1

BAB III

PEMBAHASAN

1.1. Teorema Konvolusi Dalam Kalkulus

1.1.1. Definisi Konvolusi

Dalam kalkulus atau matematika, konvolusi dapat diartikan sebagai sebuah

operasi matematika yang menggunakan dua fungsi yaitu f dan g menghasilkan

fungsi ketiga yang dapat dilihat sebagai modifikasi dari fungsi asalnya dengan

cara mengalikan kedua fungsi tersebut.

Konvolusi dari f dan g ditulis sebagai f∗g, dengan menggunakan tanda

bintang(*). Berikut ini adalah salah satu contoh bentuk operasi konvolusi:

( f∗g ) x≝∫−∞

∞

f ( τ ) g ( x−τ ) dτ

¿∫−∞

∞

f ( x−τ ) g(τ )dτ

1.1.2. Konvolusi Malar

Ketika fungsi gTmenjadi kontinu dengan waktuT , kemudian dengan fungsi f ,

dengan adanya f∗gT , dimana t 0 adalah sembarang parameter, dan hT adalah

penjumlahan kontinu dari h, didefinisikan oleh:

2

hT (t )≝ ∑k=−∞

∞

h ( t +kT ) .

Operasi ini adalah bentuk kontinu dari fungsi xTdan hT . Ketika xT

diekpresikan sebagai penjumlahan kontinu dari fungsi lain dari x, operasi yang

sama bisa disebut sebagai konvolusi malar dari fungsi hdan x.

1.1.3. Konvolusi Diskrit

Untuk nilai fungsi yang lebih kompleks, dari f dan g didefinisikan dalam

satu set Z dari integer, konvolusi diskrit dari f dan g diberikan oleh:

( f∗g ) [ n ]≝ ∑m=−∞

∞

f [ m ] g [n−m ]

¿ ∑m=−∞

∞

f [ n−m ] g [ m ]

Ketika mengalikan kedua polinom, koefisien dari produk yang diberikan

oleh konvolusi dari rangkaian koefisien asli, diperluas dengan angka-angka nol .

Hal ini disebut juga produk Cauchy dari koefisien dari dua polinom.

1.1.4. Teorema Konvolusi Secara Umum

Teorema konvolusi menyatakan bahwa:

F {f∗g }=k . F { f }. F {g }

3

Dimana F {f } menyatakan Transformasi Fourier dari f dan k adalah

konstanta yang bergantung pada normalisasi spesifik dari Transformasi Fourier

1.2. Penerapan Konvolusi Dalam Pengolahan Citra

1.2.1. Konsep Dasar Konvolusi Dalam Pengolahan Citra

Dalam ilmu komputer khususnya dalam bahasa formalnya, konvolusi dapat

diartikan sebagai suatu fungsi yang memetakan sebuah tuple dari satu rangkaian

ke dalam serangkaian tuple.

Pada pengolahan citra digital, terdapat dua operasi konvolusi yang dipakai

yaitu fungsi malar(kontinu) dan fungsi diskrit, untuk fungsi diskrit didefinisikan

sebagai berikut:

h ( x , y )=f ( x , y )∗g ( x , y )=∫−∞

∞

∫−∞

∞

f (a , b ) g(x−a), y−b¿dadb

Konvolusi dengan fungsi inilah yang banyak digunakan pada pengolahan citra

digital. Namun, fungsi ini sulit diimplementasikan dengan menggunakan

komputer. Hal ini disebabkan oleh kenyataan bahwa komputer hanya bisa

melakukan perhitungan pada data diskrit. Untuk itulah dibentuk operasi konvolusi

untuk fungsi diskrit sebagai berikut:

h ( x , y )=f ( x , y )∗g ( x , y )= ∑a=−a

∞

∑b=−∞

∞

f (a , b ) g(x−a) y−b¿

1.2.2. Fungsi Satu Dimensi dan Dua Dimensi

4

Secara mendasar, fungsi konvolusi menurut jenis dimensinya dapat dibagi

dalam dua jenis yaitu satu dimensi dan dua dimensi yang diuraikan seperti di

bawah:

1D:

Fungsi diskrit konvolusi satu dimensi kira-kira dapat digambarkan

seperti di bawah ini:

h ( x )=f (x )∗g (x )= ∑a=−∞

∞

f (a ) g ( x−a ) da

dimana g ( x ) merupakan kernel konvolusi atau kernel filter.

2D:

Sementara itu, dalam dua dimensi penggambaran fungsi konvolusi

digambarkan seperti di bawah ini:

h ( x , y )=f ( x , y )∗g ( x , y )= ∑a=−a

∞

∑b=−∞

∞

f (a , b ) g(x−a) y−b¿

fungsi filter g ( x , y ) disebut juga filter konvolusi, mask konvolusi,

kernel konvolusi atau template.

