aritmetica 1bim 1ro sec

I.E Fernando Belaunde Terry ARITMÉTICA 1er año

Colegio de Formación Humanista

TEORÍA DE CONJUNTOS

Si observamos alrededor nuestro, veremos que estamos rodeados de muchos objetos. Estos objetos nos dan la idea de PLURALIDAD.

Cuando elegimos uno de ellos, tenemos la idea de UNIDAD; además observamos que entre dos objetos no existe un tercer objeto y esto nos da la idea de la NADA.

Estas tres ideas nos dan la idea de CONJUNTO y se denominan “ conjunto plural” o simplemente “conjunto unitario” y “conjunto vacío “ o “nulo” respectivamente. CONJUNTO Un conjunto es una colección o agrupación bien definida de objetos o entes. Todo conjunto se denota por letras mayúsculas A, B, C ,,,, etc. Y sus elementos por letras minúsculas separadas por puntos y comas y entre llaves. Ejemplo: 1) El conjunto formado por las letras de la palabra ángel . Este conjunto se puede representar “entre llaves” o utilizando un diagrama de Venn .

Representación entre llaves A = { a; n ;g; e ;l }

Representación en un diagrama de Venn A

El símbolo empleado para expresar que un elemento pertenece a un conjunto:

El símbolo utilizado para expresar que un elemento no pertenece a un conjunto es:

Ejemplo: 2) P = { 1; 2; 3; 5; 7 }

Ejemplo: 3) R = { 2; 4; 6; 8 } DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Determinar un conjunto significa indicar cuáles son sus elementos. Existen dos formas de hacerlo: Por extensión y comprensión. I.- Por extensión.- Cuando se indica uno a uno sus elementos separándolos por puntos y comas.

Ejemplo:

M = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

N = { -2; -1; 0;1; 2; 3; 4 } P = { 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100 }

.a .n .g

.e .l



II.- Por comprensión.- Cuando se indica una característica o propiedad común a todos los elementos. Ejemplo: M = { x/x es un día de la semana}

N = { -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 }

P = { x2/x |N 3 x 10

1.- Determina por extensión cada conjunto:

a) K = { x /x |N, x es múltiplo de 3 y x < 20 }

b) R = { x /x |N, x es divisor de 27 }

c) F = { 2x / x |N y 2 x < 5 } 2.- Determina por comprensión cada uno de los conjuntos A B C

3.- Dados M = { X |N / X < 5 }

P = { X |N / X > 5 } R = { 5; 6 ;7; 8 } Q = { 3 ; 4; 5; 6 }

¿Cuántas de las proposiciones son verdaderas?

5 R; 5 M; 5 P; 6 M; T Q y 7 P 4.- Defina por Extensión

B = { x/3 - 1 / x |N; 2 x 5 } 5.- Determina por comprensión M = { 0 ; 2; 4; 6; 8;10 }

6.- La suma de los elementos del conjunto :

B: { 2x2 - 1 ) / x |N 1 < x 5 } es:

Práctica para la clase

.36 .49

.64 .16 .25

.11 .22 .0

.33 .44 .88

.77 .55 .66 .99

.0 .2 .4 .6

.16 .10 .14 .18 .12 .8

¡Pongámonos a trabajar!



7.- Observa el diagrama y responde:

R .e .g S a) ¿Cuáles son los elementos del conjunto R ?

.f .d .h b) ¿Cuáles son los elementos del conjunto S ?

.b c) ¿Cuáles son los elementos del conjunto T ?

.a .c d) ¿Cuáles son los elementos que perteneces al conjunto R y T ?

.i T 8.- Determina por comprensión el conjunto B = {Luna}

1) Define por extensión Q = { 4x / x |N, 3 x < 6 }

2) Determina por extensión L = { a + 1 / a |N y 3 a 5 }

3) Determina por extensión B = { x |N / x es múltiplo de 13 15 < x 95 }

4) Si A = { x/x |N y 5 < x < 10 }

a) Dibuja el diagrama de Ven correspondiente al conjunto A. b) Escribe o según corresponda

6 .......... A 3 ............ A 7 ............ A 5 ........... A 4 ............ A 9 ............ A 8 ........... A 10 .......... A 11............ A

5) Determina por extensión K = { x/x |N, x es múltiplo de 3 y x < 20 } 6) De acuerdo al diagrama, diga cuáles son los elementos de los conjuntos A; B y C;

B C

.6 .2 A = { A .5

.1 .8 .9 B = .3 .7

.4 C =

Actividades para la casa



7.- Determina por extensión Q = { 3x2 + 5 / x -2 x < 4 }

8.- Determina por extensión A = { x + 3 / x |N, x es impar y x 7 }

Determina por extensión R = 5x/x-4 / x |N 4 < x < 10 }

CLASES DE CONJUNTO POR EL NÚMERO DE ELEMENTOS

- Conjunto Vacío o Nulo - Conjunto Unitario - Conjunto Finito - Conjunto Infinito - Conjunto Iguales - Conjuntos Disjuntos - Conjunto Universal

1.- Dados los conjuntos unitarios A = { m; 3 } ; B = { n; 7 } Hallar m + n

2.- Dados los conjuntos M = { 2; 3; x } y N = { 1; 2; 3 } Si M = N, hallar x

3.- Hallar “m + n”, si el conjunto M es unitario: M = { ( 4 m . 3 ); 25; (3 n + 13 ) }

4.- Si los siguientes conjuntos A = { 32; 5 ³x - y

} B = { 2x+y

; 125 } son iguales, hallar el valor de “3 y – 2 x“

5.- Hallar 2x² + y; sabiendo que: A = { 2x + y 2y – x; 3x – 6 } es un conjunto unitario .

Acepta el desafío




1.- Dados los conjuntos unitarios A = { x – 2; 6 – 3 x } B = 2 y + 1; y – 8 } Hallar x + y

2.- Si los conjuntos A y B son iguales A = { 6; 2x – 5 } B = { 9; 5 y – 4 } Hallar x + y

3.- Clasifica cada uno de los conjuntos en: finito, infinito, vacío, unitario. a) A = { a ;b; c; d;........ Z } ................................................................................

b) B = { x/x /N y 4< x < 6 } ................................................................................

c) C = { x/x /N, es par 150 < x < 154 } ................................................................................

d) D = { x/x /N 0 < x < 1 } ................................................................................ e) E = { 1; 2; 3; 4 ; ....... 9 } ................................................................................

f) F = { x/x /N y x es múltiplo de 5 } ................................................................................

g) G = {x /x /N, x es par y x < 2} ................................................................................ h) H = { 3; 6; 9; 12; ..... } ................................................................................

i) I = { x/x /N 8 < x ≤ 9 } ................................................................................ j) J = { x/x es un animal mamífero } ................................................................................

4.- Considerando los conjuntos unitarios M = { 2x; 5x – 12 } N = { 3 y; 24 – y } Calcular 5 x ² - y²

5.- Sabiendo que los conjuntos

P = { 24; 5x + 6 } Q = 4; 10y – 6 } son iguales. Calcular xy - xy

Considerando los conjuntos unitarios V = { 2

x; 32 } ; W = { 243; 3

y+1 }

Calcular 25 x² - 9 y ³

----------------- x- y


Acepta el desafío



P (A ) = 2ⁿ Subconjunto

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS I ) Familia de conjuntos o conjuntos de conjuntos.- Es aquel conjunto cuyo elementos son también

conjuntos. Ejemplo: 1) A = { { 2 ;3 }; { 5 ; 2 }; { 7 } ; ǿ } si es una familia de conjuntos. 2) B = { { 2 ;3 }; { 5 ; 2 }; 7; ǿ} no es una familia de conjuntos.

No es un conjunto, para serlo debe estar entre llaves. II.- Conjunto Potencia .- Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado.

Ejemplo: 1) Si A = { 5 }

Los conjuntos que lo forman son: Recuerda que ǿ es subconjunto de cualquier conjunto P (A) = { 15 } ; ǿ }

Conjunto potencia 2 subconjuntos de A.

2) Si B = { a; b } los subconjuntos que se forman son:

P ( B) = { { a } ; { b } ; { a ; b } ; ǿ } => tiene 4 subconjuntos

3) Si C = { 5 ;2 ; 7 } los subconjuntos que se forman son: P (c ) = { { 5 } ; { 2 } , { 7 } ; { S ; 2 } ; { 5 ; 7 ] ; { 2; 7 } ; { 5 ; 2 ;7 }; ǿ }

Generalizando Si el conjunto A tiene n elementos =>

1) Dado el conjunto A señalar si son V o F las

siguientes proposiciones: A = { 1; 2; { 3; 4 }; 5 }

I ) 2 A ( )

II) 5 A ( )

III) { 3;4 } A ( )

IV) { 1; 2; 5 } A ( ) V) n (A) = 5 ( )

2) Decir si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas

A = { 2; { 3 }; { 5 } }

I ) 2 A ( )

II) { 3 } A ( )

III) { { 5 }} A ( )

3) Si B = { (x³ - 2) Є |N ٨ X < 5 } Hallar n (B)

4) Dados los conjuntos A = { 1; 2; 3 }; B = { 2; 3; 4; 5 } C = { 3; 4} A B

Decir qué elemento se encuentra en la parte coloreada.


