aritmética e teoria dos números

Indaial – 2020

AritméticA e teoriA dos Números

Prof. Leonardo Garcia dos SantosProf. Luiz Carlos Pitzer

1a Edição

Copyright © UNIASSELVI 2020

Elaboração:

Prof. Leonardo Garcia dos Santos

Prof. Luiz Carlos Pitzer

Revisão, Diagramação e Produção:

Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI

Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri

UNIASSELVI – Indaial.

Impresso por:

S237a

Santos, Leonardo Garcia dos

Aritmética e teoria dos números. / Leonardo Garcia dos Santos; Luiz Carlos Pitzer. – Indaial: UNIASSELVI, 2020.

181 p.; il.

ISBN 978-65-5663-024-3

1. Aritmética. - Brasil. 2. Teoria dos números. - Brasil. I. Pitzer, Luiz Carlos. II. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.

CDD 510.7

III

ApreseNtAçãoA Aritmética e a Teoria dos Números são áreas da matemática que

procura estudar, principalmente, os números inteiros. Destes, abordam-se temas como a divisibilidade, os números primos, de onde surge o famoso Teorema Fundamental da Aritmética. Nesta abordagem, ainda, discorrem aplicações importantes para a matemática, por exemplo, as equações diofantinas e as congruências.

A teoria dos números pode ser considerada com a geometria euclidiana, como um dos estudos mais antigos da matemática, haja visto que Euclides em Os elementos dedicou alguns capítulos a este tema. Outro matemático historicamente importante que se dedicou bastante a este estudo foi Carl Friedrich Gauss (1777–1855), onde dizia que a teoria dos números é a rainha da matemática.

Acerca da teoria dos números ainda existem problemas importantes não solucionados (quem sabe você consegue!?). São eles:

• (Conjectura de Goldbach) Todo número natural n > 2 é soma de dois números primos.

• Será que existem infinitos números primos da forma n2 + 1?• Será que existem infinitos números primos da forma 2n – 1? Estes números

primos são chamados de Mersenne.• Será que existem infinitos números primos da forma 22n+1? Estes números

primos são chamados de Fermat.

Neste livro, mostraremos as teorias que permitem a continuidade dos estudos acerca da Aritmética e Teoria dos Números. Ele se divide em três importantes unidades.

Na Unidade 1, estudaremos os números inteiros e suas propriedades. Além disso, daremos foco em métodos importantes de demonstração e o conceito fundamental de divisibilidade. Na Unidade 2, apresentaremos as principais ferramentas deste estudo: O Algoritmo de Euclides (mmc e mdc) e os Números Primos. O primeiro, o alicerce da aritmética, o segundo, os principais atores do processo (você entenderá por quê!). Por fim, na Unidade 3, teremos foco nas aplicações, com as congruências, sistemas de congruências, aritmética dos restos e a criptografia.

Para finalizar, destaca-se que o estudo não será simples. Você deverá ler e reler trechos algumas vezes, resolver os exemplos com a leitura, pesquisar bastante. Essa é uma disciplina bastante técnica e exigirá dedicação e empenho. Realize as autoatividades com atenção e busque apoio sempre que precisar!

IV

Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades em nosso material.

Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura.

O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.

Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questão.

Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar seus estudos com um material de qualidade.

Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE. Bons estudos!

Bons estudos.

Prof. Leonardo Garcia dos SantosProf. Luiz Carlos Pitzer

NOTA

V

Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais que possuem o código QR Code, que é um código que permite que você acesse um conteúdo interativo relacionado ao tema que você está estudando. Para utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!

UNI

VII

Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela um novo conhecimento.

Com o objetivo de enriquecer teu conhecimento, construímos, além do livro que está em tuas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela terás contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complementares, entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar teu crescimento.

Acesse o QR Code, que te levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para teu estudo.

Conte conosco, estaremos juntos nessa caminhada!

LEMBRETE

IX

UNIDADE 1 – NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE ...........................................................1

TÓPICO 1 – NÚMEROS INTEIROS ......................................................................................................31 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................32 ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO ............................................................................................................43 ORDENAÇÃO DOS INTEIROS ..........................................................................................................6 4 PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃO ................................................................................................9RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................12AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................14

TÓPICO 2 – INDUÇÃO MATEMÁTICA ...........................................................................................151 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................152 PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA .................................................................................153 DEFINIÇÃO POR RECORRÊNCIA ..................................................................................................22RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................29AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................30

TÓPICO 3 – DIVISIBILIDADE ............................................................................................................331 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................332 DIVISIBILIDADE .................................................................................................................................33

2.1 PROPRIEDADES DA DIVISIBILIDADE ......................................................................................353 DIVISÃO EUCLIDIANA ....................................................................................................................39RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................42AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................43

TÓPICO 4 – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO .....................................................................................451 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................452 SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL .......................................................................................453 SISTEMA DE NUMERAÇÃO EM UMA BASE QUALQUER .....................................................464 EXPANSÃO DE UM NÚMERO EM BASE B ..................................................................................47LEITURA COMPLEMENTAR ...............................................................................................................50RESUMO DO TÓPICO 4........................................................................................................................56AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................57

UNIDADE 2 – ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS ........................................59

TÓPICO 1 – MDC E MMC .....................................................................................................................611 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................612 MÁXIMO DIVISOR COMUM ..........................................................................................................61

2.1 CÁLCULO DO MDC .......................................................................................................................652.2 FATORAÇÃO MÚLTIPLA .............................................................................................................652.3 ALGORITMO DE EUCLIDES ........................................................................................................68

3 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ........................................................................................................753.1 CÁLCULO DO MMC ......................................................................................................................77

sumário

X

RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................79AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................80

TÓPICO 2 – APLICAÇÃO DE MDC ....................................................................................................811 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................812 EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES .......................................................................................81RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................93AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................94

TÓPICO 3 – NÚMEROS PRIMOS .......................................................................................................971 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................972 NÚMEROS PRIMOS ...........................................................................................................................97RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................103AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................104

TÓPICO 4 – NÚMEROS ESPECIAIS.................................................................................................1051 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................1052 PRIMOS DE FERMAT .......................................................................................................................1053 NÚMEROS PERFEITOS ....................................................................................................................1064 PRIMOS DE MERSENNE .................................................................................................................1095 FATORAÇÃO DO FATORIAL EM PRIMOS ................................................................................110LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................115RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................119AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................120

UNIDADE 3 – CONGRUÊNCIA ........................................................................................................121

TÓPICO 1 – CONCRUÊNCIAS ..........................................................................................................1231 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................1232 ARITMÉTICA DOS RESTOS ...........................................................................................................123RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................133AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................134

TÓPICO 2 – APLICAÇÃO DE CONGRUÊNCIA ............................................................................1371 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................1372 PROVA DOS NOVE ...........................................................................................................................1373 PEQUENO TEOREMA DE FERMAT ..............................................................................................1394 TEOREMA DE EULER .......................................................................................................................1425 TEOREMA DE WILSON ...................................................................................................................148RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................150AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................151

TÓPICO 3 – CONGRUÊNCIAS LINEARES E CLASSES RESIDUAIS ......................................1531 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................1532 CONGRUÊNCIAS LINEARES ........................................................................................................1533 TEOREMA CHINÊS DOS RESTOS ...............................................................................................1554 ARITMÉTICA DAS CLASSES RESISUAIS ..................................................................................158RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................163AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................164

XI

TÓPICO 4 – NOÇÕES DE CRIPTOGRAFIA RSA .........................................................................1651 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................1652 CRIPTOGRAFIA RSA .......................................................................................................................165RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................178AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................179REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................181

1

UNIDADE 1

NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

PLANO DE ESTUDOS

A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:

• conhecer as propriedades e as estrutura dos números inteiros;• reconhecer as operações de adição e de multiplicação e as propriedades

construídas a partir delas;• desenvolver a capacidade para demonstração de propriedades;• aplicar o conceito de adição e multiplicação em questões relacionadas

com a divisibilidade;• compreender o sistema de numeração e como é possível representá-los

em outras bases numéricas.

Esta unidade está dividida em quatro tópicos. No decorrer da unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.

TÓPICO 1 – NÚMEROS INTEIROSTÓPICO 2 – INDUÇÃO MATEMÁTICATÓPICO 3 – DIVISIBILIDADETÓPICO 4 – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

Preparado para ampliar teus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverás melhor as informações.

CHAMADA

3

TÓPICO 1UNIDADE 1

NÚMEROS INTEIROS

1 INTRODUÇÃO

É extremamente curioso e intrigante como a matemática, ao longo dos anos, vem se desenvolvendo e contribuindo para o surgimento de novas tecnologias e descobertas. Apesar das inúmeras aplicações, existe uma matemática esperando ser utilizada, a qual chamamos de matemática pura. Porém, apesar de termos grandes avanços em vários momentos ao analisar a história da humanidade, tudo referente à fundamentação da matemática passou por grandes questionamentos no final do Século XIX.

Neste primeiro momento, daremos fundamentos axiomáticos, para a construção desta disciplina, que foi desenvolvido pelo matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), no final do Século XIX. Ele foi quem contribui para a menor lista de axiomas, para obter os números naturais e, consequentemente, os inteiros.

Os números naturais possuem como ideia simples e primordial a noção intuitiva de contagem. Porém, houve a necessidade de criar outros números, entre eles, os números negativos. Estes possuem, como uma de suas aplicações, as atividades comerciais. Suas regras operatórias foram publicadas em 1572 pelo matemático Rafael Bombelli.

O conjunto dos números inteiros, { }, 2, 1, 0, 1, 2,= … − − … , é munido das operações de adição e de multiplicação. Neste conjunto, há um subconjunto muito importante que utilizaremos bastante, o dos números naturais, que trataremos sem a utilização do zero, { }1, 2, 3, .= …

Acadêmico, você sabe o que são axiomas? São sentenças que não necessitam ser provados ou demonstrados, simplesmente são consideradas evidentes dentro da matemática.

NOTA

UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE

4

2 ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO

Para fins de simplificação, a lista de axiomas que utilizaremos para construir as propriedades será bastante sucinta. Porém, como o intuito é estudar outras partes da teoria, selecionamos as seguintes propriedades:

A1 – A adição e multiplicação são Bem Definidas. Para todos , , ’, ’ ,se ’ ’, então ’ ’ e ’ ’a b a b a a e b b a b a b a b a b∈ = = + = + ⋅ = ⋅

A2 – A adição e a multiplicação são Comutativas.Para todos , , , e a b a b b a a b b a∈ + = + ⋅ = ⋅

A3 – A adição e a multiplicação são Associativas.( ) ( ) ( ) ( )Para todos , , , , e a b c a b c a b c a b c a b c∈ + + = + + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

A4 – A adição e a multiplicação possuem Elementos Neutros.Para todo , , 0 e 1a a a a a∈ + = ⋅ =

Assim, 0 é o Elemento Neutro da adição e 1 é o Elemento Neutro da multiplicação.

A5 – Adição possui elemento simétrico.( )Para todo , ,existe tal que 0a b a a b∈ = − + =

A6 – A multiplicação é distributiva com relação à adição.Para todos , , , ,a b c ∈ tem-se ( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅

Esse conjunto de propriedades que estão representados pela letra A e mais um número serão nossas ferramentas para mostrar a validade de algumas propriedades do conjunto dos números inteiros e que se estenderam a toda estrutura algébrica de um anel.

Caro acadêmico, você sabe o que é um anel? Um anel A é um conjunto munido com as operações de adição (+) e de multiplicação (·), obedecendo as seguintes propriedades na adição: associatividade, comutatividade, elemento neutro e simétrico; na multiplicação: associatividade; na adição combinado com a multiplicação: distributiva.

NOTA

TÓPICO 1 | NÚMEROS INTEIROS

5

Exemplo 1: realize a demonstração da proposição 0 0a ⋅ = para todo a∈ .

Resolução: para realizar a demonstração, utilizaremos das terminologias adotadas nos axiomas anteriores.

Utilizando A4 (elemento neutro) ( )0 0 0a a⋅ = ⋅ +

Utilizando A6 (distributiva) ( )0 0 0 0 0a a a a⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅

Logo, 0 0 0a a a⋅ = ⋅ + ⋅

Somando ( )0a− ⋅ a ambos os membros da igualdade A1 (adição bem definida):

( )( ) ( ) ( )( )0 0 0 0 0a a a a a⋅ + − ⋅ = ⋅ + ⋅ + − ⋅

Aplicando A5 (simétrico) no lado esquerdo e A3 (associatividade) no lado direito, obtemos:

( )( )( )0 0 0 0a a a= ⋅ + ⋅ + − ⋅

Aplicando A5 no lado direito 0 0 0a= ⋅ + .

Por fim, aplicando A2 (comutativo) e A6 no lado direito 0 0a= ⋅ .

Como queríamos demonstrar.

Perceba que nesse primeiro exemplo, apresentamos, de forma detalhada, a cronologia dos eventos. Isso teve um motivo bem lógico, que é familiarizar o leitor com esse tipo de demonstração. É importante comentar que não há a necessidade de ser tão meticuloso na demonstração, você pode realizá-la de forma mais rápida, como fizemos na última etapa da demonstração.

A adição nos fornece condições suficientes para definir uma outra operação, que chamaremos de subtração.

D1 – Seja dado dois números inteiros a e b, define-se o número b menos a, denotando essa operação por b – a, como sendo ( )b a b a− = + − e dizemos que b – a é o resultado da subtração de a de b.


6

Exemplo 2: mostre que se 0a b+ = , então b a= − e a b= − .

Resolução: primeiramente, demonstraremos que vale a igualdade b a= − .

Partindo de 0a b+ = , somaremos (–a) em ambos os membros A1 ( ) ( ) ( )0a b a a+ + − = + − .

Aplicando A3 na esquerda e A2 na direita ( )( ) ( ) 0a b a a+ + − = − + .

Aplicando A3 e A2 na esquerda, primeiramente dentro dos parênteses, obtemos ( )( ) ( ) 0a a b a+ − + = − + .

Aplicando A5 na esquerda e A4 na direita 0 b a+ = − .

Aplicando A2 e A4 na esquerda .b a= −


Demonstraremos, agora, que vale a igualdade a b= − .

Partindo de 0a b+ = , somaremos (–b) em ambos os membros A1 ( ) ( ) ( )0a b b b+ + − = + − .

Aplicando A3 na esquerda e A2 na direita ( )( ) ( ) 0a b b b+ + − = − + .

Aplicando A5 na esquerda ( )0 0a b+ = − + .

Por fim, aplicando A4 em ambos os membros .a b= −


3 ORDENAÇÃO DOS INTEIROS

Vimos, anteriormente, algumas propriedades que são válidas para os inteiros. Desta forma, dando continuidade, veremos mais duas importantes propriedades que contribuirão para a demonstração de algumas proposições. Para facilitar, usaremos a mesma forma de denotar tais propriedades.

A7 – Fechamento nos : O conjunto dos é fechada para a adição e multiplicação, ou seja, para todo , ,a b c∈ , tem-se que a b+ ∈ e a b⋅ ∈.

A8 – Tricotomia: Dados ,a b∈ , uma, e apenas uma, das seguintes possibilidades é verificada:


7

I. a = bII. b a− ∈III. ( )b a a b− − = − ∈

A propriedade (ii) nos diz que se a é menor que b, o qual denotaremos por a < b, seu resultado será um número natural. (caso tenha dúvida, teste algumas possibilidades). No caso da propriedade (iii), temos o caso contrário, caso b seja menor que a, ou seja, b < a, temos um número natural. Desta forma, podemos entender que a tricotomia nos fornece que, para ,a b∈ , apenas uma, e somente uma, das seguintes condições será verificada:

I. a = bII. a < bIII. b < a

Perceba que outra importante definição é ao utilizarmos a notação b > a, ou seja, b é maior que a, estamos representando a < b.

NOTA

Apresentaremos algumas propriedades que podem ser demonstradas pelos axiomas vistos até o momento, e, em alguns casos, realizaremos sua demonstração.

Proposição 1: a relação “menor do que” é transitiva: , , , e . .a b c a b b c a c∀ ∈ < < < Demonstração: supomos que e a b b c< < , então usando A8 temos, b a− ∈ e c b− ∈ . Por A1 que diz que a adição é fechada, temos que:

( ) ( ) ,c a b a c b− = − + − ∈ logo a c< .

Proposição 2: a adição e a lei do cancelamento são compatíveis com respeito à relação “menor do que”: , , , .a b c a b a c b c∀ ∈ < ⋅ + < + Demonstração: ⇒ supondo que a b< , então b a− ∈ . Desta forma, ( ) ( ) ,b c a c b a+ − + = − ∈ o que implica que .a c b c+ < +

⇐ supunha que a c b c+ < + , então ( ) ( )b c a c+ − + ∈ . Desta forma, ao somar (–a) em ambos os lados da desigualdade, obtemos a recíproca desejada.

Proposição 3: a multiplicação por elementos de é compatível e passível de cancelamento com respeito à relação “menor do que”:

, , , .a b c a b ac bc∀ ∈ ∀ ∈ < ⋅ <


8

Demonstração: ⇒ supondo que a b< , então b a− ∈ . Desta forma, escolhendo um c∈ e sabendo por A7 que a multiplicação é fechada nos naturais, temos:

( ) ,b c a c b a c⋅ − ⋅ = − ⋅ ∈ o que implica que .ac bc<⇐ supunha que ac bc< , com c∈ . Por A8 tricotomia, temos três casos para analisar.

(I) – a b= Está é falsa, pois isso tornaria .ac bc=(II) b a< – Pela primeira parte da demonstração, podemos notar que acarretaria

b c a c⋅ < ⋅ , o que também é falso. (III) – a b< Logo, está é a única possibilidade.

Proposição 4: a multiplicação é compatível e passível de cancelamento com respeito à igualdade: { } , , \ 0 , , .a b c a b ac bc∀ ∈ ∀ ∈ = =

Tente demonstrar está propriedade. Além de citar que a notação { }\ 0 significa o conjunto dos números naturais, exceto o zero, uma dica que deixamos para você, acadêmico, que pode te ajudar na demonstração, é seguir a ideia da proposição anterior e também utilizá-la com argumentos para provar a volta.

DICAS

Essa proposição é bem objetiva quanto ao cancelamento na multiplicação, não sendo possível cancelar se o número for o zero. Isso já é bem natural em várias situações da matemática. Veja este exemplo:

Exemplo 3: resolva a equação 2 4x x= com x∈ .Resolução: por descuido, é possível simplificar o x em ambos os lados, obtendo, x = 4 como solução. Você pode estar se perguntando: mas o problema não está resolvido? A resposta é não, pois, não foi levado em consideração que o x poderia ser zero, é pela definição que vimos anteriormente, isso não pode ser feito. Porém, veremos o porquê!

2 4x x=

Somando (–4x) em ambos os lados:

2 4 0x x− =


9

Aplicando a distributiva:

( )4 0x x − =

Logo, é intuitivo perceber que x = 0 e x = 4 são duas possibilidades para a resolução da equação.

Um outro exemplo mais simples seria pensar na igualdade 2 0 3 0⋅ = ⋅ , que é verdade. Porém, ao cancelar o zero em ambos os lados, não obtemos uma igualdade com 2 = 3.

Neste último momento, definiremos uma importante proposição. Nos falta, porém, definir, por completo, a relação de ordem. Sendo assim, diremos que a é menor ou igual do que b, ou que b é maior ou igual do que a, denotando por a b≤ ou b a≥ , se a < b, ou a = b. Desta forma, a relação de ordem é satisfeita, pois possui as seguintes propriedades:

(I) É reflexiva: ,a a a∀ ∈ ≤ .(II) É antissimétrica: , , , e .a b a b b a a b∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ = (III) É transitiva: , , , , e a b c a b b c a c∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ ≤ .

Com essa definição, podemos definir a importante noção de valor absoluto ou módulo. Seja a∈ , definimos:

, 0, 0.

a se aa

a se a ≥

= − <

O módulo ou valor absoluto de um número inteiro, representado por |a|, possui as seguintes propriedades básicas:

Proposição 5: para ,a b∈ e r∈ , temos:

I. ;a b a b⋅ = ⋅

II. a r≤ se, e somente se, ;r a r− ≤ ≤III. ;a a a− ≤ ≤IV. a desigualdade triangular: .a b a b a b− ≤ ± ≤ +

Exemplo 4: para , ,a b c∀ ∈ , mostre que vale: a < b e b c a c≤ ⇒ < .Demonstração: se a < b e b c≤ , então é como se tivéssemos: a < b e (b < c ou b = c). Desta forma, uma das duas possibilidades a < b e b < c ou a < b e b = c.

Perceba que ambas implicam em a < c (na primeira, por transitividade e, na segunda, apenas pela troca). Portanto, se a < b e b c a c≤ ⇒ < .


10

4 PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃO

Veremos, agora, o nono e último axioma, que nos darão condições suficientes para deduzir todas as propriedades que estão ligadas aos números inteiros, e que fornecerão uma propriedade que diferenciará os inteiros dos demais conjuntos. Com esse nono axioma será possível, então, caracterizar o conjunto dos números inteiros.

Vamos, primeiramente, recordar a definição do que seria um conjunto limitado inferiormente. Dizemos que um subconjunto S de é limitado inferiormente, se existir c∈ tal que c x≤ para todo x S∈ . Dizemos que a S∈ é um menor elemento de S se a x≤ para todo x S∈ , denotando por min(S) = a.

Um exemplo de conjunto limitado inferiormente é o próprio conjunto dos naturais, que possui o 1 como menor elemento.

IMPORTANTE

A9 – Princípio da Boa Ordenação: se S é um subconjunto não vazio de e limitado inferiormente, então S possui um menor elemento.

Vejamos como esse axioma pode diferenciar os inteiros dos racionais e dos reais. Se escolhermos um intervalo aberto qualquer (2, 4), perceba que tanto os racionais como os reais estão limitados inferiormente, porém, ambos não possuem um menor elemento. Pois, é sempre possível conseguir encontrar um valor cada vez mais próximo do 2.

Veremos, agora, algumas propriedades dos inteiros, possíveis de serem demonstradas com este axioma, porém realizaremos a demonstração apenas de algumas, ficando a cargo do leitor as demais.

Proposição 6: não existe nenhum número inteiro n tal que 0 < n < 1.Demonstração: vamos supor por absurdo que exista um valor n com esta propriedade. Sendo assim, o conjunto { }, 0 1 S a a= ∈ < < não é vazio. Logo, S possui um menor elemento x, com 0 < x < 1. Porém, multiplicando a desigualdade por x, obtemos 0 < x2 < x, ou seja, atribuindo o que já supomos 0 < x2 < x < 1. Portanto, 2x S∈ . Contradição!

Corolário 1: dado um número inteiro n qualquer, não existe nenhum número inteiro m tal que n < m < n + 1.


11

Demonstração: vamos supor por absurdo que exista um valor m com esta propriedade. Somando (–n) a cada termo da desigualdade, obtemos:

( ) ( ) ( )1n n m n n n+ − < + − < + + −

0 < m – n < 1

Porém, pela proposição anterior, temos que, entre zero e um, não há número inteiro, logo uma contradição.

Corolário 2: sejam ,a b∈ . Se 1a b⋅ = , então 1.a b= = ±

Corolário 3: sejam ,a b∈ com 0b ≠ , então .a b a⋅ ≥Demonstração: pela proposição anterior, temos que, não existe valor entre zero e um, logo, com 0b ≠ , então 1b ≥ . Sendo assim, .a b a b a⋅ = ⋅ ≥

Corolário 4: (Propriedade Arquimediana) sejam ,a b∈ com 0b ≠ , então existe n∈ tal que .n b a⋅ >

Esse corolário quer nos dizer algo bem importante da matemática: que um conjunto (como os inteiros) não possui números infinitamente grandes ou infinitamente pequenos, pois sempre é possível obtermos números cada vez maiores ou menores. Já havíamos definido conjunto limitado inferiormente, agora, completaremos o Princípio da Boa Ordenação com a definição de conjunto limitado superiormente.

Proposição 7: se T é um subconjunto de não vazio e limitado superiormente, então T possui um maior elemento.

Denotaremos, caso exista, o maior elemento do conjunto T, por max(T ) e por convenção, que o conjunto vazio é limitado superiormente por qualquer cota superior.

Agora que todas as proposições já foram esclarecidas e que Princípio da Boa Ordenação está bem definido, podemos apresentar no próximo tópico, sua principal consequência: Princípio da Indução Matemática.

Este princípio consta também nos axiomas de Peano, que falam sobre o sucessor de um número natural. Você pode aprofundar seus conhecimento acessando o link: https://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/Afonso_TN18.pdf.

DICAS

12

Neste tópico, você aprendeu que:

• A adição e multiplicação são Bem Definidas:

para todos , , ’, ’ ,se ’ ’, então ’ ’ e ’ ’.a b a b a a e b b a b a b a b a b∈ = = + = + ⋅ = ⋅

• A adição e a multiplicação são Comutativas: para todos , , , e a b a b b a a b b a∈ + = + ⋅ = ⋅ .

• A adição e a multiplicação são Associativas:

( ) ( ) ( ) ( )para todos , , , , e a b c a b c a b c a b c a b c∈ + + = + + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ .

• A adição e a multiplicação possuem Elementos Neutros para todos , , 0 e 1 .a a a a a∈ + = ⋅ =

• A Adição possui elemento simétrico:

( )para todos , ,existe tal que 0a b a a b∈ = − + = .

• A multiplicação é distributiva com relação à adição: para todos , , , ,a b c ∈ tem-se ( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅

• Existe Fechamento nos : O conjunto dos é fechada para a adição e multiplicação, ou seja, para todo , ,a b c∈ , tem-se que a b+ ∈ e a b⋅ ∈.

• A propriedade da Tricotomia: Dados ,a b∈ , uma, e apenas uma, das seguintes possibilidades é verificada:

RESUMO DO TÓPICO 1

( )

(I) ; = (I) ;

(II) ; = (II) ;

(III) . = (III) .

a b a b

b a a b

b a a b b a

= =

− ∈ <

− − = − ∈ <

• O Princípio da Boa Ordenação: Se S é um subconjunto não vazio de e limitado inferiormente, então S possui um menor elemento.

