analisis del lugar geometrico de las raices
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8/4/2019 Analisis Del Lugar Geometrico de Las Raices
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
INGENIERÍA DE CONTROL M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZLUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
1
Análisis del lugar geométrico de las raíces
La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relacionaestrechamente con la ubicación de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia delazo variable, la ubicación de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazoelegida. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica.
W. R. Evans diseñó un método sencillo para encontrar las raíces de la ecuación característica, quese usa ampliamente en la ingeniería de control. Este método se denomina método del lugar geométrico de las raíces , y en él se grafican las raíces de la ecuación característica para todos losvalores de un parámetro del sistema. Observe que el parámetro es, por lo general, la ganancia lacual se varía de cero a infinito, aunque es posible usar cualquier otra variable de la función detransferencia en lazo abierto.
Sea el siguiente sistema de control
La función de transferencia de lazo abierto y de lazo cerrado son
4
K G s
s s
2
4
C s K
R s s s K
La ecuación característica de lazo cerrado
24 0s s K
Las raíces de la ecuación característica o polos de lazo cerrado son
1 2, 2 4s s K
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2
K 1s
2s
0 -4 01 -3.732 -0.2672 -3.414 -0.585
3 -3 -14 -2 -2
5 -2-i -2+i8 -2-2i -2+2i
13 -2-3i -2+3i
Lugar geométrico de las raíces
De la grafica:El sistema es estable si 0K , dado que en esta condición ambos polos están en el lado izquierdo
del plano s .
Respuesta transitoria
1. Sobreamortiguada 1 (Polos reales y diferentes)
0 4K
2. Críticamente amortiguada 1 (Polos reales e iguales)
4K
3. Subamortiguada 0 1 (Polos complejos conjugados)
4K
4. Sin amortiguamiento 0 (Polos imaginarios)No hay valor de K que haga que el sistema tenga este tipo de respuesta.
Trayectoria dellugargeométrico de
las raíces
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3
Gráfica del lugar geométrico de las raíces
Considere el siguiente sistema de control, la función de transferencia de lazo cerrado es
1
C s G s R s G s H s
La ecuación característica de este sistema es
1 0G s H s
o bien
1G s H s
El término G s H s es un cociente de polinomios en s .
Como G s H s es una cantidad compleja se puede representar en, magnitud y ángulo
Condición de ángulo
180º 2 1 0,1, 2,G s H s k k
Condición de magnitud
1G s H s
Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como las de magnitud son las raícesde la ecuación característica, o los polos en lazo cerrado. El lugar geométrico de las raíces es unagráfica de los puntos del plano complejo que sólo satisfacen la condición de ángulo. Las raíces dela ecuación característica (los polos en lazo cerrado) que corresponden a un valor específico de laganancia se determinan a partir de la condición de magnitud.
Magnitud y Ángulo en el plano s .
Por ejemplo Si G s H s es
1
1 2 3 4
K s zG s H s
s p s p s p s p
en donde2 3 p y p son polos complejos conjugados, el ángulo de G s H s es
1 1 2 3 4G s H s s z s p s p s p s p
1 1 2 3 4G s H s
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4
La magnitud de G s H s para este sistema es
1
1 2 3 4
K s zG s H s
s p s p s p s p
1
1 2 3 4
K BG s H s A A A A
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5
Reglas generales para construir los lugares geométricos de las raíces.
1 Inicio y final de las trayectorias Las trayectorias del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto
G s H s con 0K y terminan en los ceros de G s H s o en el infinito (ceros finitos o
ceros en infinitos) con K .
2 Trayectorias sobre el eje real :Cada parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un rangode un polo o cero a otro polo o cero. Existen trayectorias sobre el eje real si la cantidad total
de polos y ceros reales de G s H s a la derecha de un punto de prueba es impar.
