İşaret ve sistemler - bilecik Şeyh edebali...

İşaret ve Sistemler

Ders 10: Sistem Cevabı

Sistemin İmpuls Cevabı

Lineer, zamanla değişmeyen bir sisteme v(t)

işaretinin uygulandığını düşünelim. v(t) işareti

lineer, zamanla değişmeyen bir sisteme

uygulandığında çıkış işareti bilinmiyorsa, sistemin

lineerlik özelliğini kullanabiliriz.

Lineerlik özelliğinden, giriş işaretini basit

işaretlere ayrıştırırız. Bu basit işaretler ayrı ayrı

sistemin girişine uygulandığında, sistemin her bir

girişe cevabı bilindiğinden, sistemin girişe cevabı,

bu bilinen çıkışların toplamı olacaktır.

İşaret ve Sistemler 2


v(t) işaretini Fourier Serisi veya Fourier Dönüşümü ile

fazörlerin veya sinüzoidal işaretlerin toplamı şeklinde

yazarsak;

Trigonometrik Fourier serisi,

Üstel Fourier serisi,

v(t) =


n

nonono tnwnSiBtnwCosAAtv

1

)(.)(.)(

2/

2/

0

0

).(10

T

To

dttvT

A

2/

2/

0

0

.).(2T

To

o

dttCosnwtvTnA

2/

2/

0

0

.).(2

T

T

o

o

dttSinnwtvT

nB

n

nn

tjnwec 0.

2/

2/

0

0

0).(1T

To

dttjnw

tvT

ecn


Fourier ve ters fourier dönüşümleri ise,

,

formülleriyle gösterilebilirler. v(t) işareti Fourier serisi

açılımı ya da Fourier dönüşümü ile basit üstel

fonksiyonların toplamı olarak ifade edilebilir.

Herhangi bir v(t) işareti, impuls işaretlerinin toplamı

olarak ifade edilebilir.


dfjwt

fVtv e).()(

dt

jwttvfV e).()(


İmpuls işaretinin örnekleme özelliğini kullanarak,

herhangi bir v(t) işareti aşağıdaki şekilde yazılabilir.

Bir ifadenin limiti,

formülüyle ifade edilebilir.


dtvtv ).().()(

n

kkk

b

a

xfxLimdxxf

k 10

).().(

Sistemin İmpuls Cevabı Bu limit işlemini v(t) işaretine uygularsak;

ifadesi elde edilir.

Şekil 1: v(t) işaretinin ayrık işarete dönüştürülmesi


nnn tvLimtv )(].).([)(

0

v(t)

t

n

v()

Sistemin İmpuls Cevabı Bu ifadeye göre v(t), impuls işaretlerinin toplamının

limitidir. anlarındaki impuls işaretleri, limit

işlemini v(t) işaretine uygularsak;

genlik değerini almaktadır. İmpulsları genlik

değerleriyle gösterirsek Şekil 1’deki işaret Şekil 2’ye

dönüşür.

Şekil 2: v(t) işaretinin impuls işaretleriyle örneklenmesi


nt

).( nn vt

n

v() v(n).

Sistemin İmpuls Cevabı Böylece v(t) işareti, impuls fonksiyonlarının toplamı

şeklinde işareti edilmiş olur. Şimdi impuls işaretine

sistemin cevabını araştıralım:

Genel olarak lineer ve zamanla değişmeyen bir sistemin,

bir impuls işaretine cevabı, sistemin impuls cevabı

olarak tanımlanır ve şöyle tarif edilir:

Sistemin impuls cevabı (Impulse Response): Lineer ve

zamanla değişmeyen bir sistemin girişine anında

uygulanan impuls işaretine, sistemin t anında verdiği

cevap sistemin impuls cevabı olarak bilinir ve

ile gösterilir.