• A relação de ordem é satisfeita com as seguintes propriedades: (i) É reflexiva: ,a a a∀ ∈ ≤ . (ii) É antissimétrica: , , , e .a b a b b a a b∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ = (iii) É transitiva: , , , , e a b c a b b c a c∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ ≤

13

• Para ,a b∈ e r∈ , temos: (i) ;a b a b⋅ = ⋅ (ii) a r≤ se, e somente se, ;r a r− ≤ ≤ (iii) ;a a a− ≤ ≤ (iv) a desigualdade triangular

.a b a b a b− ≤ ± ≤ +

14

1 Para , ∈a b , mostre que:

AUTOATIVIDADE

2 Mostre que para todo , ∈a b , vale a propriedade:

( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

( )

2 2

3 3

a)

b) 1

c)

d)

e)

g

1 1 1

f

)

)

a a

a a

a b a b

a b a b

a a

b b

− − =

⋅ = −

− ⋅ = − ⋅

− ⋅ − =

− ⋅ − = ⋅

−

− = −

−

=

( )( )( ) ( )( ) ( )

a)

b)

c)

d

0

)

e)

a a

a b a a

b a a b

a b c a c b

a b c a b c

− =

− + = − −

− − = −

− − = + −

− + = − −

15

TÓPICO 2

INDUÇÃO MATEMÁTICA

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃONeste tópico, veremos a forma de demonstrar pelo Princípio da Indução

Matemática, “essa expressão designa o princípio que serve para o estabelecer a verdade de um teorema matemático em um número indefinido de casos” (ABBAGNANO, 2012, p. 645).

Além de aprender a formalidade da demonstração, traremos várias aplicações, tanto para situações acadêmicas do estudo da matemática, quanto para as atividades com os estudantes das escolas.

2 PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA

Para entender um pouco o funcionamento do teorema antes de apresentá-lo, vamos supor algo bem intuitivo, acredito que você já tenha se divertido com este tipo de brincadeira que envolve dominós.

Imagine uma quantidade de dominós colocados em sequência, de modo que ao derrubar um deles, o procedimento se estenderá até o último deles. Na prática, o método da brincadeira com dominós possui um funcionamento bem simples. Garanta que todos estejam alinhados, que o primeiro funcione e que este influencie no próximo e assim por diante. Assim, mesmo que a fila seja indefinidamente extensa, podemos garantir que todos os dominós cairão.

Teorema 1: (Princípio da Indução Matemática) sejam S um subconjunto de e a∈ tais que:

(I) a S∈(II) S é fechado em relação à operação de “somar 1” a seus elementos, ou seja,

, 1n n S n S∀ ∈ ⇒ + ∈ .

Então, { };x x a S∈ ≥ ⊂ .

Parece simples o teorema, porém, apesar da simplicidade de imaginar que o sucessor de um número pertence a um subconjunto dos inteiros, este serve como base para um importante método de demonstração, que chamaremos de Prova por Indução Matemática.


16

As ciências naturais utilizam o método chamado indução empírica para formular leis que devem reger determinados fenômenos a partir de um grande número de observações particulares, selecionadas adequadamente. Esse tipo de procedimento, embora não seja uma demonstração de que um dado fato é logicamente verdadeiro, é frequentemente satisfatório (FONSECA, 2011, p. 30).

Apesar do comentário de Fonseca ser “satisfatório”, pode não ser relevante para várias situações da matemática, em que o intuito é que uma proposição seja válida para um certo conjunto de números.

Bertrand Russel (1872-1970), matemático inglês, batizou a indução empírica de forma irônica, chamando de indução galinácea, que apresentava a seguinte história:

Havia uma galinha nova no quintal de uma velha senhora. Diariamente, ao entardecer, a boa senhora levava milho às galinhas. No primeiro dia, a galinha, desconfiada, esperou que a senhora se retirasse para se alimentar. No segundo dia, a galinha, prudentemente, foi se alimentando enquanto a senhora se retirava. No nonagésimo dia, a galinha, cheia de intimidade, já não fazia caso da velha senhora. No centésimo dia, ao se aproximar a senhora, a galinha, por indução, foi ao encontro dela para reclamar o seu milho. Qual não foi a sua surpresa quando a senhora a pegou pelo pescoço com a intenção de pô-la na panela (HEFEZ, 2009, p. 10).

Admitir que algo funcione para uma certa quantidade de valores não significa que funcione para qualquer uma delas. Esse foi o caso da galinha da estória do matemático Russel. Achou que funcionaria novamente no caso 100, porém, a prova não foi muito bem o esperado, pelo menos para a galinha.

Veremos exemplos extremamente curiosos sobre a raciocínio indutivo que darão ênfase ao motivo de “demonstrar para validar”.

Exemplo 5: encontramos um polinômio ( ) 2 – 41P n n n= + , que fornece apenas números primos. Veja na tabela a seguir, os 40 primeiros números obtidos através dele:

TÓPICO 2 | INDUÇÃO MATEMÁTICA

17

n P(n) n P(n) n P(n) n P(n)1 41 11 151 21 461 31 9712 43 12 173 22 503 32 10333 47 13 197 23 547 33 10974 53 14 223 24 593 34 11635 61 15 251 25 641 35 12316 71 16 281 26 691 36 13017 83 17 313 27 743 37 13738 97 18 347 28 797 38 14479 113 19 383 29 853 39 1523

10 131 20 421 30 911 40 1601

TABELA 1 – VALORES APLICADOS EM P(n)

FONTE: Os autores

Será que conhecemos, então, um polinômio que fornece apenas números primos? Apesar de todos os números obtidos até o momento serem realmente primos, o polinômio não funciona para ( )41 1681 41 41P = = ⋅ . Notem como é importante na matemática a demonstração. Apesar de refutarmos a ideia do polinómio com um contraexemplo, é fundamental trabalhar com verdades.

Caso você tenha ficado surpreso com este polinômio, vamos lhe apresentar outro caso:

( ) 2 79 1601T n n n= − + .

Este polinômio fornece primos do 1 até o 79, falhando em:

( ) 280 80 79 80 1601 1681 41 41T = − ⋅ + = = ⋅ .

Sendo assim, aceite apenas afirmações que forem demonstradas para todos os números.

DICAS


18

Teorema 2: (Prova por Indução Matemática) sejam a∈ e seja p(n) uma sentença aberta em n. Suponha que:

(I) p(a) é verdadeiro, e que(II) é verdadeiro.

Então, p(n) é verdadeiro para todo n a≥ .

O teorema nos diz que, se um certo valor a goza da sentença definida nos números inteiros, e que, além disso, o sucessor de a também goza desta sentença, então todos os números deste conjunto gozam desta sentença.

Diferente da indução empírica já comentada, a indução matemática não deixa pontos abertos quanto à validade de uma proposição. Mesmo que uma sentença seja verdade para uma finidade de valores, isso não significa que funcionará para todos.

Segundo Hefez (2016, p. 15), o primeiro registro da utilização do Princípio da Indução Matemática foi feita por Francesco Maurolycus, em 1575, na tentativa de encontrar uma fórmula exata, para a soma dos n primeiros números naturais ímpares: ( )1 3 2 1 .nS n= + +…+ −

Acompanhe o resultado obtido, quando realizamos a soma dos seis primeiros casos:

( ) ( ) , 1n a p n p n∀ ≥ ⇒ +

1

2

3

4

5

6

• 1

• 1 3 4

• 1 3 5 9

• 1 3 5 7 16

• 1 3 5 7 9 25

• 1 3 5 7 9 11 36

S

S

S

S

S

S

=

= + =

= + + =

= + + + =

= + + + + =

= + + + + + =

É intuitivo perceber que a fórmula ( )1 3 2 1 ,nS n= + +…+ − é o resultado da soma dos n números naturais ímpares. Ela nos fornece uma conjectura, para um raciocínio indutivo em que 2

nS n= . Porém, já vimos anteriormente que nada está provado ainda. Vamos, então, utilizar do Princípio da Indução Matemática para realizar a demonstração. Os passos para realizar tal demonstração são simples:


19

(I) Queremos provar que a propriedade ( ) 2: nP n S n= vale para todo n∈. Verificaremos inicialmente que P(1) é válida. De fato: 2

1 1 1 S = = o que é verdade.

(II) Agora, vamos supor que P(n) é verdadeira para certo valor de n, somamos ambos os membros da igualdade por (2n + 1), obtemos:

Logo ( ) ( )1P n P n⇒ + . Assim, pelo Princípio da Indução, a proposição P(n) vale para todo n∈ .

Colocaremos duas explicações da demonstração que não foram colocadas no exemplo, pois, “poluiriam” a escrita:

• Somar (2n + 1) em ambos os lados da igualdade está ligado ao sucessor do próximo termo da sequência, ou seja, qual é o próximo número depois do (2n – 1). Para saber quem deve ser acrescido, devemos trocar no último termo da sequência (2n – 1), o n por n + 1. Perceba: ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 2 2 1 2 1n n n n − ⇒ + − = + − = + .

• Após somarmos em ambos os lados da igualdade por (2n + 1), devemos conseguir realizar a implicação para o sucessor da nossa conjectura, ou seja, que o ( )22 1n n⇒ + .

Para que você possa familiarizar com o método da indução, faremos alguns exemplos variados que lhe contribuirão com artifícios lógicos e manipulações matemática elementares importantíssimas para formular a ideia da utilização desta ferramenta.

Exemplo 6: mostre que para n∈, vale:

( ) ( )1 1 1 1 2 2 3 11

n hipótese de induçãonn n

+ + + =⋅ ⋅ ++

Demonstração: usaremos o Princípio da Indução Finita. Queremos provar que a propriedade:

( ) ( )1 1 1:

1 2 2 3 11nP n

nn n+ + + =

⋅ ⋅ ++

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

1 3 2 1 2 1 2 1

1 3 2 1 2 1 1

n n n n

n n n

+ +…+ − + + = + +

+ +…+ − + + = +


20

Vale para todo n∈. Verificaremos inicialmente que P(1) é válida. De fato:

( )1 1 1

1 1 21 1 1= ⇒

++

O que é verdade.

Supondo que P(n) é verdadeira para certo valor de n, somamos ambos os membros da igualdade por

( )( )1 , obtendo:

1 2n n+ +

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )2

1 1 1 1 11 2 2 3 11 1 2 1 2

2 1

1 2

2 1 1 2

nnn n n n n n

n nn n

n nn n

+ + + + = +⋅ ⋅ ++ + + + +

+ +=

+ +

+ +=

+ +

( )( )( )

1 ²

1 2

1 2

nn n

nn

+=

+ +

+=

+

Logo, ( ) ( )1P n P n⇒ + . Assim pelo Princípio da Indução, a proposição P(n) vale para todo n∈.

Exemplo 7: encontre uma fórmula para n∈ , que determina a soma da sequência:

2 4 8 2 .n+ + + +

Resolução: queremos encontrar uma fórmula para a seguinte soma:

( )2 4 8 2 InnS = + + + +

(que é o sucessor da expressão mostrada como hipótese de indução)


21

Note que ela é uma progressão geométrica, então multiplicaremos ambos os lados por 2, obtemos:

( )12 4 8 16 2 2 IIn nnS +⋅ = + + + + +

Subtraímos (II) de (I), temos:

1 2 4 8 16 2 2

2 4 8 2

n nn

nn

S

S

+⋅ = + + + + +

− = + + + +

( )12 2 2 2 1n nn nS S+= − + ⇒ = −

Note que vários valores se cancelam:

4 e 4, 8 e 8, ..., 2n e 2n,sobrando apenas dois

elementos.

Desta forma, montamos nossa fórmula, ( )2 4 8 2 2 2 1 .n n+ + + + = − Tente realizar a demonstração!

Exemplo 8: encontre uma fórmula para n∈ , que determina a soma da sequência:

( ) ( )1 4 7 3 5 3 2 .n n+ + + + − + −

Resolução: queremos encontrar uma fórmula para a seguinte soma:

( ) ( ) ( )1 4 7 3 5 3 2 InS n n= + + + + − + −

Note que ela é uma progressão aritmética, então vamos reordenar a soma, obtendo:

( ) ( ) ( )3 2 3 5 7 4 1 IInS n n= − + − + + + +

Somando (I) de (II), temos:

( ) ( )( ) ( )

1 4 3 5 3 2

3 2 3 5 4 1

n

n

S n n

S n n

= + + + − + −

= − + − + + +

1 2 4 8 16 2 2

2 4 8 2

n nn

nn

S

S

+⋅ = + + + + +

− = + + + +

( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 3 1 3 1 3 1nS n n n n= − + − +…+ − + −

n vezes

+


22

( )( )

2 3 1

3 1

2

n

n

S n n

n nS

⇒ = −

−⇒ =

Portanto, a fórmula procurada é ( ) ( ) ( )3 11 4 7 3 5 3 2

2n n

n n−

+ + + + − + − = . Novamente, tente realizar está demonstração!

Já vimos uma quantidade significativa da aplicação do Princípio da Indução Matemática, porém, existe uma variação chamada Princípio da Indução Completa que abrange outros casos muito importantes.

Teorema 3: (Prova por Indução Completa) seja p(n) uma sentença aberta tal que

(i) p(a) é verdadeiro, e que(ii) ( ) , n p a∀ e p(a + 1) e ••• e ( )p n ⇒ p(n + 1) é verdadeiro

Então, p(n) é verdadeiro para todo n a≥ .

A diferença entre o Princípio de Indução Matemática com este, é que enquanto no primeiro tínhamos um número natural n qualquer e tentamos provar que P(n + 1) é verdadeira baseado apenas, na hipótese de que P(n) é verdadeira. Na indução completa, prova-se que P(n + 1) é verdadeira fundamentado no fato de que as proposições P(1), P(2), P(3), ..., P(n) são todas verdadeiras, ou seja, em vez de admitir que apenas P(n) é verdadeira, pode-se admitir que P(1), P(2), ..., P(n) são verdadeiros, desta forma, temos mais base e consistência na demonstração.

3 DEFINIÇÃO POR RECORRÊNCIA

Para dar continuidade ao desenvolvimento das aplicações do método da indução, veremos o conceito de recorrência, que trará mais rigor no tratamento de algumas situações matemáticas.

Muitas sequências, como as aritméticas e geométricas, podem ser definidas recursivamente, ou seja, mediado de uma regra que possibilita calcular qualquer termo, em função do antecessor imediato.


23

Exemplo 9: seja a sequência ( )1 5 9 4 3n+ + +…+ − com n∈. Essa é uma sequência bem conhecida, uma progressão aritmética de razão 4. Logo, uma forma de defi nir o próximo termo da sequência an+1, por recorrência, resumir-se-ia na expressão:

1 4.n na a+ = +

Ou, ainda, a soma de todos Sn os termos, seria defi nida por

1 1.n n nS S a+ += +

Perceba que neste exemplo elementar conseguimos notar a aplicação do conceito de recorrência por duas vezes, uma defi nindo o próximo termo da sequência e, no outro caso, a soma até determinado ponto. É importante ressaltar que podemos denotar somas como a dos exemplos anteriores, pela notação de somatório:

1

.n

n ii

S a=

=∑

IMPORTANTE

FIGURA – EXPLICAÇÃO DA NOTAÇÃO DE SOMATÓRIO

FONTE: Os autores

Existem algumas propriedades que apenas apresentaremos sobre o somatório. Sejam ai e bi duas sequências de elementos de um conjunto A munida de duas operações sujeitas às leis da aritmética e seja .c A∈ Vale as seguintes propriedades:


24

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

1 1 1

1 1

1 1 11

1

I

II

III

IV

n n n

i i i ii i i

n n

i ii i

n

i i ni

n

i

a b a b

c a c a

a a a a

c nc

= = =

= =

+ +=

=

+ = +

⋅ = ⋅

− = −

=

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

Exemplo 10: encontre uma expressão fechada para a soma( )1 2 2 3 3 4 1 .n n⋅ + ⋅ + ⋅ +…+ ⋅ +

Resolução: perceba que podemos escrever este somatório por:

( )1

1 .n

i

i i=

⋅ +∑

Utilizando da distributiva e da propriedade (i), temos:

( ) ( )2 2

1 1 1 1

1n n n n

i i i i

i i i i i i= = = =

⋅ + = + = +∑ ∑ ∑ ∑

Usando os resultados do exercício 1 itens a) e b), que são:

( ) ( )( )2 2 21 1 2 11 2 e 1 2

2 6n n n n n

n n+ + +

+ +…+ = + +…+ =


25

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

2

1 1

1 2 1 16 2

1 2 1 3 1

6

1 2 1 3

6

1 2 4

6

1 2 .

3

n n

i i

n n n n ni i

n n n n n

n n n

n n n

n n n

= =

+ + ++ = +

+ + + +=

+ + +=

+ +=

+ +=

∑ ∑

Podemos escrever então,

Por recorrência, é possível definir o fatorial de um número inteiro, com 0n ≥ , denotado por n!, como sendo 0! = 1! = 1 e ( ) ( )1 ! ! 1 ,n n n+ = ⋅ + se 1n ≥ .

Outra importante aplicação da recorrência está na definição da operação de potenciação. Seja a um elemento de um conjunto A munido de duas operações sujeitas às leis básicas da aritmética. As potências an com n inteiro, 0n ≥ , são definidas por recorrência, como:

a1 = a e a0 = 1, se 0,a ≠ então 1n na a a+ = ⋅ .

Com está definição, podemos apresentar e provar as propriedades da potenciação.

Proposição 8: sejam ,a b A∈ e , m n∈ . Então:

( )( ) .

(I) .

(II) .

(III)

m n m n

nm m n

n n n

a a a

a a

a b a b

+

⋅

⋅ =

=

⋅ = ⋅

Demonstração: demonstraremos os itens (i) e (ii) apenas.

Item (i): Fixando a e m arbitrariamente, realizaremos a prova por indução sobre n. Verificamos inicialmente que para n = 1 a propriedade é verdadeira,

1 1.m m ma a a a a +⋅ = ⋅ =


26

Supondo que m n m na a a +⋅ = , temos que:

( ) ( )1 1 1 1m n m n m n m n m na a a a a a a a a a a+ + + +⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =

Logo, por indução, a propriedade é válida.

Note que as duas partes da demonstração obedecem a definição de potenciação e utiliza como artifício a associatividade da multiplicação.

NOTA

Item (ii): fixando a e m arbitrariamente realizaremos a prova por indução sobre n. Verificamos inicialmente que para n = 1 a propriedade é verdadeira,

( )1 1.m m ma a a ⋅= =

Supondo que ( )nm m na a ⋅= , temos que:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 .n n m nm m m m n m m n ma a a a a a a a+ ⋅ +⋅ ⋅ += ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Logo, por indução, a propriedade é válida.

Neste caso, utilizamos para a demonstração, definição de potenciação, propriedade (i) e da distributiva da multiplicação.

INTERESSANTE

Com essas definições, podemos realizar mais alguns exemplos de aplicação da prova por indução.

Exemplo 11: mostre que para cada n∈ , é válida a propriedade

( )2 4 8 2 2 2 1 .n n+ + + + = −


27

Demonstração: usaremos o Princípio da Indução Finita para provar então que a propriedade:

( ) ( ): 2 4 8 2 2 2 1n nP n + + + + = −

Vale para todo n∈. Verificaremos inicialmente que P(1) é válida. De fato: ( )12 2 2 1 2 2= − ⇒ = , o que é verdade.

Supondo que P(n) é verdadeira para certo valor de n, somamos ambos os membros da igualdade por 2n+1, obtendo:

( )1 12 4 8 2 2 2 2 1 2n n n n+ ++ + + + + = − +

( )

1 1

1

2 2 2

2 2 1

n n

n

+ +

+

= − +

= −

Logo ( ) ( )1P n P n⇒ + . Assim, pelo Princípio da Indução, P(n) vale para todo n∈ .

Exemplo 12: seja a∈ , mostre que para cada n∈, existe um m∈, tal que:

2 1( 1) 1.na ma+− = −

Demonstração: usaremos o Princípio da Indução Finita. Queremos provar que a propriedade

( ) 2 1: ( 1) 1nP n a ma+− = −

Vale para todo n∈ e para todo m∈ . Verificaremos inicialmente que P(1) é válida. De fato:

( )2 1 3 3 2 2( 1) ( 1) 3 3 1 3 3 1a a a a a a a a+− = − = − + − = − + −

Substituindo a2 – 3a + 3 por m, temos: am –1.

O que mostra que é válida para 1. Supondo que P(n) é verdadeira para certo valor de n, multiplicando ambos os membros da igualdade por (a – 1)2, obtendo:

( ) ( )

( )( )

( )

2 22 1

2 3 2

3 2 2

2

( 1) 1 ( 1) 1

( 1) 1 2 1

2 2 1

2 2 1

n

n

a a ma a

a ma a a

a m a m a am a

a a m am a m

+

+

− − = − −

− = − − +

= − − + + −

= − − + + −


28

Substituindo 2 2 2a m am a m− − + + por t = at – 1

Logo ( ) ( )1P n P n⇒ + . Assim pelo Princípio da Indução, P(n) vale para todo n∈ .

Exemplo 13: mostre que para cada n > 4 com n∈ , vale n! > 2n.Demonstração: usaremos o Princípio da Indução Finita. Queremos provar

que a propriedade P(n): n! > 2n vale para todo n∈ com 4n ≥ .

Verificaremos inicialmente que P(4) é válida. De fato: 44! 2 24 16,> ⇒ > o que é verdade.

Supondo que P(n) é verdadeira para certo valor de n, multiplicamos ambos os membros da igualdade por (n + 1), obtendo: n! (n + 1) > 2n(n + 1)

Como mencionado n deve ser maior ou igual a 4, portanto: 4n ≥

Somando 1 a ambos os lados 1 5n+ ≥ com 5 é menor que 2, podemos escrever 1 5 2,n+ ≥ > ou seja, n + 1 > 2 multiplicando ambos os lados por 2n:

Substituindo II e I, temos

Logo, ( ) ( )1P n P n⇒ + . Assim pelo Princípio da Indução, a propriedade P(n) vale para todo n∈ .

Neste ponto de nosso estudo, vimos uma forma de demonstração muito importante. Ela será bastante útil para entender e mostrar vários resultados posteriores em nosso material. Você poderá ler mais sobre aplicações especiais acerca da indução matemática, na Leitura Complementar desta unidade.

( ) 12 1 2 (II)n nn ++ >

( ) ( )1 ! 2 1 (I)nn n+ >

( ) ( )( )

1

1

1 ! 2 1 2

1 ! 2

n n

n

n n

n

+

+

+ > + >

+ >

29

RESUMO DO TÓPICO 2


• A Prova por Indução Matemática: sejam a∈ e seja p(n) uma sentença aberta em n. Suponha que:

(i) p(a) é verdadeiro, e que(ii) n a∀ ≥ , ( ) ( )1p n p n⇒ + é verdadeiro.Então, p(n) é verdadeiro para todo n a≥ .

• A Prova por Indução Completa: seja p(n) uma sentença aberta tal que(i) p(a) é verdadeiro, e que(ii) ( ) , n p a∀ e p(a + 1) e ... e ( ) ( )1p n p n⇒ + é verdadeiroEntão, p(n) é verdadeiro para todo n a≥ .

• As Propriedades do somatório são:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 11 1 1 1

1 1 1

I

II

III

IV

n n n n

i i i i i i ni i i i

n n n

i ii i i

a b a b a a a a

c a c a c nc

+ += = = =

= = =

+ = + − = −

⋅ = ⋅ =

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

• A definição do fatorial de um número inteiro, com 0n ≥ , denotado por n!, como sendo:

( ) ( )0! 1! 1 e 1 ! ! 1 , se 1.n n n n= = + = ⋅ + ≥

• A definição da operação de potenciação. Seja a um elemento de um conjunto A munido de duas operações sujeitas às leis básicas da aritmética. As potências an com n inteiro, 0n ≥ , são definidas por recorrência, como: a1 = a e a0 = 1, se 0,a ≠ então 1n na a a+ = ⋅ .

• Sejam , e , a b A m n∈ ∈ . Então,

( )( )

(I)

(II)

(III)

m n m n

nm m n

n n n

a a a

a a

a b a b

+

⋅

⋅ =

=

⋅ = ⋅

30

AUTOATIVIDADE

1 Mostre as seguintes fórmulas por indução:

2 Ache uma fórmula para cada uma das seguintes somas:

( )

( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

2 2 2

2

3 3 3

222 2

22 2

1a) 1 2

2

1 2 1b) 1 2

6

1c) 1 2

2

4 1d) 1 3 2 1

3

2 1 2 1e) 2 4 2

3

1 1 1f) 1 2 2 3 11

31 1 1g) 1 2 3 2 3 4 1 2 4 1 2

1 1 1h) 1 3 3 5 2

n nn

n n nn

n nn

n nn

n n nn

nnn n

n nn n n n n

++ +…+ =

+ ++ +…+ =

++ +…+ =

−+ +…+ − =

+ ++ +…+ =

+ +…+ =⋅ ⋅ +⋅ +

++ +…+ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + +

+ +…+⋅ ⋅ ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 11 2 1

1 1 1i) 1 4 4 7 3 13 2 3 1

1 1 1j) 1 5 5 9 4 14 3 4 1

nnn n

nnn n

nnn n

=+− ⋅ +

+ +…+ =⋅ ⋅ +− ⋅ +

+ +…+ =⋅ ⋅ +− ⋅ +

( )( )( )

a) 1 3 2 1

b) 1 4 3 2

c) 2 6 4 2

d) 3 9 3

1 1 1 1e) 3 9 27 3

n

n

n

n

n

+ +…+ −

+ +…+ −

+ +…+ −

+ +…+

+ + …+

31

( )( )( )

a) 1 3 2 1

b) 1 4 3 2

c) 2 6 4 2

d) 3 9 3

1 1 1 1e) 3 9 27 3

n

n

n

n

n

+ +…+ −

+ +…+ −

+ +…+ −

+ +…+

+ + …+

3 Calcule fórmulas fechadas para as seguintes somas:

5 Mostre por indução as seguintes observações.

4 Seja a∈ . Mostre que

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

a) 1 1 2 1 2 3 ∙∙∙ 1 2 ∙∙∙ .

b) 1∙2∙3 2∙3∙4 3∙4∙5 ∙∙∙ 1 2 .

c) 1∙3 3∙5 5∙7 ∙∙∙ 2 1 2 1 .

d) 1 1 2 1 2 3 ∙∙∙ 1 2 3 ∙∙∙ .

n

n n n

n n

n

+ + + + + + + + + +

+ + + + + +

+ + + + − +

+ + + + + + + + + + +

( )

( )2.

)

b

a para cada , existe tal que 1 1.

para cada , existe tal que ) 1 1

n

n

n m a ma

n m a ma

∈ ∈ + = +

∈ ∈ − = +

2

2 , para todo .

! , para todo com 4.

! 3 , para todo com 7.

