analisis real

IMPA.Instituto de Matematica Pura y Aplicada.

Analise na Recta Lista de ejercicios 2 Verano 2015Alumno: Juan Pablo Contreras - Universidad de Santiago de Chile

Problema 1

Decimos que a R es valor de adherenca de la sucesion (xn) si existe alguna subsucesion (xnk) tal quea = limk xnk .

a) Dada una sucesion (xn), pruebe que el conjunto de los valores de adherencia es cerrado.

b) Dado un conjunto cerrado F R, pruebe que existe una sucesion xn cuyo conjunto de valores deadherencia es F

Solucion

1



Problema 2

Sea (xn) una sucesion limitada.

a) Pruebe que existe limn sup{xk, k n}. Este lmite se llama lim supn xn

b) Pruebe que lim supn xn = max{a R|a es valor de adherencia de (xn)}

SolucionPara todo n N sean Xn = {xk : k n} y yn = supXn

a) Se tiene Xn = Xn+1{xn} para todo n 1, de esta forma Xn+1 Xn n 1 y por ende supXn+1 supXn n 1. En otras palabras la sucesion yn = supXn es una sucesion monotona decreciente.Ademas como (xn) es limitada, existe M > 0 tal que |xn| < M para todo n, luego para todo n 1 setiene

|yn| = | supXn| | supX1| = | sup{xn : n N}| M

lo que implica que (yn) es acotada. Como (yn) es monotona y acotada entonces es convergente, porende

limn

yn = limn

supXn = limn

sup{xk, k n} R

b) Sea a = max{a R|a es valor de adherencia de (xn)} que existe pues el conjunto de puntos de acu-mulacion es cerrado (problema 1 a)) y en este caso acotado pues (xn) es acotada, luego es compactoy posee maximo y mnimo. Como a es de acumulacion, existe (xnk) subsucesion de (xn) tal quelimk xnk = a.Para todo n N existe Kn N tal que k Kn xnk Xn luego xnk supXn k Kn y entoncestomando lmite en k se tiene que a supXn, esto vale para todo n luego

a limn

supXn = lim supn

xn

Veamos que lim supn xn es un valor de adherencia, para esto, sea > 0, y N0 N arbitraro, veamosque existe n > N0 tal que |xn a| < . En efecto, como a = lim supn xn = limn yn existe n Ntal que n > N0 y a < yn < a+ . Como yn = supXn y a no es cota superior de Xn , existen n tal que a < xn yn y entonces a < xn < a + como se quera probar. Esto ultimodemuestra que existe una subsucesion de (xn) que converge para a y por ende a es de adherencia, luego

a = lim supn

xn a

pues a es el mayor de los puntos de adherencia. Se tiene entonces a = lim supn xn

2



Problema 3

Sea f(0,+) R una funcion derivable.

a) Pruebe que si existe L = limxf (x)g(x) y limx f(X) = limx g(x) = 0 entonces limx

f(x)g(x) = L

b) Pruebe que si limx0 |f(x)| = limx0 |g(x)| = + y existe limx0 f(x)

g(x) = L entonces limx0f(x)g(x) = L

Solucion

3



Problema 4

Sea F 6= un conjunto cerrado. Dado x R sea f(x) = inf{|x y|, y F}. Pruebe que f es una funcioncontnua y {x R : f(x) = 0} = F

SolucionSea (xn) una sucesion que converge a x. Mostraremos que la sucesion (f(xn)) converge a f(x).Dado > 0 existe n0 N tal que

n n0 ||x y| |xn y|| |(x y) (xn y)| = |x xn| < y F

< |x y| |xn y| < y F

+ |xn y| < |x y| < |xn y|+ y F

+ infyF|xn y| inf

yF|x y| inf

yF|xn y|+

+ f(xn) f(x) f(xn) +

f(x) f(xn)

|f(x) f(xn)|

As vemos que (f(xn)) converge a f(x). Como x arbitrario y (xn) arbitraria, se concluye que f es continua.Sea A = {x R : f(x) = 0} y x A entonces f(x) = infyF |x y| = 0, luego por definicion de infimopara todo n N existe yn F tal que 0 |x yn| < 1n lo que dice que limn yn = x y como F escerrado x F . La reciproca es trivial pues si x F se tiene 0 infyF |x y| |x x| = 0, luegoinfyF = f(x) = 0 lo que implica x A. As tenemos A = F

4



Problema 5

Decimos que f : X R es semicontina superiormente si a X, > 0, > 0 tal que x (a , a +) X f(x) < f(a) + .Pruebe que si X R es compacto con X 6= y f : X R es semicontinua superior entonces existe b Ktal que f(x) f(b) para todo x X

SolucionSea > 0 cualquiera. Por definicion de semicontinuidad superior para todo a X existe a > 0 talque x (a a, a + a) X f(x) < f(a) + . Se tiene X aX(a a, a + a), luego como Xcompacto el cubrimiento posee un subcubrimiento finito, es decir, existem a1, ..., an X, 1, ..., n R+tal que X ni=1(ai i, ai + i). Sea M = max{f(ai) : 1 i n} y sea x X, entonces existe1 i n con x (ai i, ai + i) f(x) < f(ai) + M + , luego f es acotada superiormente y existeL = supxX f(x).Por definicion de supremo, para cada n N existe xn X tal que L 1n < f(xn) L. Como X compactoy (xn) es una sucesion en X existe una subsucesion (xnk) tal que limk xnk = b con b X. Tenemosentonces que L 1nk < f(xnk) L para todo k, tomando lmite se tiene limk f(xnk) = L. Finalmenteconsideremos > 0, por semicontinuidad superior d f exsite > 0 tal que y (b , b+ )X f(y) 0luego L f(b). Por otro lado b X implica f(b) L entonces f(b) = L = supxX f(x) y as f(x) f(b)para todo x X

5

analisis real

Documents