analisis real 2 turunan
DESCRIPTION
Analisis Real 2 TURUNANTRANSCRIPT
-
1
BAB I
TURUNAN/DIFFERENTATION
1.1. Turunan Fungsi
Definisi 1.1.1:
Misalkan I R adalah interval fungsi :f I R dan c I , Bilangan real L
dikatakan derivatif dari f di c jika diberikan sebarang bilangan 0 terdapat
bilangan ( , ) 0c sehingga untuk setiap x I dengan C berlaku:
L
cx
cfxf )()(.
Dalam hal ini dikatakan bahwa, f diferensiabel di c, dan L ditulis dengan '( )f c .
Dengan kata lain, derivatif dari f di c diberikan oleh limit
cx
cfxfcf
cx
)()(lim)('
asalkan limitnya ada. Sebagai akibat ketunggalan limit fungsi, maka derivatif (jika
ada) dari fungsi di suatu titik adalah tunggal.
Catatan: Domain fungsi f tidak harus berupa interval (karena titik c yang
diperlukan hanyalah elemen dari domain yang sekaligus titik limit dari domain
tersebut). Hanya saja, akan lebih mudah bagi pembaca untuk memahami
pengertian derivatif pada fungsi yang terdefinisi pada interval. Oleh karena itu,
pembahasan dibatasi pada fungsi yang demikian.
Contoh:
1. Jika 2( )f x x untuk x R , maka untuk setiap c R ,
ccxcx
cx
cx
cfxfcf
cxcxcx2)(limlim
)()(lim)('
22
Dalam hal ini, fungsi f terdefinisi pada R dan '( ) 2f x x untuk x R .
2. Jika ( )h x x , x R maka h tidak diferensiabel di 0. Karena untuk 0x
1 jika 0( ) (0)
1 jika 00
xxh x h
xx x
, sehingga
0
( ) (0)lim
0x
h x h
x
tidak ada.
-
2
Teorema 1.1.2:
Jika fungsi :f I R differensiabel di c I , maka f kontinu di titik c.
Bukti: Untuk sebarang x I , x c , diperoleh
)()()(
)()( cxcx
cfxfcfxf
Karena '( )f c ada, maka dengan mengaplikasikan teorema perkalian limit
diperoleh
00)(')(lim)()(lim))()((lim
cfcx
cx
cfxfcfxf
cxcxcx
Jadi )()(lim cfxfcx
, sehingga f kontinu di c.
Kekontinuan fungsi di suatu titik tidak menjamin eksistensi derivatif fungsi di
titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi h pada contoh 2 di atas kontinu di titik 0
tetapi h tidak diferensiabel di titik tersebut. Jadi, kekontinuan fungsi di suatu titik,
bukan syarat cukup agar fungsi tersebut diferensiabel di titik tersebut.
Teorema 1.1.3:
Jika I R adalah interval, c I , dan fungsi , :f g I R adalah fungsi-fungsi
yang differensiabel di c, maka
(a) Jika R , maka fungsi f differensiabel di c dan
)('))('( cfcf
(b) Fungsi f g differensiabel di c dan
)(')(')()'( cgcfcgf
(c) (Aturan perkalian) Fungsi fg differensiabel di c dan
)(')()()(')()'( cgcfcgcfcfg
(d) (Aturan pembagian) Jika ( ) 0g c , maka fungsi /f g differensiabel di c , dan
2))((
)(')()()(')('
cg
cgcfcgcfc
g
f
-
3
Bukti:
(a) Jika cx
cfxfcf
cx
)()(lim)(' , maka
( ) ( )
' ( ) limx c
f x f cf c
x c
( ) ( )limx c
f x f c
x c
( ) ( )limx c
f x f c
x c
( ) ( )limx c
f x f c
x c
'( )f c ..............................terbukti.
(b) Misalkan p f g , maka ( ) ( )
'( ) limx c
p x p cp c
x c
sehingga, ( ) ( )
'( ) limx c
p x p cp c
x c
( ) ( )
'( ) limx c
f g x f g cf g c
x c
( )limx c
f x g x f c g c
x c
( )limx c
f x g x f c g c
x c
( )limx c
f x f c g x g c
x c
( )lim limx c x c
f x f c g x g c
x c x c
'( ) '( )...............................f c g c terbukti
(c) Misalkan p fg , untuk ,x I x c , diperoleh
-
4
cx
cgxgcfxg
cx
cfxf
cx
cgcfxgcfxgcfxgxf
cx
cgcfxgxf
cx
cpxp
)()()()(
)()(
)()()()()()()()(
)()()()()()(
Karena g kontinu di c, dengan teorema 1.1.2, maka )()(lim cgxgcx
. Karena f
dan g diferensiabel di c, dari teorema limit perkalian fungsi, disimpulkan bahwa
)(')()()(')()(
lim cgcfcgcfcx
cpxp
cx
Jadi p fg diferensiabel di c dan )(')()()(')()'( cgcfcgcfcfg terbukti.
(d) Misalkan /q f g . Karena g diferensiabel di c, maka dengan teorema 1.1.2, g
kontinu di c. Karena ( ) 0g c , maka terdapat interval J I dengan c J sehingga
( ) 0g x untuk setiap x J . Untuk x J , x c , diperoleh:
( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
q x q c f x g x f c g c
x c x c
f x g c f c g x
g x g c x c
f x g c f c g c f c g c f c g x
g x g c x c
f x f c g xg c f c
g x g c x c
( )g c
x c
Dengan memanfaatkan kekontinuan dari g di c dan bahwa f dan g diferensiabel di
c, disimpulkan bahwa
2))((
)(')()()(')()(lim)('
cg
cgcfcgcf
cx
cqxqcq
cx
Jadi /q f g diferensiabel di c dan 2))((
)(')()()(')('
cg
cgcfcgcfc
g
f
terbukti.
Dengan induksi matematika teorema di atas dapat dikembangkan aturan
diferensiasi berikut.
-
5
Akibat 1.1.4:
Jika 1 2, ,..., nf f f adalah fungsi-fungsi dari interval I ke R yang diferensiabel di c,
maka
(a) Fungsi 1 2 ... nf f f diferensiabel di c, dan
1 2 1 2... ' '( ) '( ) ... '( )n nf f f c f c f c f c ,
(b) Fungsi 1 2... nf f f diferensiabel di c, dan
1 2 1 2 1 2
1 2
... '( ) '( ) ( )... ( ) ( ) '( )... ( ) ...
( ) ( )... '( )
n n n
n
f f f c f c f c f c f c f c f c
f c f c f c
Khususnya, jika 2 ... 1 nf f f maka (6.8) menjadi
1
'( ) ( ) ( )
n
n n nf c n f c f c
Catatan: Jika I R adalah interval dan fungsi :f I R , kita telah
memperkenalkan notasi 'f untuk menyatakan fungsi yang domainnya adalah
subset dari I dan nilainya di titik c adalah derivatif '( )f c dari f di titik c. Ada
notasi lain yang kadang-kadang digunakan untuk 'f ; sebagai contoh, ada yang
menulis Df untuk 'f . Oleh karena itu, bentuk sifat (b) dan (c) kadang-kadang
ditulis dalam bentuk:
( )D f g Df Dg , ( ) . .D fg Df g Dg f
Ketika x adalah variabel bebas, dalam perkuliahan awal, pada umumnya 'f
ditulis /df dx . Sehingga bentuk sifat (c) kadang-kadang ditulis dalam bentuk
( ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( )d df dg
f x g x x g x f x xdx dx dx
.
