CARLO FERRARI

analogie elettriche nell' aerodinamica

Conferenza tenuta il 15 maggio 1934-XU

\

1. — Il problema fondamentale dell'Aerodinamica, la determi­nazione della forza che si esercita sopra un corpo nel moto relativo di questo rispetto ad un fluido, è di una tale complessità, nonostante tutte le semplificazioni che la. teoria considera, che è di grande utilità mettere in rapporto i fenomeni aerodinamici con altri problemi, che si prestino facilmente alla esperienza diretta. Appare perciò non privo di interesse esporre brevemente i fondamenti di alcune analogie che l'Aerodinamica presenta coli' Elettrodinamica, e che permettono a quella di utilizzare i moderni e sensibilissimi metodi di misura di questa. È opportuno senz' altro premettere che tali analogie sono puramente formali, non hanno cioè una consistenza fisica, ma si basano esclusivamente sulla identità delle equazioni generali e delle condizioni ai limiti che determinano in entrambi i casi i campi corri­spondenti, di guisa che le stesse analogie possono identicamente essere stabilite, e gli stessi metodi sperimentali possono servire non solo per l'Aerodinamica ma anche per altre Scienze applicate, quali la Scienza delle Costruzioni, la Teoria della trasmissione del calore ecc

2. — La dimostrazione dell'analogia è semplice e diretta se si suppone il fluido, nel quale il movimento avviene, perfetto ed incom­pressibile. Risulta di fatto, per queste ipotesi, dalla costanza della massa fluida contenuta in ogni parallelepipedo elementare, che in ogni punto è la divergenza del vettore velocità uguale a zero: div. v = o. D' altra parte è pure noto che in ogni campo elettro­statico od elettrico è la divergenza del vettore intensità del campo nulla in tutti i punti dove non esistono cariche elettriche libere o sorgenti di corrente elettrica (div. / = o); e pertanto se si costruisce il campo elettrico in modo da soddisfare alle stesse condizioni ai limiti del campo aerodinamico si viene a stabilire una corrispondenza

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di similitudine fra i due campi in cui al vettore intensità di campo nell'uno corrisponderà il vettore velocità delPaltro. La realizzazione sperimentale dell' analogia riesce molto semplice se si considerano campi di corrente fluida uniforme in presenza di ostacoli qualisiansi, pei quali le condizioni ai limiti sono:

all' infinito V& = costante in grandezza e in direzione ; sul contorno del corpo velocità normale al contorno stesso Vn = o.

Nel moto piano il problema analitico è ricondotto alla deter­minazione di una funzione armonica +, funzione di corrente, che

uguagliata ad una costante definisce l'equazione delle linee di corrente del campo. Il contorno dell'ostacolo deve essere una particolare linea di corrente, e quindi su esso la <J/ deve assumere valore costante, mentre a distanza grandissima ogni perturbazione che la presenza del corpo introduce nel fluido deve scomparire, e pertanto le linee di corrente devono essere assintotiche a rette parallele alla velocità all'infinito V^.

Si consideri ora una vasca a sezione retta rettangolare AB CD (fig. 1), piena di acqua, lungo le cui pareti maggiori AB- CD siano disposte due lastre di alluminio; a queste è applicata una differenza di potenziale mentre nel mezzo di essa è disposto un corpo cilin-

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drico perfettamente simile all' ostacolo del campo aerodinamico e costruito con materiale conduttore. Le linee equipotenziali del campo che in prossimità degli elettrodi AB, CD sono parallele agli elet­trodi stessi si incurvano man mano ci si avvicina all' ostacolo ; il contorno di questo, per la conducibilità del materiale da cui è costi­tuito, sarà una particolare linea equipotenziale. Si riconosce così senz' altro la identità formale della funzione potenziale del campo elettrostatico e della funzione di corrente del campo aerodinamico attorno ad un profilo simile a quello del corpo immerso nella vasca

Fig. 2

essendo la velocità della corrente assintotica parallela alla giacitura degli elettrodi. Il rilevamento delle linee equipotenziali, che corri­sponde per l'analogia al tracciamento delle linee di corrente del fluido attorno all'ostacolo, si compie in modo semplice e rapido con metodo di riduzione allo zero valendosi di un amplificatore a tre valvole e di una cuffia telefonica.

3. — Lo stesso metodo sperimentale descritto può essere adope­rato con piccole varianti per la costruzione di altri campi aerodi­namici piani; così ad es. se ai quattro lati della vasca si dispon­gono 4 piastre metalliche fra loro collegate (fig. 2), così da essere

