Existencia de combustible (Gln)Distancia (km)Series1Series2Series3

1234

Distancia (km)Tiempo (minutos)Series1Series2Series3Series4Series5Series6

12

Alaargamiento (cm)Peso (g)Series1

0200400600

Costo totalUnidadesSeries1Series2Series3

12345

UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE EL SALVADORESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS ING. JULIO CESAR ORANTES CTEDRA DE CIENCIAS Y MATEMATICAMATEMATICAII

TEMA:

APLICACIONES PRCTICAS DE LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

CATEDRTICO:

ALUMNO:OSCAR AMAYA

INTRODUCCIN

En cualquier lugar del universo, por ende en lanaturaleza y en la vida diaria, aparecen numerosos fenmenos que tienen un comportamiento continuo. Por ejemplo: el crecimiento de una planta es continuo, el desplazamiento de un vehculo o el volumen del agua que fluye de un recipiente, el movimiento planetario y una infinidad de otros eventos. Aunque tambin se presentan discontinuidades en muchas situaciones como: las corrientes elctricas, la cantidad de lluvia que cae, la fuerza del viento y otros fenmenos.Debido a que es mucho ms factible ubicar odeterminar rpidamente eventos continuos, ocurri que durante los siglos XVIII y XIX, pocos cientficos se dedicaron a buscar otro tipo de comportamiento. Dejando relegado el estudio de funciones discretas hasta el siglo XX, donde se descubrieron aspectoscomo: a) tomos que vibran en una molcula de hidrgeno pueden oscilar slo en niveles de energa discretos; b) los tomos al ser calentados, emiten luz en frecuencias discretas y no en espectros continuos; c) uso intenso de funciones discretas en informtica y en estadstica. La continuidad ha adquirido una gran importancia, ya que explica matemticamente el comportamiento de fenmenos en diferentes mbitos tales como economa, poltica, social, familiar, religin, ciencia y muchos ms.Pragmticamente, sepuede pensar en una funcin continua en un punto si se puede dibujar su grfica cerca del punto sin levantar el lpiz del papel. De la misma manera, se puede decir que una funcin es discontinua en un punto, si se debe levantar el lpiz del papel para obtener la grfica de la funcin a ambos lados del punto indicado. La definicin matemtica de continuidad responde al significado de la palabra continuidad en el lenguaje cotidiano. Se puede pensar que un proceso continuo tiene lugar gradualmente, sin interrupciones ni cambios abruptos.Una lnea continua es algo que no se corta que tiene que seguir, las aplicaciones de la continuidad como las funciones en si es algo ms complejo, por eso la siguiente investigacin da a conocer algunos conceptos bsicos y ejemplos de este tipo de funcin as como de sus aplicaciones. Se vern algunos ejemplos de la discontinuidad tambin. Finalmente se aprender a graficar y resolver ejercicios basndose en los conceptos que se darn a conocer.

OBJETIVOS

Objetivo general

Conocer, comprender y aplicar el concepto acerca de la continuidad de una funcin en un punto determinado.

Objetivos especficos

Conocer y analizar algunos de los conceptos que estn ligados al tema de la continuidad de una funcin en un punto determinado.Definir a travs de mtodos matemticos los valores apropiados de los parmetros que reflejan q se cumple la continuidad en un punto para una funcin seccionada.Determinar los tipos de continuidades como tambin las discontinuidades de una funcin.Elaborar estrategias de identificacin y resolucin de problemas en los diversos campos del conocimiento y la experiencia, contrastndolas y reflexionando sobre el proceso seguido.Utilizar el conocimiento matemtico para organizar, interpretar eintervenir en diversas situaciones de la realidad.

MARCO TERICO

Concepto de una funcin continua

Una funcin es continua en un punto x0cuando existe el lmite de la funcin en x0y coincide con el valor que toma la funcin en x0. Es decir, ocurre lo siguiente: f es continua en x0

Si una funcin es continua en un puntox0, entonces es convergente enx0, es decir, existe el lmite de la funcin cuandoxtiende ax0.

Requisitos de una funcin continua

Para que una funcin sea continua en x0, se tienen que cumplir tres condiciones:Existir el lmite de la funcin cuando x x0.

Estar definida la funcin en x0, es decir, existir f(x0).

Los dos valores anteriores han de coincidir:

Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la funcin esdiscontinuaenx0. Se dice que unafuncinescontinua en un intervalocuando es continua en todos los puntos del intervalo.