Aturan Rantai
-
6
Teorema diferensiasi pada fungsi komposisi berikut dikenal sebagai
Aturan Rantai. Teorema ini memberikan bentuk derivatif dari fungsi
komposisi fg .
Jika f diferensiabel di c dan g diferensiabel di ( )f c , maka akan
ditunjukkan bahwa derivatif dari fungsi komposisi fg di c adalah (
) ' c '( ( )) '( )g f g f c f c . Dalam hal ini dapat ditulis dengan
( ) ' ( ' ) 'g f g f f .
Ide dari aturan rantai didapat dari pengamatan bahwa
cx
cfxf
cfxf
cfgxfg
cx
cfgxfg
)()(
)()(
))(())(())(())((.
Tetapi sayangnya faktor pertama dalam perkalian di atas dapat saja tidak
terdefinisi, yaitu pada saat penyebutnya ( ) ( )f x f c bernilai 0 untuk nilai dari x
yang mendekati c dan hal ini merupakan suatu permasalahan. Hasil berikut akan
mengatasi masalah tersebut.
Teorema 1.1.5 (Aturan Rantai)
Misalkan ,I J R adalah interval-interval di dalam R, :g I R dan
:f J R . Jika f diferensiabel di c I dan g diferensiabel di ( )f c , maka fungsi
komposisi fg diferensiabel di c dan
)('))((')()'( cfcfgcfg
Bukti: Misalkan d = f(c) dan G didefinisikan pada I dengan
( ) ( );
( )
'( ) ;
g y g dy d
y dG y
g d y d
Karena g diferensiabel di d, maka diperoleh )()(')(lim dGdgyGdy
. Jadi, G
juga kontinu di d. Sekarang, karena f kontinu di c (dengan Teorema 1.1.2) dan
( )f J I dari teorema komposisi fungsi kontinu, maka fG kontinu di c, yaitu
-
7
))((')(lim)(lim cfgyGxfGdycx
.
Selanjutnya dari definisi G diperoleh bahwa
( ) ( ) ( )( )g y g d G y y d untuk setiap y I .
Oleh karena itu, jika ,x J x c diperoleh
cx
cfxfxfG
cx
cfgxfg
)()()(
)()(
Akibatnya diperoleh
)('))((')()(
lim cfcfgcx
cfgxfg
cx
.
Jadi, fg diferensiabel di cI dan persamaan (6.10) dipenuhi.
Jika g diferensiabel pada I dan f diferensiabel pada J, maka dengan Aturan
rantai diperoleh ( ) ' ( ' ) 'g f g f f , yang juga dapat ditulis sebagai
DffDgfgD ))(()( .
Contoh:
(a) Jika :f I R diferensiabel pada I dan ( ) ng y y untuk ,y R n N , maka
1'( ) . ng y ny Sehingga dengan Aturan rantai diperoleh
)('))((')()'( xfxfgxfg
untuk .x I Oleh karena itu diperoleh 1'( ) ( ( )) '( )n nf x n f x f x untuk semua
.x I
(b) Misalkan :f I R diferensiabel pada I, ( ) 0f x ,dan '( ) 0f x untuk .x I
Jika ( ) 1/h y y untuk 0y , maka 2'( ) 1/ h y y , 0y . Sehingga diperoleh
2))((
)(')('))((')()'()('
1
xf
xfxfxfhxfhx
f
untuk .x I
(c) Jika ( ) sinS x x dan ( ) cosC x x untuk x R maka '( ) cos ( ) S x x C x dan
'( ) sin ( ) C x x S x untuk x R . Dengan menggunakan fakta ini dan definisi
-
8
xx
x
xx
cos
1sec,
cos
sintan
untuk 2 1 ,x k k N , maka dengan mengaplikasikan Aturan Pembagian,
diperoleh
2
22)(sec
)(cos
1
)(cos
)sin)((sin))(cos(costan x
xx
xxxxxD
dan
))(tan(sec)(cos
sin
)(cos
)sin(10sec
22xx
x
x
x
xxD
untuk 2 1 ,x k k N .
Fungsi Invers
Teorema 1.1.6 Misalkan I R adalah interval dan fungsi :f I R monoton
murni dan kontinu pada I. Misalkan ( )J f I dan :g J R monoton murni dan
merupakan fungsi invers kontinu dari f. Jika f diferensiabel di c I dan '( ) 0f c
, maka g diferensiabel di ( )d f c , dan
))(('
1
)('
1)('
dgfcfdg
Bukti:
Untuk , y J y d didefinisikan
)()(
))(())(()(
dgyg
dgfygfyH
Karena :g J R monoton murni, maka ( ) ( )g y g d untuk , y d J dengan y d
, sehingga H well-defined pada J. Juga karena ( ( ))d f g d , maka diperoleh
)()()(
dgyg
dyyH
,
sehingga ( ) 0H y untuk , y J y d .
Akan dibuktikan bahwa )(')(lim cfyHdy
. Diberikan sebarang 0 .
Karena f diferensiabel di ( )c g d , maka terdapat >0 sehingga untuk
0 , x c x I , berlaku
-
9
)('
)()(cf
cx
cfxf.
Tetapi karena g kontinu di ( )d f c , maka untuk di atas, terdapat 0
sehingga untuk 0 , y d y J berlaku
( ) ( ) g y g d .
Karena g satu-satu dan ( )c g d , diperoleh ( ) g y c untuk
0 , y d y J . Hal ini mengakibatkan
)('
)()(
))(())(()(')( cf
dgyg
dgfygfcfyH
apabila 0 , y d y J . Karena 0 sebarang, maka )(')(lim cfyHdy
.
Tetapi, telah diketahui sebelumnya bahwa ( ) 0H y untuk , y J y d . Karena
)(
1)()(
yHdy
dgyg
untuk , y J y d , maka disimpulkan bahwa
)('
1
)(lim
1
)(
1lim
)()(lim
cfyHyHdy
dgyg
dydydy
Jadi, '( )g d ada dan nilainya sama dengan 1/ '( ).f c
Teorema 1.1.7
Misalkan I R adalah interval dan fungsi :f I R monoton murni pada I.
Misalkan ( )J f I dan :g J R merupakan fungsi invers dari f. Jika f
diferensiabel pada I dan '( ) 0f x untuk x I , maka g diferensiabel pada J, dan
gf
g'
1'
Bukti: Jika f diferensiabel pada I, menurut Teorema 6.1.3 maka f kontinu pada
I. Sehingga dengan Teorema Invers Kontinu, fungsi invers g kontinu pada J.
Selanjutnya dengan Teorema 1.1.6, maka persamaan gf
g'
1' dipenuhi.
-
10
Catatan: Jika :f I R dan :g J R fungsi-fungsi yang monoton murni pada
Teorema 1.1.7. Telah ditunjukkan bahwa jika '( ) 0f x untuk x I , maka g
diferensiabel pada J dan persamaan teorema 1.1.7 dapat ditulis sebagai
1
'( )' ( )
g yf g y
untuk y J
atau dalam bentuk
1
' ( )'( )
g f xf x
untuk x I.
