Capítulo8

Lugares geométricos de lasfunciones de impedancia yadmitancia complejas

8.1 lntroducción

En los capftulos 6 y 7 se estudió el iégimen senoidal permanente, y se encontruron

rclaciones existentes entre las variables complejas. Dichas relaciones se establecioron

medio de ecuaciones, pero es de hacer notar que las relaciones mencionadas sc

turán más rápidamente en un gráfico que a través del análisis de las ecuaciones,

cllo es que en este capítulo se desarrollarán métodos gráfícos para describir el

tamiento de circuitos en régimen senoidal permanente.

Para dicho régimen se encontraron expresiones que caracterizan un estado cludo da

circuito eléctrico, por ejemplo la impedancia:

Z=R+jX=Zerez

Naturalmente, esta expresión será válida para un circuito dado cuyos elementuñ

titutivos sean constantes y para una frecuencia dada.

T-_.-.-..-.>

R

L

Fig. 8.1

Pero, qué sucederá con el valor de la impedancia si se modifica el valor de ulguncllos olementos pasivos incluidos o bien la frecuencia. Será considerado por ejemplo el

'11

ú

cuito en la Fig. 8.1 en el que se varía la frecuencia. La expresión de la impedanciu

Lu¡¡artt geonÉtrkxxt tlo ht,s lhndonla cla Z e y

Z=R+jaL

al ser Ia Ec. (8.1) un número complejo podrá desdoblarse en

3lt

(8,t)

módulo y fase:

aLqz = arctg -*-

(8.2)

(8,3)

obsérvese en la Ec. (8.2) que, si

a=0OJ-)*

que se grafica en la Fig. g.2.a.

Por otra parte, en la Ec. (g.3), si

(t)=0lD-9e

=+

:+Z=RZ --> aL

Qz=oE, -+ tc 12

que se grafica en Ia Fig. 9.2.b.

Fig. 8.2

De una sola mirada, se concruye que ros gráficos de la Fig. g.2 ofrecen Ia informa-

\u.¿,, J \a.J/r¡

Y :1,:::r,9.".^1"1:!1::"r,u.ión empleado presenra cierros inconvenientes. Los grá_

*:,'^.:::::t,ji,l\1i:|1":l" que para se. cuantitativos deberían ;;;;il;;r;;il;

:+

punto' y esto no sería p_ráctico. por otra parte, al ser las funciones de variable compreja,§e necesitarán dos grtificos para representar una función. Finalmente, es de hacer notar'que para casos complicados, dichos gráficos son difíciles de construir.Por lo expuesto anteriormente, surge la conveniencia de desarrollar otro método queno posea los inconvenientes mencionados.

' Nótese que se ha tomado como ejempro a la.impedancia, como puede tomarse, segúnBea el caso, a la tensión, corrienro o pótencia, todas iuncion., d, ,ur'ioble compleja en ré-gimen senoidal pennanento.

_\2 (' I n'ttllo,t dldil rk,r¿,t. Andll,tis de ntyltlo,t rl n'túktlcs

8.2 Deflnlclón de Ios diagramas de lmmltancia

l,os inconvcnientes clcl método indicado en la introducción pueden solucir¡lr¿rrstr ¡rrrrrlrrll.numcnto ad«lptando otro critcrio para la representación gráfica. Es posible ¡rartir tlc urr gr á=

l'ico como cl mostrado en la Fig. 8.3, en el que se lleva en el eje dc abscisas lu ¡rrrrtc reilldc la I'unción a representar y en el eje de ordenadas la parte imaginaria dc lu lrrisrrr¿t, ul

vuriur algunos de los parámetros circuitales.

T

-+

Flg.8.3 F¡9.8.4

Pcro es de importancia resaltar que, en general, tanto la componente rcsistivn rln Uñ

circuito, como la reactiva, pueden depender de todos los parámetros del circuilo, f(llll€puede deducirse por ejemplo del circuito ilustrado en la Fig. 8.4. Para el mismo le¡ullál

R+ jaLR,JaL

-_ I IR jaL

Z= Riar _n¡a_r(n-ir2r)' R+jaL R2+o¡zl]

; a2Ún a¡LR?L = Í, + att _ JF + a\E

por lo que en general puede decirse que,

z = f(n;r;c;a)ez = f (n;UC;a)

*"lZ)= f (R;L;c;a)

Smlzl= /(R; L;c;a)

Es decir que, al situarse nuevamente en el diagrama ilustrado en la Fig. tt.3, cl puntaquc dc(crnrina el extrcmo del flasur impcduncia corresponde a un determinado vnlof Sresistencia, inductancia, ca¡racitancia y pulsnción de un circuito dado. Si prru el rrtlnññcircuito se varfnn algunos clc los ¡rnrlrrrolro¡' ilrtlicndos, el extrcrno del lhsor so dcs¡rlu,eHlclescribicnclo, ¡ror c.icrn¡rkr, lu crrrvn irttlicr¡tlu,

Llt¡4tn,,r ¡4cotnrrtri*lt dr htlt,litttt,ltttte,t,ile Z a y 313

En consecuct]cia, scr¿l llitttlaclo diugrurutt tlc impedanciaal Iugar geonrél.rico clescrito ¡lor.las sucesivas posiciones quc aclopta el extremo clel lasor impeclaniia In el plano cornplc.jo almodificarse el valor de la variabre independiente, que puede ser indistintamente o, R, I_ <» c).

Pensando ahora en términos de admitancia, al ser esta última la inversa de Ia irrrpe«la,ci,,es evidente la importancia que adquiere la transformación inversión. Es decir quc habicrrclohallado uno de los diagramas, por la trasformación inversa será posible hallar el otro, <Jado quc:

2 _ 7"ioz1

, - ' u-JQzZ

(8.4)

(8..5)

que puede interpretarse en el plano complejo como se muestra en la Fig. g.5. Al variar algu,ode los parámetros circuitales los extremos de ambos fasores describinán un diagrarna. De cslamanera' la curva inversa de la impedancia es el lugar geométrico de los extremos del lasoradmitancia, y se denomina diagrama de admitancia. Nótese que el diagrctma de int¡teclanciuestá en el plano R;7x, mientras que el de admitancia lo estáLn et c;in.Además, dado qucsiempreR>0yG>0,estosdiagramasestaránconfinadosenelpriméroycualtocuadrantc.