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tutte allo stesso potenziale, ed in un punto qualunque F del campo compreso fra esse si dispone un elettrodo filiforme, e fra questo e le piastre si applica la differenza di potenziale generata dall'oscilla­tore, si ottengono nelle linee equipotenziali del campo corrispondente le linee di corrente generate da un vortice disposto entro un canale a sezione rettangolare, ed è evidente che il metodo si può genera­lizzare per un numero qualsiasi di vortici aventi circuitazioni del tutto arbitrarie, e per una forma affatto qualsiasi del canale che li contiene. Basta di fatto disporre in derivazione su un ponte che congiunge i due poli dell'oscillatore sia la piastra-elettrodo incurvata in modo da costituire un cilindro avente la direttrice assegnata, sia tanti elettrodi filiformi quanti sono i vortici che si considerano, la circuitazione di ciascuno dipendendo dal potenziale assegnato. 11 campo che così si viene a generare è irrotazionale, solenoidale e continuo, ad eccezione di un numero discreto di punti, quelli nei quali sono disposti gli elettrodi filiformi, in cui presenta singolarità logaritmiche. Ma gli stessi caratteri presenta non solo il campo di vortici dianzi considerato, ma anche il campo di deformazione che si genera 0) in una piastra piana appoggiata ai perimetro e solle­citata da carichi concentrati, quando alla funzione potenziale del campo elettrostatico si faccia corrispondere la funzione curvatura media della piastra àz, dove z è la deformazione elastica in un punto generico di coordinate x, y. E poiché al perimetro, essendo la piastra semplicemente appoggiata, il momento flettente deve essere nullo, sarà pure nullo al contorno la curvatura media, che è propor­zionale al momento flettente, mentre una generica linea tracciata sulla piastra e lungo la quale la curvatura media assume valore costante definisce la direzione degli elementi a sforzo di taglio massimo. Lo stesso campo elettrico può cioè essere assunto a rappre­sentare sia il campo di vortici entro un tubo, sia lo stato di defor­mazione e di tensione di una piastra avente per contorno la direttrice del tubo stesso, essendo corrispondenti nell'analogia rispettivamente le linee equipotenziali, le linee di corrente, le linee di taglio massimo.

4. — Se la regione nella quale il moto fluido avviene non è piana, ma a tre dimensioni, la realizzazione sperimentale dell' ana­logia tra campi aerodinamici e campi elettrici, pur essendo altret­tanto semplice, presenta però una sostanziale differenza (2). E di fatto

(1) Vedi ad es. FROLA. Atti della R. Accad. delle Scienze di Torino, 1933. (2) C. FERRARI. Sull'analogia tra campi elettrici e campi aerodinamici -

Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, 1929.

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non esiste più, in generale, nel campo aerodinamico una funzione di corrente avente il significato sopra considerato, e negli stessi casi in cui esiste (campi simmetrici attorno ad un asse) essa non è più funzione armonica. Ma la identità della equazione generale continua a sussistere per le funzioni potenziali dei due campi, e pertanto se si costruisce l'ostacolo con materiale isolante, mentre si rende condut­tore il liquido della vasca, si possono senz' altro rendere identiche anche le condizioni ai limiti a cui le due funzioni debbono soddi­sfare. La nuova analogia fa pertanto corrispondere la funzione potenziale del campo non più elettrostatico, ma elettrico, alla fun­zione non più di corrente, ma potenziale del campo aerodinamico, e questo risulta determinato colla costruzione sperimentale delle sue superfici equipotenziali. L'impianto sperimentale ed il metodo di rile­vamento del campo non presentano evidentemente alcuna differenza con quello già descritto per il moto piano.

5. — Le due analogie alle quali finora ho accennato, e che sono state le prime in ordine di tempo ad essere indicate per merito di Relf in Inghilterra, e del Laboratorio di Aeronautica di Torino diretto dal Prof. Panetti in Italia, se sono di notevole aiuto non solo alla teoria, ma anche alla tecnica, in quanto permettono di studiare con buona approssimazione i fenomeni di prora, non possono però servire a rappresentare movimenti con superfici di discontinuità nel campo, a cui pure sono connessi problemi tecnici di essenziale importanza.

Si consideri di fatto la corrente attorno ad un'ala di un aero­plano: la superficie alare è tappezzata da un sistema di vortici elementari (i così detti vortici aderenti) disposti secondo le genera­trici dell'ala stessa, che generano il movimento circolatorio attorno a questa, e conferiscono quindi ad essa la sua capacità portante, la capacità cioè di sostenere il peso che le è applicato. Alla stessa superficie si appoggia poi un nastro continuo di vortici disposti secondo le linee di corrente del moto relativo, i così detti vortici liberi, che costituiscono una vera e propria superficie di disconti­nuità del campo di velocità, ossia la scia dell'ala. Dal punto di vista matematico la presenza dei vortici liberi è giustificata dal fatto che per il teorema di Helmoltz le linee vorticose non possono termi­nare in seno ad un fluido, ma devono essere o linee chiuse o esten­dersi indefinitamente. Di conseguenza i vortici che tappezzano la superficie alare non possono arrestarsi all' estremità di questa, ma debbono prolungarsi indefinitamente a valle di essa nel campo. Dal punto di vista fisico la generazione dei vortici liberi si spiega col

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fatto che essendo la pressione sulla faccia del profilo maggiore di quella che si esercita sul dorso, senza di che l'ala non potrebbe portare, il fluido è sollecitato a muoversi dai punti di maggiore a quelli di minore pressione; si genera cioè a contatto dell'ala una corrente che sulla faccia è diretta dalla sezione di mezzo alle estre­mità, e sul dorso dalle estremità alla sezione di mezzeria. Quando le due correnti fluide si riuniscono dietro all'ala si verifica uno scorrimento relativo dovuto alla discontinuità della componente late­rale della velocità, si forma cioè la superficie di discontinuità costi­tuita dai vortici liberi. Nella sezione dell' ala in cui si distacca un vortice libero (fig. 3) la circuitazione attorno ad essa, per il secondo