Dapat juga ditulis dalam bentuk ' 1 /g x f x .
Contoh
Misalkan n N bilangan genap, [0, )I = , dan ( ) nf x x untuk x I . Dapat
ditunjukkan bahwa f naik murni dan kontinu pada I, sehingga untuk [0, ) y J ,
fungsi invers 1/( ) ng y y juga merupakan fungsi naik murni dan kontinu pada J.
Lebih lanjut, diperoleh 1'( ) nf x nx untuk x I . Akibatnya, jika 0y , maka
'( )g y ada, dan
nnnnn nyynygnygfyg
/)1(1/11
1
)(
1
))((
1
))(('
1)('
.
Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa
1)/1(1
)(' nyn
yg untuk 0y .
Tetapi, g tidak diferensiabel di 0.
1.2 Teorema Nilai Rata-rata
Teorema Nilai Rata-Rata, yang menghubungkan nilai dari suatu fungsi
dengan nilai dari derivatifnya, merupakan salah satu hasil analisis real yang
banyak manfaatnya. Pada subbab ini akan dijelaskan teorema penting tersebut
beserta beberapa contoh aplikasinya.
Akan dimulai dengan melihat hubungan antara ekstrim relatif dari suatu
fungsi dengan nilai dari derivatifnya. Ingat kembali bahwa fungsi f : I
dikatakan mempunyai maksimum relatif [atau minimum relatif] di c I jika
-
11
terdapat persekitaran ( )V V c dari c sehingga ( ) ( )f c f x [atau ( ) ( )f c f x ]
untuk semua x di dalam V I . Fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim relatif di
c I jika f mempunyai maksimum relatif atau minimum relatif di c.
Teorema 1.2.1 (Teorema Ekstrim Dalam)
Misalkan c adalah titik dalam dari interval I dan :f I R mempunyai ekstrim
relative di c. Jika derivatif dari f di c ada, maka '( ) 0f c .
Bukti:
Akan dibuktikan untuk kasus f mempunyai maksimum relatif di c, sedangkan
untuk kasus f mempunyai minimum relatif di c dapat dibuktikan dengan cara
yang sama.
Andaikan '( ) 0f c , maka terdapat persekitaran ( )V c I sehingga
0)()(
cx
cfxf untuk ( ),x V c x c .
Jika ( ),x V c x c , maka diperoleh
.0)()(
)()()(
cx
cfxfcxcfxf
Tetapi hal ini kontradiksi dengan hipotesis bahwa f mempunyai maksimum relatif
di c. Jadi pengandaian '( ) 0f c salah.
Andaikan '( ) 0f c , maka terdapat persekitaran ( )V c I sehingga
( ) ( )
0f x f c
x c
untuk ( ),x V c x c .
Jika ( ),x V c x c , maka diperoleh
.0)()(
)()()(
cx
cfxfcxcfxf
Hal ini juga kontradiksi dengan hipotesis bahwa f mempunyai maksimum relatif
di c. Jadi pengandaian '( ) 0f c juga salah. Jadi, haruslah '( ) 0f c .
-
12
Akibat 1.2.2
Jika :f I R kontinu pada interval I dan f mencapai ekstrim relatif di titik c
di dalam I, maka berlaku salah satu derivatif dari f di c tidak ada atau nilainya
sama dengan nol.
Untuk memperjelas pemahaman akibat 1.2.2, perhatikan contoh berikut,
jika ( ) f x x pada I = [-1, 1], maka f mempunyai minimum relatif di 0x ,
tetapi f tidak diferensiabel di 0x .
Teorema 1.2.3 (Teorema Rolle)
Jika f kontinu pada interval tertutup [ , ]I a b dan diferensiabel pada interval
terbuka ( , )a b , dengan ( ) ( ) 0 f a f b , maka terdapat sedikitnya satu titik c di
dalam interval terbuka ( , )a b sehingga '( ) 0f c . (Lihat Gambar 1.2.1)
Bukti: Jika f fungsi nol pada I, maka sebarang titik c di dalam ( , )a b memenuhi
kesimpulan dalam teorema. Oleh karena itu dianggap bahwa f bukan fungsi nol
pada I. Jika perlu
Gambar 1.2.1 Teorema Rolle
gantikan f dengan f dan diasumsikan f nilainya ada yang positif. Dengan
Teorema Maksimum-Minimum, fungsi f mencapai maksimum di suatu titik c I
dengan ( ) 0f c . Karena ( ) ( ) 0 f a f b , maka titik c haruslah berada di dalam
-
13
( , )a b . Menurut yang diketahui '( )f c ada. Karena f mempunyai maksimum relatif
di c, maka dengan Teorema Ekstrim Dalam 1.2.1, di simpulkan bahwa '( ) 0f c .
Berikut adalah hasil yang merupakan akibat dari Teorema Rolle, yang
dikenal sebagai Teorema Nilai Rata-rata.
Teorema 1.2.4 (Teorema Nilai Rata-Rata)
Jika f fungsi kontinu pada interval tertutup [ , ]I a b dan diferensiabel pada
interval terbuka ( , )a b , maka terdapat sedikitnya satu titik c di dalam ( , )a b
sehingga
( ) ( ) '( )( ) f b f a f c b a .
Bukti:
Perhatikan fungsi yang didefinisikan pada I dengan
).()()(
)()()( axab
afbfafxfx
[Fungsi adalah nilai dari selisih fungsi f dengan fungsi yang grafiknya adalah
ruas garis yang menghubungkan titik ( , ( ))a f a dan ( , ( ))b f b ; lihat Gambar 1.2.2].
Dalam hal ini hipotesis dari Teorema Rolle dipenuhi oleh , karena kontinu
pada [ , ]a b , diferensiabel pada ( , )a b , dan ( ) ( ) 0 a b . Oleh karena itu, terdapat
titik c di dalam ( , )a b sehingga
.
)()()(')('0
ab
afbfcfc
Jadi ( ) ( ) '( )( ) f b f a f c b a .
Interpretasi geometri dari Teorema Nilai Rata-Rata adalah bahwa terdapat
suatu titik pada kurva ( )y f x sehingga garis singgung di titik tersebut sejajar
dengan garis yang melalui dua titik ( , ( ))a f a dan ( , ( ))b f b .
-
14
Dari Teorema Nilai Rata-rata, dapat diambil kesimpulan mengenai sifat-
sifat dari suatu fungsi dengan menggunakan informasi yang didapat dari
derivatifnya. Hal ini dapat dilihat pada teorema berikut.
Teorema 1.2.5
Jika f kontinu pada interval tertutup [ , ]I a b , diferensiabel pada interval terbuka
( , )a b , dan '( ) 0f x untuk ( , )x a b , maka f fungsi konstan pada I.
Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa ( ) ( )f x f a untuk semua [ , ]x a b . Jika diberikan
sebarang [ , ]x a b , x a , maka dengan mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-
Rata pada f pada interval tertutup [ , ]xI a x terdapat titik c (yang bergantung pada
x) di antara a dan x sehingga
( ) ( ) '( )( ) f x f a f c x a
Gambar 1.2.2 Teorema Nilai Rata-rata.
a x c b
(x)
-
15
Karena '( ) 0f c (dari hipotesis), maka disimpulkan bahwa ( ) ( ) 0. f x f a
Karena [ , ]x a b diambil sebarang, maka ( ) ( )f x f a untuk semua [ , ]x a b .
Akibat 1.2.6 :
Jika f dan g fungsi kontinu pada [ , ]I a b , diferensiabel pada ( , )a b dan
'( ) '( )f x g x untuk semua ( , )x a b , maka terdapat konstanta C sehingga
f x g x C pada I.
Bukti:
Didefinisikan suatu fungsi ,h x f x g x x I sehingga
' ' 'h x f x g x . Karena ' 'f x g x , maka ' 0h x , sehingga
berdasarkan teorema 1.2.5 h x C pada ,a b . Dengan demikian
, ,f x g x C x I a b .
Contoh:
Diberikan dua fungsi bernilai real f dan g yang masing-masing didefinisikan
dengan 23 , 2,2g x x x dan 23 4, 2,2f x x x .
Perhatikan bahwa ' 'f x g x , 2,2x
Teorema 1.2.7
Jika :f I R diferensiabel pada I, maka
(a) f naik pada I jika dan hanya jika '( ) 0f x untuk semua x I .
(b) f turun pada I jika dan hanya jika '( ) 0f x untuk semua x I .
-
16
Bukti:
(a) ( )
Misalkan '( ) 0f x untuk semua x I . Jika 1 2, x x I , dengan 1 2x x , maka dengan
mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata untuk f pada interval 1 2[ , ]J x x
terdapat titik c di antara 1 2( , )x x sehingga
2 1 2 1( ) ( ) '( )( ) f x f x f c x x .
Karena '( ) 0f c dan 2 1 0x x , maka 2 1( ) ( ) 0 f x f x . Sehingga 1 2( ) ( ).f x f x
Karena 1 2x x adalah sebarang titik di dalam I, maka f naik pada I.
( )
Untuk bukti sebaliknya, misalkan f diferensiabel dan naik pada I. Untuk sebarang
c I , jika x c atau x c untuk x I , maka diperoleh
( ) ( ) /( ) 0 f x f c x c .
Akibatnya dengan teorema kemonotonan limit disimpulkan bahwa
cx
cfxfcf
cx
)()(lim)(' 0.
(b)
( )
Misalkan '( ) 0f x untuk semua x I . Jika 1 2, x x I , dengan 1 2x x , maka
dengan mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata untuk f pada interval
1 2[ , ]J x x terdapat titik c di antara 1 2( , )x x sehingga
2 1 2 1( ) ( ) '( )( ) f x f x f c x x .
Karena '( ) 0f c dan 2 1 0x x , maka 2 1( ) ( ) 0f x f x . Sehingga
1 2( ) ( ).f x f x Karena 1 2x x adalah sebarang titik di dalam I, maka f turun
pada I.
-
17
( ) Untuk bukti sebaliknya, misalkan f diferensiabel dan turun pada I. Untuk
sebarang c I , jika x c atau x c untuk x I , maka diperoleh
( ) ( ) / ( ) 0f x f c x c .
Akibatnya dengan teorema kemonotonan limit disimpulkan bahwa
( ) ( )'( ) lim 0
x c
f x f cf c
x c
.
Fungsi f dikatakan naik murni pada interval I jika untuk sebarang titik
1 2, x x I , dengan 1 2x x maka 1 2( ) ( ).f x f x Selanjutnya akan ditentukan syarat
cukup bagi suatu fungsi agar mempunyai ekstrim relatif di titik dalam pada suatu
interval. Kondisi tersebut lebih dikenal sebagai Uji Derivatif Pertama.
Teorema 1.2.8 (Uji Derivatif Pertama untuk Ekstrim)
Misalkan f fungsi kontinu pada interval [ , ]I a b dan c titik dalam dari I. Jika f
diferensiabel pada ( , )a c dan ( , )c b , maka:
(a) Jika terdapat persekitaran ( , ) c c I sehingga '( ) 0f x untuk
c x c dan '( ) 0f x untuk c x c , maka f mempunyai maksimum
relatif di c.
(b) Jika terdapat persekitaran ( , ) c c I sehingga '( ) 0f x untuk c x c
dan '( ) 0f x untuk c x c , maka f mempunyai minimum relatif di c.
Bukti:
(a) Jika ( , ) x c c , maka menurut Teorema Nilai Rata-Rata terdapat titik
( , )xc c x sehingga ( ) ( ) '( )( ) xf c f x f c c x . Karena '( ) 0xf c , maka ( ) ( )f x f c
untuk ( , ) x c c . Dengan cara yang sama (tunjukkan) akan diperoleh
( ) ( )f x f c untuk ( , ) x c c . Jadi f mempunyai maksimum relatif di c.
(b) Bukti menggunakan cara yang sama seperti pada (a).
-
18
Kebalikan dari Uji Derivatif Pertama 1.2.8 tidak benar. Sebagai contoh,
fungsi :f R R yang didefinisikan dengan
4 4 12 sin( ) ; 0( )
0 ; 0
xx x x
f xx
mempunyai minimum global di 0x tetapi 'f bernilai positif dan negatif di
sekitar titik 0x .
Ketaksamaan
Salah satu kegunaan dari Teorema Nilai Rata-Rata adalah untuk
memperoleh beberapa ketaksamaan. Ketika informasi mengenai derivatif dari
suatu fungsi diberikan, informasi tersebut dapat digunakan untuk mengambil
kesimpulan mengenai beberapa sifat dari fungsi itu sendiri.
Contoh :
(a) Fungsi eksponensial ( ) xf x e mempunyai derivatif '( ) xf x e untuk semua
x R . Oleh karena itu '( ) 1f x untuk 0x , dan '( ) 1f x untuk 0.x Dari
hubungan tersebut dapat digunakan untuk menurunkan ketaksamaan
1 xe x untuk x R (*)
dengan kesamaannya akan diperoleh jika dan hanya jika 0x .
Jika 0x , maka kedua ruas ketaksamaan bernilai 1. Jika 0x , dengan
menggunakan Teorema Nilai Rata-Rata 6.2.4 terhadap fungsi f pada interval [0, ]x
, maka terdapat c dengan 0 c x sehingga
0 ( 0) x ce e e x .
Karena 0 1e dan 1ce , maka 1 xe x untuk 0x . Argumen yang sama juga
digunakan untuk menghasilkan ketaksamaan yang sama untuk 0.x Jadi
ketaksamaan (*) dipenuhi untuk semua x, dan kesamaan akan diperoleh hanya jika
0x .
-
19
(b) Fungsi ( ) sing x x mempunyai derivatif '( ) cosg x x untuk semua .x Jelas
bahwa 1 cos 1 x untuk semua .x Akan ditunjukkan bahwa
sin x x x untuk semua 0x . (**)
Pertama, jika diaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata terhadap g pada interval
[0, ]x , dengan 0x , diperoleh
sin sin0 cos ( 0) x c x
untuk suatu c diantara 0 dan x. Karena sin0 0 dan 1 cos 1 c , maka
sin x x x . Karena kesamaan dipenuhi untuk 0x , maka ketaksamaan (**)
dipenuhi.
