apuntes impresos mate 2
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Antología de Mate 2TRANSCRIPT
2011
MATEMATICAS II
Enero de 2011.
M.C. Ana María Perales Chío
M.C. José Hernández Pacheco
2
CONTENIDO
UNIDAD I......................................................................................................................... 6
LOS ANGULOS ........................................................................................................... 6
SISTEMA DE MEDIDA DE ANGULOS ..................................................................... 6
Sistema Sexagesimal ............................................................................................... 6
Resolución de problemas que impliquen grados decimales y sexagesimales. ......... 7
Ejercicios: ................................................................................................................. 7
Sistema Circular ....................................................................................................... 8
Resolución de problemas que impliquen radianes ................................................... 8
Ejercicios: ................................................................................................................. 8
CLASIFICACION DE LOS ANGULOS ......................................................................... 9
Actividad: ................................................................................................................ 11
Clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida. ........................................... 11
Actividad ................................................................................................................. 12
Clasificación de los ángulos de acuerdo a su posición con relación a otros
ángulos. .................................................................................................................. 14
Ángulos entre paralelas cortadas por una secante ................................................. 16
Actividad ................................................................................................................. 21
Actividad ................................................................................................................. 22
Actividad ................................................................................................................. 23
UNIDAD II...................................................................................................................... 24
TRIANGULOS ............................................................................................................ 24
CLASIFICACION Y CONSTRUCCION DE TRIANGULOS ..................................... 25
Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus lados ..................... 25
Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos interiores.
................................................................................................................................ 26
Actividad1 ............................................................................................................... 27
Actividad ................................................................................................................. 28
PROPIEDADES Y TEOREMAS APLICABLES A TRIANGULOS .............................. 28
Principales teoremas aplicables en los triángulos .................................................. 28
Teorema de los ángulos interiores ............................................................................. 28
3
Actividad ................................................................................................................. 30
Actividad: ................................................................................................................ 31
Actividad ................................................................................................................. 32
PRINCIPALES PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS .......................................... 35
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIANGULO............................................... 39
Mediatriz ................................................................................................................. 39
Actividad ................................................................................................................. 39
Alturas y ortocentro ................................................................................................. 41
Bisectrices e incentro .............................................................................................. 42
Medianas y baricentro............................................................................................. 42
Recta de Euler ........................................................................................................ 44
Actividad ................................................................................................................. 44
Actividad ................................................................................................................. 44
CONGRUENCIA Y SEMEJANZA .............................................................................. 45
Construcción de figuras congruentes ..................................................................... 45
Construcción de figuras semejantes ....................................................................... 46
TEOREMA BASICO DE PROPORCIONALIDAD....................................................... 47
Resolución de problemas que impliquen la congruencia y semejanza ................... 50
Actividad ................................................................................................................. 50
Actividad ................................................................................................................. 51
Actividad ................................................................................................................. 52
Teorema de Pitágoras ............................................................................................ 53
Resolución de problemas y ejercicios ..................................................................... 54
Actividad: 1 Resolución de problemas .................................................................... 56
Actividad ................................................................................................................. 57
UNIDAD III..................................................................................................................... 59
LA TRIGONOMETRIA Y SUS PRINCIPALES APLICACIONES ................................ 59
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ...................................................................... 60
Las funciones trigonométricas en el plano cartesiano. ........................................... 60
Funciones trigonométricos directas o elementales. ................................................ 60
Actividad ................................................................................................................. 65
4
Actividad ................................................................................................................. 66
Actividad ................................................................................................................. 70
Actividad ................................................................................................................. 71
RESOLUCION DE TRAINGULOS RECTANGULOS .................................................... 73
Actividad ................................................................................................................. 74
Resolución de problemas diversos ......................................................................... 79
Actividad ................................................................................................................. 79
Actividad ................................................................................................................. 79
UNIDAD IV .................................................................................................................... 81
TEMAS PRELIMINARES DE GEOMETRIA ANALITICA ........................................... 81
PERIMETRO Y AREA DE LAS PRINCIPALES FIGURAS GEOMETRICAS .......... 81
Actividad ................................................................................................................. 85
COORDENADAS DE UN PUNTO QUE DIVIDE A UN SEGMENTO EN UNA
RAZON DADA ........................................................................................................ 86
Actividad ................................................................................................................. 86
PUNTO MEDIO ...................................................................................................... 87
Actividad ................................................................................................................. 89
Actividad ................................................................................................................. 90
Punto de intersección ............................................................................................. 91
Puntos en cualquier posición .................................................................................. 92
Angulo de intersección y pendiente de una recta ................................................... 93
Conceptualización .................................................................................................. 94
Actividad ................................................................................................................. 94
Angulo entre dos rectas .......................................................................................... 96
Actividad ................................................................................................................. 98
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ........................................................... 99
Actividad ............................................................................................................... 103
UNIDAD V ................................................................................................................... 104
LINEA RECTA ......................................................................................................... 104
FORMACION DE LA ECUACION DE LA RECTA ................................................ 105
Actividad ............................................................................................................... 108
5
Actividad ............................................................................................................... 108
FORMA EN FUNCION DE LA PENDIENTE Y LA ORDENADA AL ORIGEN ...... 109
Actividad ............................................................................................................... 110
FORMA SIMETRICA ............................................................................................ 110
Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica) .................... 110
Actividad ............................................................................................................... 112
DISTANCIA DE UN PUNTO EN UNA RECTA ..................................................... 113
Características de la recta .................................................................................... 115
Actividad ............................................................................................................... 116
Enlaces externos...................................................................................................... 117
6
UNIDAD I
LOS ANGULOS
UNIDAD DE COMPETENCIA
Construye e interpreta relaciones entre ángulos y figuras geométricas, a través del
análisis de las relaciones de sus elementos, para construir modelos geométricos y
resolver problemas, mediante el trabajo colaborativo y la participación propositiva en un
clima de respeto y diálogo.
SITUACION DIDACTICA
¿Sabías qué los ángulos son esenciales en el movimiento de Tú cuerpo y para Tú
supervivencia?
Investiga que tipo de ángulos se forman en el momento de caminar, al momento de
introducir alimento a tu boca, al escribir, etc.
SISTEMA DE MEDIDA DE ANGULOS
Existen 2 sistemas fundamentales para la medición de ángulos, en nuestro curso
veremos el sexagesimal y el cíclico.
Sistema Sexagesimal: la unidad de medida en este sistema, es el grado (°) que
equivale a 3601 parte de la circunferencia.
Los antiguos Egipcios dependían exclusivamente de las aguas del río Nilo para
efectuar sus trabajos agrícolas. El Nilo se desbordaba año con año, inundando
grandes extensiones de tierra, la cual quedaba así apta para los cultivos. En las
riveras del río se medían y se distribuían las distintas parcelas para ser
asignadas a los agricultores.
Este proceso debía repetirse año con año, pues cada inundación borraba las
medidas del año anterior.
Así poco a poco, se fue perfeccionando la técnica de parcelas y nació la
Geometría, que etimológicamente significa medición de tierras. Los Egipcios
pues crearon la Geometría y la desarrollaron a tal grado que aun hoy tenemos
como mudos testigos de ese desarrollo a las grandiosas pirámides de Egipto,
cuya antigüedad supera los 5,000 años.
7
a) Concepto de grado, minuto y
segundo.
Cada grado se divide a su vez en
60 partes iguales llamadas
minutos (’) y cada minuto se
divide también en 60 partes iguales llamadas segundos (’’), por lo tanto un grado es
igual a 3600 segundos.
1 grado= 360
1 = 1°
1 minuto = 60
1 = 1’
1 segundo = 60
'1= 1’’
1 grado= 3600 segundo
1° = 3600’’
Resolución de problemas que impliquen grados decimales y sexagesimales.
Ejemplo:
Transformar a decimales:
Ejemplo: 135°20’ 15’’= 135.3375°
+.3375+.25 60=.25
135.3375 60= 0.3375
Ejercicios:Transforma a decimales los siguientes ángulos
1) 112°20’ 4) 240°25’15’’
2) 138°14’ 5) 260°40’20’’
3) 170°40’ 6) 12°12’20’’
8
Sistema Circular
Medida cíclica o circular es el ángulo central de una circunferencia cualquiera cuyos
lados interceptan un arco de longitud igual a la de su radio, la unidad de medida es el
radian.
a) Radian: El ángulo formado al tomar el radio y extenderlo sobre
la circunferencia.
1 radian= 2
1 revoluciones
1 revolución = 2
Ángulo
en
Grados
360°
180°
90°
60°
45°
30°
15°
10°
1°
Ángulo
en
Radianes
2
2
3
4
6
12
18
180
1°= 180
radianes o bien 1 radian =
180 grados
1°= 0.017453 radianes o bien 1 radian= 57.2956°= 57.3°
Resolución de problemas que impliquen radianes
A= 75° _________ radianes
B= 37.24° _________ radianes
C= 58°25’= ________ radianes
D= 25.29°= ________ radianes
Ejercicios: Expresar a radianes cada uno de los siguientes ángulos:
9
E= 115.23°= ________ radianes
F= 112.33°= ________ radianes
G= 138.23°= ________ radianes
H= 170.66°= ________ radianes
I= 139.3375°= _______ radianes
J= 240.42°= ________ radianes
L= 12.20°= ________ radianes
CLASIFICACION DE LOS ANGULOS
Definición: Se denomina ángulo a la abertura comprendida entre dos rectas que se
cortan en un punto. Las rectas son los lados del ángulo y el punto donde se cortan se
llama vértice, y se representan por tres letras mayúsculas, o bien por una minúscula
dentro de rectas.
Modo de medir un ángulo.
Los ángulos suelen medirse en sentido positivo (en sentido contrario a las manecillas
del reloj) o negativos (en sentido de las manecillas del reloj) con un instrumento
llamado transportador. -
ф
<a
a
<A
< <ф
<CBA
A
B C
10
Angulo (+) de 48°
Angulo (-) de 140°
Angulo (+) de 60°
+
-70°
< = -70°
< a = -48°
48°
a
< b = -140°
< c = 40°
40°
c b
-140°
a 60°
< a = 60°
11
Clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida.
