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APUNTE MATEMTICA I

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CONTENIDOS

I. CONJUNTOS NUMRICOS

Conjunto de los Nmeros Naturales ( ) .............................................................................. 3

Orden de las operaciones ....................................................................................................... 4

Mnimo comn mltiplo (m.c.m.) ............................................................................................. 5

Mximo comn divisor (M.C.D.) ............................................................................................. 5

Conjunto de los Nmeros Enteros ( ) ..................................................................................... 6

Valor absoluto de un nmero ................................................................................................. 6

Reglas para operar en Z ......................................................................................................... 7

Conjunto de los Nmeros Racionales ( ) ............................................................................... 8

Representacin decimal de un nmero racional: .................................................................... 9

Nmero decimal finito: .......................................................................................................... 10

Amplificacin y simplificacin ................................................................................................ 11

Nmeros irracionales ( ) ...................................................................................................... 14

II. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 16

Resolucin de ecuaciones aditivas y multiplicativas: ........................................................... 19

Resolucin de ecuaciones con agrupaciones de signos..20

Resolucin de problemas mediante ecuaciones .................................................................. 21

Ecuaciones fraccionarias ..................................................................................................... 22

Resolucion de problemas: ................................................................................................... 23

III. RAZN Y PROPORCIN ................................................................................................... 24

Proporcin ........................................................................................................................... 25

Proporcionalidad .................................................................................................................. 26

Proporcionalidad directa ...................................................................................................... 26

Proporcionalidad inversa ..................................................................................................... 28

Proporcionalidad compuesta ............................................................................................... 30

Porcentajes ......................................................................................................................... 31

Inters simple ...................................................................................................................... 33

Bibliografa .......................................................................................................................... 34

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CONJUNTOS NUMRICOS

CONJUNTO DE LOS NMEROS NATURALES ( )

Los primeros nmeros que el hombre invent fueron los nmeros naturales, los cuales se utilizaban

para ordenar y contar, fundamentalmente.

Los nmeros naturales son un conjunto de nmeros de la forma: 1, 2, 3,. que denotaremos con el

smbolo IN, esto es:

IN = {1, 2, 3, 4, 5 ...}

Si al conjunto de los nmeros naturales se le une el nmero cero, este nuevo conjunto se denota con el smbolo IN0, llamado el conjunto de los nmeros cardinales,

IN0 = {0, 1, 2, 3 ...}.

De IN (nmeros naturales) y IN0 (nmeros cardinales) se pueden formar variados subconjuntos, entre ellos se encuentran: El Conjunto de los nmeros pares es un subconjunto de IN0 donde: {x IN0 / x=2n, n IN0 } = {0, 2, 4, 6, 8, 10,....}. El Conjunto de los nmeros impares es un subconjunto de IN0 donde: {x IN0 / x=2n + 1, n IN0 } ={1, 3, 5, 7, 9, 11,....}. Observa que estos dos conjuntos no tienen elementos en comn y que si se unen ambos, forman el conjunto IN0 El conjunto de los Mltiplos de un nmero es un subconjunto de IN donde: Los mltiplos de un nmero son aquellos nmeros que se obtienen al multiplicar dicho nmero por algn nmero natural.

Por ejemplo: 6, 12, 18, 24 son mltiplos de 6.

El conjunto de los Divisores de un nmero es un subconjunto de IN donde: Los divisores de un nmero son aquellos nmeros naturales que lo dividen exactamente (divisin con resto cero).

Por ejemplo: 1, 2, 3, 4, 6, y 12 son los divisores de 12

El Conjunto de los Nmeros Primos es un subconjunto de IN donde: El nmero natural p>1 es un nmero primo si sus nicos divisores son 1 y p.

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Algunos nmeros primos son: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...}.