3 Ubicación de los ceros infinitos :Cuando el lugar geométrico de las raíces tiende a infinito s lo hace en forma
asintótica (en línea recta).
a Número de asíntotas As#
z p nn As #
donde:
pn Número de polos de s H sG
zn Número de ceros finitos de s H sG
b Centroide de las asíntotas o
z p
iio
nn
Z P
donde:
iP Suma de valores de los polos
i Z Suma de valores de los ceros
c Angulo de las asíntotas As
,2,1,012180
k nn
k As
z p
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6
4 Puntos de quiebre o de ruptura qS
a Cuando existen trayectorias entre dos polos o dos ceros reales, existe puntos deruptura en el cuál el lugar de las raíces deja el eje real.
Procedimientos para determinar los puntos de quiebre
i) De la ecuación característica, despejar K ii) Derivar una vez con respecto a s e igualar a cero la ecuación resultante.
iii) Obtener las raíces de la ecuación obtenidas en el inciso (ii) , seleccionar el olos puntos de quiebre del sistema.
Si
s B
sKAs H sG
La ec. Característica sería
011 sKAs B
s B
sKAs H sG
Despejando K
s A
s BK
Los puntos de ruptura se determinan resolviendo la siguiente ecuación.
0ds
dK
5. Ganancia de quiebre qK
Es el valor de K en el punto de quiebre.
Se obtiene utilizando la condición de magnitud en el punto qS
6. Ganancia Critica cK
Es el valor de K que hace que el sistema se encuentre en el límite de estabilidad.Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuación característica, se establece
el rango de valores de K para que el sistema sea estable. Los límites de ese rango
definirán los cK .
7. Frecuencia Critica c
El valor de los raíces (polos) cuando se cruza el eje imaginario; esto es cuando cK K
Se obtiene sustituyendo cK en el polinomio auxiliar de la tabla de Routh.
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7
8. Pertenencia de un punto a la trayectoria del L.G.R. Para que un punto s pertenezca a la trayectoria del L.G.R. debe cumplir la condición de
ángulo:
,2,1,012º180 k k s H sG
12180
)()()()(
k
s puntoals H sGdel
poloslosdeanguloslosde
s puntoals H sGde finitos
ceroslosdeanguloslosde
9. Cálculo de K para cualquier punto s del L.G.R.
Si un punto s pertenece al L.G.R. se puede obtener la ganancia K que permite tener ese
punto.
)()(
)()(
S H sGdeceroslos ys puntoelentrelongitudeslasde producto
S H sGde poloslos ys puntoelentrelongitudeslasde productoK
10. Cálculo de el ángulo de salida (o ángulo de llegada) de un trayectoria a partir de un polo complejo (un cero complejo) Para trazar los lugares geométricos de las raíces con una precisión razonable, debemosencontrar las direcciones de los lugares geométricos de las raíces cercanas a los polos yceros complejos. Si se selecciona un punto de prueba y se mueve en la cercanía precisa delpolo complejo (o del cero complejo), se considera que no cambia la suma de lascontribuciones angulares de todos los otros polos y ceros.
Ángulo de salida desde un polo complejo = 180°- (suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde otros polos)+ (suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde los ceros)
Ángulo de llegada a un cero complejo = 180°- (suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde otros ceros)+ (suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde los polos)
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Ejemplo 1
Considere el sistema de la figura.
21 sssK s H sG
Trace la gráfica del lugar geométrico de las raíces y determine el valor de K tal que el factor de
amortiguamiento relativo de los polos dominantes complejos conjugados en lazo cerrado sea
0.5.
Para el sistema determinado, la condición de ángulo se convierte en
,1,012º18021
21
k k sss
sss
K s H sG
La condición de magnitud es
121
sss
K s H sG 21 sssK
1. Inicio y final de las trayectorias: Las trayectorias del L.G.R. empiezan en los polos de lazo
abierto 21,0 y con 0K , y terminan en el infinito con K
2. Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre los
polos 10 y y de a2 .
3. Ubicación de los ceros infinitos: La cantidad de trayectorias del L.G.R. que tienden ainfinito son 3, ya que no existen ceros finitos.
