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5. TRELIÇAS ISOSTÁTICAS5. TRELIÇAS ISOSTÁTICAS5. TRELIÇAS ISOSTÁTICAS5. TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Teoria das Estruturas I
Prof. Ricardo SilveiraDeciv/EM/UFOP
SUMÁRIOSUMÁRIO
5.1. Aplicações
5.2. Tipos
5.3. Definição
5.4. Considerações de Projeto
5.5. Classificação
5. Treliças Isostáticas
5.5. Classificação
5.6. Grau de Indeterminação
5.7. Estabilidade
5.8. Observações Importantes
5.9. Análise e Métodos de Resolução
5.10. Treliças Compostas
5.11. Treliças Complexas
5.11. Treliças de Altura Constante
5.1. APLICAÇÕES
5. TRELIÇAS ISOSTÁTICAS5. TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Teoria das Estruturas I 4
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
5.2. TIPOS
Teoria das Estruturas I 5
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Teoria das Estruturas I 6
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
São estruturas reticuladas indeformadas, constituídas de barras retas com
extremidades rotuladas formando malhas triangulares.
5.3. DEFINIÇÃO
2
500 NB
Teoria das Estruturas I 7
1
2
3
Barras (elementos, membros): 1
2
3
Pontos nodais: A, B e C
A C
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
1. As barras são conectadas através de juntas idealizadas como rotuladas.
5.4. CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Teoria das Estruturas I
2. O carregamento externo é aplicado apenas nas juntas (pontos nodais).
Tensões principais ► Esforço Normal
Tensões secundárias ► Momento Fletor
8
Agusset plate
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
1. Treliças Simples
5.5. CLASSIFICAÇÃO
Teoria das Estruturas I 9
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
2. Treliças Compostas
Tipo 1Tipo 2
simple trusses
simple trusses
Teoria das Estruturas I
Tipo 2
Tipo 3
10
secondary simple trusses
secondarysimple trusses secondary
simple trusses
main simple trusses
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
3. Treliças Complexas
Teoria das Estruturas I 11
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
5.6. GRAU DE INDETERMINAÇÃO
Número de Incógnitas: número de barras (b) + número de reações (r)
Número de equações (para cada nó j):
xF 0=∑
Teoria das Estruturas I 12
b r 2 j+ =
b r 2 j+ >
: Estaticamente Determinada (Treliça isostática)
: Estaticamente Indeterminada (Treliça hiperestática)
yF 0=∑
Portanto,
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
5.7. ESTABILIDADE
1. Estabilidade Externa
Situações de Instabilidade (externamente instável)
Se b r 2 j+ < : Treliça Instável (Treliça hipostática)
Teoria das Estruturas I 13
Situações de Instabilidade (externamente instável)
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
2. Estabilidade Interna
Situação de Estabilidade
(estabilidade interna)
Teoria das Estruturas I
Situação de Instabilidade
(instabilidade interna)
14
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Situação de Instabilidade
(instabilidade interna) Treliça composta
Teoria das Estruturas I
Situação de Instabilidade
(instabilidade interna) Treliça complexa
15
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Se : Treliça instável
Se b r 2 j+ ≥ : Treliça instável se as reações de apoio são concorrentes
ou paralelas, ou se os componentes da treliça formam um
mecanismo de colapso.
Portanto,
5.8. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES
b r 2 j+ <
Teoria das Estruturas I 16
a. Todo sistema reticulado deformável é instável (hipostático). Todo sistema
indeformável é estável (isostático ou hiperestático).
b. Treliças isostáticas com cargas fora dos nós não são treliças ideais.
c. Qualquer sistema reticulado constituído por um polígono fechado rotulado em
seus vértices é deformável (e, portanto, hipostático), exceto o caso do triângulo.
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
d. Lei de Formação das Treliças IsostáticasLei de Formação das Treliças Isostáticas:
Uma treliça biapoiada constituída por 3 barras formando um triângulo é
isostática. Se, a partir dessa configuração básica, acrescentarmos novos nós
através de duas novas barras, essa nova treliça será ainda isostática. Isto
porque surgem duas novas incógnitas no problema, simultaneamente ao
acréscimo de duas novas equações de equilíbrio ao sistema.
e. Outro tipo de treliça isostática é a treliça triarticulada (ver figura abaixo).
Teoria das Estruturas I 17
e. Outro tipo de treliça isostática é a treliça triarticulada (ver figura abaixo).
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
f. As treliças são geralmente de madeira ou de aço (esses materiais suportam bem
os esforços de tração e compressão).
g. Na prática, a grande maioria das treliças é isostática.
