antiderivada

La Integral IndefinidaLa Integral Indefinida

dxxf )(Definición

Notación

Propiedades

Reglas Básicas


Para cada una de las derivadas siguientes se describe la función original F:

Derivada Función Original

senxxF )(

xxF 2)(' 2)( xxF

xxF )(' 2

2

1)( xxF

2

1)('x

xF x

xF1

)(

xxF cos)('

¿Cuál de las estrategias siguientes se han utilizado para hallar la función original?

Graficación de funciones.

Derivación en orden inverso.

Ningún procedimiento matemático


Recuerde que:

xsenxDxxx

Dx

xxDx

xxDx

cos)(

1)

1(

)2

1(

2)(

2

2

2

Por lo tanto, la estrategia utilizada es derivación en orden inverso.


El proceso para determinar una función a partir de su derivada es opuesto a la derivación y por ello se llama antiderivación.

Definición: Antiderivada o Primitiva de f

Una antiderivada o primitiva de una función f es una función F tal que: F’(x) = f(x) siempre y cuando f(x) esté definida.

Una antiderivada o primitiva de una función f es una función F tal que: F’(x) = f(x) siempre y cuando f(x) esté definida.


Primitiva F(x)

Antiderivación

Función f(x)

Derivación

Derivada f ’(x)

Las operaciones de derivación y antiderivación, comenzando con la misma función f(x), siguen direcciones opuestas

Observe el siguiente diagrama.


La derivación anula el resultado de la antiderivación: La derivada de la primitiva de f(x) es la función original f(x).

La derivación anula el resultado de la antiderivación: La derivada de la primitiva de f(x) es la función original f(x).

F(x)

f(x)Antiderivación Derivación


2

3)(

)(

2

2)(

3)(

)(

35

34

33

32

31

xxF

xxF

xxF

xxF

xxF

Decimos que F es una primitiva de f y no que es la primitiva de f. La razón se ilustra en el siguiente ejemplo:

Todas ellas son primitivas de:

23)( xxf

En realidad, es primitiva de para cualquier elección de la constante C.

Cxxf 23)(23)( xxf


Así, una sola función tiene muchas primitivas, mientras que una función solo puede tener una derivada. Si F(x) es primitiva de f(x), también lo es F(x) + C para cualquier elección de la constante C.

El recíproco de ésta proposición es más sutil. Si F(x) es primitiva de f(x) en el intervalo I, entonces toda primitiva de f(x) en I es de la forma F(x) + C.


Este último resultado es consecuencia del teorema de valor medio, según el cual dos funciones con la misma derivada en un intervalo difieren solo en una constante en ese intervalo.

Este último resultado es consecuencia del teorema de valor medio, según el cual dos funciones con la misma derivada en un intervalo difieren solo en una constante en ese intervalo.


C = 4

C = 2

C = 0

C = -2

C = -4

Así, las gráficas de dos primitivas F(x) + C1 y F(x) + C2 de la misma función f(x) en el mismo intervalo I son paralelas, en el sentido ilustrado en las siguientes figuras:

F(x) = x3 + 4

F(x) = x3 + 2

F(x) = x3

F(x) = x3 - 2

F(x) = x3 - 4F(x) = x3 + C para distintos valores de C


C = 4

C = 2

C = 0

C = -2

C = -4

F(x) = x2 + 4

F(x) = x2 + 2

F(x) = x2

F(x) = x2 - 2

F(x) = x2- 4

F(x) = x2 + C para distintos valores de C

C es la distancia vertical entre las curvas y = F(x) y y = F(x) + C para cada x en un intervalo I.


Teorema 1

Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma:

G(x) = F(x) + C, para donde x en I

donde C es una constante.

Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma:

G(x) = F(x) + C, para donde x en I

donde C es una constante.


Según el teorema anterior, se pueden representar todas las primitivas de una función añadiendo una constante a una primitiva concreta conocida.

Según el teorema anterior, se pueden representar todas las primitivas de una función añadiendo una constante a una primitiva concreta conocida.

Así, una vez sabido que Dx(x3) = 3x2, las familias de todas las primitivas de la función f(x) = 3x2 vienen dadas por F(x) = x3 + C.