Vislumbrada entonces la importanci a d,e la transformación-inversión, se verá ahora lamanera de invertir un punto en forma gráfica.

Fig. 8.5

8.3 lnversión en forma gráflca

Fig.8.6

Se estudiará ctlln«r sc ¡luctlu ittvct'tir l)urrlo u punto unl curva, Dado un cliagrama dc irrrpo-dancia, lal colllo cl r¡ue scr nl.ucsltlt en ln liig, 8,(r, y c¡l ¡lnrliculurclcsctndo invcrtircl puirt.tA dc la ntisnla, cl ¡rrrrcerlirrrierrto n ro¡rrlr en el sigulente;

314

ct)

h)c)

a

e)

se une el punto A quc se dcsca invertir con el origJn de coordenudus'

se traz¿r una cilcunl'el'cuciu con centro en el origen y radio unitario'

se traza por el punto A una tangente a la circunferencia mcncionadu'

punto de tangencia T.

ilü il;i:;;üá una perpendicular al sesmento ilo,l]-.'-;^s1'l"l]:",:'l:.U

;in*; ;;pr"senta et mOduto ie ta admitancia que corresponde al clc,lt¡

del punto invertido, interpretado en la escala de admitanci't"t':Isll:llltll:"1::

il,il;r;ü, =: ó,-i'r,^,^prr er origen un" :"*,jf,:1o1:,I:l:llii urr rrrrgrrl6

con el eje real y se trañsporta el segmento OB sobre dicha semirrecttt'

El segmento ol, así determinado es el representativo de la adnlit¿tllcitt

rrespondiente al de la impedancia compleja OA'

Según se deriva de las Ecs' (8'a) y (8'5):

v=!YZ

Citt'uittt,t ttlécffktts, Autllit¡is du mtrlaln't t

9z= - 9z

y como por construcc ión gr= -9r, Paraclar veracidad a este método sc clcberrl

á* os: Y. Esto puede deáucirrá d" lo siguiente semejanza de triángulos:

AAOAT-OBT

que permite plantear la siguiente relación de proporcionalidad:

ÓT=9qOA OT

por construcciOn Of = I y OA = Z pot lo cual la Ec' (8'6) se reduce a:

t_

-=C)B.ZOB=)'

que es lo que se quería demostrar'

;';rr";;; ür" "1-ái"ao descrito permitirá invertir puntotl-v:l ::i:::::ly::,rr,;;';;;i,, irdr,ir".será necesario buscar'" ,néj:9:

9"-i"j'?l1.ilt:l'11911pr"riorn"n," se deberá conocer qué tipos de figuras geométricas son los c¡uc sB

al estudiar el comportamiento de los circuitos eléctricos'

S.4Lugaresgeométr¡cosdelasvariablesasocladaealo.circuitos eléctr¡cos

Considerando, por ejemplo, el circuito mostrado en la Fig' 8'7' excitado por un

ideal de tensión. Para urr cicrto valor de inductancia l¡ , se establecerd unu c

vn,

cumpliéndose que:

+ V¡,, = V1

para un valor L2

V¡+V¡r=V2

Lugares geuuélrl«»t de lu,t.liuu:louot da á e Y

se ilustra en la Fig. ll.tl,

, de tal manera que el extremo del fasor tensión total describe un arco de circu¡r-:ia. Tomando ahora, por ejemplo, el mismo circuito pero excitado por un generadorde corriente, como se muestra en la Fig. 8.9.

Fig. 8.10

En la Fig. 8.10 para un valor L, se cumplirá:

V¡, + V¡,, =

3ri

l>

,,DFig. 8.7 F¡9. 8.8

Para otro valor de \nductancia 12, tal que Lz > Lt, resultará:

+V, -V.L2

Se observa a través de este ejemplo que la composición fasolial de la§ tensioncs cn

elemento y para cada valor de ínductancia resulta un fasor V de módulo constante.decir que al variar la inductancia, se modificará la diferencia de fase entre tensión y

v*,

vl

VLl = joLl I1

Vnr = RTI

V., =;oLt T

Fiq. 8.9

.1t6 ('in'ttit¡¡,y ellrtrit'tt,¡. At¡ttli,ti,¡ tlr nnnl¡,1¡t¡ t ltt

cs dccil'cluc ill vitr¡i¡t' l¡r irttlttclttttci¿r, v¿u'iará V¡., ¡lcro al sci la cor¡'icntc c:olrst¡rrrlr,, lrrItl scrÍr [1, dc titl tttit¡teti¡ (luc cl cxlrcnro clcl fjrsor tc¡¡siCrn total dcscrihc l¿r st.nrilrr'r lrrcatlil. Nótcsc, por ()tra l)ilrtc, (lr.ro si cn cstc c.jcmplo se clividcu kls llrr'ltlrrkrs rlr ¡rrl¡rfirs«lrcs por el dc la corrir:nto, sc obl.icnc urr cliagranra cle inrpccrarrcia.

Si sc ct¡ntinúa analizat)do una gran cantidad de circuitos se cncucntrl r¡rre hrn lrrggctrntótricos de Ias variables asociadas serán e¡r general rcclds, c¡uc sc ¡.ructlcrr rlr,let¡tlctrtl clos ptll.ltos; o bien circunferencias, que se pueden cleterminar con lt.cs l)u¡lns ltpuntos y una condición de tangencia.

Lo anteriorlrente mencionado marca la conveniencia de analizar la invcrriril rlÉlugares geométricos indicados.

8.5 Propiedades de Ia inversión de rectas ycircunferenc¡as

Mcdiante un estudio analítico se encontrará la manera de ver en qué sc trirrrslirrrrruil,diantc inversión, las rectas y circunferencias.