)( nv n

),( th


Sisteme anında uygulanan impuls, sistemin cevabı,

h(t,) ’ dur. Sistemin girişine uygulanacak v(t) işareti n

anlarında genlikleri olan impulsların toplamı

şeklinde ifade edilmişti. Sistemin bu impuls işaretlerine

cevabı lineerlik özelliği kullanılarak bulunabilir. Yani

v(t) girişine sistemin cevabı;

elde edilir.


LİNEER ZAMANLA

DEĞİŞMEYEN SİSTEM )( ),( th

).( nv

n

n thvLimty ),(].).([)(0

Sistemin İmpuls Cevabı Bu ifadede limit ve sonsuz toplam bir integralin tanımı

olduğundan ifade,

şekline dönüşür.

Zamanla değişmeyen sistem, başlangıç durumu sabit

tutularak, girişin zaman içinde geciktirilerek

uygulanması, çıkışında zaman içinde aynı şekilde

gecikerek elde edilen sistem olmasından dolayı, impuls

cevabı h(t,) ifadesinin t ve değerlerine ayrı ayrı

bağımlı olmayıp, aralarındaki farka, yani (t-)’ya bağlı

olması anlamına gelir.

İmpuls cevabı:


dthvty

),().()(

)(),( thth

Sistemin İmpuls Cevabı Böylece sistemin cevabı zamanla değişmeyen sistemler

için, olarak bulunur.

Bu integral Fourier özelliklerinde görülen katlama

(konvolüsyon) integralidir. Kısaca,

lineer zamanla değişmeyen sistemin çıkışı, girişine

konvolüsyona bağımlıdır.


dthvty

)().()(

Lineer Zamanla Değişmeyen

(LZD) Sistem

v(t) h(t) )(*)()(*)()().()( tvththtvdthvty

Örnek 10.1 ÖRNEK :

ÇÖZÜM:


Sistemin Transfer Fonksiyonu h(t) impuls cevabı bilinen bir sisteme, uygulanan

herhangi bir giriş işaretine sistemin cevabı konvolüsyon

ile bulunmaktadır.

Bir sisteme uygulanan impuls işaretine sistemin cevabı

birim impuls cevabı olarak verilmişti. Pratikte birim

impuls fonksiyonunu üretip sistemin impuls cevabı

bulunabilir. Bunun için ancak, Şekil 3’deki darbe

işaretinde gitmesiyle birim impuls işareti elde

edilebilir.

Şekil 3: İmpuls işaretini elde etmek için darbe işareti


V m(t)

1/V

V t

Sistemin Transfer Fonksiyonu Böylece sistemin birim impuls cevabı bulunabilir. Böyle

bir işaretin üretimi zor olduğundan bunun yerine daha

kullanışlı yöntemler geliştirilmiştir.

Sistemin çıkışı;

ifadesinin frekans düzleminde ifadesini bulmak için

Fourier Dönüşümü alınırsa;


dthmty )().()(

dtdthmdttytyF jwtjwt ee .].)().([.).()(

duduhmfYdudtut ujwe ..).().()(, )(

duuhdmfY jwujw ee .).(...).()(

Sistemin Transfer Fonksiyonu Sonuç olarak ifadesi

elde edilir.

Burada dikkat edilmesi gereken nokta çıkışın

spektrumunun, giriş ve transfer fonksiyonunun çarpımı

olmasına karşılık, sistemin bir çarpma devresi

olmamasıdır.

Bunun nedeni ise zaman düzlemindeki ifadenin yani y(t)

işaretinin Fourier dönüşümünü alarak bu ifadenin

bulunmasıdır. Dolayısıyla sistemi zaman düzleminde

düşünerek, frekanstaki çarpmanın zamanda konvolüsyon

olacağından aşağıdaki blok şema çizilebilir.


