PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

TEMARIO

I.- INTRODUCCION A LA TEORIA DE

PROBABILIDADES

1. Generalidades

2. Técnicas de conteo

3. probabilidad

Axiomática

Clásica

frecuentista

4. Teorema de la multiplicación

5. Probabilidad condicional

6. Regla de Boyes

II..- VARIABLES ALEATORIAS

1. Generalidades

2. Discretas

3. Continuas

4. Esperanza Matemática

5. Varianza

6. Momentos

III.- DISTRIBUCIONES ESPECIALES

1. Binomial

2. Geométrica

3. Hepergeometrica

4. Poisson

5. Exponencial

6. Normal

IV.- ESTADISTICA PARAMETRICA

1. Generalidades

2. Estimación de parámetros

3. Intervalos de Confianza

4. Pruebas de Hipótesis

BIBLIOGRAFIA

-> "Probabilidad y Estadística"

William W. Hines, Douglas C; CECSIA

-> "Estadística Matemática con Aplicaciones"

William Mendenhall, Richard L; Mc M

-> "Probabilidad y Estadística para

ingeniería"

Ronald E. Walpote ; Pearson

Tareas al correo

chavamontiel1@hotmail.com

antes de la siguiente clase

Asesorías

L Mi J -> 18-20

Mar -> 16:30-20

Vi -> 16:30-18

Lab. Física o Posgrado

//Promedio Dato representativo de una estadística.

tipos Media, mediana moda.

Probabilidad: es la rama de las matemáticas que estudia todos aquellos fenómenos en donde

existe la incertidumbre.

Es decir Sabemos lo que puede pasar pero no conocemos el resultado exacto antes de realizar el

experimento.

A los fenómenos en donde conocemos el resultado antes de realizarlo les llamaremos fenómenos

deterministicos.

Ejemplo:

1.- La agencia de Viajes el "Viaje sin Retorno" ofrece tours a Aguascalientes, Bolivia y Colima, el

viaje se puede realizar en jet o tren y el pago es en efectico, vales o cheque.

¿Cuántos Tour diferentes se pueden armar? 18

2.- La fonda de doña lencha ofrece comida corrida que consta de:

1. Entrada Consomé

Lentejas ¿Cuantos menús diferentes se

Estrellitas pueden elaborar?

2. Entrada Arroz 3x2x4x2x3 = 144

Sopa seca

3. Entrada Marrano

Pollo

Res

Sopes

3.- Se lanza un dado al aire, ¿Cuantos posibles Resultados tenemos? 6

Teorema

El numero de resultados de un experimento compuesto por k experimentos simples esta dado por

el producto de los resultados de los experimentos simples.

N= n1xn2xn3x...nk

4.- Una ama de casa debe seleccionar su regalo de cumpleaños puede adquirirlo en Waltmart,

Aurrera o Comercial Mexicana y puede escoger una escoba un delantal o un molcajete ¿ cuáles

son las posibles opciones? w e, w d, w m, A e, A d , A m, CM e, CM d, CM m

5.- El planetario ofrece funciones para niños de kínder, Primaria o secundaria, las funciones son

Matutinas y Vespertinas las reservaciones son vía fax o correo electrónico ¿ cuáles son las

posibilidades?

programa: ¿ Cuántos y cuáles son los posibles resultados de un experimento compuesto?

6.- De cuantas formas diferentes se pueden acomodar 6 libros en 1 estante

720 6x5x4x3x2x1= 720 = 6!

Teorema acomodar n-objetos en n-lugares se puede hacer de n! formas diferentes

K

P

S

M

V

V

V

M

M

fax (S,V,F)

fax (K,V,F)

fax (K,M,F)

fax (P,M,F)

fax (P,V,F)

fax (S,M,F)

e- mail (K,M,E)

e- mail (K,V,E)

e- mail (P,M,E)

e- mail (P,V,E)

e- mail (S,M,E)

e- mail (S,V,E)

Ejemplo:

1.- Después de la clase teórica del viernes se reúnen 5 alumnos para asistir al laboratorio de

cuantas formas pueden formarse para entrar?

5x4x3x2x1= 5! = 120 formas

2.- Se reúnen Alejandro, Berta, Carlos y Daniela para jugar domino de parejas. De cuantas formas

se pueden acomodar para jugar

3! = 6 formas

Teorema Acomodar n-objetos a n-lugares se puede hacer de

(n-1)!

formas diferentes cuando se acomodan en circulo

3.- Para la próxima reunión latinoamericana de matemáticas educativa hay disponibles 5 lugares

tres para matemáticos y dos para los de sociales si hay 8 matemáticos interesados en asistir y 34

sociales de cuantas formas se puede organizar el comité?

