UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA ANTONIO JOSE DE SUCRE

VICERECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRONICA

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Asignatura: TEORIA DE CONTROL

Lapso Acadmico Intensivo 2014

TRABAJO DE INVESTIGACIN

CONTENIDO

1-. Para qu sirve el Lugar de las Races en la Teora de Control?

2-. Explicar las Reglas Generales para construir el Lugar de las Races.

3-. Cmo se hace el anlisis del lugar de las races de un sistema de control?

4-. Dos ejemplos de aplicacin.

5-. Conclusin.

Prof. Miguel Leyton

21/09/14

1-. Para qu sirve el Lugar de las Races en la Teora de Control?

Este mtodo, permite analizar sistemas dinmicos lineales tipo SISO, determinando el lugar geomtrico de los polos y ceros de una funcin de transferencia a lazo cerrado, para un determinado valor de ganancia K a partir de la funcin de transferencia a lazo abierto.

2-. Explicar las Reglas Generales para construir el Lugar de las Races. Las siguientes reglas permiten graficar el lugar de races para valores de k positivos. Para valores negativos de k se utiliza un conjunto de reglas similar 1. Nmero de ramas. Se refiere al orden de la ecuacin caracterstica de la funcin de transferencia a lazo cerrado o al orden de la ecuacin caracterstica de la funcin de transferencia a lazo abierto, es decir, el denominador de la funcin de transferencia a lazo abierto. 2. Simetra. Dado que la ecuacin caracterstica es de coeficientes reales, las races complejas deben ser complejas conjugadas. Por tanto, el lugar de races es simtrico respecto al eje real. 3. Polos de lazo abierto. En la funcin de transferencia de lazo abierto, se refiere a la races del denominador y corresponden a . 4. Ceros de lazo abierto. En la funcin de transferencia de lazo abierto, se refiere a la races del numerador y corresponden a . Si hay t polos ms que ceros, entonces t posiciones se harn infinitas a medida que k se aproxime a infinito. 5. Asntotas. Si la funcin de transferencia de lazo cerrado tiene t polos ms que ceros, entonces el lugar de races tiene t asntotas equiespaciadas, formando entre ellas un ngulo de

, donde y . El lugar de races se aproxima a estas asntotas a medida que k tiende a

infinito.

6. Centroide de las asntotas. El punto del eje real donde las asntotas se intersecan se suele llamar el centroide de las asntotas, se denota mediante , y se calcula mediante

.

7. Lugar de races sobre el eje real. Si la funcin de transferencia a lazo abierto tiene ms de un polo o cero reales, entonces el segmento del eje real que tiene un nmero impar de polos y ceros reales a su derecha forma parte del lugar de races. 8. Puntos de entrada-salida. Tambin llamados puntos singulares, indican la presencia de races mltiples de la ecuacin caracterstica, y se dan en los valores de s para los cuales se verifica

. 9. Interseccin con el eje imaginario. Se encuentran calculando los valores de k que surgen de resolver la ecuacin caracterstica para

. 10. Pendiente del lugar de races en polos y ceros complejos (Condicin de Argumento). Para la funcin de transferencia a lazo abierto, se puede encontrar en un punto de la vecindad del polo o cero mediante la relacin:

, para k>0, , para k

Suponiendo un ejemplo con un cero y dos polos, se trazan los vectores correspondientes a la raz supuesta a estudiar, y se debe cumplir:

(s + z1) [ (s + p1) + (s + p2)] 0

Paso 3.- Determinar el nmero de asntotas, NA, la ubicacin de su punto de partida A y del ngulo de las mismas A, utilizando las Ec 1, 2 y 3 respectivamente.

1. NA = n m

2. A = polos de G(s)H(s) ceros de G(s)H(s) NA

3. A = ( 2q -1 ) .180 NA

Paso 4.- Si existe, calcular los puntos de ruptura o despegue del eje real. El punto, o los puntos del eje real en el cual se despegan del eje y se convierten en races imaginarias, se conocen como puntos de ruptura; y ocurren cuando hay multiplicidad de races en un tramo, es decir, si dos o ms races se van acercando a medida que aumenta K, llega un punto en donde se encuentran y son iguales. Es all, en donde al seguir aumentando K, dichas races se convierten en races imaginarias y se despegan del eje real. Para obtener analticamente dicho punto, se usa la Ec 1. A partir de all es posible obtener el mximo de K derivando dicha ecuacin y encontrando el valor de las races, sR, para los cuales la Ec 2 sea cero. No todas las races de dicha ecuacin representan puntos de rptura, eso depende, de cuales de los tramos del eje real, presentan multiplicidad de races.

1. K = p(s) = - 1 M G(s)H(s)

2. dK | = dp(s) | = 0

ds sR ds sR Paso 5.- Dibujar un esbozo completo del lugar geomtrico de las races. A partir de toda la informacin anterior, es sencillo realizar un esbozo completo del lugar geomtrico de las races. Paso 6.- Si existe, calcular el corte con el eje imaginario. El punto en el cual el lugar geomtrico corta el eje imaginario, puede ser calculado de dos formas, utilizando el crierio de Routh-Hurwitz o partiendo del hecho de que la raz en dicho punto, solamente tendr imagen imaginaria.

4-. Dos ejemplos de aplicacin.

Con lo que el lugar de las races quedar:

Aparece en lnea continua, el lugar directo de las races, y en lnea discontinua, el lugar

inverso.

EJEMPLO2

5-. Conclusines.

La caracterstica bsica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo

cerrado se relaciona estrechamente con la ubicacin de los polos en lazo cerrado El lugar de races es una herramienta til para analizar sistemas

dinmicos lineales Mediante el mtodo del lugar geomtrico de las races, el diseador puede

predecir los efectos que tiene en la ubicacin de los polos en lazo cerrado, variar el valor de la ganancia o agregar polos y/o ceros en lazo abierto.

Si el diseador sigue las reglas generales para construir los lugares

geomtricos, le resultar sencillo trazar los lugares geomtricos de las races de un sistema especfico .