ORDEN DE LAS OPERACIONES

Para los ejercicios combinados, existe un orden que debemos respetar al realizar las operaciones para obtener el resultado correcto. Este orden es:

Orden de las Operaciones

Parntesis, desde dentro hacia afuera

Potencias y o races (de izquierda a derecha) Multiplicacin y/o Divisin (de Izquierda a Derecha)

Adiciones y sustracciones

Ejemplo: 5 + 15 : 3 3 = 5 + 5 3

= 0 3

= 3

Ejercicios

1. Resolver

a) = b) ( ) ( )

2. Una costurera compra una mquina de coser en $120.000 y la paga en cuotas

de $5.500 mensuales. En cuntos meses pag la mquina y cunto pag en la ltima mensualidad?

3. En una ferretera se compran 4 cajones de tornillos. En cada cajn vienen 30 cajas, y en cada caja 50 tornillos. Cuntos tornillos compraron en total?

4. Se necesita comprar lana, para tejer 5 chalecos y 10 bufandas. Para cada

chaleco se necesita 3kg. De lana y para cada bufanda 2 kg. de lana y adems necesita 10 kg. de lana para una colcha. Cuntos kg. de lana debe comprar?

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MNIMO COMN MLTIPLO (M.C.M.)

El mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de dos o ms nmeros, corresponde al menor de los mltiplos que tienen en comn.

El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a travs del siguiente mtodo:

Se divide cada nmero por nmeros primos hasta que en cada columna quede 1. El producto de ellos corresponde al m.c.m. entre 3, 6 y 15.

M.C.M. = 3 2 5 = 30 Mximo comn divisor (M.C.D.)

El mximo comn divisor de dos o ms nmeros, corresponde al mayor nmero que los divide simultneamente.

Se divide por nmeros primos que sean divisores de cada nmero, hasta que ya no se pueda dividir a todos en forma simultnea. La multiplicacin de estos primos es el M.C.D.

M.C.D. = 2 3 = 6

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CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS ( ) Si se requiere dar solucin a la sustraccin de 4 y 9, es necesario encontrar un nmero que sumado a 9 de cmo resultado 4. Este nmero no existe en IN0. Para que la sustraccin tenga siempre solucin, se extiende la recta numrica hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un nmero natural le corresponde un punto simtrico a l, ubicado a la izquierda del cero.

Cada uno de estos nuevos puntos ubicados a la izquierda de la recta numrica, respecto al cero, representa un nmero negativo. Entonces, el conjunto de los nmeros enteros es la unin del conjunto de los nmeros naturales, el cero y los nmeros negativos. Este conjunto se denota por , donde:

= {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Una representacin grfica de en la recta numrica se muestra en la siguiente figura:

Figura 1. en la recta numrica.

Cada nmero negativo es considerado el opuesto o inverso aditivo de su simtrico positivo y, cada

nmero positivo, es el opuesto de su simtrico negativo. Por ejemplo, 3 es el opuesto o inverso

aditivo de -3.

Valor absoluto de un nmero

La distancia que existe entre un nmero a y el cero la representaremos a travs del valor absoluto y

se expresar como |a|. Como se refiere a una distancia, el valor absoluto de un nmero siempre es

positivo.

Por ejemplo, la distancia entre 15 y 0 en la recta numrica es de 15 unidades, entonces |15| = 15.

Ahora, las distancia entre -15 y 0, tambin es de 15 unidades en la recta numrica, luego |15| = 15.

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Reglas para operar en Z

Al realizar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones en los enteros debemos considerar

algunas reglas para poder operar correctamente:

Al sumar dos enteros de igual signo, se suman los valores absolutos de los nmeros y se

mantiene el signo.

o 31 + 6 = 37

2 + 12 = 14

Al sumar dos enteros de distinto signo, se calcula la diferencia entre los valores absolutos de

los nmeros y se mantiene el signo del nmero que tiene mayor valor absoluto.

o 15 + 5 = 10

o 60 + 20 = 40

Al restar dos enteros, se debe sumar al minuendo el inverso aditivo del sustraendo.

o 15 24 = 15 + 24 = 9

o 10 (12) = 10 +12 = 22

Al multiplicar o dividir dos enteros de igual signo, se multiplican o dividen los valores

absolutos y el resultado es positivo.