Ángulo Nulo.
Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes,
por lo tanto su abertura es nulo, o sea de 0°.
a) Ángulo Agudo.
Es el ángulo promedio por dos semirrectas con amplitud
mayor de 0° y menor de 90°
b) Ángulo Recto.
Un ángulo recto es de amplitud igual a 90°. Los dos lados
de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
c) Ángulo Obtuso.
Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a 90° y
menor a 180°.
Actividad:Consultar la clasificación de los ángulos según su amplitud
12
d) Ángulo llano, extendido o colineal.
El ángulo llano tiene una amplitud equivalente a
180°
Ángulo completo o Perigonal.
Un ángulo Perigonal tiene una amplitud igual a 360°.
Ángulo Cóncavo.
Es aquel que mide más de 180° y menos de 360°.
Ángulo Convexo.
Es aquel que mide más de 0° y menos de 180°
Actividad: traza los ángulos siguientes:
1) Angulo PQR 75°
2) Ángulo A 40°
3) Ángulo M 115°
4) Ángulo π 135°
13
5) Ángulo QPR
2.-Con un transportador medir los siguientes ángulos hasta el grado más próximo y
anotar la medida de cada uno:
A
A
A
A
14
Clasificación de los ángulos de acuerdo a su posición con relación a otros
ángulos.
(Adyacentes, complementarios, suplementarios, conjugados, opuestos por el
vértice)
a) Los ángulos adyacentes: son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado
común, y los otros dos están situados a una y otra parte del lado común.
b) Ángulos opuestos por el vértice: Son aquellos que tienen el vértice común y los
lados de uno son la prolongación del otro. En dos rectas que se cortan, los
ángulos opuestos por el vértice son iguales y los ángulos adyacentes son
suplementarios.
c) Ángulos complementarios: Son aquellos cuya suma es igual a 90°
b a
< AOB
< BOA
C B
A O
c
a b
d
40°
50°
15
d) Ángulos Suplementarios: Son aquellos cuya suma es igual a 180°
d.) Ángulos conjugados: conjugados externos e internos:
Son dos ángulos externos a las rectas y del mismo lado de la transversal. También se
les conoce como colaterales externos.
Son dos ángulos internos a las dos rectas y del mismo lado de la transversal. También se les conoce como colaterales internos.
a b
105° 75°
16
Ángulos entre paralelas cortadas por una secante
(Correspondientes alternos, internos, externos y opuestos por el vértice)
Dos rectas paralelas cortadas por una secante forman 8 ángulos (cuatro internos y
cuatro externos):
Ángulos Internos: 2, 3, 5, 8
Ángulos Externos: 1, 4, 6, 7
a) Ángulos Correspondientes: son dos ángulos situados del mismo lado de la
transversal (uno interno y otro externo) y tienen la propiedad de ser
congruentes, es decir, sus medidas son iguales.
1 es correspondiente al 5
2 es correspondiente al 6
3 es correspondiente al 7
4 es correspondiente al 8
17
b) Ángulos Alternos Internos: son dos ángulos situados a uno y otro lado de la
transversal (alternos) y dentro de las paralelas (internos) y
además son iguales:
2 es alterno interno al 8
3 es alterno interno al 5
c) Ángulos Alternos Externos: son los ángulos situados
a uno y a otro lado de la transversal (alternos) y fuera de las paralelas (externos)
y además son congruentes:
1 es alterno externo al 7
4 es alterno externo al
d) Ángulos Colaterales Internos: son dos ángulos situados del mismo lado de la
transversal (colaterales) y dentro de las paralelas (internos) y son
suplementarios (su suma es igual a 180°):
2 es colateral interno al 5
3 es colateral interno al
18
e) Ángulos Colaterales Externos: son dos ángulos situados del mismo lado de la
transversal (colaterales) y fuera de las paralelas (externos) y son
suplementarios:
1 es colateral externo al 6
4 es colateral externo al 7
f) Ángulos opuestos por el vértice:
Son aquellos que tienen el vértice común y los lados de uno son la prolongación del
otro. En dos rectas que se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales y los
ángulos adyacentes son suplementarios.
g) Ángulos adyacentes:
Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado común y un vértice común.
c
a b
d
19
Ejemplos:
1.- En las siguientes figuras:
Felipe está construyendo dos rampas como la que se ve en la figura. Si se coloca una
sobre la otra tendrán ángulos de elevación de 12° y 4x de grado respectivamente, y la
suma de los ángulos es de 68°. ¿Podrás ayudarle a encontrar la elevación de las
rampas?
Ejercicios: Resolver los siguientes problemas
68°
4x
12°
C
B
B
C
35°
D
A < ABC = 115°
< ABD = 35°
< DBC = 80°
A
D
70° < ABC = 20°
<ABD = 90°
< DBC = 70°
A B
n m = 75°
< AOC = 75° = m
< COB = 105°___ = n
20
En la siguiente figura L₁ // L₂ además que la medida del <BFD = 115°, encontrar la
medida de los demás ángulos.
En la figura la recta L₁ // L₂, además las líneas G y E son transversales y el ángulo 12,
mide 85° y el ángulo 14, 35° y el ángulo 16, 120°.
ℓ₂ ℓ₁
115°
C D
A B
G H
<1 __60°__
<2 _______
<3 __145°_
<4 ______
<5 ______
<6 __60°__
<7 ______
<8 ______
21
En la ciudad de Tijuana, se planea construir un camino que atraviese las vías del tren
como se muestra en la figura si el ángulo 1 mide 72° encuentra la medida del <4
Vías del tren
a)
b)
Actividad: Calcular el valor de x y de y en cada uno de los casos, y
fundamentar las relaciones establecidas.
°
72°
1
4
22
1)
2)
3)
Actividad:En las siguientes figuras, determinar los ángulos que se piden:
23
Actividad: para la próxima clase: investigar sobre el triangulo, definición,
clasificación de acuerdo a sus lados, clasificación de acuerdo a sus
ángulos, líneas de un triangulo.
24
UNIDAD II
TRIANGULOS
UNIDAD DE COMPETENCIA
Construye e interpreta modelos geométricos relacionados con los triángulos, a través
del análisis de sus principales características y propiedades, para resolver problemas
reales o hipotéticos, fomentando el trabajo colaborativo y la participación autónoma y
respetuosa.
SITUACION DIDACTICA
En la arquitectura e ingeniería utiliza en la construcción de sus estructuras, figuras
triangulares. ¿Sabes porque razón?
*Triángulo: es una superficie trilateral, es decir, tiene 3 ángulos y por lo tanto 3
vértices.
Se designa por el símbolo para singular y para plural.
Para nombrarlo se designan tres letras mayúsculas en los vértices, o bien, con un
número romano colocado en el centro d la figura:
25
CLASIFICACION Y CONSTRUCCION DE TRIANGULOS
Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de
sus lados.
Triángulo Equilátero: Es aquel cuyos lados tienen la misma
longitud (los tres ángulos internos miden 60°).
Triángulo Isósceles: Son aquellos que tienen dos lados de la
misma longitud y uno desigual.
Triángulo Escaleno: Es aquel triángulo en el que
todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un
triángulo escaleno no hay ángulos con la misma
medida).
En cualquier triángulo la suma de dos de
sus lados, cualquiera que estos sean,
siempre será mayor que la medida del tercer
lado
26
Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos
interiores.
(Triangulo rectángulo, Oblicuángulos, acutángulo, obtusángulo)
Triángulo Rectángulo: es el que tiene un ángulo recto, o
sea que mide 90°; el lado opuesto al ángulo recto se llama
hipotenusa y a los lados que forman el ángulo recto se les
llama catetos:
Triángulo Oblicuángulo: Es aquel que tiene un ángulo obtuso (es un ángulo que mide
más de 90°) y los otros dos agudos (menores de
90°)
Los triángulos acutángulos son aquellos en los cuales
sus tres ángulos interiores miden menos de 90°. El
triángulo equilátero es un caso particular de triángulo
acutángulo.
27
Ejemplo:
1.-calcula los lados y los ángulos faltantes en cada triangulo de acuerdo a su clasificación a) Triangulo equilátero
∟A= 60°
∟B= 60° ∟C= 60° Lado a = 10cm Lado c= 10cm
b) triangulo Isósceles
∟A= 70°
∟B= 40° ∟C= 70° Lado c = 15 cm
180°-40° = 140°/2 = 70°
2,- Construye un triangulo equilátero Toma tres hojas de papel cuadradas y alinéalas como se indica en la siguiente figura. Marca con un punto G con lápiz.
Actividad1: Realiza un paisaje en collage donde se muestren los triángulos
estudiados. (Puedes usar recortes de revista, hojas de colores usando tu
ingenio y creatividad.
10cm
15cm 40
°
A C
B
G
28
3.- Haz un doblez desde R pasando por G y desde E pasando por G. el triangulo GER es un triangulo equilátero.
PROPIEDADES Y TEOREMAS APLICABLES A TRIANGULOS
Principales teoremas aplicables en los triángulos
Teorema de los ángulos interiores
Teorema de los ángulos interiores: la suma de los ángulos interiores de un triángulo
es igual a dos ángulos rectos, o
sea de 180°.
Demostración:
Actividad: 4- Construye un triangulo isósceles.
5.- Construye un triangulo escaleno.
E R
“La suma de los ángulos internos de cualquier triangulo es igual a
180°
29
Ejemplo:
I- Encontrar el o los ángulos faltantes.
<C = 180°- (40°+50°) = 90°
<C = 90°
2.- Encuentra el valor de los ángulos internos
2X + 3X + 4X = 180° 2X = 2 (20°) = 40°
9X= 180° 3X = 3 (20°) = 60°
X= 180° 4X = 4 (20°) = 80°
9
X= 20°
30
Actividad: Encuentra el valor de los ángulos interiores.
31
Teorema de los ángulos exteriores.