C



A B

.1 .2 .3

.4

.5 .6

.

5) Determina cuántos elementos tienen los conjuntos “A ” y “B” sabiendo que : a) P (A) = 4

5 subconjuntos

b) P (B) = 16³ subconjuntos

1.- Dado el conjunto A = { 2; 3; { 4 ]; { 5, 6 } }

Decir si las proposiciones son verdaderas o falsas

I ) { 2 } A ( )

II) { 4 } A ( )

III) 2; 3 A ( )

IV) { { 5; 6 }} A ( )

2.- Dados los conjuntos: P = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 } Q = { 3; 6; 7; 8; 9 } R = { 4; 5; 6; 7; 10 }

Decir que elementos se encuentran en la intersección de los tres conjuntos

3.- Si A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}; B = { 5; 6; 7; 8; 9 } ٨ C = { 4; 5; 9 }

¿Cuáles son los elementos que deben estar en la parte coloreada del diagrama? A B C

4.- Si A = { 1; 2; 5;6}; B = { 2; 3; 4; 5} C = {4; 5; 6; 7} entonces ¿Cuáles son los elementos que deben estar en la parte coloreada del diagrama?

A B C

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS I.- UNIÓN.- Se denota así : “U”

Ejemplo:

1) Si A = { 1; 2; 3 } B = { 4; 5; 6 } Hallar y graficar A B Solución

A B = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }

A B




A B a b c d

e f g

B

A e f

a b c d

2.- Si A = { 1; 2; 3; 4 } B = { 3; 4; 5; 6 }

Hallar y graficar A B Solución

A B = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }

A B

3.- Si A = { 1; 2; 3 } B = { 1; 2; 3; 4; 5 }


A B = { 1 ; 2; 3; 4; 5 }

U

I) A B = Propiedad. Conmutativa

II) A (B C) = ( A B) C Propiedad Asociativa

III) A = A

IV) A U = U

V) A A = A

II.- INTERSECCIÓN.- Se denota así: “ “ Ejemplo:

1) Si A = { a; b; c; d } B = { e; f; g }

Hallar y graficar A B Solución A ∩ B = { }

U

2) Si A = {a; b; c; d} B = {a; b; c; d; e; f}


A B = { a; b; c; d} U

I) A B = B A Propiedad conmutativa

II) A ( B C ) = ( A B ) C Propiedad Asociativa

III ) A U = A

IV) A =

V) A A = A

Propiedad Distributiva de la Unión e Intersección

I) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )

II) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )

B

.4 A .5

.1 .2

.3

Propiedades

Propiedades

A B

.1 .4 . 5

.2 .3 .6



A B m n p

q r

s

B q A r m p

n

A B

5 6 7 8

9 10 11

A B 5 6

9

10

A B m n

r

s

p q

III.- DIFERENCIA.- Se denota así: “–” Ejemplo:

1) Si A = { m; n; p } B = { q; r; s } Hallar y graficar “A -- B ” Solución

A – B = { m; n; p } U

A – B

2) Si A = { m; n; p; q } B = { p; q; r; s } Hallar y graficar A – B Solución

A – B = { m; n } U

A – B

3.- Si A = { m; n; p } B = { m; n; p; q; r } Hallar y graficar “B – A” Solución

B – A = { q; r } U

B – A

I ) A – B ≠ B – A – A =

III) A – B =

II) A – = A

IV) A – ( B C ) = ( A – B ) ( A – C ) Ley de Morgan

V) A - ( B C ) = ( A – B ) ( A – C ) Ley de Morgan

IV.- DIFERENCIA SIMÉTRICA.- Se denota así : “∆”

Ejemplo:

1) Si A = { 5; 6;7; 8 } B = { 9; 10; 11 } U Hallar y graficar “A Δ B ” Solución: A Δ b = { 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 } A Δ B

2) Si A = { 5; 6; 7; 8 } B = { 7; 8; 9; 10 } Hallar y graficar “A ∆ B ” U Solución

A = { 5; 6; 7; 8 } B = { 7; 8; 9; 10 } Hallar y graficar “A Δ B “ Solución

A ∆ B = { 5; 6; 9;10 } A ∆ B

Propiedades



B

A 7

5 6

66

1 2 3 4

3.- Si A = { 5; 6; 7 } B = { 5; 6; 7; 8; 9; 10 } U Hallar y graficar A ∆ B Solución A ∆ B = { 8, 9, 10 }

A ∆ B

I ) A ∆ B = B ∆ A Propiedad conmutativa II) A ∆ ( B ∆ C ) = ( A ∆ B) ∆ C Propiedad asociativa III ) A ∆ A = Ǿ IV) A Δ Ǿ = A

V.- COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

1) Con respecto a otro conjunto : Cª b

Ejemplo :

Si A = {1; 2; 3; 4 } B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 } Hallar y graficar C ª

b

Solución

C ª = { 5 ; 6; 7 } Se lee : El complemento del conjunto A con respecto al conjunto B está b

formado por los elementos 5; 6; 7

U

C ª b

2) Con respecto al conjunto universal: A Ejemplo: U

Si A = { a; e; i } U = { a; e; i; o; u } Hallar y graficar A‘ o C

a o C

a

u

Solución : A‘ = { o ; u }

C a ó Ca ó A u

Propiedades: I) (A’ )‘ = A

II) ( A B)‘ = A‘ B‘ Ley de Morgan

III) ( A B ) ‘ = A‘ B‘ Ley de Morgan

IV) ’ =

V) ‘ =

B

8 A 9 10

6 7 5

Propiedades

A .o

.u

.a

.i

.e



1 2 4

C

8

9

1) Si A = { 2x/x IN 3 < X < 8 } ; B = { x/x es una vocal }

¿Cuántos elementos tiene A B? Solución: Determinamos por extensión los conjuntos A y B A = { 2 x/x є IN ^ 3 cx < 8 } … x está entre 3 y 8

Si x = 4 2 (x) Si x = 6 2(6) 2 (4) 12 8

Si x = 5 2( 5 ) Si x = 6 2 (7) 10 14

A = { 8; 10; 12; 14 } B = { a; e; i; o; u }

Finalmente A U B = { 8; 10; 12; 14; a; e; i; o; u }

n ( A B ) = 9

1) Dados los conjuntos

P = { x /N / x es divisor de 12 }

Q = { ( 2x + 1) / x IN x < 6 }

Hallar y graficar P Q 2) Dados los conjuntos

M = { x/x es par 1 < x < 13 }

N = { x/x es un múltiplo de 4 2 < x < 15 }

¿Cuántos elementos tiene el conjunto M N? 3) Dados los conjuntos

A = { 3 x + 2 / x /N 1 ≤ x < 6 }

B = { x2 + 1 / x /N Λ 1 < x ≤ 5 }

Hallar y graficar A B 4) Dados los conjuntos

A = { x /N / x es múltiplo de 4 3 < x < 21

B = { x /N І x es múltiplo de 6 2 ≤ x < 31}

C = { x /N / x es divisor de 20 } ¿Cuáles son los elementos del conjunto

A B C?

5) Los conjuntos A y B, tienen elementos en común, se sabe que n ( A) = 21; n ( B ) = 15 y

n ( A B) = 6, luego n ( A B ) es: 6) Del siguiente diagrama, ¿Cuáles son los

elementos del conjunto ( A B ) C? A B

7) Dados los conjuntos

A = { 2x + 3 / x /N X ≤ 4 }

B = { 3x + 1 / X /N X < 5 } Hallar A – B

Ejercicios Resueltos


3 5 7 6

¡Pongámonos a trabajar!