)().()( fHfMfY

H(f) M(f) Y(f)=M(f).H(f)

Sistemin Transfer Fonksiyonu İfadeden görüldüğü gibi M(f) ve H(f) ifadeleri sırasıyla

m(t) ve h(t)’in Fourier dönüşümleridir. Lineer zamanla

değişmeyen bir sistemin h(t) impuls cevabının Fourier

dönüşümü;

Yada

ifadesi ile tanımlanıp sistemin transfer fonksiyonudur.


dtththfH jwteF ).()]([)(

)(

)()()().()(

fM

fYfHfHfMfY

Sistemin Transfer Fonksiyonu

H(f) transfer fonksiyonu, Bazı koşullar altında sistemin

transfer fonksiyonu, H(s) transfer fonksiyonuyla da

tanımlanabilir. Sistemin transfer fonksiyonu, H(s)’den,

ifadesi elde edilir.

Bu eşitliğin geçerli olabilmesi için t<0 için h(t)=0 olan

yani nedensel sistemin olması gerekmektedir.


jwssHfH

)()(

Bir Devrenin Transfer Fonksiyonun

Bulunması Direkt yöntem veya dolaylı yöntem kullanılabilir.

Direkt Yöntem:

Her bir bobinin empedansı jWL,

Her bir kondansatörün empedansı

R direnç değeri R

Giriş işaret kaynağı ,

Çıkış değişkeni ,

Çıkış işaretini giriş işareti cinsinden yazarız.

Transfer fonksiyonunu bulmak için çıkışın girişe

bölümünü elde ederiz.


wCj

jwC11

)( fVi

)( fVo

)(

)()( 0

fV

fVfH

i


Bulunması Dolaylı Yöntem:

Lineer ve zamanla değişmeyen bir sistemin giriş işareti v(t)

ve çıkış işareti y(t) olsun. v(t) ile y(t) arasındaki ilişki

diferansiyel denklemlerden:

yazılır. Böyle bir sistemde n ≥ r olabilir. n. dereceden sistem

olarak isimlendirilir.

Türevin Fourier dönüşümü,

ifadesiyle verildiğinden, yukarıdaki giriş-çıkış ilişkisinin

fourier dönüşümü


)()()(

)()()()( 1

12

2

21

1

1 tvadt

tvda

dt

tvdatyb

dt

tydb

dt

tydb

dt

tydb o

r

rr

r

ron

n

nn

n

nn

n

n

)()()(

fXjwdt

txd k

k

k

F

Türevin Fourier dönüşümü,

ifadesiyle verildiğinden, giriş-çıkış

ilişkisinin fourier dönüşümü

elde edilir.

Çıkışın girişe oranı transfer fonksiyonuna eşit

olduğundan:


)()()(

fXjwdt

txd k

k

k

F

)(.)()()(.)()()(1

1

2

2

1

1 fVajwajwafYbjwbjwbjwb o

r

r

r

ro

n

n

n

n

n

n

ob

njw

nb

njw

nb

njw

nb

oa

rjw

ra

rjw

ra

fV

fYfH

2

)(2

1)(

1)(

1)(

1)(

)(

)()(


Bulunması

Transfer Fonksiyonunun Özellikleri

H(f) genellikle karmaşık bir fonksiyondur ve üstel

olarak;

olarak yazılabilir.

Transfer fonksiyonunun üç temel özelliği vardır. Bunlar;

1. Genlik spektrumu çift simetri,

2. Faz spektrumu tek simetri özelliği

görülür.

3. Eğer, sistemin giriş işareti de üstel şekilde yazılırsa

olacağından sistemin çıkışı,


)(.)()( fjefHfH

)()( fHfH

)()( ff

)(.)()( fjefVfV

Transfer Fonksiyonunun Özellikleri

elde edilir.

Sistemin çıkışının genlik spektrumu:

Faz spektrumu:

olarak bulunur.