! , para todo com 2.

a)

b)

c)

d)

n

n

n

n n

n n n n

n n n

n n n n

> ∈

> ∈ ≥

> ∈ ≥

< ∈ ≥

33

TÓPICO 3

DIVISIBILIDADE

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃONeste tópico, apresentaremos o conceito de divisibilidade, retomaremos

e aprofundaremos os conceitos acerca dos números inteiros. Além disso, utilizaremos uma linguagem um pouco mais formal do que normalmente utilizamos para apresentar o conceito de divisibilidade.

Reforçando, divisibilidade não é nenhuma novidade e podemos tratá-la como uma continuação do conceito de múltiplos e divisores, porém com uma abordagem diferente. Veja a divisão de um número inteiro a por um número inteiro não nulo b.

Note que se r = 0, resulta que a q b= × e seguem as seguintes relações:

• a divisão de a por b tem resto 0;• a divisão de a por b é exata;• a é divisível por b;• a é um múltiplo de b;• b é um divisor de a;

Ou seja, lembrando que são 5 afirmações verdadeiras desde que r = 0, para designar o mesmo fato.

2 DIVISIBILIDADE

Neste subtópico, dando sequência a ideia explorada na introdução, teremos que desenvolver uma sexta afirmação, pois será interessante colocar o zero em algumas oportunidades. Desse modo, poderemos falar também de “pares” de números inteiros a e b, tais que exista um número inteiro t, de modo que .a t b= ×

34


Esta sexta forma de tratar a divisão é a nomenclatura clássica da aritmética e teoria dos números.

ATENCAO

Definição 1: dados a e b, números inteiros. Afirmaremos que b divide a, se existir .t∈ de modo que .a t b= × De mesmo modo, diremos que b não divide a, quando não puder ser escrita a forma .a t b= × , com .t∈

Notações:

• b | a indica que b divide a;• b a indica que b não divide a.

Essa relação aqui definida é a de divisibilidade de números inteiros.

Não pode ser confundida a relação de divisibilidade b | a com a de fração b | a.

IMPORTANTE

Exemplos:1) 5|15, pois 15 3 5 e 3 .= × ∈2) Mas 15 5 , pois não existe t inteiro tal que 5 15t= × . Note ainda:

• Para o caso de t = 0, teremos 15 0 5t× = ≠ ;• Para o caso de t = 1, teremos 15 15 5t× = ≠ ;• Caso t > 1, teremos 15 15 5, e assim 15 5t t× > > × ≠ ;

3) 1 | k, para todo k∈ , uma vez que 1 ,k k= × para todo k;4) Este aqui é um tanto polêmico e por este motivo iremos reforçar esta análise

mais tarde em nosso material:

0 | 0, pois, por exemplo, 0 7 0= × e ainda 7 .∈

Proposição 8: 0 | a, se e somente se, a = 0.

TÓPICO 3 | DIVISIBILIDADE

35

Mostraremos este caso para destituir a polêmica criada pelo exemplo 4 anterior. Como pode ser notado, estamos lidando com um caso de “se e somete se”, e assim sendo temos que mostrar:

0 0 0 0 a a e a a⇒ = = ⇒

(I) Mostraremos incialmente o primeiro caso. Seja a um número inteiro tal que 0 | a. Deste modo, utilizando a definição de divisibilidade, existe k∈ , tal que 0a k= × . Mas, sabe-se que 0 0k× = , logo, a = 0.

(II) Suponhamos agora que a é um número inteiro qualquer, é fácil notar que a | a, sendo que 1a a= × , para todo a inteiro e ainda 1 .∈ Particularmente, se a = 0, chegamos a mesma conclusão. Logo, 0 | a.

Por (i) e (ii), concluímos que 0 | 0.a a⇔ =

Observações importantes:

1. Denotaremos por m • n, ou mn o produto do número m pelo número n.2. Se b | a, e 0b ≠ , então o número inteiro t, em que a = tb é único. Se considerarmos

que existe um k (outro inteiro) onde a = kb, teríamos que kb = tb, sendo que supondo 0b ≠ , podemos cancelar b e obter k = t.

3. Já justificamos que 0 | 0. Porém, é interessante perceber que 0 1 0, 0 5 0, 0 12 0, 0 147 0,= × = × = × = × ou seja, o número t não é único. Assim, dizemos que o quociente de 0 por 0 é indeterminado. Por isso, é verdade que

0 | 0, porém, 00

não está definido.

4. Pelo fato da não unicidade citada na observação anterior, é comum não utilizar zero como divisor. Assim, daqui em diante iremos supor os divisores diferentes de zero, apesar de não ser dito de modo explícito.

5. Poderemos utilizar as seguintes expressões, mesmo se b = 0:

• b é um divisor de a.• a é múltiplo de b.

6. Se b = 0 não poderemos utilizar:

• a divisão de a por b tem resto 0;• a divisão de a por b é exata;• a é divisível por b.

2.1 PROPRIEDADES DA DIVISIBILIDADE

Neste momento, apresentaremos as propriedades iniciais da divisibilidade de números inteiros. Essas propriedades são fundamentais, pois serão utilizadas na demonstração de outros resultados e ainda para resolver problemas propostos.

36


Propriedade 1: se a | b e b | a, então a = b.

Para se compreender o que esta propriedade trata, devemos imaginar que para cada número inteiro diferente de zero a, o único número b (inteiro) que é concomitantemente múltiplo e divisor de a, é o próprio a.

Demonstração: se a | b e b | a, então, por definição, existem números inteiros t e k tais que b = ta e a = kb. Dessa forma, a = k(ta) = (kt)a. Mas 0a ≠ ; logo, de a = (kt)a, segue que kt = 1. No entanto, t e k são números inteiros; portanto, kt = 1 só é possível se k = t = 1 e, assim, b = ta (ou a = kb) segue que a = b.

Propriedade 2: se a | b e b | m, então a | m.

Essa propriedade é conhecida como a propriedade de transitividade da divisibilidade. Ou seja, informalmente: divisor do divisor é divisor!

Demonstração: se a | b e b | m, então, por definição, existem números inteiros t e k de modo que b = ta e m = kb. Assim, temos que: m = k(ta) = (kt)a (i) mas como t e k são números inteiros, então x = kt também será um número inteiro, já que o produto de dois números inteiros é um número inteiro. Dessa forma, por (i), temos que m = xa, com x∈ . Portanto, por definição, a | m.

Propriedade 3: se a | m e a | n, então a | m + n.

Essa propriedade nos informa que se a é divisor de dois números m e n, teremos que a também será divisor da soma m + n.

Demonstração: se a | m e a | n, então, por definição, existem números inteiros t e k de modo que m = ta e n = ka. Assim, temos que: m + n = ta + ka = (t + k)a (i), mas como t e k são números inteiros, então z = t + k também será um número inteiro, já que a soma de dois números inteiros é um número inteiro. Dessa forma, por (i), temos que m + n = za, com z∈ . Portanto, por definição, a | m + n.

Propriedade 4: se a | m, então a | mn.

Essa propriedade nos mostra que se a divide m, a também divide qualquer múltiplo de m.

Demonstração: se a | m, então, por definição, existe um número inteiro k tal que m = ka. Então, para qualquer número inteiro n, temos que mn = (ka)n = (kn)a. Dessa forma, se fizermos kn = t, então teremos que mn = ta, com t∈ , e isso é suficiente para garantir que a | mn.

Propriedade 5: se a | m e a | n, então a | xm + yn, para quaisquer números inteiros x e y.


37

Informalmente, podemos definir essa propriedade sendo que se a é divisor de m e n, então a também será divisor da soma dos produtos xm e yn, com

xe y∈ .

Demonstração: utilizaremos as propriedades 3 e 4. Desta forma, suponhamos que a seja um divisor de m e de n. Portanto, se x e y são números inteiros, então, pela propriedade 4, temos que a | xm e a | yn. Como temos que, a | xm e a | yn, utilizamos a propriedade 3 para concluir que a é divisor da soma entre xm e yn. Assim, podemos afirmar que a | xm + yn, para ,x y∈ .

Além de demonstrar essas propriedades importantes e, obviamente, já munidos delas, resolveremos alguns problemas que tratam de divisibilidade.

Exemplo 14: 1008 é divisível por 21?Resolução: sim, uma vez que ( )41008 3 7 2 3= ⋅ ⋅ ⋅ . E, ainda, realizando

42 3 k⋅ = , temos que 1008 3 7 21k k= ⋅ ⋅ = , com k∈ .

Exemplo 15: o número 42 5⋅ é divisível por 3?Resolução: não, basta notar que a decomposição deste número não

contém o número 3.

Exemplo 16: encontre o menor número natural n tal que n! é divisível por 990.

Resolução: como 990 2 3² 5 11= ⋅ ⋅ ⋅ , para que n! seja divisível por 990, é necessário que em sua decomposição haja todos esses fatores. 11 é primo, logo, ele mesmo tem que estar contido no produto. Observe que 11! é divisível por 2, por 32 e por 5. Assim, n = 11 é o menor valor possível, pois o fatorial de qualquer outro número menor que este não terá o fator 11 em sua decomposição.

Tentaremos notar que a divisibilidade em é uma relação de ordem, uma vez que:

(I) É reflexiva: para todo a, temos que a | a.(II) É transitiva: se a |b e b | c, temos que a | c.(III) É antissimétrica: se a | b, e b | a, então a = b.

Tente voltar no texto e determinar quais as propriedades que justificam tais afirmações.

ATENCAO

38


A partir disso, mostraremos alguns resultados relevantes:

Proposição 9: sejam , e a b n∈ ∈ , então a – b | an – bn.

Demonstração: usaremos indução em n.

É elementar que a propriedade é válida para n = 1. Pois, a – b | a1 – b1 = a – b. Supondo agora a propriedade válida para n, ou seja, a – b | an – bn, escreveremos percebendo que podemos somar e subtrair um valor de uma expressão, sem alterar o seu valor:

( ) ( )1 1 .n n n n n n na b aa bb a b a b a b+ +− = − + − = − + −n nba ba

Como a – b | a – b, e por hipótese a – b | an – bn, decorre da propriedade 5, que a – b | an+1 – bn+1. Verificando o resultado para todo n.

Proposição 10: sejam , e a b n∈ ∈ , então a + b | a2n+1 – b2n+1.

Demonstração: utilizaremos novamente indução em n. Note que a propriedade é válida para n = 0. Utilizaremos zero para fins de

simplificação dos raciocínios, veja que a + b | a1 + b1. Supondo válida a propriedade para n, ou seja, a + b | a2n+1 – b2n+1, escreveremos:

( ) ( )

( ) ( )

2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

2 2 2 1 2 1 2 1

² ² ²

² .

n n n n n n

n n n

a b a a b a b a b b

a b a b a b

+ + + + + + + +

+ + +

− = − + +

= − + +

Como a + b | a2 – b2 = (a – b)(a + b), e, por hipótese, a + b | a2n+1 – b2n+1, decorre das propriedades anterior que a + b | a2(n+1)+1 – b2(n+1)+1, verificando o resultado para todo n.

Proposição 11: sejam , e a b n∈ ∈ , então a + b | a2n – b2n.

Demonstração: novamente, utilizaremos indução em n.

Notamos que a afirmação é válida para n = 1, pois é elementar notar que a + b | a2 – b2 = (a – b)(a + b). Supondo agora válida a propriedade para n, temos que a + b | a2n – b2n. Então, escreveremos:

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2² ² ² ² .n n n n n n n n na b a a b a b a b b a b a b a b+ +− = − + − = − + −

Como a + b | a2 + b2, e, por hipótese, a + b | a2n – b2n, decorre das propriedades anteriores que a + b | a2(n+1) – b2(n+1), verificando o resultado para todo n.


39

Exemplo 17: para quais valores de ,a∈ temos que 4 3 22 | 2 1a a a a+ + + + .Resolução: teremos como hipótese que 4 3 22 | 2 1a a a a+ + + + , logo,

podemos reescrever utilizando as proposições anteriores, sendo:

( )4 4 3 3 3 3 2 22 | 2 2 2 2 1 16 8 8 4a a a a a+ − + + + + + − + + + − − +

Sabemos, então que:

Logo, basta verificar os valores para os quais: a + 2 | 5.

Como 5 é divisível por 1 e 5, teremos que:

( )2 1 1 , a a nãoconsideraremos poisaé natural+ = ⇒ = − (não consideraremos, pois a é natural)ou

2 5 3.a a+ = ⇒ =

Exemplo 18: mostre que 53 | 74n – 24n

Resolução: temos que, ( )24 2 2 47 49 53 4 53 4 53 2nn n n nk k k= = − = − = +

Logo: 74n – 24n = 53kPortanto, 53 | 74n – 24n.

3 DIVISÃO EUCLIDIANA

Neste ponto de nosso material, introduziremos um conceito baseado nos estudos de Euclides, nos seus Elementos, em que é tratado que mesmo que quando um número inteiro a não divide outro inteiro b, é citado que sempre é possível efetuar a divisão, porém, neste caso, com um resto (lembrando que Euclides só tratava de números positivos).

Teorema 4 (Divisão Euclidiana): sejam a e b, dois números inteiros quaisquer, com 0a ≠ . Existem dois números (únicos) q e r, tais que: , 0b a q r com r a= ⋅ + < ≤ .

Demonstração: vamos considerar o seguinte conjunto (incluindo o zero):

{ } { }( ); 0 .S x b ay y= = − ∈ ∩ ∪

4 4 2 2

3 3 2 1 2 1

2 2 2 2

pois

pois .

, pois .

• 2 | 2 , | .

• 2 | 2 , |

• 2| 2 |

n n

n n

n n

a a a b a b

a a a b a b

a a a b a b

+ +

+ − + −

+ + + −

+ − + −

40


Demonstraremos dois fatos, a existência dos valores q e r e fato de serem únicos.

Existência: utilizando a Propriedade Arquimediana, dizemos que existe n∈, tal que n (–a) > b, e, assim, temos que b – na > 0. Esse resultado mostra que S não é vazio. Percebendo que S é limitado inferiormente por zero, podemos utilizar o princípio da boa ordenação e aferir que S possui um menor elemento r. A partir disso, vamos supor que r = b – aq. Sabendo que 0r ≥ , devemos mostrar

agora que .r a< Supomos, então, por absurdo que r a≥ . Desta forma existe

{ }0s∈ ∪ , em que r a s= + , e assim, 0 .s r≤ < Contudo, isso contradiz o fato que r é o menor elemento de S.

Unicidade: suponhamos que 'b aq r aq r= + ′= + , onde , , , 'q q r r′ são inteiros. Ainda temos que perceber que: 0 0r a e r a≤ < ≤ ′ < . Assim, vem:

.a r r r a′− < − ≤ − < O que resulta que: . r r a′ − < Por outro lado, ( )' , a q q r r− = −′ o que gera: ' . a q q r r a− −′= < O que só é possível, quando

e 'q q r r′= = .

Esse resultado nos mostra os números q e r, que são respectivamente nomeados de quociente e resto da divisão de b por a.

Nesta divisão (euclidiana) o resto só será zero, caso a | b.

ATENCAO

Exemplo 19: como exemplo do resultado visto, podemos afirmar que para a divisão de 19 por 5, temos q = 3 e r = 4. Pois, sabemos que b a q r= ⋅ + , assim 19 5 3 4= ⋅ + . Já se tivéssemos –19 por 5, seriam q = – 4 e r = 1. Pois, ( )19 5 4 1− = ⋅ − + .

Exemplo 20: mostrar que o resultado da divisão de 10n por 9 é sempre 1, para todo n.

Resolução: para garantir a veracidade do resultado, utilizaremos indução em n. De fato, para n = 1, é elementar, pois, 110 9 1 1= ⋅ + . Agora, supondo válido o resultado para n, ou seja, 10 9 1n q= ⋅ + , iremos escrever:

( ) ( )110 10 10 9 1 10 9 10 10 9 10 9 1 9 10 1n n n n n n nq q+ = ⋅ = + ⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ + +


41

O que mostra o resultado válido para todo n natural.

Proposição 12: dados dois naturais a e b, com a > 0, existe um inteiro n, tal que: ( )1na b n a≤ < + .

Demonstração: esta proposição procura mostrar que um sempre existe um número b entre dois múltiplos de um número natural a. Estes múltiplos são representados por na e (n + 1)a, ou seja, a multiplicação de a por n e por seu sucessor. Utilizando o conceito visto de divisão euclidiana, temos ,q r∈ , com 0 r a≤ < , determinados univocamente, em que b a q r= ⋅ + . Basta usar agora, n = q.

Prezado acadêmico, os próximos dois exemplos serão citados sem sua devida demonstração, porém, fica como sugestão você procurar mostrar ou criar situações em sua mente que permitam comprovar sua veracidade.

DICAS

Exemplo 21: dado um número inteiro n, temos duas possibilidades:

(I) A divisão de n por 2, tem resto 0, ou seja, existe ,q∈ onde n = 2q, ou ainda,(II) A divisão de n por 2, tem resto 1, ou seja, existe ,q∈ onde n = 2q + 1.

A partir disso, classificamos os números inteiros em dois tipos, os números pares e os números ímpares.

Exemplo 22: Todo número inteiro pode ser escrito na forma n = mk + r, com 0 r m≤ < . Ilustrando:

• Todo número n, pode ser escrito como 3k, ou 3k+1 ou 3k+2• Todo número n, pode ser escrito como 4k, ou 4k+1, ou 4k+2 ou 4k+3, e assim por

diante.

Exemplo 23: determinaremos a quantidade de múltiplos de 5, entre 1 e 253.Resolução: sabemos que pela divisão euclidiana, podemos escrever:

253 5 50 3= ⋅ + . Deste modo, o maior deles é 5 50⋅ , e, assim sendo, podemos escrever os múltiplos de 5 entre 5 e 253: 1 5, 2 5, 3 5,..., 5 50⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Que obviamente resultam em 50 valores.

Os estudos que seguem abordarão vários conceitos, e todos eles estão fortemente ligados com o conceito de divisibilidade. Desta forma, é importante que você esteja bastante apropriado deste embasamento teórico para a sequência de seus estudos.

42

RESUMO DO TÓPICO 3


• Dados a e b, números inteiros. Afirmaremos que b divide a, se existir t∈ de modo que . a t b= × De mesmo modo, diremos que b não divide a, quando não puder ser escrita a forma . a t b= × , com t∈ .

• b | a indica que b divide a;• b a indica que b não divide a.

• Se a | b e b | a, então a = b.

• Se a | b e b | m, então a | m.

• Se a | m e a | n, então a | m + n.

• Se a | m, então a | mn.

• Se a | m e a | n, então a | xm + yn, para quaisquer números inteiros x e y.

• Sejam , e a b n∈ ∈ , então a – b | an – bn.

• Sejam , e a b n∈ ∈ , então a + b | a2n+1 – b2n+1.

• Sejam , e a b n∈ ∈ , então a + b | a2n – b2n.

• Sejam a e b, dois números inteiros quaisquer, com 0a ≠ . Existem dois números (únicos) q e r, tais que:

, com 0b a q r r a= ⋅ + < ≤

• Dados dois naturais a e b, com a > 0, existe um inteiro n, tal que:

( )1na b n a≤ < +

• Dado um número inteiro n, temos duas possibilidades:

(I) A divisão de n por 2, tem resto 0, ou seja, existe ,q∈ onde n = 2q, ou ainda,(II) A divisão de n por 2, tem resto 1, ou seja, existe ,q∈ onde n = 2q + 1.

• Todo número inteiro pode ser escrito na forma n = mk + r, com 0 r m≤ < .

43

1 Mostre que dados a, b e c inteiros, com 0c ≠ , temos: .ac bc a b⇔

2 Determinar a soma de todos os múltiplos de 6 que podem ser escritos com 2 dígitos.

3 Com quantos zeros termina 1000!

4 Mostre utilizando indução:

a) 8 | 32n + 7b) 169 | 33n+3 – 26n – 27

5 Mostre que 70 7013 | 2 3 .+

6 Mostre que para todo n:

a) 9 | 10n – 1b) 8 | 32n – 1

7 Para quais valores de a, temos que a + 2 | a4 + 2.

8 Determine o quociente e o resto da:

a) Divisão de 36 por 7.

b) Divisão de 147 por 32.

9 Verifique a paridade:

a) Da soma de dois números inteiros.

b) Da diferença de dois números inteiros.

c) Do produto de dois números inteiros.

d) Da soma de n ímpares.

10 Mostre que a é par, se e somente se, an é par.

11 Seja a terna de números n, n + 1 e n + 2, mostre que apenas um deles é divisível por 3.

AUTOATIVIDADE

44

12 (ENC, 2002) O resto da divisão do inteiro N por 20 é 8. Qual é o resto da divisão de N por 5?

FONTE: Exame Nacional de Cursos – INEP (2002)

13 Ache o menor múltiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e por 4.

14 (ENC, 2000) Mostre que, se um número a não é divisível por 3, então a2 deixa resto 1 na divisão por 3.


45

TÓPICO 4

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃOO sistema de numeração que estamos habituados a utilizar é o sistema

posicional de base 10. Porém, existem outros sistemas de numeração que são bastante usuais e que tem sua base de análise fortemente ligadas à Aritmética.

Por exemplo, o sistema sexagesimal que, de acordo com Roque (2012, p. 50), datam registros em fontes históricas por volta de 1700 a.C. na civilização dos babilônicos. Era usado, frequentemente, por matemáticos e astrônomos. Eles faziam uma combinação de base 60 e de base 10, pois os sinais até 59 mudam de 10 em 10. Por exemplo, para representarmos o valor decimal de 1h4min23s, temos que calcular ( )1 3600 4 60 23 6023 . s⋅ + ⋅ + = Portanto, o sistema que usamos para representar as horas é um sistema sexagesimal.

Neste tópico, dedicaremos algumas linhas para discutir a base formal desse sistema de numeração e ampliar nosso horizonte para outras formas de representações numéricas.

2 SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

O sistema que utilizamos é o sistema de base 10, ele está organizado através de agrupamentos de 10 em 10, conforme podemos visualizar:

FIGURA 1 – CLASSES E ORDENS DE BASE 10

FONTE: Os autores

46


Por exemplo, no nosso sistema decimal, no número 325, o 3 representa 100; o 2 representa 20 e o 5 representa 5 mesmo. Assim, 2 1 0325 3 10 2 10 5 10= ⋅ + ⋅ + ⋅ . Mais genericamente, podemos escrever um número n, em base 10, como sendo: 𝑛 = 𝑎0 + 𝑎110 + 𝑎2102 + ⋯ + 𝑎𝑟 10𝑟, em que 𝑟 ≥ 0 e 𝑎𝑖 ∈ 0, 1, … , 9 ; para 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑟 e o representamos por 𝑎𝑟𝑎𝑟−1 … 𝑎1𝑎0 com 𝑎𝑖 sendo um dígito de 𝑛.

Exemplo 24: 11547 = 7 + 4 × 10 + 5 × 102 + 1 × 103 + 1 × 104

Este sistema de numeração supracitado já está no nosso íntimo

emprocessos matemáticos que já vivenciamos, agora, generalizaremos os sistemas de numeração para uma base qualquer.

3 SISTEMA DE NUMERAÇÃO EM UMA BASE QUALQUER

Ao utilizar uma base qualquer (chamaremos 𝑏), devemos supor um conjunto de 𝑏 símbolos 0, 1, 2, … , 𝑏 − 1 que representará quaisquer números. utilizaremos o Teorema a seguir para garantir a existência destes números nesta base 𝑏.

Teorema 5: seja 𝑏 um número natural e 𝑀 = 0, 1, 2, … , 𝑏 − 1 com 𝑏 > 1. Todo número natural 𝑛 pode ser representado, de modo único, da seguinte maneira: 𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑏𝑟, em que 𝑟 ≥ 0, 𝑎𝑖 ∈ 𝑀, com 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑟 e 𝑎𝑟 ≠ 0.

Demonstração: mostraremos a existência da representação por indução em 𝑛. Se 𝑛 < 𝑏, neste caso, basta tomar 𝑛 = 𝑎0 e a representação está definida. Suponha agora, 𝑛 ≥ 𝑏 e que para todo 𝑞 𝜖 ℕ entre 1 ≤ 𝑞 < 𝑛 a representação esteja definida. Pelo algoritmo de Euclides temos 𝑛 = 𝑏𝑞 + 𝑎0, com 𝑎0 ∈ 𝑀. Observe que de 𝑞 < 𝑛, pois, caso contrário teríamos: 𝑛 = 𝑏𝑞 + 𝑎0 ≥ 𝑏𝑞 > 𝑞 ≥ 𝑛 absurdo.

Pela hipótese de indução podemos escrever 𝑞 na base 𝑏, ou seja, 𝑞 = 𝑎0 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑏𝑟−1 com 𝑎0 ∈ 𝑀 e 𝑎0 ≠ 0.

Logo, 𝑛 = 𝑏 𝑎0 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑏𝑟−1 = 𝑎0 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑏𝑟, o que conclui a existência da representação.

Devemos garantir a unicidade da escrita e também faremos por meio do segundo princípio de indução.

É fácil ver que para 𝑛 ≤ 𝑏 a unicidade é óbvia. Suponhamos que 𝑛 > 𝑏, e que a unicidade é válida para todo 𝑞, com 1 ≤ 𝑞 < 𝑛. Suponhamos também que 𝑛 tenha duas representações em 𝑏:

𝑛 = 𝑏𝑎1 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑏𝑟−1 + 𝑎0 = 𝑏 𝑐1 + 𝑐2𝑏2 + ⋯ + 𝑐𝑟−1𝑏𝑟−1 + 𝑐0

TÓPICO 4 | SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

47

Sendo 𝑏 > 𝑎0 e 𝑏 > 𝑐0, pela unicidade do Algoritmo de Euclides, temos que:

𝑎0 = 𝑐0 e 𝑎1 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑏𝑟−1 = 𝑐1 + 𝑐2𝑏2 + ⋯ + 𝑐𝑟−1𝑏𝑟−1 = 𝑞.

Como 𝑞 < 𝑛, pela hipótese de indução obtemos 𝑟 = 𝑠 e 𝑎1 = 𝑐1 = ⋯ = 𝑎𝑟 = 𝑐𝑟.

Logo, a representação é única. Dessa forma, podemos perceber que independente da base a ser utilizada a representação numérica sempre será possível.