Teorema del ángulo exterior:
∟α =∟B + ∟C
∟β= ∟A + ∟C
∟ɤ= ∟A + ∟B
Teorema del ángulo exterior
Actividad: En papel de colores dibuja un triangulo y después corta los picos del triangulo y únelos para comprobar que formen 180°. Guíate por la siguiente figura.
"La suma de las medidas de los 3 ángulos externos de un triangulo cualquiera siempre es igual a 360º
Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos
interiores no adyacentes a él.
32
120° +120° +120° = 360°
∟l _______ ∟k______ ∟J_______- 2) p = __________
N= __________
Q= __________
Actividad: Calcula la medida de los ángulos que se indican
33
3)
r = __________
s = __________
t = __________
R =__________
S = __________
4)
B = __________
C = __________
D = __________
X = __________
X ´ = __________
Y = __________
Y ´= __________
5) Juan está construyendo un moño formado por dos triángulos como el que se
muestra en la figura. Sabemos que los segmentos AB y DE son //, y la medida del <
DEC = 78° y la medida del ángulo CDE = 38°. ¿Pedirás ayudar a encontrar las medidas
de todos los ángulos que faltan?
34
6) X = __________
Y = _______
7) X = __________
Y = __________
8) A = __________
B = __________
C = __________
38°
78°
C
A
B
D
E
35
PRINCIPALES PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS
La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles
La altura AH relativa al lado desigual del triángulo isósceles es bisectriz del ángulo, por tanto dividirá al triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos iguales.
2.- Triángulo isósceles:
En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. Ejemplo: 1.- Comprueba que la siguiente figura es un triángulo. Solución: Comprobando: 6 +7 = 13 > 8 6 + 8 = 14 >7 7 + 8 = 15 > 6 Conclusión: si es un triángulo ya que al sumar las medidas de dos de sus lados, cualquiera que sean, siempre se obtiene una medida mayor que la medida de un tercer lado.
8 7
6
36
En todo triángulo, a mayor lado se opone siempre mayor ángulo
En dos triángulos que tienen dos lados respectivamente congruentes…
Se llama figuras congruentes a aquellas que tienen la misma forma y el mismo
tamaño, de manera que al colocar una sobre la otra, parecen una sola. El símbolo de
congruencia es:
Postulados De Congruencia
a) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruente dos lados y el
ángulo comprendido (l, a, l, l, a, l,).
b) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos ángulos
y el lado correspondido (a, l, a, a, l, a,).
37
c) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus tres
lados (l, l, l, l, l, l,).
1.
2.
Ejercicio 1: Congruencia
1.- En la siguiente figura identificar los cinco pares de triángulos congruentes.
Ejemplo:
BJC DJC
38
2.- Identificar los triángulos que son congruentes y dar el postulado de congruencia que
lo justifica.
a)
b)
c)
39
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIANGULO
Las rectas notables de un triángulo son:
Mediatriz
Se puede concluir que: la mediatriz es la de recta que pasa por el punto medio de un segmento de recta.
Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.
Actividad: en geogebra traza un triángulo y con el icono de mediatriz
traza la mediatriz en cada uno de los lados del triangulo.
1.-Comenta con tus compañeros que caracteriza a cada línea, y marca el
punto de intersección de las mediatrices.
2.- Si mueves uno de los vértices del triangulo y formas diferentes
triángulos observa cómo cambia el punto de intersección.
40
En el caso del triángulo rectángulo vemos que el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa.
En el caso de un triángulo obtusángulo, el circuncentro es exterior al triángulo.
41
Alturas y ortocentro
Al tura es cada una de las rectas perpendiculares t razadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).
Las alturas de un triángulo acutángulo se cortan siempre en un punto interior del triángulo, luego su ortocentro es interior al triángulo.
En el caso de un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo.
En el caso del triángulo rectángulo vemos que el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.
42
Bisectrices e incentro
La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales.
Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro que siempre es interior al triángulo. Como el incentro pertenece a las tres bisectrices equidista de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita a .
Para dibujar dicha circunferencia debemos hallar los puntos de tangencia sobre los lados. Basta con trazar una perpendicular desde a uno de ellos, por ejemplo al lado , obteniendo y, a continuación trasladar el resultado a cada uno de los lados del triángulo, como se ve en la figura, ya que y .
Medianas y baricentro
Mediana. Es cada uno de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice
opuesto. Estas se cortan en un punto llamado baricentro.
El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad del triángulo.
El teorema de la bisectriz dice que “la bisectriz de un ángulo interno corta al lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados”.
43
Si unimos los puntos medios de los lados del triángulo obtenemos el triángulo que tiene el mismo baricentro que y sus medianas miden la mitad que las
de .
Además los lados de miden la mitad que los lados de y la superficie de es la cuarta parte de la superficie de , pues podemos comprobar que al
trazar se han definido otros tres triángulos iguales:.
Consideramos una mediana . Si es el baricentro se cumple que .
Se cumple también que si se dibuja , la mediana de la mediana , ésta corta al lado siendo: .
44
Recta de Euler
La recta definida por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo se llama recta de Euler. La recta de Euler contiene también al baricentro.
La distancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad de la distancia entre el baricentro y el ortocentro: .
Actividad: 1.-En geogebra traza un triangulo y traza la mediana, mediatriz,
alturas y bisectrices,
2.-Comenta con tus compañeros que caracteriza a cada línea, y marca
sus puntos de intersección.
3.- Si mueves uno de los vértices del triangulo y formas diferentes
triángulos observa cómo cambia el punto de intersección.
A la línea que une los puntos de intersección se llama Recta de Euler
Actividad:2.- Con papel de colores traza y recorta un triangulo rectángulo,
en él marcas todas las líneas (altura mediatriz, bisectriz ,mediana y recta
de eulker
45
CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
Se llama figuras congruentes a aquellas que tienen la misma forma y el mismo
tamaño, de manera que al colocar una sobre la otra, parecen una sola. El símbolo de
congruencia es:
Construcción de figuras congruentes
Postulados De Congruencia
a) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruente dos lados y el
ángulo comprendido (l, a, l, l, a, l,).
b) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos ángulos
y el lado correspondido (a, l, a, a, l, a,).
46
c) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus tres
lados (l, l, l, l, l, l,).
Construcción de figuras semejantes
Proporción en triángulos semejantes
Ejemplo:
(Triángulo ABC es semejante a Triángulo A´B´C´)
Proporción:
'''''´ CA
AC
CB
BC
BA
AB
47
TEOREMA BASICO DE PROPORCIONALIDAD
1) Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo, entonces los otros dos
lados quedan divididos en segmentos proporcionales con ocho permutaciones posibles,
como lo vimos anteriormente.
2) Dos transversales cualquiera cortadas por tres paralelas, quedan divididas en
segmentos proporcionales.
Si AB es paralela a CD como es paralela a
EF , entonces a: b = c: d
48
3) La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos segmentos
proporcionales a los lados adyacentes a ese ángulo.
CD Es la bisectriz del ángulo C es: c: c’ = a: b
Ejemplos:
X: 12 = 28: 14 X: 28 = 12: 14
X = 12 (28) X = 28 (12)
14 14
X = 24 X = 24
6: 9 = 4: X
X = 9 (4)
6
49
X = 6
X: 10 = 18: 15
X = 10 (18)
15
X = 12
2X: 3X-1 = 21: 30
2X (30) = 21 (3X-1)
60X = 63X-21
60X-63X = -21
-3X = -21
X = -21 X = -7
3
50
Resolución de problemas que impliquen la congruencia y semejanza
1.- En la siguiente figura identificar los cinco pares de triángulos congruentes.
Ejemplo:
BJC DJC
2.- Identificar los triángulos que son congruentes y dar el postulado de congruencia que
lo justifica.
a)
b)
Actividad: Resuelve los siguientes ejercicios.
51
c)
1)
2)
Actividad: En las siguientes figuras el I II, hallar X y Y.
52
3.-
.
4.-
Actividad: 2.- Biografía de Pitágoras.
53
Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras en sus representaciones: verbal, geométrica y algebraica. El Teorema de Pitágoras establece: que en un triángulo rectángulo, el área del
cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es
igual a la suma de las áreas del cuadrado de los catetos (los dos lados menores
del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
X² + Y² = r²
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la
hipotenusa es c, se establece que:
54
Resolución de problemas y ejercicios
Ejercicios:
1.-En un triángulo rectángulo en donde el ángulo recto es el ángulo c el cateto
adyacente es 15 y la hipotenusa 17. Encuentra el cateto opuesto.
2-Cuánto mide la altura de un triángulo isósceles si sus lados iguales miden 10 y su
base 12.
3-Encuentra el área de un triángulo equivalente cuyos lados miden 10.
a
Cateto = 15
Hipotenusa = 17
c Cateto ady.
b
h
10 10
12
55
4-En la siguiente figura, si el área del triángulo ABC es de 45cm2, cuál es la longitud del
lado DB.
5-El anuncio sobre la venta de un monitor para la computadora de 25” esta en
promoción y llamó mi atención. Pero al llegar a la tienda y revisar las medidas del
monitor resulto que mide 19.5” de ancho y 15.5” de altura. A caso la publicidad me
engaño.
B
7
8
D
C
A
15
10
6
19.5”
15.5”
19.5”
15.5”
56
1.-
2.-
3.-
3.-
4.-
5.-
Actividad: 1 Resolución de problemas
y
4
y
29
29
y
5
6 y
15
6
4
20
30
57
6.-
7.-
1) A qué altura llega una escalera que mide 10 metros de largo en un muro vertical, si
su pie está recargado a 3 metros del muro.
5) Para sostener la torre de la antena de una estación de radio
de setenta y dos metros de altura, se desea poner tirantes de
120 metros para darle mayor estabilidad; se proyecta tender
los tirantes desde la parte más alta de la torre. ¿A qué
distancia del pie deben colocarse las bases de concreto para
sostener dichos tirantes?