5.9. ANÁLISE E MÉTODOS DE RESOLUÇÃO
Análise de uma treliça
Teoria das Estruturas I 18
Métodos de Resolução:
Análise de uma treliça
Avaliação dos esforços normais nas barras e reações de apoio.
1. Método do equilíbrio dos nós
2. Método das seções (Método de Ritter)
3. Método de Cremona
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
1. Método do equilíbrio dos nós
a) Idéia Básica dos Métodos de Resolução
500 N
45
B
500 NB
Teoria das Estruturas I 19
FBA
FBC
500 N
45O
(tração)
(compressão)
FBC (compressão)
FBA (tração)
45O
BA
C45O
2 m
2 m
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
2. Método das seções (Método de Ritter)
A
B C D
EFG2 m2 m 2 m
2 m
a
a
Teoria das Estruturas I 20
2 m2 m 2 m
1000 N
2 m
C
2 m
G2 m
FGC
FGF
FBC
45O
2 m
2 mC
FGF
FGC
FBC
Dy
Dx
Ey
45O
1000 N
G
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
i. As seções de Ritter não precisam ser retas, elas podem ter formas quaisquer.
Porém, devem ser contínuas e atravessar toda a treliça.
ii. Deve-se escolher seções de Ritter que interceptem três barras não paralelas e
não concorrentes no mesmo ponto. Podem ocorrer, entretanto, seções de
Ritter que interceptem mais de três barras e a partir das quais seja possível
determinar os esforços normais em alguma(s) das barras.
Teoria das Estruturas I
iii. O Método de Ritter se presta admiravelmente ao cálculo das treliças de altura
constante, fazendo-o recair até no cálculo de uma viga de substituição, quando
o carregamento é vertical.
21
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
3. Método de Cremona
1
23
4
56
3P
H = 3P
a
E F
Teoria das Estruturas I 22
7 8 9
3P
HA = 3P
VA = 2P VD = P
a a a
A
B C
D
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
(Nó A)
VA = 2P
HA = 3P
N7
N2
(Nó E)
N3
N2
N1
(Nó B)
N4
N3
N7 N8
N5
N4
N1
N6
3P
(Nó F)
N6
N9
VD = P
(Nó D)
N2
N4 N3
N6
Teoria das Estruturas I 23
3P
2P
N7
A
(Nó A)
N2
N3
N1 E
(Nó E)
B
N8 N7
(Nó B)
F
N4
N1
N6
N5
3P
(Nó F)
N9
P
D
(Nó D)
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Problema 1: Pede-se avaliar as forças em cada membro da treliça abaixo.
Defina também se essas forças são de tração ou compressão.
b) Aplicações
1. Método do equilíbrio dos nós
2 KN
Teoria das Estruturas I 24
3 m
A
3 m 3 m
B C
D
E
F
G
30O 60O 60O 60O 60O 30O
3 KN3 KN
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Problema 2 : Pede-se avaliar as forças em cada membro da treliça abaixo.
Defina também se essas forças são de tração ou compressão.
As reações são dadas.
175 lb
200 lb
B
C
D
Teoria das Estruturas I 25
10 ft 10 ft
A E
F
30O 30O
45O45O
60O 60O
Ax = 141.4 lb
Ay = 125.4 lb Ey = 191.0 lb
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Problema 1: Pede-se indicar aqueles membros da treliça abaixo que possuem
esforço normal nulo.
Característica: Elementos com Esforço Normal Nulo
B C
Teoria das Estruturas I 26
A
B C
DE
P
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Solução:
1. Ponto nodal C 2. Ponto nodal A
Teoria das Estruturas I 27
x CB
y CD
F 0; F 0
F 0; F 0
+← = =
+ ↓ = =
∑
∑y AB AB
x AE AE
F 0; F sen 0 F 0 (sen 0)
F 0; -F 0 0 F 0+
+ ↑ = θ = ∴ = θ ≠
→ = + = ∴ =
∑∑
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Problema 2: Pede-se indicar aqueles membros da treliça abaixo que possuem
esforço normal nulo.
B
C
D
P
Teoria das Estruturas I
Solução:
1. Ponto nodal D
28
2. Ponto nodal F
y DFF 0; F 0+
= =∑↙ y CF CFF 0; F sen 0 0 F 0 (sen 0)+ ↑ = θ + = ∴ = θ ≠∑
A E
G F
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Problema 3: Pede-se indicar aqueles membros da treliça abaixo que possuem
esforço normal nulo.