4 EXPANSÃO DE UM NÚMERO EM BASE B

O Teorema a seguir também nos permite, através do auxílio do conceito de divisão euclidiana, determinar um dispositivo (algoritmo) para encontrar a expansão de qualquer número inteiro relativamente a base b. Aplicando sucessivamente a divisão euclidiana temos:

0 0 0

0 1 1 1

1 2 2 2

, com

, com

, com

a b q r r b

q b q r r b

q b q r r b

= ⋅ + <

= ⋅ + <

= ⋅ + <

E, assim por diante, seguindo com 0 1 2 1na q q q q b−> > > >…> < , portanto:

1n n nq b q r− = ⋅ + .

Decorre disso, se tivermos qn = 0, implica que 1 20 n n nq q q+ += = = =…, e, assim sendo, 1 20 n nr r+ += = =…, logo: 2

0 1 2n

na r r a r a r a= + ⋅ + ⋅ +…+ ⋅ .

Essa expansão nos permite representar números naturais, através de um conjunto S, com b símbolos, em que em particular para nosso sistema (b = 10) temos:

{ }0,1,2,3,4,5,6,7,8,9S = . Se tivermos 10,b ≤ utilizaremos os símbolos 0,1, , 1b… − .

Exemplo 25: no sistema de base 2, temos { }0,1 .S = Ou seja, todo número é escrito por uma sequência de 0 e 1. Veja:

2 2 2 3100 2 , 101 1 2 , 111 1 2 2 , 1011 1 2 2= = + = + + = + + .

Exemplo 26: representar o número 723 na base 5.

48


Resolução: utilizando a expansão (divisão euclidiana sucessiva), temos:

723 144 5 3

144 28 5 4

28 5 5 3

5 5 1 0

1 0 5 1

= ⋅ +

= ⋅ +

= ⋅ +

= ⋅ +

= ⋅ +

Tomando os restos das divisões, escrevemos: 1 2 3 4723 3 4 5 3 5 0 5 1 5= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ . Assim, o número 723 se representa como

10343 na base 5.

Uma das principais atividades quando trabalhamos com as séries finais do Ensino Fundamental é trabalhar com problemas que envolvem critérios de divisibilidade. Por exemplo, quando um número é divisível por 5? Ou por 3? As próximas proposições teorizam tais fatos.

Proposição 13: seja 1 0na r r r= … um número em base 10. A condição suficiente e necessária para que ele seja divisível por 10, é que r0 seja 0 ou 5.Demonstração: sendo ( )1 010 na r r r= ⋅ … + é fácil notar que a só é divisível 5, se e somente se r0 = 0 ou 5. Por outro lado, se a é divisível por 10, ocorre se e somente se r0 é divisível por 10, que ocorre apenas quando r0 = 0.

Proposição 14: seja 1 0na r r r= … um número em base 10. A condição suficiente e necessária para que ele seja divisível por 3 ou 9, é que 1 0nr r r+…+ + seja divisível, respectivamente por 3 ou 9.Demonstração: podemos escrever:

( ) ( )

( ) ( )1 0 1 0 1 0

1

10 10

10 1 10 1

nn n n

nn

a r r r r r r r r r

r r

− +…+ + = +…+ ⋅ + − +…+ +

= − +…+ −

O termo da direita é divisível por 9, logo, para algum q, temos: ( )1 0 9na r r r q= +…+ + + . O que demonstra que a é divisível por 3 ou 9.


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Jogo do Nim

Realize uma pesquisa sobre o Jogo do Nim, ele utiliza conceitos que estão relacionados com sistema de numeração, principalmente o de base 2.

INTERESSANTE

Essa curiosidade colocada é uma forma de se trabalhar com sistemas de numeração de modo lúdico com os alunos. Em particular é interessante visualizar como há uma forte relação entre este jogo e o sistema de numeração de base 2.

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LEITURA COMPLEMENTAR

INDUÇÃO MATEMÁTICA

Abramo Hefez

INDUÇÃO E MUNDO MATERIAL

A Torre de Hanói – Você provavelmente já conhece esse jogo, pois trata-se de um jogo bastante popular que pode ser facilmente fabricado ou ainda encontrado em lojas de brinquedos de madeira.

O jogo é formado por n discos de diâmetros distintos com um furo no seu centro e uma base onde estão fincadas três hastes. Numa das hastes, estão enfiados os discos, de modo que nenhum disco esteja sobre um outro de diâmetro menor (veja figura a seguir).

O jogo consiste em transferir a pilha de discos para uma outra haste, deslocando um disco de cada vez, de modo que, a cada passo, a regra acima seja observada. As perguntas naturais que surgem são as seguintes:

1. O jogo tem solução para cada n∈ ? 2. Em caso afirmativo, qual é o número mínimo jn de movimentos para

resolver o problema com n discos?

Usando Indução Matemática, vamos ver que a resposta à primeira pergunta é afirmativa, qualquer que seja o valor de n. Em seguida, deduziremos uma fórmula que nos fornecerá o número jn. Considere a sentença aberta

P(n) O jogo com n discos tem solução.

Obviamente, P(1) é verdade. Suponha que P(n) seja verdadeiro, para algum n; ou seja, que o jogo com n discos tem solução. Vamos provar que o jogo com n + 1 discos tem solução. Para ver isso, resolva inicialmente o problema para os n discos superiores da pilha, transferindo-os para uma das hastes livre (isso é possível, pois estamos admitindo que o problema com n discos possua solução):


51

Em seguida, transfira o disco que restou na pilha original (o maior dos discos) para a haste vazia:

Feito isto, resolva novamente o problema para os n discos que estão juntos, transferindo-os para a haste que contém o maior dos discos: Isso mostra que o problema com n + 1 discos também possui solução, e, portanto, por Indução Matemática, que P(n) é verdadeira

para todo .n∈�

Para determinar uma fórmula para jn, veja que, para resolver o problema para n + 1 discos com o menor número de passos, temos, necessariamente, que passar duas vezes pela solução mínima do problema com n discos. Temos, então, que 1 2 1. n nj j+ = ⋅ + Obtemos, assim, uma progressão aritmético-geométrica (jn) cujo termo geral é dado por jn = 2n – 1.

Esse jogo foi idealizado e publicado pelo matemático francês Edouard Lucas, em 1882, que, para dar mais sabor a sua criação, inventou a seguinte lenda:

Na origem do tempo, num templo oriental, Deus colocou 64 discos perfurados de ouro puro ao redor de uma de três colunas de diamante e ordenou a um grupo de sacerdotes que movessem os discos de uma coluna para outra, respeitando as regras acima explicadas. Quando todos os 64 discos fossem transferidos para uma outra coluna, o mundo acabaria.

Você não deve se preocupar com a iminência do fim do mundo, pois, se, a cada segundo, um sacerdote movesse um disco, o tempo mínimo para que ocorresse a fatalidade seria de 264 – 1 segundos e isto daria, aproximadamente, um bilhão de séculos!

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O ENIGMA DO CAVALO DE ALEXANDRE

Num mosaico romano, Bucéfalo, o cavalo de Alexandre, o Grande, é representado como um fogoso corcel cor de bronze. Nesse exemplo, vamos “provar” que isso é uma falácia (uma grande mentira).

Inicialmente, “provaremos” que todos os cavalos têm mesma cor. De fato, considere a sentença aberta: P(n): Num conjunto com n cavalos, todos têm a mesma cor.

Note que P(1) é obviamente verdadeira. Agora, suponha o resultado válido para conjuntos contendo n cavalos. Considere um conjunto

{ }1 2 1, , ..., , , n nC C C C C += com n + 1 cavalos.

Decompomos o conjunto C numa união de dois conjuntos: { } { }1 2 1, , , , ,n nC C C C C C C +…′ ′∪ = …′= ∪ cada um dos quais contém n cavalos.

Pela hipótese indutiva, segue-se que os cavalos em C' têm mesma cor, ocorrendo o mesmo para os cavalos em C''. Como 2 ,C C C′∈ ′′∩ segue-se que os cavalos de C' têm a mesma cor dos cavalos de C'', permitindo assim concluir que todos os cavalos em C têm a mesma cor. Assim, a nossa “demonstração” por indução está terminada, provando que P(n) é verdadeira para todo n∈ .

Agora, todo mundo sabe (você sabia?) que Marengo, o famoso cavalo de Napoleão, era branco. Logo, Bucéfalo deveria ser branco.

Onde está o erro nessa prova? Para achá-lo, sugerimos que você tente provar que, se P(1) é verdadeira, então P(2) é verdadeira. Esse problema foi inventado pelo matemático húngaro George Pólya (1887-1985).

DESCOBRINDO A MOEDA FALSA

Têm-se 2n moedas de ouro, sendo uma delas falsa, com peso menor do que as demais. Dispõe-se de uma balança de dois pratos, sem nenhum peso. Vamos mostrar, por indução sobre n, que é possível achar a moeda falsa com n pesagens.

Para n = 1, isso é fácil de ver, pois, dadas as duas moedas, basta pôr uma moeda em cada prato da balança e descobre-se imediatamente qual é a moeda falsa.

Suponha, agora, que o resultado seja válido para algum valor de n e que se tenha que achar a moeda falsa dentre 2n+1 moedas dadas. Separemos as 2n+1 moedas em 2 grupos de 2n moedas cada. Coloca-se um grupo de 2n moedas em cada prato da balança. Assim, poderemos descobrir em que grupo de 2n moedas encontra-se a moeda falsa. Agora, pela hipótese de indução, descobre-se a moeda falsa com n pesagens, que, junto com a pesagem já efetuada, perfazem o total de n + 1 pesagens.


53

A PIZZA DE STEINER

O grande geômetra alemão Jacob Steiner (1796-1863) propôs e resolveu, em 1826, o seguinte problema:

Qual é o maior número de partes em que se pode dividir o plano com n cortes retos?

Pensando o plano como se fosse uma grande pizza, temos uma explicação para o nome do problema. Denotando o número máximo de pedaços com n cortes por pn, vamos provar por indução a fórmula:

( )11.

2n

n np

+= +

Para n = 1, ou seja, com apenas um corte, é claro que só podemos obter dois pedaços. Portanto, a fórmula está correta, pois

( )1

1 1 11 2.

2p

+= + =

Admitamos agora que, para algum valor de n, a fórmula para pn esteja correta. Vamos mostrar que a fórmula para pn+! também está correta. Suponhamos que, com n cortes, obtivemos o número máximo

( )11

2n n+

+

de pedaços e queremos fazer mais um corte, de modo a obter o maior número possível de pedaços. Vamos conseguir isso se o (n + 1)-ésimo corte encontrar cada um dos n cortes anteriores em pontos que não são de interseção de dois cortes (faça um desenho para se convencer disso).

Por outro lado, se o (n + 1)-ésimo corte encontra todos os n cortes anteriores, ele produz n + 1 novos pedaços: o corte começa em um determinado pedaço e, ao encontrar o primeiro corte, ele separa em dois o pedaço em que está, entrando em outro pedaço. Ao encontrar o segundo corte, ele separa em dois o pedaço em que está entrando em outro pedaço, e assim sucessivamente, até encontrar o n-ésimo corte separando o último pedaço em que entrar em dois. Assim, são obtidos n + 1 pedaços a mais dos que já existiam; logo,

( ) ( )( )1

1 1 21 1 1 1,

2 2n n

n n n np p n n+

+ + += + + = + + + = +

mostrando que a fórmula está correta para (n + 1) cortes.

54


OS COELHOS DE FIBONACCI

Trata-se do seguinte problema proposto e resolvido pelo matemático italiano Leonardo de Pisa em seu livro Liber Abacci, de 1202: Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur.

Como não se ensina mais latim nas escolas, aí vai uma explicação: um casal de coelhos recém-nascidos foi posto num lugar cercado. Determinar quantos casais de coelhos ter-se-ão após um ano, supondo que, a cada mês, um casal de coelhos produz outro casal e que um casal começa a procriar dois meses após o seu nascimento. Leonardo apresenta a seguinte solução:

Portanto, o número de casais de coelhos num determinado mês é igual ao número total de casais do mês anterior acrescido do número de casais nascidos no mês em curso, que é igual ao número total de casais do mês anterior ao anterior.

Se denotarmos o número de coelhos existentes no n-ésimo mês por un, temos, então, que 1 2 1 2, 1.n n nu u u u u− −= + = =

Essas relações definem, por recorrência, uma sequência de números naturais, chamada de sequência de Fibonacci, cujos elementos, chamados de números de Fibonacci, possuem propriedades aritméticas notáveis, que ainda hoje são objeto de investigação. Uma recorrência do tipo ( )1 2 2.1 , n n nx x x− −= + só permite determinar o elemento xn se conhecermos os elementos anteriores xn–1 e xn–2, que, para serem calculados, necessitam do conhecimento dos dois elementos anteriores, e assim por diante. Fica, portanto, univocamente definida a sequência quando são dados x1 e x2. A sequência de Fibonacci corresponde à recorrência (2.1), onde x1 = x2 = 1.

Quando é dada uma recorrência, um problema importante é determinar uma fórmula fechada para o termo geral da sequência, isto é, uma fórmula que não recorre aos termos anteriores. No caso da sequência de Fibonacci, existe uma tal fórmula, chamada fórmula de Binet, que apresentamos a seguir


55

Proposição: para todo n∈ , tem-se que

1 5 1 52 2

. 5

n n

nu

+ −−

=

É notável que seja necessário recorrer a fórmulas envolvendo números irracionais para representar os elementos da sequência de Fibonacci, que são

números naturais. Mais notável, ainda, é que o número 1 52+ seja a proporção

áurea φ que aparece nas artes, e que 1 52− seja o simétrico de seu inverso – φ–1.

Intrigante essa inesperada relação entre criar coelhos e a divina proporção, não?

Leonardo de Pisa (1170-1250), filho de Bonacci, e por isso apelidado Fibonacci, teve um papel fundamental no desenvolvimento da Matemática no Ocidente. Em 1202, publicou o livro Liber Abacci, que continha grande parte do conhecimento sobre números e álgebra da época. Esta obra foi responsável pela introdução na Europa do sistema de numeração indo-arábico e pelo posterior desenvolvimento da álgebra e da aritmética no mundo ocidental.

[...]

FONTE: HEFEZ, A. Indução matemática. 2009. Disponível em: http://www.obmep.org.br/docs/apostila4.pdf. Acesso em: 18 mar. 2020.

56

RESUMO DO TÓPICO 4


• Podemos escrever um número n, em base 10, como sendo: 𝑛 = 𝑎0 + 𝑎110 + 𝑎2102 + ⋯ + 𝑎𝑟 10𝑟.

• Seja 𝑏 um número natural e 𝑀 = 0, 1, 2, … , 𝑏 − 1 com 𝑏 > 1. Todo número natural 𝑛 pode ser representado, de modo único, da seguinte maneira:

𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑏𝑟 em que 𝑟 ≥ 0, 𝑎𝑖 ∈ 𝑀, com 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑟 e 𝑎𝑟 ≠ 0.

• Seja a = rn ... r1 r0 um número em base 10. A condição suficiente e necessária para que ele seja divisível por 10, é que r0 seja 0 ou 5.

• Seja a = rn ... r1 r0 um número em base 10. A condição suficiente e necessária para que ele seja divisível por 3 ou 9, é que rn + ... + r1 + r0 seja divisível, respectivamente por 3 ou 9.

Ficou alguma dúvida? Construímos uma trilha de aprendizagem pensando em facilitar tua compreensão. Acesse o QR Code, que te levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para teu estudo.

CHAMADA

57

AUTOATIVIDADE

1 Dado o número 464 na base 10. Escreva-0 na base 2, 4 e 5.

2 O número 3416 está escrito em base 7. Como ele é escrito na base 2 e 5?

3 Considere 73 na base 10; em que base ele se escreverá 243?

4 Mostre que um número na base 10 que é um quadrado perfeito, os algarismos das unidades só pode ser 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.

5 (ENC, 2016) Escolha um número abc de três algarismos no sistema decimal, de modo que os algarismos das centenas a e o das unidades c difram de, pelo menos, duas unidades. Considere os números abc e cba e subtraia o menor do maior, obtendo o número xyz. A soma de xyz com zyx vale 1089. Justifque esse fato.


59

UNIDADE 2

ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS


PLANO DE ESTUDOS


• conhecer as definições e propriedades de mdc e mmc;• reconhecer a aplicação de mdc e mmc na resolução de problemas;• desenvolver a partir do conhecimento de mdc, a resolução de problemas

envolvendo equações diofantinas;• identificar os números primos, suas propriedades, fatoração e principais

resultados;• compreender o teorema fundamental da aritmética;• aplicar os conceitos de números primos para os números especiais (Nú-

meros de Mersene, Números de Fermat e Números perfeitos).


TÓPICO 1 – MDC E MMCTÓPICO 2 – APLICAÇÃO DE MDCTÓPICO 3 – NÚMEROS PRIMOSTÓPICO 4 – NÚMEROS ESPECIAIS


CHAMADA

61

TÓPICO 1

MDC E MMC

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃONeste tópico, veremos dois importantes conceitos da aritmética: o Máximo

Divisor Comum (mdc) e Mínimo Múltiplo Comum (mmc). No primeiro deles, o mdc, veremos sua definição e desenvolveremos o Algoritmo de Euclides, que trará contribuições significativas e, posteriormente, no próximo tópico, aplicações importantíssimas na matemática, como nos números de Mersene, Fermat e na resolução de Equações Diofantinas.

Sem muita ênfase, o mmc será abordado mais superficialmente, porém, assim como mdc, mostraremos sua aplicação em situações problema, definição e formas de determiná-lo. Sua aplicação se mostrará importante quando abordarmos os números primos e sua estrutura.

2 MÁXIMO DIVISOR COMUM

Caro acadêmico e, provavelmente, futuro professor, o processo de ensino de matemática não é uma missão simples, logo, por esse motivo, desenvolveremos uma estratégia simples de ensino. Traremos inicialmente problemas contextualizados que abordem de forma natural o conceito de Máximo Divisor Comum e definiremos e mostraremos estratégias de como calculá-lo.

Exemplo 1: é comum as pessoas se solidarizarem em momentos festivos como o Natal. Um grupo de pessoas juntaram uma certa quantia em dinheiro, com a finalidade de confeccionar pacotes de presente, contendo chocolates e balas. Com o valor arrecadado, conseguiram comprar um total de 210 balas e 378 chocolates sortidos. Qual o número máximo de pacotes que poderão confeccionar, sabendo que todos devem ter a mesma quantidade de chocolates e balas?

Resolução: perceba que podemos apresentar algumas formas de resolver o problema.

(i) Poderíamos montar 6 pacotes, e, com isso, ter:• 210/6 = 35 balas por pacote;• 378/6 = 63 chocolates por pacote.

UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS

62

(ii) Outra possibilidade é montar 14 pacotes, com:• 210/14 = 15 balas por pacote;• 378/14 = 27 chocolates por pacote.

(iii) Outro caso seria montar 21 pacotes, contendo:• 210/21 = 10 balas por pacote;• 378/21 = 18 chocolates por pacote.

A procura por tentativa ou chute pode ser algo complicado e ineficaz. Apesar disso, é possível encontrar a resposta por esse método. Já encontramos três possibilidades, sendo as duas primeiras já refutadas. Será que há uma resposta melhor?

Pense sobre o que está acontecendo! Só podemos resolver o problema com números inteiros, ou seja, a divisão deve ser exata. Se admitirmos apenas divisores naturais, estes devem ser comuns entre os números. Pois bem, vejamos os divisores de cada um destes números:

• D(378) = {1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 27, 42, 54, 63, 126, 189, 378};• D(210) = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210}.

Note que os divisores comuns aos números são: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42. Os números 6, 14 e 21 nós já sabíamos, porém não tínhamos feito o caso do maior divisor 42. Este sendo o Máximo Divisor Comum apresentará a resposta procurada:

• 210/42 = 5 balas por pacote;• 378/42 = 9 chocolates por pacote.

Portanto, cada um dos 42 pacotes terá um total de 14 itens, sendo, 5 balas e 9 chocolates.

Exemplo 2: para a realização de uma gincana na escola, há a disposição um total de 105 meninos e 165 meninas. A direção quer formar equipes, cuja quantidade de meninos e de meninas seja igual em cada um. Quantas equipes no máximo são possíveis formar e quantos meninos e meninas haverá em cada uma delas?

Resolução: novamente podemos tentar resolver este problema por

tentativa.

(i) Uma possibilidade é dividir a quantidade de meninos e meninas por 3, e com isso, obter:

• 105/3 = 35 meninos;• 165/3 = 55 meninas.(ii) Outra possibilidade é montar 5 equipes, sendo:• 105/5 = 21 meninos;• 165/5 = 33 meninas.

TÓPICO 1 | MDC E MMC

63

(iii) Um outro caso seria montar 15 equipes, sendo:• 105/15 = 7 meninos;• 165/15 = 11 meninas.

Para ter certeza das respostas e garantir que já encontramos a resposta correta; como fizemos no exercício anterior; destacaremos os divisores de cada um destes números:

• D(105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105};• D(165) = {1, 3, 5, 11, 15, 33, 55, 165}.

Neste caso, os divisores comuns aos números são: 1, 3, 5, 15. Note então, que o 15 realmente é o Máximo Divisor Comum entre os dois números. Logo, haverá um total de 18 integrantes por equipe, sendo 7 meninos e 11 meninas.

Exemplo 3: uma empresa fabricante de bolinhas de gude recebeu de três lojas, um pedido descrito como na tabela a seguir.

Empresa Quantidade de bolinhas de gudeA 1380B 1620C 1860

TABELA 1 – PRODUÇÃO DE BOLINHAS DE GUDE EM CADA EMPRESA

FONTE: Os autores

Para montar um único formato de embalagem, a empresa precisa estabelecer a quantidade de bolinhas de gude que colocará igualmente em cada embalagem. Qual o maior número de bolinhas de gude possível por pacote, otimizando assim a quantidade de embalagens e quantos pacotes cada empresa receberá.

Resolução: desta vez, vamos direto aos divisores.

• D(1380) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 23, 30, 46, 60, 69, 92, 115, 138, 230, 276, 345, 460, 690, 1380}

• D(1620) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 81, 90, 108, 135, 162, 180, 270, 324, 405, 540, 810, 1620}

• D(1860) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 31, 60, 62, 93, 124, 155, 186, 310, 372, 465, 620, 930, 1860}

Compreenda que a intersecção entre os divisores destes números são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e o 60. Com isso, podemos estabelecer que o Máximo Divisor Comum desses números é o 60 e este representa a quantidade de bolinhas de gude por embalagem. Usando esse fator para determinar a quantidade de pacotes para cada empresa, obtemos:


64

• Empresa A = 1380/60 = 23 pacotes.• Empresa B = 1620/60 = 27 pacotes.• Empresa C = 1860/60 = 31 pacotes.

Portanto, a empresa deverá confeccionar 81 embalagens.

Neste momento, convido você, acadêmico, a realizar um momento de reflexão, com base em algumas perguntas:

• Como será que façamos para determinar todos os divisores de um certo número?

• Este método de encontrar todos os divisores é eficiente para resolver esses problemas?

• Será que existe algum outro método ou algoritmo para determinar o Máximo Divisor Comum?

Esperamos que você consiga a resposta para cada uma destas perguntas, no decorrer dos ensinamentos deste material. Agora que você conseguiu observar, em poucos exemplos, a aplicação natural do Máximo Divisor Comum, definiremos alguns conceitos, formalizaremos e mostraremos algumas propriedade e consequências.

Definição 1: dados dois números naturais a e b, não simultaneamente nulos, diremos que o número natural d∈ é um divisor comum de a e b se d | a e d | b.

Exemplo 4: os números 1, 3 e 5, são divisores comuns dos números 30 e 75.

A definição que apresentaremos de Máximo Divisor Comum é exatamente a definição proposta por Euclides, no livro Os Elementos.

Definição 2: diremos que d é um máximo divisor comum (mdc) de a e b, se possuir as seguintes propriedades:

i) d é um divisor comum de a e de b;ii) d é divisível por todo divisor comum de a e b.

A condição (ii) anterior pode ser reescrita como se segue:

iii) Se c é um divisor comum de a e b, então c | d.

Desta forma, é intuitivo perceber que, se d é o mdc(a,b) e c é um divisor comum desses números, então é porque c d≤ . Esse argumento mostra que o máximo divisor comum de dois números é de fato, o maior dentre todos os divisores comuns desses números. Assim, denotamos que d = mdc(a,b).


65

Além da colocação anterior, podemos demonstrar, que o mdc de dois números, quando existe, é único. Suponha que d e d' são dois mdc de um par de números. Desta forma, pela colocação ii’) anterior, d | d' e d' | d, e ainda mais, como d deve ser inteiro não negativo, temos que d = d'. Logo, d, quando existir é único.

Segundo Hefez, (2016, p. 75), “como todo número inteiro divide 0, o mdc de a e b, em que a=b=0, é 0, pois esse é um divisor comum de a e b e é o único número divisível por todos os divisores de 0. Reciprocamente, se o mdc de a e b é 0, então 0 divide a e divide b, mas o único número divisível por 0 é o próprio 0, logo a=b=0”.

Acompanhe algumas consequências e casos particulares que não realizaremos a demonstração. Para todo ,a b∈ , temos que:

• mdc(a,b) = mdc(b,a); (a ordem não interfere, isto é, vale a comutatividade);• mdc(0,a) = |a|;• mdc(1,a) = 1;• mdc(a,ka) = |a| para todo k∈ ;• ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,mdc a b mdc a b mdc a b mdc a b= − = − = − − (não importa o sinal).

2.1 CÁLCULO DO MDC

Para determinar o mdc de dois ou mais números, há alguns métodos que podem ser utilizados, porém cada método possui sua particularidade, importância e aplicação na solução de problemas.

2.2 FATORAÇÃO MÚLTIPLA

Para a aplicação do método da Fatoração Múltipla, temos que definir com antecipação o que são Números Relativamente Primos.

Definição 3: dois números ,a b∈ chamam-se relativamente primos (ou primos entre si) se mdc(a,b) = 1.

Exemplo 5: mdc(10, 21) = 1, isto é, 10 e 21 são primos entre si, apensar de não serem primos individualmente.

Sabemos que o conceito de números primos não foi abortado ainda, entretanto, gostaríamos de mostrar este método, que, de modo geral, é aprendido nos estudos da escola básica. O método consiste em dividir de forma simultânea os dois números, por números primos. Coloca-se os dois números um ao lado do outro, no lado direito é feito uma barra vertical, o qual será colocado, os números primos que os dividem. Veremos um exemplo!


66

Exemplo 6: calcule o mdc(120,100).Resolução: primeiramente, colocaremos os números um ao lado do outro

com a barra vertical à direita.