Actividad: 2.- aplicación del teorema de Pitágoras
25
36
3
y 8
y
58
3.-
59
UNIDAD III
LA TRIGONOMETRIA Y SUS PRINCIPALES APLICACIONES
UNIDAD DE COMPETENCIA
Selecciona las funciones trigonométricas, a través de la identificación de relaciones
entre los elementos de un triángulo rectángulo y oblicuángulo, para resolver problemas
que impliquen dichos conceptos, de forma responsable y solidaria al trabajar en grupos
colaborativos.
El objetivo de estudiar las funciones trigonométricas es que el alumno deduce y calcula
las funciones trigonométricas de los ángulos en el plano cartesiano.
SITUACION DIDACTICA
¡EL TIRO PENAL PERFECTO!!! ¿En qué parte de la portería debe entrar el balón y a
que ángulo de inclinación tiene que golpearlo un jugador?
La trigonometría es una rama de las matemáticas que
estudia las relaciones entre los lados y unos ángulos
de los triángulos, y las propiedades y aplicaciones de
las funciones trigonométricas de los ángulos. Se divide
en dos ramas fundamentales:
La trigonometría plana.
La trigonometría esférica.
La historia de la trigonometría es tan antigua como la historia de la humanidad, se
remota a las primeras matemáticas conocidas en Egipto y babilonia. Fueron los
egipcios quienes establecieron las medidas de los ángulos en grados, minutos y
segundos.
60
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo.
Las funciones trigonométricas en el plano cartesiano. (Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante).
- .
Funciones trigonométricos directas o
elementales.
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante
Razones trigonométricas reciprocas
y x
z y
z
z = Hipotenusa
x = Cateto
adyacente
y = Cateto
opuesto
∟ x + ∟ y =90°
Complementario
s
61
Relación fundamental de la Trigonometría
Demostración de la relación sen2∞+Cos2∞=1
Calculo de valores de los grados de 30°, 45° y 60°.
∞
y
CO
CA x
h
2 2
2 2
2
2
2
2 2
x + y = h 2 2 2
62
1
30°
90° 60°
30
°
30
°
60°
60° 60°
90°
2
2
2
2 h
1
1
90°
45°
45°
63
GRADOS SEN COS TAN CSC SEC COT
60°
45°
30° ½
Signo de las funciones trigonométricas
Para encontrar los signos de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes
debemos comenzar por considerar que la distancia de cualquier punto al origen
siempre será positiva.
cuadrante función
I II III IV
SENO + + - -
COSENO + - - +
TANGENTE + - + -
COTANGENTE + - + -
SECANTE + - - +
COSECANTE + + - -
-
+
-
-
I II
III IV
+
+ y +
64
Ejemplo:
-Determina el signo de las funciones trigonométricas correspondientes a una rotación
de 225°
Funciones y cofunciones trigonométrico de un ángulo cualquiera.
Consideramos los ángulos ∞, β, ν, δ que en un sistema de coordenadas tienen su lado
terminal en el cuadrante I, II, III, IV, respectivamente y tenemos un punto en el lado
terminal y su distancia al origen.
Función 0° 90°
SEN
COS
TAN
COT
SEC
CSC
Cos
Sec +
Sen
Csc+
Ton
Cot +
I II
III IV
Todos +
225°
-180°
45°
45° III = TAN – COT +
SEN
COS
SEC
CSC
-
Angulo de referencia. El ángulo de referencia de una rotación es el
ángulo formado por el lado del terminal y el eje de las x.
65
Ejemplo:
Encuentra el ángulo de referencia del ángulo ∞ = 135
Buscar las funciones trigonométricas, de un ángulo de 240°
1.-Encuentra las funciones trigonométricas del ángulo -1665°
Actividad: 1 Resolución de problemas
45°
∞ = 135 Angulo
terminal
45°
60°
2
y
-y
-x x
240°
1
-225°
+1
66
1.-
2.-
3.-
Actividad: Determina en cada cuadrante la ubicación de los siguientes
ángulos.
x’
y’
y
<a = 42°
<b = 315°
<c = -110°
<d = 165°
<e = 54°
<f = 125°
<g = 499°
<h= 879°
<i = -155°
<j = 245°
<k= 399°
<l = 666°
x
x
67
CÍRCULO UNITARIO
El círculo unitario es aquel cuyo centro coincide con el origen de un sistema de
coordenadas y tiene un radio igual a 1.
Es el circulo unitario es una herramienta muy útil en el cálculo de los valores de las
funciones trigonométricas, y representa el valor de una función trigonométrica como la
longitud de un segmento de recta.
Considerando el ángulo ∞ en una posición normal y ubicado en el primer cuadrante del
plano cartesiano observamos lo siguiente.
Ahora observa la siguiente figura, en donde trazamos el siguiente EG perpendicular al
eje de las x y las rectas tangentes al círculo en los puntos D y F, que llegan al lado
terminal del ángulo ∞.
D G
r=1
E
∞
F
0
H J
D Cos G
r=1
E
∞
F
0
Cot
Sen
Tan
Csc
Sec
68
GRAFICOS DE LAS FUNCIONES SEN, COS Y TAN.
A la relación BC/AC se le llama seno
La gráfica de la función seno es
A la relación AB/AC se le llama coseno.
La gráfica de la función coseno es
A la relación BC/AB se le llama tangente.
La gráfica de la función tangente es
A la relación AC/BC se le llama cosecante (es la reciproca del seno).
69
La gráfica de la función cosecante es
A la relación AC/AB se le llama secante (es la reciproca del coseno).
La gráfica de la función secante es
A la relación AB/BC se le llama cotangente (es la reciproca de la tangente).
La gráfica de la función cotangente es
FUNCIONES DE UN SEGMENTO.
La propiedad más importante de estas funciones es la periodicidad (sus valores
se repiten cada cierto intervalo). Como en la Naturaleza hay muchos fenómenos
periódicos (el movimiento de los planetas, el movimiento circular, las vibraciones,
etc.) estas funciones aparecen muy frecuentemente
70
1-Determina las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal, cuyo lado
terminal esta en el segundo cuadrante y tiene una tangente de ф = -3/4.
1. De un ángulo en posición normal, cuyo lado terminal esta en el tercer cuadrante y el
coseno de β = .
2 -Calcular las funciones trigonométricas del ángulo ∞, cuyo lado terminal esta en el
punto A (3, 4).
3-Determinar las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal, cuyo lado
terminal esta en el tercer cuadrante y tiene un coseno de β= .
4-Calcular las funciones trigonométricas del ángulo ∞, cuyo lado terminal esta en el
punto A (3, 4).
5-Calcular las funciones trigonométricas del ángulo β en posición normal para las
coordenadas siguientes:
A) (2, -2)
B) (-3, 2)
C) (12, -5)
D) (-24, 7)
Actividad: Determina las funciones trigonométricas
(-4,3)
y= 3
X= -4
5
71
Identidades Pitagóricas.
La palabra identidad significa que existe una igualdad.
Las funciones trigonométricas se pueden simplificar en tres tipos de identidades y son
ocho en total:
Identidades Recíprocas:
Sen ф. Csc ф = 1
Cos ф . Sec ф = 1
Tan ф . Cot ф = 1
Identidades de división:
Tan ф =
Cot ф =
Identidades pitagóricas:
Sen2ф + Cos2ф = 1
Tan2ф + 1 = Sec2 ф
1+ cot2ф = Csc2 ф
Actividad: Calcular las funciones trigonométricas faltantes, del ángulo.
2 2
2 2 2 2
2
2
2
2
2 2 2 2
72
Ejemplo:
DESPEJES.
Ejemplo 2.-
Demostrar que la identidad de (1 – Sen x)(Sex-tan x) = Cos x
Elige un lado de la identidad (de preferencia escoge el lado más complicado para
transformarlo y obtener el otro lado de la identidad)
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2 2
73
RESOLUCION DE TRAINGULOS RECTANGULOS
Aplicación del teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.
Dado un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6-8 cm, calcular las funciones
trigonométricas de los ángulos.
6
8
y
2 2
74
1-Encuentra la medida de los ángulos ACB, en el siguiente triángulo si AB = 16 y BC =
10, utilizando las razones trigonométricas.
2-Un avión está a un km por encima del nivel del mar, cuando comienza a elevarse en
un ángulo, que no varía de 2° durante los siguientes 70km, medidos al nivel del mar. A
qué altura estará el avión sobr3e el nivel del mar cuando llegue a los 70km.
1.-Jorge está parado en la playa de Mocambo, Veracruz, cuando el ángulo de
elevación del sol es de 31°, quiere averiguar cuánto mide la sombra que proyecta si
mide 1.80m de estatura, podrás ayudarlo a encontrar la longitud de su sombra.
Actividad: Resolución de problemas
2°
70km
10 16
C
B
A
57°59’
h
75
2,- Calcular la altura de una torre si desde un punto situado a un kilómetro de la base
se ve la cúspide con un ángulo de elevación de 16°42’.
3.- Una torre de 28.2 metros de altura está situada a la orilla del río, el ángulo de
depresión a la orilla opuesta es de 25°12’. Hallar el ancho del río.
4.- Desde lo alto de una torre de 37 metros, los ángulos de depresión de dos objetos
situados de un mismo lado y en la misma línea horizontal que el pie del edificio son
respectivamente de 10°13’ y 15°46’. Hallar la distancia entre los dos objetos.
76
5.- Una escalera alcanza el borde de una ventana que está a 7.8 metros del suelo y
forma con la pared un ángulo de 29°15’. Hallar la medida de la escalera.
6.- Una columna de 27 metros de altura proyecta sobre el piso una sombra de 35.1
metros. Hallar el ángulo de inclinación del sol.
Ley de los Senos y Cosenos
Donde A, B, C son los ángulos del triángulo, y a, b, c son las longitudes de los lados.
La ley de los senos nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y
el seno del ángulo opuesto a él, en todo triángulo es constante. Su fórmula
matemática es:
77
Resolver un triángulo significa obtener la longitud de sus lados y la medida de sus
ángulos internos.
No todos los problemas de resolución de triángulos oblicuángulos se pueden resolver
con la ley de los senos, a veces es conveniente aplicar la ley de los cosenos,
dependiendo de los datos que proporciona el problema.