.1

.2 .6

.4 .3 .5

7

8

8) Si: M = { x є / N / 3 < X < 8 } N = { X є /N / 6 ≤ X ≤ 9 }

Hallar M N 9) Si D = { x/x es divisor de 10 } E = { x є Z/ / -2 < x ≤ 9 } F = { x є /N / x < 5 }

Hallar ( D F ) E

10) Si: U = { x є /N 0 < x < 5 }; A = { 1; 2 }; B = { 2; 3 }

Hallar A‘ B

1) Dados los conjuntos P = { x/x es un número natural mayor que 2 }

Q = { x/ x es un divisor de 8 }

Hallar y graficar P Q

2) Se tienen los conjuntos A = { 3x + 2 / x |N x < 5 }

B = { 2x/x |N x ≤ 6 }

Hallar A B

3) Dados los conjuntos A = { 3x + 2 / x IN 1 ≤ x < 6 }

B = { x2 + 1 x є IN 1 < x ≤ 5 }

Hallar ( A B )

4) Dados los conjuntos A = { x /N / x es múltiplo de 2, 1 ≤ x < 13 }

B = { x IN / x es múltiplo de 3, 2 < x < 16 }

Hallar A B

5) Se tiene dos conjuntos A y B tales que n ( A B ) = 16; n ( A – B ) = 5; n ( B – A ) = 8. Hallar n ( A ) + n ( B )

6) Del diagrama, hallar ( A – B ) ( B – C ) A B

7) Si U = { x IN / 12 < x < 18 } ; Q = {14; 16 }

Hallar Q 8) Si U = { a; b; c; d } ; A = { a; b } ; B = { b; c }

¿A qué es igual B A?

C




A B A B A B

A B A B A B

A B A B

9) Si U = { x IN / 0 < x ≤ 8 } A = { 1; 2; 3; 4 } B = { 2; 3; 6; 7 } C = { 3; 4; 5; 6 }

¿Qué elementos están en la parte coloreada? U

10) Si A = { x/x es vocal }, B = { x/x es un mes del año }

Hallar n ( A U B )

PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON DOS CONJUNTOS Nos ayudará identificar en un diagrama de Venn, las diferentes zonas que se presentan. Por ejemplo: Sobre la preferencia de los cursos A o B, los encuestadores manifestaron lo siguiente. La zona que se va a colorear nos indica su preferencia.

Prefieren el curso A Prefieren el curso B Prefieren sólo A pero no B

Prefieren A y B No prefieren ni A, ni B No prefieren A

No prefieren B Prefieren A o B Prefieren solamente 1 curso

A B

A B

C



E T U

E = 40 T = 50

M P

F U

100

1) De un grupo de 85 personas: 40 estudian; 50 trabajan; 10 estudian y trabajan ¿Cuántos no estudian

ni trabajan? Solución : 1º Se realiza el diagrama 2º Se trasladan los datos numéricos al diagrama, tratando llenar todas las zonas con sus respectivos

valores numéricos. 3º Se suman los valores de cada zona y se iguala al total.

x + 10 = 40 y + 10 = 50 x = 30 y = 40

30 + 10 + 40 = 80 Como universo = 85 Rpta: 5 no estudian ni trabajan

2) En un grupo de niños, 70 comen manzanas, 80 comen peras y 50 comen peras y manzanas.

¿Cuántos los niños del grupo? Solución:

X + 50 = 70 50 + y = 80 X = 20 y = 30

20+ 50 + 30 = 100 Rpta : Ha 100 niños en el grupo

3) En una escuela de 600 alumnos, 100 no estudian ni francés ni inglés, 450 estudian francés 450 estudian francés y 50 estudian francés e inglés.

¿Cuántos estudian sólo inglés? Solución :

x + 50 = 450 x = 400

Como el universo es 600 x + 50 + y + 100 = 600 400 + 50+ y + 100 = 600 y + 550 = 600

y = 50 Rpta :. 50 alumnos estudian solo inglés.

Ejercicios resueltos

x

10 y

x y 50

X

50 y



1) Se realiza una encuesta y en ésta se

determina que: 78 prefieren la manzanas y 62 prefieren las naranjas; si los encuestados son 100 y todos tienen preferencia por alguna de las frutas mencionadas ¿Cuántas personas prefieren una sola fruta?

2) De un grupo de 50 personas 28 conocen

Arequipa, 32 conocen Lima y 15 ambas ciudades. ¿Cuántos no conocen de ninguna de estas ciudades?

3) De un grupo de 40 personas, se sabe que 15

de ellas no estudian ni trabajan, 10 personas estudian y 3 personas estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan solo una de los actividades?

4) De un grupo de 100 alumnos, los que usan sólo lápiz, es igual a los que usan sólo lapicero, e igual a los que usan lápiz y lapiceros. Si 4 no usan ni lápiz ni lapicero. ¿Cuántos usan lápiz?

5) De un conjunto de 25 alumnos, se sabe que

5 no estudian ni hacen deporte, 13 estudian y 5 estudian y hacen deporte. ¿Cuántos de ellos realizan una de los 2 actividades?

1) En una tribu de 100 nativos, 38 comen carne

cruda, 48 comen carne cocida. Si 21 son vegetarianos. ¿Cuántos de estos nativos comen carne curda y cocida y a la vez?

2) En un salón de 40 alumnos, se observó que

25 aprobaron matemática, 15 aprobaron Lenguaje y 10 no aprobaron ninguno de los dos cursos. ¿Cuántos aprobaron los dos cursos?

3) De los 60 alumnos de un aula, 50 tienen libro

de Matemática y 15 de matemática y física. ¿Cuántos tienen un solo libro?

4) A una peña criolla asistieron 150 personas de las cuales: 80 cantan, 60 bailan; 30 no cantan ni bailan. ¿Cuántas personas cantan y bailan?

5) Entre 97 personas que consumen

hamburguesas se observaron las siguientes, preferencias en cuanto al consumo de mayonesa; 45 consumen Ketchup y 10 no consumen ninguna de estas salsas. ¿Cuántos consumen mayonesa, pero no Ketchup?





En el colegio “San Miguel” de Piura se ha evaluado a 1000 alumnos en las asignaturas de Lenguaje, Matemática y Biología: obteniéndose los siguientes resultados: a) 680 alumnos aprobaron lenguaje. b) 320 alumnos aprobaron biología c) 400 alumnos aprobaron sólo lenguaje d) 50 alumnos aprobaron lenguaje y biología, pero no matemática e) 170 alumnos aprobaron biología y matemática, pero no lenguaje f) 40 alumnos aprobaron biología, lenguaje y matemática Si todos los alumnos aprobaron por lo menos uno de estos cursos: ¿Cuántos aprobaron sólo biología? ¿Cuántos aprobaron sólo lenguaje y matemática? ¿Cuántos aprobaron sólo matemática?

SITUACIONES LÓGICAS

A continuación encontraremos algunos planteamientos recreativos, recuerda que en matemática se requiere sólo de lógica para resolver problemas de la vida diaria. Adelante pon a prueba tu LÓGICA. 1) Mi tía Consuelo tiene 6 hermanas y todas son mis tías, excepto una ¿quién es?

a) media tía b) mi madre c) casi tía d) mi tía abuela e) también es mi tía

2) ¿Cuál es el nombre que acompaña más tareas en el hogar?

a) María b) Carmen c) Dora d) Martha e) Ana

3) Pablito lo vio una vez en apuros, dos veces

en oración y tres veces en sollozo. ¿Qué vio Pablito? a) una persona b) una madre c) un amigo d) La letra O e) un empresario en quiebra

4) ¿Quién es la nieta única de la abuela de la madre de Cuchita?

a) Cuchita b) Yo c) La madre d) La hija e) la nieta de la madre

5) Podría el Señor Velaochaga casarse con Mónica, quién es una mujer muy atractiva tu hermana de su viuda? a) si porqué es una mujer muy atractiva b) porque es su cuñada c) Sí, si así lo desea d) No e) depende que haya atracción entre ellos.

6) En un pueblito existen solamente dos sastres, que prestan sus servicios a la comunidad, pero no así mismos, el primero siempre está muy bien vestido y con un terno de acuerdo a la estación, el segundo sastre siempre está muy mal vestido y con un terno modelo antiguo. Una turista desea que le confeccionen un terno sorpresivamente elige al segundo sastre, ¿sabe Usted porque?

a) Porque le gusta vestir mal b) Porque le gusta vestir muy bien c) porque conoce al segundo sastre d) Por que el segundo sastre es el mejor. e) Hay dos respuestas correctas.