Recordando que la ecuación general de la circunf'erencia en coorclcrrutl¡¡s r.¡tcstl¡ dada pol Ia Ec. (8.7)

o(r'+f)+o*+cy+d=oPara encontrar el equivalente de la Ec. (8.7) en el plano complejo dc irrr¡ret

realizarán los siguientes cambios;

por lo cual, según se vio en el Cap. 6:

ZZ.=x2+yz

Z+Z*=2x

Z-2.=2jy y=

rccnrplazando las Ecs.(8.8), (8.9) y (8.10) en Ia Ec. (8.7) resulta:

aZZ" + *d=0

dorlclc la llc. (tt.l l) t'c¡rt't:scrtrlit lit t'cuttciórt gcncral ric la circunfbro¡rciir crr cl ¡rlutr¡ r't¡tlcj«r tlc irttpctlitttciit. l)tttit ¡ritsitl l¡l lic, (lt.l l) ul plano rlc acllritarrcia hlslirlrf rcrrrr¡ctt lir llisntr l¡rs lcllcirltres t,ortrx'irllsi

Z=x + jy

L =x-J!

.Z+Z'" Z-2.I¡........,.,..,...................'......._L.t-

22j

z-2"2.¡

Luytn',r 1¡t'otttétri«t,r lt ltt.r.litttcirttrrt tlt, /, r I' :l t7

iurgiendo:

7.

t b( tA:+-l:YY 2\y

-; " z- =*

(8.12)

Operando en la Ec. (8.12):

tbA::;*-YY2 *d=0 (U.13)

multiplicando la Ec. (8.13) potVf y ordenando la misma:

(¡t.r4)

donde la Ec. (8.14) representa la ecuación general de la circunferencia en el plano corrrplci,de admitancia.

De la comparación las expresiones dadas por las Ecs. (8.11) y (8.14) se desprc¡rlc¡las siguientes propiedades.' Primera propiedad: al aplicar la transformación inversión a una circunferencia, o conlocuso particular a una recta en el plano de impedancia, se obtiene una circunferencia r¡Como caso particular una recta en el plano de admitancia. Las distintas posibilidades se clc-tallan en el cuadro de la Fig. 8.11.

Plano

Coel Plano Z Plano Y

a=O

d=0Recta que pasa por el origen Recla que pasa por el or¡gen

dloFlecta que no pasa por el or¡gen Circunferencia que pasa

por el origen

atod--o

Circunferencia que pasapor el or¡gen Flecta que no pasa por el origen

at0dto

Circunferenc¡a que no pasapor el or¡gen

C¡rcunferencia que no pasapor el oriqen b

Fig. B.1i

Segunda propiedacl: a tritvós clc la invclsión no ca¡rrbia el signo de la partc rcal. Estrl8e dcsprcnde de la corn¡rat'aci«ltl tlc sil¡rtos rlc los scgunclos tórrninós del primer nlionl6ru rlclas Ecs. (8'll) y (8. l4)' Sc trslithlccc t¡tttr si ctt cl ¡riuno rlc irnpcclancia la corn¡r,,nc¡rtc rcal§§tf cn cl sctrli¡'llano ¡r«rsilivo. crr cl ¡rltttur rlc rrrln¡il¡rrrcil ll cor¡pg¡c¡tc rc¡rl c.iros,,rr¡ie,-te nl ¡runfo invcrsu lirnrllién crrl¡i cn tlltrrrl¡rltttto ¡xlsilivo y viccvcrsu.

Y +Y c Y"-yI__

VV" 2i yy.

dyy.+uV+y. _ y-y.2 ' 4 +a=0

Tbrcertt prrtpieclud:0 trovés do la invcrsión cambia el signo de lu cotlt¡llttettlÉ I

nuriu. Esto se dcducc dc lu comparación de signos de lgs tercetos térntirtr¡¡ tlel

nrie¡nbro de las Ecs. (8.11) y (8.14), estableciénclose que sien el plano clc i

componente imaginaria es positiva, en el plano de admitancia resultaró ncgrtlivtt y vlttt

Ctmrtct propiedad: a través de la inversión se mantiene el v¿lor ubsolutrl det

mento pero cambia su signo. Esta propiedad se desprende de la conjunción tle le

y tercefa.Las propiedades enunciadas serán de utilidad para la construcción dc los

8.6 Escalas en ¡os diagramas de immitancias

para estos tipos de representación no podrán adoptarse escalas arbitrarias pucs tleb€

plirse la relación:

de la que se deriva que el producto de los módulos de la impedancia y admitancir¡ debl

la unidad, Por lo cual:

ZY= I (É'

si por otra parte se adoptan las siguientes escalas:

Los valores de Z e Y estarán representados por,segmentos de recta que medirán ¿

y á [cm] respectivamente. En virtud de ello, Ios mencionados módulos de las inntiinn¡l

pueden exPresarse como:

reemplazando las Ecs. (8.16) y (8.17) en la Ec. (8'15):

a [cm]

por lo cual deberá cumPlirse que:

aub0=l

_ Nóteso que si paru unu rcprcsenttckln duclu sc eligen por cjernplo o y B, y sc co¡occel valor de Z, o bien cl dc rt, qucclurl clctcrnlinudo civalor ae a que conrsponcla. Si scQncara la rept'esentación lijando los valorcs de u y b y alguna de las áos escalas, la rcstantcquedará condicionada a los valores ya flijados. En otras palabras, la Ec. (g.lg) dice qucolegidas tres magnitudes, la cuarta quedará fijada por dicña relación.

z=!Y

l-c¡lEsc. Z - dl-l

Lcml

Esc.Y=p[ll.lLcml

Z = a t.,n] "[91Lcml

v= blcm)BllllLcml

(ü,1

Fig. B.12

8.7 cálculo del radio de la circunferenc¡a unitar¡a en base alas escatas de immitancia

En el parágrafo 8.3 se estudió la inversión de un punto en forma gráficatal como se reiteraen la Fig. 8.72 apateciendo en el procedimiento el trazado de una circunferencia de radiounitario, denominado r' Dicho radio unitario dependerá de las escalas que se adopten, ycon el objeto de encontrar la manera de calcularlo se simplificará el problema presentadáen la Fig. 8.12, suponiendo tratar con una impedancia que sea resistiva pura. En ese caso9z= 9y= 0 y en el plano de impedancia se tendrá un purto sobre el eje real, como se ilus-tra en la Fig. 8.13. Naturalmente, su punto inverso en el plano de admitancia estará tam-bién sobre el mismo eje.