En general cuando nos proporcionan dos ángulos y un lado o dos lados y un ángulo
utilizamos la ley de los senos.
a2 = b2 + c2- 2bc cos A
b2 = a2 + c2 -2ac cos B
La solución de un triángulo oblicuángulo se puede realizar si se conocen tres
elementos, siempre y cuando no sean los tres ángulos, y se presentan cuatro casos
diferentes de soluciones:
a) Cuando se conoce un lado y dos ángulos.
b) Cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
c) Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
d) Cuando se conocen los tres lados.
Ejemplo: 1
Resolver el triángulo ABC si sabemos que a = 4.75, B = 75°, C = 45°
c
b
a
B
A
C a = 4.75
b = 5.3
c = 3.88
A = 60°
B = 75°
C = 45°
La ley de los cosenos se utiliza cuando nos proporcionan dos lados y el ángulo
que forman dichos lados o tres lados. Su fórmula matemática es:
78
2.-Encuentra la medida del ángulo ABC en el triángulo ABC si sabemos que el lado a =
2, b = 3, c = 4.
a2 = b2 +c2 – 2bc Cos A
2bc Cos A + a2 = b2 + c2
b2=a2+c2 – 2ac cos B
2ac cos B+b2= a2+c2
c
b
a
B
A C
a= 2 A= 28°57’
b=3 B= 46°34’
c=4 C= 104°29’
79
3.-Resolver el triángulo ABC si sabemos que A= 60°, B= 45° y a= 4.
Resolución de problemas diversos
1- A = 120° C=30° c=10
2- B = 30° C=135°
3- f = 3 g = 5 h = 6
4- g = 5 h = 7 F = 120°
5- f=3, g=4, H=60°.
1) a = 74 '5234
'4263
B
A
Actividad: Utilizando la ley correspondiente resuelve el triángulo
oblicuángulo si sabemos que:
Actividad: En cada caso, encuentra los datos faltantes del triángulo
oblicuángulo (Realiza el dibujo correspondiente).
C= 179°60’-(28°57’+46°34’)
c= 104°29’
c
b
a
B
A C
a= 4 A= 60°
b=3 .27 B= 45°
c=4.46 C= 75°
C = 180-(60°+45°)=75°
80
2) b = 82 '17109
'4251
C
B
3) b = 678 '3544
''1036
C
A
4) c = 246 '2557
'5638
C
B
5) c = 931 '29129
'5740
C
B
6) a = 59 '5749
''46'2935
B
A
7)
30
45
36
c
b
a
8)
143
123
156
c
b
a
9)
70
65
86
c
b
a
10)
29
36
22
c
b
a
81
UNIDAD IV
TEMAS PRELIMINARES DE GEOMETRIA ANALITICA
UNIDAD DE COMPETENCIA
Construir e interpretar modelos relacionados con segmentos, ángulos, rectas y polígonos en el plano cartesiano, a través del análisis de las relaciones de sus elementos, para argumentar sus propiedades y resolver problemas (reales o hipotéticos), mediante el trabajo colaborativo y muestras de solidaridad, honestidad y responsabilidad.
SITUACION DIDACTICA
¿Cuál es la probabilidad de que un integrante del equipo de básquetbol entre a formar parte del cuadro base?
PERIMETRO Y AREA DE LAS PRINCIPALES FIGURAS GEOMETRICAS
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Si consideramos un segmento de línea determinado por A y B dividido en diez partes
iguales, su distancia será AB= 10 unidades, si a partir de A contamos 6 divisiones y
colocamos otra letra C, AC será 6 partes.
¿Cuántas unidades tiene la distancia BC?
BC será igual a AB- AC, esto es 10-6=4, BC= 4
De otra manera si X2 = 10 y X1 =6 BC= (X2 - X1)
Al colocar dos puntos en el sistema de coordenadas rectangulares su ubicación será
P(X1 – X1) y Q(X2 – X2).
La distancia entre esos dos puntos A y B viene dada por la fórmula:
¿Cuántas unidades tiene la distancia BC?
BC será igual a AB- AC, esto es 10-6=4
BC= 4
82
De otra manera si X2 = 10 y X1 =6 BC= (X2 - X1)
Al colocar dos puntos en el sistema de coordenadas rectangulares su ubicación será
P(X1 – X1) y Q(X2 – X2).
Si desea encontrar la distancia que hay entre ellos, observando la figura siguiente
puede hallarse la relación necesitada.
Demostración
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.
La distancia entre los puntos P1y P2 denotada por d = está dada por:
(1)
En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el
segmento de recta
Figura 1
Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y
(ordenadas), éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo
P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:
Pero: ;
83
y
Luego,
La distancia entre esos dos puntos A y B viene dada por la fórmula:
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la
distancia queda determinada por la relación:
(1)
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el
sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y
emplear el Teorema de Pitágoras.
Ejemplo:1
Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)
d = 5 unidades
84
1. Determinar si cuatro puntos dados forman un cuadrilátero y de qué tipo Situamos los puntos A (-2, -3), B (-1, 3), C (4, -2) y D (5, 4) en un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.
Vamos a demostrar que el cuadrilátero ACDB es un rombo. Para ello, calculamos la longitud de uno de sus lados. Aplicando la fórmula, tenemos:
Así pues, d(A, C) = d(C, D) = d (D, B) = d (B, A), es decir, los cuatro lados del cuadrilátero ACDB tienen la misma longitud, por tanto, es un rombo.
2. Determinar si tres puntos dados forman o no un triángulo
rectángulo
Situemos los puntos A (2, -5), B (0, 3) y C (-3, 0) sobre un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.
85
Vamos a demostrar que el triángulo es rectángulo. Para ello, calculamos la longitud de cada uno de sus lados. Aplicando la fórmula, tenemos:
Comparamos d (B, A)² y d(C, B)² + d(A, C)².
y .
d(B, A)² = d(C, B)² + d(A, C)², por tanto, el triángulo tiene un ángulo recto en C de acuerdo con el teorema de Pitágoras. para calcular el área de un triangulo que se conocen las coordenadas de los vértices por determinantes se puede calcular con la formula:
A = ½( x1y2 + x2y3 + x3y1-x3y2 - x2y1 – x1y3)
1.- Distancia entre P(2,1) y Q(6,5)
2.- Distancia entre L(-2,3) y M( ,-5)
3.- Distancia entre S(-1,3) y T(-3,-2)
4.- Demostrar que los puntos D(2,-2) E(-8,4) y F(5,3), son los vértices de un triangulo
rectángulo. Se hace una grafica con los datos conocidos.
5.- Si es un triangulo rectángulo se debe satisfacer el teorema de Pitágoras sabiendo
que el lado mayor siempre es la hipotenusa.
Actividad: Resolución de problemas
86
COORDENADAS DE UN PUNTO QUE DIVIDE A UN SEGMENTO EN UNA RAZON
DADA
Las fórmulas son: y
Hallar las coordenadas del punto P que divide el segmento con extremos A (2,5) y B (8,-1)
A (2,5)
B (8,-1)
r= ⅓
P= (3.5, 3.5)
1- Encontrar las coordenadas del punto Q(x, y) que divide al segmento determinado por los puntos P (2,1) y R (7,6) en una relación r = ¼.
Actividad: Resuelve los siguientes problemas:
Cuando la relación r es negativa, el punto Q se encuentra fuera del
segmento de recta pero la referencia siempre será el punto numerado con
(X1 – Y1).
87
2- Encontrar las coordenadas del punto Q(x,y), que divide al segmento de recta
determinado por L(-4,-1) y M(6,4) en una relación r = 2/3
3- Si se divide al segmento LM en cinco partes iguales la distancia LQ abarca dos y
QM abarca tres, por la relación r dos a tres.
4- En cualquier caso si cambiamos el orden dado a los puntos extremos cambia la
posición del punto Q que divide el segmento en dos partes pero la referencia
será el punto que se numero con uno (x, y).
5- Dada una relación r= -2/5, encuentre las coordenadas del punto que divide al
segmento determinado por A (1,1) y B (4.-2) en la razón anterior.
6- Efectúe los siguientes ejercicios encontrando las coordenadas del punto que
divide un segmento de recta en las relaciones dadas:
a) P (-3, 1) R (5, 5) r = 1/3
b) S (8, 1) T (5,-4) r = -2/7
c) ß (-2,-3) N (5, 2) r = 2/1
PUNTO MEDIO
Las fórmulas son: y
Este es uno de los temas más simples de la Geometría Analítica, tan sencillo y tan lógico que puedes preguntarle a un bebe de preescolar cuál es la mitad de una cuerda estirada -en forma semejante a una recta- y seguro que te indicará el punto medio, sin embargo ¡no hay de otra! ¡veámoslo!
El punto medio es la mitad de la recta que se forma entre dos puntos. Así de fácil.
Tienes dos puntos en un sistema rectilíneo (una sola dimensión) y quieres encontrar el punto que está colocado exactamente a la mitad entre los dos, a este punto se le llama: Punto Medio.
88
Veamos un “raro” ejemplo para no fomentar el aburrimiento.
Sean dos bebes sumamente molestos porque nadie les da su chupón.
Uno está a 3 Mts. del chupón y el Otro está a 2 Mts. de él pero en la dirección contraria. Tú quieres tranquilizarlos y les hablas colocándote exactamente en el punto medio entre ambos. ¿Cuál es la coordenada en la que estás?
1. ¡¡¡OBVIOOO!!!Seguro que contarás los segmentos y concluirás que el punto medio está exactamente entre el chupón y el uno positivo, o dicho de otra manera estás en el Punto Medio cuya coordenada es: 0.5, o bien ½.
Pero bueno… construyamos una regla que pueda servir tanto para este caso como para aquellos en donde sea muy lento contar “rayitas” es decir, cuando los puntos se encuentren más alejados uno del otro. Te doy tres minutos para construirla…
Calcular el Punto Medio de una recta es bastante sencillo, así se trate de un sistema bidimensional. En este caso simplemente forma un triángulo rectángulo –igual que debes haberlo hecho en otras ocasiones- y proyecta los catetos hacia cada uno de los ejes.