Acepta el desafío



NÚMEROS NATURALES

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES

PRÁCTICA PARA LA CLASE

1.- Compara los siguientes números naturales y escribe > , < ó = según corresponda.

a) 447 ________ 372 b) 583 ________ 586 c) 125 846 ________ 125 709

d) 567 681 429 ________ 567 681 703 e) 780 354 293 ________ 780 354 299

2.- Completa el cuadro: Completa el cuadro

Expresiones Propiedades

5 + O = S

8 + 3 = 3 + 8 (4+2) + 9 = 4 + ( 2 + 9)

15 + 8 = 23 |N

Si x + 9 = 10 + 9 x = 10

Si n = 7 n + 6 = 13

3.- Durante un paseo Nataly tuvo los siguientes gastos. S/ 230 en el pasaje, S/ 36 en frutas, S/45 en

golosinas y S/ 12 en galletas. ¿Cuánto le había dado su padre si aún le sobra S/ 56? 4.- Franklin tiene un sueldo de 850 soles. El presente mes ha gastado 300 soles en alimentación, 130

soles en ropa, 190 soles en vivienda, 40 soles en pasajes, 75 soles en pago de letras y con el resto ha comprado un radio ¿Cuánto le cuesta la radio?

5.- La suma de los términos de una sustracción es 480 ¿Cuál es el minuendo?

ACTIVIDAD PARA LA CASA

1.- Juan pagó una deuda de 2 560 soles y más tarde pagó 4 342 soles, quedándole tanto como había

pagado más 728 soles ¿Cuánto dinero tenía?



2.- Completa el cuadro

Expresión Se lee

x < 3 a > 2

2 < x < 5

X es menor que 3

( x +1) es mayor que 8 y es mayor que 15 y menor que 32

( n + 4) es mayor que 9 y menor que 28 ( m – 2) es menor que 17

3.- Un camión realiza tres viajes: en el primero

lleva 1840 ladrillos, en el segundo 2 560 y en el tercero 3245. ¿Cuántos ladrillos transportó en los tres viajes?

4. Manuel después de cobrar su sueldo ha

comprado una camisa por s/.42, un pantalón por s/.78 , un par de zapatos por s/.140 y ha pagado el alquiler de su casa por s/.450, quedándose con s/.380. ¿Cuál es el sueldo de Manuel?

5. Los hermanos Ángel, Beto, Carlos y Dante

han recibido una suma de dinero por pintar una flota de automóviles. Ángel recibió 1 240 soles, Beto, 350 soles menos que Ángel, Carlos 600 soles más que Beto y Dante tanto como Ángel y Beto juntos. ¿Cuántos recibieron entre los cuatro?

6. Cuatro obreros han recibido 10 000 por su

trabajo en la construcción de una casa. El primero recibió 2 380 soles, el segundo 460 soles más que el primero, el tercero 700 soles menos que el segundo y el cuarto recibió el resto de la suma. ¿Cuánto recibió el cuarto obrero?

7. Un joyero compró un reloj por s/.146. ¿Qué precio debe fijar para su venta si desea ganar s/.75?

8. Elena ha gastado 400 soles en comprar

regalos para sus hijas Miriam, Andrea y Samantha. Si el regalo costó 135 soles, el de Andrea 20 soles menos que el de Miriam. ¿Cuánto le costó el regalo de Samantha?

9. La Sra. Sara tenía s/.8 450 en su cuenta de

ahorros del banco. El lunes retiró s/.940 para comprar los útiles escolares de sus hijos, el martes s/.280 para el teléfono y el miércoles s/.568 para pagar el alquiler de la casa; si el jueves le hacen un depósito de s/.320, hoy que es viernes. ¿Cuánto tendrá en su cuenta?

10. Un padre tiene 36 años y su hijo 7 años.

¿Qué edad tendrá el padre cuando el hijo tenga la edad que su padre tenía hace 5 años?



MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES


1. Escribe las siguientes adiciones como una multiplicación:

a) 5 + 5 + 5 + 5 = b) 3 x 3 + 3 + ...+ 3 =

15 veces

b) a + a + a + a + a + a + a =

d) b + b + b +...= 48 veces

e) (a + b) +( a + b ) + ...+(a + b) = 80 veces

f) x + x + ...+ x =

9 veces 2. Indica las propiedades que se han aplicado:

a) ( 7 x 3 ) x 8 = 7 ( 3 x 8) ...........................................……………..

b) 5 ( a + b ) = 5 a + 5b ...........................................……………..

c) Si 3 . n = 3 . 7 n = 7 ...........................................……………..

c) 8 . x = x . 8 ...........................................……………..

e) si y = b 2 . y = 2.6 ...........................................……………..

f) a.1 = a ...........................................……………..

g) 17 . 0 = 0 ...........................................……………..

h) (8 + 5) . x = 8 x + 5 x ...........................................……………..

i) 7 ( 9 x ) = ( 7 x 9 ) x ...........................................……………..

j) 4 . 15 = 15 . 4 ...........................................…………….. 3. Haciendo uso de las técnicas abreviadas de la multiplicación calcula mentalmente los siguientes

productos.

a) 525 x 100 = b) 15 277 x 1000 000 = c) 58 x 5 = d) 32 x 15 = e) 220 x 15 = f) 144 x 25 =



4. Calcula el resultado de: 4 + 3 x 7 – 8 : 2 + 1 5. ¿A cuánto equivale E? E = 38 – 2 x 15 :3 + 3 – 2 x 2

5. M = 48 : 4 : 3 : 2 x 8 – 3 x 5 + 4 ¿Cuánto es M? 6. En una división el divisor es 5, el cociente es

8 y el residuo es 3. Hallar el dividendo.

ACTIVIDADES PARA LA CASA

1. Al dividir un número N entre 7 el cociente es 5 y el residuo es máximo. Hallar N 2. ¿Qué número debe dividirse por 9 para que el residuo resulte máximo e igual a cociente? 3. En una división el dividendo es 130 el divisor

es 80 y el cociente es el doble del divisor. ¿Cuál es el residuo?

4. Rafael tiene 987 soles entre billetes de 50,

20 y 10 soles y monedas de 5 y 1 sol. Si tiene 27 billetes de s/ 20; 13 billetes de s/10; 5 billetes de s/50 y 7 monedas de 1 sol ¿Cuántas monedas de 5 soles tiene?

5. Juan compró 5 decenas de vasos a s/18 cada docena para vender los a s/ 3 cada vaso .¿ cuanto ganó. Si durante la venta total se le rompieron 7 vaso?

6. Para pagar una deuda de 1090 dólares,

Ángel paga con billetes de 50 ; 5 y 10 dólares. Si da 7 billetes de 50 dólares y 12 billetes de 10 dólares ¿ cuántos billetes de 5 dólares debe dar para cancelar la deuda?

7. Calcular mentalmente:

a) 82 x 1000= b) 42 x 5 = c) 340 x 5 =

d) 180 x 15 = e) 64 x 25 = f) 844 x 25 =

8. Calcular

29 – 2 x 12 : { 6 - 14 : ( 3 x 4 : 2 + 1) : 6 x 2 – (3 x 5 – 7 x 2 ) 9. Hallar R

R = 60 : 2 3 + 2 ( 5 + 1 ) + {35 - 6 + 2 ( 8 – 1 ) } : 3 10. Calcular

40 x ( 6 –2 ) : 8 –1 x ( 4 + 6 : 2 x 4

Consorcio Educativo “El Carmelo” ARITMÉTICA 1er año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista

57

LOS OLIVOS: Jr. Mercurio 7481 5330029 SOL DE ORO: Los Planetas 130 5330242 ANCÓN: Balneario de Ancón S/N 5520002

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS NATURALES


1. Escribe los siguientes productos en forma de potencia

a) 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = b) 5 . 5 . 5 . 5 = c) c . c . c . c . c . c . c . c . c . c . c . c =

d) x . x . x . x . x . x . x . x = e) 4 . 4 . 4 ...... 4

(n veces) 2. Halla las siguientes potencias:

a) 34 =

b) 25 =

c) 84 =

d) 29 =

e) 105 =

f) 70 =

3. Aplica las propiedades expresa los siguientes productos como potencias de una sola base:

a) 35 . 3

4 =

b) 5 . 56 =

c) 512

: 53 =

d) a12

. a40

= e) 6

4 : 6 =

f) (32)7 =

g) (43)2 5

=

h) (t4)0 7

=

ACTIVIDADES PARA LA CASA 1. Escribe los siguientes productos en forma de potencia:

a) 6 . 6 . 6 . 6 . 6 . 6 . 6 = b) a . a . a . a . a . a =

c) b . b . b . b . b . b =

d) 3 . 3 . 3 .... 3 = ( 16 veces )

e) 15 . 15 . 15 ..... 15 = ( x veces )

2. Halla las siguientes potencias:

a) 132 =

b) 64 =

c) 35 =

d) 54 =

e) 44 =

f) 631 =

3. Aplica las propiedades y expresa los siguientes productos como potencias de una sola base:

a) 26 . 2

7 =

b) 43 . 4

4 . 4

2 =

c) 1519

: 15 17

=

d) b34

: b21

=

e) 816

: 84 =

f) (26 )