Pero por definición, la circunferencia unitaria deberá tener un radio tal que la repre-sentación de un punto sobre la misma, en el plano de impedancia o admitancia, y lainversión de dicho punto en el plano que corresponda, deberán encontrarse sobre la men-cionada circunferencia. En consecuencia si en la Fig. 8.1 3 son situados los puntos corres-pondientes a Z e 7 sobre la circunferencia de radio unitario, se encontrará en el estadodescripto en la Fig. 8.14, para el cual:

a=b=ru

reemplazando la Ec. (8.19) en la Ec. (8.18) resulta:

"[gl bpm] B[9-l =tLcml LcmJ

{,"

v

(8, I Él

(8. le)

La Ec. (8.20) da la forma de cálculo del radio de la circunferencia unitaria en firnckltlde las escalas de impedancia y admitancia.

Fig.8.13 Fig. 8.14

8.8 Diagramas de tensión, corriente y potenc¡a ,t

Se supondrá por ejemplo, el dipolo pasivo ilustrado en la Fig. 8.15, del cual se conoco lUdiagrama de impedancia, excitado por un generador de corriente. En ciertas condiciott{toda variación en la impedancia se traducirá en una variación de la tensión sobre la rnist¡¡¡dado que la corriente no se modificará pues la impone el generador. En consecuenciu, ddiagrama de impedancia disponible, podrá transformarse en un diagrama de tensbnest Alse lo interpreta en la siguiente escala;

Esc.V=IEsc.Z

y como la potencia upu'onte o§:

Fr=Vir =Zii- =Ztz

el mencionado diagrama de impedancia se transfbrma en uno de potencia, si se k¡ inler-preta en la siguiente escala:

Esc. P, = Izqsc. Z (8,22)

Por otra parte, considerando el modelo que muestra la Fig. 8.16, suponiendo conoci-do el diagrama de admitancia del dipolo pasivo. En este caso cualquier variación cn l¿¡

admitancia se traducirá en una variación de corriente, dado que la tensión es impuesta porel generador. Por lo tanto, el diagrama de admitancia disponible podrá transformarse enun diagrama de corriente, si se lo interpreta en la siguiente escala:

Esc. 1=VEsc.Y (8.23)

y por razones similares al caso anterior el mencionado diagrama de admitancia se tran$-forma en uno de potencict, si se los interpreta en la siguiente escala:

rildrup

4, [cm] =

-l

I(8,20)

,[#]l-oldl-l

Lcm-l

Esc. P, = Vzqsc. Y

En efecto: Ps = Vi* = VV* y* = y* V2

(8,24)

8.9 Problemas resue¡tos

8.9.1. Dibujar los diagramas de impedancia y admitancia para los distintos clr.cuitos que se muestran en la Fig. 8.17.

o=cteR=cte

0<L<-

o=cteC=cte0<R<d

R=cte

L=cteC=cte0<o<@

o=cteC=cte

L=cte0<R<6

Fig. 8.17

v=z T

F¡9.8.15

T=Y V

Fig. 8.16

3m

=2

a=b=ru ,/

9lo

oJT"H

32? ('l x'ullol ¡, lécl rl«t,r. Andl i,tlt¡ tlr motlt I ¡t,¡ t' I n'ttlltlg,

S«¡lucir'ln:

En este prirner ejernplo sc trazarán los diagramas pedidos cn li)nnil ctrrrlilrllvrt, y

luegoscdesarrollaránendetalleaef'ectosdecomplementarlaexplicacióntcírrie¡t llultltpróximos problemas se dará un resumen del procedimiento y la solt¡ción grll'icrr,

u) Dado que este caso es una configuración serie se comenzará la graficacirltt ctt cl ¡rlul$de impedancia Ilevando R en el eje real y X en el imaginario, como sc ulucslrrt r.tf lá

Fig' 8'18' z=R+ j aL

Para L = 0 ;Z = R y se lleva este valor sobre el eje real obteniéndose cl ¡utttto A

un dado L¡, se tendrá jaLl = jXr, que se lleva sobre el eje imaginarig, Y cluc stlttttttl+l

riulmente a R determina un puntó B del diagrama. Es evidente que al ser rt corrslrrtrlrr, y

corrrponer este valor con las variables de jaL - jXTse obtendriín puntos ubiciulos solrle

scrnirrecta perpendicular al eje real y que pasa por R. Además, si .L -+ *;7 -t ''' y t'ollltlreuctancia de este circuito es siempre positiva, la semirrecta estará definicla sol¡ttncttle

volores positivos de reactancia. Dicha semirrecta representa el diagrama de ilrr¡lcrlttttr'in y

el lugar geométrico que describe el extremo del fasor impedancia al variar la ilttlucl¡tttlhr

F¡9.8.18 Fig.8.19

Se realiza ahora la inversión del diagrama de impedancia para obtcllt:l'cl rl¡:

trncia, por lo cual se trabaja en el plano de admitancia G; jB mostrado cn ln I ri¡¡, ll, l 0,

pensará en invertir la semirrecta mostrada en la Fig. 8.18 y su prolongacirltt trtttl+,t

mostrada en línea detrazo,lo cual facilitará el proceso. Según se estuclit5 ett cl ¡tat8.5 a una recta que no pasa por el origen le corresponde una circunfcrcnr:iu (luo pÉ¡á

el origen. Como la componentc real no puedc cambiar de signo a través elo llt ittsicndo :lte Í7) > 0, debe l)ü,ln > 0 pnru trxlo cl diagrama. Por lo tanto lu cirt'rrtideberá ser tangente al cjc irnlginurio on el urigen, Otro puntcl puctlc olltcttct'f.e cntllH

inverso dc aqucl punt«l tlondc cl tliugrrttnu de Zcortu ul eje real, es dccir l//t.

