví dụ 1

Hướng dẫn:Ta xem u = u(x , y), v = v(x , y), z = z(x , y) là hàm ẩn.Từ ba phương trình trên, đạo hàm theo x , y :⎧⎨⎩

1 =∂u

∂x+∂v

0 = u∂u

∂x+ v

⇒ ∂u

v − u,

∂x=−u

v − u

Ví dụ 1

⎧⎨⎩0 =

∂y+∂v

1 = 2u∂u

∂y+ 2v

⇒ ∂u

−12(v − u)

2(v − u)

Ví dụ 1

⎧⎨⎩0 =

∂y+∂v

1 = 2u∂u

∂y+ 2v

⇒ ∂u

−12(v − u)

2(v − u)

Ví dụ 1

⎧⎨⎩∂z

∂x= 3u2

∂x+ 3v2∂v

∂y= 3u2

∂y+ 3v2∂v

∂x= −uv

2(u + v)

Ví dụ 1

⎧⎨⎩∂z

∂x= 3u2

∂x+ 3v2∂v

∂y= 3u2

∂y+ 3v2∂v

∂x= −uv

2(u + v)

Ví dụ 2

Ví dụ 2: Cho u = u(x , y), v = v(x , y) là hàm ẩn suy ra từ hệphương trình: {

euv + u + v = x + 1uv + u2 + v = x + y

với giả thiết u(0, 0) = 0, v(0, 0) = 0

Tính∂u

∂x(0, 0),

∂y(0, 0),

∂x(0, 0),

∂y(0, 0)

Ví dụ 2

Ví dụ 2: Cho u = u(x , y), v = v(x , y) là hàm ẩn suy ra từ hệphương trình: {

euv + u + v = x + 1uv + u2 + v = x + y

với giả thiết u(0, 0) = 0, v(0, 0) = 0

Tính∂u

∂x(0, 0),

∂y(0, 0),

∂x(0, 0),

∂y(0, 0)

Ví dụ 2

Hướng dẫn:Xem u = u(x , y), v = v(x , y) là hàm ẩn, từ hai phương trình đạohàm theo x , y :⎧⎨⎩

(u∂u

∂x+ v

∂x)euv +

∂x+∂v

∂x= 1

∂x+ v

∂x+ 2u

∂x+∂v

∂x= 1

Ví dụ 2

Hướng dẫn:Xem u = u(x , y), v = v(x , y) là hàm ẩn, từ hai phương trình đạohàm theo x , y :⎧⎨⎩

(u∂u

∂x+ v

∂x)euv +

∂x+∂v

∂x= 1

∂x+ v

∂x+ 2u

∂x+∂v

∂x= 1

Ví dụ 2

⎧⎨⎩(u∂u

∂y+ v

∂y)euv +

∂y+∂v

∂y= 0

∂y+ v

∂y+ 2u

∂y+∂v

∂y= 1

Ví dụ 2

⎧⎨⎩(u∂u

∂y+ v

∂y)euv +

∂y+∂v

∂y= 0

∂y+ v

∂y+ 2u

∂y+∂v

∂y= 1

Ví dụ 2

Thay u(0, 0) = 0, v(0, 0) = 0, ta được:⎧⎨⎩∂u

∂x(0, 0) +

∂x(0, 0) = 1

⇒ ∂u

∂x(0, 0) = 0

Ví dụ 2

Thay u(0, 0) = 0, v(0, 0) = 0, ta được:⎧⎨⎩∂u

∂x(0, 0) +

∂x(0, 0) = 1

⇒ ∂u

∂x(0, 0) = 0

Ví dụ 2

⎧⎨⎩∂u

∂y(0, 0) +

∂y(0, 0) = 0

∂y(0, 0) = 1

⇒ ∂u

∂y(0, 0) = −1

Ví dụ 2

⎧⎨⎩∂u

∂y(0, 0) +

∂y(0, 0) = 0

∂y(0, 0) = 1

⇒ ∂u

∂y(0, 0) = −1

Bài tập

Bài 1: Cho z = z(x , y) là hàm ẩn suy ra từ các phương trình sau,

tính∂z

∂x,∂z

a) z ln(x + z)− xy

b) xz − ez/y + x3 + y3 = 0

Bài tập

Bài 1: Cho z = z(x , y) là hàm ẩn suy ra từ các phương trình sau,

tính∂z

∂x,∂z

a) z ln(x + z)− xy

b) xz − ez/y + x3 + y3 = 0

Bài tập

Bài tập 2: Cho x = x(z), y = y(z) là hàm ẩn suy từ hệ:⎧⎨⎩ x2 + y2 − z2

x + y + z = 2

Tính x ′(2), y ′(2)

Bài tập

Bài tập 2: Cho x = x(z), y = y(z) là hàm ẩn suy từ hệ:⎧⎨⎩ x2 + y2 − z2

x + y + z = 2

Tính x ′(2), y ′(2)

Bài tập

Bài tập 3: Cho u = u(x , y), v = v(x , y), z = z(x , y) là hàm ẩn suyra từ: ⎧⎨⎩

x = u + ln vy = v − ln uz = 2u + v

Tính∂z

∂x,∂z

∂ytại điểm u = 1, v = 1.

Bài tập

Bài tập 3: Cho u = u(x , y), v = v(x , y), z = z(x , y) là hàm ẩn suyra từ: ⎧⎨⎩

x = u + ln vy = v − ln uz = 2u + v

Tính∂z

∂x,∂z

∂ytại điểm u = 1, v = 1.

Bài tập

Bài tập 4: Cho u = u(x , y), v = v(x , y) là hàm ẩn suy từ:{xeu+v + 2uv − 1 = 0

yeu−v − u

1 + v− 2x = 0

Tính∂u

∂x(1, 2),

∂y(1, 2),

∂x(1, 2),

∂y(1, 2), biết

u(1, 2) = 0, v(1, 2) = 0HD: Sau khi đạo hàm riêng hai phương trình theo x , y thay điềukiện u(1, 2) = 0, v(1, 2) = 0.

Bài tập

yeu−v − u

1 + v− 2x = 0

Tính∂u

∂x(1, 2),

∂y(1, 2),

∂x(1, 2),

∂y(1, 2), biết

u(1, 2) = 0, v(1, 2) = 0

HD: Sau khi đạo hàm riêng hai phương trình theo x , y thay điềukiện u(1, 2) = 0, v(1, 2) = 0.

Bài tập

yeu−v − u

1 + v− 2x = 0

Tính∂u

∂x(1, 2),

∂y(1, 2),

∂x(1, 2),

∂y(1, 2), biết

u(1, 2) = 0, v(1, 2) = 0HD: Sau khi đạo hàm riêng hai phương trình theo x , y thay điềukiện u(1, 2) = 0, v(1, 2) = 0.

vphnb

Documents