8 =

g) y 80

. y . y 3 =

h) m0 . m

17 =


58


RADICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES Raíz de un número natural

Ejemplo: a) 5 elevado al cuadrado es 25 52 = 25

5 elevado al cuadrado de 25 5 = 25

b) 6 elevado al cubo es 216 63 = 216

6 es la raíz cúbica de 216 6 = 216

c) 3 elevado a la cuarta da 81 34 = 81

3 es la raíz cuarta de 81 3 = 4 81

En general:

raíz índice

radicando

Propiedades de la radicación : 1.- Producto de raíces del mismo índice .-

Ejemplo :

a) 25 . 4 = 4.25 = 100 = 10

b) 8 . 18 = 18.8 = 144 = 12

2.- Cociente de raíces del mismo índice .-

Ejemplo :

a) 64 : 4 = ó 64 : 14 = 4:64 = 16 = 4

8 : 2 4

b) 3 512 : 3 64 = 3 64:512 = 3 8 = 2

3.- Raíz de Raíz:

Ejemplos:

a) 81 = ó 81 = 2.2 81 = 4 81 = 3

b) 3 3 1000000 = 3.2 1000000 = 6 1000000 = 10

4.- Simplificación del índice con el exponente del radicando

n a m = n a m

= n a m

Ejemplo:.

a) 5 2 = 25 = 5 ó 5 = 5

axn

n a .

n b = n ba.

n a : n b = n ba:

n m anm a


59


b) 12 8 4 = 3 8 = 3 8 = 2

c) 18 343 12 = 3 343 2

= 3 343 2 = 3 343 2

= 72 = 49

1) Calcular las siguientes, raíces

a) 3 216 =

b) 121 =

c) 3 1000 =

d) 1225

e) 4 81 =

f) 646 =

g) 3 0 =

2.- Aplica la propiedad n ba. = n a . n b y calcula:

a) 1600

b) 3 125216 x =

c) 4 1681x =

d) 3 4125000 x 3 =

e) 6 85x 6 =

3.- Resuelve aplicando propiedades:

a) 3 24 : 3 3 =

b) 3 175 =

c) 9 4 =

d) 4 3...333 xxxx =

16 veces

e) 19835 2

f) 14 4 21

g) 6 25. 6

7

ACTIVIDADES PARA LA CASA

1. Calcular las siguientes raíces:

a) 49

b) 144

c) 1000000

d) 4 16

e) 5 32

f) 3 729



60


__ _ _

2. Aplica la propiedad n

a.b = n

a . n

b y calcula: _______

a) 3

343 000

___________

b) 25 X 64 X 144

______

c) 5

32 X 75

______________

d) 49 x 100 x 81 x 4 __________

e) 7

27 x 3

7 x 10

7

3. Resuelve aplicando propiedades: ___

a) 4

362

___ _

b) 4

322 :

42

________

c) 3

1 000...0 (15 ceros)

_________

d) 3

3

64.6

2.6

3

____________

e) 8

3

12520

: 1254

OPERACIONES COMBINADAS 1º Se hallan las potencias y raíces, luego los cocientes y los productos y finalmente las sumas y

diferencias. 2º Si hay signos de colección se resuelven primero las operaciones que están encerradas dentro de

estos signos empezando por el signo de colección que está más al interior. Ejemplo:

78 : 36 + 25 – 16 2 + 25 – 16

27 – 16 11

PRÁCTICA PARA LA CLASE Resuelve: __

1. 12 x 6 : 23 + 20 : 5 x 3 - 81 x 2 x 6º

__ __

2. 62 x 24 : 8 x 2 (3

3 – 4

2 x 3 16)

__ __ ___

3. 23 x

327 + 4 (5 . 36 – 7 . 2

2) :

3512

___ __ ___ __ ______

4. 4

234 – 2

321

3 – 2 19

2 – 2 (

364

2 -

3 729

2)

___ ___ ___ __ _

5. 2 . 3

343 + 3 (3

729 – 5 x 3

216 : ( 16 +

481 x 4 + 4 )

__ __ __

6. ( 2 25 + 03 ) + 3

3 + 9

0 : 2

2 + 5

3 216 : ( 25 – 1 ) +

36

6

__

7. 20 + 2

2 + 3

2 . 3 + (2

4)2 + 0

4 – (5

0 + 3

3 +

532 . 2

4) : 4 + 5

__ __

8. (43 – 7 x 6 : 3) . 32

: 25 : 3 . 3

27


61


CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z)

Al conjunto de los enteros se le reconoce como Z

+.

Hacia la izquierda del 0, colocaremos los números enteros negativos. Estos van a la misma distancia del 0 que los enteros positivos. A los enteros negativos no les pueden falta el signo - . Los enteros negativos se simbolizan como Z

–.

...... -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

Enteros negativos Como los enteros negativos están a la misma distancia del 0 que los positivos, se les llama opuestos. Entonces, -5 es el opuesto de +5. -5 0 +5 Resumiendo... El conjunto de los números enteros está formado por los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

En símbolos: Z = {Z– {0} Z

+}

RELACIÓN DE ORDEN EN Z Z es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay números enteros mayores o menores que otros. Un número es mayor que otro si su representación en la recta numérica está más a la derecha; por ejemplo 4 es mayor que 1 (se representa 4 > 1). Un número es menor que otro si su representación en la recta está más a la izquierda; por ejemplo, 2 es menor que 5 (se representa 2 < 5). Analicemos el siguiente ejemplo:

Ordenaremos de menor a mayor +7, -6, +4 y -2 en la recta numérica, a partir de 0. Así, tenemos que:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

El número es –6, porque es el que está más ala izquierda; luego viene el –2, el 4 y el 7. En símbolos queda: -6 < -2 < +2 < +7 Para cualquier número, es antecesor el que se ubica inmediatamente a la izquierda de él y es sucesor, el que está inmediatamente a su derecha. Observa: número

antecesor sucesor

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 antecesor sucesor antecesor sucesor


62


número número

En los números naturales, el 0 (cero) no tenía antecesor, en cambio, en los números enteros, todo número tiene antecesor y sucesor.

PROBLEMAS 1. Expresa las siguientes situaciones con

números enteros: a) Siete grados bajo cero. b) La altitud de un pico es de 1 205 m. c) El buzo está a 32 metros de profundidad. d) El avión vuela a 8 500 m de altura. e) Veinte años antes de Cristo.

2. Escribe en tu cuaderno los números enteros comprendidos entre:

a) –4 y +3 b) –5 y +5 c) 10 y –2 d) –8 y +1 e) +5 + 12

3. ¿Cuándo estoy financieramente mejor?

a) si tengo S/. 500 o si tengo S/. 159 b) si debo S/. 200 o s tengo S/. 8 c) si debo S/. 40 o si debo S/. 45 d) si no tengo dinero o si debo S/. 60

4. En cada caso, uno de los hombres mencionados es el padre y el otro es el hijo. Decida cuál es cada uno de ellos. a) Manrique nació en el año 135 a.C. y José nació en el año 188 a.C. b) Jorge nació en el año 18 d.C. y Pedro nació en el año 7 a.C. c) Marcelo nació en el año 1547 d.C. y Julián en el año 1578 d.C. d) Roberto nació en el año cero de nuestra era y Humberto en el 40 a.C.

5. Colocar el signo “>” (mayor que) o “<” (menor que) según corresponda. +34 ......... +17 -6 ............ +12 +7 ......... +16 45 ........... -1 -6 ......... -8 -16 .......... 10 -9 ......... -7 0 ........... 24 -150 .......... -135 -4 ............ 0

6. En la siguiente recta numérica, las letras representan números enteros.

M a z p 0 b j q Completen con el signo >, < ó =. z ......... j z ......... p z ......... a z ......... 0 z ......... m z ......... z b ......... a p ......... q

7. Recuerden que esta expresión |-n| significa “valor absoluto del número -n”. nuevamente indiquen >; < ó =. +8 .......... |+8| |7| ......... |-7| 0 .......... |-4| -135 .......... 135 0 .......... -4 -135 .......... |135| |-4| .......... |-12| |135| ......... -135

|-250| .......... |-252| -250 ......... -252

8. Trabaja con la siguiente recta numérica: ... a 0 1 b ... a) Marca en ella los opuestos de “a” y de “b” b) ¿Qué signo tiene “a”? ¿Cómo te has dado cuenta? ¿Y su opuesto? c) ¿Qué signo tiene “b”? ¿Y su opuesto? d) Ordena los seis números de mayor a menor:


63


9. Completa: a) el opuesto de +2 es: b) el opuesto de –8 es: c) el opuesto de +15 es: d) el negativo de +50 es: e) el negativo de –30 es:

10. Calcular: a) el opuesto del negativo de –7 b) el negativo del opuesto de +12

Resuelve en tu cuaderno: 11. En cada inciso ordene los números de menor

a mayor y escriba entre ellos el símbolo > o el símbolo <, según corresponda. a) 2; 1; 4; -1; -8; -2 b) 63; 47; 89; -83; -85; -64 c) 286; 884; 572; -433 d) 7525; 2996; 6477; -6214; -6214; -8357; -

3234

12. En cada inciso ordene de mayor a menor y escriba entre ellos el símbolo > o el símbolo <, según corresponda: a) 40; -32; 28; 77; 0 b) 3; 5; -9; -2; 7; 18 c) 3 241; -5 008; 2 126; 999; -876 d) 18; -59; -23; 132; -6; -220

13. Encuentre el valor absoluto de los siguientes números: a) 186 b) –30 c) 60 d) –174 e) 320 f) -109

14. Encuentre todos los números enteros que son: a) mayores o iguales que 23 y menores que

32 b) mayores que 0 y menores o iguales a 13 c) mayores que –2 y menores que 3 d) mayores que –7 y menores que -1

15. Encuentre un número: a) tres unidades mayor que 12 b) tres unidades mayor que –12 c) dos docenas menor que 34 d) dos docenas menor que –34 e) una centena mayor que 125 f) una centena mayor que –125 g) una centena menor que 50 h) una centena mayor que –50

16. En rectas numéricas represente:

a) los números 0; 10; -10; 20; -20; 30 y -30 b) los números -27; -28; -29; -30; -31 c) los números 0; -1; -2; -3; -4; 1; 2; 3; 4

17. Conteste las siguientes preguntas y exprese la situación con símbolos: a) El lunes, Doña Petra debía en la tienda

de la esquina $ 45. El viernes siguiente debía 434. ¿Mejoró o empeoró su situación?

b) En chihuahua, el día 17 de enero estaban

a 5° bajo cero, y el 20 estaban a 7° bajo cero. ¿Qué día fue más alta de temperatura?

c) El buzo A, baja a 70 metros bajo el nivel

del mar, y el buzo B baja a 81 metros bajo el nivel del mar. ¿Cuál de los dos está más cerca de la superficie?

d) El saldo de la empresa “Caluro S.A.” es

de $12 807 en números rojos, y el de la empresa “Forzo S.A.” es de $ 6 014 en números negros. ¿Cuál de las dos empresas está en mejor situación?

18. Escribe el antecesor y el sucesor de los

siguientes números: a) –105 b) 392 c) –5 001 d) –9 001 e) 3 415 f) –4 999

19. Petronio nació el año 11 a.C. y su hijo Pericles el año 11 d.C. ¿Qué edad tenía Petronio cuando Pericles cumplía 11 años?

20. En Puno se registran las siguientes

temperaturas durante la semana: -4°; 0°; 6°; -1°; -3°; 0°; 5°. ¿Cuál fue la mayor variación de temperatura entre dos días consecutivos?

ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS


64


Regla de Signos en la Adición de Números Enteros 1. Para sumar números enteros del MISMO

SIGNO, sumamos los valores absolutos, y el signo del resultado es el mismo de los sumandos. Ejemplos: a) (-12) + (-8) = (-20) b) (+40) + (+10) = (+50) c) (-300) + (-100) = (-400)

2. Para sumar números enteros de DISTINTO SIGNO, restamos los valores absolutos (el mayor MENOS el menor), y el signo del resultado es el del MAYOR valor absoluto. Ejemplos: a) (-15) + (-5) = (-10) b) (-15) + (+20) = (+5) c) (+8) + (-9) = (-1)

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para hallar la diferencia de dos números enteros transformamos la sustracción en una adición del minuendo con el opuesto del sustraendo. Ejemplo: Minuendo Sustraendo a) Efectuar: (-8) – (-3) El opuesto del sustraendo es (+3) La sustracción convertida en ADICIÓN: (-8) + (+3) = (-5)

PRACTICA PARA LA CLASE

I. Efectuar las siguientes sumas:

1. (+3) + (+8) = 2. (+8) + (-3) =

3. (-8) + (+5) =

4. (-8) + (-7) =

5. (-3) + (-3) =

6. (-9) + (+9) =

7. (+24) + (+32) =

8. (+13) + (-11) =

9. (-7) + (-3) + (-2 ) =

10. (-1) + (-2) + (-3) + (-3) =

11. (+9) + (-3) + (-6) =

12. (+11) + (-9) + (-3) =

13. (-17) + (-15) + (+32) =

14. (-7) + (+7) + (+1) =

15. (-9) + (+9) + (+11) =

16. (+17) + (-11) + (+17) + (-34) =

17. (+21) + (+24) + (+26) + (+69) =

18. (+49) + (+31) + (-24) + (+17) =

19. (+11) + (-7) + (-3) + (-4) =

20. (-3) + (-1) + (-1) + (-1) + (+6) =

II. Efectuar las siguientes sustracciones: 1. (+9) – (+3) = 2. (+8) – (+9) =

3. (+6) – (+12) =

4. (+3) – (+2) =


65


5. (+7) – (+9) =

6. (+11) – (-3) =

7. (+18) – (-9) =

8. (+24) – (-2) =

9. (+31) – (-9)=

10. (-24) – (-3) =

11. (-32) – (+6) =

12. (-81) – (-40) =

13. (-62) – (-60) =

14. (+62) – (-30) =

15. (+311) – (-311) =

16. (+24) – (+24) =

17. (+24) – (1) =

18. (+6) – (-6) =

19. (244) – (+244) =

20. (+22) – (-22) =

III. Efectuar:

1. –3 + 8 – 2 – 5 2. 7 + 37 – 9 + 2

3. 25 – 50 – 100 + 125

4. – 8 – 9 – 10 + 11 + 12

5. (-3 + 8) – (4 – 15)

6. (-31 + 20) + (-8 -15)

7. [-15 – (14 –13) + 8]

8. [15 – (12 –15)] – (15 –12)

IV. Efectuar: 1. {-5 + 7 – [8 – 9 – 10] + 3} – {[–(-5 –8) + 10] –20}

a) –13 b) 21 c) 19 d) –19 e) 13

2. {8 –15 – [(3 – 8 + 6) –13] + 5} a) 8 b) 7 c) –7 d) –8 e) 10

3. [3 + 8 –12 + (15 -17) + 3] –8 +9 a) 1 b) –1 c) 0 d) 11 e) 17

4. -{-[-9 - 9 – (9 –9 -9)] –9} a) 9 b) –9 c) –18 d) +18 e) 0

5. {-[-9 + 8 -(-3 –7)] + [-8 –(7 + 9 +8) –15]} a) 38 b) 36 c) –37 d) 56 e) -56

6. -5 –{-8 – [-7 -6 –(-5 -4)] –3 –2} –1 a) –3 b) +3 c) –4 d) –5 e) –6

7. 45 –{-78 + 90 –[ -10 + 101]} – (150 -157) a) 41 b) 27 c) –27 d) –41 e) 181


66


8. –{7 + [5 –(-7 -2)]} + 5 –{-[9 –(14– 5)+ 3] -5} –8

a) 21 b) 42 c) –21 d) –16 e) 16

V. Hallar los números enteros a colocar en los casilleros, empleando las propiedades estudiadas.

a. + (-17) = (-17) b. + (+2) +(-3) = (-24)

c. – (-3) = (+16)

d. (+3) – (+8) = – (+3)

e. – (+)+(-2) = (+1)–(-3)

f. – (+2) = (-5)–(-2)

g. (+2) +(+3) – = (-7)

h. (-2) +(-7) +(– ) = (-1)

i. (+5) + = (-7)

j. (-17) – = 0

VI. Resolver: 1. Si Pablo nació en el sesquicentenario de

la independencia del Perú, ¿en qué año cumplió 30 años de edad? a) 1991 b) 2001 c) 2000 d) 2002 e) 1999

2. Anita se pone a dieta. El primer mes bajó 400 g el segundo mes bajó 200 más que el mes anterior y el tercer mes subió 600 g. ¿Cuántos gramos bajó Anita en total al tercer mes? a) 200 g b) 1 000 c) 800 d) 900 e) 400

3. Aldo y Carlos tienen juntos S/. 442. ¿Cuánto dinero tiene Aldo si se sabe que tiene S/. 68 menos que Carlos? a) S/. 157 b) 187 c) 127 d) 255 e) 265

4. Dentro de 9 años, mi edad será 6 años más que la de Ricardo. Si actualmente nuestras edades suman 36 años, ¿cuál es la edad de Ricardo? a) 21 b) 15 c) 13 d) 6 e) 8

5. La suma de dos números es 32, si su diferencia es 10, ¿cuál es el menor de dichos números? a) 10 b) 11 c) 12 d) 14 e) 16

6. Al sumar dos números se obtiene 9. si el mayor excede al menor en 18, ¿cuál es el número mayor? a) 55 b) 40 c) 65 d) 90 e) 35

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Regla de signos para la multiplicación de números enteros: 1. “Si dos números enteros tienen el mismo signo, su producto tendrá signo positivo”

Ejemplo:


67


(-5) x (-3) = (+15) (+8) x (+2) = (+16)

2. “Si dos números enteros tienen distinto signo, su producto tendrá signo negativo” Ejemplo: (-5) x (+3) = (-15) (+8) x (-2) = (-16) En resumen: ( + ) ( + ) = ( + ) Observación: Una multiplicación como:

( – ) ( – ) = ( + ) (+5) x (-3)

( + ) ( – ) = ( – ) también puede ser expresada como:

( – ) ( + ) = ( – ) (+5) (-3)

Observación: De la regla de signos para la multiplicación se desprende lo siguiente al multiplicar dos o más factores.