Lutr¡r.twl gttt»nCtrit,tt,r ile ltt,r littttltunl tlo Z e l,

Fig. 8.20

323

Sc dispottc ya tlc lrt crrtldicridrn tle lurrgcrrciu rrl cjc irnaginario en el origen, y dos pu,-tos: el origen y llll , ¡xrr lo curtl prrc«lu trlz.llsc lu circunferencia en el plano de actmitan-cia tal como se lnucstra crr h liig. 8, lt). Cunro r través de la inversión cambia el signo clcla parte imaginaria, si cn el plano Z la cornponente imaginaria es íntegramente positiva,en el plano Tserá totalmente negativa, po, io cual el diagrama de admitancia corrcspon-derá ala parte de ordenadas negativas de la circunfer"n-"iu. Esto último también pucdodeterminarse en base a Ia cuarta propiedad estudiada en er parágrafo g.5, pues si:

0 S gz < rl2deberá ser:

-n/2<gyS0La utilización de este último criterio suele ser más conveniente a medida que los clia-gramas se van complicando. Es de hacer notar, que ambos diagramas generalmentc sc

construyen en un mismo griífico, debiéndose interpretar el plano de impedancia y el cle ad-mitancia en las escalas que correspondan,

"uuoáo se traLaje

"o, ,ujo.", determinacr«ls

para los parámetros circuitales. Dicha situación se muestra en el gráfico de la Fig. g.20.

Fig. 8.21

b) Dado que es un circuito paralelo, se comenzará a graftcar en el plano de admitancia.Asignando un valor determinado para ra susceptancia capacitiü, y observando que

para el circuito

i=!R

+ .iaC

puede trazarse el diagranru dc udmitunci¡r quc se muesrro en ra Fig. g.2 r .

Invirtiendo dicho cliagrnrno se plutfl tl pltno clc impetluncia, apiicando las propiedadesvistas en el parágral«r 8..5, y sc ohllalte ln clreunfblonc¡u inO¡cu«la, cuya porción vdlida esla indicada en trazo grucso.

324 Cltr:ulltts eléúrlco§. Andll,tl,t ¡le mtxleltttt t'l t't'ttlt¡th,

(f) Se corrrienza la construcción cn ol plano de irnpe«lanciu pü"t .* un circuitrl sct'it-', ltHthl

que para el misnlo:

Z=R+i(¿,r-')= R+ jx"\ oc)

se elige para X un valor arbitrario, por ejemplo positivo, como se indica en la lri¡¡, H,llr Isc traiaLl diugrurnu de impedanciá. paian¿o ahora al plano de admitancia invirtielttltt Ef

diagrama dei, se determina el correspondiente al de Tpor aplicación dc lns ¡llrr¡rlcrletl€l

vistas en el parágrafo 8.5, cuya porción válida es la indicada en trazo grtlc§o.

d) Como ei un circuito paralelo se comienza la construcción en el plano clc ittllltilttti!'hr

Dado que para este circuito.

t=+*i(,c *)=**,use fiia I y se trazael diagrama de Tmostrado en la Fig. 8.23'"Rserá variable de - - a + -, invirtiendo dicha recta se pasa al

niendo el correspondiente diagrama de Z.

Puesto que la sttst't'¡tl

plano de impctluttcltt

jB (o)

jX = cte

jx (o)

R+0 R+-

R (o)

G (U)

Fi9.8.22

Nótese que ambos diagramas cortan al eje real en puntos que coruesponclcn u un il€l

minado valoi de pulsación y que se indica como a4.Para dicha frecuencia cl clrsultg

resistivo puro, hallándose en resonancia de factor en potencia unitario.

8.9.2. Para el circuito dado en la Fig. 8.24 se pide:

a) Dibujar el diagrama de impeelunciu correspondiente a los terminales A - 13 tlcl cltuU

b) Ideniit'icar en el clitrglnmu los ¡runtor eorrespondientes a resonancia cle f¿rctrlt tiB

tcncia unitario y rtl tttlninto tle Z¡n,

-1-jx

\n --

l,ttgtttt,,r gtotrttrtricrt,t ilc ltt,r.lhncltutp,t ¡lc ll p Y

FL = cte

L=cteR6 = cle

0<C<e

Fig. 8.23 Fig.8.24

Solución:

a) Se comienza en el plano de admitancia graficando,

jac

resultando la semirrecta indicada en la Fig. 8.25. Invirtiendo el diagrama deJ,,se halla el correspondiente a Zo.El diagrama de impedancia visto desde los pun-

tos A-B resultará:

Zoa=Rr+jatL*Zp=2,+Zr

y a electos de no desplazar el arco de circunlerencia, se realizaráun cambio en el

origen de coordenadas, desplazando la parte real en un valor -R. y la imaginariaen un valor -ja¡, obteniéndose un nuevo origen O'. Desde este nuevo origen se

miden sobre el diagrama de Z,,los valores correspondientes a Z¡s.

Para el presente diagrama, el punto B es el correspondiente a resonancia de tirc-

tor de potencia unitario, que se da para un valor de C intermedio entre cero cinfinito. Para el mismo el circuito se comporta como resistivo puro o sea quc

9zts= 0. Nótese que en el ojernplo se adoptó un valor muy especial para la reac'tancia inductiva, asf fue que el nuovo cjo real interceptó al diagrama de im-pedancia en un solo punter, §i ro tomo un valor de reactancia inductiva menor que

el anterior, se tendrán clon puntor de lntcr¡eeción con cl eje real, es decir dos pun-

tos de rcsonrncin elo fi¡etor do potoneln unltsrlo, quo se dar6n para dos valores clo

325

1Y--' +,RC

b)

&

32h ( ll n'ullt¡t¡ eléct rlutlt, Anlll,ltl,t da nrxleltl t I n'altalil

C-'clistintos. Si cn e:urrthio ttc udoptl url vulo[ clo rc¿rctuncirt incluctivrr trrtt gt*tnftquc cl diagrurrnu du irrr¡rctlunciu no cortc al cjc real, no'cxistir¡f rtirtp,úrt vrrlur rlr'('rI!5llcva al circuit«r u lcs«lnarrcia tlc l'actor de potcncia unitari«¡.

r lx (o) jB (rr)

1" ,,

I 1 il(r¡)iñ;I

I

I

Ii n(u)i-----+

I

I

Fig. 8.25

EI punto A es el correspondiente a mínima impedancia, y se halla trazurtthl rt¡ elgrama de impedancia el menor fasor que une el origen de coordenadas O' cor¡ ¡l

Obsérvese que en estos tipos de circuitos, a diferencia de los circuitos r'csor¡unlet

o paralelo vistos en el Cap. 7, no se da simultáneamente la condición dc rcsistivude mínima impedancia o admitancia. Es por eso que podrán definirse d«rs ti¡ror rle

nancia, la de factor de potencia unitario y la de inmitancia mínima.

