UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE INGENIERIAESCUELA DE ING. MECANICA

DISEÑO DE UN ROBOT DE SEIS GRADOS DE LIBERTAD

CURSO : ROBOTICA

DOCENTE :

ALUMNOS : MARRAJO CASTRO

CUEVA COSANATAN, LUIS CARLOS

RAMOS ESQUIVEL,

EL OTRO PATITA

Trujillo – Perú2015

INTRODUCCION

En el presente trabajo realizaremos el estudio cinemático de un robot, así como la programación necesaria para que dicho robot realiza una función en específico; el robot contara con seis grados de libertad, y las articulaciones junto a sus dimensiones estarán dispuestas según el criterio del grupo.

En el análisis cinemático obtendremos ambas: la cinemática inversa y la directa, para ello haremos uso de los métodos hallados en libros como geométricos o basados en las matrices de transformación, y mediante la programación en matlab nos facilitara la obtención de dichas cinemáticas.

Para programar la función q ha de simular el robot, supongamos: soldar, pintar, mover objetos, etc. Haremos uso de un controlador arduino y usaremos su programa para introducir el programa según la función deseada.

INDICE

DISEÑO ROBOT 6 GDLMARCO TEORICO...............................................................................................................1

CINEMATICA DIRECTA....................................................................................................1

CINEMATICA INVERSA....................................................................................................9

ELABORACION DE PROGRAMAS EN MATLAB..............................................................10

BIBLIOGRAFIA...................................................................................................................10

ANEXOS.............................................................................................................................10

MARCO TEORICO

CINEMATICA DIRECTAConsiste en determinar cuál es la posición y orientación del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia, conocidos los valores de las articulaciones y los parámetros geométricos de los elementos del robot.

Se utiliza fundamentalmente el álgebra vectorial y matricial para representar y describir la localización de un objeto en el espacio tridimensional con respecto a un sistema de referencia fijo.

Dado que un robot puede considerar como una cadena cinemática formada por objetos rígidos o eslabones unidos entre sí mediante articulaciones, se puede establecer un sistema de referencia fijo situado en la base del robot y describir la localización de cada uno de los eslabones con respecto a dicho sistema de referencia.

De esta forma, el problema cinemático directo se reduce a encontrar una matriz homogénea de transformación T que relacione la posición y orientación del extremo del robot respecto del sistema de referencia fijo situado en la base del mismo.

Esta matriz T será función de las coordenadas articulares.

Los conceptos que uno debe conocer a la hora de trabajar con la cinemática directa son los siguientes:

Articulación. Conexión de dos cuerpos rígidos caracterizados por el movimiento de un sólido sobre otro. o Grado de libertad. Circular o prismático

Enlace. Cuerpo rígido que une dos ejes articulares adyacentes del manipulador. o Posee muchos atributos. Peso, material, inercia, etc.

Cadena cinemática. Conjunto de elementos rígidos unidos por articulaciones.

Numeración de elementos (enlaces) y articulaciones: o Elementos. Desde 0 hasta n, empezando en la base (elemento 0).o Articulaciones. Desde 1 hasta n.

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Parámetros Cinemáticos

Parámetros de Elemento

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Parámetros de Enlace

Eje articular. Línea en el espacio alrededor de la cual el enlace i rota referido al enlace i-1.

Longitud del enlace (a i-1). Distancia entre los ejes articulares i e i-1. Número de líneas que definen la longitud:

o Ejes paralelos: ∞o Ejes no paralelos: 1o Signo: positivo

Ángulo del enlace (∝i-1). Ángulo medido entre los ejes articulares i e i-1. Proyección sobre plano.

o Signo: Regla de la mano derecha

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Desplazamiento del enlace (di). Distancia medida a lo largo del eje de la articulación i desde el punto donde ai-1 intersecta el eje hasta el punto donde ai intersecta el eje.

o di es variable si la articulación es prismáticao di posee signo

Ángulo de la articulación (θi). Ángulo entre las perpendiculares comunes ai-1 y ai medido sobre el eje del enlace i.

o θi es variable si la articulación es de rotacióno θi posee signo definido por la regla de la mano derecha

MATRICES DE TRANSFORMACION HOMOGENEA

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La resolución del problema cinemático directo consiste en encontrar las relaciones que permiten conocer la localización espacial del extremo del robot a partir de los valores de sus coordenadas articulares.