A B
Teoria das Estruturas I 29
C
DE
P
G F
H
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Problema 1: Pede-se avaliar o esforço normal nas barras BC, GC e GF da
treliça abaixo. Defina se esses esforços são de tração ou
compressão.
2. Método das seções (Método de Ritter)
B C Da
Teoria das Estruturas I 30
AEFG
2 m2 m 2 m
2 m
a
1000 N
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Solução:
Estratégia 1
1000 N
2 m
C
2 m
G2 m
FGC
FGF
FBC
45O
Teoria das Estruturas I 31
Estratégia 2
1000 N
2 m
2 mC
FGF
FGC
FBC
Dy
Dx
Ey
45O
G
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Problema 2: Pede-se avaliar o esforço normal nas barras CF e GC. Defina se
esses esforços são de tração ou compressão. As reações de
apoio são dadas.
Teoria das Estruturas I 32
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Problema 3: Pede-se avaliar o esforço normal nas barras GF e GD. Defina se
esses esforços são de tração ou compressão. As reações de
apoio são dadas.
4 m3 m
Ax = 0
a
a
A
B C D
E
F
G
H
Teoria das Estruturas I
Solução:
33
FGF
FGD
FCD
6 kN 8 kN 2 kN Ey = 7 kNAy = 9 kN
3 m 3 m 3 m 3 m
Ax = 0aB C D
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Formação: Conexão de duas ou mais treliças simples através de barras e
pontos nodais.
Análise: Aplicação de ambos os métodos (equilíbrio dos nós e seções-Ritter).
Tipo 1
5.10. TRELIÇAS COMPOSTAS
Teoria das Estruturas I
• Avaliar as reações (treliça completa).
• Usar o método das seções (cortar a treliça através da
barra que faz a conexão das duas treliças simples).
• Avaliar a força nessa barra (ligação entre as treliças)
• Analisar as treliças simples usando o método do
equilíbrio dos nós.
34
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Tipo 2
• Avaliar as reações (treliça completa).
• Usar o método das seções e cortar cada uma das três barras que faz a
conexão das duas treliças simples.
• Avaliar a força normal nessas barras (diagrama de corpo livre).
• Analisar as treliças simples usando o método do equilíbrio dos nós.
Teoria das Estruturas I 35
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
• Remover as treliças secundárias usando membros fictícios (linhas tracejadas)
para construir a treliça principal.
• O efeito (força) exercido pelas treliças secundárias na treliça principal é
introduzido nas juntas onde as treliças secundárias são conectadas à treliça
principal.
• Avaliar as forças nos membros fictícios (linhas tracejadas) usando o método
do equilíbrio dos nós ou seções.
Tipo 3
Teoria das Estruturas I
do equilíbrio dos nós ou seções.
• Essas forças são aplicadas nas juntas das treliças secundárias e assim,
usando o método do equilíbrio dos nós, as forças nas barras das treliças
secundárias podem ser avaliadas.
36
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Problema 1: Indique como analisar a treliça composta abaixo. As reações de apoio
são dadas.
2m
2m
4m
Ax = 0A
B C DE
F
G
KJI
H a
a
Teoria das Estruturas I
Solução:
Passo 1: Passo 2:
37
2m 2m 2m 2m
4 kN 2 kN 4 kNAy = 5 kN Ey = 5 kN
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Problema 2: Indique como analisar a treliça composta abaixo. As reações de apoio são
dadas.
6 ft
12 ft
6 ft
A B
C
D
E
F
G
Ha
a45o
45o 45o
Ax = 0
Teoria das Estruturas I
Solução:
Passo 1: Passo 2:
38
6 ft 6 ft 6 ft 6 ft 6 ft
Ay = 3 k 3 k 3 k Fy = 3 k
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Problema 3: Indique como analisar a treliça composta abaixo. As reações de apoio são
dadas.
D
E
F
3 kN 3 kN5o
5o
5o
Teoria das Estruturas I 39
A
B
C
G H
Ax = 0
Ay = 4.62 kN Cy = 4.62 kN
45o
6 m 6 m
5
5o
5o
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Solução:
Passo 1:
Passo 2: Passo 3:
A
E
F
G
3 kN
1.5 kN
1.5 kN
FAE
FAE
C
E
F
G
3 kN1.5 kN
1.5 kN FEC
FEC
Teoria das Estruturas I 40
Passo 2: Passo 3:
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Formação: Sua lei de formação não se enquadra nos casos das treliças simples ou
compostas.