Veamos un ejemplo.
Dos hormiguitas (igual pueden ser dos planetas, dos personas, dos autos, dos galaxias) salen de su residencia (en este caso un agujero) y se disponen a tomar el Sol colocándose a unos cuantos centímetros de él, tal como se muestra en la figura. Una tercera hormiguita no quiere alejarse mucho de su “casa” y se acomoda exactamente en el punto medio de la recta que se forma con las otras dos. ¿Cuáles son las coordenadas del dichoso lugar (Punto medio) en donde se colocó la última hormiguita?
89
Evidentemente la “casa” de la hormiguita es el punto de referencia, por lo tanto ahí colocaremos nuestro punto de origen de un Sistema Coordenado Cartesiano.
Proyectando los catetos del triángulo rectángulo que se forma hacia sus respectivos ejes simplemente calculamos el Punto Medio para cada caso.
Aplicando la fórmula
X =(x1+x2)/2 = (-3+1)/2 = -2/2 = -1 Y =(y1+y2)/2 = (-2+3)/2 = 1/2 = .5
Entonces las coordenadas del Punto Medio son:
P.m. (-1, 0.5) Cms.
¿Complicado?
Si en lugar de los dos puntos extremos tuvieras un Punto medio y un punto extremo y quieres determinar el otro punto extremo solo aplica las siguientes fórmulas:
X1=(2)(Pmx)-X2 y Y1=(2)(Pmy)-Y2 obtenidas a partir de un simple despeje de las fórmulas para el punto medio y con ello obtendrás el punto en cuestión, por ejemplo:
Hallar las coordenadas de un punto extremo de un segmento que tiene su punto medio en: (4, 2) y el otro extremo es: (9, 5)
Solución.
X=(2)(4)-9=8-9=-1 Y=(2)(2)-5=4-5=-1
Por lo tanto, las coordenadas del otro punto extremo del segmento son: (-1, -1)
Bien, te dejo algunos ejercicios para que practiques solo por divertirte…
Dos objetos están colocados en las siguientes coordenadas.
P1(-2,3); P2(6,9) P1(2,-3); P2(4,3) P1(-1,6); P2(7,3)
Actividad: Resuelve los siguientes problemas:
90
P1(-6,0); P2(2, 4) P1(0,4); P2(2, 7) P1(8,2); P2(2, 3) P1(0,0); P2(4, 4) P1(-2,2); P2(2, 2) P1(6, 4); P2(-6, 5)
Únelos y encuentra en todos los casos el Punto Medio, aplicando las fórmulas utilizadas para resolver el problema de las hormiguitas.
Determine el área de un triángulo formado por los puntos medios de los lados de un triángulo ABC cuyos vértices son los puntos: A (5,0), B (1,6), C (9,4).
→D (3,3)
→E (5,5)
→F (7,2)
Area=
1.- Encontrar el punto medio Q(x,y) del segmento de recta, que determinan los puntos
P (2,3) y R(7,5)
2.- Encuentre el punto medio entre los puntos L(-y,-3) y M(-2,5) y haga su gráfica.
Actividad: Resuelve los siguientes problemas:
91
Punto de intersección
¿Podemos determinar el punto de intersección de dos rectas?
Si, es bastante fácil determinar donde se cruzan dos rectas. Cuando decimos que dos rectas se cruzan queremos decir que tienen un punto en común. Este punto verifica las ecuaciones de ambas rectas. El problema reside en encontrar ese punto. Supongamos que tenemos las ecuaciones de dos rectas:
Recta 1:
recta 2:
Si existe un punto (xi, yi) compartido por ambas rectas, entonces las ecuaciones:
serán ciertas. Despejando yi tenemos:
de donde podemos extraer el valor de xi:
Llevando este valor a la ecuación de la recta 1 o 2 tenemos:
Por lo tanto, el punto de intersección tendrá por coordenadas:
92
Es importante señalar que dos rectas paralelas tendrán la misma pendiente. Ya que tales rectas no se intersecan, no es extraño comprobar en la expresión anterior que los denominadores se anulan, impidiendo la solución del problema.
Puntos en cualquier posición
Para poder ubicar un punto en un espacio de dos dimensiones se necesita un sistema
de referencia y en y en este caso el utilizado se llama SISTEMA DE COORDENADAS
RECTANGULARES.
Este sistema consta de dos líneas perpendiculares que se cruzan, llamándose cada
una EJE COORDENADO.
Al cruzarse ambos ejes dividen al plano en cuatro partes iguales que se llaman
cuadrantes.
Uno de los ejes debe ser horizontal, determinándose como EJE DE LAS ABCISAS, sus
sistemas se determinan por X´X.
El eje vertical se llama EJE DE LAS ORDENADAS y se indica por Y´Y.
Al punto donde se cruzan ambos ejes se llama ORIGEN.
A la derecha del origen y sobre el eje de las abscisas se tiene el sentido positivo (+) y
a la izquierda el sentido negativo (-).
Así mismo sobre el eje vertical o de las ordenadas y partiendo del origen está el
sentido positivo (+) y hacia abajo el negativo (-).
Cada eje se divide en espacios iguales que reciben el nombre de unidades.
Para determinar un punto en este sistema se necesitan dos cantidades, que
determinan las unidades sobre cada eje.
NOTACION PUNTO K(X, Y)
Ejemplo: Localizar A (3,5) B (-4,2) C (-
2,-3) D (5,-2)
93
Angulo de intersección y pendiente de una
recta
Su fórmula es:
Calcular la pendiente de la recta que pasa por el origen y que tiene un ángulo de inclinación de 60°
Calcula la pendiente y el ángulo de inclinación del segmento definido por los puntos A (5,3) y B (-2,-5).
La pendiente de una línea recta es positiva cuando el ángulo de
inclinación está entre 0 y 90°, y es negativa cuando está entre 90
y 180°
94
Conceptualización
Euclides en su tratado denominado Los elementos establece varias definiciones relacionadas con la línea y la línea recta:
Una línea es una longitud sin anchura (Libro I, definición 2).
Los extremos de una línea son puntos (Libro I, definición 3).
Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella (Libro I, definición 4).
Pendiente: Se va a llamar así a la longitud del ángulo de inclinación alfa y se va a
indicar con m.
Segmento: es la porción de recta comprendida entre dos puntos denominados
extremos.
Distancia: es el valor absoluto de un número a y de representa como a y simboliza la
distancia que existe entre el 0 y el número en cuestión. Su resultado siempre es
positivo
Aplicación de fórmulas
1.- Encontrar el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos P (3,2) y R (3,-4)
con el eje X X´.
Encontrar el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos P (3,2) y R (3,-4) con el
eje X X´
2.-Encontrar el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos A (-2,3) y B (1,-3)
con el eje de las abscisas.
3.- encuentra la ecuación de la recta que pasa por:
a) (2, -4) y tiene m= 5
Actividad: Resuelve los siguientes problemas:
95
b) (9, 8) y (3, 9)
c) (1, -8) y tiene pendiente m= 1/3
d) (4, 3) y (1/2 -2/9)
4.- En las siguientes ecuaciones de la recta identifica los valores de m y b
a) 3x + 8y – 9 = 0
b) x – y + 8 = 0
c) 3x – 4y = 0
5.- Convierte las siguientes ecuaciones en su forma simétrica y grafícalas.
a) – 10x – 7y + 35 = 0
b) 8x – 3y + 24 = 0
c) 9x – 6y + 18 = 0
d) – 4x y – 4 = 0
6.- Convierte en su forma general las siguientes ecuaciones.
a) Y = 2x – 8
b) y = - 4x + 7
7.- Una empresa produce cierta cantidad de refrigeradores por mes, de acuerdo con la
siguiente tabla:
Mes Cantidad
Enero 80
Febrero 90
Marzo 100
Abril 110
Mayo 120
Junio 150
Julio
Agosto
Septiembre
Octubre
Noviembre
diciembre
96
a) Traza la grafica que representa la producción en el primer semestre.
b) ¿Qué cantidad debería producirse en Junio para que se comporte como una
función lineal?
c) ¿Cuántos refrigeradores esperaríamos producir de julio a Diciembre?
d) ¿Qué ecuación representa este enento?
Angulo entre dos rectas
De dónde sacó don René la fórmula:
Tg(a)=(m2-m1)/(1+m2m1)
¿La soñó, o le cayó una manzana y le nació la idea como a Newton?
En realidad no es complicado saber cómo llegó don René a la fórmula anterior, solo se basó en los conocimientos de “Fulano de tal” su antecesor, cuando inventó la identidad:
TgΘ = Tg(α2–α1) =
[tgα2–tgα1]/[1+tgα2 tgα1]
A la cual llegaremos partiendo de nuestro problema particular con la relación:
Ángulo a = ángulo b menos ángulo c, o expresado con literales:
97
a = b – c.
Con qué ángulo se cortan dos rectas? Veámoslo mediante un ejemplo práctico.
Dos aviones siguen durante cierto tiempo trayectorias rectilíneas definidas por las siguientes ecuaciones:
Y=3X+1 Y=X- 1
Hallar su ángulo de intersección.
Si recuerdas ya vimos algo semejante en el (dos caminos que se cruzan) solo que ahí buscábamos el punto de cruce (intersección) entre ambas rectas, en este caso podríamos hacer lo mismo, pero además buscamos el ángulo con que se cruzan ambas trayectorias. Procedamos…
Grafiquemos las dos ecuaciones
Graficar es simple, recuerda que solo tienes que asignar valores arbitrarios a X ¿Cuáles? Los que se te pegue la gana. Con esto obtendrás valores para Y. ¡Claro! si asignas un valor a la X por ejemplo de 1,000, entonces tendrás que hacer circo, maroma y teatro para acomodar este valor de X en tu sistema coordenado e igual para el que resulte de Y junto con otros valores pequeños que asignaras X. Las rectas resultantes son las trayectorias de los aviones.
Si por el punto de intersección trazas una paralela al eje X, obtendrás los ángulos b, y c. El ángulo a es el que buscamos.