o 20 5 = 100

o 48 : 6= 8

Al multiplicar o dividir dos enteros de distinto signo, se multiplican o dividen los valores

absolutos y el resultado es negativo.

o 12 3 = 36

o 33 : 11 = 3

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CONJUNTO DE LOS NMEROS RACIONALES ( )

Si tratamos de resolver la operacin 1:2, slo conociendo el conjunto , nos damos cuenta que carecemos de dicha solucin. Debido a esto, se ha hecho necesario encontrar un conjunto que extienda a . Dicho conjunto est formado por los nmeros racionales que denotaremos por , y que se definen de la siguiente forma:

Decimos que a es un nmero racional, si es posible expresarlo de la forma,

donde p, q Z y q 0.

De esta forma

Donde, p es numerador y q el denominador de la fraccin. El conjunto de los racionales es denso, ya que, entre dos nmeros racionales siempre podemos encontrar otro nmero racional. Los nmeros enteros se pueden expresar como fraccin con denominador 1, por lo tanto, todo nmero entero es tambin un nmero racional:

Una representacin grfica de en la recta numrica se muestra en los siguientes ejemplos:

Si se divide en dos partes iguales cada segmento unidad en la recta numrica, podemos representar los nmeros racionales cuya representacin fraccionaria tiene como denominador 2, como se muestra en el ejemplo siguiente.

De igual manera, si se divide en tres partes iguales cada segmento unidad en la recta, podemos representar los nmeros racionales cuya representacin fraccionaria tiene como denominador 3, como se muestra en el ejemplo siguiente.

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Representacin decimal de un nmero racional:

Toda fraccin puede expresarse como decimal dividiendo el numerador por el denominador. Los nmeros decimales se pueden clasificar en: Nmero decimal finito: son aquellos cuocientes que no dejan residuo, porque el divisor cabe exactamente en el dividendo, es decir, el denominador cabe exacto en el numerador. Ejemplo: 0,25 es un nmero decimal finito ya que 1/4=0,25. Nmero decimal infinito peridico: Son aquellos en que el cuociente se va repitiendo infinitamente una o ms cifras decimales en el mismo orden. A estos decimales se les llama peridicos, y las cifras que se repiten reciben el nombre de perodo.

Ejemplo: es un nmero decimal infinito peridico ya que 1/3=0,33333...

Nmero decimal infinito semiperidico: Son aquellos que en su parte decimal tienen cifras que no se repiten, a las que llamamos anteperodo, y luego un perodo de una o ms cifras. Los escribiremos de la siguiente forma abreviada:

Ejemplo: es un nmero decimal infinito peridico ya que 5/6=0,833333... Por lo que el nmero 8 corresponde al anteperodo y el nmero 3 al periodo. Transformacin de un nmero decimal finito a una fraccin: Para transformar nmeros decimales a fraccin, primero debemos reconocer frente a qu nmero decimal vamos a trabajar y luego, seguir las siguientes reglas:

Nmero mixto:

Se debe multiplicar el nmero entero por el denominador, luego a este producto se le suma el numerador. Este resultado pasa a ser el nuevo numerador y el denominador se mantiene.

5

32

5

230

5

256

5

26

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Nmero Decimal Finito:

El numerador, de la nueva fraccin, corresponde al decimal pero sin coma.

El Denominador, de la nueva fraccin es una potencia de 10 con tantos ceros como decimales

tuviera el racional a transformar.

Ejemplo: 0,8 = 10

8=

5

4

Nmeros Decimal Peridico:

1) Ejemplo: 4,0 = 9

4 ; 27.0 =

11

3

99

27

Numerador: Parte Decimal

Denominador: tantos nueves, como cifras

tenga el perodo.

2) Ejemplo: 6,32 = 3

98

9

294

9

32326

Numerador: el nmero decimal completa, sin

la coma decimal, menos el nmero formado

por las cifras que anteceden al perodo.

Denominador: tantos nueves como cifras

tenga el perodo.