Ejemplo de cmo determinar la discontinuidad de una funcin

Es discontinua en el punto x0= 3.

Resolucin:Para probar ladiscontinuidad de la funcin en x0= 3, hay que ver cual de las trescondiciones de continuidad no se cumple.En este caso es la primera, ya que no existe el lmite de la funcin cuandoxtiende a 3; los lmites laterales no coinciden:

Debido a que:Por tanto, la funcin es discontinua en x0= 3.

Ejemplo para calcular los puntos de continuidad.

Indicar en que puntos la funcin es discontinua.

Resolucin:La funcin es continua en todos los puntos salvo en los que se anula el denominador, ya que enstos la funcin no estar definida; es decir, enx= 3.La funcin es continua en todos los puntos salvo enx= 3, en el que es discontinua.

Tipos de funciones elementales

Funcin constante

La funcin constantef(x) =kes continua en todos los puntos.

Funcin identidad

La funcin identidadf(x) =xes continua en todos los puntos.

Funcin potencial

La funcin potencialf(x) =xnes continua en todos sus puntos, salvo el caso en quen 0, es continua en todos los puntos.

Funcin logartmica

La funcinf(x) =logax, siendoa> 1, es continua en todos los puntos de su campo de existencia (0, ).

Operaciones con funciones continuas

Suma

La suma de dos funciones continuas en un punto es tambin una funcin continua en ese punto.

Demostracin:Sean f y g, dos funciones continuas en un punto xo. Esto significa que:

Para probar que la funcin suma f + g es una funcin continua en x0, es necesario demostrar que

Aplicando una de las propiedades de los lmites de funciones,

Lademostracin es vlida para una suma de n funciones continuas en x0.

Resta

La resta de dos funciones continuas en un punto es tambin una funcin continua en ese punto. Esta demostracin, como las que siguen, se hacen de forma similar a la anterior, basndose en las propiedades de los lmites de funciones.

Producto

El producto de dos funciones continuas en un punto es tambin una funcin continua en ese punto.

Producto de una funcin por un nmero

El producto de una funcin continua en un punto, por unnmero real, es otra funcin continua en ese punto..

Cociente

El cociente de dos funciones continuas en un punto es otra funcin continua en ese punto. (Siempre que el denominador no se anule).Composicin de funciones

Si f es una funcin continua en x0yg es otra funcin continua en f(x0), la funcin compuesta g o f es continua en el punto x0.

Tipos de discontinuidades

Paraque una funcin f(x) sea discontinua (o no continua) en un punto x0deber darse una, al menos, de estas condiciones:No existe ono existe

Los lmites laterales existen, pero

Existe, pero

Dependiendo de qu condicin se verifique, los puntos en los que una funcin no es continua se clasifican en puntos dediscontinuidad evitabley en puntos dediscontinuidad no evitable(oinevitable).

Discontinuidad evitable

Una funcin presenta unadiscontinuidad evitableen un puntox0cuando, existiendo el lmite de la funcin en ste, no coincide con el valor que toma la funcin en el punto (casoc):

La discontinuidad se puede evitarasignando a la funcin, en el puntox0, el valor de su lmite.En este caso ase le denomina verdadero valor de la funcin en x0, y es el que hace que la funcin sea continua en ese punto.

Discontinuidad inevitable

Una funcin presenta unadiscontinuidadinevitableen un puntox0cuando o bien no existe algn lmite lateral (casoa) o bien los lmites laterales existen pero son distintos (casob), en cuyo caso no existe el lmite.

Discontinuidad de salto

Existen los lmites laterales pero son distintos.

Discontinuidad infinita

Al menos uno de los lmites laterales no existe.

Ejemplo para determinar y clasificar los puntos de discontinuidad de una funcin.

Realizar un estudio de los puntos de discontinuidad de la funcin

Resolucin: La funcinx+2 es continua en todos los puntos. La funcinf(x) es continua en todos los puntos salvo enx=1; ya quef(1) = 1

Si se asigna a f(1) el valor 3, valor de, se evita la discontinuidad y entoncesf(x) =x+ 2 es continua en todos los puntos.El verdaderovalor de la funcin enx= 1 es 3.Teoremas de las funciones continuas

Las funciones que son continuas en un intervalo cerrado tienen ciertas propiedades especiales que se enuncian a continuacin:

Teorema de la conservacin del signo

Si f(x) es continuaen x = a y f(a)>0, existe un intervalo abierto tal que f(x) > 0,x(a -, a +).