Análise: Método do Equilíbrio dos Nós
5.11. TRELIÇAS COMPLEXAS
a. Computacional:
Procedimentos
Teoria das Estruturas I 41
a. Computacional:
� escrever as equações de equilíbrio para cada ponto nodal (junta)
� resolver o sistema de equações resultante: A N = B
b. Manual:
� treliças complexas pequenas (GI baixo...)
� idéia da superposição do efeitos
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Procedimento de Análise: MANUAL
� Determinar as reações de apoio.
� Começar a imaginar como a treliça poderia ser analisada pelo método do
equilíbrio dos nós.
� Se numa determinada junta existem 3 incógnitas, remova um dos membros
e o substitua por um membro imaginário introduzido em outro lugar na
Etapa 1
Teoria das Estruturas I
e o substitua por um membro imaginário introduzido em outro lugar na
treliça.
Treliça Modificada
42
Treliça Original
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
� Introduzir o carregamento externo na treliça modificada.
� Avaliar, através do método do equilíbrio dos nós, os esforços normais Si’ em
cada membro i.
� Na treliça exemplo:
Etapa 2
Teoria das Estruturas I
Treliça Modificada
' 'AB AF
' 'FE FC
' 'DE DC
' 'EB EC
'BC
Junta A : S e S
Junta F : S e S
Junta D : S e S (ambos são nulos)
Junta E : S e S
Junta B : S
43
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
� Retirar o carregamento externo na treliça modificada.
� Introduzir cargas unitárias colineares na treliça modificada nas duas juntas
que definiam o membro que foi retirado.
� Resolver a treliça modificada para esse carregamento (avaliar, através do
método do equilíbrio dos nós, os esforços normais si em cada membro i).
� Na treliça exemplo:
Etapa 3
Teoria das Estruturas I
� Na treliça exemplo:
AB AF
FE FC
DE DC
EB EC
BC
Junta A : s e s
Junta F : s e s
Junta D : s e s
Junta E : s e s
Junta B : s
44
Treliça Modificada
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
� Combinar os efeitos dos dois carregamentos (superposição dos efeitos):
'i i iS S x s= +
'' iS
S S x s 0 x= + = ∴ = −
Etapa 4
� Determinação de x (para o membro i de substituição empregado):
Teoria das Estruturas I
' ii i i
i
SS S x s 0 x
s= + = ∴ = −
'' EC
EC EC ECEC
SS S x s 0 x
s= + = ∴ = −
45
� Na treliça exemplo (membro EC):
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Problema: Determine o esforço normal de cada membro da treliça complexa
mostrada na figura abaixo. Assuma que as juntas B, F e D estão na
mesma linha horizontal. Defina também se os esforços são de tração
ou compressão.
C5 k
Teoria das Estruturas I 46
A
B D
E
F
8 ft
3 ft
4 ft
45o 45o
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Solução:
� Determinar as reações de apoio.
� Remover um dos membros e empregar um membro imaginário
introduzido em outro lugar na treliça.
Etapa 1
C5 k
C5 k
Teoria das Estruturas I 47
A
B D
E
F
8 ft
3 ft
4 ft
45o 45o
A
B D
E
45o 45o
5 k
4.38 k 4.38 k
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
� Introduzir o carregamento externo na treliça modificada.
� Avaliar os esforços normais Si` em cada membro i.
' 'CB CD
' 'FA FE
' 'EB ED
' 'DA DB
'
Junta C : S e S
Junta F : S e S (ambos são nulos)
Junta E : S e S
Junta D : S e S
Junta B : S
Etapa 2:
Teoria das Estruturas I 48
'BAJunta B : S Membro
CBCDFAFEEBEDDADBBA
3.54-3.54
000
-4.385.34-2.502.50
'iS
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
CB CD
FA FE
EB ED
Junta C : s e s
Junta F : s e s
Junta E : s e s
� Na treliça modificada, introduzir cargas unitárias colineares nas duas
juntas que definiam o membro que foi retirado.
� Resolver a treliça modificada para esse carregamento.
