Download - Aplikasi Konvolusi Pada Pengolahan Citra2
1
BAB III
PEMBAHASAN
1.1. Teorema Konvolusi Dalam Kalkulus
1.1.1. Definisi Konvolusi
Dalam kalkulus atau matematika, konvolusi dapat diartikan sebagai sebuah
operasi matematika yang menggunakan dua fungsi yaitu f dan g menghasilkan
fungsi ketiga yang dapat dilihat sebagai modifikasi dari fungsi asalnya dengan
cara mengalikan kedua fungsi tersebut.
Konvolusi dari f dan g ditulis sebagai f∗g, dengan menggunakan tanda
bintang(*). Berikut ini adalah salah satu contoh bentuk operasi konvolusi:
( f∗g ) x≝∫−∞
∞
f ( τ ) g ( x−τ ) dτ
¿∫−∞
∞
f ( x−τ ) g(τ )dτ
1.1.2. Konvolusi Malar
Ketika fungsi gTmenjadi kontinu dengan waktuT , kemudian dengan fungsi f ,
dengan adanya f∗gT , dimana t 0 adalah sembarang parameter, dan hT adalah
penjumlahan kontinu dari h, didefinisikan oleh:
2
hT (t )≝ ∑k=−∞
∞
h ( t +kT ) .
Operasi ini adalah bentuk kontinu dari fungsi xTdan hT . Ketika xT
diekpresikan sebagai penjumlahan kontinu dari fungsi lain dari x, operasi yang
sama bisa disebut sebagai konvolusi malar dari fungsi hdan x.
1.1.3. Konvolusi Diskrit
Untuk nilai fungsi yang lebih kompleks, dari f dan g didefinisikan dalam
satu set Z dari integer, konvolusi diskrit dari f dan g diberikan oleh:
( f∗g ) [ n ]≝ ∑m=−∞
∞
f [ m ] g [n−m ]
¿ ∑m=−∞
∞
f [ n−m ] g [ m ]
Ketika mengalikan kedua polinom, koefisien dari produk yang diberikan
oleh konvolusi dari rangkaian koefisien asli, diperluas dengan angka-angka nol .
Hal ini disebut juga produk Cauchy dari koefisien dari dua polinom.
1.1.4. Teorema Konvolusi Secara Umum
Teorema konvolusi menyatakan bahwa:
F {f∗g }=k . F { f }. F {g }
3
Dimana F {f } menyatakan Transformasi Fourier dari f dan k adalah
konstanta yang bergantung pada normalisasi spesifik dari Transformasi Fourier
1.2. Penerapan Konvolusi Dalam Pengolahan Citra
1.2.1. Konsep Dasar Konvolusi Dalam Pengolahan Citra
Dalam ilmu komputer khususnya dalam bahasa formalnya, konvolusi dapat
diartikan sebagai suatu fungsi yang memetakan sebuah tuple dari satu rangkaian
ke dalam serangkaian tuple.
Pada pengolahan citra digital, terdapat dua operasi konvolusi yang dipakai
yaitu fungsi malar(kontinu) dan fungsi diskrit, untuk fungsi diskrit didefinisikan
sebagai berikut:
h ( x , y )=f ( x , y )∗g ( x , y )=∫−∞
∞
∫−∞
∞
f (a , b ) g(x−a), y−b¿dadb
Konvolusi dengan fungsi inilah yang banyak digunakan pada pengolahan citra
digital. Namun, fungsi ini sulit diimplementasikan dengan menggunakan
komputer. Hal ini disebabkan oleh kenyataan bahwa komputer hanya bisa
melakukan perhitungan pada data diskrit. Untuk itulah dibentuk operasi konvolusi
untuk fungsi diskrit sebagai berikut:
h ( x , y )=f ( x , y )∗g ( x , y )= ∑a=−a
∞
∑b=−∞
∞
f (a , b ) g(x−a) y−b¿
1.2.2. Fungsi Satu Dimensi dan Dua Dimensi
4
Secara mendasar, fungsi konvolusi menurut jenis dimensinya dapat dibagi
dalam dua jenis yaitu satu dimensi dan dua dimensi yang diuraikan seperti di
bawah:
1D:
Fungsi diskrit konvolusi satu dimensi kira-kira dapat digambarkan
seperti di bawah ini:
h ( x )=f (x )∗g (x )= ∑a=−∞
∞
f (a ) g ( x−a ) da
dimana g ( x ) merupakan kernel konvolusi atau kernel filter.
2D:
Sementara itu, dalam dua dimensi penggambaran fungsi konvolusi
digambarkan seperti di bawah ini:
h ( x , y )=f ( x , y )∗g ( x , y )= ∑a=−a
∞
∑b=−∞
∞
f (a , b ) g(x−a) y−b¿
fungsi filter g ( x , y ) disebut juga filter konvolusi, mask konvolusi,
kernel konvolusi atau template.