303# z p nn As
1
3
02100
z p
i
nn
ZiP
Polos de lazo abierto
Trayectoria del LGR
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9
180,601260
3
1218012180k
k
nn
k As
z p
4. Puntos de quiebre o de ruptura qS . Como existe lugar de las raíces entre dos polos
10 y , entonces existe un punto de quiebre.
De la ecuación característica despejamos K
0
211
sss
K
sssK 2323
derivando K respecto a s e igualando a ceros
0263 2 ssds
dK
0263 2 ss
resolviendo
422.0s 577.1s
Como el punto de ruptura debe estar entre 10 y entonces el punto sería
422.0qs
Punto de quiebre
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10
5. Ganancia de quiebre qK Utilizando el punto de quiebre qs calculamos la ganancia de
quiebre con la condición de magnitud
385.0)578.1)(578.0)(422.0(21 qS
sssK
6. Ganancia Critica cK : Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuacióncaracterística
La ecuación característica es 02323 K sss
La tabla de Routh es
P(s)AuxiliarPolinomio
03
63
21
0
1
2
3
K s
K s
K s
s
La ganancia crítica se obtiene de
03
6
cK 6cK
7. El punto crítico se obtiene del polinomio auxiliar
032 cc K s 063 2 cs jsc 414.1
Punto crítico
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11
Para determinar la ganancia K que permite tener una respuesta con relación de amortiguamiento
5.0
Primero se determina el punto s, que este sobre el L.G.R. y que este sobre la recta de relación de
amortiguamiento 5.0
Se determina la ecuación de la recta de 5.0
º605.0coscos 11
x x y 732.1º120tan
Con esta ecuación de la recta se propone un valor en x y se determina el valor en y , jy xs este punto debe de cumplir la condición de ángulo para que este sobre el LGR
y j xs s 1 s 2 s = -180°
-0.4+j0.693 -120º -49.11º -23.42º -192.53º-0.3+j0.52 -120º -36.61º -17º -173.61º
-0.333+j0.577 -120° -40.86° -19.09° -179.95°
El punto que cumple con las dos condiciones es 577.0333.0 js
Aplicando la condición de magnitud
036.1764.1882.0666.021577.0333.0
js
sssK
La ganancia que me permite tener una respuesta con una relación de amortiguamiento 5.0 es
036.1K
Punto deseado sd
5.0
60
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12
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13
Ejemplo 2
Considere el sistema de la figura.
21)5(
sss
sK s H sG
Trace la gráfica del lugar geométrico de las raíces y determine el valor de K tal que el factor de
amortiguamiento relativo de los polos dominantes complejos conjugados en lazo cerrado sea
0.6.
Para el sistema determinado, la condición de ángulo se convierte en
180)2()1()()5(
)2)(1(
)5()( ssss
sss
sK s H sG
La condición de magnitud es
1)2)(1(
)5()(
sss
sK s H sG
5
21
s
sssK
1. Inicio y final de las trayectorias: Las trayectorias del L.G.R. empiezan en los polos de lazo
abierto 21,0 y con 0K , y terminan, una en 5 y dos en el infinito con K
2. Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre los
polos 10 y y de 52 a .
3. Ubicación de los ceros infinitos: La cantidad de trayectorias del L.G.R. que tienden ainfinito son 2, ya que solo existe un cero finito.
213# z p nn As
1
2
52100
z p
i
nn
ZiP
90
2
1218012180 k
nn
k As
z p
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14
4. Puntos de quiebre o de ruptura ( qS ). Como existe lugar de las raíces entre dos polos
10 y , entonces existe un punto de quiebre.
