analÝza rozptylu

ANALÝZA ROZPTYLU

prof.Ing. Zlata Sojková,CSc. 1

Analýza rozptylu• V praxi často je potrebné porovnávať väčší počet

nezávislých náhodných výberov z hľadiska úrovne, t. zn. zaujíma nás hypotéza:

pre aspoň jeno i (i = 1, 2,…m)pre m > 2, kde i , i =1, 2, …m sú stredné hodnoty z

normálne rozdelených základných súborov s rovnakým rozptylom 2 , t.j. N(, 2)

• K overeniu tejto hypotézy sa používa dôležitá štatistická metóda, nazývaná Analýza rozptylu,

skrátene ANOVA (resp. AR)prof.Ing. Zlata Sojková,CSc. 2

:H

... ... :H

i 1

mi3210


• V praxi sa AR používa vtedy, ak skúmame vplyv jedného resp. viacerých faktorov (ošetrení) na skúmaný štatistický znak

• Faktory budeme označovať A, B,…a v AR ich budeme zohľadňovať len ako kvalitatívne znaky s rôznymi obmenami - úrovňami faktora

• výsledný štatistický znak bude kvantitatívny a označíme ho Y

• najčastejšie sa AR používa pri vyhodnocovaní biologických experimentov

• Všimneme si najjednoduchší prípad AR s jedným faktorom, ktorú nazývame jednofaktorová AR


• Úrovňou faktora budeme označovať: – určité množstvo kvantitatívneho faktora, napr. množstvo dávok čistých živín pri

hnojení, rôzne príjmové skupiny domácností, – určitý druh kvalitatívneho faktora, napr.

rôzne odrody tej istej plodiny, spôsoby umiestnenia výrobkov v predajni,

• AR je zovšeobecnením Studentovho t-testu pre nezávislé výbery

• AR zároveň skúma vplyv kvalitatívneho faktora (faktorov) na výsledný kvantitatívny znak - teda analyzuje vzťahy medzi znakmi

Schéma jednofaktorového experimentu

“vyvážený pokus”


A 1 2… j… n Yi . yi .

1 y11 y12 y1j y1n Y1. y1.

2 y21 y22 y2j y2n Y2. y2.

… ……….. i yi1 yi2 yij yin Yi. yi.

… ……….. m ym1 ym2 ymj ymn Ym. ym.

Y.. y..

opakovania

Úrovnefaktora

riadkový

súčet riadkovýpriemer

celkovýpriemer

Celkový súčet


n

1jiji y .Y

n

1jij

m

1i

y ..Y

.Y n

1 y

n

1 .y i

n

1jiji

m.nN ,yN

1 ..y

n

1jij

m

1i

riadkový súčet: celkový súčet:

riadkový priemer:

celkový priemer:


Model pre výslednú napozorovanú hodnotu:

ijiij e α μ y Kde - očakávaná hodnota pre všetky úrovne faktora a napozorované hodnoty,

i - efekt i-tej úrovne faktora A

eij - náhodná chyba, ktorým je každé meranie zaťažené, resp. výsledok vplyv náhodných činiteľov

kde i = 1, 2,…, m j = 1,2,…, n


ijiij e α μ y

Nulovú hypotézu potom môžme formulovať aj nasledovne:

Ho : 1 = 2 =… i = m = 0

t.j. že efekty všetkých úrovni faktora A sú nulové, teda nepreukazné, oproti alternatívnej hypotéze

H1: i 0 pre aspoň jedno i (i = 1,2…m)efekt i aspoň jednej i - úrovne faktora je preukazný, významne odlišný od nuly

ijiij e μy alebo


Odhadmi jednotlivých parametrov sú nasledovné výberové charakteristiky:

.y - y e est ..y - .y est

.y est ..y est

iijijii

ii

ijiij e α μ y

ijiij e α μy čo môžme prepísať:

.)y(y ..)y - .y( ..)y - y( iijiij

Porovnanie dvoch experimentov s tromi úrovňami faktora


..y3y

..y

1 2 3

1y 2y

31 2

1y

2y

3y

Princíp Analýzy rozptylu


Podstata analýzy rozptylu spočíva v rozklade celkovej variability výsledného skúmaného znaku

2.i

m

1i

n

1jij

2..