Etapa 3:
Membro sD
C
BF
1 k
1 k
Teoria das Estruturas I
DA DB
BA
Junta D : s e s
Junta B : s
49
Membro si
CBCDFAFEEBEDDADBBA
-0.707-0.7070.8330.833-0.712-0.250-0.712-1.167-0.250
A E
DB
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
'i i iS S x s= +
'S S x s 0= + = ∴
Etapa 4:
� Combinar os efeitos dos dois carregamentos (superposição dos efeitos):
em que x é uma incógnita
� Determinar x (para o membro DB de substituição empregado):
Teoria das Estruturas I 50
'DB DB DB
'DB
DB
S S x s 0
S ( 2,5)x
s 1,167
x 2,142
= + = ∴
−= − = − ∴
=
Membro si x si Si
CBCDFAFEEBEDDADBBA
3.54-3.54
000
-4.385.34-2.502.50
-0.707-0.7070.8330.833-0.712-0.250-0.7121.167-0.250
-1.51-1.511.781.78-1.53-0.536-1.522.50
-0535
2.02 (T)5.05 (C)1.78 (T)1.78 (T)1.53 (C)4.91 (C)3.81 (T)
01.96 (T)
'iS
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Tipos:
Análise: VIGA DE SUBSTITUIÇÃO
Treliça com uma diagonal por painel
5.12. TRELIÇAS DE ALTURA CONSTANTE
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
V0 V1 V2V3 V4 V5 V6 V7D2D1 D3
S1S2
O1 O2 O3
h
D E F G H I J K
Teoria das Estruturas I
diagonal por painel
Treliça com duas diagonais por painel (Vigas Hässler)
51
VA VB
S1S2
A B C
A
A’
C D E F GB
B’ C’O1 O2 O3
U1 U2 U3
2t 2t 2t 2t 2t
V3
V0i
V0s V1
sV2
s
V1i V2
i
D1s
D1i
D2s
D2i
D3s
D3i
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
1. Treliça com uma diagonal por painel
Idéia básica: Viga de Substituição
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
V0 V1 V2V3 V4 V5 V6 V7D2D1 D3
VA VB
S1
S1S2
S2O1 O2 O3
h
AB C
D E F G H I J K
Teoria das Estruturas I
Idéia básica: Viga de Substituição
a. Barras Horizontais (inferiores e superiores)
b. Barras Diagonais
c. Barras Verticais
52
Análise
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
VA VB
d e f g h i j k
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
a. Barras Horizontais (inferiores)
Avaliação de U : M 0 V 3d P 3d P 2d P d U h 0= ⇒ − − − − = ∴∑
dP1 P2 P3
VA
S1
S1
U3
h
A
D E
F’
G
d d
D3
O3
ϕ
F
Teoria das Estruturas I 53
Avaliação de U3: G A 1 2 3 3
A 1 2 33
M 0 V 3d P 3d P 2d P d U h 0
V 3d P 3d P 2d P dU
h
= ⇒ − − − − = ∴
− − −=
∑
Momento fletor na seção g (Viga de Substituição): g A 1 2 3M V 3d P 3d P 2d P d= − − −
Portanto: g3
MU
h= +
Sinal: positivo (TRAÇÃO)
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
VA VB
d e f g h i j k
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Barras Horizontais (superiores)
Avaliação de O3: F' A 1 2 3
A 1 23
M 0 V 2d P 2d P d O h 0
V 2d P 2d P dO
h
= ⇒ − − + = ∴
− −= −
∑
Momento fletor na seção f (Viga de Substituição):
dPd2Pd2VM −−=
Teoria das Estruturas I 54
dPd2Pd2VM 21Af −−=
Portanto: f3
MO
h= − Sinal: negativo (COMPRESSÃO)
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
VA VB
d e f g h i j k
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
b. Barras Diagonaisb. Barras Diagonais
Avaliação de D : A 1 2 3V P P PF 0 V P P P D sen 0 D
− − −= ⇒ − − − + ϕ = ∴ = −∑
dP1 P2 P3
VA
S1
S1
U3
h
A
D E
F’
G
d d
D3
O3
ϕ
F
Teoria das Estruturas I 55
Avaliação de D3:A 1 2 3
Y A 1 2 3 3 3V P P P
F 0 V P P P D sen 0 Dsen
− − −= ⇒ − − − + ϕ = ∴ = −
ϕ∑
Esforço cortante no trecho f-g
(Viga de Substituição):
321Agf PPPVQ −−−=−
Portanto: f g3
QD
sen−= −ϕ
Caso Geral:
Sinal: estudar cada caso
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
VA VB
d e f g h i j k
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
c. Barras Verticais
Avaliação de V3: Y ' A 1 3 4 3F 0 V P P P P V 0= ⇒ − − − − − = ∴∑
P1 P2 P3
VA
S2
V3
A
D E
F’
GF
P4
HS2
Teoria das Estruturas I 56
Avaliação de V3: Y ' A 1 3 4 32
3 A 1 2 3 4
F 0 V P P P P V 0
V V P P P P
= ⇒ − − − − − = ∴
= − − − −
∑
Esforço cortante no trecho g-h (Viga de Substituição): 4321Ahg PPPPVQ −−−−=−
Portanto: 3 g hV Q −=
Caso Geral:
Sinal: estudar cada caso
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
VA VB
d e f g h i j k
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Observação: casos de barras verticais que não é possível utilizar a Seção de Ritter
(caso de interceptar mais, ou menos, de três barras).