Nmero Decimal Semiperidico:

1) Ejemplo: 60

17

900

25

900

28283328,0

Anteperodo: 28 Perodo : 3

Numerador: (parte Decimal) (anteperodo)

Denominador: Tantos nueves como cifras

peridicas tenga, seguida de tantos ceros

como cifras tenga el anteperodo.

2) Ejemplo: 862,3 =900

3623628=

450

1633

900

3266

Anteperodo: 62 Perodo : 8

Numerador: el nmero decimal completo, sin

la coma decimal, menos el nmero formado

por las cifras que anteceden el perodo.

Denominador: Tantos nueves como cifras

peridicas tenga, seguida de tantos ceros

como cifras tenga el anteperodo.

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AMPLIFICACIN Y SIMPLIFICACIN

Amplificacin:

Amplificar una fraccin significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador, por un

mismo nmero.

Al amplificar la fraccin 36

12 por 2 resulta:

72

24

2

2

36

12

Simplificacin:

Simplificar una fraccin significa dividir, tanto el numerador como el denominador, por un mismo

nmero. Las fracciones que no se pueden simplificar se llaman fracciones irreductibles.

Al simplificar la fraccin 36

12 por 3 resulta:

12

4

3:

3:

36

12

Orden en Q:

Dados dos nmeros racionales

siempre se cumplir slo uno de los tres casos:

I. Los nmeros

son iguales si se cumple que

II. El nmero

es mayor que

si se cumple que

III. El nmero

es menor que

si se cumple que

Operatoria en Q: Ahora que conocemos la relacin existente entre una fraccin y un nmero racional, definiremos las cuatro operaciones bsicas entre nmeros racionales expresados como fracciones. Adicin de nmeros racionales:

Dados dos nmeros racionales

y

, se define la suma entre ellos como:

=

,

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Ejemplo: aplicando mnimo comn mltiplo:

12

11

12

110

12

1352

4

1

6

5

m.c.m (6, 4)

Sustraccin de nmeros racionales:

Dados dos nmeros racionales a/b y c/d, se define la sustraccin entre ellos como:

=

Multiplicacin de nmeros racionales:

Dados dos nmeros racionales a/b y c/d, se define la multiplicacin entre ellos como:

=

8

5

24

15

46

35

4

3

6

5

Divisin de nmeros racionales:

Dados dos nmeros racionales

y

, se define la divisin entre ellos como:

=

61

6

26

156

213

266

26

2:

13

6

12 : 6 12 : 4

13

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Ejemplo:

Entre tres hermanos deben repartirse $120.000. Eduardo se lleva 7 / 15 del total, Luis 5 / 12 del total y Arturo el resto. Cunto dinero se ha llevado cada uno?

Reducimos las fracciones a comn denominador: m.c.m. (15, 12) = 60

Eduardo se lleva 60

28

415

47

Luis se lleva 60

25

512

55

Sumamos lo que se llevan entre los dos 60

53

60

25

60

28

Arturo se llevar en fraccin:60

7

60

53

60

60

Ahora calculamos la fraccin del nmero que le corresponde a cada uno.

Eduardo se llevar los 5600012000060

28

Luis se llevar los 5000012000060

25

Arturo se llevar los 1400012000060

7

Finalmente podemos comprobar si el resultado es correcto sumando la cantidad que se lleva cada uno.

Si observamos los resultados, se lleva ms Eduardo que es al que le corresponde la mayor fraccin, despus Luis y por ltimo Arturo, que es el que se lleva la menor fraccin.

160

60

60

7

60

25

60

28

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NMEROS IRRACIONALES ( )

Un nmero irracional es un decimal infinito, cuya parte decimal no posee periodo, es decir, no puede ser representado como racional.

Ejemplos:

Como los nmeros irracionales no pueden ser representados como cuocientes de nmeros enteros (ya que no son racionales), no es posible escribir explcitamente su forma decimal, pero s tienen la importante propiedad de poder ser aproximados con el grado de precisin que se necesite.