m

1i.i

2..

m

1i

n

1jij )yy()yy(n )yy(

Celková variabilita

Variabilita medzi úrovňamifaktora,

spôsobená pôsobením faktora A,

“variabilita medzitriedami, riadkami”

Variabilita náhodná,

reziduálna,“vo vnútri

tried

Sc S1Sr


2..

m

1i

n

1jij )yy(

2..

m

1i.i )yy(n

2.i

m

1i

n

1jij )yy(

Variabilitamedzi triedami

Reziduálnavariabilta


ANOVAVariabilita

1Súčet štvorcov

odchýlok

2Stupne

voľnosti

m-1

m.n - m

N-1=m .n-1

3Priemerný

štvorec(1/2)

S1

Sr

Sc

s12

sr2

4F-kritérium

2r

21

s

sF


mN

).y(y

1m

..)y.y(n

s

sF

2i

m

1i

n

1jij

2m

1ii

2r

21

Testovacie kritérium možno pre jednofoktorovú AR - vyvážený pokus zapísať podrobne vzťahom:

Hodnotu F testovacieho kritéria porovonáme s príslušnou tabuľkovou hodnotou F-rozdelenia:F , pre stupne voľnosti (m-1) a (m.n - m)

• Ak F vyp F. ((m-1,(N-m)) Ho zamietame,

v takom prípade je aspoň efekt jednej úrovne faktora preukazný, teda priemerna úroveň ukazovateľa sa štatisticky významne líši od ostatných. Resp. aspoň

jeden efekt i je štatisticky významne

odlišný od nuly.


Rozhodnutie o výsledku testu:

kritický obor,obor zatnutia H0

FObor nezamietnutia Ho

AkF vyp F

Ho nezamietame

Ak nulovú hypotézu zamietame:

• Zistili sme len, že je preukazný vplyv faktora na skúmaný znak,

• ďalej je potrebné skúmať medzi ktorými úrovňami faktora je a medzi ktorými nie je preukazný rozdiel - k tomúto účelu sa používajú testy kontrastov

• Medzi testy kontrastov patria: Duncanov test, Scheffeho test, Tuckey test a iné…..


Podmienky použitia AR:

• Výbery pochádzajú z normálnych rozdelení, narušenie tohto predpokladu nemá podstatnejší

vplyv na výsledky AR• štatistická nezávislosť náhodných chýb eij

• zhodné reziduálne rozptyly 1

2 = 22 = …. = 2 , t.j. D(eij) = 2

pre všetky i = 1,2…., m, j=1,2, …n tento predpoklad je závažnejší a možno ho overovať

Cochranovým, resp. Bartlettovým testom


Schéma jednofaktorového experimentu

“nevyvážený pokus”


A 1 2… j … ni Yi . yi .

1 y11 y12 y1j ... n1 Y1. y1.

2 y21 y22 y2j ... n2 Y2. y2.

… ……….. i yi1 yi2 yij ... ni Yi. yi.

… ……….. m ym1 ym2 ymj ... nm Ym. ym.

Y.. y..

Rôzny počet opakovaní

Úrovnefaktora

riadkový súčet

riadkovýpriemer

celkovýpriemer

Kde

m

1iin N


2..

m

1i

in

1jij )yy(

2..

m

1i.ii )yy(n

2.i

m

1i

in

1jij )yy(

Variabilitamedzi triedami



ANOVAVariabilita

1Súčet štvorcov

odchýlok

2Stupne

voľnosti

m-1

N - m

N-1

3Priemerný

štvorec(1/2)

S1

Sr

S

s12

sr2

4F-kritérium

2r

21

s

sF

m

1iin N

Dvojfaktorová analýza rozptylu Dvojfaktorová analýza rozptylu bez opakovaniabez opakovania

• Uvažujme vplyv faktora A, ktorý skúmame na m - úrovniach, i = 1,2,….,m

• ďalej uvažujme faktor B, ktorý sledujeme na n - úrovniach , j = 1,2, …, n

• na každej i-tej úrovni faktora A a j-tej úrovni faktora B máme len jedno pozorovanielen jedno pozorovanie (opakovanie) yij

• overujeme tak vplyv dvoch nulových hypotéz


Schéma dvojfaktorového experimentu s jedným pozorovaním v každej podtriede DAR


A 1 2 … j … n Yi . yi .