Teorema del valor intermedio

Si y = f(x) es una funcin continua en el intervalo cerrado [a, b] donde f(a) f(b) y k es un nmero real cualquiera comprendido entre f(a) y f(b), existe al menos un nmero real c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c) = k.Image555Fig. 1. Grfica que muestra el teorema del valor intermedioDesde el punto de vista geomtrico, este teorema establece que la grfica de una funcin continuaen un intervalo cerrado, debe intersecar al menos una vez a cada recta de ecuacin y = k, siendo f(a) < k < f(b).

Ejemplo para verificar el teorema del valor intermedio

En el siguiente ejemplo se presenta la importancia de la verificacin de lacondicin de continuidad de la funcin y = f(x) en el intervalo [a, b] para poder garantizar la existencia del nmero real c.

Es posible aplicar el teorema del valor intermedio en su dominio de definicin? Justificar al respecto.El dominio es el intervalo cerrado [-1, 4]. Adems, f(-1) = 1 y f(4) = 7.Cada tramo es una funcin polinomial y por lo tanto cada tramo es continuo en el intervalo dado. Debe analizarse la continuidad de la funcin en x = 2:

Como los lmites laterales son distintos, lafuncin no es continua en x = 2 y por lo tanto tampoco es continua en el intervalo cerrado [1, 4]. Por este motivo, no puede aplicarse el teorema del valor intermedio.

Teorema de Bolzano

Si y = f(x) es una funcin continua en el intervalo cerrado [a, b]y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces existe al menos un nmero real c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c) = 0; es decir, c es una raz de f(x).Las siguientes grficas permiten ilustrar el teorema:Image562Fig. 2. Grficas que muestran al teorema de Bolzano

Ejemplo para aplicar el teorema de Bolzano

Determinar si tiene una raz real en el intervalo [5, 1]. Justificar la respuesta.El dominio de esta funcin es D = R - {3} y por lo tanto no es continua en el intervalo [5, 1]. Como no se cumple la hiptesis de continuidad del teorema de Bolzano, no puede garantizarse la existencia de una raz real en el intervalo dado.

METODOLOGIA

Para la elaboracin de un trabajo que involucra la relacin existente entre la realidad yla continuidad de una funcin en un punto, se recurri en primer lugar a la bsqueda de informacin que tratara sobre ese tema y su anlisis pertinente. Junto a lo anterior tambin fue necesario efectuar los nexos existentes con el conocimiento del tema,lo cual ha sido logrado por las mismas experiencias de la vida, por el bagaje terico que se ha podido obtener en la vida estudiantil y por el aprendizaje mismo de la vida.Para la revisin del tema que ha sido escrito por expertos, se utilizaron dos tipos de recursos: a) literatura que trata sobre el tema, principalmente libros acerca de matemtica superior o clculo y b) el ciberespacio, donde se tuvo que seleccionar adecuadamente el material ms idneo, ya que en este medio tambin hay informacin abundante pero que no rene los mnimos criterios que la puedan catalogar como informacin adecuada. Para esa seleccin se hicieron las analogas necesarias con autores de reconocida trayectoria o con el apoyo de algunos profesionales que poseen las herramientas tcnicas apropiadas.En lo referente a la experiencia tanto acadmica como de carcter pragmtica o de experiencias de la vida, tambin se utilizaron estrategias que pudieran utilizarlas. Para esto ltimo, las ideas que surgieron se discutieron con compaeros, esto para poder contar con criterios amplios al respecto, sin olvidar los propios puntos de vista. Precisamente muchas de esas experiencias se pudieron plasmar por medio de esas discusiones que acontecieron.Al concentrarse en las experiencias escogidas, se procedi a la elaboracin e interpretacin de tablas a partir de un conjunto de datos, de grficas o de expresiones funcionales, teniendo en cuenta el contexto en el que se producen. Siendo muy necesario el reconocimiento de relaciones entre magnitudes, para determinar quien es la independiente y cual la dependiente. Fue de mucha utilidad la interpretacin y utilizacin del lenguaje grfico teniendo presente la situacin que se quiere representar y emplear el vocabulario y los smbolos adecuados.Tambin el uso de expresiones algebraicas para describir funciones en casos sencillos. As como el reconocimiento de intervalos de crecimiento y decrecimiento, la identificacin e interpretacin del significado de los valores extremos de una funcin, la identificacin de grficas de funciones continuas y discontinuas, el reconocimiento de los puntos de corte de una funcin con los ejes de coordenadas, la seleccin de las unidades y las escalas ms convenientes, verificar las tendencias de algunas funcionesy la sistematizacin de la toma de datos.La metodologa que se us para el desarrollo de este tema, consisti en que a partir de la lectura y anlisis de literatura especializada, se plantearon algunasexperiencias de la vida que estn muy relacionadas con la continuidad de una funcin en un punto, se discutieron en forma grupal, para que las experiencias individuales o colectivas se enriquecieran junto al bagaje terico. Luego se plantearon matemticamente las experiencias. Siendo por lo tanto una actividad que relacion lo conceptual con la experiencia, lo terico con el pragmatismo, las individualidades con la discusin grupal.En general, cada experiencia pas por analizar los siguientes aspectos:Variables o magnitudes que se relacionan.