1.2.3. Operasi Konvolusi Secara Grafis
Dengan menggunakan fungsi konvolusi dua dimensi, berikut ini akan
diberikan ilustrasi operasi konvolusi secara grafis:
5
Gambar 3.1 Ilustrasi Konvolusi
Contoh:
Misalnya diberikan f ( x , y )=¿[4 7 62 4 1] dan g ( x , y )=[−1 0
0 1 ]Akan dilakukan konvolusi dengan aturan bahwa elemen yang tidak ada
diasumsikan 0, sehingga konvolusi pixel-pixel pinggir tetap dapat dilakukan.
Berikut adalah langkah-langkah yang dapat dilakukan:
1) Beri nilai 0 pada kolom M+1 dan baris N+1
f ( x , y )=[4 7 62 4 10 0 0
000 ]
6
2) Lakukan operasi konvolusi
·h(1,1) = f(1,1)*g(1,1) + f(1,2)*g(1,2) + f(2,1)*g(2,1) + f(2,2)*g(2,2)= (4*-1) + (7*0) + (2*0) + (4*1)= 0· h(1,2) = f(1,2)*g(1,1) + f(1,3)*g(1,2) + f(2,2)*g(2,1) + f(2,3)*g(2,2)= (7*-1) + (6*0) + (4*0) + (1*1)= -6·h(1,3) = f(1,3)*g(1,1) + f(1,4)*g(1,2) + f(2,3)*g(2,1) + f(2,4)*g(2,2)= (6*-1) + (0*0) + (1*0) + (0*1)= -6· h(2,1) = f(2,1)*g(1,1) + f(2,2)*g(1,2) + f(3,1)*g(2,1) + f(3,2)*g(2,2)= (2*-1) + (4*0) + (0*0) + (0*1)= -2· h(2,2) = f(2,2)*g(1,1) + f(2,3)*g(1,2) + f(3,2)*g(2,1) + f(3,3)*g(2,2)= (4*-1) + (1*0) + (0*0) + (0*1)= -4
7
· h(2,3) = f(2,3)*g(1,1) + f(2,4)*g(1,2) + f(3,3)*g(2,1) + f(3,4)*g(2,2)= (0*-1) + (0*0) + (0*0) + (0*1)
= 0Sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:
H ( x , y )=[ 0 −6 −6−2 −4 0
]
Algoritma untuk operasi konvolusi diatas adalah sebagai berikut :
1. Beri nilai 0 untuk kolom M+1Untuk x = 1 sampai N lakukan
f(x,M+1) = 02. Beri nilai 0 untuk baris N+1Untuk y = 1 sampai M+1 lakukan
f(N+1,y) = 03. Lakukan konvolusi.
Untuk x = 1 sampai N+1 lakukan
Untuk y = 1 sampai M+1 lakukan
H(x,y)= f(x,y)*g(1,1) + f(1,y+1)*g(1,2) + f(x+1,y)*g(2,1) +f(x+1,y+1)*g(2,2)Langkah-langkah diatas dapat dibentuk dalam algoritma sebagai berikut :
For x ← 1 to N do
f(x,M+1) = 0
8
EndForX
For y ← 1 to M+1 do
f(N+1,y) = 0
EndForY
For x ← 1 to N+1 do
For y ← 1 to M+1 do
h(x,y) ← f(x,y)*g(1,1) + f(1,y+1)*g(1,2) + f(x+1,y)*g(2,1) +
f(x+1,y+1)*g(2,2)
EndForY
EndForX
1.2.4. Macam Macam Filter Konvolusi
Di dalam konvolusi terdapat bermacam-macam filter atau kernel konvolusi
yang digunakan. Dalam operasi konvolusi, kernel konvolusi dilambangkan
dengan g(x ) untuk satu dimensi dan g(x , y) untuk konvolusi dua dimensi.
Template-template yang sering digunakan dalam pengolahan citra diantaranya
adalah:
Gaussian Blur:
g ( x , y )=[1 2 12 4 21 2 1]
Smoothing:
9
g ( x , y )=[1 3 13 16 31 3 1]
Low Pass Filter:
g ( x , y )=[1 1 11 1 11 1 1]
High Pass Filter:
g ( x , y )=[ 0 −1 0−1 4 −10 −1 0 ]
Sobel Filter:
x:[1 0 −12 0 −21 0 −1]
y:[ 1 2 10 0 0
−1 −2 −1]1.2.5. Masalah Yang Muncul Dalam Proses Konvolusi Serta
Penyelesaiannya.