VA
A
F
B
K
V0 = VA
V2 = P3
P3 V5 = VB
VB V7 = PB
PB
Teoria das Estruturas I
(caso de interceptar mais, ou menos, de três barras).
V0 = VA (compressão)
V2 = P3 (compressão)
V5 = VB (compressão)
V7 = P8 (compressão)
57
Solução: Método do equilíbrio dos nós
No caso:
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Aplicação
Problema 1: Determine o esforço normal de cada membro da treliça (altura
constante e uma diagonal por painel) mostrada na figura abaixo. A
treliça é carregada superiormente.
2 t 2 t 2 t 2 t 2 t
Teoria das Estruturas I 58
3 m 3 m 3 m 3 m
h = 3 m
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Solução 1: Viga de substituição:
h
MU g
3 +=
M−=
Fórmulas:
2 t2 t 2 t 2 t 2 t
5 t 5 t
DMF
Teoria das Estruturas I
hM
O f3 −=
erceptadointtrechoQV =
erceptadointtrechoQsen
1D
ϕ=
59
9 mt 9 mt12 mt
3 t 3 t
1 t1 t
1 t 1 t
3 t 3 t
+
-
DMF
DEC
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Problema 2: Obter os esforços normais para as barras da treliça-marquise da
figura a seguir.
h = 3 m
A
A
B C D E
V1
U U U U
O4O3O2O1
V2V3 V4 D4
D3
D2D1
S1 S2
ϕ
Teoria das Estruturas I 60
4 m 4 m 4 m 4 m
AU1 U2 U3 U4
S1
S2
3t 3t 3t 3t
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Problema 3: A figura abaixo representa uma treliça de altura constante, estando
faltando as diagonais (uma em cada painel).
Pede-se:
a. Dispor as diagonais para que, com o carregamento indicado,
trabalhem todas a tração;
b. Calcular a menor altura h, de modo que o maior esforço normal
atuante nas barras horizontais não ultrapasse, em módulo, o
valor de 8 tf;
Teoria das Estruturas I
valor de 8 tf;
c. Para este valor de h, achar os esforços normais nas barras.
61
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
2. Treliça com Duas Diagonais por Painel (Treliça de Hässler)
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
V3
S1
S1S2
S2
h/2
AB
C D E F G H I J
h/2
D3s
D3i
ϕϕ
U3
O3
V2i
V2s
Teoria das Estruturas I
a. Barras Horizontais (inferiores e superiores)
b. Barras Diagonais
c. Barras Verticais
62
Análise
Idéia básica: Viga de Substituição
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
VA VB
d e f g h i jc
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
a. Barras Horizontais (inferiores)
Avaliação de U3:V 2d P 2d P d− −
d d
VA
U3
O3
P1 P2 P3
S1
S1
V2s
V2I
Teoria das Estruturas I 63
A 1 2E A 1 3 32
V 2d P 2d P dM 0 V 2d P 2d P d U h 0 U
h
− −= ⇒ − − − = ∴ =∑
Momento fletor na seção e (viga de substituição): dPd2Pd2VM 21Ae −−=
Portanto: e3
MU
h= + Sinal: positivo (TRAÇÃO)
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
VA VB
d e f g h i jc
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
a. Barras Horizontais (superiores)
Avaliação de O3: ´ A 1 2 3EM 0 V 2d P 2d P d O h 0= ⇒ − − + = ∴∑
d d
VA
U3
O3
P1 P2 P3
S1
S1
V2s
V2I
Teoria das Estruturas I 64
Momento fletor na seção e (Viga de Substituição):
Portanto: Sinal: negativo (COMPRESSÃO)
A 1 23
V 2d P 2d P dO
h
− −= −
dPd2Pd2VM 21Ae −−=
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
VA VB
d e f g h i jc
e3
MO
h= −
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
VA
½ Qef
P1 P2 P3
D2I
D3I
D3S
½ Qef
ϕ
b. Barras Diagonais
Avaliação de D3s e D3