120, 100

Agora, basta encontrar os números primos, que simultaneamente dividem os números, colocando o seu resultado, na parte de baixo. Quando não for mais possível dividir por algum número primo, estará concluída a tabela.

120, 100 260, 50 230, 25 56, 5

Note que 6 e 5 são primos entre si, desta forma o processo é interrompido. Para determinar o mdc(120,100), basta multiplicar os primos que são divisores simultâneos dos números:

( )120,100 2 2 5 20.mdc = ⋅ ⋅ =

Exemplo 7: calcule o mdc(2700,3000).

Resolução: usando do método descrito anteriormente, dividiremos os números 2700 e 3000, por todos os divisores simultâneos primos.

2700, 3000 21350, 1500 2675, 750 3225, 250 545, 50 59, 10

Logo, como 9 e 10 são primos entre si, o método terminou, então ( ) 2 2 2700, 3000 2 3 5 300.mdc = ⋅ ⋅ = Veremos as duas observações importantes

sobre este método:


67

1. Não é necessário seguir a ordem crescente dos números primos para realizar as divisões sucessivas.

2. Não é necessário dividir por um número primo, é possível chegar na mesma resposta, dividindo por algum número composto.

A primeira observação ajuda a realizar a divisão quando surge uma situação, como exemplo, em que sabemos que é divisível por 5, porém não temos a certeza se é possível dividir por 3. Logo, ficamos livres para aplicar na ordem que desejarmos.

Na segunda observação podemos notar que não há a obrigatoriedade de conhecer todos os números primos, apenas realizar as divisões, até quando for possível.

Queremos deixar um pequeno lembrete a você, acadêmico. Conhecer a fatoração de números é algo muito importante, logo, não deixe estas observações, ofuscar o brilhantismo que a decomposição de um número em fatores primos, contribui para a matemática e principalmente para o ramo da Aritmética.

Voltando às observações. Se aplicando essas duas ideias, o processo para o método, torna-se, então, mais rápido e fácil. Acompanhe o último exemplo, sendo resolvido de forma mais acelerada.

Exemplo 8: calcule o mdc(2700,3000).

Resolução: usando do método descrito anteriormente, dividiremos os números 2700 e 3000 por todos os divisores simultâneos primos.

2700, 3000 10027, 30 39, 10

Logo, como 9 e 10 são primos entre si, o método terminou, então ( ) 2700, 3000 100 3 300.mdc = ⋅ =

O método por fatoração simultânea pode tornar-se algo muito trabalhoso de ser executado. Imagine ter que calcular o mdc(31178,43665) ou então mdc(33201,75429). Por esse motivo, veremos, a seguir, outro método que realiza o cálculo do mdc de forma mais eficiente.

Esperamos que você tenha recordado deste processo e que tenhamos contribuído com alguma novidade.


68

2.3 ALGORITMO DE EUCLIDES

Um método muito antigo, proposto por Euclides, facilita bastante o nosso trabalho de descobrir o mdc entre dois números. O Algoritmo proposto por ele traz uma singularidade muito grande por não ser necessário fazer qualquer fatoração.

Para um melhor entendimento deste fabuloso método, vamos, aos poucos, construir os argumentos necessários para a sua aplicação. Inicialmente, acompanharemos a seguinte propriedade.

Propriedade 1: se a e b são números naturais com a < b, então mdc(a,b) = mdc(a,b – a).

Para compreendermos como essa propriedade pode ser útil, nada melhor do que resolvendo um exemplo.

Exemplo 9: calcule o mdc(35,91).Resolução: utilizando da propriedade vista anteriormente, podemos

estabelecer que:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

35, 91 35, 91 35 35, 56

35, 56 35, 56 35 35, 21

21, 35 21, 35 21 21, 14

14, 21 14, 21 14 14, 7 7

mdc mdc mdc

mdc mdc mdc

mdc mdc mdc

mdc mdc mdc

= − = =

= − = =

= − = =

= − = =

Note que, na parte final, poderíamos aplicar mais uma ou duas vezes a propriedade, obtendo:

( ) ( ) ( )7, 14 7, 14 7 7, 7 7mdc mdc mdc= − = =

Perceba que a única ferramenta que necessitamos foi a divisão e o resto desta divisão. Esperamos que você tenha percebido a grande diferença que estamos proporcionando. Acompanhe mais um exemplo.

Exemplo 10: calcule o mdc(1659,2163).Resolução: utilizando da propriedade, obtemos:


69

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1659, 2163 1659, 2163 1659 1659, 504

504, 1659 504, 1659 504 504, 1155

504, 1155 504, 1155 504 504, 651

504, 651 504, 651 504 504, 147

147, 504 147, 504 147

mdc mdc mdc

mdc mdc mdc

mdc mdc mdc

mdc mdc mdc

mdc mdc m

= − = =

= − = =

= − = =

= − = =

= − = ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

147, 357

147, 357 147, 357 147 147, 210

147, 210 147, 210 147 147, 63

63, 147 63, 147 63 63, 84

63, 84 63, 84 63 63, 21 21.

dc

mdc mdc mdc

mdc mdc mdc

mdc mdc mdc

mdc mdc mdc

=

= − = =

= − = =

= − = =

= − = =

Perceba que o mdc(63,21) = 21, pois 21 | 63, então poderíamos parar. Novamente, ilustraremos a continuação:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

21, 63 21, 63 21 21, 42

21, 42 21, 42 21 21, 21 21

mdc mdc mdc

mdc mdc mdc

= − = =

= − = =

Apesar da simplicidade da resolução e, novamente, sem a necessidade de fatorar em números primos, tivemos bastante trabalho algébrico para realizar. O lema a seguir proporcionará um melhoramento neste processo, nos ajudando na agilidade dos cálculos do mdc entre dois números.

Lema: (Lema de Euclides) sejam , , a b n∈ com a < na < b. Se existe mdc(a,b – na), então mdc(a,b) existe e mdc(a,b) = mdc(a,b – na).Demonstração: seja d = mdc(a,b – na). Como d | a e d | (b – na), segue que d divide b = b – na + na. Logo, d é um divisor comum de a e b. Suponha que c seja um divisor comum de a e b; logo, c é um divisor comum de a e b – na e, portanto, c | d. Isso prova que d = mdc(a,b).

Perceba como podemos acelerar o processo do mdc. Ao invés de aplicarmos por duas, três vezes o mesmo valor a ser diminuído, podemos, rapidamente, aplicar um múltiplo deste número. Para mostrar este fato, vamos propor a resolução do mesmo exemplo anterior, porém agora, utilizando o lema, para compararmos a agilidade do processo.


70

Exemplo 11: calcule o mdc(1659,2163).Resolução: utilizando da propriedade, obtemos:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1659, 2163 1659, 2163 1 1659 1659, 504

504, 1659 504, 1659 3 504 504, 147

147, 504 147, 504 3 147 147, 63

63, 147 63, 147 2 63 63, 21 21

mdc mdc mdc

mdc mdc mdc

mdc mdc mdc

mdc mdc mdc

= − ⋅ = =

= − ⋅ = =

= − ⋅ = =

= − ⋅ = =

Note a eficiência que obtivemos! Na primeira resolução, necessitamos de 9 linhas de pensamento para finalizar a resolução, enquanto que, no segundo caso, apenas 4. Isso se deve ao fato que, na segunda linha, já obtivemos uma diminuição de 2 procedimentos (pois multiplicamos a diminuição por 3), na terceira linha mais 2 e na última linha 1 processo antecipado.

O Lema de Euclides é eficiente para calcular mdc, conforme vimos no exemplo anterior, e terá papel fundamental para estabelecermos o algoritmo de Euclides, que propiciará, com eficácia e organização, calcular o mdc de dois números naturais quaisquer. Veremos a seguir um teorema fundamental do algoritmo de Euclides.

Teorema: seja a < b e r o resto da divisão do inteiro a pelo inteiro (positivo) b. Então mdc(a,b) = mdc(b,r).

Demonstração: pela divisão euclidiana, existe um inteiro q tal que a = qb + r. Sejam m = mdc(a,b) e n = mdc(b,c). Como m é divisor tanto de a como de b, existem inteiros a1 e b1 tais que 1 1 e a m a b m b= ⋅ = ⋅ .

Assim, ( )1 1 1 1–r a qb m a qm b m a qb= − = ⋅ − ⋅ = ⋅ , logo m é divisor comum entre b e r, o que implica que m n≤ . Analogamente, como n é divisor tanto de b como de r, também é divisor de a = qb + r, logo é divisor comum entre a e b e, portanto, n m≤ . Isso prova que m = n, como queríamos.

Podemos calcular o mdc entre dois inteiros aplicando recursivamente o teorema anterior, obtendo o chamado método das divisões sucessivas ou Algoritmo de Euclides.

“A seguir, apresentaremos a prova construtiva da existência do mdc dada por Euclides (Os Elementos, Livro VII, Proposição 2). O método, chamado de Algoritmo de Euclides, é um primor do ponto de vista computacional e pouco conseguiu-se aperfeiçoá-lo em mais de dois milénios” (HEFEZ, 2016, p. 77).


71

Dados ,a b∈ , podemos supor a b≤ . Se a = 1 ou a = b, ou ainda a | b, já vimos que mdc(a,b) = a. Suponhamos, então que 1 < a < b e que a b . Logo, pela divisão euclidiana, podemos escrever: b = aq1 + r1, com r1 < a. Temos duas possibilidades:

a) r1 | a, e, em tal caso, por pelo Lema de Euclides, ( ) ( ) ( )1 1 1, , , , r mdc a r mdc a b q a mdc a b= = − = e termina o algoritmo, oub) 1r a , e, em tal caso, podemos efetuar a divisão de a por r1, obtendo a = r1q2 + r2,

com r2 < r1.

Novamente, temos duas possibilidades:

a') r2 | r1, e, em tal caso, novamente, pela definição de mdc e pelo Lema de Euclides, b') ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 1 1, , , , . , r mdc r r mdc r a q r mdc r a mdc b q a a mdc b a mdc a b= = − = = − = = e

paramos, pois, termina o algoritmo, ou 2 1r r , e, em tal caso, podemos efetuar a divisão de r1 por r2, obtendo r1 = r2 q3 + r3, com r3 < r2.

Esse procedimento não pode continuar indefinidamente, pois teríamos uma sequência de números naturais a > r1 > r2 > ... que não possui menor elemento, o que não é possível pela Propriedade da Boa Ordem. Logo, para algum n, temos que rn | rn –1, o que implica que mdc(a,b) = rn.

Há uma forma de organizar o procedimento do algoritmo, que além de fornecer a resposta, apresenta a cronologia dos eventos de forma harmoniosa. Primeiramente, realizamos a divisão b = aq1 + r1 colocamos os números envolvidos no seguinte diagrama:

q1

b ar1

Efetuando novamente a divisão de 1 2 2a r q r= + , o diagrama fica assim preenchido:

q1 q2

b a r1

r1 r2

Continuando, até que o resto seja zero, teremos:


72

q1 q2 q3 ... qn – 1 qn qn + 1

b a r1 r2 ... rn – 2 rn – 1 rn = mdc(a, b)r1 r2 r3 ... rn – 1 rn 0

Exemplo 12: determine o mdc(3887, 637).Resolução: utilizando o algoritmo de Euclides, teremos, inicialmente:

6

3887 63765

6 93887 637 6565 52

pois, 3887 = 637 • 6 +65. Aplicando novamente, agora para os números 637 e 65, teremos

visto que 637 = 65 • 9 +52. Repetindo o processo até que o resto seja zero, o diagrama fica assim preenchido

6 9 1 43887 637 65 52 1365 52 13 0

isso mostra que mdc(3887, 637) = 13.

O algoritmo de Euclides nos fornece que é possível escrever os restos como:

13 65 1 52

52 637 9 65

65 3887 6 637

= − ⋅

= − ⋅

= − ⋅

Então, substituindo cada informação, uma em seguida da outra, obtemos a seguinte relação:


73

( )

( )

13 65 1 52

13 65 1 637 9 65 65 1 637 9 65

13 10 65 1 637

13 10 3887 6 637 1 637 10 3887 60 637 1 637

13 10 3887 61 637

= − ⋅

= − ⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅

= ⋅ − ⋅

= ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅

= ⋅ − ⋅

Temos então que mdc(3887, 637) = 10 • 3887 – 61 • 637 = 13.

Perceba que encontramos, através da utilização do Algoritmo de Euclides, um modo de escrever o mdc entre dois números, como uma diferença entre múltiplos destes próprios números. Esta é uma propriedade geral do mdc que apresentaremos agora.

Teorema: (Teorema de Bézout) dados os inteiros a e b, existem inteiros x e y tais que mdc(a, b) = ax + by = m.

Demonstração: seja m o menor elemento positivo do conjunto l de todos os inteiros da forma ax + by, com x e y inteiros. Dividindo a por m encontramos a = qm + r, com q e r inteiros e 0 ≤ r < m. Por ser um elemento de l, m é a soma de um múltiplo de a com um múltiplo de b, logo r = a – qm também será uma soma deste tipo e, portanto, elemento de l. Como r < m e m é o menor elemento positivo de l, concluímos que r = 0, isto é, m é divisor de a. Analogamente, provamos que m é divisor de b. Agora, se d é um divisor comum qualquer de a e b, d é divisor de qualquer elemento de l, logo, d é divisor de m, o que implica que d m≤ . Assim, m = mdc(a, b).

Exemplo 13: encontre pelo menos uma forma de escrever o mdc(52, 48), como combinação linear de outros dois números inteiros.

Resolução: usando do Algoritmo de Euclides

2 2 1 352 22 8 6 28 6 2 0

Ou seja, o mdc(52, 48) = 2. Portanto, é possível escrever os restos como:

2 8 1 6

6 22 2 8

8 52 2 22

= − ⋅

= − ⋅

= − ⋅


74

Substituindo cada informação, uma em seguida da outra, obtemos a seguinte relação:

( )

( )

2 8 1 6

2 8 1 22 2 8 8 1 22 2 8

2 3 8 1 22

2 3 52 2 22 1 22 3 52 6 22 1 22

2 3 52 7 22

= − ⋅

= − ⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅

= ⋅ − ⋅

= ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅

= ⋅ − ⋅

Logo, a combinação linear procurada, é para mdc(52, 48) = 3 • 52 – 7 • 22 = 2. Acompanhe para finalizarmos está parte sobre mdc, alguns corolários e

teoremas, que serão fundamentais para demonstração de algumas autoatividades.

Corolário 1: quaisquer que sejam , , a b n∈ , ( ) ( ), , .mdc na nb n mdc a b= ⋅

( ) ( ): dados , , tem-se que , 1., ,

a ba b mdcmdc a b mdc a b

∈ =

Corolário

Demonstração: pelo Corolário anterior, temos que

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

, , , ,

, , , , ,

, , o que prova o resultado.

a bmdc a b mdcmdc a b mdc a b

a bmdc mdc a b mdc a bmdc a b mdc a b

mdc a b

⋅ =

⋅ ⋅ =

Teorema: sejam a, b e c números naturais. Se a | b • c e mdc(a, b) = 1, então a | c.

Corolário 2: dados , , a b c∈ , temos que ( ) e | .,

bcb a c a amdc b c

⇔

Acompanhe, agora, o conceito e, posteriormente, o método para determinar o Mínimo Múltiplo Comum.


75

3 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

Assim como fizemos no mdc, realizaremos, neste novo assunto, a abordagem de dois exemplos, em que este conceito aparece naturalmente. O intuído de realizar desta forma a abordagem inicial deste tema, está ligado a instigar os alunos ou a quem está estudando, a motivação para o seu aprendizado. Acompanhe os exemplos.

Exemplo 14: em uma pequena pista de atletismo de 150 metros, duas pessoas, estão realizando seus exercícios diários, partindo simultaneamente de um mesmo ponto. Uma dessas pessoas consegue realizar cada volta em 25 segundos. A outra, correndo mais devagar, leva 30 segundos para completar a volta. Depois de quantos segundos as duas pessoas voltarão a se encontrar no mesmo ponto de partida?

Resolução: note que o atleta mais veloz passará cada volta em múltiplos de 25, ou seja, após terminar a primeira volta terá passado 25 segundo, ao término da segunda volta 50 segundos e assim por diante. Podemos então estabelecer que os múltiplos de 25, determinaram a passagem do atleta mais veloz pelo ponto inicial.

( )25 0, 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250, 275, 300, 325,M = …

De mesmo modo, o outro atleta, apresentará múltiplos de 30.

( )30 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330,M = …

Comparando os múltiplos do 25 e 30 (que representam o tempo de cada atleta cronometrado na posição inicial), podemos notar que há momentos que ambos passam pela linha de partida simultaneamente. Os encontrados nos exemplos anteriores são: 150 e 300. Como queremos o menor múltiplo comum, ou seja, neste caso, o primeiro instante em que acontece o encontro entre os atletas, então, isso ocorrerá após 150 segundos. Esse valor nos mostra que o atleta mais rápido consegue dar 6 voltas, enquanto atleta mais lento apenas 5 voltas.

Outro fato importante e curioso é que, a partir do resultado obtido, podemos prever que os próximos encontros acontecerão a cada 150 segundos, caso se mantenha sempre o ritmo.

Exemplo 15: em uma empresa, cada máquina possui um relógio que pisca com um sinal sonoro em intervalos diferentes. Em um dos casos, o relógio A pisca em intervalos de 15 minutos, na máquina B, o relógio pisca a cada 25 minutos, em uma terceira máquina, o relógio C pisca a cada 40 minutos. Qual é, em horas, o menor intervalo de tempo transcorrido entre os sinais simultâneas das três máquinas?


76

Resolução: supondo que, quando as máquinas piscarem simultaneamente, adotaremos com marco zero, podendo, então, organizar as informações da seguinte maneira:

• Como um dos relógios bate de 15 em 15 minutos, logo, baterá nos múltiplos de 15( )15 0, 15, 30, 45, 60,M = …

• De mesmo modo, os outros dois relógios, possuem os múltiplos( )25 0, 25, 50, 75, 100,M = …

( )40 0, 40, 80, 120, 160,M = …

Como queremos encontrar o momento em que as três máquinas, piscarão juntas, devemos encontrar o menor múltiplo comum entre os três números. Até o momento, não há este múltiplo comum, porém, com muito trabalho, determinado mais alguns múltiplos, podemos encontrar o resultado:

• M(15) = 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, 210, 225, 240, 255, 270, 285, 300, 315, 330, 345, 360, 375, 390, 405, 420, 435, 450, 465, 480, 495, 510, 525, 540, 555, 570, 585, 600, ...

• M(25) = 0, 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250, 275, 300, 325, 350, 375, 400, 425, 450, 475, 500, 525, 550, 575, 600, ...

• M(40) = 0, 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, 440, 480, 520, 560, 600, ...

Analisando então o resultado, podemos determinar que o menor múltiplo comum ou mínimo múltiplo comum aos números é o 600. Perceba como esse exemplo apresenta, apesar da simplicidade, um trabalho árduo em escrever todos estes múltiplos. Por esse motivo, definiremos e desenvolveremos métodos para determinar o mínimo múltiplo comum entre números.

Definição 3: diremos que um número é um múltiplo comum de dois números naturais dados se ele é simultaneamente múltiplo desses números. Em qualquer caso, o número ab é sempre um múltiplo comum de a e b.

Definição 4: diremos que um número m é um mínimo múltiplo comum (mmc) de a e b se e somente se, possuir as seguintes propriedades:

(i) m é um múltiplo comum de a e b;(ii) se c é um múltiplo comum de a e b, então m | c.

Se c é um múltiplo comum de a e b, então, do item (ii) da definição anterior, temos que m | c, e, portanto, m c≤ , o que nos diz que o mínimo múltiplo comum, se existe, é único e é o menor dos múltiplos comuns de a e b.


77

3.1 CÁLCULO DO MMC

Uma proposta para determinar o mmc entre dois ou mais números é pela fatoração simultânea. Lembre-se, já realizamos algo semelhante no mdc, e, ainda, um fator que impactou na sua aplicação é o conhecimento dos números primos para realizá-lo. Veremos o procedimento em um exemplo.

Exemplo 16: determine mmc(12, 30).Resolução: como queremos encontrar os múltiplos de 12 e de 30, o

mmc(12, 30), deve conter todos os fatores primos que aparecem nas fatorações destes números. Portanto, para calcularmos o mmc(12, 30), a fatoração deve acontecer simultaneamente, para não repetirmos nenhum número e evitarmos obter um múltiplo maior. O processo será parecido com o mdc, porém, sempre que for possível, devemos dividir os dois números e finalizar quando ambos chegarem a 1.

12, 30 2 Ambos são divisíveis por 2;

6, 15 2 O 6 é divisível pelo 2 e o 15 não, logo, apenas copiar o 15;

3, 15 3 Ambos são divisíveis pelo 3;

1, 5 5 Por fim, dividir o 5 por ele mesmo.

1, 1

Para então determinar o mmc, basta multiplicarmos todos os números primos encontrados no lado direito da barra, mmc(12, 30) = 22 • 3 • 5 = 60.

Esse procedimento, como já comentado, possui seus problemas, pois necessita do conhecimento dos números primos. Assim como foi mencionado no mdc, o mmc não necessita também, ser realizado em ordem decrescente ou utilizar dos números primos.

Veremos, a seguir, outra forma de determinar o mmc, usando o mdc e o Algoritmo de Euclides.

Proposição 1: dados dois números naturais a e b não nulos, temos que mmc(a, b) existe e

( ) ( ), , .mmc a b mdc a b ab⋅ =

Essa proposição pode ser entendida que, para determinar o mmc de dois inteiros, podemos dividir o produto dos dois números pelo seu mdc.

( ) ( ), ,

abmmc a bmdc a b

=


78

Exemplo 17: encontre o mmc(60, 48).Resolução: utilizando o algoritmo de Euclides, teremos

1 460 48 1212 0

Portanto, mmc(60, 48) = 12. Usando da proposição anterior,

( )

( )

60 48, 12

, 240

mmc a b

mmc a b

⋅=

=

Com esse exemplo, finalizamos este tópico e deixamos uma pergunta sobre este último procedimento, para você refletir: esse método é vantajoso?

Acreditamos que você descobrirá nas autoatividades a resposta para essa pergunta. No próximo tópico, apresentaremos aplicações do Máximo Divisor Comum.

79

RESUMO DO TÓPICO 1


• Se d é um máximo divisor comum (mdc) de a e b, se possuir as seguintes propriedades:

d é um divisor comum de a e de b, ed é divisível por todo divisor comum de a e b.A condição (ii) acima pode ser reescrita como se segue:Se c é um divisor comum de a e b, então c|d.

• Consequências e Propriedades do mdc para todo a, b Є Z, são:mdc(a,b)=mdc(b,a); (a ordem não interfere)mdc(0,a)=|a|;mdc(1,a)=1;mdc(a,ka)=|a| para todo k Є Z;mdc(a,b)=mdc(–a,b)=mdc(a,–b)=mdc(–a,–b); (não importa o sinal).

• Se a, b, n Є N com a < na < b, então existe mdc(a,b – na), então mdc(a,b) existe e mdc(a,b) = mdc(a,b – na).

• Se a < b e r o resto da divisão do inteiro a pelo inteiro (positivo) b. Então mdc(a,b) = mdc(b,r).

• Dados os inteiros a e b, existem inteiros x e y tais que mdc(a,b) = ax+by.

• Um número é um múltiplo comum de dois números naturais, dados se ele é simultaneamente múltiplo de ambos os números

• Um número m é um mínimo múltiplo comum (mmc) de a e b se possuir as seguintes propriedades:

i) m é um múltiplo comum de a e b, eii) se c é um múltiplo comum de a e b, então m|c.

• Dados dois números naturais a e b, temos que mmc(a,b) existe e mmc(a,b)∙mdc(a,b) = ab.

, , a b n∈

, , a b n∈

, , a b n∈

80

AUTOATIVIDADE

1 Um empreiteiro deseja construir um prédio em um terreno retangular de dimensões 216 m por 414 m. Para isso deverá cercá-lo por estacas. Se ele colocar uma estaca em cada canto do terreno e utilizar sempre a mesma distância entre duas estacas consecutivas, qual será a quantidade mínima de estacas a serem utilizadas?

2 Um prédio possui duas escadarias, uma delas com 900 degraus e a outra com 660 degraus. Sabendo que os degraus das duas escadas só estão no mesmo nível quando conduzem a um andar, descubra quantos andares tem o prédio.

3 Em um cesto haviam ovos. Eram mais de 50 e menos de 60. Contando de 3 em 3, sobravam 2. Contando de 5 em 5, sobravam 4 ovos. Qual é a quantidade de ovos no cesto?

4 Determine o menor número inteiro positivo de três algarismos que é divisível, ao mesmo tempo, por 4, 8 e 12.

5 Determine a quantidade mínima de placas quadradas que são necessárias para cobrir uma superfície retangular de 12,8 m de comprimento por 9,6 m de largura?

6 Determine o mdc dos números a seguir pelo Lema de Euclides.

a) 340 e 622.b) 1230 e 560.

7 Tente calcular o mdc(1203, 3099) usando uma fatoração simultânea e depois calcule este mdc usando a propriedade mdc(a, b) = mdc(a, b – a).

8 Para cada par de números naturais a e b dados a seguir, ache mdc(a, b) e determine os números naturais m e n tais que mdc(a, b) = na – mb ou mdc(a, b) = mb – na.

a) 637 e 3887.b) 648 e 1218.c) 552 e 874.

9 Determine dois números a e b tais que mdc(a, b) = 150 e a + b = 80.

10 (OBMEP) O produto de dois números de dois algarismos cada um é 1728. Se o máximo divisor comum deles é 12, quais são estes números?

FONTE: Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas – IMPA (2010)

81

TÓPICO 2

APLICAÇÃO DE MDC

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃONeste tópico, trataremos, inicialmente, conceitos básicos para o

entendimento das Equações Diofantinas Lineares de Segunda Ordem. Após realizarmos este estudo, partiremos para a parte prática, na resolução de problemas envolvendo este conceito.

É importante mencionar que apresentaremos algumas propriedades de máximo divisor comum, que ainda não tratamos, pois, para definir e demonstrar as particularidades desta ferramenta necessitamos do algoritmo desenvolvido por Euclides.

2 EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES

A teoria das Equações Diofantinas surge com o propósito de resolver equações polinomiais, cujo resultado pertence ao conjunto dos números inteiros. Acompanhe alguns exemplos:

• 2x – 3y = 5, que possui como uma solução os inteiros (1, -1);• x2 – y2 = z2, que possui infinitas solução e que as soluções, são conhecidas como

ternos pitagóricos, exemplo (5, 4, 3);• xn – yn = zn, que não possui soluções não nulas para n > 2, e é conhecida como o

Último Teorema de Fermat.