)()( .)(..)()().()( fjfj ee fHfVfHfVfY

)()(.)(.)()( ffjefHfVfY

)(.)()( fHfVfY

)()()( fff

Transfer Fonksiyonunun Sistem

Çıkışındaki Spektral Güce Etkisi

Birim impuls cevabı h(t) olan sisteme v(t) işareti

uygulanırsa, çıkış işareti,

veya frekans düzleminde ise h(t)’nin fourier dönüşümü

H(f) ve v(t)’nin Fourier dönüşümüde V(f) olarak alınırsa

çıkış işareti,

olduğundan, sistemin giriş spektral enerji yoğunluğu

ise sistemin çıkış spektral enerji yoğunluğu ,

olur.


dthvthtvty ).().()()()(

)().()( fVfHfY )( fSi

)( fSo

2)()( fYfSo

Transfer Fonksiyonunun Sistem

Çıkışındaki Spektral Güce Etkisi

Sistem çıkışının spektral enerji yoğunluğu bilindiğine göre

çıkış enerjisi,

Sistem çıkışının spektral güç yoğunluğu ’de;


Hz

snvoltfHfSfHfVfVfHfYfS io

222222

)().()(.)()().()()(

snvoltdffHfSdffSE ioo

22)().()(

)( fGo

HzvoltfHfGfG io

22

)().()(

22)().()( voltdffHfGdffGP io

Örnek 10.2

Aşağıda verilen RC LPF sistemin transfer fonksiyonunu

direkt olarak bulunuz.


)(tvo )(tvi

R

C

Örnek 10.2

Devredeki elemanları frekans düzleminde yazarsak:

Sistemin çıkışını, giriş cinsinden bulalım.

Çıkışı girişe oranlayarak transfer fonksiyonu bulunabilir.


)( fVo )( fVi

R

jwC1

)(.1

1)(.1

1)( fV

jwRCfV

jwCR

jwcfV iio

jwRCfV

fVfH

i

1

1

)(

)()( 0

Örnek 10.3

Aşağıdaki şekilde RLC devresi verilmiştir. Transfer

fonksiyonunu bulunuz.


L )(tvi R

C

)(tvo

Örnek 10.3


LCw

jwL

jwCjwL

jwCjwL

jwCjwLZ21

11

1

1

)(.)1(

)(.

1

)()(2

2

21

fVjwLRLCwR

LCwRfV

LCw

jwLR

RfVRZ

RfV iiio

RwLjLCw

LCwfV

fVfH

i

o

2

2

1

1)(

)()(

Örnek 10.4

Aşağıdaki şekilde RLC devresi verilmiştir. Lineer zamanla

değişmeyen (LZD) sistemin diferansiyel denklemlerden

yararlanarak H(f)’i bulunuz.


L )(tvi R

C

)(tvo

Örnek 10.4

Durum denklemleri ile devrenin akımlarının toplamını

yazarsak:

türevi alınırsa;

Fourier dönüşüm özelliğinden;


t

ioioo dttvtv

Ldt

tvtvdC

R

tv0)()(

1)()()(

0)(1

)(1

)()()(1

2

2

2

2

tvL

tvL

tvdt

dCtv

dt

dCtv

dt

d

Rioioo

)(.1)()(.1)()( 22 fVjwLCfVjwR

LjwLC io

RwLjLCw

LCwfV

fVfH

i

o

2

2

1

1)(

)()(

Lineer Sistemin Sinüsoidal Cevabı

Transfer fonksiyonu H(f) olan aşağıdaki gibi bir sistemin

girişine sinüzoidal bir işaret uygulansın. ise

çıkış işaretinin spektrumunu bulalım.


tSinwtx 0)(

H(f) X(f) Y(f)

)().()( fHfXfY

oo ffffj

fX 2

1)(

)(.21)( fHffffj

fY oo

oooo fffHfffHj

fY )()(21)(


Lineer zamanla değişmeyen sistemin transfer fonksiyonunun

özelliğini tekrar hatırlarsak:

bu değerleri kullanarak:

bulunur.


dffffHfffHj

dffYtyjwt

oooo

jwt ee .).().(21).()(

tjw

o

tjw

ooo ee fH

jfH

jty

).(.

2

1).(.

2

1)(

)()(00 .)()(.)()(

fjArgH

oo

fjArgH

oo ee fHfHfHfH

tjwfjArgH

o

tjwfjArgH

ooo eeee fH

jfH

jty

..)(.

21..)(.

