LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS

Física Básica Experimental I

Departamento de Física / UFPR

Processo de Linearização de Gráficos

O que é linearização ?– procedimento para tornar uma curva que não é uma reta em um

reta.

– É encontrar uma relação entre duas variáveis, que satisfaça a equação da reta, ou seja, determinar os coeficientes angular e linear da reta ( ).

Por que linearizar ?– A análise de uma reta é mais simples que a análise de uma curva.

– O processo de linearização facilita a determinação das leis físicas que governam o experimento que gerou os dados.

ax b y

Métodos de Linearização

tt

1) Troca de variáveis– A equação que governa o comportamento dos dados deve ser

conhecida.

– A troca de variáveis permite converter uma equação de uma curva numa equação de reta.

– Exemplo:

– onde

– Obs: Nem todas as equações podem ser convertidas de forma útil.

bax y 2 bxa y xx 2

y = ax2

–

Diferenças entre as retas: Os coef. e sua interpretação são diferentes (1) não passa pela origem (2) passa pela origem

Qual o melhor? => quando se conhece o expoente, é melhor a mudança de variável.

ln y = ln a + 2 ln x y’ = ln a + 2 x’

x’ = x2 (mudança de variável)y = ax’

y = ax

ln y = ln a + ln x y’ = ln a + x’ é o coeficiente angular

mudança de variável => NÃO

y = ax2 + c

ln y = ln (ax2 + c ) NÃO

x’ = x2 (mudança de variável)

y = ax’ + c

y = ax2 + bx + c

ln y = ln (ax2 + bx + c ) NÃO

x’ = x2 (mudança de variável)

y = ax’ + bx 0.5 + c

Não é linear => polinômio completo não lineariza

Métodos de Linearização

2) Uso de papéis especiais: mono-log e di-log Quando um gráfico em papel milimetrado fornece uma curva, ainda

assim é possível obter, em casos específicos, gráficos lineares usando papéis mono e di-log.

Este método se aplica quando a equação que governa o comportamento dos dados não é conhecida.

Funciona por tentativa e erro. Os “softwares” matemáticos permitem a troca das escalas linear para logarítmica facilitando o processo.

Métodos de Linearização

Tipos de Papéis:

milimetrado mono-log di-log

Esc

ala

lo

ga

rítm

ica

Esc

ala

lo

ga

rítm

ica

Escala logarítmica

1) Método das mudanças de variáveis: Exemplo 1

Gráfico das funções do tipo:

cbxax (x)y 2

2

2

2

2

x2 (x)y:)d(

20x2 (x)y:)c(

x10x2 (x)y:)b(

20x10x2 (x)y:)a(

linearização

Mudança de variável

2x x

x2 (x)y)d(

20x2 (x)y)c(

0 20 40 60 80 100

0

50

100

150

200

250

Y (

cm)

X' (cm2)

c' d'

0 2 4 6 8 10

-20

0

20

40

60

80

100

120

Y (

cm)

X (cm)

(a) (b) (c) (d)

Mudança de variáveis: Exemplo 2

Gráfico das funções do tipo:

X/a (X)Y

X/10 (X)Y

linearização

Mudança de variável

X

1 X

X10 )X(Y

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00

2

4

6

8

10

Y (

cm)

X' (cm-1)

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

12

Y (

cm)

X (cm)

Independentes da forma que foram geradas:

1) Os campos elétrico ( ) e magnético( ) são perpendiculares a direção de propagação. (onda transversal)

2) O campo elétrico é perpendicular ao magnético. 3) O produto vetorial aponta no sentido da propagação

da onda. 4) Os campos variam senoidalmente com a mesma freqüência e

estão em fase.– Para uma onda que se propaga na direção x, os campos elétricos e

magnéticos são funções senoidais da posição x e do tempo t :

PROPRIEDADES IMPORTANTES DAS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS

E

B

BE

)tkx(senE E m )tkx(senB B m

Mudança de variáveis: Exemplo 3

Gráfico da função: Gráfico linearizado

onde

10X2 Y 10X2 Y

X X Linearização

0 20 40 60 80 100-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

Y (

cm1/

2 )

X (cm)

0 2 4 6 8 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

Y (

cm1/

2 )

X' (cm1/2)

2) Uso de Papéis especiais: Monolog e Dilog Os papéis com escala logarítmica são utilizados para linearizar

funções exponenciais

2.1) Papel monolog

Ae Y BX

e2 Y X8,0

Papel milimetrado Papel monolog

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00

5

10

15

20

25

Y (

cm)