De la ecuación característica despejamos K
)5(
21
s
sssK
derivando K respecto a s e igualando a ceros
05
515922
23
s
sss
ds
dK
0515923 sss
Resolviendo
447.0s 609.1s 943.6s
Como el punto de ruptura debe estar entre (0 y -1) entonces el punto sería
447.0qs
5. Ganancia de quiebre ( qK ) Utilizando el punto de quiebre qs calculamos la ganancia de
quiebre con la condición de magnitud
Asíntota
Asíntota
90°
90°
Punto de quiebre
Asíntota
Asíntota
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15
084.0
553.4
)553.1)(553.0)(447.0(
5
21
)5(
21
44 7.0
sSs
sss
s
sssK
q
6. Ganancia Critica ( cK ): Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuacióncaracterística
La ecuación característica es 05)2(323 K sK ss
La tabla de Routh es
P(s)AuxiliarPolinomio
5
03
2653
21
0
1
2
3
K s
K s
K s
K s
La ganancia crítica se obtiene de
03
26
cK 3cK
7. El punto crítico se obtiene del polinomio auxiliar
0532 cc K s 0153
2 cs jsc 236.2
Para determinar la ganancia K que permite tener una respuesta con relación de amortiguamiento
6.0
Punto crítico
Punto crítico
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16
Primero se determina el punto s, que este sobre el L.G.R. y que este sobre la recta de relación de
amortiguamiento 6.0
Se determinan los puntos que estén sobre la recta de 6.0
13.536.0coscos
11
x x y 333.187.126tan
con esta ecuación de la recta se propone un valor en x y se determina el valor en y
el punto debe de cumplir la condición de ángulo para que este sobre el LGR
y j xs 5 s s 1 s 2 s = -180°
-0.4+0.533j 6.61º -126.89º -41.61º -18.42º = -180.31º-0.398+0.532j 6.59º -126.8º -41.46º -18.37º = -180.04º
El punto que cumple con las dos condiciones es js 532.0398.0
Aplicando la condición de magnitud
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17
194.0632.4
688.1803.0664.0
5
21
53 2.039 8.0
jss
sssK
La ganancia que me permite tener una respuesta con una relación de amortiguamiento 6.0 es
194.0K
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Ejemplo 3
Considere el sistema de la figura.
84
2
sss
K s H sG
js jss
K s H sG
2222
Para el sistema determinado, la condición de ángulo es
180)22()22()(2222
)( js jss js jss
K s H sG
La condición de magnitud es
12222
)(
js jss
K s H sG js jssK 2222
1. Inicio y final de las trayectorias : Las trayectorias del L.G.R. empiezan en los polos de lazo
abierto j y j 2222,0 con 0K , y terminan, en el infinito con K .
2. Trayectorias sobre el eje real : Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre
y0 .
3. Ubicación de los ceros infinitos : La cantidad de trayectorias del L.G.R. que tienden ainfinito son 3, ya que no existen ceros finitos.
303# z p nn As
333.1
3
222200
j j
nn
ZiP
z p
i
Polos de lazo abierto
Trayectoria del LGR
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19
º180,60
3
1218012180
k
nn
k As
z p
4. Puntos de quiebre o de ruptura ( qS ): No existe punto de quiebre.
5. Ganancia de quiebre ( qK ): No existe ganancia de quiebre
6. Ganancia Critica ( cK ): Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuación
característica
La ecuación característica es 08423 K sss
La tabla de Routh es
P(s)AuxiliarPolinomio
04
324
81
0
1
2
3
K s
K
s
K s
s
La ganancia crítica se obtiene de
04
32
cK 32cK
7. El punto crítico se obtiene del polinomio auxiliar
042 cc K s 0324
2 cs jsc 828.2
asíntotas
asíntota
60
60 180
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20
10. Cálculo de el ángulo de salida (o ángulo de llegada) de un trayectoria a partir de un polo complejo (un cero complejo)
Se toma como polo complejo js 22
Ángulo de salida = 459013518022180 jss
Punto crítico
45
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Ejemplo 4
Considere el sistema de la figura.