(c) Jika bilangan real sehingga 0 1 , 0a dan 0b , maka
1 (1 )a b a b . (#)
Misalkan ( )g x x x untuk 0x , maka 1'( ) (1 )g x x . Sehingga
'( ) 0g x untuk 0 1x dan '( ) 0g x untuk 1x . Akibatnya, ( ) (1)g x g
untuk 0x , dan ( ) (1)g x g jika dan hanya jika x = 1. Oleh karena itu, jika 0x
dan 0 1 , maka
(1 )x x .
Khususnya, jika diambil x a b dan kedua ruas dikalikan dengan b, diperoleh
ketaksamaan (#) yang kesamaannya dipenuhi jika dan hanya jika a = b.
Sifat Nilai Antara dari Derivatif
Pada bagian ini akan dipelajari Teorema Darboux. Dimulai dengan jika f
fungsi diferensiabel di setiap titik dari suatu interval I, maka fungsi 'f
mempunyai Sifat Nilai Antara. Hal ini berarti bahwa, jika 'f mempunyai nilai A
dan B, maka 'f juga mengambil semua nilai diantara A dan B. Pembaca akan
menyadari bahwa sifat ini merupakan salah satu konsekuensi dari kekontinuan
-
20
yang telah ditetapkan pada Teorema Nilai Antara Bolzano. Hal yang luar biasa
adalah bahwa derivatif yang tidak kontinu juga dapat memenuhi sifat ini.
Lemma 1.2.11
Jika I R adalah interval, :f I R diferensial di c, maka:
(a) Jika '( ) 0f c , maka terdapat bilangan 0 sehingga ( ) ( )f x f c untuk x I
dengan c x c .
(b) Jika '( ) 0f c , maka terdapat bilangan 0 sehingga ( ) ( )f x f c untuk x I
dengan . c x c
Bukti:
(a) Karena 0)(')()(
lim
cf
cx
cfxf
cx, maka terdapat 0 sehingga untuk
0 x c , x I , berlaku
0)()(
cx
cfxf
.
Akibatnya, untuk x I dengan x c , maka diperoleh
( ) ( )( ) ( ) ( ) 0
f x f cf x f c x c
x c
.
Jadi, jika x I dengan c x c , maka ( ) ( )f x f c .
(b) Bukti menggunakan cara yang sama dengan (a).
Teorema 1.2.12 (Teorema Darboux)
Jika f diferensiabel pada [ , ]I a b dan k bilangan diantara '( )f a dan '( )f b ,
maka terdapat paling sedikit satu titik ( , )c a b sehingga '( )f c k .
Bukti:
Misalkan '( ) '( )f a k f b . Definisikan g pada I dengan ( ) ( )g x kx f x untuk
x I . Mudah difahami bahwa g kontinu pada I, sehingga ia mencapai maksimum
pada I. Karena '( ) '( ) 0g a k f a , maka dengan Lemma 1.2.11 (a) maksimum
-
21
dari g tidak terjadi di x a . Serupa, karena '( ) '( ) 0g b k f b , maka dengan
Lemma 1.2.11 (b) maksimum dari g tidak terjadi di x = b. Oleh karena itu, g
mencapai maksimum di suatu titik ( , )c a b . Akibatnya dengan Teorema 1.2.1
haruslah 0 '( ) '( )g c k f c . Jadi '( )f c k .
Contoh :
Fungsi : 1,1g R yang didefinisikan dengan
1 ; 0
( ) 0 ; 0
1 ; 0
x
g x x
x
jelas tidak memenuhi sifat nilai antara pada interval [-1,1]. Oleh karena itu,
dengan Teorema Darboux, tidak ada fungsi f sehingga '( ) ( )f x g x untuk semua
[ 1,1]x . Dengan kata lain, g bukan derivatif dari sebarang fungsi pada [-1,1].
1.3 Aturan LHospital
Marquis Guillame Franqois LHospital (1661-1704) adalah pengarang
buku kalkulus pertama, Lanalyse des infiniment petits, yang diterbitkan pada
tahun 1696. Dia mempelajari kalkulus diferensial dari Johann Bernoulli (1667-
1748), saat pertama kali Bernoulli mengunjungi negaranya LHospital dan
kemudian melanjutkannya melalui surat. Buku yang dikarangnya itu merupakan
hasil studinya LHospital. Teorema limit, yang dikenal sebagai Aturan LHospital
lebih dulu muncul dalam buku tersebut, meskipun pada kenyataannya teorema itu
ditemukan oleh Bernoulli.
Pada subbab ini akan dijelaskan teorema tersebut beserta hasil-hasilnya
dan menunjukkan bagaimana teorema yang lain bisa diturunkan.
Bentuk Tak Tentu
Jika lim ( )x c
A f x
dan )(lim xgBcx
dengan 0B , maka
B
A
xg
xf
cx
)(
)(lim .
-
22
Tetapi, jika =0B , maka tidak ada kesimpulan yang bisa diambil. Akan dilihat
bahwa jika =0B dan 0A , maka limitnya tak berhingga (jika limitnya ada).
Kasus 0A , =0B belum pernah diberikan sebelummnya. Pada kasus ini,
limit dari pembagian f/g dikatakan tak tentu. Akan dilihat bahwa pada kasus ini
limitnya bisa tidak ada atau dapat bernilai sebarang bilangan real, tergantung pada
fungsi f dan g. Simbol 0/0 digunakan untuk menotasikan situasi tersebut. Sebagai
contoh, jika adalah sebarang bilangan real, dan jika didefinisikan xxf )( dan
xxg )( , maka
000
limlim)(
)(lim
xxx x
x
xg
xf.
Oleh karena itu bentuk tak tentu bisa saja menghasilkan sebarang bilangan real
sebagai limitnya.
Bentuk tak tentu yang lain disajikan dengan simbol ,/ ,0 ,00 ,,1 0
dan . Tetapi perhatian akan lebih difokuskan pada bentuk 0/0 dan ,/
karena bentuk yang lain biasanya dapat diturunkan dari kedua bentuk tak tentu
tersebut dengan menggunakan manipulasi logaritma, eksponensial, atau aljabar.
Aturan LHospital Bentuk 0/0
Untuk menunjukkan bahwa kegunaan diferensiasi dalam konteks ini
merupakan hal yang biasa dan bukan hal yang baru, akan diberikan terlebih
dahulu hasil dasarnya dengan menggunakan definisi dari derivatif.
Teorema 1.3.1
Misalkan f dan g terdefinisi pada [ , ]a b , ,0)()( agaf dan misalkan 0)( xg
untuk a x b . Jika f dan g diferensiabel di a dan 0)(' ag , maka limit dari /f g
ada nilainya sama dengan )('/)(' agaf . Jadi,
( ) '( )lim .
( ) '( )x a
f x f a
g x g a
-
23
Bukti: Karena ,0)()( agaf maka pembagian )(/)( xgxf dapat dituliskan
sebagai
.)()(
)()(
)()(
)()(
)(
)(
ax
agxgax
afxf
agxg
afxf
xg
xf
Dengan mengaplikasikan teorema pembagian limit diperoleh
( ) ( )lim
( ) '( )lim .