Vectores expresados en coordenadas homogéneas:

p = (wpx,wpy,wpz,w)T. En robótica w = 1.

Así, si se han escogido coordenadas cartesianas y ángulos de Euler para representar la posición y orientación del extremo de un robot de seis grados de libertad, la solución al problema cinemático directo vendrá dada por las relaciones:

x = Fx (q1,q2,q3,q4,q5,q6) y = Fy (q1,q2,q3,q4,q5,q6) z = Fz (q1,q2,q3,q4,q5,q6) α = Fα (q1,q2,q3,q4,q5,q6) ß = Fß (q1,q2,q3,q4,q5,q6) γ = Fγ (q1,q2,q3,q4,q5,q6)

Normalmente, la matriz de transformación homogénea que representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos enlaces consecutivos del robot se le suele denominar (i-1)Ai.

Así pues, 0Ai describe la posición y orientación del sistema de referencia al primer enlace con respecto al sistema de referencia a la base, 1A2 describe la posición y orientación del segundo enlace respecto del primero, etc.

Del mismo modo, denominando 0Ak a las matrices resultantes del producto de las matrices (i-1)Ai con i desde 1 hasta k, se puede representar de forma total o parcial la cadena cinemática que forma el robot.

Se utiliza en robótica la representación de Denavit-Hartenberg.

Denavit-Hartenberg propusieron en 1955 un método matricial que permite establecer de manera sistemática un sistema de coordenadas (Si) ligado a cada enlace i de una cadena articulada, determinando las ecuaciones cinemáticas de la cadena completa.

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Según la representación D-H, escogiendo adecuadamente los sistemas de coordenadas asociados para cada enlace, será posible pasar de uno al siguiente mediante 4 transformaciones básicas que dependen exclusivamente de las características geométricas del enlace.

Estas transformaciones básicas consisten en una sucesión de rotaciones y traslaciones que permitan relacionar el sistema de referencia del elemento i con el sistema del elemento i-1.

Las transformaciones en cuestión son las siguientes:

Rotación alrededor del eje Zi-1, con un ángulo θi. Traslación a lo largo de Zi-1 a una distancia di; vector di (0,0,di). Traslación a lo largo de Xi a una distancia ai; vector ai (ai,0,0). Rotación alrededor del eje Xi, con un ángulo αi.

De este modo se tiene que:

i-1Ai = T(z,θi)T(0,0,di)T(ai-1,0,0)T(x,αi-1)

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Y realizando el producto de matrices:

Donde αi, ai, di, θi, son los parámetros D-H del enlace i, asociados con el enlace i y la articulación i.

Los cuatro parámetros αi, ai, di, θi en (3.10) son torsión del enlace, longitud del enlace, distancia de articulación y ángulo de articulación, respectivamente.

Dado que la matriz Ai es una función de una sola variable, resulta que tres de los cuatro parámetros son constantes para un enlace dado, mientras que el cuarto parámetro, θi es variable para una articulación de revolución y di e variable para una articulación prismática.

De este modo, basta con identificar los parámetros αi, ai, di, θi, para obtener matrices A y relacionar así todos y cada uno de los enlaces del robot.

Como se ha indicado, para que la matriz i-1Ai, relacione los sistemas (Si) y (Si-1), es necesario que los sistemas se hayan escogido de acuerdo a unas determinadas normas.

Estas, junto con la definición de los 4 parámetros de Denavit-Hartenberg, conforman el siguiente algoritmo para la resolución del problema cinemático directo.

Algoritmo de Denavit-Hartenberg:

DH1. Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerara como eslabón 0 a la base fija del robot. DH2. Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad y acabando en n). DH3. Localizar el eje de cada articulación. Si es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento. DH4. Para i de 0 a n-1, situar el eje Zi, sobre el eje de la articulación i+1. DH5. Situar el origen del sistema de la base (S0) en cualquier punto del eje Z0. Los ejes X0 e Y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con Z0.

