TEOREMA DE CONTINUIDAD DE

UNA FUNCION

CalculoIntegrantes:Armas Manríquez Erick Daniel 10-13Barrios Flores Brenda Consuelo 2- 5Ramírez Gamboa Diana 6- 9

Es una afirmación matemática demostrable a partir de otras

proposiciones ya demostradas.

En matemáticas, una función continua es aquella que en general la

gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

Teorema

Continuidad

• La función f es continua en el numero a si f esta definida en algún intervalo abierto que

contenga a a.• Intuitivamente se puede decir que una función

es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene "huecos".

Continuidad de una Función

• Se dice que una función f es continua en el numero a si solo se cumplen las 3 condiciones siguientes:

• Si f (a) existe

• Si lim f (x) existe

• Si lim f (x) = f (a)

Criterios de Continuidad

x a

x a

1.- EXISTENCIA

            Una función es continua en x=a si al sustituir a, en una función el resultado es un numero real.

 

F(a)= R (existe)

 

2.- LIMITES

            Una función es continua en x=a si los limites por la izquierda y la derecha son iguales, es decir el limite existe y es único.

 

Lim f(x)= lim f(x)

X—a -        x—a+

 

3.- IGUALDAD

            Una función es continua en x=a si la sustitución directa es igual con el  limite.

 

F(a)= lim f(x)

            x—a

Para que una función sea continua debe cumplir con los siguientes teoremas:

• Teorema de Weierstrass: La hipótesis de este teorema es que contamos con una función F que es continua en un intervalo cerrado [a,b].

• La tesis afirma que, en tal caso, existe al menos un máximo y un mínimo absolutos que la función alcanza en [a,b].

• Es decir, existen en [a,b] al menos dos valores m y M tales que F(m) ≤ F(x) ≤ F(M) para todo valor x de [a,b].

 

Teoremas sobre funciones continuas 

• Es que contamos con una función F que es continua en un intervalo cerrado [a,b] cuyos valores en sus extremos F(a) y F(b) tienen distinto signo.

• La tesis del teorema es que, en tal caso, la función se anula en algún punto del intervalo (a,b).

• El teorema nos garantiza que debe existir al menos un cierto valor x del intervalo (a,b) para el cual F(x) = 0. Pero solo nos asegura que tiene que haber ese valor, no nos dice nada de cómo encontrarlo.

Teorema de Bolzano:

• La hipótesis de este teorema es que contamos con una función F que es continua en un intervalo cerrado [a,b].

• La tesis afirma que, en tal caso, la función alcanzará cualquier valor intermedio, comprendido entre F(a) y F(b).

 

• Veremos que este teorema es a la vez una generalización y una consecuencia del Teorema de Bolsano.

Teorema del valor intermedio:

• Dadas 2 funciones f (x) y g (x), que son continuas en un punto o en un intervalo, se cumple entonces que:

• La suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo.

• El producto de las dos funciones es una función continua en ese punto o intervalo.

Propiedades de las funciones continuas

• El consiente entre ambas funciones es una función continua en ese punto o intervalo, salvo en aquellos en los que el denominador se anula.

• Si f (x) es continua en a, y g (x) es continua en

f (x), entonces la composición de funciones

(fg)(x) es también continua en a.

CONCLUSIONES

• Los teoremas de continuidad nos ayudan a determinar con facilidad sin la necesidad de graficar, si una función es continua o no.

• Sirven para compresión mas detallada de lo que representa la continuidad en calculo y algebra