8.9.3. Dado el diagrama de impedancia mostrado en la Fig.8.26 se ¡lldc:

Hallar el de admitancia correspondiente sabiendo que Esc. Z = Sd)lcnt,

Suponiendo que el circuito a que corresponde el diagrama de admitanciu ettr'r

es alimentado por un generador de tensión, de valor eficaz 100 V, calculrtr lttttque deberán utilizarse para convertirlo en uno de corriente y en uno clc ¡tolettulH,

Solución:

a) Se construirá el diagrama de admitancia sobre la misma Fig. 8.26. Al iuvc¡1it'lnrrecta AC, le corresponderá en el plano de admitancia una circunlb¡'cnciu r¡tte ¡tetlel origen, Al arco de circunlbrcncis AIIC le corresponderá un arco insct'i¡tto rittltt€

circunf'erencia quc no p¿r§$ p()r cl origon, En consecucncia basturá invcl'til lt'tr¡

del diagranra dc Z, por c.jcnr¡rlo A, B y C quc son los míts convcuionlcs,

u)b)

l.t.ttrltttvtt ¡¡rtttttÍtri«t,r tl." lt,r,lutn,htttc,t de á e I 327

Se utiliza cl tnótt¡do vi¡ilo ett cl prulgtulir tt,.1, lJl nujir¡ unitario se calcula con la Ec. (tJ,20):

r;,(crrr) =I

8'10-3U/cm

"[i*] ,como d' = Esc' Z =5 o

cs dato, se puede fijar el radio unitario en 5 cm de doncle la cscalacmde admitancia resultará:

É=Esc.Y=4_ =r,' a

t*l

I

-=25.5

Flg. 8.26

Con estos datc¡s sc iltvietlctt kll ¡lutrlon nrneiolrudeis ollto¡riénclose los puntos A,, lJ, yC'' La inversión dc lrr sctllil'l'ce ltt A(' r'otlel¡xrntlerd lr urt trtto dc circunfbrcncia quc pasc p(».

\ / ./\\\,'/\\\. z' \'-€ \,,NA

/l\ / ',/l'o" \/ L-,+--

t. l.' I \ ,

,z'lL"\:--t--l '.

32tl

ct)

b)

C I n: u I t t t,t e I é c tI utl, A n d I l,r I s d e n nil o I t t,r t, I tt, u I IAH

A', C' y cl origcn. Al arco AltCl lo corresponderá en el plano (c acfinitunciu un ¡rrco tle ÉlFctlnf'ctcllciu que pasc por los puntos A', B' y C'. De esta munera sc clibu ja cl tli¡grrrrtta ele f{h) Scgún la Ec. (8.23)

Esc. .l = V Esc. Y

Esc./ = 100V.8. 10-3 U = 0,8 Acm cm

y por Ia Ec. (8.24);

Esc. P" = V2 Esc. Y

Esc. p" = loo2 v2 . B. lo{ g- = go vA

cm cm

8.9.4. Para el circuito ilustrado en la Fig. 8.27 se pide:

Dibujar el diagrama de admitancia, identificando en todos los diagrarnirs irlos puntos correspondientes a o = 0; 500; 1000 e infinito.¿A qué se reduce el diagrama de admitancia total? ¿eué significa el rcsult¡ukrdo, desde el punto de vista del comportamiento del circuito?

L=1HyC=1t¡FRL=RC=1k

Fig. B.27

Solución:Dado que Rc = R¿ = lkC), para un diagrama de dimensiones cómodas es cr

odoptar una escala de impedancia

Esc. Z = 100 9cm

comenzando la construcción en el plano de impedancia se empieza cuninductiva, para la cual:

Z¡,-- R¿+ jaL

De acuerdo a lo estudiado y a la oncula adoptado, resulta el diagrama paroZ¡,mt,rtfÉ=do cn la Fig. 8.28.

l,utrltttv,t gcrt»ut!rit,o,t ilc ltn,litttt,ltuto,¡ tla ,á o v

Fig. 8.28

Además:

32q

(n ¿t)

Zrlr=o - R¿ = looo e

Zrl,=roo = (looo + j5oo) cl

Zrlr=,ooo = (looo + Tlooo) a

Zrl,-- -» *lores que interpretados en la escala de impedancia permiten identificar enZ. Ios puntos que se desean.

Pasando a Ia rama capacitiva, se tiene:

Zc=Rc-'l't¡y resulta el diagrama de {. nroslruclo en lu Fl[, g,28, Aclemds:

d.e*r-}t\v r"¿u ' .\ ' -

/-- V, '-.'

ñt;:,*

o=5OO

o+€

o+0

el diagrama

330 Clrcaltor allatrlco§, Análtsis de modek¡s cl¡'r:ulktle't

Z¿lr-¡ a *

Zrlr=rro = (looo - i2ooo) o

Z¿1,=rooo = (looo - ilooo) o

26l,-* -+ o

vatores que interpretados en la escala de impedancia permiten identificar en el dittgtttttl8

de 26.los puntos que se desean.