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DH6. Para i de 1 a n-1, situar el sistema (Si) (solidario al eslabón i) en la intersección del eje Zi con la línea normal común a Zi -1 y Zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría (Si) en el punto de corte. Si fuesen paralelos (Si) se situaría en la articulación i+1. DH7. Situar Xi en la línea normal común a Zi-1 y Zi. DH8. Situar Yi de modo que forme un sistema dextrógiro con Xi y Zi. DH9. Situar el sistema (Sn) en el extremo del robot de modo que Zn coincida con la dirección de Zn-1 y Xn sea normal a Zn-1 y Zn. DH10. Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a Zi-1 para que Xi-1 y Xi queden paralelos. DH11. Obtener di como la distancia, medida a lo largo de Zi-1, que habría que desplazar (Si-1) para que Xi y Xi-1 quedasen alineados. DH12. Obtener ai como la distancia medida a lo largo de Xi (que ahora coincidiría con Xi-1) que habría que desplazar el nuevo (Si-1) para que su origen coincidiese con (Si). DH13. Obtener αi como el ángulo que habría que girar entorno a Xi (que ahora coincidiría con Xi-1), para que el nuevo (Si-1) coincidiese totalmente con (Si). DH14. Obtener las matrices de transformación i-1Ai. DH15. Obtener la matriz de transformación que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot T = 0A1, 1A2, ..., n-1An. DH16. La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatriz de traslación) del extremo referido a la base en función de las n coordenadas articulares.

Los cuatro parámetros de DH (θi, di, ai, αi) dependen únicamente de las características geométricas de cada enlace y de las articulaciones que le unen con el anterior y siguiente.

θi es el ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi medido en un plano perpendicular al eje Zi-1, utilizando la regla de la mano derecha. Se trata de un parámetro variable en articulaciones giratorias.

di es la distancia a lo largo del eje Zi-1 desde el origen del sistema de coordenadas (i-1)ésimo hasta la intersección del eje Zi-1 con el eje Xi. Se trata de un parámetro variable en articulaciones prismáticas.

Una vez obtenidos los parámetros DH, el cálculo de las relaciones entre los enlaces consecutivos del robot es inmediato, ya que vienen dadas por las matrices A, que se calcula según la expresión general.

Las relaciones entre enlaces no consecutivos vienen dadas por las matrices T que se obtienen como producto de un conjunto de matrices A.

Obtenida la matriz T, esta expresará la orientación (submatriz (3x3) de rotación) y posición (submatriz (3x1) de traslación) del extremo del robot en función de sus coordenadas articulares, con lo que quedara resuelto el problema cinemático directo.

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CINEMATICA INVERSA

Resuelve la configuración que debe adoptar el robot para una posición y orientación del extremo conocidas.

Dada la posición del efector final y la longitud de cada enlace, encontrar los ángulos de las articulaciones.

El objetivo consiste en encontrar los valores que deben adoptar las coordenadas articulares del robot q=(q1, q2,..., qn)expT para que su extremo se posicione y oriente según una determinada localización espacial.

El procedimiento de obtención de las ecuaciones es dependiente de la configuración del robot.

Problema difícil de resolver. Obtener los valores de las variables articulares para que el enlace terminal tenga una determinada posición y orientación

Se deben resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas no lineales simultáneas.

Problemas fundamentales:

Ecuaciones no lineales (sen, cos en matrices de rotación). Existen múltiples soluciones. Es posible que no exista una solución. Singularidades.

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Deben atenderse las múltiples soluciones: Elección que minimice los movimientos desde la posición actual.

Concepto de solución más cercana. Mover los enlaces de menor peso. Considerar obstáculos (evitar colisiones).

Manipulador resoluble: Existe un algoritmo que permite determinar todas las soluciones del modelo inverso (variables articulares) asociadas a una determinada posición y orientación.