Pada beberapa operasi konvolusi, pixels-pixels pinggir pada citra tersebut
diabaikan, tidak dikonvolusi sehingga pixels-pixels pinggir nilainya tetap sama
seperti citra awal. Anda dapat melihat bahwa konvolusi dilakukan per pixel dan
untuk setiap pixel dilakukan operasi perkalian dan penjumlahan. Hal
10
ini,menyebabkan konvolusi mengkonsumsi banyak waktu pada saat
pengerjaannya.
Operasi konvolusi merupakan komputasi untuk suatu pixel pada citra hasil
konvolusi yang melibatkan pixel-pixel tetangga pada citra awal.
Jadi masalah yang umumnya muncul pada operasi konvolusi yakni pada pixel
pinggir tidak dilakukan konvolusi. Penyelesaian dari masalah ini adalah :
1) Pixels-pixels pinggir diabaikan atau tidak dikonvolusi. Dengan cara seperti ini,
maka pixels-pixels pinggir nilainya tetap sama seperti citra awal.
2) Duplikasi elemen citra, misalnya elemen kolom pertama disalin ke kolom M+1,
begitu juga sebaliknya, lalu konvolusi dapat dilakukan terhadap pixel-pixel
tersebut.
3) Elemen yang tidak ada diasumsikan bernilai 0 atau konstanta yang lain,
sehingga konvolusi pixel-pixel pinggir tetap dapat dilakukan.
1.3. Manfaat Penerapan Konvolusi Pada Pengolahan Citra
1.3.1. Perbaikan Kualitas Citra(Image Enhancement)
Perbaikan kualitas citra dapat dilakukan dengan menggunakan
template-template tertentu sehingga kualitas citra bisa ditingkatkan menjadi
lebih baik.
1.3.2. Penghilangan Derau(Noise)
Noise atau derau pada gambar berupa titik-titik yang mengganggu
dapat dihilangkan sehingga dihasilkan citra yang bebas dari derau atau
noise.
11
1.3.3. Penghalusan/Pelembutan Citra
Terkadang sebuah citra perlu dihaluskan dan dibuat blur agar terlihat
lebih indah dari citra sebelumnya. Untuk itu digunakanlah template
smoothing. Lalu digunakanlah operasi konvolusi pada citra dan templatenya
itu.
1.3.4. Deteksi Tepi/Penajaman Tepi
Deteksi tepi merupakan salah satu pengoperasian penting dalam
pengolahan citra agar dapat dilakukan pengoperasian pengolahan citra yang
lain.
12
BAB IV
PENUTUP
1.1. Kesimpulan
Konvolusi sebagai salah satu teorema kalkulus memberikan banyak
kontribusi dalam bidang teknik informatika khususnya dalam pengolahan citra.
Untuk memberikan hasil yang terbaik dibutuhkan pengoperasian yang rumit
dengan kata lain kemampuan logika yang kuat dalam memecahkan masalah
matematika dan kalkulus.
Mengoperasikan konvolusi pada pengolahan citra memang rumit, akan
tetapi dengan sedikit usaha dan penalaran logika matematika dan kalkulus yang
baik maka konvolusi pun bisa dipecahkan sehingga menghasilkan citra yang
dengan kualitas yang lebih baik dari sebelumnya.
13
DAFTAR PUSTAKA
Fadlisyah,S.Si dan Rizal, S.Si.,M.IT. 2011.Pemrograman Computer Vision pada
Video Menggunakan Delphi+Vision Lab VCL 4.0.1.Yogyakarta : Graha Ilmu.
Osgood, Brad, Prof.Lecture Notes for EE 261 ,The Fourier Transform and its
Applications: Electrical Engineering Department Stanford University.
http://pengolahancitra.com/index2.php?option=com_content&do_pdf=1&id=30
http://en.wikipedia.org/wiki/Convolution_%28computer_science%29
http://id.wikipedia.org/wiki/Pengolahan_citra
http://en.wikipedia.org/wiki/Convolution
http://www.google.co.id/url?
sa=t&source=web&cd=1&ved=0CBUQFjAA&url=http%3A%2F
%2Fwww.cs.ui.ac.id%2FWebKuliah%2FKalkulus%2FKalkulus%2520I(B)
%2FBab%25202.%2520LIMIT.ppt&rct=j&q=kalkulus
%20limit&ei=WkzSTbKGBYqnrAfQ4rW-
CQ&usg=AFQjCNGtk3JyK5nqt5BzacfE88Y-
uWzNKw&sig2=P1DwgbntY7p0HkuCGULYuA&cad=rja
http://rasyid14.files.wordpress.com/2009/05/ringkasanturunanfungsi.pdf
http://id.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100306042559AAPjJ8C
1.1.