Fig. 3

teorema di Helmoltz, varia di una quantità d Y corrispondente alla J -pi

intensità -z— dx del vortice che si è staccato. Ma la forza portante

sull'elemento dx dell'ala è legata alla circuitazione corrispondente, secondo il teorema di Kutta-Joukowski da una relazione di semplice proporzionalità, ossia è dRp = pTVdx, dove p è la densità del fluido e V la velocità di avanzamento dell'aereo. La portanza lungo l'apertura non risulta perciò uniformemente distribuita ma varia secondo una legge che è in diretta relazione colla legge secondo cui varia la circuitazione Y (x) lungo l'ala, ossia è distribuita la

intensità vorticosa —z—dx dei vortici liberi. Questi poi inducono LI «A,

nel fluido circostante una velocità che per il teorema della quantità di moto è in media perpendicolare alla velocità assintotica, ed ha direzione contraria alla forza, di guisa che la corrente che investe

r d X x d *

195 —

l'ala è deviata rispetto alla direzione originaria di un certo angolo, che è chiamato in aerodinamica angolo di induzione o incidenza indotta. Se a(x) è l'angolo di incidenza di una sezione generica dell'ala, ed a/ l'incidenza indotta, l'angolo effettivo ac sotto il quale il vento incide sullo stesso profilo è dato dalla (l)a* = ac-a. Ne risulta da una parte una diminuzione dell' azione portante totale sull' ala, rispetto a quella che essa avrebbe qualora i vortici liberi non esistessero, in quanto questa viene ad essere colpita dal vento sotto un angolo di attacco piò piccolo, e la circuitazione è proporzio­nale all'incidenza effettiva secondo la legge (2) r = e' Vv.e t(x), dove e' è una costante, e t(x) è la larghezza del profilo della sezione d' ascissa x dell' ala ; d' altra parte ne risulta anche la presenza di

2 b

TTTT-C

X' Fig. 4

una componente della forza totale nella direzione della velocità di avanzamento e quindi di una resistenza, in quanto l'azione aerodi­namica, essendo perpendicolare alla velocità sul profilo, è incli­nata sulla direzione di avanzo dell'angolo •Kik^.i. La conoscenza pertanto dell'angolo di induzione e della legge di variazione di questo lungo» l'apertura è di essenziale importanza e per la determi­nazione della forza totale che il fluido esercita sull'ala, e della distri­buzione di questa sulla superficie alare, problema che è intima­mente connesso col calcolo di robustezza della cellula alare. La teoria semplifica il problema riducendo il sistema dei vortici aderenti ad un unico filamento vorticoso sostegno del nastro dei vortici liberi, che è supposto piano. La corrente indotta attorno all' ala è così ridotta a quella di un sistema di vortici disposti lungo un segmento di retta di lunghezza uguale all'apertura 2 6 di essa (fig. 4)

ri T*

e la cui intensità -^—dx è distribuita secondo una legge, che si

ì

196 —

deve determinare in modo da soddisfare l'equazione (1) in corri­spondenza di ogni sezione dell' ala. Ma un filamento vorticoso di circuitazione dT applicato nel punto d'ascissa x' induce in corri­spondenza di una sezione generica x una velocità dw che è normale all'asse del vortice aderente a cui è ridotta l'ala, e la cui intensità è, per il teorema di Biot-Savart, inversamente proporzionale alla distanza x — x' della sezione stessa dal vortice inducente. Ossia è

dw = 4 7T (X — X')

Si deduce pertanto che la velocità risultante indotta dal sistema dei vortici liberi è per la sezione d'ascissa x

+ b

e quindi l'incidenza indotta nella stessa sezione è + b

W

« < = T =

e poiché la circuitazione r è legata alla incidenza effettiva dalla (2), l'equazione (1) si trasforma nella equazione integro-differenziale

d*" - r « _ « ( * ) (3) x — x' c'Vt(x)

Nelle sezioni estreme dell' ala essendo la pressione sulla faccia uguale alla pressione sul dorso, la portanza e quindi la circuitazione risultano nulle, e pertanto deve essere

r(*) = r ( - 6 ) = o (4)

Ora la soluzione dell'equazione (3) che verifica le condizioni (4) è possibile in termini finiti solo in casi specialissimi, mentre la ricerca di una soluzione approssimata, anche in casi relativamente semplici, richiede calcoli sempre molto laboriosi, molto lunghi, e quindi suscet­tibili facilmente di errori. La vasca elettrica invece offre con tutta semplicità ed eleganza un metodo molto rapido per la risoluzione

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del problema, come è stato dimostrato da Pérés e Malavard 0) in modo alquanto meno intuitivo di quello qui indicato. Si realizza di fatto l'immagine elettrica di un vortice libero semplicemente dispo­nendo su una parete della vasca due elettrodi A-B a differente potenziale e separati da uno straterello di isolante (fig. 5). Per ragioni di simmetria, in un piano generico normale alla giacitura degli elettrodi, le schiere delle linee equipotenziali è costituita dal fascio di rette di centro /; le linee di corrente elettrica quindi,

— i \

s /

/ / \

i ! / \ /

/ / / K

\ V

A *k ì,

A

X / V

/ \

I I

J L B

Fig. 5

traiettorie ortogonali di questo fascio, sono la schiera dei cerchi concentrici che hanno per centro / stesso. Lungo un tubo di flusso racchiuso tra due linee di corrente la densità di corrente elettrica è inversamente proporzionale al raggio, precisamente come avviene per la velocità indotta da un filamento vorticoso, mentre la circuitazione di questo corrisponde alla differenza di potenziale degli elettrodi. E di fatto se j è la intensità di corrente elettrica nel tubo di flusso che si considera e di larghezza Ar, e pi è la resistività del liquido della vasca si ha

se h è la profondità del liquido nella vasca stessa.