8x7x6x34x33= 376992

(8!/5!)x(34!/32!) = (8!/(8-3)!) x (34!/(34-2)!)

4.- En el grupo c11 hay 30 alumnos. se debe seleccionar a 3 de ellos para que hagan un proyecto

de campo y encuentren un nuevo laboratorio de matemáticas?

además se debe seleccionar jefe, subjefe y tesorero de grupo

los alumnos pueden ser los mismos o no para ambas condiciones ¿De cuantas formas diferentes se

pueden formar estas comisiones?

/* el profesor se equivoco porque falta otra fórmula */

(30!/(30-3)!)= (30!/27!) = 24360

A la hora de seleccionar K-objetos de n-totales habrá dos condiciones importantes, en donde el

orden es importante y donde el orden no es importante

(30!/(30-3)!(3!))= 4060 orden no importante

5.- Con el grupo 2cv11 solo pueden pasar 5 alumnos ¿De cuantas formas se puede seleccionar a

los que van a pasar?

(30!/(30-5)!)=30!/25!= 17100720 // hacer el procedimiento largo

Teorema.- Seleccionar K-objetos de n totales se puede hacer de

n!/(n-k)! formas diferentes nPk Permutación

Teorema.- Numero de formas diferentes

n!/(n-k)! con orden, n!/(n-k)!k! sin orden combinaciones

Al seleccionar k-objetos de n-totales

Ejercicio:

1.- Se tiene un lote de 8 calculadoras ¿ de cuantas formas diferentes se pueden seleccionar tres de

ellas?

8!/(8-3)!3! = 8!/5!3!= 56

para seleccionar k-objetos de n-objetos

2.-Se lanzan 5 monedas al aire. del total de resultados

¿ en cuántas obtenemos

a) 3 águilas en total hay 32 resultados

b) 2 soles 2x2 x2 x2x2 = 25= 32

a) = 5!/(5-3)!3! = 10

b) = 5!/(5-2)!2! = 10

5 2

n k

5 3

Teorema

Demostración

Teorema

Demostración

Teorema

Demostración

n k

n l

ssi k+l=n l=n-k

n n

=

=1 n k

n k

n k

n k

n k

n k

n k

n k

n 0

n k

n k

=1

= n+0=n

=

=

=

=

=

=

=

=

1=

1=

1=

1=

1=

n! (n- k)! k!

n! l!k!

n! l!(0+k)!

n! l!(n-n+k)!

n! l!(n-(n-k))!

n! l!(n-l)!

n! (n- l)! l!

n l

n! n!

n! 1n!

n! 0!n!

n! (n- n)! n!

n n

n n-r+1 n r r r-1

n-r+1 n n-r+1 n! . r r-1 r (n-(r-1))!(r-1)!

n-r+1 n (n-r+1)n! r r-1 r(n-(r-1))!(r-1)!

n-r+1 n (n-r+1)n! r r-1 (n-r+1)!r(r-1)!

n-r+1 n (n-r+1)n! r r-1 (n-r+1)((n-r+1)-1)!r!

n-r+1 n n! r r-1 (n-r+1-1)!r!

n-r+1 n n! r r-1 (n-r)!r!

n-r+1 n n r r-1 r

Ejemplo.-

1.- si =190 evalué =190

2.- si =120 evalué =120

Teorema.- =

Demostración

=

=

=

=

=

=

=

Binomio de Newton

20 18

20 2

10 3

10 7

ejemplos:

i) Encuentre los coeficientes de:

1)

2) 1820 a4b12

ii) evalué:

1)

2)

3)

4)

Teorema

Demostración

0=0x0x0....x0 /*n veces

0=(1-1)(1-1)....(1-1)

0=(1-1)^n

/*Deberíamos saber

0=(1+(-1))^n=

0=

0=

5)

=1+3+3+1=8=

6)

Teorema

Demostración

/*n veces

Ej. Cuantas cadenas se pueden formar con las letras de

1) “ate”

Ale, ael, lae, lea, eal, ela

3 en 3=3!=6

2) “oso”

/*número total de letras entre las letras que se repiten

3)

4) “matematicas”

5) “estadísticas”

6) Cuantas placas diferentes se pueden crear para el D.F.