1) Si todos los factores tienen signo POSITIVO, el producto también es POSITIVO.

Ejemplo: a. (+3) (+2)(+5) = +30 b. (+4) (+7) (+1) (+2) = (+56)

2) Si algunos de los factores son de signo negativo, tendremos en cuenta la cantidad de estos factores. 2.1 Si la cantidad de factores que tienen

signo negativo es un número PAR, el producto total es de signo positivo. Ejemplo: a. (-2) (-3) (-1) (-4) = (+24)

N° de factores negativos: 4 ¡PAR!

b. (+5) (-3) (+2) (+4) (-1) = (+120) N° de factores negativos: 2 ¡PAR!

2.2 Si la cantidad de factores que tiene signo negativo es un número IMPAR, el producto total es de signo NEGATIVO. Ejemplos: a. (-8) (-2) (-1) (+3) = (-48)

N° de factores negativos:3 ¡IMPAR!

b. (+3) (+4) (-9) (+1) = (-108) N° de factores negativos: 1 ¡IMPAR!

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS 1. Propiedad de Clausura

“El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número también entero”

Si: a Z y b Z a x b Z

Ejemplo:

Si: (-3) Z y (+4) Z

entonces: (-3) (+4) = (-12) Z

2. Propiedad Conmutativa “El orden de los factores no altera el producto”

a x b = b x a

Ejemplo: (+13) (-3) = (-3) (+13) (-39) = 39


68


3. Propiedad Asociativa “La forma como se agrupen los factores, no altera el producto”

(a x c) x c = a x (b x c)

Ejemplo: [(-5)(+2)] (-3) = (-5) [(+2)(-3)] (-10)(-3) = (-5) (-6) +30 = -30

4. Elemento Neutro “El elemento neutro de la multiplicación de números enteros es el +1. Cualquier número entero multiplicado por el elemento neutro da como producto el mismo número entero”.

a x (+1) = a

Ejemplo: (+157) (+1) = 157

5. Elemento Absorbente “El elemento absorbente de la multiplicación de número enteros es el CERO”. En cualquier multiplicación de dos o más factores si al menos UNO DE ELLOS es CERO, entonces el producto es cero”

a x 0 = 0

Ejemplo: (-1532) (+742) (-3) (0) (-1) = 0

6. Propiedad de monotonía “Si multiplicamos ambos miembros de una igualdad por un mismo número entero, obtenemos otra igualdad”

Si: a = b a x c = b x c

Ejemplo: (-2) (-7) = (+14) multiplicamos ambos miembros por (+3) (-2) (-7) (+3) = (+14) (+3) + 42 = +42

7. Propiedad cancelativa “Si en ambos miembros de una igualdad, aparece como factor un mismo número entero DIFERENTE DE CERO, este puede cancelarse o suprimirse”

Si: a x c = b x c y además c = 0 entonces a = b

Ejemplo: Si: (-3) (+4) (-6) = (-3) (-8) (+3) entonces (+4) (-6) = (-8) (+3) -24 = -24

8. Propiedad distributiva “Si un número entero multiplica a una ADICIÓN, resulta la suma de los productos de dicho número entero por cada uno de los sumandos”

a x (b + c) = a x b + a x c

Ejemplo: (-6) [(+4) + (3)] = (-6) (+4) + (-6)(-3) (-6) [+1] = (-24) + (+18) (-6) = (-6)

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Regla de signos para la división de números enteros:


69


1. Al dividir dos números enteros del MISMO

SIGNO, el cociente obtenido es de SIGNO POSITIVO. Ejemplos:

(+20) (+4) = (+5)

(–40) (–5) = (+8)

2. Al dividir dos números enteros de DISTINTO SIGNO, el cociente obtenido es de SIGNO NEGATIVO. Ejemplos:

(+20) (–5) = (–4)

(–40) (+8) = (–5)

En resumen:

( + ) ( + ) = ( + ) Observación: Las reglas de signos de la multiplicación

( – ) ( – ) = ( + ) y división de números enteros son

( + ) ( – ) = ( – ) similares

( – ) ( + ) = ( – )

PROBLEMAS

I. Completa el siguiente cuadro efectuando las

multiplicaciones indicadas:

X +6 -8 -4 +3 -10 +9 +11

-2

-3

+5

+4

+2

-7

-11

II. Resuelve las siguientes operaciones: 1. (-9) (-3) 2. (+9) (-2)

3. (-10) (+3)

4. (+3) (-2) (+4) (+5)

5. (-1) (-2) (-3) (-4)

6. (-4) (+10) (+3)

7. (+2) (-2) (+2) (-2) (-2)

8. (-2) (+2) (-3) (+4) (-5)

9. (-1) (+2) (-3) (+4) (-5)

10. (-3) (-3) (-3) (+2) (+2) 11. (-2) (-2) (2) ... (-2) (-2)

8 veces

12. (-1) (-1) (-1) ... (-1)

30 veces

13. (-1) (-1) (-1) ... (-1)

101 veces

14. (-1) (+1) (-1) (+1) ... (-1) (+1) 34


70


15. (+5 -3) (+5 -2) (+5 -1) (+1 -5) 16. (-1) (+1) (-1) (+1) ...

13 factores

17. (-1) (-3) (-1) (-3) ...

7 factores

18. (-9) (-8) (-7) (-6) (+5 -3 -2) 19. (-8) (+2) (-1) (+4) (-3 +3)

20. (+12 -20) (+12 -19) (+12 -18) (+12 -17) ... (+12 -2) (+12 -1)

III. Completa el siguiente cuadro efectuando las divisiones indicadas. Coloca un aspa si la división es inexacta

-1 +2 -2 +3 -4 -5 -11 -15

+110

+12

-15

-24

+100

-120

+440

-600

+1000

IV. Efectuar:

1. (-32) (16)

2. (+320) (-16)

3. (+480) (-120)

4. (-1000) (-50)

5. (-132) (+12)

6. (512) (-8)

7. (-1024) (-8)

8. (+444) (+11)

9. (-3522) (-3)

10. (780) (+15)

V. Resolver:


71


1. Si en una multiplicación de tres números

enteros se duplica uno de ellos, ¿qué sucede con el producto?

a) queda multiplicado por 2 b) queda dividido por 2 c) queda multiplicado por 4 d) queda dividido por 4 e) no se altera

2. Si en una multiplicación de tres enteros se duplica cada uno de ellos, ¿qué sucede con el producto?

a) queda multiplicado por 2 b) queda multiplicado por 4 c) queda multiplicado por 6 d) queda multiplicado por 8 e) no se altera

3. Luego de dividir el menor número entero

de dos cifras entre +9 el cociente es: a) +11 b) –11 c) +10 d) +9 e) +1

4. Al dividir el mayor número entero de tres cifras diferentes entre el opuesto de +3, el cociente es: a) –333 b) +333 c) –329 d) +329 e) +309

5. Tengo S/. 101 y quiero dar S/. 15 de propina a cada uno de mis 7 sobrinos, ¿cuánto dinero me falta? a) S/. 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 105

6. Se tiene una multiplicación de 2 factores. Si se duplica uno de ellos y se triplica el otro, ¿en cuánto varía el producto inicial?

a) queda multiplicado por 12 b) queda multiplicado por 6 c) queda multiplicado por 5 d) queda dividido por 6 e) no se altera

7. El producto de dos números no positivos es 18 y su cociente es 2. ¿Cuál es la suma de estos números? a) –12 b) –9 c) –6 d) –14 e) –8

8. Luego de multiplicar el triple de (-24) con la mitad de (-24), el producto es: a) +864 b) –864 c) +3456 d) –3456 e) N.A.