(1) PÉRÉS e MALAVARD. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. II Semestre 1933.

198

Ma Urli

è la densità 5 di corrente e pertanto

S = A9

che coincide coli' espressione della velocità indotta da un vortice Ai _ , B

V 2b

-**H

A X M ; a

Fig. 6

di circuitazione A T = A 9 pur di sostituire alla costante 2 7c la costante n pi.

Se quindi lungo una parete della vasca (fig. 6) si dispongono tanti elettrodi di larghezza A x per tutto il segmento di lunghezza 2 b, ed il cui potenziale 9 è una funzione 9 dell' ascissa x di ciascun elettrodo, ed in prosecuzione di questi, all'esterno di detto segmento,

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due piastre collegate a terra si viene a generare nella vasca un campo di corrente elettrica analogo a quello aerodinamico attorno all' ala indotto dai vortici liberi, quando la legge di variazione del poten­ziale 9 degli elettrodi Ax soddisfi all'equazione corrispondente nella analogia alla (3). Ora il primo membro della (3) è proporzionale, secondo il fattore 2 V, alla velocità indotta dei vortici liberi, sup­posti indefiniti in entrambi i sensi, che corrisponde nella analogia alla densità di corrente elettrica uscente da un elettrodo, mentre la intensità vorticosa A T di un vortice libero è uguale alla differenza di potenziale A 9 di due elettrodi A x attigui, e pertanto anche T è uguale a 9, annullandosi T e 9 simultaneamente agli estremi del segmento 2 b. V equazione determinatrice della 9 si ottiene quindi

dalla (3) ponendo al posto della espressione di tv la —-p- ed in

luogo di T la 9. Si ha

Spi 9

4V c'Vt(x) OL

od anche

e poiché

g = = 4 <p — c'aLt(x)V pi C' t (x)

8 A J C / Z '

in cui i simboli hanno i significati sopra definiti, risulta

; R (x) W

in cui 9x ed R(x) sono due funzioni note della x rispettivamente date da

9x(x) = c'*t(x)V ; R(x)- **™* (6)

Si riconosce subito che l'equazione (5) non è altro che l'espressione della legge di Ohm per i conduttori lineari. La risoluzione elettrica di essa si ottiene pertanto facilmente collegando agli elettrodi A x del segmento — b, + b conduttori lineari di resistenza R (x) e por­tando le altre estremità di questi ai potenziali 9* noti. In queste condizioni la vasca ripartirà la corrente in modo da realizzare la funzione 9 che soddisfa alle condizioni richieste, e misurando i

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potenziali 9 degli elettrodi 9 x si avranno senz' altro i valori delle circuitazioni nelle sezioni corrispondenti dell'ala. L'esame delle formule (6) permette ancora di riconoscere che mentre i poten­ziali 9 degli elettrodi Ax sono corrispondenti alle circuitazioni dei singoli profili dell'ala reale, i potenziali 9* dei conduttori lineari rappresentano invece le circuitazioni che si avrebbero nelle stesse sezioni qualora l'induzione dei vortici liberi fosse nulla [formula (2)], ossia l'ala di apertura infinita, di guisa che la caduta di potenziale che si verifica tra gli estremi dei conduttori lineari corrisponde alla perdita di circuitazione, ossia di portanza, dovuta alla dimensione finita dell'ala.

6. — Deve ancora essere osservato che per poter realizzare con rigore per mezzo della vasca l'analogia ora descritta sarebbe necessario creare lungo la parete C-D della vasca l'equivalente esatto del nastro vorticoso costituente la scia di un'ala. Ora questo nastro è necessariamente continuo, mentre le dimensioni Ax degli elettrodi che corrispondono nell'analogia ai vortici liberi sono finite. Ne deriva che in effetto ad un sistema vorticoso continuo si sosti­tuisce un sistema di vortici concentrati, e precisamente si riconosce facilmente che se 2 A è la larghezza di ogni elettrodo, il metodo sperimentale porta a sostituire, entro ogni striscia 2 A lungo l'aper­tura dell'ala, alla effettiva distribuzione di vortici di circuitazione

unitaria —7—, due soli vortici disposti alle estremità di 2 A stesso

e di circuitazione rispettivamente o +A '

te" •• / & " -A o

Ora le velocità indotte nei due casi si possono supporre uguali solo se la larghezza 2 A di ogni singola striscia è così piccola da potersi trascurare la velocità indotta in corrispondenza della mezzeria di essa dai vortici distribuiti nella striscia stessa rispetto a quella prodotta dai vortici esterni a questa. E di fatto per una distribu­zione vorticosa eseguita sul segmento 2 A con legge

T = ?o + Ti X + ...

in cui l'ascissa x è misurata dal punto di mezzo di 2 A le velo­cità vt indotta nel punto di ascissa a, e v\ prodotta nelF origine delle coordinate sono

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a 4- A / À À3 \ « = (Y. + art) log - | X _ - 2Yl A + ... = 2 Y. (-^- + -^ + ...) +

/ A8 \ + 2 Y . A ( I F + ...)

p'i = 2 yi A

Le velocità t?2 e o'2 indotte negli stessi punti dai soli due vortici applicati ai punti di ascissa — A e + A e di circuitazioni rispet­tivamente

y0 A — Vt yi A2 + ... ; YoA + yi 7 2 A 2 +. . .

sono invece / A A3 \ A / A2 A4 \

»'2 = Ti A

E pertanto mentre le vt e z>2 risultano coincidenti a meno di termini 1 A2

dell'ordine di -=—j- l'errore v\—v'2 è uguale a yi A, e perciò O LI

richiede che per potere sempre essere trascurato sia A molto piccolo. Si riconosce ancora che l'errore che si commette nel sostituire al nastro continuo di vortici liberi un sistema di vortici concentrati è sopra a tutto grande alle estremità dell' ala dove la yi è partico­larmente forte.