Teóricamente es resoluble todo sistema R y P con 6 grados de libertad.

Métodos numéricos iterativos: lentitud.

Se prefieren expresiones analíticas (soluciones cerradas):

Métodos algebraicos. Métodos geométricos.

Se han desarrollado algunos procedimientos genéricos para ser programados, de modo que un computador pueda, a partir del conocimiento de la cinemática del robot (parámetros de DH, por ejemplo) obtener la n-tupla de valores articulares que posicionan y orientan su extremo. El inconveniente de estos procedimientos es que se trata de métodos numéricos iterativos, cuya velocidad de convergencia e incluso su convergencia no está siempre garantizada.

A la hora de resolver el problema cinemático inverso es mucho más adecuado encontrar una solución cerrada.

Esto es, encontrar una relación matemática explícita de la forma:

qk = Fk(x,y,z,α,ß,γ) k = 1...n ( grados de libertad )

Este tipo de solución presenta las siguientes ventajas:

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En muchas aplicaciones, el problema cinemático inverso se debe resolver en tiempo real (por ejemplo, seguir una determinada trayectoria). Una solución de tipo iterativo no garantiza tener la solución en el momento adecuado.

Al contrario de lo que ocurría en el problema cinemático directo, con cierta frecuencia la solución del problema cinemático inverso no es única; existiendo diferentes n-tuplas(q1,...,qn)exp T que posicionan y orientan el extremo del robot del mismo modo. En estos casos una solución cerrada permite incluir determinadas reglas o restricciones que aseguren que la solución obtenida sea la más adecuada posible.

No obstante, la mayor parte de los robots poseen cinemáticas relativamente simples que facilitan en cierta medida la resolución de su problema cinemático inverso.

Por ejemplo, si se consideran solo los tres primeros grados de libertad de muchos robots, estos tienen una estructura planar, los tres primeros elementos quedan contenidos en un plano. Esta circunstancia facilita la resolución del problema.

Asimismo, en muchos robots se da la circunstancia de que los tres grados de libertad últimos, dedicados fundamentalmente a orientar el extremo del robot, correspondan a giros sobre los ejes que se cortan en un punto.

De nuevo esta situación facilita el cálculo de la n-upla (q1,...,qn)exp. T correspondiente a la posición y orientación deseadas.

Por lo tanto, para los casos citados y otros, es posible establecer ciertas pautas generales que permitan plantear y resolver el problema cinemático inverso de una manera sistemática.

Se desea: Posicionar el elemento terminal en un punto del plano.

Número de GDL del manipulador = Número de GDL que requiere la tarea. Dos soluciones

Número de GDL del manipulador > Número de GDL que requiere la tarea. Infinitas soluciones

Solución: Conjunto de variables articulares que permiten posicionar el elemento terminal en una determinada posición y orientación. No existen algoritmos generales de solución al problema de cinemática inversa. Tipos de solución:

Métodos geométricos: Se suele utilizar para las primeras variables articulares, uso de relaciones geométricas y trigonométricas.

Por matrices de transformación homogénea: Despejar las n variables qi en función de los componentes de los vectores n, o, a y p.

Desacoplamiento cinemático: En robots de 6DOF, separación de orientación y posicionamiento.

Soluciones numéricas (iterativas): No aplicables en tiempo real.

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ELABORACION DE PROGRAMAS EN MATLAB

Para poder primeramente obtner las cinematica directa estableceremos nuestros parámetros D-H, los cuales serán:

Articulación θ d a ∝123456

Luego mediante el siguiente programa hecho en matlab, obtendremos la cinemática directa:

BIBLIOGRAFIA Fu, K.S.; González, R.C. y Lee, C.S.G. Robotics: Control, Sensing, Vision, and

Intelligence. McGraw-Hill. 1987. Martínez A. G. M.; Jáquez O. S. A.; Rivera M. J. y Sandoval R. R. “Diseño propio y

Construcción de un Brazo Robótico de 5 GDL”. URL: http://proton.ucting.udg.mx/materias/robotica/r166/r78/r78.htm

ANEXOSPLANOS

FOTOS

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