X (cm)

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,01

10

100

(X1,Y

1)

(X2,Y

2)

Y (

cm)

X (cm)

Papel monolog (cont.) Para linearizar em papel milimetrado

Comparando com a equação da reta

Ae Y BX BXBX elnAln Aeln Yln

BXAln Yln

XAB Y

Y)(ln Y

linear coef.Aln B angular coef.B A

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

ln(Y

)

X (cm)

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00

5

10

15

20

25

Y (

cm)

X (cm)

Uso de papéis especiais: 2.2) Papel dilog

AX Y B

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Y (

cm)

X (cm)

Papel milimetrado Papel dilog

0,01 0,1 11E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

1(X

2,Y

2)

(X1,Y

1)

Y (

cm)

X (cm)

X2 Y 4,2

No Papel dilog:

Assim:

AX Y B

XlogAlogAXlog Ylog BB

XlogBAlog Ylog

XAB Y

YlogY

Xlog X

Alog B

B A

Papel dilog (cont.) Para linearizar em papel milimetrado:

– Após a linearização:

XlogBAlog Ylog

XAB Y

YlogY Xlog X

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Y (

cm)

X (cm)

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0-5

-4

-3

-2

-1

0

1

log

(Y)

log (X)

Alog B B A

Papel milimetradoPapel milimetrado

Exemplo de confecção de gráfico, linearização e ajuste de reta

Dados obtidos:– Objetivo: Determinar a aceleração a partir das medidas de V e X.

X (cm) 0 15 30 45 60 75 90V (m/s) 0,691 1,435 1,913 2,293 2,727 3,028 3,237

1) unificar as unidades para o mesmo sistema de unidades

– Por exemplo, no SI.

2) Fazer o gráfico: V versus X

X (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90V (m/s) 0,691 1,435 1,913 2,293 2,727 3,028 3,237

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

V (

m/s

)

X (m)

Não é reta!!!

3) Fazer a linearização:

– É necessário conhecer a equação que relaciona as variáveis V e X

– Análise:• Este problema é um problema típico de cinemática, que envolve

aceleração constante, ou seja, MRUV.

• As equações do MRUV são:

– A equação que relaciona V com X é:

– como

2

attVX X

2

00

atV V 0

Xa2V V 20

2 0XX X

aX2V V 20

2 0X0

X X

3) Fazer a linearização (cont):

– Comparar com a equação da reta e fazer a mudança de variável.

– Assim:

– coef. linear:

– coef. angular:

aX2V V 20

2

XAB Y

X X

20VB

a2A

BV0

2

Aa

2V Y

4) Montar uma tabela com as variáveis linearizadas V2 e X.

5) Fazer o gráfico linearizado, isto é, o gráfico de V2 versus X

X' = X (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90Y=V2 (m/s) 0,47748 2,05923 3,65957 5,25785 7,43653 9,16878 10,47817

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0

2

4

6

8

10

12

Y (

m2 /s

2 )

X (m)

2V Y

6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ

– Calculando o coeficiente angular:

X’ V2 Xi Yi Xi

2 XiYi

0 0,47748 0,00000 0,00000 0,15 2,05923 0,02250 0,30888 0,30 3,65957 0,09000 1,09787 0,45 5,25785 0,20250 2,36603 0,60 7,43653 0,36000 4,46192 0,75 9,16878 0,56250 6,87659 0,90 10,47817 0,81000 9,43035 3,15 38,53761 2,04750 24,54164

2

i

2

i

iiii

XXN

Y.XY.XN A

22 m/s 42813,11

)15,3(04750,27

53761,3815,354164,247 A

6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ (cont.)

– Calculando o coeficiente linear B:

– Comparar os coeficientes e

• calcular a aceleração:

• calcular a velocidade inicial V0:

XAB Y NY

Y iNX

X i

7/)15,353761,38(42813,11XA YB

22/sm 36271,0B

2/42813,112/Aa 2m/s 71407,5a

36271,0BV0 m/s 60225,0V0

7) Desenhar a melhor reta no gráfico

– Escolher dois pontos X1 e X2 e a partir da equação da melhor reta calcular Y1 e Y2

– Exemplo:

– pontos da melhor reta: Gráfico com a melhor reta

X42813,1136271,0 Y

20,0 X1

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0

2

4

6

8

10

12

Pontos da melhor reta

Y =0,36271+11,42813 X

Y (

m2 /s

2 )

X (m)

64834,2)20,0(42813,1136271,0 Y1

FIM