7. — La realizzazione sperimentale dell'analogia descritta è stata compiuta al Laboratorio di Aeronautica della Scuola di Ingegneria di Torino, sotto la direzione del Prof. Panetti, colla costruzione di una nuova vasca di dimensioni relativamente grandi per eliminare ogni effetto di interferenza delle pareti. Lungo la parete C-D (fig. 6) sono disposte due lastre a di alluminio, che sono connesse con un morsetto del generatore di corrente 0, mentre il fascio degli elet­trodi A x è costituito da tante piastrine d'alluminio / disposte secondo la stessa parete C-D fra le due piastre sopra dette. Queste piastrine d'alluminio sono contenute entro una serie di vaschette d'ebanite E pure piene di acqua, ed entro le quali sono disposti altri elettrodi mobili M costituiti da un altro fascio di piastrine pure d'alluminio. Queste si possono disporre a distanze qualsiasi dalle piastrine f così da realizzare le resistenze R(x\ e sono poste in derivazione mediante contatti mobili e sopra un conduttore lineare P che collega i morsetti del generatore. Spostando opportunamente i

14

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contatti e si possono portare gli elettrodi M ai potenziali <px. Ma questi non risultano semplicemente proporzionali alle distanze dei contatti e dal polo o, in conseguenza del passaggio di corrente attraverso i successivi circuiti derivati costituiti dalle piastrine mobili M e fisse /. Per poter pertanto assegnare i potenziali noti <px ad M è necessario collegare i due poli 0 — 100 del generatore con un altro conduttore lineare H da cui non vi deriva corrente, e per il quale quindi le cadute di potenziale sono semplicemente proporzionali alle

Fig. 7

lunghezze. Portando in opposizione i contatti mobili e con un contatto mobile c{ su H in modo da ottenere silenzio in una cuffia telefonica inserita fra e e cL riesce possibile, dopo qualche tentativo, portare gli elettrodi M ai potenziali <?x assegnati (fig. 7).

Per potere disporre, quando occorra, del numero così elevato di elettrodi / quale è necessario, per quanto è stato detto al numero precedente, per potere avere un' approssimazione sufficiente senza ricorrere a dimensioni o eccessivamente ridotte per gli elettrodi stessi o troppo grandi per la vasca, si è usufruito del metodo della

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riflessione : si è cioè colle piastrine / rappresentata una sola semiala, mentre per mezzo di una lastra di materiale isolante disposta a

Fig. 8

tenuta tra l'estrema piastrina / e la lastra II, che si può isolare, si è creata l'altra semiala come riflessa della prima.

/

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La misura dei potenziali 9 e 9* si compie poi con metodo di riduzione allo zero valendosi dello stesso potenziometro ora descritto e dello stesso amplificatore a tre valvole e della cuffia telefonica che servono l'impianto che realizza le prime analogie descritte. Sono grandi meriti di questo metodo la semplicità delle operazioni speri­mentali necessarie e la grande rapidità di esecuzione di queste, che possono essere generalmente compiute in meno di mezza ora, contro le giornate di calcolo necessarie per ottenere una soluzione analitica.

7. — II metodo sperimentale descritto è stato applicato per determinare la distribuzione della portanza lungo l'apertura di un'ala di un aeroplano quadrimotore con gondole motrici portate diretta­mente dall'ala, la cui figura in pianta è data nella fig. a di fig. (8). In questa sono indicate con i numeri romani I, II ecc. le sezioni, ciascuna delle quali era rappresentata nella vasca da un elettrodo / . Le gondole motrici, applicate in II e in IV, per quanto raccordate sia sulla faccia, sia sul dorso del profilo alare, conferiscono alle sezioni corrispondenti dell' ala una efficacia rispetto alla capacità portante notevolmente minore di quella che le sezioni stesse avreb­bero se non fossero disturbate dalle gondole motrici. Il diagramma pertanto che definisce la legge di variazione del potenziale 9*, che per la (6) avrebbe avuto una forma affine a quella in pianta dell'ala, risulta deformato in quanto la costante e' in corrispondenza delle sezioni II e IV è notevolmente minore di quella delle altre sezioni ; e precisamente mentre per queste e' è stato posto uguale a 3, per quelle si è assunto e' = 2,2. La legge di variazione del potenziale 9*, che coincide, per quanto è stato detto, colla distribuzione della portanza per X = oo, è stata indicata in fig. b di (8), ed in questa è pure disegnata la legge che si è sperimentalmente trovata per la distribuzione del potenziale 9 degli elettrodi / , avendo attribuito i potenziali 9* agli elettrodi M. Risulta evidente dalla b e dalla e (fig. 8) la perdita di circuitazione dovuta all'induzione dei vortici liberi, e risulta anche che la perdita relativa è minore nelle sezioni II e IV che non nelle adiacenti a queste. L'interferenza delle gondole motrici produce cioè un angolo di induzione minore in corrispondenza delle gondole stesse che non nelle sezioni adiacenti ; ma poiché in queste la portanza era maggiore la perdita complessiva risulta aumentata.