1 y11 y12 y1j y1n Y1. Y1.

2 y21 y22 y2j y2n Y2. y2.

… ……….. i yi1 yi2 yij yin Yi. yi.

… ……….. m ym1 ym2 ymj ymn Ym. ym.

Y.1

Y.2 ... Y.j ... Y.1 Y.. y.1 y.2 ... y.j ... y.1 y..

n-úrovní faktora B

m-úrovnífaktora A

riadkové súčty

Riadkovépriemery

celkovýpriemer

B

Stĺpcové súčtystĺpcové priemery

Overujeme platnosť dvoch nulových hypotéz


Hypotéza pre faktor A:Ho 1: 1 = 2 =… i = m = 0

t.j. že efekty všetkých úrovni faktora A sú nulové, teda nepreukazné, oproti alternatívnej hypotéze

H11 : i 0 pre aspoň jedno i (i = 1,2…m)

efekt i aspoň jednej i - úrovne faktora je preukazný, významne odlišný od nuly

ijjiij e α μ y Model pre skúmaný znak môžme zapísať


Hypotéza pre faktor B:

Ho 2: 1 = 2 =… j = n = 0

t.j. že efekty všetkých úrovni faktora B sú nulové, teda nepreukazné, oproti alternatívnej hypotéze

H12 : j 0 pre aspoň jedno j (j = 1,2…m)

efekt j aspoň jednej j - úrovne faktora B je preukazný, významne odlišný od nuly


Variabilitamedzi riadkami



DARVariabilita

1Súčet štvorcov

odchýlok

2Stupne

voľnosti

m-1

n-1

(m-1)(n-1)

3Priem.štvorec

(1/2)

Sr

Sc

s12

sr2

4F-kritérium

2

21

1

rs

sF S1

S2

Variabilita medzi stĺpcami

m.n -1

2

22

2

rs

sF s2

2

Rozklad celkovej variability skúmaného znaku:Sc= S1 + S2 + S r


2m

1ii 1 ..)y.y(nS

2n

1jj2 ..)y.y(m S

2ji

m

1i

n

1jij r ..)y.y.yy(S

2m

1i

in

1jijc ..)yy( S

Variabilita medzi riadkami, vplyv faktora A

Variabilita medzi stĺpcami,vplyv faktora B

Reziduálnavariabilita


Dvojfaktorová analýza rozptylu Dvojfaktorová analýza rozptylu s opakovaníms opakovaním

• Uvažujme vplyv dvoch faktorov: faktora A, ktorý skúmame na m - úrovniach, i = 1,2,….,m a faktora B, ktorý sledujeme na n - úrovniach , j = 1,2, …, n

• Skúmame nielen individuálny vplyv daných faktorov, ale aj ich vzájomné pôsobenie (interakciu)

• Pre každú kombináciu úrovní máme viacviac pozorovanpozorovaníí (opakovaní) yij

• Overujeme tak vplyv troch nulových hypotézprof.Ing. Zlata Sojková,CSc. 27

User

Schéma dvojfaktorového experimentu s interkaciou

Faktor B B1 B2 ... Bn

A1 yijk Priemer

A1B1 Priemer A1B2

Priemer A1Bn

Priemer A1

A2 Priemer

A2B1 Priemer A2B2

Priemer A2Bn

Priemer A2

.

.

.

Am

Faktor A

Priemer

AmB1 Priemer AmB2

Priemer AmBn

Priemer Am

Priemer B1

Priemer B2

... Priemer Bn

Celkový priemer


Testy kontrastovTesty kontrastov

• v prípade, že H0 zamietame, zaujíma nás, medzi ktorými strednými hodnotami existujú štatisticky významné rozdiely

• existuje široká škála testov zameraná na viacnásobné porovnanie výberových priemerov

• je možné vytvoriť m*(m-1)/2 kontrastov


Testy kontrastovTesty kontrastov

1. Fischerov LSD test2. Duncanov test3. Student-Newman-Keulsov test4. Tukeyho test5. Scheffeho test


Fischerov LSD testFischerov LSD test

• LSD = Least Significant Difference• je založený na t-teste• štatisticky významný rozdiel je potvrdený, ak platí

vzťah:

