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2016 1
Aula 2 – Linearização de Gráficos
CKS
Processo de Linearização de Gráficos
• O que é linearização ?
– Procedimento para tornar uma curva em uma reta.
– Permite determinar a relação entre duas variáveis (y e x) , que
satisfaça a equação da reta, ou seja, determinar os coeficientes
angular e linear da reta (a e b).
• Por que linearizar ?
– A análise de uma reta é mais simples que a análise de uma curva.
– O processo de linearização facilita a determinação das leis físicas
que governam o experimento que gerou os dados.
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
2016 CKS 2
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Métodos de Linearização
• Troca de variáveis
– A equação que governa o comportamento dos dados deve ser
conhecida.
– A troca de variáveis permite converter uma equação de uma curva
numa equação de reta.
• Exemplo:
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏
Termo não linear
x′ = 𝑥2 𝑦 = 𝑎𝑥′ + 𝑏
Equação linear
2016 CKS 3
Exemplo
2016 4
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏
𝑦 = 𝑎𝑥′ + 𝑏
CKS
3
Outro exemplos de troca de variáveis
2016 CKS 5
𝑦 =𝑎
𝑥+ 𝑏
𝑦 = 𝑎𝑥′ + 𝑏
𝑥′ = 1 𝑥
• Nem todas as equações podem ser linearizadas com troca de variável
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𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Termo não linear
x′ = 𝑥2
𝑦 = 𝑎𝑥′ + 𝑏 𝑥′ + 𝑐
Equação resultante
se x2 = 𝑥′ então 𝑥 = 𝑥′
CKS
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Exemplo
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𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑦 = 𝑎𝑥′ + 𝑏 𝑥′ + 𝑐
CKS
Outros Métodos de Linearização
• Uso de papéis especiais: mono-log e di-log
– Quando um gráfico em papel milimetrado fornece uma curva,
ainda assim é possível obter, em casos específicos, gráficos
lineares usando papéis mono e di-log.
– Este método se aplica quando a equação que governa o
comportamento dos dados não é conhecida.
– Funciona por tentativa e erro. Os “softwares” matemáticos
permitem a troca das escalas linear para logarítmica facilitando o
processo.
2016 CKS 8
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Métodos de Linearização
• Tipos de Papéis:
milimetrado mono-log di-log
Esca
la lo
ga
rítm
ica
Esca
la lo
ga
rítm
ica
Escala logarítmica
2016 CKS 9
Exemplo 1
• Conjunto de dados (qualquer)
– Obtido experimentalmente / simulação numérica
– Não conheço as leis físicas que governam o fenômeno medido/simulado
– Como proceder?
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Plota no milimetrado
CKS
Plota no papel mono-log
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• Tira-teima
– Usando papel di-log para ver se lineariza
2016 11CKS
Análise do ajuste linear no papel mono-log
• Achando a e b
2016 CKS12
equação linear𝑦′ = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑎 =log 𝑦2 − log 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1=
log 0,08 − log 2
1 − 0
x1 x2
y1
y2
𝑏 = log 𝑦 𝑥𝑥=0
= log 2 = 0,3010
𝑦′ = −1,4. 𝑥 + 0,3010
mas 𝑦′ = 𝑙𝑜𝑔 𝑦 então 𝑙𝑜𝑔 𝑦 = −1,4. 𝑥 + 0,3010
𝑎 = −1,0969 − 0,3010 = −1,3979~ − 1,4
Para determinar y 10𝑙𝑜𝑔 𝑦 = 10−1,4.𝑥+0,3010
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• Para determinar y
– Partindo de
– temos
–
–
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𝑙𝑜𝑔 𝑦 = −1,4. 𝑥 + 0,3010
10𝑙𝑜𝑔 𝑦 = 10−1,4.𝑥+0,3010
𝑦 = 10−1,4.𝑥. 100,3010 = 2. 10−1,4.𝑥
𝑦 = 2. 10−1,4.𝑥
Exemplo 2
• Conjunto de dados (qualquer)
– Obtido experimentalmente / simulação numérica
– Não conheço as leis físicas que governam o fenômeno medido/simulado
– Como proceder?