9. — Come già ho accennato l'analogia che consente di adope­rare questo metodo per la determinazione della distribuzione della forza aerodinamica lungo l'apertura di un'ala è puramente formale; in sostanza non si tratta altro che di un metodo meccanico, o meglio

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elettrico, di risoluzione di un' equazione integro-differenziale del tipo (3), e pertanto il metodo stesso può essere adoperato utilmente in tutti quei problemi delle scienze applicate, quali quelle che si riferiscono alla funzione di distribuzione della temperatura nei pro­blemi di trasmissione del calore, o alla funzione di distribuzione delle concentrazioni di una soluzione nei problemi di diffusione, che si riducono alla determinazione di una funzione armonica 9 che deve soddisfare al contorno del campo in cui è definita ad una relazione

d <p tra essa e la sua derivata normale del tipo 9 = K-~- essendo K

una funzione positiva nei punti del contorno. 10. — Il fluido nel quale si è finora supposto avvenire il moto

e per il quale sussistono le analogie descritte è sempre perfetto; in realtà l'aria e l'acqua, che sono i fluidi che maggior interesse presentano in questo genere di applicazione, hanno una viscosità cinematica sempre molto piccola, ma differente da zero, e la consi­derazione della viscosità è necessaria se ci si vuol rendere ragione di quella parte della resistenza che un corpo incontra movendosi in seno ad un fluido, che è chiamata in aerodinamica resistenza propria o intrinseca, e che non è legata, come effetto di induzione, all'esi­stenza di una portanza, ossia di una forza normale alla velocità relativa. Sono tuttavia di grande importanza, ed anche di interesse per la tecnica, i tentativi fatti per spiegare la possibilità di una resistenza anche nell'ambito dei fluidi perfetti, e fra essi merita una speciale considerazione l'ipotesi dovuta a Helmoltz, sviluppata in seguito da Kirchoff e generalizzata da Lèvi-Civita, che consiste nell'ammettere che la corrente non circuisca completamente il con­torno del corpo, in essa immerso, ma se ne distacchi lateralmente lasciando dietro ad esso una regione di fluido stagnante, la così detta scia concomitante. Oggi però si va facendo strada un nuovo concetto, dovuto principalmente ad Oseen: ed è che i fluidi a visco­sità cinematica così piccola come l'aria e l'acqua si possano consi­derare non come fluidi di viscosità nulla (v = 0), ma come limiti di un fluido viscoso per v tendente a zero; i due concetti sono eviden­temente sostanzialmente differenti in quanto mentre il primo intro­duce una semplificazione essenziale nelle stesse equazioni differen­ziali del moto, il secondo l'introduce solo nei risultati annullando quei termini che contengono v come fattore. Una teoria approssimata secondo questi criteri è stata svolta dallo stesso Oseen, ed i risul­tati a cui essa conduce sono di importanza notevolissima. La corrente,

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che così si ottiene, è discontinua, e precisamente dietro l'ostacolo, entro un cilindro parallelo alla corrente e tangente al corpo si ha una corrente vorticosa, in tutto il rimanente spazio una corrente potenziale; sul contorno del corpo poi, nella parte poppiera di esso dentro al cilindro di scia la velocità relativa è nulla, ossia il fluido aderisce alle pareti, come nei fluidi viscosi, mentre sulla parte pro­diera invece è nulla la sola componente della velocità relativa normale al contorno, come nei fluidi perfetti. Dal punto di vista matematico il problema è ricondotto alla determinazione di una

Vo

Fig. 9

funzione armonica che all' esterno del corpo sia regolare, e sulla sua superficie soddisfi alle seguenti condizioni:

sulla parte prodiera o anteriore

39 dn o

sulla parte poppiera o posteriore

dn dx = o

(7)

(8)

se si assume Tasse x nella direzione della velocità assintotica. La componente della velocità secondo una direzione qualunque s è data

per i punti esterni al cilindro di scia dalla Vs ds come sempre, mentre per un punto qualunque interno a questo P è

y _ /9cP \ ( d(? ds ) P ds IP

essendo la prima derivata calcolata nel punto P e la seconda nel punto P che giace sul contorno del corpo e sulla parallela all'asse del cilindro di scia condotta per P (fig. 9).

— 207 —

Ora la vasca elettrica si presta facilmente anche alla costru­zione di questi campi non solo nel caso più semplice dei moti piani, ma anche per i movimenti a tre dimensioni quando il corpo sia di rivoluzione e la direzione della velocità assintotica della corrente sia parallela all'asse di figura del solido.

Anche in questo caso, come nei moto piano, la condizione (8)

a cui la 9 deve soddisfare è sostituita dalla - ~ - = o (9) essendo e y

Tasse y normale ad x in ogni piano meridiano. La deduzione della (9) dalla (8) si ottiene nel modo più sem­

plice per mezzo della funzione <\> associata alla 9. Si ha di fatto d 3cp 1 3 d ty

dn d x ~~ y d s dx

se ds è un elemento del contorno del solito dato.