21)(

)()(00

)()(00

.21.)()(

fArgHtwjfArgHtwj

ooo ee

jfHty

)(.)()( ooo fArgHtwSinfHty


Sonuç olarak; giriş işareti bir sinüzoidal ise , lineer zamanla

değişmeyen sistemin çıkış işareti genliği ve fazı ’a

bağlı olan bir sinüzoidal işarettir.

Eğer lineer zamanla değişmeyen sistemin girişine periyodik

işaret uygulanır ise, bu durumda giriş işareti Fourier Serisine

açılır ve giriş işareti sinüzoidal işaretlerin toplamı şeklinde

elde edilir.

Lineer zamanla değişmeyen sistemin transfer fonksiyonu;

ise sistemin çıkışı;

elde edilir.


)( ofH

1

.2.)()( 00

nnon

n

tjnw

no ArgCtnwCosCCCTtvtv e

)(.)()( fjArgHefHfH

1

)0()(.)(.2.)0()(

nonoon

jArgHnfArgHArgCtnwCosnfHCHCty eo

Örnek 10.5

Alçak geçiren bir RC devresinde R=10K ve C=1,59nF

olsun. Sistemin girişine uygulandığına

göre, çıkış işaretini bulunuz.


tCostvi

410.2)(

)(tvo )(tvi

R

C

Örnek 10.5

RC alçak geçiren filtrenin transfer fonksiyonu

olarak bulunmuştu.

1. Yol : Lineer zamanla değişmeyen sisteme sinüzoidal

işaretin cevabından bulunabilir.


jwRCfV

fVfH

i

o

11

)(

)()(

)( fVo )( fVi

R

jwC1

1

11

4

2

12

1

11

10.59,1.10.10..2.1

1)10()(944

410

jtg

f ej

jjHfH

4)10(44

2

1.)10()10(

4

jjArgH eeHH

)4

10.2(.2

1))((.)()( 4

tCosfArgHtwCosfHty ooo

Örnek 10.5

2. Yol :


)()()().()( 1 fYtyfVfHfY F

)10()10(21)(10.2)( 444 fffVtCostv ii

)10()10(21.

11)().()( 44

ff

jwRCfVfHfY i

)10(.1021

121)10(.

1021

121)( 4

4

4

4

f

RCjf

RCjfY

)10(.1

121)10(.

11

21)( 44

f

jf

jfY

Örnek 10.5

2. Yol :


)10(.1

1

2

1)10(.

1

1

2

1)( 44

f

jf

jfY

)10(.2

1

2

1)10(.

2

1

2

1)( 4444

fffYjj

ee

ttfYty jj

jj

eeeeF44 10241024 .

2

121.

2

121)()( 1

)10.125(102.2

14

102.2

1..2

121)(

7444102

4102

44

tCostCos

ttty

jj

ee

Örnek 10.6

Aşağıda şekilde verilen v(t) işareti transfer fonksiyonu

H(f) olarak verilen sistemden iletiliyor.

1. Giriş işaretinin spektral güç yoğunluğunu ve rms

değerini bulunuz.

2. Sistemin çıkışındaki işaretin rms değerini bulunuz.


2 /2 -/2 -2

)(tv

t f

)( fH

1 1

7/2 -7/2

Örnek 10.6


n

nttv

2)(

n

tjnw

noeCtv

..)(

22

1

22.

nSinc

nSinc

T

nSinc

T

AC

oo

n

n

tjnenSinctv ..22

1)(

tCostCostCosCosttv 7715

513

312

21)(

2

2

2 5.0491

251

9112

41)0()( voltRtv

volttvvrms 707.05.0)(2

Örnek 10.6

2.


270

271

72

)(f

fffH

n

nfnSincfV

2

.22

1)(

)2

(.2

.22

1)(.

2.