Nmeros reales ( )

El conjunto de los nmeros reales se denota por la letra y est conformado por la unin del conjunto de los nmeros racionales con el conjunto de los nmeros irracionales:

Figura 4. Representacin grfica de los conjuntos numricos

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Propiedades de los nmeros reales:

1) Propiedad Conmutativa de la adicin y la multiplicacin:

2) Propiedad Asociativa de la adicin y de la multiplicacin:

;

3) Propiedad Distributiva de la multiplicacin respecto de la suma:

4) Elementos Identidad (o neutros):

y

5) Inverso Aditivo:

6) Inverso Multiplicativo:

abba abba

)()( cbacba )()( cbacba

acabcba )( acabacb )(

aa 0 aa 1

0)( aa

111

a

a

aaaa

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ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuacin es una igualdad donde por lo menos hay un nmero desconocido, llamado incgnita o variable, y que se cumple para determinado valor numrico de dicha incgnita.

Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incgnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

RESOLUCIN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuacin puede compararse con una balanza. Para mantener el perfecto equilibrio es necesario tener la misma masa en ambos lados. Si se aumenta la masa en el platillo de la izquierda, la balanza se inclinar hacia la izquierda, por lo tanto, para mantenerla equilibrada ser necesario aumentar a la derecha la misma cantidad de masa.

Si, por el contrario, la masa disminuye, tambin habr que disminuir la misma cantidad de masa en el otro platillo de la balanza.

Este ejemplo aplicado a una ecuacin indica que si se agrega (suma) un nmero a la derecha, tambin es necesario sumar el mismo nmero a la izquierda para mantener la igualdad y si se resta, debe hacerse lo mismo a ambos lados. Lo mismo ocurre al multiplicar o dividir.

Debemos saber que existen ecuaciones de dos tipos: ecuaciones aditivas y ecuaciones multiplicativas.

Las ecuaciones aditivas tienen la forma a + x = b Las ecuaciones multiplicativas tienen la forma a x = b

1) Ecuaciones aditivas: a + x = b

Para resolver ecuaciones de la forma a + x = b se utiliza la propiedad de las igualdades, que textualmente dice:

Cuando se suma o resta el mismo nmero en ambos miembros de una ecuacin, la igualdad se mantiene.

Los pasos a seguir para encontrar la incgnita son los siguientes:

1. Se suma a ambos lados de la ecuacin el inverso aditivo del nmero que suma o resta a la incgnita. Recordar que el inverso aditivo de un nmero es el mismo nmero con signo contrario (el inverso aditivo de 6 es 6; el inverso aditivo de 99 es 99. Recuerda adems que +99 es lo mismo que 99).

2. Se realiza la operacin indicada.

Cuando se suma o resta el mismo nmero en ambos miembros de una ecuacin, la igualdad se mantiene.

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Ejemplos:

1) 28 + x = 13 / 28

28 + x +28= 13 + 28 x + 0 = 15

x = 15

2) 60 37 = 84 + x

23 = 84 + x / 84 23 + 84 = 84 + x + 84

61 = 0 + x x = 61

3) x + 3 2 = 7

x + 1 = 7 x + 1 + 1 = 7 + -1 / 1

x + 0 = 6 x = 6

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2) Ecuaciones multiplicativas: a x = b

Para resolver ecuaciones de la forma a x = b se aplica la propiedad de las igualdades, que dice textualmente:

Si se multiplica o divide por un mismo nmero a ambos lados de la igualdad, sta se mantiene.

Cuando se tiene una ecuacin de esta forma, en la cual un nmero se halla multiplicando a la incgnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuacin por dicho nmero.

Los pasos son los siguientes:

1) Se divide siempre por el nmero que multiplica a la x. (Al dividir se utiliza el inverso multiplicativo del nmero).

2) Se realizan las operaciones matemticas correspondientes.

Ejemplo:

1) 5 x = 80

5 x = 80 /:5 5 x :5 = 80 : 5

5 : 5 x = 16 1 x = 16

x = 16

Si se multiplica o divide por un mismo nmero a ambos lados de la igualdad, sta se mantiene.