(28X28x28)((10x10x10)-1)

28x28x28x999=21930048

Probabilidad

Definición: sea un experimento probabilístico al conjunto formado por todos los posibles resultados le

llamaremos espacio muestral y se denota Ω (omega)

Definición: a cualquier subconjunto de Ω le llamaremos evento, y se denota mediante letras mayúsculas

Ej. 1

Se lanza una moneda al aire

Ω= águila, sol

A= águila

S= sol

Ej. 2

Se lanza un dado al aire

Ω= 1, 2, 3, 4, 5, 6

T= x | x es múltiplo de 3

P= x | x es primo

D= x | x es par

C= x | x es múltiplo de 4

Probabilidad axiomática

A1) P(Ω)=1 ;probabilidad de omega=1

A2) P(A)≥0 ;

A3) ;si =0

Teorema

Demostración

P(Ω)=1

P( )=1

P(

P(

Teorema

P( )=0;

Demostración

P(Ω)=1

Observación sea A un evento

Si P(A)=1

El evento a se llama EVENTO SEGURO

Si P(A)=0

El evento A se llamara EVENTO IMPOSIBLE

Teorema

Demostración

Teorema

Demostración

Teorema

Demostración

+0

Teorema

Ej. 1

Las probabilidades de que un alumno se vaya a la tiznada, como carne ó ambas son: .4, .6, .2

Si se selecciona un alumno al azar cual es la probabilidad de que

i) Respete la vigilia

ii) Se vaya a la tiznada ó coma carne

Solución

Solución

i)

ii)

Ej. 2

Las probabilidades de que gane el león, meta gol Rafael Márquez ó de que gane el león ó meta gol Rafael

Márquez son: .3, .5, .6 cuál es la probabilidad de que en el próximo partido de León

i) Gane el león y meta gol Rafael Márquez

ii) No gane el León ó no meta gol Rafael Márquez

Solución

i)

ii)

Ej.3

Las probabilidades de que un alumno deba matemáticas discretas, cálculo aplicado ó ambas son: .7, .8, .5 si

se selecciona un alumno al azar cuál es la probabilidad de que no deba alguna de las 2 materias

Solución

-.5)=1-1=0

Ej. 1

Se realizo una encuesta a los alumnos sobre el lugar que visitaran en las próximas vacaciones y las

probabilidades que se obtuvieron fueron:

Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar visite

i) Solamente Aguascalientes .15

ii) Aguascalientes y Belice pero no Colima .05

iii) Belice ó Colima pero no Aguascalientes .52

iv) No visiten Belice .75

v) No visiten colima .85

A

C B

.15

.15 .25

.38 Aguascalientes

.50 Belice

.45 Colima

.13 Aguascalientes y Belice

.20 Belice y Colima

.18 Colima y Aguascalientes

.08 Aguascalientes, Belice y Colima

.08 .10

.12

.05

Ω

.1

Ej. 2

Se pregunta a los alumnos acerca del vaso de precipitado que prefieren en el laboratorio de matemáticas las

probabilidades que se obtuvieron son:

Cuál es la probabilidad de que tome indio pero no laguer .22

Ej.3

Encuesta sobre el medio de transporte para llegar a ESCOM

Cuál es la probabilidad de que:

i) Tomen solo metro .19

ii) 2 medios de transporte exactamente .28

iii) Cuando mucho 2 medios de transporte .88

iv) Tome al menos 2 medios de transporte .40

v) 2 medios de transporte .28

.15 L

.10 I .18 S

T .20

M .10 P .25

.48 sol

.45 indio

.43 laguer

.73 sol ó indio

.70 indio ó laguer

.78 laguer ó sol

.08 los 3 vasos de precipitado

.45 Metro

.50 Pesero

.52 Trolebús

.20 Metro y pesero

.17 Pesero y trolebús

.27 Trolebús y metro

.05 Llegan en bicicleta

.08 .10 .15

.12

.12

.12

.05

.15 .05

.08

Probabilidad clásica

Definición sea A un evento. Se define la PROBABILIDAD DE A como la razón que existe entre la cardinalidad

de A y la cardinalidad de Ω

Ej. 1

Cuál es la probabilidad de que un matrimonio que tiene 3 hijos dos sean niñas y uno sea niño

Y si en vez de 3 hijos son 8 probabilidad de 2 niñas y 6 niños

Ej.2 un test de 3 preguntas de opción múltiple tienen 4 respuestas. Si se contesta al azar cual es la

probabilidad de obtener

i) 3 respuestas correctas

ii) 2 respuestas correctas

iii) 1 respuesta correcta

iv) Ninguna respuesta correcta

Es todo el espacio muestral? …NOO

Se deben ponderar las variables

Antes trabajamos con espacios equiprobables

i)

ii)

iii)

iv)

Ej. 3 en medio de una práctica de laboratorio se tienen 2 cartones de vasos de precipitados

