Analiticka geometrija – prva zadaca

1. U trokutu ABC tocke P i Q polovista su stranica AB i AC. Ako je −−→BQ = −→a i −−→CP = −→b , izrazite −−→AB, −→AC i−−→PQ pomocu −→a i −→b .

2. Neka su P i Q polovista stranica CD i BC paralelograma ABCD. Izrazite −−→AB i −−→AD pomocu −→AP i −→AQ.

3. U cetverokutu ABCD tocke M i N su polovista dijagonala AC i BD. Izrazite −−→MN pomocu −−→AD i −−→BC.

4. Neka jeABCDEFA′B′C ′D′E′F ′ pravilna sesterostrana prizma, te neka je P srediste gornje bazeA′B′C ′D′E′F ′,Q srediste strane CDD′C ′ i R poloviste brida E′F ′. Pomocu vektora −−→AB, −→AF i

−−→AA′ izrazite vektore −−→BP i−−→

QR.

5. Dan je trapez ABCD s osnovicama AB i CD. Dokazite da su vektori −→AC +−−→DB i −−→AB kolinearni.

6. Neka je ABCDEF pravilni sesterokut. Dokazite da je −−→AB +−→AC +−−→DA+−→AE +−→AF kolinearan s −−→AD.

7. Zadan je paralelogram ABCD. Tocke K, L, M , N dijele stranice paralelograma u istom omjeru λ, 0 < λ < 1.Dokazite da je i KLMN paralelogram.

8. TockeM iN dijele dijagonalu AC paralelograma ABCD na tri jednaka dijela, tj. odabrane su na toj dijagonalitako da vrijedi |AM | = |MN | = |NC|. Dokazite da je M teziste trokuta ABD, a N teziste trokuta BCD.

9. Tocke T1 i T2 suc tezista trokuta A1B1C1, odnosno A2B2C2. Dokazite da vrijedi:

−−−→A1A2 +−−−→B1B2 +−−−→C1C2 = 3−−→T1T2.

10. Zadane su tocke A, B, C, D. Tocka P je poloviste duzine ciji su rubovi polovista duzina AB i CD. Ako jeO bilo koja tocka prostora, dokazite da je

−→OA+−−→OB +−−→OC +−−→OD = 4−−→OP.

11. Dokazite: ako trokuti 4ABC i 4PQR imaju zajednicko teziste onda je −→AP +−−→BQ+−→CR = ~0.

12. Ako vrijedi −→AP +−−→BQ+−→CR = ~0, onda trokuti 4ABC i 4PQR imaju zajednicko teziste. Dokazite!

13. Neka je ABC bilo koji trokut, i neka su ABDE, BCFG i CAHI paralelogrami konstruirani nad njegovimstranicama. Dokazite da je suma vektora −−→DG, −→FI i −−→HE jednaka nulvektoru.

14. Neka je ABCDEF pravilni sesterokut, i neka su X, Y , Z tocke. Nad stranicama sesterokuta konstruirani suparalelogrami ABXM , BCNX, CDY P , DEQY , EFZR i FASZ. Dokazite da je suma vektora −−→MN , −−→PQ i−→RS jednaka nulvektoru.

15. Neka su −→a , −→b i −→c linearno nezavisni vektori. Ispitajte linearnu zavisnost vektora −→x , −→y , −→z ako je −→x =−→a +−→b +−→c , −→y = 2−→a −−→b + 3−→c , −→z = 4−→a +−→b + 5−→c .

16. Zadana su tri nekomplanarna vektora −→a , −→b i −→c . Dokazite da su vektori −→p = −→a + −→b + −→c , −→q = −→b + −→c ,−→r = −−→a +−→c takoder nekomplanarni.

17. Dan je trokut ABC, tocka M takva da je −−→AM = 14

−−→AB i tocka N takva da je −−→MN = 1

5

−−→MC. Neka je T sjeciste

pravaca BN i AC. U kojem omjeru tocka T dijeli stranicu AC?

18. Dan je trokut ABC, i tocke P i Q takve da je −→AP = 34

−−→AB i tocka Q takva da je −→AQ = 2

3

−→AC. Neka je T

sjeciste pravaca BQ i CP , i S sjeciste pravaca AT i BC. U kojem omjeru tocka T dijeli duzinu AS?

19. Dan je paralelogram ABCD i tocka T na stranici AB takva da je −→AT = 1n

−−→AB. Neka je P sjeciste pravaca

AC i TD. U kojem omjeru tocka P dijeli duzinu AC?

20. Pomocu vektora dokazite da se spojnica polovista osnovica i dijagonale trapeza sijeku u jednoj tocki.