È pertanto -z r-̂ — = o e ^ = y -—3-=^ costante sul ~~~~ r ds dx dx ' dy

contorno stesso. Ma questa costante è necessariamente nulla dovendo 9 essere

regolare sempre, e quindi anche per y = 0. Risulta senz'altro la (9). Si può ora realizzare colla vasca elettrica un campo la cui funzione potenziale soddisfi alle condizioni (7) - (9) pur di costruire il modello dell'ostacolo nel seguente modo : la parte prodiera del corpo è fatta di materiale isolante, e pertanto per essa è senz'altro verificata la (7). Nella parte di poppa al profilo meridiano effettivo si sosti­tuisce un profilo a gradini iscritto in quello (fig. 10). In corrispon­denza della faccia piana dei singoli gradini si dispongono lamine metalliche, che sono collegate per mezzo di conduttori / a un potenziometro p posto in derivazione fra le due piastre elettrodi che creano il campo elettrico nella vasca. Le superfici cilindriche dei gradini stessi sono costituite invece dello stesso materiale isolante, di cui è formato il rimanente del corpo dell' ostacolo. I contatti L dei conduttori / sul potenziometro p sono mobili, di guisa che è possibile assegnare agli anelli metallici A, B, C ecc. valori di potenziali qualsiasi compresi fra quelli delle piastre elettrodi. Il problema è così ricondotto a dare agli anelli potenziali tali, che le linee equipotenziali che passano per i punti di mezzo b, e ecc. dagli archi del profilo meridiano effettivo compresi fra A, B ecc., risultino tangenti in corrispondenza dei punti stessi all'asse y. Ora il problema ammette certamente una soluzione, perchè se la 9 che soddisfa

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alle (7) - (9) esiste ed è unica, essa assume sui punti della parte poppiera dell'ostacolo uno ed uno solo sistema di valori : e di fatto una funzione armonica è univocamente determinata quando sono assegnati i valori che essa assume sopra una parte del contorno nel campo, ed i valori della sua derivata normale nella rimanente parte.

La ricerca dei potenziali da assegnare agli anelli A, B ecc. sarebbe tuttavia assai laboriosa, dato il numero considerevole degli

anelli stessi che, in generale, devono essere disposti, se per il fatto che la 9 è armonica, e per la costruzione speciale indicata del modello non si potesse prevedere, con una certa approssimazione, per ogni posizione dei contatti corrispondenti alle lamine A, An, estreme quali sono le posizioni più convenienti degli altri contatti mobili. Ora si dimostra abbastanza facilmente, che se alle lamine B, C, D ecc. si danno potenziali che presentano rispetto a quelli degli anelli estremi una differenza proporzionale alle rispettive distanze dagli anelli stessi è, con molta approssimazione, <p& = 9#', yc = cpc>} ecc.,

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dove B', C ecc. sono i punti del profilo a gradini che hanno la stessa ascissa di b, e ecc.; e le linee equipotenziali che passano per B', C ecc. presentando in questi punti un contatto colla propria tangente d'ordine superiore al primo, si potranno pure considerare tangenti all'asse y anche in b, e ecc. Il problema è così ricondotto alla determinazione dei soli potenziali da assegnare agli anelli estremi, in quanto per ogni posizione dei cursori mobili L corri-

/ t * / * > i t i t ; ì e :

4—4—é i e t — — 4 ~ <£-.—_ .J. £., 4 . . . .. l . l ét , ^

Fig. 11

spondenti sul potenziometro p risulta determinata la posizione da assegnare ai contatti mobili degli altri anelli.

11. — La costruzione sperimentale del campo aerodinamico longitudinale attorno a un solido di rivoluzione con scia di Oseen per mezzo della analogia sopra descritta, anch'essa indicata per la prima volta dal Laboratorio di Aeronautica di Torino, è stata eseguita per il corpo la cui linea meridiana è indicata in fig. (11). L'impianto sperimentale utilizzato nelle prove è ancora quello che realizza la prima delle analogie sopra indicate. Il solido, che è cavo, è soste­nuto nel centro della vasca per mezzo di un tubo in ebanite, attra­verso il quale passano i conduttori che collegano gli anelli A, B ecc., indicati schematicamente in fig. (11) con tratto nero spesso, al poten­ziometro p. Questo, che è inserito in derivazione tra le piastre che creano il campo entro la vasca, è a doppio filo, in quanto essendo

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derivata corrente attraverso ai contatti mobili Lt le cadute di poten­ziale non risultano più semplicemente proporzionali alle distanze di L dai morsetti O1-O2 (fig. 10).

Assegnati agli anelli A, B ecc., i potenziali convenienti dopo un certo numero di tentativi, che non richiesero però molto tempo, si determinarono le linee equipotenziali del campo risultante, che sono tracciate in fig. (11), dove si segnarono pure i punti assinto-tici delle linee equipotenziali stesse. Dalla rappresentazione del campo per mezzo di queste si sono ricavate le pressioni al contorno, che per la prora sono date dalla

P-PO = 1 _ ( M 2 ( ,o)

e per la poppa

Vi P VO2 \ X0

ll*pV02 X0

essendo : pò la pressione della corrente assintotica di velocità V0, x0 e xs la distanza normale di due linee equipotenziali a

grande distanza dal corpo ed in corrispondenza del corpo stesso, k una costante da determinarsi in modo che nel parallelo di

raccordo fra la poppa e la prora le pressioni calcolate colle (10) e (11) risultino uguali.