§e deter¿n invertir ahora los lugares geométricos de Z¡y Zsrpa,a hallar los col,*l!

pondientes deVre 7.y luego ,r*uilor para hallar la admitancia total. Previo a lu lltveF=

,ión .on el objeto de pasar all plano de admitancia, se debe adoptar la escala' Si por e.leffi=

plo se desea que el punto inveiso correspondiente a la intersección de las semirrcclttt¡

ál e¡e real coincida con dicho punto, es posible adoptar:

Esc.Y = 10-4 lLcm

Con estos datos, y utilizando las propiedades e:tudiadas en el parágrafil ll,l¡

encuentran los lugares geométricos correspondientes a i, e vr. Para identificar cn lol ñ

mos puntos rn*"udo, en los diagramas dá impedancias, se unen dichos puntos coll €l

gen, y de allí se trazan semirrectas de forma que en cada una de ellas se cumpla lo sigult

Qr, = - Qz,

QY, = - Qz,

y donde dichas semirrectas cortan a los diagramas de admitancia pueden ubicarsc ltlfl

tos correspondientes a las pulsaciones indicadas'

Finalmente:

YT =7r+Yc

b) El diagrama de admitancia total se reduce a un punto sobre el eje rcul pnfC

1 = I =10-3uRL RC

Nótese que en la Fig. 8.28 a modo de ejemplo se han sumado parcialmente

Y,. + l, para úo = 5ool/s

V,, + 7" Puro a = 1000 l/s

rcsultando en amtros cuson 7y t l0-t U ,

Lugares geomélricot dc las funciones de Z e y 331

Es decir que el circuito se comporta como resistivo puro para todas las frecuencias;dicho en otras palabras, el circuito paralelo de dos ramas indicado en la Fig. g.27 paralos valores dados resuena a todas las frecuencias.En el Cap. l2 se estudiará este circuito en detalle.

8.9.5. Dado el circuito ilustrado en la Fig. g.29 se pide:

¡ = 1Hy

C=1pFRL=400l)

0<o<@

Fig. 8.29

a) Dibujar el diagrama de admitancia y marcar los puntos de los diagramas que corres_ponde a a¡ = 0;400; 800; 1200; 1600; 2000 e _.b) Indicar los puntos correspondientes a resonancia, en condiciones de factor de poten-

cia unitario y de admitancia mínima, hallando las frecuencias que le corresponden porinterpolación.

Solución:

a) comenzando la construcción en el prano de impedancia, representando el Iugargeométrico de la impedancia de la rama inductiva

Zt=Rr+joLadoptando una escala para impedancia:

Esc.Z=200Qcm

resulta la semirrecta indicada comoz¡en la Fig. g.30. sobre la misma pueden indicar_se los puntos correspondientes a las pulsaciones pedidas, calculando el valor de tasreactancias a esas frecuencias e interpretándoras en la escara de impedancia.

Invirtiendo el diagrama dc z¡, se harJfl er dc Í¡ en er prano de admitancia, adoptando unaEsc' Y= 2'5 ' 104 U/crn, S.obre.dicho diagrama, trazando semirrectas que forman un án-g:lo.9rr= -e4,, sc.detonninun lor puntoicorno*pondicntcs a las pulsaciones indicarJas.lenlendo trazado cl trctl th, circunl'€rÉ[cla qu€ os el lugar gcornétrico correspo¡dicrr-te a Y¡., se truza cl quo coruerpondo c P6 uultendo;

-

112 Cltt:ulkts cléctlcot, An¿llhlt da madabt

Y¿= jofquc pora distintos valores de o resulta una seminecta coincidente con el ejc imaginnrlrt, l€culculan luego sus valores paru los valores asignados a 0), se intetpretan en la esculu de ntlnll=

tnncias y se indican sobre dicho diagrama. Finalmente, el diagrama total se represcntu conltll

Y = Yr+ Yc

que en este gráfico se halla sumando parcialmente los valores deip7. po.o las pulsucionet

indicadas.

,l

E R (o)

/.-o/iIII

G (ü)

Lugnrut gcamétrlaot ela la,t,fitnalanes da Z e Y

b) Err cl dingrurrru de h ltig, t1,30, §l punto A corrcsponde a rcsonancia de condición

cle l'act<¡r clc potcnciu uniturio, quc rcsulta en una pulsación at= 920 I

El punto B, deterrninado por el menor lhsor trazado del eje de coorclenadas al diagru-ma, corresponde a resonancia de admitancia mínima, que se da para un valor de pulsacitlrr

at= 1030 aS

8.10 Problemas propuestos8.10.1. Dibujar los diagramas de impedancia y admitancia que se ilustran en la Flg. 8.3 l.

333

R=cteo=cteL=cte0<B<1

R=cte

C=ct€L=cte0<o<-

o=cte

B=cleL=cte0<C<a

Fig. 8.31

Fig. 8.32 F¡9. 8.33

334 Clrcuitos eléclrlcos. Andllsl,r ¿le modekt¡ clx:ultula,t

Resultados:

a) Ver Fig. 8.32.b) Ver Fig. 8.33.

Ver Fig. 8.34.Ver Fig. 8.35.

(u)

(o)

c)

ü

-L.loL

C-Oz/;r--'\

1"--Y

\;

-]r'ool.=a" I H

lc+o+

R

Fig. 8.35

F¡9.8.34

8.10.2. Construir el diagrama de impedancia para el circuito mostrado on hF|g.8.36.

Rl = cte

Rc = "t"C=cto

0=ctg

0<L<o

Flg. 8.36

Resultado

Ver Fig. 8.37.Nótese que en el mismo

zc =R^+ I" .lac

IYc '* tg

\

Lugares geomdtrlcw dt lutt.fbnelonos clc Z e y

+Yr

Iyp

*Zo

Es decir que el Iugar geométrico deZ, se convierte en el de Z¡B si se mide desde elnuevo eje de coordenadas O,.

8'10.3. Dado eI diagrama de impedancia mostrado en ra Fig. g.3g, se prde:

a) Dibujar el diagrama de admitancia correspondiente, identificando en el diagramn lospuntos correspondientes aR =0;2;4;6;g y l0 ohms yX=0;2;4;6;g y l0ohnrs,

Fig. 8.37

33.5

Yo=Yc

.Lp -

Zu=Rt

b) Identificar sobre el diagrama encontrado los puntos correspondientes a resonancia defactor de potencia unitario y de admitancia mínima.