9. Tengo cierto número de pelotas para vender. Si las vendo a S/. 17 cada una, gano S/. 12, pero si las vendería a S/. 15 cada uno perdería S/. 6 en total. ¿Cuántas pelotas tengo para vender? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

10. Si un comerciante vendiera a S/. 11 cada calculadora que tiene, ganaría S/. 60 en total, pero si decide venderlas a S/. 6 cada una, pierde S/. 20 en total. ¿Cuántas calculadoras tiene para vender? a) 24 b) 8 c) 16 d) 12 e) 20

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Podemos definir la potenciación como la multiplicación abreviada. Donde: a: base n: exponente P: potencia Así: a

n = a x a x a x … x a

a1 = a

a0 = 1

00 = No está definido

Observación: En este capítulo veremos la potenciación sólo con exponente natural.

an = P


72


Ejemplos: 1. (+5)

2 = (+5) (+5) = +25

2. (+5)

3 = (+5) (+5) (+5) = +125

3. (-5)2 = (-5) (-5) = +25

4. (-5)

3 = (-5) (-5) (-5) = -125

Signos de potenciación en Z Investiga con otros ejemplos adicionales los signos de la potenciación y completa el cuadro con esos datos.

POTENCIA EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR

Base positiva

Base negativa

En resumen: (+a)

par o impar = +P

(-a)par

= +P (-a)

impar = -P

CASOS ESPECIALES a. Multiplicación de potencias de bases iguales

a

2 x a

3 = (a x a) x (a x a x a) = a

5

a x a

5 = a x (a x a x a x a x a) = a

6

b. División de potencias de bases iguales

a5 a

2 =

2

5

a

a=

aa

aaaaa= a

3

a6 a =

a

a 6

=a

aaaaaa= a

5

c. Potencia de potencia

42a = (a x a) x (a x a) x (a x a) x (a x a) = a8

23a = (a x a x a) x (a x a x a) = a6

RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Ahora que conoces la operación de potenciación, recorre uno de los caminos inversos. Piensa qué número debes elevar a cada exponente para que dé el resultado que se indica y completa.

a) (.........)3 = +8 d) (.........)

2 = +25

b) (.........)

3 = +27 e) (.........)

4 = +16

c) (.........)

2 = +64 f) (.........)

3 = +64

El cálculo que has hecho, recibe el nombre de RADICACIÓN. En el caso del primer ejercicio, la escribimos así:

am x an = a(m+n)

am an = a(m-n)

mnmn aa


73


283 porque 2

3 = 8

En símbolos: índice

ban

porque abn

radical radicando raíz Observación 1: El índice “n” debe ser un número natural mayor que UNO (n>1)

Observación 2: PAR a no está definida en Z.

negativo

Por ejemplo: 25 ; no existe un número entero que elevado al cuadrado, dé como resultado –25.

CASOS ESPECIALES 1. Raíz de una multiplicación indicada:

nnn baba

2. Raíz de una división indicada:

nnn baba

3. Raíz de una potencia:

mnn m aa

PROBLEMAS 1. Completa el número que falta en el casillero

correspondiente: a. (-9)

2 =

b. (-1)

13456 =

c. (-1)

7 =

d. (-1)

8 =

e. (-3)

2 =

f. (-2)

3 =

g. (+7)

2 =

h. (-4)

3 =

i. (-1)

0 =

j. (-7 + 7)

0 =

k. (+12)

2 =

l. (-11)2 =

2. Calcula: a. -3

1 =

b. 3

2 =

c. (-3)

2 =

d. (+3)

2 =

e. (-3)

0 =

f. –3

2 =

g. –(-3)

0 =

h. –(-3)

3 =

3. Resuelve:

a. –3

4 + (-3)

4


74


b. –35 + (-3)

5

c. 0

2 + 2

0 x 2

0

d. 0

2 + (2

0 x 2

0)

4. Completa los casilleros para que se verifiquen las siguientes igualdades: a) (-3)

2 (-3)

3 (-3)

4 (-3)

5 = (-3)

b) (-19)

153 (-19)

118 = (-19)

c) )13()13(

)13()13(16

810

d) (-5)2 (-6)

(-5+5) =

5. Completa el número que falta (si existe) en el casillero correspondiente.

a. 3 27

b. 121

c. 3 8

d. 5 32

e. 4 81

f. 3 64

g. 3 64

h. 49

i. 3 1000

j. 4 625

k.

5 = -32

l. 2 = +16

6. Calcula y completa el siguiente cuadro, en los casos posibles.

Número Cuadrado Cubo

-10

64

27

-2

-16

-64

7. Expresa simbólicamente los enunciados y luego escribe los resultados. a) ¿Qué números naturales elevados al

cuadrado dan un resultado que no supera al número 26?

b) ¿Qué números enteros elevados al

cuadrado dan un resultado que no supera al número 26?

c) Las raíces cúbicas de ciertos números enteros son mayores que 4. ¿Cuáles son esos números?

8. Ingéniatelas para completar los siguientes recuadros:

a) 4

b) 327

c) 4 = 4

d) 3 )64()1000(


75


e) 3

= (-2) (+5)

f) x 36 = 12

9. Resuelve: a) 4 x [(5-2) (1-3)]

2 – (-10-2)

2

b) 10 5 –(-3 +1)3

c) 3 8 x (-4 +9) –(-8 +1)

d) – 16 x (-3) +(-9 +15)2 x (-2)

10. Indicar el resultado de:

[-9+6-3-2-9+1]2

a) +128 b) –256 c) –128 d) +64 e) +256


[+24-18-9+6]3

a) –9 b) –27 c) +27 d) +8 e) –8

12. Indicar el resultado del opuesto del resultado (-2)

5.

a) +24 b) –16 c) –32 d) +32 e) +16

13. Completar el valor que falta en el casillero correspondiente:

(-3)4 =

(-5)

3 =

(-2)

5 =

Dar como respuesta la suma de los resultados. a) –328 b) +228 c) +238 d) –128 e) –238

14. Completar el siguiente casillero para que se verifique la siguiente igualdad:

229

221

)5()5(

)5()5()5( = (–5)

2

a) 8 b) 10 c) 11 d) 7 e) 6

15. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. [[(-3)

2]0]31

= -1 ......................... ( ) II. –3

4 = +81 ......................... ( )

III. 3)3(

)9(3

2

......................... ( )

a) VVF b) VFF c) FFF d) FFV e) VVV

16. Indicar la suma de los valores de los recuadros en: [(-2)

4(-3)

12(+15

3)4] = (+2) (-3) (+15)

a) 76 b) 82 c) 77 d) 81 e) 74

17. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. (-5)

2 = + 25

II. (-3)3 = -27

III. (-7)3 = -243


76


IV. (+2)3 = -8

a) VVFF b) VVVF c) VFVF d) FVFV e) VVVV


4 3 14)3(9275

a) +2 b) –1 c) 0 d) +1 e) No existe en Z

19. Indicar el resultado de restar A de B si:

A = 5 2)2(36

B = 3 0)51(28

a) –3 b) +1 c) –5 d) –1 e) –2

20. Indicar el valor que debe ir en los recuadros:

I. 4 81 =

II. 3 64 =

III. 2432 1 =

Dar como respuesta la suma de valores encontrados. a) +2 b) –2 c) –1 d) +1 e) 0

21. Indicar el valor que debe ir en cada recuadro:

I. 22 )12()5(

II. 3 27

III. 4 2 )11)(7()2(

Dar como respuesta la suma de los dos mayores valores encontrados. a) +3 b) +13 c) –9 d) +16 e) –2

22. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I. 1010003

II. 4 81 No existe en Z

III. 59)2( 4

a) VVV b) VFV c) FVV d) FFV e) FFF

23. Completar el casillero con un número entero para que la igualdad sea correcta:

23827

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) no existe valor

24. Operar:

(-5)2 +

029 9 2)33()2(

a) 20 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

25. Completar los casilleros con números enteros para que la igualdad sea correcta:

49225

Dar como respuesta la suma de valores encontrados: a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24


77


26. Indicar verdadero (V) o falso (F) según

corresponda:

I. 3 = 81, entonces el valor que va en

el recuadro es 4. II. x 9 = 3, entonces el valor que va

en el recuadro es 1.

III. Si: 27 no existe en Z, entonces el

valor que toma el recuadro es un número par.

a) FFF b) FVF c) VVV d) FVV e) FFV

aritmetica 1bim 1ro sec

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