Il diagramma delle pressioni ottenuto è disegnato in fig. (11). Risulta che mentre l'andamento del diagramma ed i valori del salto

di pressione -j?—~~ sono assai prossimi a quelli che si ottengono

con esperimenti al tunnel su corpi di forma analoga, la depressione nella regione di poppa è esagerata, e troppo piccolo è il tratto del profilo per cui si verifica il ricupero di pressione. Queste conside­razioni risultano di fatto confermate dalla fig. (12), in cui si è deter­minato il coefficiente di resistenza corrispondente portando come

ascissa i valori di -q-—^~2ny corrispondenti ai diversi paralleli

di raggi y portati come ordinata. Integrati separatamente i due diagrammi della prora e della poppa con distanze polari uguali, dalla differenza delle ordinate finali dei due diagrammi integrali si dedusse una resistenza

Rr = IO"4. 8,4 p Vo2

211

e poiché l'area della sezione maestra del fuso è

S - -T- -r^r m2 = 50,25. IO"4 m2

4 IO4

il coefficiente di resistenza corrispondente è

8,4 . IO-4 p Vo2 _ Cr =

50,25 . IO"4 9 Vo 0,167

mentre il valore di cr determinato con esperimenti al tunnel su corpi di forma analoga è di circa 0,08, ossia circa la metà. Questo risul-

-P-+60

"i 1 Prora

.y . y> ±A

• j ° , - y , -7P ,-aP • ^? v ° m.

U Poj5pa

60

Fig. 12

tato viene così a confermare quanto era già stato ottenuto per la semisfera con faccia piana a poppa, per la quale analiticamente è stato calcolato da Zeilon il coefficiente di resistenza 0,6 mentre il valore sperimentale è solo di 0,29.

È ancora appena necessario rilevare che il metodo e l'impianto sperimentale descritti si possono applicare con poche varianti non sostanziali in quei problemi, che sono ricondotti alla determinazione di una funzione armonica con valori assegnati al contorno del campo, quali il problema della determinazione delle tensioni tangenziali

i

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nella sezione di un solido cilindrico sollecitato a flessione e a taglio, oppure a torsione.

12. — In tutti i problemi, che fin ora ho considerato, il fluido in moto era supposto incompressibile, e cioè a densità costante; ed in effetto tale ipotesi, sino a poco tempo fa, poteva con tutta sicurezza essere assunta anche nella più gran parte delle questioni tecniche dell'Aeronautica. Ma oggi, in cui le sezioni estreme delle pale d'elica hanno raggiunto e sorpassato la velocità del suono, si rende sempre più necessario esaminare e determinare l'influenza che sulle caratteristiche aerodinamiche dei corpi ha la compressibilità del­l'aria. Mi pare quindi ancora opportuno far rilevare come a questo ancora si presti la vasca elettrica almeno nei moti piani, e fino a quando le condizioni del moto non sono tali da produrre in qualche punto del campo onde di pressione. In questo caso, come è noto, il movimento è retto da una funzione potenziale 9, che soddisfa all'equazione generale

* - p \dx dx ^ dy dyl K J

in cui p è la densità del fluido, che è a sua volta una funzione

nota delle ~- e •—. Il procedimento analitico usuale di soluzione dx dy y

della (12) è un procedimento di successive approssimazioni suggerito da Rayleygh, e che consiste nel porre a secondo membro della (12) i valori di p e di 9 corrispondenti alla soluzione della equazione di Laplace A2 <p4 = 0, e quindi nel risolvere l'equazione

A,9 = - - L (^L^L + ^L^L) (13), Y Pi \ dx dx dy dy ) v "

dove ora la funzione a secondo membro è una funzione nota di x, y. La soluzione di questa equazione può servire per ottenere una seconda approssimazione, e così di seguito; ma è, evidente che anche nei casi più semplici la soluzione è alquanto difficile ad ottenersi, e richiede in ogni modo calcoli alquanto laboriosi.

La risoluzione elettrica della (12) si effettua, come è stato indi­cato da G. Taylor, con metodo di successive approssimazioni, se si osserva che se, alterando nella vasca lo spessore del fondo, si rende (fig. 13) lo spessore della lamina liquida conduttrice s non costante ma variabile secondo una legge s(x), la funzione di corrente

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elettrica nel campo attorno all'ostacolo, che è ancora costruito con materiale conduttore, soddisfa proprio all'equazione

Ne risulta cioè una analogia, in cui la funzione W di corrente nel campo elettrico corrisponde al potenziale di velocità, il potenziale elettrico alla funzione di corrente fluida, lo spessore s della lamina liquida all'inverso della densità del fluido. Se pertanto, in analogia col procedimento di Rayleygh, si modifica Io spessore del fondo della vasca con paraffina così da realizzare per lo spessore s (xy)

Fig. 13

la legge di variazione corrispondente alla p{(xy) determinata colla ricerca di prima approssimazione, si potrà ottenere colla vasca e coi metodi normali per la IV e quindi per la p una seconda appros­simazione, in base alla quale si potrà determinare la ?2(xy), e modificare corrispondentemente Io spessore del fondo in modo da realizzare lo spessore s2(xy) e così di seguito.

Dal punto di vista matematico la sola differenza che il metodo elettrico presenta rispetto al metodo analitico di Rayleygh consiste nel fatto che in questo a secondo membro della (14) si pongono i valori approssimati sia di p, sia di 9, mentre per quello si consi­derano i valori di p determinati colla precedente approssimazione. Per contro sta la molto maggiore rapidità della ricerca e sopratutto il fatto che nessuna complicazione maggiore si introduce nel passare dall'approssimazione ennesima all'approssimazione (n+iy. Gli esperimenti della vasca hanno permesso di affermare che il metodo di Rayleygh e quindi anche quello elettrico convergono solo se la velocità relativa assintotica non è superiore a 0,6 della velocità del suono corrispondente alle condizioni del fluido all'infinito a monte.