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RESOLUCIN DE ECUACIONES ADITIVAS Y MULTIPLICATIVAS:

Como procedimiento general para resolver ste tipo de ecuaciones se deben seguir los siguientes pasos:

1. Se reducen los trminos semejantes, cuando es posible.

2. Se hace la transposicin de trminos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los trminos que contengan la incgnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.

3. Se reducen trminos semejantes, hasta donde es posible.

4. Se despeja la incgnita, dividiendo ambos miembros de la ecuacin por el coeficiente de la incgnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Ejemplos:

1)

/ Reducir trminos semejantes en ambos

miembros de la igualdad.

/ Transposicin de trminos.

/Reducir trminos semejantes.

/ Dividir ambos miembros de la ecuacin

por el coeficiente de la incgnita.

2)

/Traspasar los trminos con x a un lado de

la igualdad.

/Reducir los trminos semejantes.

/ Dividir ambos miembros de la ecuacin

por el coeficiente de la incgnita.

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RESOLUCIN DE ECUACIONES CON AGRUPACIONES DE SIGNOS

Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupacin considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones.

Ejemplo:

1)

[ ( )] ( )

[ ] /Quitar los parntesis, respetando el signo que lo antecede

[ ] /Reducir trminos semejantes

/Quitar el parntesis

/ Transponemos los trminos, empleando el criterio de operaciones inversas.

/Reducir trminos Semejantes

Despejamos x

Encontramos el valor de x

Recuerda que:

Para suprimir los signos de agrupacin debemos tener en cuenta que:

a) Si tenemos un signo + antes de un signo de agrupacin no afecta en nada a lo que est dentro de este signo.

b) Si por el contrario, tenemos un signo antes del signo de agrupacin, este signo afectar a todo lo que est dentro del signo. Todos los trminos dentro del signo de agrupacin cambiarn de signo.

2)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) /Resolvemos el producto.

/ Se eliminan parntesis

/ Se reducen trminos semejantes

/Se transponen los trminos

/ Se reducen trminos semejantes

/ Despejamos x

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RESOLUCIN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES

Para resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemtica y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incgnita (el dato que deseamos conocer).

Veamos un problema caracterstico:

Pedro es 3 aos menor que lvaro, pero es 7 aos mayor que Mara. Si la suma de las edades de los tres es 38, qu edad tiene cada uno?

Digamos que las edades de los tres son:

Edad de Pedro Edad de lvaro Edad de Mara

Sabemos que la edad de lvaro es igual a la edad de Pedro ms 3 aos (Pedro es tres aos menor que lvaro):

Tambin sabemos que la edad de Mara es igual a la edad de Pedro menos 7 aos (Pedro es 7 aos mayor que Mara):

Ahora tenemos que: Edad de Pedro: Edad de lvaro: Edad de Mara: La suma de las tres edades es 38:

Resolviendo est ltima ecuacin tendremos: x = 14 (esta es la edad de Pedro) Finalmente: Edad de Pedro: Edad de lvaro: Edad de Mara:

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TEM

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ECUACIONES FRACCIONARIAS

En este tipo de ecuacin lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fraccin).

Para proceder a la resolucin se debe:

Llevar a ecuacin lineal (eliminar la fraccin) multiplicando la ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los denominadores (m.c.m.)

Ejemplo:

Se calcula el mnimo comn mltiplo entre 2, 3 y 4, que es 12

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

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RESOLUCION DE PROBLEMAS:

En una librera, Mara Jess compra un libro con la tercera parte de su dinero y una revista con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librera le qued $4.000. Cunto dinero tena Mara Jess?

18000

360002

3por ando/multiplic120003

2

120003

222

120003

22

120003

23

3por ando/multiplic400033

2

3

400033

2

3

x

x

x

xxx

xxx

xxxx

xx

xx

xx

xx

Respuesta: Mara Jess tena $18.000

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RAZN Y PROPORCIN

RAZN

Una razn es una comparacin de dos magnitudes, distintas de cero, a travs de una divisin.

Por ejemplo: Sean a y b dos cantidades, entonces una razn entre a y b es: Antecedente

Consecuente

Una razn se lee a es a b.