98
Analiza los ángulos b y c. Te pregunto ¿el ángulo a se puede obtener a partir de los ángulos b y c?
Supongo que concluiste que SÍ, que el ángulo a se puede obtener restando el ángulo c al ángulo b. Pero… ¿y cómo podemos obtener los ángulos b y c?
Con las ecuaciones “acomodadas” de la forma Y=mX+b, la pendiente es el número que acompaña a la X, técnicamente llamado: coeficiente de X.
Aplicando este criterio tenemos que: Si Y=3X+1 entonces m=3; Si Y=X-1 entonces m=1
Pero también sabemos que m=tg (α), o escrito de otra forma para el ángulo b sería m=tg (b), por lo tanto: b = tg-1(3) = 71.56º, también para la otra ecuación c = tg-1(1) = 45º
Bien… ya conocemos los ángulos b y c, solo queda hacer una modesta resta para obtener el ángulo a.
Ángulo a = Ángulo b – Ángulo c = 71.56º – 45º = 26.56º
¡¡¡OKKK!!!
Pero también existe otra forma de hacerlo utilizando una fórmula inventada por don René Descartes:
Tg (a) = (m2-m1)/(1+m2m1)
Sustituyendo datos nos queda:
Tg a = (3-1)/(1+3×1) = 2/4 = 0.5, entonces: Tg a= 0.5, despejando a queda:
a = Tg-1(0.5) = 26.56º
¡¡Exactamente igual!!
Si aplicas el primer razonamiento (restando ángulos) debes tener cuidado para interpretar correctamente los ángulos resultantes. Aplicando la fórmula de René Descartes, podrás obviar algunas cosas.
1.- Calcula el ángulo entre la rectas l1 y l2 ; considera que sus pendientes son:
a) m1 = 8 y m2 = 8
Actividad: Resuelve los siguientes problemas:
99
b) a) m1 = 1/8 y m2 = 8
2.- Responde a las siguientes preguntas y justifica tus respuestas.
a) ¿Qué ángulo forman dos rectas paralelas?
b) ¿Qué ángulo forman dos rectas perpendiculares?
3.- Investiga y realiza un breve resumen sobre el tema de determinantes. ¿Cómo se aplican? y ¿Cómo se resuelven?
4.- Formen equipos de 5 alumnos comenten su investigación y expliquen al terminar una síntesis de los acuerdos y conclusiones a que llegaron, nombren un representante para exponer frente al grupo la información.
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
Sean l1 y l2 1 2 respectivamente. Al cortarse las rectas l1 y l2 forman cuatro ángulos iguales de dos en dos, 1 2 1 – 2 1 2 = 1800 - 1.
..
Se define el ANGULO entrel1 y l2como el ángulo positivo obtenido al rotar la recta l2 hacia l1. En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado por:
1 1 - 2 (1)
El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas.
De la igualdad (1) se tiene:
1 1 - 2)
100
, (2)
También,
1 1 - 2)
, (3)
Puesto que m1 1 y m2 2 , entonces las igualdades (2) y (3) podemos escribirlas en la forma:
1 , (2)’
1 , (3)’
1, entre las rectas l1 y l2 en términos de sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre rectas, como la afirma el siguiente teorema.
TEOREMA (Condiciones de Perpendicularidad y Paralelismo)
Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces: i) l1 es paralela a l2 (l1 || l2) m1 = m2
ii) l1 es perpendicular a l2 (l1 l2) m1. m2 = -1
Demostración
Ver en la siguiente tabla donde aparece ilustrada cada una de las situaciones
101
i. Suponga que l1 || l2 y vea que m1 = m2. En efecto, como l1 ||l2 1 2 son iguales por correspondientes y
1 2, es decir, m1 = m2. Ahora, si m1= m2, 1 1 1 - 2 = 0, de donde
1 2 y por lo tanto l1 y l2 son paralelas.
ii. Si l1 y l2 son perpendiculares, entonces 1 = cot Sustituyendo
este último valor en (3)’ obtenemos: 0 , de donde m1. m2 + 1 = 0, y de aquí se deduce que m1. m2 = -1.
Recíprocamente, si m1. m2 = -1, entonces y como m2 2 y m1 1 ,
se tiene que , donde sin pérdida de generalidad hemos escogido la recta l1 1 1 como
2 son ángulos positivos y menores que 18001 = 900 2, de
1 – 2 = 900 y por lo tanto las rectas l1 y l2 son perpendiculares.
Observaciones
i. Si las rectas l1 y l2 están dadas por las ecuaciones en forma general Ax + By + C = 0
y A1x + B1y + C1 = 0 puesto que y , entonces las condiciones de paralelismo y perpendicularidad del teorema pueden enunciarse en la siguiente forma:
l1 || l2
102
l1 l2
Un caso especial del paralelismo entre rectas es la coincidencia. Una condición nece- saria y suficiente para que dos rectas l1 y l2 sean coincidentes es la proporcionalidad entre sus coeficientes. Es decir, las rectas de ecuaciones Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 son coincidentes
La pendiente de una recta desempeña un papel fundamental cuando se comparan dos rectas para saber si son paralelas o perpendiculares. Estas condiciones se conocen como criterios de perpendicularidad y paralelismo.
2 rectas ( y ):
a) Son perpendiculares si sus pendientes son iguales, es decir, si .
b) Son perpendiculares si la multiplicación de sus pendientes es igual a -1 o
sea o bien .
Ejemplo:
Una recta pasa por los puntos A (2,3) y B (3,5) y otra pasa por los puntos C (-2,-1) y por D (4,11). Comprueba si son paralelas.
Los resultados son iguales, esto quiere decir que sí son paralelas.
103
1.- Localiza a los siguientes puntos en un plano cartesiano:
a) y = - x + 8
b) y = 2x – 9
2.- De los siguientes triángulos encuentra:
El perímetro
El área
Los ángulos interiores
Los puntos medios de sus lados
La longitud de las medianas a) A(2, - 2), B(4, 4), C(-2, 2) b) A(5, - 1), B(- 7, 1), C(- 1, - 3) c) A(- 2, - 2), B(2, - 3), C(- 1, 2) d) A(4, - 8), B(- 2, 6), C(-8, 4)
3.- Calcula el valor de la pendiente y el ángulo de inclinación de las rectas que pasan por los puntos:
a) (-3, 8), (7, - 2)
b) (5, 1), (-3, -3)
4.-Encuentra las coordenadas del punto P(x, y) que divide el segmento dado por los puntos.
a) P (8, - 3) Q (-9, 7) r = 8/9
b) A (-9, -3) B (0, 4) r = 5/7
c) M (4, 7) N (-4,17) r= 2
5.- Se tiene un pentágono cuyos vértices son:
A (-2, 2)
B (-3, -2)
C (0, -4)
D (5, 1)
E (2, 3)
Actividad: realiza lo que se te indica.
104
UNIDAD V
LINEA RECTA
UNIDAD DE COMPETENCIA
Estructurar los distintos registros de representación (verbal, algebraico, tabular y gráfico), de la ecuación de la recta a través del descubrimiento de las relaciones implícitas a cada uno de los registros mencionados, para aplicar distintas heurísticas en la resolución de un problema, fomentando una actitud crítica y colaborativa entre sus compañeros, para el debate y consenso de ideas.
En geometría Euclidiana, la recta o línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos punto; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.
Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.
SITUACION DIDACTICA
Los datos estadísticos del país arrojaron que el índice de mortalidad es la diabetes,
cáncer intrauterino e hipertensión arterial. Investiga con qué porcentaje contribuye tu
localidad e infiere tus respuestas con respecto a las demás entidades.
105
FORMACION DE LA ECUACION DE LA RECTA
Geométricamente, una recta es la distancia más corta entre dos puntos.
Gráficamente, puede verse como un conjunto de puntos, uno detrás de otro, tales que si se toman dos de ellos cualquiera y del lugar geométrico, la
pendiente es la misma.
Analíticamente, es una ecuación de 1er. Grado o lineal con dos variables de la forma .
Forma Punto- Pendiente
Cuando la pendiente de una recta es positiva, entonces el ángulo que forma con el eje x es menor a 90°.
Y en caso de que la pendiente sea negativa, entonces el ángulo que la recta forma con el eje x es mayor de 90° aunque nunca llega a los 180°.
106
Las ecuaciones son: para cuando se conoce un punto y m:
Y
Y para cuando se conocen dos puntos:
Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (3,2) y B (-1,-4)
Y – Y1= Y2 – Y1 (X – X1)
X2 – X1
Y – 2= -4 – 2 (X – 3)
-1 – 3
*Nota: si la pendiente es negativa, al expresarla como fracción tú puedes decidir si el
signo menos (-) va en el denominador o en el numerador, en ese caso si el
denominador es negativo ( ) entonces te moverás hacia la izquierda del punto, y si
el numerador es negativo ( ), entonces deberás moverte hacia abajo.
107
Y – 2 = -6/-4 (x – 3)
Y – 2 = 6/4x – 18/4
Y = 6/4x – 18/4 + 2
Y= 6/4x – 28/4
(5/3,0) (0,-5/2)
Ejemplo: Los puntos C (-4,-3) y D (2,6) se encuentran sobre una línea recta, encuentre
su ecuación.
Y – Y1 =Y2 – Y1 (X – X1)
X2 – X1
Y – (-3) = 6 – (-3) (X – (-4))
2 – (-4)
Y + 3 = 9/6 (x + 4)
Y= 9/6x 3/6 – 3/1
Y= 9/6x + 18/6
Y = 9/6x + 3
6(y + 3)= 9(x + 4)
6y + 18 = 9x + 36
9x + 6y +18 -36 =0
9x + 6y -18 = 0
108
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, y represéntala en una
grafica
1. (-2, 4) (5, -1)
2. (5, 4) (-1, -3)
3. (-3, -4) (5, 1)
Forma general
LA ECUACION EN LA FORMA GENERAL (AX + BY + C = 0)
La ecuación general de una recta es una expresión de la forma Ax+By+C=0, donde A, B y C son números reales.
En forma general todos los términos se encuentran en un solo lado, no hay fracciones y esta igualada a cero.