22

1)().()(

5

5

nH

nf

nSincfH

nf

nSincfHfVfY

nn

0)2

7(

7

2)

2

5(

7

4)

2

3(

7

6)

2

1(1)0(

HHHHH

2

5

7

2

2

5

7

2

5

1

2

3

7

4

2

3

7

4

3

1

2

1

7

6

2

1

7

61)(

2

1)(

ff

ffffffY

Örnek 10.6

2.

olarak bulunur.


tCostCosCostty 535

43

21

8.

7

12

2

1)(

535

43

21

8.

7

12

4

1)(

222

CosCosCosR

2222

20 407.00

354.

210

218.

210

712.

21

41)()( voltCosCosCostyR

volttyyrms 628.0407.0)(2

Örnek 10.7

Şekildeki lineer zamanla değişmeyen sistemin

, , ,

olduğuna göre ;

1. H1(f)’i bulunuz ve çiziniz.

2. Sistemin h(t)’sini bulunuz.

3. olduğuna göre y(t)’yi bulunuz.


t

tSinw

dt

dth c

2)(1

t

twSinth c

3)(3 c

fjw

efH/

)(2

)()(4 tuth

twCostwSintx cc2

12)(

-

+ x2(t) x3(t) h1(t) h3(t) h4(t)

h2(t)

x(t) y(t)

x1(t)

Örnek 10.7

1. Fourier dönüşüm özelliklerinden

olduğundan

bulunur.


)()()()( fjwXtxdtdfXtx FF

fSincAtfSincff

f

t

tfSin

t

tSinwtm cc

c

ccc

.2.

.

2

2

2)(1

cc

c

f

ffMA

f

fA

221)(

21

2 1

cc

c

f

ffj

f

fjwfjwMfHtm

dt

d

t

tSinw

dt

dth F

222

1)()()(

2)( 1111

Örnek 10.7

2. Çıkış işaretinin zaman düzlemindeki ifadesi;

elde edilir.


)()(*)()( 112 txtxthtx

)(*)(*)()( 211 thtxthtx

)(*)()( 323 thtxtx

)(*)()( 43 thtxty

)(*)(*)(*)(*)()(*)()( 43211 thththtxthtxthty

-

+ x2(t) x3(t) h1(t) h3(t) h4(t)

h2(t)

x(t) y(t)

x1(t)

Örnek 10.7

Frekans düzleminde ise;

elde edilir. Transfer fonksiyonu da;


)().(.)().().()().()( 43211 fHfHfXfHfHfXfHfY

)().().(.)(1)(

)()( 4312 fHfHfHfH

fX

fYfH

ccc

c

ccc

f

ffHtfSincf

f

f

t

tfSin

t

tfSinth F

6)(66

6

6.

62.3)( 33

jwfHtuth F 1

)()()( 44

Örnek 10.7


jwf

f

f

ffjfHfHfH

cc

1

6.

2)().().( 431

cc f

f

f

f

jwfjfHfHfH

22

1

2

1)().().( 431

cf

ffHfHfHfH

fX

fYfH c

fjw

e22

1.1)().().(.)(1

)(

)()(

/

4312

cf

ffH c

fjw

e2

1(21)( )

/

Örnek 10.7

3. olduğunda çıkış işareti;


twCostwSintx cc 212)(

)

2

1()

2

1(

2

1)2()2(

2

1)( cccc ffffffff

jfX

)().()( fXfHfY

)21()

21(

21)2()2(

21

221)(

/

ccccc

cfjw

ffffffffjf

ffY e

)21()

21(

21.

221)(

/

ccc

cfjw

fffff

ffY e

)21(

41)

21(

41)(

//

c

cf

cfj

c

cf

cfj

fffffY ee

Örnek 10.7


)21(

21)

21(

21)

21(

41)

21(

41)( ccc

j

c

jfffffffffY ee

ttffffty

cwjcw

j

cc eeF 221

21

21)

21(

21)

21(

21)(

tCosty cw

2)(

Kısa Sınav


Aşağıda verilen sistemin çıkışı y(t)’yi bulunuz ve çiziniz.

Kısa Sınav Cevabı


İşaret ve sistemler - bilecik Şeyh edebali...

Documents