1.2.3. Operasi Konvolusi Secara Grafis

Dengan menggunakan fungsi konvolusi dua dimensi, berikut ini akan

diberikan ilustrasi operasi konvolusi secara grafis:

5

Gambar 3.1 Ilustrasi Konvolusi

Contoh:

Misalnya diberikan f ( x , y )=¿[4 7 62 4 1] dan g ( x , y )=[−1 0

0 1 ]Akan dilakukan konvolusi dengan aturan bahwa elemen yang tidak ada

diasumsikan 0, sehingga konvolusi pixel-pixel pinggir tetap dapat dilakukan.

Berikut adalah langkah-langkah yang dapat dilakukan:

1) Beri nilai 0 pada kolom M+1 dan baris N+1

f ( x , y )=[4 7 62 4 10 0 0

000 ]

6

2) Lakukan operasi konvolusi

·h(1,1) = f(1,1)*g(1,1) + f(1,2)*g(1,2) + f(2,1)*g(2,1) + f(2,2)*g(2,2)= (4*-1) + (7*0) + (2*0) + (4*1)= 0· h(1,2) = f(1,2)*g(1,1) + f(1,3)*g(1,2) + f(2,2)*g(2,1) + f(2,3)*g(2,2)= (7*-1) + (6*0) + (4*0) + (1*1)= -6·h(1,3) = f(1,3)*g(1,1) + f(1,4)*g(1,2) + f(2,3)*g(2,1) + f(2,4)*g(2,2)= (6*-1) + (0*0) + (1*0) + (0*1)= -6· h(2,1) = f(2,1)*g(1,1) + f(2,2)*g(1,2) + f(3,1)*g(2,1) + f(3,2)*g(2,2)= (2*-1) + (4*0) + (0*0) + (0*1)= -2· h(2,2) = f(2,2)*g(1,1) + f(2,3)*g(1,2) + f(3,2)*g(2,1) + f(3,3)*g(2,2)= (4*-1) + (1*0) + (0*0) + (0*1)= -4

7

· h(2,3) = f(2,3)*g(1,1) + f(2,4)*g(1,2) + f(3,3)*g(2,1) + f(3,4)*g(2,2)= (0*-1) + (0*0) + (0*0) + (0*1)

= 0Sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

H ( x , y )=[ 0 −6 −6−2 −4 0

]

Algoritma untuk operasi konvolusi diatas adalah sebagai berikut :

1. Beri nilai 0 untuk kolom M+1Untuk x = 1 sampai N lakukan

f(x,M+1) = 02. Beri nilai 0 untuk baris N+1Untuk y = 1 sampai M+1 lakukan

f(N+1,y) = 03. Lakukan konvolusi.

Untuk x = 1 sampai N+1 lakukan

Untuk y = 1 sampai M+1 lakukan

H(x,y)= f(x,y)*g(1,1) + f(1,y+1)*g(1,2) + f(x+1,y)*g(2,1) +f(x+1,y+1)*g(2,2)Langkah-langkah diatas dapat dibentuk dalam algoritma sebagai berikut :

For x ← 1 to N do

f(x,M+1) = 0

8

EndForX

For y ← 1 to M+1 do

f(N+1,y) = 0

EndForY

For x ← 1 to N+1 do

For y ← 1 to M+1 do

h(x,y) ← f(x,y)*g(1,1) + f(1,y+1)*g(1,2) + f(x+1,y)*g(2,1) +

f(x+1,y+1)*g(2,2)

EndForY

EndForX

1.2.4. Macam Macam Filter Konvolusi

Di dalam konvolusi terdapat bermacam-macam filter atau kernel konvolusi

yang digunakan. Dalam operasi konvolusi, kernel konvolusi dilambangkan

dengan g(x ) untuk satu dimensi dan g(x , y) untuk konvolusi dua dimensi.

Template-template yang sering digunakan dalam pengolahan citra diantaranya

adalah:

Gaussian Blur:

g ( x , y )=[1 2 12 4 21 2 1]

Smoothing:

9

g ( x , y )=[1 3 13 16 31 3 1]

Low Pass Filter:

g ( x , y )=[1 1 11 1 11 1 1]

High Pass Filter:

g ( x , y )=[ 0 −1 0−1 4 −10 −1 0 ]

Sobel Filter:

x:[1 0 −12 0 −21 0 −1]

y:[ 1 2 10 0 0

−1 −2 −1]1.2.5. Masalah Yang Muncul Dalam Proses Konvolusi Serta

Penyelesaiannya.