Se saca un vaso de precipitado del 1er cartón y se coloca en el 2do cartón

después se saca un vaso de precipitado del 2do cajón y se observa que es

de sol cuál es la probabilidad de que venga del 1er cartón

correcto

correcto

correcto

incorrecto

incorrecto

correcto

incorrecto

incorrecto

correcto

correcto

incorrecto

incorrecto

correcto

incorrecto

indio 3/12

indio 2/7

sol 1/7

laguer 4/7

sol 4/12

indio 1/7

sol 2/7

laguer 4/7

laguer 5/12

indio 1/7

sol 1/7

laguer 5/7

Primer cartón Segundo cartón

3 indios 1 indio

4 sol 1 sol

5 laguer 4 laguer

Definición

Sea A un evento se define la PROBABILIDAD CONDICIONAL cuando conocemos un resultado parcial de Ω y

calculamos la probabilidad de un evento a en base a un Ω1

Ej.1

La zapatería “el huarache veloz” fabrica zapatos para dama, caballero y niño

De la producción total el 60% es de dama y el 30% de caballero.

De los zapatos para dama el 80% son de vestir y el 20% son sport, para caballeros 70% de vestir y niños 10%

vestir. Si elegimos un zapato y es de vestir ¿Cuál es la probabilidad de que sea de niño?

zapato

dama 60/100

vestir 80/100

sport 20/100

caballero 30/100

vestir 70/100

sport 30/100

niño 10/100

vestir 10/100

sport 90/100

Ej2.

En medio de una práctica de laboratorio se tienen 3 cartones de vasos de precipitados

Se saca un vaso de precipitado del 1er cartón y se coloca

en el 2do cartón después se saca un vaso de precipitado

del 2do cajón y se coloca en el 3er cajón después se saca

un vaso de precipitado del 3er cajón y se observa que es

de indio cuál es la probabilidad de que venga del 2do cartón

indio 3/6

indio 2/9

indio 3/8

sol 2/8

laguer 3/8

sol 3/9

indio 2/8

sol 3/8

laguer 3/8

laguer 4/9

indio 2/8

sol 2/8

laguer 4/8

sol 2/6

indio 1/9

indio 3/8

sol 2/8

laguer 3/8

sol 4/9

indio 2/8

sol 3/8

laguer 3/8

laguer 4/9

indio 2/8

sol 2/8

laguer 4/8

laguer 1/6

indio 1/9

indio 3/8

sol 2/8

laguer 3/8

sol 3/9

indio 2/8

sol 3/8

laguer 3/8

laguer 5/9

indio 2/8

sol 2/8

laguer 4/8

Primer cartón Segundo cartón Tercer cartón

3 indio 1 indio 2 indio

2 sol 3 sol 2 sol

1 laguer 4 laguer 3 laguer

Ej. 3

El grupo de “3° A” tiene 30 alumnos de los cuales 10 son niñas

Del total de las niñas 5 deben Análisis vectorial y de los niños 15 deben Análisis vectorial. Si elegimos al azar

un alumno y debe análisis vectorial cual es la probabilidad de que sea niña

Variables Aleatorias

Definición:

Se define como variable aleatoria a toda variable involucrada en un experimento probabilístico. Existen 2

tipos de variables aleatorias a saber:

Sea f(x) una función de probabilidad

Sea un evento

Se define la probabilidad del evento A como:

Para el caso discreto

alumno

niña 10/30

debe 5/10

no debe 5/10

niño 20/30

debe 15/20

no debe 5/20

Para el caso continuo

Ej. 1

En un edificio de 60 departamentos se entrevista a las 60 familias para determinar el número de hijos por

departamento los resultados fueron

x 0 1 2 3 4

f(x) 1/2 1/6 1/6 2/15 1/30

Cuál es la probabilidad de que en un departamento seleccionado al azar

i) Mas de 2 niños

ii) Menos de 3 niños

Solución

Problema de variable aleatoria discreta

Comprobamos que P(Ω)=1

i)

ii)

Ej. 2

Sea x una variable aleatoria con distribución dada por

Encuentre P(x≥3)

Solución

Problema de variable aleatoria discreta

Comprobamos que P(Ω)=1

Ej. 3

Sea x el tiempo en semanas que se tarda control escolar para resolver un simple cambio de grupo y su

función está dada por:

Cuál es la probabilidad de que se tarden menos de 4 semanas en resolver un cambio de grupo

Solución

Problema de variable aleatoria continúa

Comprobamos que P(Ω)=1

=

P(Ω)≠1 por lo que no es un espacio de probabilidad