Apesar dos exemplos citados, em nossos estudos, abordaremos apenas o caso de Equações Diofantinas Lineares de grau 2:

ax + by = c, em que , , .a b c∈

Segundo Hefez (2016, p. 100), “tais equações são chamadas Equações Diofantinas Lineares em homenagem a Diofanto de Alexandria (aprox. 300 d.C.)”. Como muitos problemas de aritmética, incidem em soluções inteiras e não negativas este assunto, contempla o conceito necessário para resolução de problemas que desenvolveremos logo a seguir.

Iremos dizer que, para todo par de inteiros x0 e y0 que satisfaz a equação ax0 + by0 = c, está será solução inteira ou apenas uma solução da equação ax + by = c.


82

Exemplo 18: determine solução inteira para e equação linear 3x + 6y = 18.Resolução: como até o momento, não fornecemos informações suficientes

para a resolução, indicaremos apenas que é possível por inspeção ou tentativa, encontrar algumas soluções para a equação apresentada. Veja algumas dessas possibilidades:

• (4, 1), pois 3 • 4 + 6 • 1 = 18.• (–6, 6), pois 3 • (–6) + 6 • 6 = 18.• (10, –2), pois 3 • 10 + 6 • (–2) = 18.

Além dessas soluções, poderíamos encontrar para esse caso muitas outras. Podemos presumir, ainda, que há pequenas dúvidas sobre a solução que também não respondemos ainda:

i) Será que sempre existirá solução para Equações Diofantinas Lineares de grau 2?

ii) Quando for possível existir solução, será que há entre elas alguma com números naturais?

No exemplo resolvido, conseguimos notar que as duas perguntas mencionadas, foram respondidas com sim! Porém, acompanhe estes dois próximos exemplos.

Exemplo 19: determine uma solução inteira para e equação linear 2x + 4y = 7.Resolução: perceba que, neste caso, é impossível ter solução, pois como

poderia dois números pares; 2 e o 4; produzirem na multiplicação, um número ímpar como o 7.

Exemplo 20: resolva a equação 5x + 4y = 3 nos naturais.Resolução: neste caso, a impossibilidade de ter solução natural, se deve

ao fato que para qualquer 5 • x0 + 4 • y0 > 3. Caso x0 = y0 = 1, menor natural, a solução já seria 9, portanto, qualquer valor maior que estes, produzirá um número maior ainda.

Feitas essas observações, partiremos a procura da resposta à primeira pergunta, “quando uma equação diofantina linear terá solução?”. Para, de fato, responder esta pergunta, devemos obter alguns resultados, com isso, alguns teoremas e corolários.

Teorema: sejam ,a b∈ , não ambos nulos, se ( ),d min I a b= ∩ , então

i) d é o mdc de a e b; eii) ( ) { }( ), ; .I a b d ld l= = ∈

Demonstração: (i) Suponha que c divida a e b, logo c divide todos os números naturais da forma xa + yb. Portanto, c divide todos os elementos de I(a, b), e, consequentemente, c | d.

TÓPICO 2 | APLICAÇÃO DE MDC

83

Agora, mostraremos que d divide todos os elementos de I(a, b). Seja ( ) , z I a b∈ e suponha, por absurdo, que d z . Logo, pela divisão euclidiana,

z = dq + r, com 0 < r < d.

Como a = xa + yb e d = ma + nd, para alguns , , ,x y n m∈ , segue-se da expressão anterior que ( ) ( ) ( ), ,r x qm a u qn b I a b= − + − ∈ ∩ o que é um absurdo, pois ( )min ,d I a b= ∩ e r < d. Em particular, d | a e d | b. Assim provamos, que d é o mdc(a, b).

(i) Dado que todo elemento de I(a, b) é divisível por d, temos que ( ), I a b d⊂ . Por outro lado, para todo ld d∈ , temos que

( ) ( ) ( ) ( )ln ,ld l ma nd lm a b I a b= + = + ∈ e, portanto, ( ), d I a b⊂ . Em conclusão, temos que ( ), I a b d= .

“O Teorema anterior nos dá uma outra demonstração da existência do mdc de dois números. Note que essa demonstração, ao contrário da prova de Euclides, não é construtiva, no sentido de que não nos fornece nenhum meio prático para achar o mdc dos dois números” (HEFEZ, 2016 p. 81).

Corolário 3: quaisquer que sejam ,a b∈ , não ambos nulos, e n∈ , tem-se que:

( ) ( ), , .mdc na nb n mdc a b= ⋅

Demonstração: note inicialmente que ( ) ( ) ( ){ }( ), , ; , .I na nb nI a b nz z I a b= = ∈ Agora, o resultado segue-se do teorema e do fato de que

( )( ) ( )( )min , min , .nI a b n I a b∩ = ⋅ ∩

Exemplo 21: determine o mdc(24, 30).Resolução: mostraremos por meio deste exemplo a aplicação do corolário

anterior. Perceba inicialmente que mdc(24, 30) = 6. Agora, “brincaremos” com os números 24 e 30.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

I) 24, 30 2 12, 2 15 2 12, 15 2 3 6

II) 24, 30 3 8, 3 10 3 8, 10 3 2 6

III) 24, 30 6 4, 6 5 6 4, 5 6 1 6

mdc mdc mdc

mdc mdc mdc

mdc mdc mdc

= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Note como o corolário anterior foi aplicado e realmente funcionou para os exemplos apresentados.

Corolário 4: dados ,a b∈ , não ambos nulos, tem-se que:

( ) ( ), 1, ,

a bmdcmdc a b mdc a b

=


84

Demonstração: pelo corolário anterior, temos que:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, ,, ,

, , , , ,, ,

a bmdc a b mdcmdc a b mdc a b

a bmdc mdc a b mdc a b mdc a bmdc a b mdc a b

⋅

= ⋅ ⋅ =

o que prova o resultado.

Exemplo 22: determine o mdc(60, 44).Resolução: escolhemos este exemplo, a fim de elucidar o corolário

anterior, mostrando que se dividirmos os valores 60 e 44 pelo seu mdc, eles se tornam primos entre si. Note que isso realmente acontece, pois como:

( )

( )

60, 44 4, então

60 44, 15, 11 14 4

mdc

mdc mdc

=

= =

mostrando que são primos entre si.

Enfim, após apresentar um teorema e dois corolários, podemos responder à pergunta: Quando uma equação diofantina linear terá solução? Acompanhe a proposição a seguir.

Proposição 2: sejam , ,a b c∈ . A equação aX + bY = c admite solução em números inteiros se, e somente se, mdc(a, b) | c.Demonstração: pelo Teorema visto nesta etapa, temos que ( ) { } ( ), ; , ,I a b ma nb m n a b= + ∈ = .

É claro que a equação aX + bY = c possui solução se, e somente se, ( ),c I a b∈ , o que é equivalente a ( ),c a b∈ , que, por sua vez, é equivalente a (a, b) | c.

É imediato verificar que a equação aX + bY = c, com 0 ou 0a b≠ ≠ e (a, b) | c, é equivalente à equação:

1 1 1 ,a X b Y c+ =

Em que:

( ) ( ) ( )1 1 1, , e . , , ,

a b ca b cmdc a b mdc a b mdc a b

= = =


85

Note que, pelo último Corolário deste tópico, mdc(a1, b1) = 1 e, portanto, podemos nos restringir às equações do tipo a1X + b1Y = c1, com mdc(a, b) = 1, que sempre têm soluções.

A conclusão sobre essa proposição é bem simples! Para que uma equação diofantina linear de segunda ordem tenha solução, há a necessidade que o mdc entre os coeficientes divida o termo independente na equação.

Sabendo dessa informação, apresentaremos agora, outra proposição que nos mostra como determinar as soluções de uma equação diofantina, a partir de uma solução particular x0 , y0 e mostrará, como deve ser dada a sua solução geral.

Proposição 3: seja x0, y0 uma solução da equação aX + bY = c, em que mdc(a, b) = 1. Então, as soluções x, y em

da equação são 0, ; .ox x tb y y ta t= + = − ∈

Demonstração: seja x, y uma solução de aX + bY = c, logo, 0 .oax by ax by c+ = + = Consequentemente, ( ) ( )0 .oa x x b y y− = − Como mdc(a, b) = 1, segue-se que

( )0|b x x− . Logo, 0 , .x x tb t− = ∈

Substituindo a expressão de x – x0 acima em ( ) ( )0 .oa x x b y y− = − , segue que ,oy y ta− = o que prova que as soluções são do tipo exibido. Por outro lado, x, y, como no enunciado, é solução pois, ( ) ( )0 0 0 0 .ax by a x tb b y ta ax by c+ = + + − = + =

A proposição anterior, mostra que há infinitas soluções nos inteiros. Poderíamos trocar t por –t para obter as colocações com sinais contrários. Usando o algoritmo euclidiano, é possível determinar ,m n∈ tais que ma + nb = mdc(a, b) = 1, o que já sabíamos pelo Teorema de Bézout.

Multiplicando ambos os membros da igualdade anterior por c, obtemos cma + cnb = c. Logo, x0 = cm e y0 = cn é uma solução particular da equação.

Exemplo 23: resolva a equação 22x + 8y = 24.Resolução: o mdc(22, 8) = 2, ou seja mdc(22, 8) | 24, portanto, a equação

tem solução. Dividindo ambos os termos da equação pelo mdc(22, 8) = 2, obtemos a equação equivalente 11x + 4y = 12.

Pelo algoritmo de Euclides, encontraremos a solução particular desta última equação. Temos que,

11 4 2 3

4 3 1 1

= ⋅ +

= ⋅ +


86

Isolando da primeira equação anterior o resto da divisão, obtemos:

11 4 2 3

11 4 2 3.

= ⋅ +

− ⋅ =

Substituindo na segunda equação, a igual encontrada anteriormente,

( )4 3 1 1

4 11 4 2 1 1

4 11 1 4 2 1

11 1 4 2 4 1

11 1 4 3 1.

= ⋅ +

= − ⋅ ⋅ +

= ⋅ − ⋅ +

− ⋅ + ⋅ + =

− ⋅ + ⋅ =

Para igualar ao nosso problema, em que o lado direito corresponde ao 12, vamos multiplicando por 12 todos os termos, obtendo:

11 12 4 36 12.− ⋅ + ⋅ =

Logo, conseguimos encontrar uma solução particular, em que x0 = –12 e y0 = 36. Portando, usando da proposição anterior, as soluções são dadas por

0

12 4

36 11 , .

ox x tb

x t

e

y y ta

y t t

= +

= − +

= −

= − ∈

0

12 4

36 11 , .

ox x tb

x t

e

y y ta

y t t

= +

= − +

= −

= − ∈0

12 4

36 11 , .

ox x tb

x t

e

y y ta

y t t

= +

= − +

= −

= − ∈Note que a solução final apresentada, 12 4 , 36 11 , ,x t y t t= − + = − ∈ proporciona de forma parametrizada, infinitas soluções para a equação do problema, bastando para isso, substituir um inteiro t nas equações. Veja algumas possíveis soluções:

• Para t = 1, x = –8 e y = 25, o que verdade, pois substituindo na equação

( )22 8 24, obtemos

22 8 8 25 24

x y+ =

⋅ − + ⋅ =


87

• Para t = 2, x = –4 e y = 14, o que também é verdade, pois substituindo na equação

( )22 8 24, obtemos

22 4 8 14 24

x y+ =

⋅ − + ⋅ =

Exemplo 24: resolva a equação 8x – 3y = 7, para ,x y∈ .Resolução: é comum em alguns problemas de aritmética termos que

resolver um problema nos naturais. O procedimento é o mesmo, bastando apenas, no final, refletir e verificar as possíveis soluções.

Note que mdc(8,3) | 7, logo, a equação possui solução nos inteiros. Pelo algoritmo de Euclides, podemos escrever o mdc(8,3), com a finalidade de encontrar a solução particular da equação. Temos que,

8 3 2 2

3 2 1 1

= ⋅ +

= ⋅ +

Isolando da primeira equação anterior o resto da divisão, obtemos

8 3 2 2

8 3 2 2

= ⋅ +

− ⋅ =


( )3 2 1 1

3 8 3 2 1 1

3 8 1 3 2 1

8 1 3 2 3 1

8 1 3 3 1

= ⋅ +

= − ⋅ ⋅ +

= ⋅ − ⋅ +

− ⋅ + ⋅ + =

− ⋅ + ⋅ =

Multiplicando por 7, para igual ao nosso problema

8 7 3 21 7− ⋅ + ⋅ =

Portanto, encontramos uma solução particular para a nossa situação, em que x0 = –7 e y0 = –21. Portando, as soluções são dadas por:


88

0

7 3

e

21 8 , .

ox x tb

x t

y y ta

y t t

= +

= − −

= −

= − − ∈

0

7 3

e

21 8 , .

ox x tb

x t

y y ta

y t t

= +

= − −

= −

= − − ∈

Como queremos soluções naturais, temos duas inequações:

• Como x = –7 –3t, então7 3 0

3 7

7 , como é inteiro3

3

t

t

t t

t

− − >

− >

< −

≤ −

• Por outro lado, y = –21 –8t, implica em

21 8 0

8 21

21 , como é inteiro8

3

t

t

t t

t

− − >

− >

< −

≤ −

Então, as soluções naturais, podem ser encontradas, substituindo 3t ≤ − , como t∈ . Veja algumas possibilidades:

Para t = –3, x = 2 e y = 3.Para t = –4, x = 5 e y = 11.Para t = –10, x = 23 e y = 59.

Verifique na equação 8x – 3y = 7 se realmente funcionou as soluções apresentadas.

DICAS

0

12 4

36 11 , .

ox x tb

x t

e

y y ta

y t t

= +

= − +

= −

= − ∈


89

Apesar de ser possível verificar a possibilidade de solução natural, por meio da análise de sistemas de inequações, apresentaremos um teorema que dá fundamento para realizar essa análise, sem a necessidade de explorar o uso de inequações.

Teorema: a equação aX + bY = c, onde mdc(a, b) = 1, tem solução em { }0∪ se, e somente se, ( ) { }, ; , .c L a b na mb n b m∉ = − ∈ < ∈

O teorema nos informa que, caso c não pertença ao conjunto L(a, b), a equação diofantinas terá solução natural. O conjunto L(a, b) é denominado conjunto de Lacunas de um outro conjunto, S(a, b) que não trataremos aqui. O intuito será apenas de expor a ideia. Os elementos são então determinados, pela combinação linear ; , .na mb n b m− ∈ < ∈

Note também que o conjunto L(a, b) é finito e seu maior elemento é maxL(a, b) = (b – 1) a – b. Portanto, se ( ) ( )( )1 1 1 1 ,c b a b b a≥ − − + = − − a equação aX + bY = c admite solução nos naturais. Se c = (b – 1)(a – 1) – 1, ela não admite solução.

Exemplo 25: determine para quais valores de c∈ a equação 8X + 5Y = c tem soluções em { }0∪ .

Resumo: trocamos as informações iniciais do problema, temos que nosso conjunto de Lacunas, será gerado por ( ) { }8, 5 8 5 ; , , 5L n m m n n= ⋅ − ⋅ ∈ ∈ < .

É intuitivo perceber que n pode ser um número do conjunto {1,2,3,4}. Vamos, então, realizar os cálculos na combinação linear n8 – m5 que deve pertencer ao conjunto dos naturais.

• Para n = 4, teremos a seguinte equação: 4 8 5 32 5.m m⋅ − ⋅ = − ⋅

Como m∈ e será múltiplo de 5, basta subtrair do 32, múltiplos do 5 até o resultado não ser negativo e anotar os valores encontrados. Veja quais seriam:

32 5 27,

32 10 22,

32 15 17,

32 20 12,

32 25 7,

32 30 2,

− =

− =

− =

− =

− =

− =

ou seja, {2, 7, 12, 17, 22, 27}.


90

• Agora, para n = 3 teremos a seguinte equação: 3 8 5 24 5.m m⋅ − ⋅ = − ⋅

Realizando a mesma ideia, porém, agora mais rapidamente, teremos de subtrair do 24, múltiplos de 5, ou seja {19, 14, 9, 4}.

• Para n = 2 teremos a seguinte equação: 2 8 5 16 5.m m⋅ − ⋅ = − ⋅

Teremos de subtrair do 16, múltiplos de 5, ou seja {11, 6, 1}.

• Por fim, para n = 1, teremos a seguinte equação: 1 8 5 8 5.m m⋅ − ⋅ = − ⋅

Teremos de subtrair do 8, múltiplos de 5, ou seja, apenas {3}.

Juntando todos os valores encontrados, podemos estabelecer o conjunto de lacunas

( ) { }8, 5 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 17, 19, 22, 27 .L =

Desta forma, a equação do nosso problema não terá solução natural para qualquer (8,5)c L∈ .

Exemplo 26: determine para quais valores de c∈ a equação 7X + 4Y = c não tem soluções em { }0∪ . Posteriormente, encontre uma solução para a equação 7X + 4Y = 39.

Resumo: o conjunto de Lacunas será dado por ( ) { }7, 2 7 4 ; , , 4L n m m n n= − ∈ ∈ < , desta forma, n poderá ser trocado pelo

conjunto {1, 2, 3}.

• Para n = 3, teremos a seguinte equação: 3 7 4 21 4.m m⋅ − ⋅ = − ⋅ Logo, as possibilidades são {17, 13, 9, 5, 1}.

• Para n = 2, teremos a seguinte equação: 2 7 4 14 4.m m⋅ − ⋅ = − ⋅ Teremos as possibilidades {10, 6, 2}.

• Para n = 1, teremos a seguinte equação: 1 7 4 7 4.m m⋅ − ⋅ = − ⋅ Apenas a possibilidade {3}.

Juntando todos os valores encontrados o conjunto de lacunas:

( ) { }7, 4 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 13, 17 .L =

Encontrado o conjunto de Lacunas que representa as impossibilidades no c para termos solução natural, podemos perceber que 39 é uma opção, já que não está compreendida neste conjunto. Vamos, então, encontrar a solução natural para este problema. Usando do algoritmo de Euclides:


91

7 4 1 3

4 3 1 1

= ⋅ +

= ⋅ +

7 4 1 3

7 4 1 3

= ⋅ +

− ⋅ =

Isolando da primeira equação anterior o resto da divisão, obtemos


( )4 3 1 1

4 7 4 1 1 1

4 7 1 4 1 1

7 1 4 1 4 1

7 1 4 2 1

= ⋅ +

= − ⋅ ⋅ +

= ⋅ − ⋅ +

− ⋅ + ⋅ + =

− ⋅ + ⋅ =

Multiplicando por 39, para igualar ao nosso problema:

7 39 4 78 39− ⋅ + ⋅ =

Portanto, encontramos uma solução particular para a nossa situação, em que x0 = –39 e y0 = 78. Portando, as soluções são dadas por:

ox x tb

x t

y y ta

y t t

0

39 4

e

78 7 , .

= +

= − +

= −

= − ∈

ox x tb

x t

y y ta

y t t

0

39 4

e

78 7 , .

= +

= − +

= −

= − ∈

Como queremos soluções naturais, a primeira equação nos fornece a ideia que t = 10 para obter o menor x positivo, com x = 1. Com consequência disso, o

78 7 10 8y = − ⋅ = . Logo, uma solução natural é o par (1, 8). Porém, é possível ter outra solução natural, com t = 11. Calculando os valores para x e y, obtemos o outro par (5, 1).

0

12 4

36 11 , .

ox x tb

x t

e

y y ta

y t t

= +

= − +

= −

= − ∈


92

Exemplo 27: em um pedágio, cada carro paga R$ 7,00 e cada motocicleta paga R$ 4,00. Sabendo que foi arrecadado em um certo período de tempo R$ 142,00, calcule o maior número de carros e o maior número de motos possíveis que tenham passado neste pedágio.

Resolução: nosso problema, nos fornece a seguinte equação 7X + 4Y = 142, em que X representa os carros e Y as motos. Pelo algoritmo de Euclides, encontramos a igualdade com relação a mdc(7, 4), como ( )1 7 1 4 2= ⋅ − + ⋅ o qual, multiplicando por 142, ( )142 7 142 4 284= ⋅ − + ⋅ obtemos uma solução particular x0 = –142 e y0 = 284.

Concluímos que as soluções gerais do problema são x = –142 + 4t e 284 7 , .y t t= − ∈

Resolvendo as desigualdades

142 4 0

4 142

1424

36

t

t

t

t

− + >

>

>

≥

284 7 0

7 284

2847

40

t

t

t

t

− >

− > −

<

≤

encontramos que t pode variar de 36 40t≤ ≤ , proporcionado as seguintes soluções:

• Para t = 36, X = 2 carros e Y = 32 motos.• Para t = 37, X = 6 carros e Y = 25 motos.• Para t = 38, X = 10 carros e Y = 18 motos.• Para t = 39, X = 14 carros e Y = 11 motos.• Para t = 40, X = 18 carros e Y = 4 motos.

Sendo assim, concluímos que passou no máximo 18 carros ou no máximo 32 motos pelo pedágio.

Com este exemplo, finalizamos esta parte de aplicação de máximo divisor comum e ressaltamos a possibilidade de aprofundamento, com estudos nos Números de Fibonacci e em Expressões Binomiais.

No próximo tópico, estenderemos o conceito das propriedades dos números inteiros, para o caso particular de números primos. Em que perceberemos que várias aplicações de mmc e mdc serão utilizadas.

93

RESUMO DO TÓPICO 2


• As Equações Diofantinas Lineares, podem ou não ter solução.

• Se ,a b∈ , não ambos nulos, Se ( )min ,d I a b= ∩ , entãoi) d é o mdc de a e b; eii) ( ),I a b d=

• Quaisquer ,a b∈ , não ambos nulos, e n∈ , tem-se que

( ) ( ), , .mdc na nb n mdc a b= ⋅

• Dados ,a b∈ , não ambos nulos, tem-se que

( ) ( ), 1, ,

a bmdcmdc a b mdc a b

=

• Para , ,a b c∈ , a equação aX + bY = c admite solução em números inteiros se, e somente se, mdc(a, b) | c.

• Se x0, y0 é uma solução da equação aX + bY = c, onde mdc(a, b) = 1. Então, as soluções x, y em da equação são 0, ; .ox x tb y y ta t= + = − ∈

• Uma equação aX + bY = c, onde mdc(a, b) = 1, tem solução em { }0∪ se, e somente se, ( ) { }, ; , .c L a b na mb n b m∉ = − ∈ < ∈

• O conjunto L(a, b) é finito e seu maior elemento é ( ) ( )max , 1 .L a b b a b= − −

• Se ( ) ( )( )1 1 1 1 ,c b a b b a≥ − − + = − − a equação aX + bY = c admite solução nos naturais. Se ( )( )1 1 1c b a= − − − , ela não admite solução.

94

AUTOATIVIDADE

1 Determinar a solução geral das seguintes equações diofantinas lineares:

a) 56x + 72y = 40.b) 24x + 138y = 18.c) 221x + 91y = 117.d) 48x + 7y = 5.

2 Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes equações diofantinas lineares:

a) 5x – 11y = 29.b) 12x + 21y = 771.c) 58x – 87y = 290.d) 8x + 3y = 64.

3 Exprimir 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo seja divisível por 11.

4 Um grupo de pessoas gastou 690 dólares num hotel. Sabendo-se que apenas alguns dos homens estavam acompanhados pelas esposas e que cada homem gastou 18 dólares e cada mulher gastou 15 dólares, pede-se determinar as possibilidades de quantas mulheres e quantos homens poderiam estar no hotel.

5 Sabendo que um time de basquete é composto de 5 jogadores e um time de vôlei é formado por 6 jogadores. Quantas quadras de basquete e quantas de vôlei são necessárias para que 80 alunos joguem simultaneamente qualquer um dos esportes? E se forem 77 alunos?

6 Para participar de um evento comemorativo em um clube, não sócios

pagavam R$ 12,00 e sócios R$ 8,00. Sabendo-se que foram arrecadados R$ 908,00 na portaria, quantos sócios estiveram no evento?

7 O laboratório Sangue Bom dispõe de 2 máquinas para examinar amostras de sangue. Uma delas examina 15 amostras de cada vez, enquanto a outra examina 25. Quantas vezes essas máquinas devem ser acionadas para examinar exatamente 2 mil amostras?

8 Numa criação de coelhos e galinhas, contaram-se 400 pés. Quantas são as galinhas e quantos são os coelhos, sabendo que a diferença entre esses dois números é a menor possível?

95

9 (ENC, 2002) Em certo país, as cédulas são apenas de $4 e $7. Qual das opções, apresenta a possibilidade de pagar, sem troco, qualquer quantia inteira com as cédulas à disposição:

FONTE: Exame Nacional de Cursos - INEP (2002)

a) ( ) a partir de $11, inclusive.b) ( ) a partir de $18, inclusive.c) ( ) ímpar, a partir de $7, inclusive.d) ( ) que seja $1 maior do que um múltiplo de $3.e) ( ) que seja $1 menor do que um múltiplo de $5.

97

TÓPICO 3

NÚMEROS PRIMOS

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃOOs números primos é um dos estudos mais intrigantes e maravilhosos

da matemática. Desde a época dos filósofos gregos, há mais de 2.000 anos, este já é um assunto que era um dos mais misteriosos. Esse fato gerou um grande desenvolvimento na área da Teoria dos Números, que ressalta o estudo dos números inteiros, principal objetivo deste material.

Carl Friedrich Gauss (1777–1855), matemático alemão, acreditava que a teoria dos números é ramo mais importante da matemática. Dessa forma, os números primos, que são protagonistas nesta área de estudo terão enfoque independente no tópico que segue. Além disso, traremos alguns resultados importantes, tais como o Teorema Fundamental da Aritmética, para os demais tópicos a serem estudados nesta disciplina.

2 NÚMEROS PRIMOS

Conforme citado na introdução deste tópico, os números primos são um dos conceitos mais importantes para a matemática. Iniciaremos, desta forma, definindo de modo informal o que é um número primo, apenas para lembrança, uma vez que você, acadêmico, já aprendeu esse conceito em sua vida escolar.

Definição 5 (número primo): todo número natural, maior que 1, que só tem como divisores positivos, o próprio 1 e ele mesmo é dito número primo. Deste modo, conhecendo essa definição e definindo p e q, como dois números primos, e um número a, inteiro qualquer, podemos estender a definição para os seguintes lemas:

Lema: se p|q, então p = q;

De fato, como q é primo e p|q, temos que p = 1 ou p = q. Por outro lado, se p é primo, sabemos que p > 1, o que resulta que p = q.