i: i sY ' A 1 2 3 3 3F 0 V P P P D sen D sen 0= ⇒ − − − − ϕ − ϕ = ∴∑
i s i sX' 3 3 3 3F 0 D cos D cos 0 D D= ⇒ ϕ − ϕ = ⇒ =∑
Teoria das Estruturas I
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
VA VB
d e f g h i jc
65
Esforço cortante no trecho e-f (Viga de Substituição): 321Afe PPPVQ −−−=−
Portanto:
Y ' A 1 2 3 3 3
i s A 1 2 33 3
V P P PD D
2 sen
− − −= =
ϕ
∑
i s e f3 3
QD D
2sen−= =
ϕ
Caso Geral:
Sinal: estudar cada caso
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
c. Barras Verticais
Avaliação de V2i: ϕ=⇒=−ϕ⇒=∑ senDV0VsenD0F i
2i2
i2
i2Y
Esforço cortante no trecho d-e (Viga de Substituição): PPVQ −−=
D2I
V2I
E´
½ Qde
Teoria das Estruturas I 66
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
VA VB
d e f g h i jc
Esforço cortante no trecho d-e (Viga de Substituição):
Portanto:
Caso Geral:
Sinal: estudar cada caso
21Aed PPVQ −−=−
d ei2
QV
2−=
i d e2
QD
2sen−=
ϕMas a diagonal
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Avaliação de V2s:
VA
U3
O3
P1 P2 P3
S1
S1
V2s
V2I
Teoria das Estruturas I 67
i sY ' A 1 2 3 2 2F 0 V P P P V V 0= ⇒ − − − − − = ∴∑
Observação: no caso de carregamento inferior, obteríamos inicialmente pelo
equilíbrio do nó E’ e, em seguida, o valor de através da condição
∑FY = 0.
s i2 A 1 2 3 2V V P P P V= − − − −
s2V
i2V
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Avaliação de V3:
D3i D4
I
F
V3 = P4/2
3
A ii 1
1V P
2 =
−
∑
4
A ii 1
1V P
2 =
−
∑
Teoria das Estruturas I 68
ϕ−ϕ=⇒=−ϕ−ϕ⇒=∑ senDsenDV0VsenDsenD0F i4
i333
i4
i3Y`
i e f3
QD
2sen−=
ϕ
( )3 e f f g1
V Q Q2 − −= −
43
PV
2= (COMPRESSÃO)
f gi4
QD
2sen−=
ϕMas e
Assim
No caso,
Caso Geral:
Sinal: estudar cada caso
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Problema 4: Determine o esforço normal de cada membro da treliça de Hässler
(altura constante e duas diagonais por painel) mostrada a seguir. A
treliça é carregada inferiormente.
A’ B’ C’O1 O2 O3
V3
V0i
V0s V1
s V2s
D1s
D1i
D2s
D2i
D3s
D3i
2t
2t
Teoria das Estruturas I 69
AC D E F G
BU1 U2 U3
2t 2t 2t 2t 2t
V0V1
i V2i
2 D3
2t
2t
2 t 2 t 2 t 2 t 2 t
6. GRELHAS ISOSTÁTICAS6. GRELHAS ISOSTÁTICAS6. GRELHAS ISOSTÁTICAS6. GRELHAS ISOSTÁTICAS
Teoria das Estruturas I
Prof. Ricardo SilveiraDeciv/EM/UFOP
SUMÁRIOSUMÁRIO
6.1. Introdução
6.2. Aplicações
6.3. Definição
6. Grelhas Isostáticas
6.3. Definição
6.4. Observações
6.5. Grelha Engastada-Livre
6.6. Grelha Isostática Triapoiada
6.7. Viga Balcão
6. GRELHAS ISOSTÁTICAS6. GRELHAS ISOSTÁTICAS
6.1. INTRODUÇÃO
a. Pórtico Espaciala. Pórtico Espacial
x
y
z
F 0
F 0
F 0
=
=
=
∑∑∑
x
y
z
M 0
M 0
M 0
=
=
=
∑∑∑
Forças: Momentos:
Equações da Estática:
Caso Particular: Forças numa só direção (no caso, z) e perpendiculares a um plano
(no caso, x-y) .
GRELHAS ISOSTÁTICAS
b. Grelhas
Teoria das Estruturas I
Forças:
Momentos:
Equações da Estática:
x y zF 0; F 0; e M 0= = =∑ ∑ ∑
73
zF 0=∑
x
y
M 0
M 0
=
=
∑∑
(meras identidades)
GRELHAS ISOSTÁTICAS
6.2. APLICAÇÕES
Teoria das Estruturas I 74
GRELHAS ISOSTÁTICAS
Teoria das Estruturas I 75
GRELHAS ISOSTÁTICAS
Teoria das Estruturas I 76
Vigas principais em perfil I Vigas principais em perfil caixão
GRELHAS ISOSTÁTICAS
Viga-Balcão
Teoria das Estruturas I 77
GRELHAS ISOSTÁTICAS
Estrutura plana submetida a carregamento perpendicular ao seu plano.