Pada beberapa operasi konvolusi, pixels-pixels pinggir pada citra tersebut

diabaikan, tidak dikonvolusi sehingga pixels-pixels pinggir nilainya tetap sama

seperti citra awal. Anda dapat melihat bahwa konvolusi dilakukan per pixel dan

untuk setiap pixel dilakukan operasi perkalian dan penjumlahan. Hal

10

ini,menyebabkan konvolusi mengkonsumsi banyak waktu pada saat

pengerjaannya.

Operasi konvolusi merupakan komputasi untuk suatu pixel pada citra hasil

konvolusi yang melibatkan pixel-pixel tetangga pada citra awal.

Jadi masalah yang umumnya muncul pada operasi konvolusi yakni pada pixel

pinggir tidak dilakukan konvolusi. Penyelesaian dari masalah ini adalah :

1) Pixels-pixels pinggir diabaikan atau tidak dikonvolusi. Dengan cara seperti ini,

maka pixels-pixels pinggir nilainya tetap sama seperti citra awal.

2) Duplikasi elemen citra, misalnya elemen kolom pertama disalin ke kolom M+1,

begitu juga sebaliknya, lalu konvolusi dapat dilakukan terhadap pixel-pixel

tersebut.

3) Elemen yang tidak ada diasumsikan bernilai 0 atau konstanta yang lain,

sehingga konvolusi pixel-pixel pinggir tetap dapat dilakukan.

1.3. Manfaat Penerapan Konvolusi Pada Pengolahan Citra

1.3.1. Perbaikan Kualitas Citra(Image Enhancement)

Perbaikan kualitas citra dapat dilakukan dengan menggunakan

template-template tertentu sehingga kualitas citra bisa ditingkatkan menjadi

lebih baik.

1.3.2. Penghilangan Derau(Noise)

Noise atau derau pada gambar berupa titik-titik yang mengganggu

dapat dihilangkan sehingga dihasilkan citra yang bebas dari derau atau

noise.

11

1.3.3. Penghalusan/Pelembutan Citra

Terkadang sebuah citra perlu dihaluskan dan dibuat blur agar terlihat

lebih indah dari citra sebelumnya. Untuk itu digunakanlah template

smoothing. Lalu digunakanlah operasi konvolusi pada citra dan templatenya

itu.

1.3.4. Deteksi Tepi/Penajaman Tepi

Deteksi tepi merupakan salah satu pengoperasian penting dalam

pengolahan citra agar dapat dilakukan pengoperasian pengolahan citra yang

lain.

12

BAB IV

PENUTUP

1.1. Kesimpulan

Konvolusi sebagai salah satu teorema kalkulus memberikan banyak

kontribusi dalam bidang teknik informatika khususnya dalam pengolahan citra.

Untuk memberikan hasil yang terbaik dibutuhkan pengoperasian yang rumit

dengan kata lain kemampuan logika yang kuat dalam memecahkan masalah

matematika dan kalkulus.

Mengoperasikan konvolusi pada pengolahan citra memang rumit, akan

tetapi dengan sedikit usaha dan penalaran logika matematika dan kalkulus yang

baik maka konvolusi pun bisa dipecahkan sehingga menghasilkan citra yang

dengan kualitas yang lebih baik dari sebelumnya.

13

DAFTAR PUSTAKA

Fadlisyah,S.Si dan Rizal, S.Si.,M.IT. 2011.Pemrograman Computer Vision pada

Video Menggunakan Delphi+Vision Lab VCL 4.0.1.Yogyakarta : Graha Ilmu.

Osgood, Brad, Prof.Lecture Notes for EE 261 ,The Fourier Transform and its

Applications: Electrical Engineering Department Stanford University.

http://pengolahancitra.com/index2.php?option=com_content&do_pdf=1&id=30

http://en.wikipedia.org/wiki/Convolution_%28computer_science%29

http://id.wikipedia.org/wiki/Pengolahan_citra

http://en.wikipedia.org/wiki/Convolution

http://www.google.co.id/url?

sa=t&source=web&cd=1&ved=0CBUQFjAA&url=http%3A%2F

%2Fwww.cs.ui.ac.id%2FWebKuliah%2FKalkulus%2FKalkulus%2520I(B)

%2FBab%25202.%2520LIMIT.ppt&rct=j&q=kalkulus

%20limit&ei=WkzSTbKGBYqnrAfQ4rW-

CQ&usg=AFQjCNGtk3JyK5nqt5BzacfE88Y-

uWzNKw&sig2=P1DwgbntY7p0HkuCGULYuA&cad=rja

http://rasyid14.files.wordpress.com/2009/05/ringkasanturunanfungsi.pdf

http://id.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100306042559AAPjJ8C

1.1.