Lema: se p a , temos que mdc(p, a) = 1.

Verificamos que se mdc(p, a) = d, sabemos que d|p e d|a. Desta forma, d = p ou d = 1. Mas, d p≠ , pois p a , logo d = 1.

98


A partir disso, definimos também os números maiores que 1, que não são primos, de números compostos. Desta forma, se um número inteiro n > 1 é dito composto, existirá um divisor natural k1, onde 1 11 k e k n≠ ≠ . Assim sendo, existirá também um outro número natural k2, em que: n > k1 k2 , sendo que,

k n k n1 21 e 1 .< < < <

Verifique que, por exemplo, os números 2 (único par e primo), 3, 5, 11, 13, são primos, e 4, 8, 9, 16, 25 são compostos. Note que os números compostos podem ser sempre gerados pela multiplicação de números primos. Como 4 = 2 x 2 ou 18 = 2 x 3 x 3. Isso, daqui a algumas linhas, será chamado de Teorema Fundamental da Aritmética, porém, antes de enunciá-lo, devemos explorar um resultado importante e seu respectivo corolário.

Proposição 4: sejam, , ,a b p∈ , com p primo. Se p|ab, então p|a ou p|b.Demonstração: para este caso, devemos mostrar que se p|ab e p a , temos que mdc(p, a) = 1, mas usando o resultado de que se |p a b⋅ e mdc(p, a) = 1, então p|b, o resultado está provado.

Corolário 5: se p, p1, ... , pn são números primos e, se 1| np p p⋅…⋅ , então temos p = pi para algum i, com 1 i n< ≤ . Agora, vamos ao importante Teorema:

Teorema (teorema fundamental da aritmética): todo número que é maior que 1 é primo ou composto, ou seja, escreve-se de maneira única como um produto de fatores primos.

Demonstração: utilizaremos o Segundo Princípio da Indução. Note que se n = 2 o resultado é facilmente verificado. Suporemos agora válida a propriedade para todo natural menor que n, para na sequência provar a propriedade para n.

Se n é primo, o resultado está provado. Vamos supor que n é composto. Desta forma existem k1 e k2, tais que n > k1 k2 , com: k n k n1 21 e 1 .< < < <

Utilizando a hipótese de indução, sabemos que existem, p1, ... , pr e q1, ... , qs, em que 1 1 rk p p= ⋅…⋅ e

2 1 sk q q= ⋅…⋅ . Assim sendo, temos que: 1 1 ,r sn p p q q= ⋅…⋅ ⋅ ⋅…⋅ o que nos prova a existência.

Vamos agora provar que a escrita é feita de modo único. Vamos supor que

tenhamos: 1 1r sn p p q q= ⋅…⋅ = ⋅…⋅ , em que os pi e qj são primos. Como 1 1| sp q q⋅…⋅ , temos que, pelo Corolário X, que p1 = qj, para algum j = 1, ... , n, que podemos supor ser q1. Assim sendo: 2 2r sp p q q⋅…⋅ = ⋅…⋅ .

Finalizando, como 2 rp p n⋅…⋅ < , pela hipótese de indução, temos que r = s e os pi e qj são iguais de 2 em 2.

TÓPICO 3 | NÚMEROS PRIMOS

99

Pesquise no Livro 9, Proposição 20, dos Elementos de Euclides. Lá o resultado está explicito em sua totalidade.

DICAS

Dando sequência, vamos a alguns exemplos do resultado, mostrando alguns casos de como um número composto pode ser escrito como o produto de números primos.

• A fatoração de 72 é: 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 2³ ∙ 3²• A fatoração de −20 é: −20 = −2 ∙ 2 ∙ 5 = −2² ∙ 5• A fatoração de 36 é: 36 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 2² ∙ 3²• Qual o menor natural que possui 5 fatores primos distintos? Segue que

2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11 = 2310.

Exercício: mostre que se n > 0 é um número composto, então existe p < n, onde p|n, com p primo.

INTERESSANTE

Dica: note que 7 é primo. Pois se fosse composto, seria divisível por 2, 3 ou 5. Nos exemplos dados, que podem existir fatores primos repetidos, desta forma podemos enunciar mais um teorema:

Teorema: dado um número inteiro n, com 0,1, 1n ≠ − , existem primos positivos p1 < ... < pr e a1, ... , ar, determinados univocamente, em que:

11

rrn p pαα= ± ⋅…⋅

Exemplos:

( )

3

3

3 3 2

4

8 2

24 2 3

5400 2 3 5

240 1 2 3 5

a)

b)

c)

d)

=

= ⋅

= ⋅ ⋅

− = − ⋅ ⋅ ⋅

100


1) Podemos utilizar o recurso de incluir o fator p0 (=1), como a decomposição

2 ∙ 52,pode ser escrita como 2 ∙ 30 ∙ 52.2) Note (e procure provar!) que se tivermos um natural n > 1, escrito da forma: α α= ± ⋅…⋅1

1r

rn p p teremos que n é um quadrado perfeito, apenas se cada expoente a

i é par.

NOTA

Uma aplicação importante dos números primos e compostos (e sua decomposição) é a determinação da quantidade de divisores positivos de um número natural n.

Definição 6: nomeando d(n) a quantidade de divisores positivos de n, em que: αα= ± ⋅…⋅1

1r

rn p p , sendo ⋅…⋅1 rp p primos e α α⋅…⋅1 r naturais, temos que: ( ) ( ) ( )α α α= + ⋅ + ⋅…⋅ +1 21 1 ( 1) rd n .

Exemplo 28: determine a quantidade de divisores positivos do número 360.Resolução: sabemos que a decomposição do número 360 é:

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅3 2 1360 2 2 2 3 3 5 2 3 5 . Logo, ( ) ( ) ( ) ( )= + ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ =360 3 1 2 1 1 1 4 3 2 24d . Portanto, 360 tem 24 divisores positivos.

Exemplo 29: determine a quantidade de divisores positivos do número 1000.Resolução: sabemos que a decomposição do número 1000 é:

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅3 31000 2 2 2 5 5 5 2 5 . Logo, ( ) ( ) ( )= + ⋅ + = ⋅ =1000 3 1 3 1 4 4 16d . Portanto, 1000 tem 16 divisores positivos.

Fatorar um número em primos nos apresenta toda a estrutura de multiplicação deste número, tornando muito simples determinar o mmc e o mdc de um conjunto qualquer de números.

Teorema: ,sejam α β βα= ± … = …11 1, , , , e n n n

n na p p b p p . Escolhendo:

{ } { }i i i i i imáx i nmin , e , , 1, ,γ α β δ α β= = = …

tem-se que:

( ) ( )n nn nmdc a b p p mdc a b p p1 1

1 1, e , γ δγ δ= ⋅…⋅ = ⋅…⋅

Exemplo 30: determinar o mmc e o mdc entre os números 12 e 18.

TÓPICO 3 | NÚMEROS PRIMOS

101

21

2 112 2 3

18 2 3

= ⋅

= ⋅

Resolução: a decomposição dos números citados fica da seguinte forma:

Temos que p1 = 2 e p2 = 3. Além disso, escolheremos:

{ } { }{ } { }

mín mín

máx máx

1 2

1 2

2,1 1 e 1,2 1

2,1 2 e 1,2 2

γ γ

δ δ

= = = =

= = = =

Assim, temos que:

( )( )

= ⋅ =

= ⋅ =

1 1

2 2

12,18 2 3 6

12, 18 2 3 36

mdc

mmc

Exemplo 31: determinar o mmc e o mdc entre os números 16 e 24.Resolução: a decomposição dos números citados fica da seguinte forma:

= ⋅

= ⋅

4 0

3 1

16 2 3

24 2 3

Note que foi usado o artifício 30 para igualar os fatores primos de ambos valores.

NOTA

Temos que p1 = 2 e p2 = 3. Além disso, escolheremos:

{ } { }{ } { }

mín mín

máx máx

1 2

1 2

4,3 3 e 0,1 0

4,3 4 e 0,1 1

γ γ

δ δ

= = = =

= = = =

Assim, temos que:

( )( )

= ⋅ =

= ⋅ =

3 0

4 1

16, 24 2 3 8

16, 24 2 3 48

mdc

mmc

102


Para fixar ainda mais e complicar um pouquinho também:

Exemplo 32: determinar o mmc e o mdc entre os números 136 e 180.Resolução: a decomposição dos números citados fica da seguinte forma:

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

3 0 0 1

2 2 1 0

136 2 3 5 17

180 2 3 5 17

Temos que p1 = 2 e p2 = 3, p3 = 5 e p4 = 17. Além disso, escolheremos:

{ } { } { } { }{ } { } { } { }

γ γ γ γ

δ δ δ δ

= = = = = = = =

= = = = = = = =

1 2 3 4

1 2 3 4

2,3 2, 0,2 0, 0,1 0 0,1 0

2,3 3, 0,2 2, 0,1 1 0,1 1

mín mín mín e mín

máx máx máx e máx

Assim, temos que:

( )( )

= ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ =

2 0 0 0

3 2 1 1

136, 180 2 3 5 17 4

136, 180 2 3 5 17 6120

mdc

mmc

Exemplo 33: dados dois números naturais a e b, determine para quais pares de números temos que [a,b] = (a,b)2.

Resolução: escrevendo: α β βα= ± … = …11 1 e ., , , , n n n

n na p p b p pVerificamos que a igualdade mmc(a,b) = (mdc(a,b))2 nos diz que:

{ } { }α β α β= ⋅ = …, 2 , , 1, ,i i i imáx mín i n , isso nos diz que, α β β α= ⋅ = ⋅2 2i i i iou . Por exemplo, se a = 20 e b = 50, ou ainda, fatorando, = ⋅ = ⋅22 5 e 2 5²a b , sabemos que ( ) ( )= ⋅ = = ⋅ =2 2, 2 5 100 e , 2 5 10mmc a b mdc a b , o que comprova o exemplo. Desta forma, em geral, a equação ( ) ( )( )=, ,

rmmc a b mdc a b , tem soluções para:

α β β α= ⋅ = ⋅2 2r r r rou .

1. Procure determinar mais casos em que o exemplo acima é válido.2. Prove que o conjunto dos números primos é infinito usando o Teorema Fundamental da Aritmética.

IMPORTANTE

Após conhecermos mais detalhadamente os números primos, definiremos e mostraremos alguns exemplos de números primos especiais, tais como os primos de Mersenne e Fermat.

103

RESUMO DO TÓPICO 3


• Todo número natural, maior que 1, que só tem como divisores positivos, o próprio 1 e ele mesmo, é dito número primo.

• Se p e q são números primos, e a, inteiro qualquer:I) Se p|q, então p = q;II) Se p a , temos que (p,a) = 1.

• Sejam, ∈, ,a b p , com p primo. Se p|ab, então p|a ou p|b.

• Se p, p1, ... , pn são números primos e, se ⋅…⋅1| np p p , então temos p = pi para algum i, com < ≤1 i n .

• Todo número que é maior que 1, é primo ou composto, ou seja, se escreve de maneira única como um produto de fatores primos.

• Dado um número inteiro n, com ≠ −0,1, 1n , existem primos p1 < ... < pr e a1 , ... , ar , determinados univocamente, onde: αα= ± ⋅…⋅1

1 .rrn p p

• Nomeando d(n) a quantidade de divisores positivos de n, em que: αα= ± ⋅…⋅1

1 .rrn p p sendo ⋅…⋅1 rp p primos e α α⋅…⋅1 r naturais, temos que:

( ) ( ) ( )α α α= + ⋅ + ⋅…⋅ +1 21 1 ( 1) rd n .

• Sejam α β βα= ± … = …11 1, , , , e n n n

n na p p b p p . Escolhendo: { } { }γ α β δ α β= = = …min , , , 1, , , i i i i i ie máx i n tem-se que:

( ) n nn na b p p a b p p1 1

1 1, e , .γ δγ δ= ⋅…⋅ = ⋅…⋅

• Em geral, a equação ( ) ( )( )=, ,r

mmc a b mdc a b , tem soluções para: r r r r2 ou 2α β β α= ⋅ = ⋅ .

104

1 Quais dos números a seguir são primos?

a) ( ) 239.b) ( ) 241. c) ( ) 247. d) ( ) 253. e) ( ) 1789.

2 (ENC, 98) Uma das afirmativas a seguir, sobre números naturais, é FALSA. Qual?


a) ( ) Dado um número primo, existe sempre um número primo maior do que ele. b) ( ) Se dois números não primos são primos entre si, um deles é ímpar. c) ( ) Um número primo é sempre ímpar. d) ( ) O produto de três números naturais consecutivos é múltiplo de 6. e) ( ) A soma de três números naturais consecutivos é múltiplo de três.

3 Realize a fatoração em números primos (agrupando os fatores) para os seguintes números:

a) 12. b) 36. c) 180. d) 234. e) 1000. f) 12000.

4 Determine a quantidade de divisores positivos para os números do exercício 3. 5 Determine os possíveis valores de m e n inteiros, para os quais ⋅9 10m n

tenham:

a) 27 divisores positivos.b) 243 divisores positivos.

6 Usando a caracterização de mdc e mmc de dois números naturais a e b através da fatoração em primos desses números, prove que mdc(a, b).mmc(a, b) = ab.

7 Calcule o mmc e o mdc dos valores a seguir, utilizando a sistemática de γ δ e .i i

a) 12 e 25. b) 16 e 36. c) 120 e 250. d) 48 e 75.

AUTOATIVIDADE

105

TÓPICO 4

NÚMEROS ESPECIAIS

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃONeste tópico, definiremos e exemplificaremos alguns números primos

especiais. Daremos um foco um pouco menos rigoroso e nos preocuparemos mais com exemplificar casos de aplicação dos mesmos.

Incialmente, mostraremos os primos conhecidos como Primos de Fermat, em homenagem a Pierre de Fermat (1601-1665), um dos primeiros matemáticos a estudar a Teoria dos Números teoricamente.

O segundo tema estudado diz respeito aos números primos de Mersenne, sendo que é dado este nome em homenagem a Marin Mersenne, que é contemporâneo de Fermat e que é muito famoso no estudo da Teoria dos Números.

Na sequência, conheceremos um pouco dos números perfeitos, por exemplo, 6 e 28, que possuem a propriedade de serem iguais à metade da soma dos seus divisores positivos (verifique!). Números estes que já fascinaram matemáticos desde os tempos antigos.

Por fim, neste tópico de números especiais, daremos alguns exemplos de como determinar a fatoração de um número n! em primos. Vamos lá?

2 PRIMOS DE FERMAT

Antes de definir o que é um número primo de Fermat, precisaremos de um resultado, que será enunciado e provado a seguir.

Proposição 5: dados a e n, dois números naturais maiores que 1. Se an + 1 é primo, então temos que a é par e n = 2m, com ∈m . Demonstração: afirmaremos que an + 1 é primo, em que a > 1 e n > 1. Desta forma, a forçosamente é par, pois se não o fosse, teríamos que an + 1 seria par e maior que 2, o que não é possível.

Por outro lado, se n tivesse outro divisor primo diferente de 2, teríamos que n = n´p, com ∈́n . Portanto, an´ + 1 dividiria (an´)p + 1 = an + 1 , o que contradiz o fato de que o último número ser primo. Logo, n é da forma 2m.

106


Definição 7 (números de Fermat): os números de Fermat são da forma: Fn = 22n + 1.

Exemplos:

= + =

= + =

= + =

= + =

1

2

3

4

21

22

23

24

• F 2 1 5

• F 2 1 17

• F 2 1 257

• F 2 1 65537

São os 4 primeiros números de Fermat, e, de fato, são primos. Fermat acreditava, sem comprovações, que os números deste formato eram primos. Porém, anos mais tarde, Euler mostrou que: = + = = ⋅

525F 2 1 4.294.967.297 641 6700417 ,

que é composto, negando os pensamentos de Fermat. Deste modo, apenas os números de Fermat, que são primos, são ditos PRIMOS DE FERMAT.

3 NÚMEROS PERFEITOS

Para iniciar as análises acerca dos números perfeitos, necessitamos falar de outros tipos de números em uma definição única: os números “deficientes” e “abundantes”. Para isso, temos que ter bem claro o conceito dos divisores naturais de um número qualquer.

Definição 8: para todo ∈n , temos:

( )σ =∑|t n

n t

a soma dos divisores naturais de n.

Exemplos:

( )( )( )( )p p p

• 1 1

• 6 1 2 3 6 12

• 12 1 2 3 4 6 12 28

• 1, se é primo

σ

σ

σ

σ

=

= + + + =

= + + + + + =

= +

TÓPICO 4 | NÚMEROS ESPECIAIS

107

Proposição 6: para algum primo p, seja n = pa. Então:

( )σ+ −

=−

1 11

aa pp

p

Demonstração: temos { }…21, , , , ap p p divisores de n, logo, usando a definição de soma de uma progressão geométrica de razão p:

( )σ+

=

−= = =

−∑ ∑1

| 0

11

aaa k

t n k

pp t pp

Observe que:

( )σ = + +…≥ + > ≥1 1 , para todo 2n n n n n

Agora, analisaremos os números naturais, sob o aspecto da comparação de ( )σ n com n:

Definição 9: chamaremos um número n de:

a) Deficiente, se ( )σ < 2n nb) Abundante, se ( )σ > 2n nc) Perfeito, se ( )σ = 2n n

Exemplos:

• ( )σ= ⇒ = + + + =15 15 1 3 5 15 24, n mas ( )σ = < ⋅15 24 2 15 . Portanto, 15 é um número deficiente.

• ( )σ= ⇒ = + + + + + =12 12 1 2 3 4 6 12 28, n mas ( )σ = > ⋅12 28 2 12 . Portanto, 12 é um número abundante.

• ( )σ= ⇒ = + + + =6 6 1 2 3 6 12, n mas ( )σ = = ⋅6 12 2 6 . Portanto, 6 é um número perfeito.

Mostraremos, agora, resultados importantes para os estudos que serão vistos na sequência. Provaremos uma classificação de números perfeitos pares, mencionando os teoremas de Euclides e Euler para o assunto em questão:

Teorema:a) (Euclides): se ≥ 2k é tal que = −2 1kp é primo, então ( )−= −12 2 1k kn é um

número par perfeito.

108


b) (Euler): todo número par perfeito é obtido utilizando o procedimento visto em (a).

Demonstração: a) Seja ≥ 2k é tal que = −2 1kp é primo. Como sabemos que ( )− − =12 ,2 1 1k kmdc ,

calcularemos:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

σ σ σ σ− − −

−

= − = ⋅ − = + +…+ + = − +

= − ⋅ = ⋅ − =

1 1 1

1

2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1

2 1 2 2 2 2 1 2 .

k k k k k k

k k k k

n p p

n

b) Seja n um númeto perfeito, par. Podemos então escrever n = 2k–1m, sendo k m2 e ímpar≥ . Como por hipótese, n é perfeito, temos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )σ σ σ σ σ− −= = = = ⋅ = − ⋅1 12 2 2 2 (2 1) k k k km n n m m m

A partir disso, segue que −2 1|2k k m . Como o ( )− =2 1, 2 1,k kmdc

podemos concluir que −2 1|k m . Desta forma, existe um número natural M, tal que ( )− =2 1k M m , com ≠M m , pois ≥ 2k . Assim,

( ) ( ) ( )σ− = = − ⋅2 2 1 2 2 1k k k kM m m , ou seja: ( )σ= ≥ + =2 2 .k kM m m M M

Portanto, temos que ( )σ = +m M m , concluindo assim que M e m são os únicos divisores de m. Em particular M = 1 e m = 2k – 1 é primo. Logo:

( )k k kn 12 2 1 , com 2 1 primo.−= − −

Vejamos, agora, uma tabela com alguns exemplos de números perfeitos, criados a partir do teorema demonstrado anteriormente:

TABELA 2 – NÚMEROS PERFEITOS PARES (TERCEIRA COLUNA)

FONTE: O autor


109

Não se sabe se existem números perfeitos ímpares. Você pode ler mais em Números Perfeitos, disponível em: https://sca.profmat-sbm.org.br/sca_v2/get_tcc3.php?id=27560.

INTERESSANTE

4 PRIMOS DE MERSENNE

Dando continuidade ao estudo dos números perfeitos, reforçaremos que os números da forma 2k – 1 têm muita importância. Os números desta forma são chamados de números de Mersenne.

Definição 10: os números da sequência ( )≥

−2

2 1k

k são chamados

de números de Mersenne. Notamos: = − = …2 1, com 2,3,4, kkM k

Desta forma podemos escrever os primeiros números de Mersenne. ( ) ( )≥

= … − …2

3,7,15,31,63,127,255,511,1023, ,2 1, kk k

M .

O que particularmente nos interessa é quando o número Mk é primo. Verificaremos uma condição necessária (não suficiente) para que isso ocorra:

Proposição 7: se Mk é primo, então k = p é primo.

Podemos verificar que esta é uma condição apenas necessária, verificando o número de Mersenne M11. = = ⋅11 2047 23 89M , não é primo, mesmo que k = 11 seja.

Sejam 2 a ek≥ ∈ . Se ak – 1 for primo, então a = 2 e k é primo. A demonstração do enunciado desta observação é um tanto complexo e nos preocuparemos apenas com o resultado, porém, procure exemplos que atestamos.

NOTA

A observação anterior diz que se estamos procurando números Mk primos, apenas os números em que k = p primos nos interessam.

110


Definição 11: um número Mp, com p primo, chama-se primo de Mersenne, se Mp for primo.

Exemplo 34: os primeiros primos de Mersenne, utilizando p = 2,3,5, ... são:

= = = = = = = …2 3 5 7 13 17 193, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, M M M M M M M

Contudo, temos que, …11 23 2923 , 47 , 233| ,M M M . Logo,

…11 23 29, , ,M M M não são primos de Mersenne.

Em maio de 2004, foi encontrado o maior número primo de Mersenne (até o momento). Ele é o 41º na sequência dos primos de Mersenne (p = 24036583). M

p = 224036583 – 1

Ele possui entre 7 e 8 milhões de dígitos, pois = ⋅ = ⋅ ≈ ⋅24036583 6

10log 2 24036583 log 2 24036583 0,30 7,235 10 . O número perfeito

correspondente, tem cerca de 14 milhões de dígitos: ( )24036582 240365832 2 1P = ⋅ − .

Acesse o link: www.mersenne.org para conhecer o projeto feito para encontrar novos números de Mersenne.

DICAS

5 FATORAÇÃO DO FATORIAL EM PRIMOS

Neste ponto de nosso estudo, verificaremos como determinar a fatoração de um número n!. Isso é interessante para a resolução de diversos problemas matemáticos que envolvem os números inteiros e primos.

Antes de dar início aos estudos, apresentaremos a notação como sendo para representar a parte inteira de uma divisão. Por exemplo:

=

4 13

Proposição 8: dados ≥ > >0, 0 0a b e c . Temos que:

= ⋅

aab

c b c


111

Demonstração: sejam

= =

1 2

aa bq e qb c

logo, = + ≤ −1 1 1, 1a bq r comr b e

= = +

1 2 2 2, a q cq r comr

b

portanto, ( )= + = + + = + +1 1 2 2 1 2 2 1a bq r b cq r r bcq br r .

Desta forma, como: ( )+ ≤ − + − = −2 1 1 1 1br r b c b bc , segue que q2 é o quociente da divisão de a por bc:

=

2aqbc

Dados um número primo p e um número natural m, definimos por Ep (m) o expoente da maior potência de p que divide m, em outras palavras, é o expoente da potência de p que aparece na fatoração de m em fatores primos.

Particularmente, Ep (n!) representará a potência de p que aparece na fatoração de n! em fatores primos.

Teorema: (Legendre) sejam m um número natural e p um número primo. Então:

( ) = + + +…

!² ²p

n n nE np p p

Demonstração: inicialmente, verificaremos que temos uma soma finita. Pois temos um número natural r, onde pi > n, para todo i > r.

Portanto, = ≥

0 se i

n i rp

.

Demonstraremos o resultado por indução sobre n . A fórmula vale trivialmente para n = 0. Suponha que o resultado vale para qualquer natural m com m < n Sabemos que os múltiplos de p entre 1 e n são:

112


p, 2p, ...,

Portanto, pela hipótese de indução, temos que:

Para calcular Ep (n!) faz-se uso do seguinte algoritmo:

n pp

= −

( !) !p pn nE n Ep p

−

= +

= +

= +

1 1

1 2 2

1

.....

s s s

n pq r

q pq r

q pq r

Como q1 > q2 > ..., seguem-se que, para alguns s, tem-se que. Portanto, seguem-se que.

( )= + + +1 2! ... sE n q q q

Exemplo 35: determinaremos a decomposição de 10! Em fatores primos.

Para resolvermos o problema, devemos achar Ep (10!) para todo primo ≤ 10p . Então:

( )

( )

( )

( )

= + + = + +

= + = +

= =

= =

2

3

5

7

10 10 1010! 5 2 12 2² 2³

10 1010! 3 13 3²

1010! 25

1010! 17

E

E

E

E

Segue que = ⋅ ⋅ ⋅8 4 2 10! 2 3 5 7 .

Teorema: sejam p, n inteiros positivos, com p primo. Suponha que:

−−= + +…+ +1

1 1 0r r

r rn n p n p n p n


113

Então:

− + +=

−0 1( )

( !)1

rp

n n n nE n

p

Demonstração: sabendo que ≤ ≤0 n p , temos:

− −−

−−

= + +…+ +

= +…+

=

−

1 21

212

2 1

2

r rr r

rr r

rr

n n p n p n p np

n n p n np

n np

p

Portanto,

−

−

−− −

= − − − =

− −+ + + =

− −

+ + + + − + + + +=

−

− + + +−

2 3

2

1 1

11 1 0 1 1 0

0 1

( !)

1 11 1

( )1

( )1

p r

r r

r r

r rr r p r r

r

n n n nE np p p p

p pn n np p

n p n p n n n n n np

n n n np

Exemplo 36: determinar a potência de 3 na decomposição de 53! em fatores primos.

Resolução: primeiramente escrevemos 53 na base 3, isto é: 53 = (1222)3

Aplicando o Teorema demonstrado anteriormente:

( ) ( )− + + += =

−3

53 1 2 2 253! 23

3 1E

114


Na sequência, verificaremos mais sobre os matemáticos que ao longo da história tiveram trabalhos relevantes acerca dos números primos. A leitura complementar que segue abordará brevemente a história e a contribuição de cada matemático.