( ) ( )( ) '( )lim
x a
x a
x a
f x f a
f x f ax ag x g ag x g a
x a
Catatan: Hipotesis ( ) ( ) 0,f a g a sangat penting di sini. Sebagai contoh, jika
( ) 2f x x dan ( ) 5 3g x x untuk xR, maka 0
( ) 2lim
( ) 3x
f x
g x , sedangkan
'(0) 1
'(0) 5
f
g .
Dengan menggunakan cara yang sama, limit berikut dapat dicari
.2
1
0cos2
102
2sinlim
2
0
x
xx
x
Untuk menentukan limit dimana f dan g tidak diferensiabel di a,
diperlukan hasil yang yang lebih umum dari Teorema Nilai Rata-Rata.
Teorema 6.3.2 (Teorema Nilai Rata-Rata Cauchy)
Jika f dan g kontinu pada [ , ]a b , diferensiabel pada ( , )a b , dan 0)(' xg untuk
semua ( , )x a b , maka terdapat ( , )c a b sehingga
.)('
)('
)()(
)()(
cg
cf
agbg
afbf
Bukti:
Sebagaimana pembuktian Teorema Nilai Rata-Rata, didefinisikan suatu fungsi
yang memenuhi Teorema Rolle. Pertama, karena 0)(' xg untuk setiap ( , )x a b ,
maka dengan Teorema Rolle ).()( bgag Untuk [ , ]x a b , didefinisikan
-
24
)).()(())()(()()(
)()()( afxfagxg
agbg
afbfxh
Mudah difahami bahwa h kontinu pada [ , ]a b , diferensiabel pada ( , )a b , dan
( ) ( ) 0h a h b . Oleh karena itu dengan Teorema Rolle, terdapat titik ( , )c a b
sehingga
).(')(')()(
)()()('0 cfcg
agbg
afbfch
Karena 0)(' xg , maka dengan membagi persamaan di atas dengan )(' cg akan
diperoleh hasil yang diinginkan.
Catatan:
Teorema di atas mempunyai interpretasi geometri yang mirip dengan Teorema
Nilai Rata-Rata 6.2.4. Fungsi f dan g dapat dipandang sebagai kurva dalam bidang
dengan memakai persamaan parameter ( ), ( )x f t y g t dengan .a t b
Sedangkan kesimpulan dari teoremanya yaitu terdapat titik ( ( ), ( ))f c g c pada kurva
untuk suatu ( , )c a b , sehingga gradien garis singgung di titik tersebut sama
dengan gradien garis lurus yang melalui titik ( ( ), ( ))f a g a dan ( ( ), ( ))f b g b .
Perhatikan jika ( )g x x , maka Teorema Nilai Rata-rata Cauchy menghasilkan
Teorema Nilai Rata-Rata 1.2.4.
Berikut ini diberikan hasil utama yang lebih dikenal sebagai Aturan
L`Hospital. Pembaca harus mengamati bahwa hal ini berbeda dengan Teorema
6.3.1, yaitu tidak diperlukan asumsi bahwa f diferensiabel di titik a.
Teorema 1.3.3 (Aturan LHospital)
Jika f dan g fungsi kontinu pada [ , ]a b , diferensiabel pada ( , )a b , f(a) = g(a) = 0,
dan 0)( xg , dan 0)(' xg untuk a x b , maka
(a) Jika '( )
lim'( )x a
f xL
g x untuk L , maka
( )lim
( )x a
f xL
g x .
-
25
(b) Jika '( )
lim'( )x a
f x
g x (atau ), maka
( )lim
( )x a
f x
g x (atau ).
Bukti:
(a) Diberikan sebarang 0 . Dari yang diketahui terdapat 0 sehingga untuk
a x a berlaku
.)('
)(' L
xg
xf
.
Untuk sebarang x yang memenuhi a x a diperoleh suatu titik xc (dengan
Teorema Nilai Rata-Rata Cauchy) sehingga xa c x dan
.)('
)('
)(
)(
x
x
cg
cf
xg
xf
Karena xc memenuhi xa c a , dengan ketaksamaan sebelumnya
mengakibatkan
.)('
)('
)(
)( L
cg
cfL
xg
xf
x
x
Karena hal ini benar untuk semua x dengan a x a , maka dapat
disimpulkan
( )
lim( )x a
f xL
g x .
(b) Hanya dibuktikan untuk kasus +. Diberikan sebarang 0K . Terdapat 0
sehingga untuk a x a berlaku
'( ) / '( )f x g x K .
Untuk setiap x yang demikian, dapat diaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata
Cauchy 1.3.2 untuk memperoleh xc sehingga xa c x a dan
.)('
)('
)(
)(K
cg
cf
xg
xf
x
x
-
26
Karena K sebarang, maka disimpulkan bahwa '( )
lim'( )x a
f x
g x .
Contoh:
3
2
8lim
2x
x
x
adalah bentuk tak tentu 0/0.
Maka
33
2 2
2
2
8 '8lim lim
2 2 '
3lim
1
12
x x
x
xx
x x
x
Teorema 1.3.4
Misalkan f dan g fungsi kontinu dan diferensiabel pada [ , )b , dan
0)(lim)(lim
xgxfxx
dengan 0)(' xg untuk x b , maka
.)('
)('lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
xx
Bukti:
Dengan mengambil xt /1 , pada interval [0,1/ ]b didefinisikan fungsi F dan G
dengan
1 1( ) ; 0( )
0 ; 0
t bf tF x
t
dan
1 1( ) ; 0( )
0 ; 0
t bg tG x
t
.
Perhatikan bahwa 0
lim ( ) lim ( )t x
F t f x
dan 0
lim ( ) lim ( ).t x
G t g x
Selanjutnya fungsi F
dan G memenuhi syarat hipotesis pada Teorema 1.3.3. Untuk 10 bt , dengan
-
27
Aturan Rantai 1.1.5 diperoleh )/1(')/1()(' 2 tfttF dan )./1(')/1()(' 2 tgttG
Sehingga dengan Teorema 1.3.3 disimpulkan bahwa
0 0
( ) ( ) '(1/ ) '( )lim lim lim lim .
( ) ( ) '(1/ ) '( )x t t x
f x F t f t f x
g x G t g t g x
Contoh
(a) 0 0 0
sin coslim lim lim2 cos 0.
1/(2 )x x x
x xx x
x x
Perhatikan bahwa penyebut tidak diferensiabel di x = 0 sehingga Teorema
1.3.1 tidak dapat diaplikasikan.
(b) .2
sinlim
)cos1(lim
020 x
x
x
x
xx
Pembagian pada limit kedua masih merupakan
bentuk tak tentu 0/0. Sehingga aturan LHospital masih dapat digunakan.
Akibatnya
.2
1
2
coslim
2
sinlim
)cos1(lim
0020
x
x
x
x
x
xxx
(c) .11/lim/)1(lim00
x
x
x
xexe Dengan cara serupa, .
2
1
2
1lim
1lim
020
x
e
x
xe x
x
x
x
(d) 0 0
lim(log )/( 1) lim(1/ ) /1 1x x
x x x
.