Grelhas Isostáticas: Análise através das três equações
Tipos:
2. Grelha triapoiada1. Grelha engastada-livre
6.3. DEFINIÇÃO
zF 0,=∑ x yM 0 e M 0= =∑ ∑
Teoria das Estruturas I
3. Viga-balcão
78
GRELHAS ISOSTÁTICAS
1. Grelha engastada-livre: as reações de apoio são calculadas pelas equações:
0Fz =∑
x
y
M 0
M 0
=
=
∑
∑
6.4. OBSERVAÇÕES
Teoria das Estruturas I
2. Grelha triapoiada: as reações de apoio podem calculadas por equações
independentes uma da outra. No exemplo abaixo:
reta BC D
reta CD B
z C
M 0 V
M 0 V
F 0 V
= ⇒
= ⇒
= ⇒
∑
∑
∑
79
GRELHAS ISOSTÁTICAS
3. Conhecendo-se as reações de apoio, consegue-se obter os esforços solicitantes
atuantes numa seção genérica S da grelha.
4. Esforços solicitantes atuantes numa seção genérica S da grelha:
Q : perpendicular ao plano P da grelha
: situado no plano P da grelhaM�
Teoria das Estruturas I
5. O momento pode ser decomposto em duas componentes:
M : momento fletor (perpendicular ao eixo da barra em questão)
T : momento torçor (direção ao eixo da barra)
M�
80
GRELHAS ISOSTÁTICAS
6. Numa seção genérica de uma grelha podem atuar três esforços simples:
Q : esforço cortante (perpendicular ao plano da grelha)
M : momento fletor (perpendicular ao eixo da barra em questão)
T : momento torçor (direção ao eixo da barra)
7. Grelha triapoiada:
• Os apoios não devem estar situados sobre uma mesma reta. Caso isso
ocorra, ela será hipostática.
Teoria das Estruturas I 81
• A grelha deve ter, além dos três apoios perpendiculares a seu plano, pelo
menos, mais três apoios no próprio plano, que garantam estabilidade para
carregamentos nele atuante. Veja exemplo abaixo:
GRELHAS ISOSTÁTICAS
8. No caso de grelha com carregamento oblíquo ao seu plano, deve-se decompô-lo
em duas componentes: uma componente perpendicular ao seu plano (grelha) e
uma componente pertencente ao seu plano (estrutura plana).
Teoria das Estruturas I 82
Grelha Estrutura plana
GRELHAS ISOSTÁTICAS
Problema 1: Determine os diagramas solicitantes da grelha mostrada na figura
abaixo, cujas barras formam, em todos os nós, ângulos de 90º.
6.5. GRELHA ENGASTADA-LIVRE
2 t/m
Teoria das Estruturas I 83
3 m
1 t
BA
C
D
3 m
3 m
GRELHAS ISOSTÁTICAS
Problema 2: Determine os diagramas solicitantes da grelha engastada-livre abaixo,
em que a carga de 2 tf é perpendicular ao plano ABC.
2 t
C
Teoria das Estruturas I 84
4 m
BA
4 2 m
GRELHAS ISOSTÁTICAS
Problema 1: Determine os diagramas solicitantes da grelha triapoiada abaixo,
cujas barras formam, em todos os nós, ângulos de 90º.
6.6. GRELHA TRIAPOIADA
3 t1 t
DE
F
Teoria das Estruturas I 85
2 m 2 m
2 m
2 m4 t
B
A
C
VB VC
VE
GRELHAS ISOSTÁTICAS
Problema 2: Determine os diagramas solicitantes da grelha triapoiada abaixo, cujas
barras formam, em todos os nós, ângulos de 90º. As barras BCD e ADF
estão submetidas a um carregamento vertical de 1 tf/m de cima para
baixo e as demais estão descarregadas.
5 m
B
A
C
Teoria das Estruturas I 86
5 m 5 m 5 m
5 m
5 m
B C
D
EF
H
G
GRELHAS ISOSTÁTICAS
Problema 1: Determine os diagramas solicitantes para a viga-balcão semicircular da
figura a seguir.
6.7. VIGA BALCÃO
B90o
Teoria das Estruturas I 87
P
A
R
GRELHAS ISOSTÁTICAS
Problema 2: Resolver a viga-balcão semicircular submetida a um carregamento
uniformemente distribuído q.
q
B90o
Teoria das Estruturas I 88
A
R
90