Variabledependiente y variable independiente.

Graduacin de los ejes. Unidad de medida y escala.

Continuidad-Discontinuidad.

Presencia de puntos o lneas.

La pertinencia o no de unir los puntos.

Crecimiento y decrecimiento.

Crecimiento o decrecimiento de la funcin.

Mximos y mnimos.

Periodicidad.

Tendencia.

Lo que ocurre para valores muy grandes.

Ttulo de la grfica

Tabla que relaciona las variables.

DESARROLLO DE APLICACIONES EN LA VIDA COTIDIANA DE LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Lasfunciones continuas son aquellas donde al graficar la funcin, esta presenta una lnea que no se corta, por ejemplo la funcin seno o la grafica de una lnea recta. Una funcin continua no necesariamente es una lnea recta. Hay una gran cantidad de eventosde la vida diaria que son buenos ejemplos de funciones continuas o discontinuas. Para el caso, se puede citar el caso de la medicin de la temperatura, por mas caluroso que sea un da, la temperatura no cambia de manera abrupta de un segundo a otro, sinoque para llegar de 34 C a 6 C debe pasar forzosamente por todos y cada uno de los grados comprendidos entre ellos aun en un tiempo pequeo; otro caso puede constituir al poner a hervir el agua. Otros ms son: el llenado de un tinaco desde cero hasta el lmite de su capacidad, la evaporacin del agua contenida en un vaso, el consumo de energa elctrica en una familia.El caso de la gravedad en la tierra

La ciencia ha conseguido la funcin matemtica que relaciona la distancia al centro de la Tierra conel peso de 1 kg masa (esto es la gravedad; lo que pesa un kg). Es un ejemplo tpico de funcin (a trozos). Para ello, se observa que en el punto (0,0) la gravedad es cero. Esto es razonable pues en ese lugar, a un cuerpo cualquiera lo atrae toda la masa dela Tierra en todas las direcciones por igual. En el centro del planeta los cuerpos no tienen peso. A medida que dicho cuerpo se aleja de este punto, puede verse que la gravedad va aumentando linealmente, hasta alcanzar un valor mximo de 9,81 en la superficie. En la mitad del recorrido la gravedad es tambin la mitad. Ya estando en la superficie y siguiendo alejndose el cuerpo del centro. Se observa como la gravedad disminuye de una manera muy rpida. Cuando dicho cuerpo est situado a dos veces el radioterrestre, la gravedad habr cado a la cuarta parte. Tambin se observa que la gravedad decrece constantemente pero nunca se hace cero (asntota horizontal). Est en el lugar que est un cuerpo (excepto en su centro) la Tierra lo atrae. A cuatro veces elradio la atraccin es muy pequea.Su dominio es [0,) y su recorrido [0, 9,81]. Esto quiere decir que la gravedad producida por la Tierra siempre estar comprendida entre estos valores, independientemente de donde se encuentre ubicado en el Universo.ImagenFigura 3. El radio de la tierra y la fuerza de gravedad

Los costos de una empresa

Una fbrica es capaz de producir 2000 unidades en cada turno de diez horas. Por cada turno trabajado, hay un costo fijo de $ 1700 (luz, calefaccin, impuestos y otros). Elcosto variable por unidad es de $ 1.5. Al respecto, escribir la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno y analizar su continuidad.Costos totales = Costos fijos + Costos variables
Primer turno:C (x) = 1700 + 1.5x, si 0 x 2000

Segundo turno:C(x) = 1700 + 1700 + 1.5xC(x) = 3400 + 1.5x, si 2000