(e) Misalkan diketahui fungsi f dengan
cos 1; 0
( )
0 ; 0
xx
f x x
x
.
Karena 0 0 0
cos 1lim ( ) lim lim( sin ) 0 (0)x x x
xf x x f
x
, maka f kontinu di 0.
Lebih lanjut, f juga diferensiabel di 0 dengan
1220 0 0
( ) (0) cos 1 sin'(0) lim lim lim
0 2x x x
f x f x xf
x x x
.
(f) Misalkan f diferensiabel dua kali di persekitaran dari c, hitung
-
28
20
( ) ( ( ) '( ) )limh
f c h f c f c h
h
.
Limit ini adalah bentuk tak tentu 0/0 (terhadap h), sehingga
20 0
12
0
( ) ( ( ) '( ) ) '( ) '( )lim lim
2
''( ) lim "( )
2
h h
h
f c h f c f c h f c h f c
h h
f c hf c
Bentuk /
Teorema 1.3.6
Jika f dan g diferensiabel pada ( , )a b , lim ( )x a
f x
dan lim ( )x a
g x
, serta
0)( xg dan 0)(' xg untuk a x b , maka :
(a) Jika '( )
lim'( )x a
f xL
g x untuk L R , maka
( )lim
( )x a
f xL
g x .
(b) Jika '( )
lim'( )x a
f x
g x (atau ), maka
( )lim
( )x a
f x
g x (atau ).
Bukti:
(a) Diberikan sebarang 0 1/2 . Dari hipotesis terdapat 0 sehingga untuk
a x a berlaku
.)('
)(' L
xg
xf
Dipilih c1 di dalam ( , )a a , dan karena f mempunyai limit kanan di a, maka
dapat dipilih c2 di dalam 1( , )a c sehingga 1( ) ( )f x f c untuk 2a x c .
Selanjutnya didefinisikan fungsi F pada 2( , )a c dengan
)()(1
)(/)(1)(
1
1
xgcg
xfcfxF
untuk 2a x c .
-
29
Karena 0)(' xg untuk a x b , maka 1( ) ( )g x g c untuk 2a x c . Dari
definisi fungsi F, lim ( ) 1x a
F x
. Oleh karena itu terdapat titik c3 dengan
3 2a c c sehingga 1)(xF untuk 3a x c . Jadi, jika 3a x c , maka
.21
1
)(
1
xF
Perhatikan bahwa
.)(
1
)()(
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
1
xFcgxg
cfxf
xF
xF
xg
xf
xg
xf
Kemudian dengan mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata Cauchy 1.3.2,
terdapat di dalam 1( , )x c sehingga
.)(
1
)('
)('
)(
)(
xFg
f
xg
xf
Karena acccxa 123 , maka diperoleh
LxFg
fL
xg
xf
)(
1
)('
)('
)(
)(
1
)()()('
)('
xFxLF
g
f
1
)()()('
)('
xFxLFLL
g
f
.)1(22)( LL
Karena > 0 sebarang, maka disimpulkan bahwa Lxg
xf
ax
)('
)('lim .
(b) Buktinya ditinggalkan sebagai latihan.
-
30
Terdapat suatu teorema yang sejalan dengan Teorema 1.3.6, yang berlaku
untuk x . Hasil ini diperoleh dari Teorema 6.3.6 dengan cara yang sama
seperti ketika menurunkan Teorema 1.3.4 dari Teorema 1.3.3.
Contoh
(a) Misalkan (0, )I dan perhatikan lim(log ) /x
x x
. Jika diaplikasikan modifikasi
dari Teorema 1.3.6, maka lim(log )/ lim(1/ ) /1 0x x
x x x
.
(b) Misalkan I = R dan perhatikan 2xlim / xx e
. Dalam hal ini diperoleh
2xlim / lim2 / lim2/ 0x x x
x xx e x e e
.
(c) Misalkan (0, )I dan perhatikan 0
lim(logsin ) / logx
x x
. Dengan
mengaplikasikan Teorema 1.3.6 diperoleh
.cossin
lim/1
sin
cos
limlog
sinloglim
000
xx
x
x
x
x
x
x
xxx
Karena 1sin/lim0
xxx
dan 1coslim0
xx
, maka disimpulkan
0lim(logsin ) / log 1x
x x
.
Bentuk-bentuk Tak Tentu yang Lain
Bentuk-bentuk tak tentu seperti 0 , ,00 01 , dan dapat
diperoleh dari bentuk tak tentu sebelumnya dengan menggunakan manipulasi
aljabar, fungsi logaritma, dan fungsi eksponensial.
Contoh
(a) Misalkan (0, / 2)I dan perhatikan
0
1 1lim
sinx x x
,
yang mempunyai bentuk tak tentu . Bentuk direduksi ke bentuk 0/0,
-
31
0 0
1 1 sinlim lim
sin sinx x
x x
x x x x
0 0
cos 1 sin 0lim lim 0.
sin cos 2cos sin 2x x
x x
x x x x x x
(b) Misalkan (0, )I dan perhatikan x 0lim logx x
, yang mempunyai bentuk tak
tentu 0 . Diperoleh 2x 0 x 0 x 0 x 0
log 1/lim log lim lim lim( ) 0.
1/ 1/
x xx x x
x x
(c) Misalkan (0, )I dan perhatikan x 0lim xx
, yang mempunyai bentuk tak tentu
00 . Dengan mengingat kembali aturan pada kalkulus bahwa logx x xx e ,
maka dari (b) dan kekontinuan fungsi yy e untuk 0y , diperoleh
0
x 0lim 1.xx e
(d) Misalkan (1, )I d an perhatikan xlim (1 1/ )xx
, yang mempunyai bentuk tak
tentu 1 . Karena
log(1 1/ )(1 1/ )x x xx e (*)
dan
1 2
2
log(1 1/ ) (1 1/ ) ( ) 1lim log(1 1/ ) lim lim lim 1
1/ 1 1/x x x x
x x xx x
x xx
,
maka dengan kekontinuan yy e di 0y , disimpulkan bahwa xlim (1 1/ )xx
= .e
1.4 Teorema Taylor
Nilai fungsi dari suku banyak dapat ditentukan dengan melakukan
sejumlah berhingga operasi penjumlahan dan perkalian. Tetapi terdapat beberapa
fungsi lain seperti fungsi logaritma, eksponensial dan fungsi trogonometri yang
nilainya tidak dapat ditentukan dengan mudah. Pada subbab ini akan
diperlihatkan bahwa banyak fungsi yang dapat dihampiri oleh suku banyak, dan
suku banyak tersebut sebagai pengganti fungsi asalnya dapat digunakan untuk
-
32
perhitungan apabila perbedaan diantara nilai fungsi asalnya dan hampirannya
dengan suku banyak cukup kecil.
Terdapat berbagai metode untuk meghampiri fungsi yang diberikan
dengan suku banyak. Salah satu cara yang paling sering digunakan adalah dengan
rumus Taylor. Nama ini diabadikan untuk menghormati seorang matematikawan
Inggris, Brook Taylor (1685 1731). Teorema Taylor dapat dipandang sebagai
perluasan dari Teorema Nilai Rata-Rata.