F(x) = x3 + C es la solución general de la ecuación diferencial f’(x) = 3x2

F(x) = x3 + C es la solución general de la ecuación diferencial f’(x) = 3x2

La colección de todas las primitivas de una función f(x) es conocida como la Integral Indefinida de f respecto a x

La colección de todas las primitivas de una función f(x) es conocida como la Integral Indefinida de f respecto a x

La primitiva más general de f en I tiene la forma F(x) + C.La primitiva más general de f en I tiene la forma F(x) + C.

Recuerde el ejemploRecuerde el ejemplo


Son ecuaciones diferenciales.

Recordemos lo que es una ecuación diferencial:

Una ecuación diferencial en x e y es una ecuación que involucra a “x”, a “y” y a las derivadas de y.

Ejemplo:

23'

1'

3'

2

2

xy

xy

xy

La ecuación diferencial más sencilla tiene la forma: )(xfdx

dy


Notación de las primitivas

Al resolver la ecuación diferencial

Conviene expresarla

dxxfdy )(La operación de hallar todas las soluciones de ésta ecuación se llama integral indefinida o antiderivación y se denota por el símbolo de la integral:

La solución general se denota por:

CxFdxxfy )()(

)(xfdx

dy


CxFdxxfy )()(

Símbolo de integración

Integrando

Constante de integración

Diferencial

Sirve para identificar a x como la variable de

integración




La expresión dxxf )(

“La integral indefinida de f con respecto a x”

Se lee


Pensamos en la combinación como un solo símbolo. dx(...)

Colocamos en el espacio vacío la fórmula de la función cuya primitiva estamos buscando.

Podemos describir una antiderivación específica en términos de cualquier variable independiente conveniente. Por ejemplo:

Ctdtt 323

Cxdxx 323

Cwdww 323

Cuduu 323

Significan exactamente lo mismo


La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede ser vista de la siguiente manera:

d

dxf x dx

d

dxF x C F x f x( ) ( ) ( ) ( )

Esta característica de inversa nos permite obtener fórmulas de integración directamente a partir de las fórmulas de derivación, permitiendo comprobar los resultados de integración mediante su diferenciación.


Cada fórmula de antiderivación produce, por inversión de la derivación, una fórmula integral indefinida correspondiente.

Teorema 2: Algunas Fórmulas Integrales

Ck

xdxx

kk

1

1

1k; si

Csenxxdxcos

cxsenxdx cos

Cxxdx tansec2

Cxxdx cotcsc2

Cxxdxx sectansec

Cxxdxx csccotcsc

Cxdxx

ln 1

Tabla de Integrales


Recuerde que la operación de derivación es lineal, lo que significa que:

Dx(C F(x)) = C F’(x); donde C es una constante.

Dx(F(x) G(x)) = F’ (x) G’ (x).

En la notación de antiderivación esto implica que:

dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

; donde C es una constante dxxfCdxxCf )( )(


La integración sería un proceso muy simple si contáramos con una lista de fórmulas de integración en la que pudiéramos localizar cualquier integral que necesitáramos calcular.

Dicho proceso sería muy tedioso

Es recomendable usar una tabla de integración y aprender técnicas para deducir nuevas fórmulas y transformar una integral dada en una conocida o que aparezca en una tabla accesible.


IntegraciónPor Partes

Integración de Potencias de Funciones

Trigonométricas

SustituciónTrigonométrica

FraccionesParciales

Cambios deVariable

Técnicas de Integración

En esta unidad aprenderemos dichas técnicas, así como algunas estrategias para usarlas correctamente.


xsenxDxxx

Dx

xxDx

xxDx

cos)(

1)

1(

)2

1(

2)(

2

2

2

Por lo tanto, la estrategia utilizada es derivación en orden inverso.

¡Muy Bien!


Para mayor información sobre el tema, consultar la bibliografía recomendada.

Amigo estudiante, recuerde que cuentas en tu medio con un libro digital del curso, podrás conseguir material de apoyo escrito a través de tu compromiso consigo mismo. Este material no sustituye el texto básico.

Así que,

antiderivada

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