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Plota no milimetrado
CKS
Plota no papel mono-log
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– Ultima tentativa com papel di-log
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Análise do ajuste linear no papel di-log
• Achando a e b
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equação linear𝑦′ = 𝑎𝑥′ + 𝑏
𝑎 =log 𝑦2 − log 𝑦1
log 𝑥2 − log 𝑥1=
log 2 − log 0,03
log 1 − log 0,06
x1
x2
y1
y2
𝑎 =0,3010 − −1,5228
0 − −1,2218= 1,4927~1,5
Selecionar um ponto para determinar b
x3
y3
𝑦3′ = 𝑎. 𝑥3
′ + 𝑏
𝑏 = 𝑦3′ − 𝑎. 𝑥3
′ = log 0,5 − 1,5. log 0,4 = 0,2959
𝑏 = 0,2959
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• Para determinar a equação original
– Partindo de
– Reescrevendo
– temos
–
–
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10𝑙𝑜𝑔 𝑦 = 10 𝑎.𝑙𝑜𝑔 𝑥 +𝑏
𝑦 = 1,9765. 𝑥1,5~2. 𝑥1,5
equação linear𝑦′ = 𝑎𝑥′ + 𝑏
𝑦 = 10𝑏. 10𝑙𝑜𝑔 𝑥𝑎= 10𝑏. 𝑥𝑎 = 100,2959 . 𝑥1,5
𝑙𝑜𝑔 𝑦 = 𝑎. 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑏
Exemplo de confecção de gráfico, linearização e ajuste de reta
• Dados obtidos:
– Objetivo: Determinar a aceleração a partir das medidas de v e x.
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x (cm) 0 15 30 45 60 75 90
v (m/s) 0,691 1,435 1,913 2,293 2,727 3,028 3,237
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• 1) unificar as unidades para o mesmo sistema de unidades
– Por exemplo, no SI.
• 2) Fazer o gráfico: v versus x
Não é reta!!!
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x (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90
v (m/s) 0,691 1,435 1,913 2,293 2,727 3,028 3,237
• 3) Fazer a linearização:
– É necessário conhecer a equação que relaciona as variáveis V e X
– Análise:
• Este problema é um problema típico de cinemática, que envolve
aceleração constante, ou seja, MRUV.
• As equações do MRUV são:
– A equação que relaciona v com x é:
– como
2
2
00
attvxx
atvv 0
xavv 2 2
0
2
0 xxx
axvv 2 2
0
2 00 x
xx
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• 3) Fazer a linearização (cont):
– Comparar com a equação da reta e fazer a mudança de variável.
– Assim:
– coeficiente linear:
– coeficiente angular:
axvv 2 2
0
2
cxby
2
0vb
ac 2
bv 0
2
ca
2 vy
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• 4) Montar uma tabela com as variáveis linearizadas v2 e x.
• 5) Fazer o gráfico linearizado, isto é, o gráfico de v2 versus x
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0
2
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Y (m
2/s
2)
X (m)
2V Y
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x (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90
y = v2 (m/s) 0,477 2,059 3,660 5,258 7,437 9,169 10,478
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• 6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ
– Calculando o coeficiente angular:
i
i
i
i
i
x
yx
A2
.
2m/s 11,4286
63,0
20,7 A
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x v2
x y xi yi xi2 xi.yi
0,00 0,477 -0,45 -5,03 0,203 2,26260,15 2,059 -0,30 -3,45 0,090 1,03380,30 3,660 -0,15 -1,85 0,023 0,27690,45 5,258 0,00 -0,25 0,000 0,00000,60 7,437 0,15 1,93 0,023 0,28970,75 9,169 0,30 3,66 0,090 1,09900,90 10,478 0,45 4,97 0,203 2,2378
Média = 0,45 5,51 Soma = 0,63 7,20
• 6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ (cont.)
– Calculando o coeficiente linear B:
– Comparar os coeficientes e
• calcular a aceleração:
• calcular a velocidade inicial V0:
xABy N
yy
i
N
xx
i
45,04286,1151,5 xAyB
22/sm 3671,0B
2/4286,112/ Aa 2m/s 7143,5a
3671,00 BV m/s 6059,00 V
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• 7) Desenhar a melhor reta no gráfico
– Escolher dois pontos X1 e X2 e a partir da equação da melhor reta
calcular Y1 e Y2
– Exemplo:
– pontos da melhor reta: Gráfico com a melhor reta
xy .4286,113671,0
20,0 1 x
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
2
4
6
8
10
12
Pontos da melhor reta
Y (
m2/s
2)
X (m)
653,2)20,0(4286,113671,0 1 y
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x y
0,20 2,653
0,70 8,367
FIM
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