Jika fungsi f mempunyai derivatif ke-n di titik 0x , tidak sulit untuk
mengkonstruksi suku banyak berderajat n, nP , sehingga 0 0( ) ( )nP x f x dan
( ) ( )
0 0( ) ( )k k
nP x f x untuk k = 1,2,, n. Kenyataanya suku banyak
( )20 0
0 0 0 0 0
''( ) ( )( ) ( ) '( )( ) ( ) ( )
2! !
nn
n
f x f xP x f x f x x x x x x x
n (*)
mempunyai sifat seperti ini. Suku banyak nP ini disebut suku banyak Taylor ke-n
untuk f di 0x . Suku banyak ini diharapkan akan menghampiri f di titik-titik dekat
0x , tetapi untuk mengukur keakuratan dari hampiran perlu informasi dari sisa
n nR f P . Hasil berikut memberikan informasi demikian.
Teorema 1.4.1 (Teorema Taylor)
Misalkan n N , [ , ]I a b , dan :f I R sehingga f dan derivatif ( )', ", , nf f f
kontinu pada I dan ( 1)nf ada pada (a,b). Jika 0x I , maka untuk sebarang x I
terdapat titik c diantara x dan 0x sehingga
200 0 0 0
( ) ( 1)10
0 0
''( )( ) ( ) '( )( ) ( )
2!
( ) ( ) ( ) ( )
! ( 1)!
n nn n
f xf x f x f x x x x x
f x f cx x x x
n n
(**)
Bukti:
Misalkan x I dan J interval tertutup dengan titik ujung x dan 0x . Didefinisikan
fungsi F pada J dengan
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )!
nnx tF t f x f t x t f t f t
n
untuk t J . Mudah difahami bahwa
-
33
( 1)( )'( ) ( )!
nnx tF t f t
n
.
Jika didefinisikan G pada J dengan
1
0
0
( ) ( ) ( )
n
x tG t F t F x
x x
untuk t J , maka G kontinu pada J, diferensiabel diantara x dan 0x , dan
0( ) ( ) 0G x G x . Akibatnya menurut Teorema Rolle 1.2.3 terdapat titik c diantara
x dan 0x sehingga
01
0
( )0 '( ) '( ) ( 1) ( )
( )
n
n
x cG c F c n F x
x x
.
Oleh karena itu,
1
00
( )1( ) '( )
1 ( )
n
n
x xF x F c
n x c
1
( )0( )1 ( ) ( )1 ( ) !
n nn
n
x x x cf c
n x c n
( 1)
1
0
( )( )
( 1)!
nnf c x x
n
yang memberikan persamaan (**).
Jika nP menotasikan suku banyak Taylor berderajat n (1) dari f , dan nR
untuk sisa, maka kesimpulan dari Teorema Taylor dapat dituliskan sebagai
( ) ( ) ( )n nf x P x R x dengan nR diberikan oleh
nR
( 1)1
0
( )( )
( 1)!
nnf c x x
n
(***)
untuk suatu c diantara x dan 0x . Formula nR disebut bentuk Lagrange (atau
bentuk derivatif) dari sisa.
Aplikasi dari Teorema Taylor
Suku sisa nR di dalam Teorema Taylor dapat digunakan untuk
mengestimasi error dari hampiran suku banyak Taylor nP terhadap f. Jika nilai n
ditentukan, maka keakuratan dari hampiran itu dapat dihitung. Sebaliknya, jika
-
34
keakuratan ditentukan lebih dahulu, maka nilai n dapat ditentukan. Contoh-contoh
berikut menjelaskan keadaan ini.
Contoh
(a) Gunakan Teorema Taylor dengan 2n untuk menghampiri 3 1x , 1x .
Diambil fungsi 1
3( ) ( 1)f x x , 0 0x dan 2n . Karena
231
3'( ) ( 1)f x x
dan
532
9''( ) ( 1)f x x
, maka 1
3'(0)f dan 2
9''(0)f . Jadi
21 12 2 23 9
( ) ( ) ( ) 1 ( )f x P x R x x x R x ,
dengan 8
33 3
2
"( ) 5( ) ( 1)
3! 81
f cR x x c x
untuk suatu c diantara 0 dan x. Jika
diambil 0,3x , maka diperoleh hampiran 2 (0,3) 1,09P untuk 3 1,3 . Lebih
lanjut, karena dalam kasus ini 0c , maka 8
3( 1) 1c
dan sehingga errornya
paling besar adalah
3
2
2
5 3 1(0,3) 0,17 10
81 10 600R
.
Jadi, diperoleh 23 1,3 1,09 0,5 10 , yaitu diperoleh ketelitian sampai dua
tempat desimal.
(b) Hampiri bilangan e dengan error kurang dari 510 .
Ambil fungsi ( ) xf x e , 0 0x dan x = 1 di dalam Teorema Taylor. Akan
ditentukan n sehingga 5(1) 10nR . Untuk melakukan ini, gunakan fakta
bahwa ( ) ( )k xf x e , ( ) (0) 1kf untuk semua k N, dan 3xe untuk 0 1x ,
maka suku banyak Taylor berderajat n adalah
2
( ) 12! !
n
n
x xP x x
n ,
dan sisa untuk x = 1 diberikan oleh
(1)( 1)!
c
n
eR
n
dengan 0 1c . Karena 3ce , 5(1) 10nR jika dan hanya jika 5
310
( 1)!n
.
Ketaksamaan terakhir ini dipenuhi untuk n = 8, sehingga diperoleh
8
1 1(1) 1 1 2,71828
2! 8!e P
-
35
dengan error kurang dari 510 .
Teorema Taylor dapat juga untuk menurunkan beberapa ketaksamaan.
Contoh:
(a) Tunjukkan bahwa 212
1 cosx x untuk semua .x R
Dengan ( ) cosf x x dan 0 0x di dalam Teorema Taylor diperoleh
2122
cos 1 ( )x x R x
dengan
3 3
2
"'( ) sin( )
3! 6
f c cR x x x ,
dan c bilangan diantara 0 dan x. Jika 0 x , maka 0 c . Lebih lanjut,
karena c dan 3x positif, maka 2 ( ) 0R x . Juga, jika 0x , maka 0.c
Karena c dan 3x negatif, maka 2 ( ) 0R x . Oleh karena itu,
212
1 cosx x untuk x .
Jika x , maka 212
1 3 cosx x dan ketaksamaan dengan sendirinya
dipenuhi. Jadi ketaksamaan di atas dipenuhi untuk semua x .
(b) Untuk sebarang k N, dan untuk semua 0x , berlaku
2 2 2 2 11 1 1 12 2 2 2 1
log(1 )k kk k
x x x x x x x
.
Karena derivatif dari log(1 )x adalah 1 (1 )x untuk 0x , maka suku banyak
Taylor untuk log(1 )x dengan 0 0x adalah
2 11 12
( ) ( 1)n nn nP x x x x
dan sisanya diberikan oleh
11( 1)( )
1
n nn
n
cR x x
n
untuk suatu c yang memenuhi 0 c x . Jadi untuk sebarang 0x dan 2n k
(genap), maka 2 ( ) 0kR x . Sedangkan untuk 2 1n k (ganjil), maka
2 1( ) 0kR x . Akhirnya ketaksamaan di atas terbukti.