• kde: kritická hodnota t rozdelenia pri m(n-1) stupňoch voľnosti

n

s2tyy

2r

)1n(m,.j.i

)1n(m,t


Duncanov testDuncanov test

• štatisticky významný rozdiel je potvrdený, ak platí vzťah:

• kde: tabuľovaná hodnota Duncanovho testu pre daný počet rozdielov a pri reziduálnom stupni voľnosti

n

sDyy

2r

.j.i

D


Student-Newman-Keulsov testStudent-Newman-Keulsov test


• kde: tabuľovaná hodnota Student-Neumannovho - Keulsovho testu pre daný počet porovnávaných rozdielov a pri reziduálnom stupni voľnosti

n

sgyy

2r

.j.i

g


Tukeyho testTukeyho test


• kde: tabuľovaná hodnota Tukeyho testu.)1n(m,m,q

n

s.qyy

2r

)1n(m,m,.j.i


Scheffeho testScheffeho test


• kde: kritická hodnota F rozdelenia pri (m-1) a m(n-1) stupňoch voľnosti

)1n(m),1m(,F

)1n(m),1m(,2r

ji.j.i F.s).1m.(

n

1

n

1yy


Ktorý test použiť?Ktorý test použiť?

Test Sila testu (1-β) Chyba I. druhu (α)

LSD najvyššia najvyššia

Duncan

Student-Newman-Keuls

Tukey

Scheffe najnižšia najnižšiaprof.Ing. Zlata Sojková,CSc. 37

viac konzervatívny,, menej pravdepodobné, že bude objavený skutočný rozdiel

viac pravdepo-dobné,, že bude určený nesprávny rozdiel

Ktorý test použiť?Ktorý test použiť?

• závisí, ktorý typ chyby je akceptovateľnejší z hľadiska analýzy daného problému, t.j. neurčenie rozdielu, ak skutočne existuje, resp. určenie rozdielu, ktorý neexistuje.


Testy kontrastov - StatgraphicsTesty kontrastov - Statgraphics

• Multiple Range Tests

Method: 95,0 percent LSD Count Mean Homogeneous Groups

Col_4 5 303,8 XCol_3 5 337,0 XXCol_1 5 344,2 XCol_2 5 349,8 X

Contrast Sig. Difference +/- LimitsCol_1 - Col_2 -5,6 38,7085Col_1 - Col_3 7,2 38,7085Col_1 - Col_4 * 40,4 38,7085Col_2 - Col_3 12,8 38,7085Col_2 - Col_4 * 46,0 38,7085Col_3 - Col_4 33,2 38,7085* denotes a statistically significant difference.


Testy kontrastov - StatgraphicsTesty kontrastov - Statgraphics

Col_1 Col_2 Col_3 Col_4

Means and 95,0 Percent LSD Intervals

280

300

320

340

360

380

Mea

n


Overenie zhody variabilityOverenie zhody variability

• predpokladáme, že skúmané výberové súbory majú približne normálne rozdelenie a rozdiely rozptylov medzi testovanými skupinami sú nepreukazné.

• H0:

• Testy:– Cochranov test– Hartleyov test– Bartlettov test

22m

22

21 ....


Cochranov testCochranov test

• je ho vhodné použiť, ak u skúmaných výberových súborov sú značné rozdiely medzi rozptylmi

• testovacia charakteristika:

• ak G ≥ Gα, m, n-1 → H0 zamietame• Gα, m, n-1 - tabuľková hodnota pri m a n-1 stupňoch

voľnosti

2 2 211 12 1

2 2 211 12 1

max( , ,..., )

...m

m

s s sG

s s s


Bartlettov testBartlettov test• spočíva v porovnávaní aritmetického a geometrického

priemeru rozptylov. Ak sú rozptyly rovnaké, potom aj priemery sú rovnaké.

• testovacia charakteristika:2

2 21

1 1

21

2 1

1

1

1

2,3026 .log .log

.

1 1 11

3( 1)

m m

i i ii i

m

i ii

m

ii

m

mi i

ii

M

C

M k s k s

s ks

k

Cm k k


ki = ni-1

m – počet výberových súborov

ni – rozsah i-teho

výberového súboru

Ak χ2χ2(m-1), potom H0 zamietame

analÝza rozptylu

Documents