Observacin: Es importante el orden al nombrar una razn.

Ejemplos:

1) Supongamos que se realiz una encuesta entre los estudiantes del Instituto Profesional de Chile, cuya conclusin es: 4 de cada 7 jvenes practican el ftbol como hobby.

Entonces podemos decir que la razn entre los futbolistas y el total de jvenes es de y se lee 4 es a 7.

Tambin podemos decir que la razn entre los jvenes que practican ftbol y los que no es de: y se lee 4 es a 3.

2) Las edades de Karina y Mabel estn en la razn 4 : 7. Qu edad tiene cada una si la diferencia de sus edades es de 15 aos? Digamos que Karina tiene 4k aos, y que Mabel tiene 7k aos, para algn . Y como la diferencia entre sus edades es igual a 15 aos, tendremos que

Por lo tanto, las edades de Karina y Mabel son y 35 aos respectivamente.

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3) Un ngulo de 180 se encuentra dividido en tres partes que se encuentran en la razn 2 : 3 : 4

Cul es la medida de los ngulos?

Llamemos como a las divisiones del ngulo. Digamos que: , y Luego como deben sumar 180 tenemos que:

Por lo tanto, tenemos que:

PROPORCIN

Una proporcin es una igualdad entre dos razones.

Por ejemplo: sean , cuatro magnitudes, entonces una proporcin entre ambas razones es:

Trminos medios

Trminos Extremos

Y se lee a es a b como c es a d

Para comprobar si dos razones forman una proporcin, se debe utilizar el Teorema Fundamental de las proporciones, el cual establece si:

, tenemos que

, es una proporcin, ya que

Ejemplo:

1) La razn entre el nmero de dulces que tiene Jos y el nmero de dulces que tiene su hermano es de 12 : 15 Si Jos tiene 8 dulces, cuntos dulces tiene su hermano?

Respuesta: hermano de Jos tiene 10 dulces.

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PROPORCIONALIDAD

La proporcionalidad es una relacin entre dos o ms variables medibles.

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos o ms cantidades a y b son directamente proporcionales si al aumentar (disminuir) una de ellas, la otra tambin aumenta (disminuye), en la misma proporcin, asi:

a es directamente proporcional a b si :

Grficamente una proporcionalidad directa es una lnea recta que pasa por el origen.

Ejemplos:

1) Un auto demora 4 horas en recorrer 350 km. Cuntos kilmetros recorrer en 6 horas, si mantiene la misma velocidad? Analizamos las variables. Si un auto se demora 4 horas en recorrer 350 km, al viajar durante 6 horas, deber recorrer ms kilmetros. Por lo tanto, vemos que la variable horas aumenta como tambin aumenta la variable km, por lo tanto, corresponde a un caso de proporcionalidad directa.

Respuesta: El auto recorrer 525 km en 6 horas.

Horas Km.

4 350

6 x

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2) Un padre dar a sus tres hijas una herencia de forma proporcional a su edad. A la mayor, que tiene 20 aos, le correspondern $10.000.000 de pesos. Cunto dar a las otras dos hijas Luca, de 15 y Laura de 10 aos de edad? Se analiza el primer caso de la hermana de 15 aos con respecto a la informacin que tenemos de la hermana mayor. Si tiene menos aos, recibir menos dinero. Por lo tanto, en ambos casos hablamos de proporcionalidad directa,

Respuesta.: A Luca le corresponden $7.500.000 y a Laura $5.000.000.

Edad $

20 10.000.000

15 x

10 y

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PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos o ms cantidades a y b son inversamente proporcionales si al aumentar (disminuir) una de ellas, la otra disminuye (aumenta), en la misma proporcin, as,

a es inversamente proporcional a b si :

Grficamente una proporcionalidad inversa es una hiprbola.