Ejemplo: 2x -4y – 10 = 0
La pendiente de la recta es el coeficiente de la x una vez puesta en forma explícita (es decir, despejada y):
1. La ecuación general de una recta es 2x-3y+6=0. Calcula la pendiente de la recta.
2. Calcula el valor de k para que la ecuación de la recta kx+3y-9=0 tenga por pendiente m=-1.
Actividad: Hallar el ángulo que forma la recta que pasa pos dos puntos
dados en cada inicio, con el eje de las abscisas y representar los
ángulos en cada caso.
Actividad: Resuelve los siguientes problemas:
109
FORMA EN FUNCION DE LA PENDIENTE Y LA ORDENADA AL ORIGEN
Cartesianas. Por las propiedades de los puntos que definen a la línea dada, se puede hallar la relación en tres coordenadas x u y de sus punto y expresar la línea por una ecuación que relacionan las coordenadas (x, y) de sus puntos.
El caso más simple es aquel en que los puntos trazados están sobre una recta. Si las dos cantidades relacionadas son “X” u “Y”, la relación entre ellas se expresan por una ecuación de primer grado:
Y = mx + b
donde:
y: Es la ordenada de un punto sobre una línea recta
x: Es la abscisa del mismo punto
m: Es la pendiente de la línea recta
b: Ordenada al origen
Ejemplo:
La ecuación Y = 3x + 6 representa una línea recta, indicar en una grafica por
donde pasa.
Procedimiento:
1. Se hace “x” igual a cero y se busca el valor de “y” y= x=0 mx + b
y = 3(0) +6 y = 3(0) + 6
y = 0 +6 = 6 y = 0 + 6 = 6 y(0,6)
se obtiene el punto (0,6)
2. Se hace “y” igual a cero y se despeja el valor de “x” y = 0
0 = 3x +6
- 6 = 3x
- 6/3 = x = -2
110
Se obtiene el punto (-2,0)
3. Se localizan los puntos anteriores sobre los ejes coordenados y se traza la línea recta.
1.- Identifica por simple observación cuáles son los valores de m y b en las siguientes ecuaciones.
a) y = 2x – 8
b) y = -x + 9
c) y = -8x
2.- Encuentra los valores de m y b en las siguientes ecuaciones.
a) x – 2y + 8 = 0
b) -4x -8y -7 = 0
c) 5x – 4y = 0
d) 12x – 9y + 8 = 0
FORMA SIMETRICA
Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica)
Así como a la ordenada al origen se le puede llamar , a la abscisa al origen se le
puede llamar . Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta,
conocidos y (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los
cuales son los siguientes:
y
Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:
Actividad: Resuelve los siguientes problemas:
111
Después se sustituye en la ecuación , usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0):
Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente :
Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos.
Ejemplo:
1.- Para encontrar la ecuación general de la recta si se sabe que a = - 2 y b = 8
Sustituyendo en la formula:
+ = 1
+ = 1
Para convertirla en su forma general multiplicamos toda la ecuación por m.c.d. que es 8
( + = 1)8
+ = 8 simplificando:
112
- 4x + y = 6
La ecuación en su forma general queda:
- 4x + y – 6 = 0
1.- cambiar a su forma general la ecuación simétrica de la recta + = 1
Discusión de la forma general
Transformación de la recta en su forma general a su forma simétrica
2x – 5y - 10 = 0
Igualamos a 10
2x – 5y = 10
Dividimos toda la ecuación entre 10
2x/10 – 5y/10 = 10 /10
Reduciendo
+ = 1 de donde sabemos que a= 5 y b = 2
Se grafica
Actividad: Resuelve los siguientes problemas:
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DISTANCIA DE UN PUNTO EN UNA RECTA
¿Que cómo lo hizo don René Descartes?
¡Bah! Como no tenía nada más importante que hacer (debes saber que en el año 1620 (±) no había computadoras, internet para “chatear”, cine, “discos”, y demás distractores comunes de la actualidad), entonces inventó una fórmula (¡Bendito Dios!) para calcular más fácil, rápidamente y con precisión (sin reglas, escuadras ni compás) la distancia de un punto a una recta. Es la fórmula que te muestro a continuación.
Pero… ¿Cómo interpretarla? ¿Quién demonios es A, B y C? y ¿quién es X e Y? ¿Y qué con las dos barritas verticales que encierran al numerador?
A, B y C, son los coeficientes de la ecuación general de la recta hacia la cual quieres determinar la distancia (la pared). X e Y son las coordenadas del punto desde el cual quieres calcular la distancia (o sea tu persona); las dos barritas verticales que encierran al numerador indican un valor absoluto, es decir que no importa el signo del resultado de la operación.
Para nuestro caso tenemos el punto: P(1, 6) y la recta: y=x-2, entonces…
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Primero convirtamos la ecuación y=x-2 que está expresada de la forma y=mx+b, a la forma Ax+By+C=0 (forma General de la ecuación de una recta). Para hacerlo simplemente “pasamos” todos los términos del lado izquierdo del signo igual.
y=x-2, trasponiendo y reacomodando términos quedaría…
-x+y+2=0; por lo tanto: A=-1; B=1 y C=2
Y del punto P(1, 6); x=1; y=6; sustituyendo en la fórmula quedaría:
d= |(-1)(1)+(1)(6)+2| / ±√[(-1)2+(1)2] d = |-1+6+2| / ±√[1+1] d =|7| / ±√2 d = 7 / ±1.4142
d = 4.94 Unid. (Metros, centímetros, kilómetros o lo que se te pegue la gana en unidades de longitud).
Exactamente lo mismo que con el procedimiento descrito en los temas anteriores
Distancia de un punto a una Recta
Si alguien te preguntara ¿Cuál es la distancia de ti hacia la pared más próxima, contestarías midiéndola en línea recta hacia qué punto de ella?
Lo cierto es que cuando se trata de distancias el que pregunta (o contesta) debe ser muy claro en su cuestionamiento (o respuesta), porque no es igual medirla de ti al punto más alto de una pared, o al más bajo o hacia un lado o hacia otro.
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Si el que te pregunta no especificara el lugar de la pared al que quisiera saber la distancia, entonces, lo más lógico es medirla en línea “recta” al punto de la pared más cercano a ti.
Entonces, de la figura… ¿Cuál de las tres rectas determina la distancia de la persona a la pared mostrada?
Evidentemente la recta dos.
Ahora bien, la recta 2 tiene una característica “especial” respecto de las demás, es PERPENDICULAR de la pared hacia ti (o viceversa). Entonces, cuando se trate de medir físicamente la distancia de una persona hacia una pared de la cual no se especificó ningún punto, la medición debe hacerse siempre en forma perpendicular.
Todo lo anterior expresado “matemáticamente” significaría que:
La distancia de un punto a una recta siempre tiene que medirse en forma perpendicular a los objetos a los que se hace referencia.
Y si la pregunta fuera… ¿Cuál es la distancia de tu cabeza a la pared? Obvio, tendrías que trazar una perpendicular de la pared hacia tu cabeza.
Y si la pregunta fuera… ¿Cuál es la distancia de tu rodilla a la pared? Obvio, tendrías que trazar una perpendicular de la pared a tu rodilla
Conceptualización
Euclides también estableció dos postulados relacionados con la línea recta:
Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta (Libro I, postulado 1). Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la
suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado (Libro I, quinto postulado).
Características de la recta
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Haz de rayos
Se le llama rayo o semirrecta a cada una de las dos partes en que queda dividida una
recta al ser cortada en cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada
por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta,
denominado origen, a partir del cual se extiende indefinidamente en una sola
dirección.2.
Algunas de las características de la recta son las siguientes:
La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos. La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría
euclidiana. La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos
planos.
Aplicación de la formula.
1.- Encontrar la ecuación general de la recta paralela a 3x – 4y + 12 = 0 que pasa por el punto (4, -8)
2.- Encontrar la ecuación de la recta perpendicular a x – 3y +3 = 0 que pasa por el punto (-3, 3)
3.- Encontrar la distancia entre las rectas:
a) -4x + 9y – 12 = 0 y -4x + 9y + 8 = 0
b) 5x + 8y + 1 = 0 y 5x + 8y + 4 = 0
c) x + y - 8 = 0 y - x - y + 9 = 0
d) 5x – 8y – 4 = 0 y -5x + 8y + 4 = 0
3.- Calcula la distancia que hay de la recta a el punto.
a) -2x + 5y – 7 = 0 ; (8, 10)
b) 4x + 3y – 9 = 0 ; (-3, 7)
c) -3x – y + 8 = 0 ; (5, 1)
Actividad: Resuelve los siguientes problemas:
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4.- Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y perpendicular a la
línea recta indicada en cada caso.
a) M (3,1) y = 3x + 4
b) N(2,-1) y = - 4/3 – 4
BIBLIOGRAFIA
Geometría y Trigonometría, Francisco José Ortiz Campos. Publicaciones Cultural Geometría Plana y del Espacio,J. A. Baldor.Cultural Centroamericana, S. A. Guatemala, C.A. Geometría y Trigonometría, Abelardo Guzmán Herrera.Publicaciones Cultural Geometría Analítica, Paúl R. Rider. Ed.Montaner y Simón, S. A.Barcelona Geometría Analítica, Charles H. Lehman. Ed. Limusa, S.A. de C.V. Geometría Analitica, Frederick H. Steen, Edit. Cultural Geometría Analítica, Elena de Oteyza, Edit. Pearson Geometría Analítica, Miguel A. Martínez Aguilera Edit. Mc. Graw Hill Matemáticas Arturo Méndez Hinojosa editorial Santillana Matemáticas III, Geometría Analítica , Benjamín Garza Olvera, Dirección General de Educación., Sep.
↑www.euclides.org: Los Elementos[1]
Weisstein, Eric W. «Ray» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
↑Wooton, William. Geometría Analítica Moderna. México 1979. P.p. 90
Enlaces externos
Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
Wikcionario tiene definiciones para recta.
Weisstein, Eric W. «Line» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
La Recta (Español)