Resultados:

a) En la Fig. 8,39 se ha dibujado el diagrama de impedancia dado y construido eldiagrama de admitancia pedido, adoptando las siguientes escalasi

Eac, Z. I gcm

,tEre, Y r Q,QII

cm I

. iB(ü

-tzeelL=9

jx (o) Y6

L+o

Gp R

#=o"

G(

*/t-*

L+0

.,á.r.-tsEe*,,

33ó C i n: u i t¡ t t¡ e lé e tI «t,¡, A ndlis lt¡ cle ¡no¡l e I o tt t' I n' u ltgl§

Fig. 8.38

i ,i ,/ // ,////.//l/,//',/'i ,/ // ,/' /,/' ,/| ,/ /' ,/ ../' .//I ,/ /' ,' ../ ./

| / / ,t' .,' ../ ,'! i/r'r/,r'-"

/i/l?r-'-i/Zi::-------,\..--..-

§i:\.\\\

Nllg, t.t9 E,,l*nr, . (too - l2Eo) n

Lu!¿ctres gcomátrlcor clc lar Junckmct d¿ Z e Y

b) El punto A indica el correspondiente a resonancia de factor de potencia unitario,

y el B el de admitancia mfnima.

8.10.4. Para el circuito ilustrado en la Fig. 8.40 se desea:

a) Construir el diagrama de impedancia.

b) Determinar gráficamente los valores aeZrYZou correspondientes a úr.¡ =

Rl =500(¿R=tkL=50mHY

C=0,5pF

03f<o

Fig. 8.40

Resultados:

a) Ver Fig. 8.41. Se utilizaron: Esc. Z =.

Nótese que en el mismo

Y=2

Por lo tanto, el lugar geométrico de Zo

337

to4I.s

to{llcm

200 Q ; Esc.

cm

t(,r-*)I

Yp

Rr+2,se convierte en

.l

Yo = n*ze

4¿.AB -

nuevo eje de coordenadas O'.

b) Identificado Tolr=ro" se determinan los fasores

el de Zou si

_tzr,lr=rcn Y

se mide desde el

I

Zenlr-,¡' del

gráfico, resulta:

Nel7r) = 0,5 cm =+ looo

sml?'rl. 1,5 cm + 3oo o

Clrcultos tllclrlcos, Andlbls ds moclalot Lul¡ttws goomhrlc;ot da las funclenet clc Z c Y

ZparaR=aeyX*ae

YparaX=cioyR*cts

339

.f.cfZ¡sl=3 cm+600o

smlZ^rl = 1,5 cm =) 3oo e

Zorlr=,oo = (600 - i3oo) ct

I x-.

Jx---

9par.R¡ol.yXÉcl.

ZparaX'ctryRrol(

R (O)

#f p=cte=o;2;l;o;a;to{ --. x.-(

J x = cre =-o;-+;-ztoiz:4ta

I osn.-

a)

Fig. 8.41 Fig. 8.42

8.10.5. Para el circuito ilustrado en Ia Fig. 8.42 se pide:

Dibujar los diagramas de impedancias para los datos.F19.8.43

340

b)

c)

Dibujnr los diagruntus tlc ¿tdmituttciu corresportdientcs a

punto a).

Hallar gráficilmentc los valclrcs de las componentes G

impedancia/=1++¡4)Q.

Resultados:

C I n' u I t o ¡ e I é t: t lc. o s. A n tl I I s l,r d a mo ¡l ¿ kt* ¡: I n' u I t a lO,

los lugurcs gcorrélriuor tlcl

y B que comcsponrlutt H h

a) Adoptando Esc. Z= I + ; el diagrama de impedancia está com¡rttmltl ¡tttt' látcm

rectas verticales y semirrectas horizontales mostradas en la Fig' 8.43,

b) Por inversión del diagrama anterior se llega al de admitancia, compuerto prlt lnl

circunferencias y semicircunferencias indicadas. Se adoptó Esc, I = 0,05 .Ll.¡,t,ll l

c) Se ubica en el plano de impedancia el punto Z = G + j4) a, por esc pullt(t pareñ

larectacorrespondiente a R =4A y X *cte; y X=4 O y R *ctc¡ rJotttle Einterceptan sus inversas en el plano 7 resulta el valor de admitultcill cttl'l€¡=

pondiente,

,te[Y-] = 2,5 cm = G = 0,125 U

smlvl= -2,5 cm = B=- 0,125 ?J

Y = (0,125 - j0,125) O

Capít

Régimen permanente decircuitos exc¡tados porseñales poliarmónicas

9.1 lntroducciónEn el Cap. 7 se estudió la respuesta de circuitos excitados por señales senoidales en régi-men pernanente, y las potencias que se desarrollan en los mismos.

Pero es de hacer notar que existen muchos casos en los cuales la forma de señal dcexcitación difiere considerablemente de la senoidal. Por otra parte, para dar un ejemploelemental, se mencionarán dispositivos tales como los rectificadores, en los cuales a pesarde que la excitación es senoidal, la forma de señal de respuesta no lo es.

Afortunadamente existe una gran cantidad de señales periódicas que pueden descom-ponerse en componentes armónicas. Estas señales, llamadas poliarmónicas, fueron desa-rrolladas en el Cap. 2, y además se calcularon sus valores característicos.

Es por ello que, en este capítulo, se desarrollará un método para resolver circuitos ex-citados por señales poliarmónicas en régimen permanente. Dado que cada componente es

senoidal, además de la posibilidad de existencia de una continua, se hará referencia a al-gunos conceptos y métodos de resolución estudiados en el Cap. 7 paracada componcnteen particular.

Se dará comienzo con una revisión de los conceptos de dominio de tiempo y fre-cuencia. Luego se verá la forma de aplicar el principio de superposición con el objeto dcencontrar un método para la obtención del régimen permanente de un circuitct excitctdopor una señal poliarmónica. Finalmente se estudiarán las potencias que existen en estostipos de circuitos.

9.2 Descripción de una señal en el domlnlo del tiempoy en e¡ de frecuencla

Tendrá lugar una rovisión de lor conceptos dados an ol Cap. 2, parágrafo 2,3.5, sobrealgunos aspectos tlel desurrollo de soñalcc perlódicna no scnoidalcs en Serie de Fourier.