134
42
ss
sK s H sG
js js
sK s H sG
3232
4)(
Para el sistema determinado, la condición de ángulo es
180)32()32(4
3232
4)( js jss
js js
sK s H sG
La condición de magnitud es
13232
4
)(
js js
sK
s H sG 4
3232
s
js js
K
1. Inicio y final de las trayectorias : Las trayectorias del L.G.R. empiezan en los polos de lazo
abierto j y j 3232 con 0K , y terminan, una en el cero 4 y la otra en el
infinito con K
2. Trayectorias sobre el eje real : Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre
y4 .
3. Ubicación de los ceros infinitos : La cantidad de trayectorias del L.G.R. que tienden ainfinito es 1, ya que solo existe un cero finito.
112# z p nn As
4
1
32320
j j
nn
ZiP
z p
i
180
1
1218012180 k
nn
k As
z p
4. Puntos de quiebre o de ruptura ( qS ): Como existe lugar de las raíces entre un cero y el
infinito y4 , entonces existe un punto de quiebre.
De la ecuación característica despejamos K
)4(
3232
s
js jsK
derivando K respecto a s e igualando a ceros
0
)4(
382
2
s
ss
ds
dK
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0382 ss
resolviendo
394.0s 605.7s
Como el punto de ruptura debe estar entre y4 entonces el punto sería
605.7q
s
5. Ganancia de quiebre ( qK ): Utilizando el punto de quiebre qs calculamos la ganancia de
quiebre con la condición de magnitud
211.11
605.3
)357.6)(357.6(
4
3232
)4(
3232
60 5.7
sSs
js js
s
js jsK
q
6. Ganancia Critica cK : No existe ganancia crítica porque el LGR no cruza el eje imaginario
7. El punto crítico cs : No existe punto crítico
10. Cálculo de el ángulo de salida (o ángulo de llegada) de un trayectoria a partir de un polo complejo (un cero complejo)
Se toma como polo complejo js 32
Ángulo de salida = 31.14631.5690180432180 s js
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Ejemplo 5
Considere el sistema de la figura.
12
43
ss
ssK s H sG
Para el sistema determinado, la condición de ángulo se convierte en
180)1()2(43
12
43)( ssss
ss
ssK s H sG
La condición de magnitud es
1
1243)(
ssssK s H sG
4312
ssssK
1. Inicio y final de las trayectorias : Las trayectorias del L.G.R. empiezan en los polos de lazo
abierto 12 y con 0K , y terminan, en los ceros 43 y con K .
2. Trayectorias sobre el eje real : Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre
12 y y 43 y .
3. Ubicación de los ceros infinitos : No existen trayectorias del L.G.R. que tiendan a infinito.
4. Puntos de quiebre o de ruptura ( qS ): Como existe lugar de las raíces entre 12 y y el
infinito y4 , entonces existe un punto de quiebre.
De la ecuación característica despejamos K
)4)(3(
12
ss
ssK
derivando K respecto a s e igualando a cero
0
)4()3(
2288
)4)(3(
1222
2
ss
ss
ss
ss
ds
d
022882
ss resolviendo
073.0s 427.3s
Los dos puntos son puntos de ruptura ya que están entre 12 y y y4
073.01 qs 427.32 qs
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5. Ganancia de quiebre ( qK ): Utilizando los puntos de quiebre 21 qq s ys , calculamos las
ganancias de quiebre con la condición de magnitud
833.53573.0427.0
427.2427.5
43
12
)4)(3(
12
167.0927.3927.3
927.0073.2
43
12
)4)(3(
12
42 7.3
2
07 3.0
1
22
11
SS
q
SS
q
ss
ss
ss
ssK
ss
ss
ss
ssK
6. Ganancia Critica cK : No existe ganancia crítica porque el LGR no cruza el eje imaginario
7. Punto crítico cs : No existe punto crítico
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26
3K 4K
8K 13K
20K
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21
sss
K s H sG
05.0K
2.0K
3849.0K
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5.2K
5.5K
6K
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9K
K Mp Tp Ts.05 151
.2 33.7.3849 14.31.036 16 5.96 12.4
2.5 48 3.69 17.85.5 86 2.64 164
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