Ejemplos:

1) Para hacer 8 panqueques de manjar se necesitan 3 bolsas de manjar de 60 gramos. Si en el supermercado solo quedan bolsas de 90 gramos, ^Cuntas bolsas se deben comprar para hacer 8 panqueques? Al analizar las variables Gramos y bolsas de manjar, veremos que mientras ms gramos tengan las bolsas, menos bolsas se necesitarn. Por lo tanto, al aumentar la variable gramos y disminuir la variable N de Bolsas, estamos hablando de una caso de proporcionalidad Inversa.

Respuesta: Si se compran bolsas de 90 grs., se necesitarn slo 2 para hacer los 8 panqueques.

N De Bolsas

Gramos

3 60

x 90

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2) Un pintor demora 20 das en pintar una casa. Cunto demorarn cuatro pintores en pintar

la misma casa, si todos tienen el mismo ritmo de trabajo? Al analizar las variables, pintado, das y N de pintores, podemos ver que mientras ms pintores trabajen pintado la casa, menos das van a demorar, ya que el espacio fsico sigue siendo el mismo. Por lo tanto, la variable n de pintores aumenta, pero la variable das disminuye. Entonces es un caso de proporcionalidad Inversa.

Respuesta: Los 4 pintores demorarn 5 das en pintar toda la casa.

Das N pintores

20 1

x 4

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PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

Es aquella en que intervienen ms de dos variables inversamente proporcionales y/o directamente proporcionales. Ejemplo: Si 5 pasteleros producen en 7 das 400 tortas, cuntas tortas pueden producir 14 pasteleros en 9 das? Se analiza el tipo de proporcionalidad de cada variable con la incgnita, grficamente:

cantidad de pasteleros

cantidad de tortas

das

6 300 4

8 X 5

Cantidad de Pasteleros y cantidad de tortas son directamente proporcionales, ya que, mientras hay ms pasteleros mayor ser la cantidad de tortas producidas. Das y cantidad de tortas son directamente proporcionales, ya que, mientras ms das, mayor ser la cantidad de tortas producidas. Luego:

500

4 6

5 300 8

5 300 8 = 4 x 6

x

x

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Respuesta: 8 pasteleros en 5 das, producen 500 tortas.

PORCENTAJES

Tanto por ciento El tanto por ciento corresponde a un caso particular de proporcionalidad directa, en que uno de los trminos de la proporcin es 100:

P: Es el tanto por ciento C: Es la cantidad de referencia Q: Es el porcentaje Ejemplos: 1) El 15% de 60

Respuesta: El 15% de 60 es 9.

2) El 25% de un nmero es 80. Cul es el nmero?

Respuesta: El nmero es 320.

3) Qu tanto por ciento es 15 de 180?

Resp: 15 es el % de 180

Tanto porciento expresado en fraccin y en decimal

El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fraccin es:

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De la igualdad anterior se puede deducir la siguiente tabla:

Tanto por Ciento Fraccin Decimal

1% de C

10% de C

25% de C

50% de C

75% de C

120% de C

Porcentaje de porcentaje

El a % del b % del c % del. de C,

Ejemplo:

1) Cul es el 15% del 45% de 90?

=

. Respuesta: El 15% del 45% de 90 es 6,075.

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INTERS SIMPLE

Inters simple es el aumento porcentual de una cantidad a lo largo del tiempo.

VF = VI (1 + n

) , donde

VI: Capital inicial

VF: Capital final

n: Perodo, (misma unidad de la tasa de inters)

i: Tasa de inters simple

Ejemplo:

Calcular el capital final al cabo de 5 meses, a una tasa de inters simple mensual del 10%, sobre un capital inicial de $120.000.

VF = VI (1 + n

) = VF = 120000 (1 + 5

) =120000 (1,5) = 180000

Respuesta: al cabo de 5 meses, a una tasa de inters simple mensual del 10% se obtendr un capital final de $180.000.

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BIBLIOGRAFA

Barnett, Ziegler, Byleen (2000), lgebra. Mxico: McGraw-Hill. Interamericana Editores, S.A.

Querelle y Cia. Ltda. (n.d.). In Profesor en Lnea. Retrieved January 25, 2013, from

www.profesorenlinea.cl