Usando agora o Teorema de Legendre para comprovação:

( ) = − − = + + =

3 2 3

53 53 5353! 17 5 1 233 3 3

E


115


[...]

NÚMEROS PRIMOS E SEUS ADMIRADORES

Karla Valéria Caldas Mota

1 Pitágoras

Pitágoras (582 a.C.-497 a.C.) matemático e lósofo grego; nasceu na ilha de Samos na Grécia. Desde muito jovem impressionava seus professores com suas habilidades. Aos 16 anos, foi enviado para Mileto, para estudar com Tales, o maior sábio da época.

Os primeiros passos do desenvolvimento da teoria dos números e o lançamento do futuro misticismo numérico, foram dados por Pitágoras e seus seguidores movidos pela loso a da fraternidade.

Fundou em Crótona, ao sul da Itália, uma escola losó ca. Os seus discípulos denominavam-se de pitagóricos. Pitágoras desenvolveu grandes estudos na área da matemática, astronomia, música, medicina e científica. Entre suas descobertas sobre a matemática, está a classi cação dos números em primos ou compostos, pares ou ímpares.

No estudo de sons musicais, descobriu uma relação entre a altura da nota emitida e o comprimento da corda. As relações que produziam sons harmoniosos, obedeciam a uma proporção dos números inteiros. Assim, Pitágoras concluiu que havia uma música que representava as relações numéricas da natureza e que constituía sua harmonia interior.

2 Euclides

Euclides (305 a.C.-275 a.C. ) foi um dos mais famosos geômetras da antiguidade, sendo conhecido como o pai da Geometria. Escreveu uma obra, intitulada Os Elementos. Esta obra é composta de 13 volumes. O seis primeiros versam sobre Geometria Plana, os Volumes 7 a 9 tratam de Teoria dos Números; o livro X estuda a classificação dos incomensuráveis irracionais (não podem ser medidos); por fim os 3 últimos volumes abordam Geometria no Espaço. Estudou em Atenas com os sucessores de Platão, foi professor de Matemática na Escola Real de Alexandria no Egito.

Sobre números primos Euclides provou um importante resultado que caracteriza uma das principais propriedades dos números primos. Uma consequência muito importante deste resultado é o Teorema Fundamental da

116


Aritmética que afirma que todo número inteiro pode ser decomposto como um produto de fatores primos, ou seja, os números primos é o bloco fundamental da teoria dos números.

3 Eratóstenes de Cirene

Eratóstenes (276 a.C.-196 a.C.) foi criado em Cirene, cidade grega ao norte da África. Estudou em Alexandria, no Egito, e depois em Atenas, retornando a Alexandria em 255 a.C., onde se estabeleceu.

Escreveu sobre matemática, astronomia, geografia, história e fez críticas literárias. Conhecido como Beta foi escolhido para a administração da biblioteca de Alexandria, cargo que aceitou em 240 a.C.

Umas das contribuições para os estudos da matemática foi o desenvolvimento de um procedimento chamado de Crivo de Eratóstenes, em que desenvolveu um método para determinar, não com uma fórmula, mas com uma tabela os números inteiros primos, numerados de 0 a um determinado valor.

Porém, a dificuldade é que quanto maior for o número, mais difícil de aplicar o Crivo de Eratóstenes, pois o esforço aliado ao tempo gasto começará a aumentar e dificultará o seu desenvolvimento.

4 Fermat

O matemático francês Pierre de Fermat (1601-1665) é famoso pela amplitude e excelência dos trabalhos feitos na parte de teoria dos números. Fermat nasceu na França e foi conhecido como o Príncipe da Matemática. Filho de um rico mercador que lhe proporcionou educação privilegiada, tendo a advocacia como pro ssão, dedicava-se a matemática apenas em suas horas de lazer, considerando apenas como o seu passatempo.

Os seus trabalhos apresentam caráter amador e na grande maioria não foram publicados enquanto ainda estava vivo. Uma parte do que se sabe de suas descobertas provém de anotações feitas em uma edição das obras de Diofanto. Amador mas foi considerado por Pascal como o maior matemático de sua época.

5 Mersenne

Marin Mersenne (1588-1648) foi um padre e estudioso com interesses matemáticos. Mersenne lamentava o fato de não existir naquela época uma organização formal onde os estudiosos pudessem se encontrar regularmente para trocar e discutir ideias e descobertas, disponibilizando assim seu próprio quarto no convento de Minims, onde ocorreram os primeiros encontros regulares de matemáticos que decorreram continuamente até sua morte em 1648.


117

Mantinha contato com nomes importantes no domínio do conhecimento através de uma elaborada rede de correspondência que transmitiam divulgações dos avanços científicos. Deste modo, estimulou o desenvolvimento científico. Depois da sua morte, foram encontradas cartas de 78 correspondentes espalhados pela Europa, entre os quais Fermat em França, Huygens na Holanda, Pell e Hobbes na Inglaterra e Galileu e Torricelli na Itália.

Na matemática sua maior contribuição foi na teoria dos números. Mersenne tentou definir uma fórmula que descrevesse todos os números primos. Estudou música, onde desenvolveu a teoria da ressonância natural e também combinações e permutações com o objetivo de contabilizar sequências de notas musicais.

6 Euler

Leonhard Euler (1707-1783) foi o matemático mais prolífico na história. Os estudos de Euler na teoria dos números foram embasados nas obras de Pierre de Fermat. Euler desenvolveu algumas das ideias de Fermat, e refutou algumas das suas conjecturas.

Foram inúmeros teoremas, demonstrações na parte de teoria dos números, contribuindo de forma bastante significativa. Suas ideias foram a base para os estudos de Carl Friederich Gauss. Euler introduziu e provocou a expansão da função zeta de Riemann, uma generalização, que mais tarde recebeu o nome de Bernhard Riemann.

7 Gauss

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) é considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Contribuiu praticamente para todos os ramos da matemática e para a teoria dos números, área esta que lhe chamava bastante atenção.

Conta-se que um professor de Matemática mandou aos alunos de sua turma que somassem de 1 a 100, como forma de castigo. Tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilização de um raciocínio que fascinou o professor. Sua tese de doutorado foi a primeira demonstração do teorema fundamental da álgebra.

8 Dirichlet

Dirichlet (1805-1859), nasceu na Alemanha onde seu pai era chefe dos correios. Foi o responsável pela de noção formal de função.

De 1828 até o ano de seu falecimento, Dirichlet trabalhou na Faculdade Militar de Berlim, no Colégio Militar e na Universidade de Gottingen, onde substituiu Gauss. Estudou os números primos em progressões aritméticas.

118


9 Riemann

Bernhard Riemann (1826-1866) foi um dos matemáticos que também estudou a busca pelos números primos, mesmo não sendo da área de seu interesse, a teoria dos números.

Riemann teve a ideia de unir uma função, que teve o nome de função Zeta, para todos os números complexos, de modo que tivessem a parte real maior que 1.

A hipótese de Riemann é uma armação matemática de que é possível decompor os números primos em música. Dizer que existe música nos primos é uma forma poética de descrever esse teorema matemático.

[...]

FONTE: MOTA, K. V. C. O mistério e a beleza dos números primos. Disponível em: https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tede/8142/5/Disserta%C3%A7%C3%A3o%20-%20Karla%20Val%C3%A9ria%20Caldas%20Mota%20-%202017.pdf. Acesso em: 25 jan. 2020.

119

RESUMO DO TÓPICO 4Neste tópico, você aprendeu que:

• Os números de Fermat são da forma: Fn = 22n +1,

• Para todo ∈n , temos:( )σ =∑

|t n

n t

• A soma dos divisores naturais de n.

• Para algum primo p, seja n = pa. Então:

( )σ+ −

=−

1 11

aa pp

p• Chamaremos um número n de:

a) Deficiente, se ( )σ < 2n nb) Abundante, se ( )σ > 2n nc) Perfeito, se ( )σ = 2n n

• Os números da sequência ( )≥

−2

2 1k

k são chamados de números de Mersenne.

= − = …2 1, 2,3,4, kkM com k

• Um número Mp, com p primo, chama-se primo de Mersenne, se Mp for primo.

• Sejam m um número natural e p um número primo. Então:

( ) = + + +…

!² ²p

n n nE np p p

• Sejam p,n inteiros positivos, com p primo. Suponha que:

−−= + +…+ +

− + + +=

−

11 1 0

0 1

Então:

( )( !)

1

r rr r

rp

n n p n p n p n

n n n nE n

p


CHAMADA

120

1 Mostre que todo divisor de um número de Fermat Fn é da forma 4m + 1.

2 Classifique em números abundantes, deficientes e perfeitos:

a) 14.b) 28.c) 15.d) 6.e) 30.

3 Decomponha os seguintes números em fatores primos:

a) 8!b) 12!c) 24! d) 30!

4 Determine a potência de 5 na decomposição de 75! em fatores primos. 5 Ache as maiores potências de 2 e de 5 que dividem 10000. 6 (ENC, 2002) Qual é o menor valor do número natural n que torna n! divisível

por 1000!.


AUTOATIVIDADE

121

UNIDADE 3

CONGRUÊNCIA


PLANO DE ESTUDOS


• conhecer as propriedades e as estrutura de congruências;• reconhecer como a congruência pode ser aplicada na resolução de proble-

mas;• desenvolver a capacidade para demonstração de propriedades e proble-

mas com divisibilidade;• aplicar métodos de resolução em problemas com sistemas de congruência;• compreender o sistema de criptografia ao longo da história.


TÓPICO 1 – CONCRUÊNCIASTÓPICO 2 – APLICAÇÃO DE CONGRUÊNCIATÓPICO 3 – CONGRUÊNCIAS LINEARES E CLASSES RESIDUAISTÓPICO 4 – NOÇÕES DE CRIPTOGRAFIA RSA


CHAMADA

123

TÓPICO 1

CONCRUÊNCIAS

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃONeste tópico, apresentaremos uma das noções mais importantes na

aritmética, introduzida pelo matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Trata-se da construção de uma aritmética desenvolvida a partir dos restos da divisão euclidiana, publicada no ano 1801, por Gauss, no seu livro Disquisitiones Arithmeticae.

Você pode ver o trabalho de Gauss em uma versão digital: Disquisitiones Arithmeticae. Disponível em: http://epsaleph.tripod.com/sitebuildercontent/sitebuilderfiles/disquisitionesarithmeticae.pdf.

DICAS

Primeiramente, definiremos a Aritmética dos Restos e apresentaremos vários resultados importantes que serviram como ferramentas para desenvolver o estudo de várias situações.

2 ARITMÉTICA DOS RESTOS

Vamos iniciar nossos estudos refletindo sobre a introdução dada deste tópico, enfatizando a seguinte pergunta: como pode ser possível tirar algo de proveitoso dos restos de divisões entre números inteiros?

A resposta para essa pergunta será logo respondida e acreditamos que você ficará maravilhado por este novo conceito proposto e desenvolvido por Gauss.

Uma das aplicações da aritmética modular é no relógio de ponteiro, em que temos o dia sendo dividido em dois períodos de 12 horas. Se agora são 7h, então, passando-se 8h serão 3h. O comum seria pela adição usual que 8 + 7 = 15,

UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA

124

mas não, no relógio de ponteiros temos uma “volta” a cada 12 horas. Como cada ciclo é a cada 12h, dizemos que estamos diante de uma aritmética de módulo 12. Veremos como isso funciona após a seguinte definição.

Definição 1: seja m um número natural diferente de zero. Diremos que dois números inteiros a e b são congruentes módulo m se os restos de sua divisão euclidiana por m são iguais. Quando os inteiros a e b são congruentes módulo m, denota-se: a ≡ b (mod m).

Antes de apresentarmos alguns exemplos, perceba que essa definição é bem intuitiva. Bastam ter dois números a e b que deixam o mesmo resto, quando divididos por um certo número m.

Exemplo 1:

15 ≡ 7 (mod 2), pois os restos da divisão de 15 e de 7 por 2 são iguais a 1.10 ≡ 24 (mod 7), pois os restos da divisão de 10 e de 24 por 7 são iguais a 3.17 ≡ –1 (mod 6), pois os restos da divisão de 17 e de –1 por 6 são iguais a 5.–6 ≡ 14 (mod 5), pois os restos da divisão de –6 e de 14 por 5 são iguais a 4.

No caso dos números negativos, para termos um resto positivo, devemos acrescentar o divisor até que obter um número positivo. Pelo último exemplo houve a necessidade de acrescentar duas vezes o 5.

IMPORTANTE

Quando a congruência não for atendida, diremos que a e b não são congruentes ou que são incongruentes, módulo m. A notação feita para este caso é ( ) a b modm≡ .

É natural pensarmos que a congruência, Módulo 1, é totalmente desinteressante, pois todos deixam zero como resto. Logo, é fundamental comentar que estudaremos apenas os casos em que m > 1. Apresentaremos algumas propriedades que decorrem imediatamente da definição.

Proposição 1: seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b e c inteiros quaisquer. Valem as propriedades:

i) a ≡ a (mod m) (Reflexiva);ii) Se a ≡ b (mod m), então b ≡ a (mod m) (Simétrica);iii) Se a ≡ b (mod m) e se b ≡ c (mod m), então a ≡ c (mod m) (Transitiva).

TÓPICO 1 | CONCRUÊNCIAS

125

Exemplo 2:

• Para o item i), é imediato ver que 4 ≡ 4 (mod 3), pois ambos deixam o mesmo resto 1.

• No item ii), é evidente perceber que se 5 ≡ 8 (mod 3), ou seja, 5 e 8 deixam o mesmo resto na divisão por 3, logo, 8 ≡ 5 (mod 3), também valerá, pois, apenas estamos trocando a ordem da observação.

• O item iii) é mais curioso. Suponha 5 ≡ 8 (mod 3) e 8 ≡ 14 (mod 3), logo, é natural perceber que se 5 e 8 deixam o mesmo resto na divisão por 3, qualquer número que deixar o mesmo resto, como 14, pode tornar a congruência transitiva em 5 ≡ 14 (mod 3).

Apesar de termos definido que, para a congruência existir entre dois números, ambos devem produzir o mesmo resto pela divisão euclidiana, há uma outra forma muito convencional para realizar está comparação.

Proposição 2: suponha que ∈ , ,a b m , com m > 1. Tem-se que a ≡ b (mod m) se, e somente se, − ⇔ − = ⇔ = +|m b a a b km a km b .Demonstração: sejam a = mq + r, com r < m e b = mq' + r', com r' < m, as divisões de a e b por m, respectivamente. Logo,

( ) ( )− = + − +

− = − + −

′ ′

′ ′

.

b a mq r mq r

b a m q q r r

Como, a ≡ b (mod m) implica em os restos serem iguais, r' = r. Isso torna a igualdade anterior equivalente a b – a = m(q'– q), o que mostra que m|b – a. A volta da demonstração fica a cargo do leitor.

Exemplo 3: verifique se vale a congruência 23 ≡ 95 (mod 8).Resolução: perceba que a congruência é válida se 8|95 – 23, ou seja, se

8|72, o que é verdade. Portanto, a congruência é válida.

Um fato que podemos perceber é que todo número natural será congruente módulo m, ao seu resto quando dividido m. Sendo assim, todo número é congruente módulo m, a um dos números 0, 1, ..., m – 1. Além disso, ao escolher dois desses números distintos, a congruência não existirá.

Para achar o resto da divisão de um número a por m, basta achar o número natural r dentre os números 0, 1, ..., m – 1 que seja congruente a a módulo m. Chamaremos de sistema completo de resíduos módulo m a todo conjunto de números naturais cujos restos pela divisão por m são os números 0, 1, ..., m – 1, sem repetições e numa ordem qualquer. Portanto, um sistema completo de resíduos módulo m possui m elementos. É claro que, se a1, ... am são m números naturais, dois a dois não congruentes módulo m, então eles formam um sistema completo de resíduos módulo m. De fato, os restos da divisão dos ai por m são dois a dois distintos, o que implica que são os números 0, 1, ..., m – 1 em alguma ordem (HEFEZ, 2016, p. 111).


126

Veremos, agora, algumas propriedades separadamente que mostraram como essa ferramenta é poderosa por ter uma afinidade de equivalência compatível com as operações elementares de adição e multiplicação nos inteiros.

Propriedade 1: seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b dois inteiros quaisquer. Se a ≡ b (mod m) e se n|m, com n > 0, então a ≡ b (mod n).Demonstração: como ( ) a b modm a b km≡ ⇒ − = e ⇒ =|n m m nq em que k e p > 0 são inteiros, portanto, ( ) ( ) .a b km a b kq n a b modn− = ⇒ − = ⋅ ⇒ ≡

Exemplo 4: note que ( )≡21 69 12mod , pois ambos deixam 9 como resto. Porém, como 2, 3, 4 e o 6 dividem o 12, podemos escrever as seguintes congruências pela propriedade anterior:

• ≡21 69 (mod 2), o que é verdade, e deixam resto 1;• ≡21 69 (mod 3), o que é verdade, e deixam resto 0;• ≡21 69 (mod 4), o que é verdade, e deixam resto 1;• ≡21 69 (mod 6), o que é verdade, e deixam resto 3.

Propriedade 2: seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b, c, d inteiros quaisquer. Se ( ) a b modm≡ e se ( ) c d modm≡ , então ( ) a c b d modm+ ≡ + . Demonstração: se ( ) a b mod m≡ e ( ) c d modm≡ , então existem inteiros h e k tais que a – b = hm e c – d = km. Portanto: (a + c) – (b + d) = (a – b) + (c – d) = (h + k)m mostrando que ( ) a c b d modm+ ≡ + .

Exemplo 5: sejam as congruências ( )17 22 5mod≡ e ( )9 11 5mod≡ − . Então, pela propriedade anterior, vale a relação entre as congruências, da seguinte forma:

( ) ( )( )

17 9 22 11 5

26 11 5 .

mod

mod

+ ≡ + −

≡

O que é verdade, pois ambos deixam 1 como resto, ou, ainda, porque, conforme provado anteriormente, 5|11 – 26.

Propriedade 3: seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b, c, d inteiros quaisquer. Se ( ) a b modm≡ e se ( ) c d modm≡ , então ( ) ac bd modm≡ . Demonstração: se ( ) a b modm≡ e ( ) c d modm≡ , então existem inteiros h e k tais que a – b = hm e c – d = km, ou ainda, a = b + hm e c = d + km.

Portanto: ( )( )

( )

− = + + −

= + + + −

= + +

2

ac bd b hm d km bd

bd bkm dhm hkm bd

bk dh hkm m


127

mostrando que ( ) ac bd modm≡ .

Exemplo 6: sejam as congruências ( )3 15 4mod≡ e ( )6 2 4mod≡ . Então pela propriedade anterior, vale a relação entre as congruências, da seguinte forma

( )3 6 15 2 4mod⋅ ≡ ⋅ .

( )18 30 4 .mod≡ O que é verdade, pois, ambos deixam 2 como resto, ou, ainda, porque, 4|30 – 18.

Dessas duas propriedades, podemos tirar duas importantes decorrências. A primeira mostrará que o cancelamento em relação à adição é válido em qualquer situação, enquanto, para o cancelamento na multiplicação, exige especificações para cada situação.

Propriedade 4: seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b, c, d inteiros quaisquer. ( ) ( )Se a c b c modm a b modm+ ≡ + ⇔ ≡ .Demonstração: se ( ) a b mod m≡ , segue-se imediatamente da proposição anterior que ( ) a c b c modm+ ≡ + , pois ( ) c c modm≡ . Reciprocamente, se

( ) a c b c modm+ ≡ + , então m|b (b + c) – (a + c), o que implica que m|b – a e, consequentemente, ( ) a b mod m≡ .

Exemplo 7: para ( )10 26 4mod≡ , podemos realizar as seguintes operações:

Acrescentar 5

( )( )

10 5 26 5 4

15 31 4

mod

mod

+ ≡ +

≡

O que válido, pois, ambos deixam 3 como resto.

Diminuir 9

( ) ( ) ( )( )

10 9 26 9 4

1 17 4

mod

mod

+ − ≡ + −

≡


Propriedade 5: seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b, c inteiros quaisquer. Se

( ) ( ) .,

mac bc modm a b modmdc c m

≡ ⇔ ≡


128

Demonstração: como

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

e são primos entre si, temos que, ,

, ,

| ., ,

m cmdc c m mdc c m

m cac bc modm m b a c b amdc c m mdc c m

m mb a a b modmdc c m mdc c m

≡ ⇔ − ⇔ −

⇔ − ⇔ ≡

Exemplo 8: usando da propriedade anterior podemos escrever a congruência ( )16 22 6mod≡ como ( )8 2 11 2 6 .mod⋅ ≡ ⋅ Note que o mdc(2,6) = 2, logo, podemos

cancelar o 2 nas multiplicações e dividir o valor do módulo também, obtendo ( )8 11 3 .mod≡

Uma conclusão imediata sobre essa propriedade, de fácil percepção, é que se o mdc(c, m) = 1, o cancelamento pode ser realizado, sem que haja modificação no valor do módulo. Ainda sobre multiplicação ou divisão nas congruências, apresentaremos mais dois casos.

Propriedade 6: seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b, c inteiros quaisquer. ( ) ( )Se e se 0 , então a b modm c ac bc modmc≡ > ≡ ;Demonstração: se ( ) a b modm a b km≡ ⇒ − = multiplicando esta igualdade por um c > 0 e inteiro, logo ( ) ( ) a b km ac bc k mc ac bc mod mc− = ⇒ − = ⋅ ⇒ ≡ .

Exemplo 9: usando da propriedade anterior, a congruência ( )5 11 3mod≡ pode ser multiplicada por 2 e apresentar a seguinte configuração:

( )( )

5 2 11 2 3 2

10 22 6 .

mod

mod

⋅ ≡ ⋅ ⋅

≡

Propriedade 7: seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a , b inteiros quaisquer.

Demonstração: como ( ) a b modm a b km≡ ⇒ − = dividindo esta igualdade por um d > 1 e inteiro, logo:

( ) a b m a b ma b km k modd d d d d d

− = ⇒ − = ⋅ ⇒ ≡

( ) Se e se , , são todos divisíveis pelo inteiro 1, então . a b ma b modm a b m d modd d d

≡ > ≡

( ) Se e se , , são todos divisíveis pelo inteiro 1, então . a b ma b modm a b m d mod

d d d

≡ > ≡


129

Exemplo 10: é intuitivo perceber que a congruência ( )30 54 12mod≡ possui divisores comuns aos três valores, 2, 3 e o 6. Dessa forma, usando da propriedade anterior, podemos efetuar as divisões e encontrar os seguintes resultados:

• Para o 2:

( )

30 54 12 2 2 2

15 27 6

mod

mod

≡

≡


• Para o 3:

( )

30 54 12 3 3 3

10 18 4

mod

mod

≡

≡


• Para o 6:

Propriedade 8: seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b inteiros quaisquer. Se ( ) a b modm≡ então ( )≡ n na b modm para todo ∈n .Demonstração: usando o Teorema da indução Matemática, a proposição é verdadeira para n = 1, e suposta verdadeira para o inteiro positivo k temos: ( ) k ka b modm≡ e

( ) a b modm≡ . Portanto, pela proposição XX,

( )

30 54 12 6 6 6

5 9 2

mod

mod

≡

≡

( )( )1 1

k k

k k

a a b b modm

a b modm+ +

⋅ ≡ ⋅

≡

isto é, a proposição é verdadeira para o inteiro positivo k + 1. Logo, a proposição é verdadeira para todo inteiro positivo n.

Exemplo 11: mostre que para todo ∈n , ( )210 1 11n mod≡ .


130

Resolução: sabemos que ( )210 100 1 11mod= ≡ pois = ⋅ +100 9 11 1 . Portanto, usando da proposição anterior, podemos elevar os dois lados a ∈n

( ) ( )210 1 11 .n n mod≡

Aplicando a propriedade da potência (que multiplica as potências), e sabendo que 1 elevado a qualquer número resulta nele mesmo temos

( )210 1 11n mod≡ o que demonstra a congruência solicitada.

Exemplo 12: ache o resto da divisão de 521 por 127.Resolução: temos que: como 53 = 125, então ( )35 2 127 .mod≡ −

Usando da proposição anterior, podemos elevar os dois lados a 7, obtendo

( ) ( ) ( )≡ −7 735 2 127 .mod

Como ( ) ( )72 126 1 127mod− = − ≡ − , logo, aplicando a propriedade da

potência no lado esquerdo e realizando a troca verificada, temos( )( )

21

21

5 1 127

5 126 127

mod

mod

≡ −

≡

Portanto, é 126 o resto desta divisão.

Exemplo 13: mostre que 198n – 1 é divisível por 17.Resolução: inicialmente, perceba que ( )19 2 17 .mod≡ Elevando os dois

lados a quarta potência, obtemos

( )( )( )

4 4

4 4

4

19 2 17

19 2 17

19 1 17

mod

mod

mod

≡

≡

≡ −

Elevando agora, os dois lados ao quadrado, obtemos o resultado desejado

( ) ( ) ( )

( )( )

2 24

8

8

19 1 17

19 1 17

19 1 17

mod

mod

mod

≡ −

≡

≡

Mostrando que 198n – 1 é divisível por 17.

Propriedade 9: sejam ∈,a b . Se m1, ..., mr são inteiros maiores que 1, temos que ( ) ( )( )≡ ∀ = … ⇔ ≡ …1 , 1, , , , .i ra b mod m i r a b mod mmc m m


131

Demonstração: se ( ) ia b modm≡ ; = …1, , i r , então −|im b a , para todo i. Sendo b – a um múltiplo de cada mi, segue-se que ( )… −1 , , |rmmc m m b a , o que prova que

( )( )1 , , ra b mod mmc m m≡ … . A recíproca, decorre da primeira propriedade vista em congruência.

Exemplo 14: encontre o menor múltiplo de 5, que deixa resto 1 quando dividido por 2, 3 e 4.

Resolução: o problema pode ser descrito pelas congruências

( )( )( )

5 1 2 ,

5 1 3

5 1 4 .

X mod

X mod

X mod

≡

≡

≡

Usando da propriedade anterior, e como mmc(2,3,4) = 12, o problema torna-se 5X = 1 (mod 12). Entretanto, resolver está congruência é equivalente a resolver uma Equação Diofantina, dada por

− =

− =

5 1 12

5 12 1.

X Y

X Y

Pelo algoritmo de Euclides

2 2 212 5 2 12 1 0

Logo, podemos escrever os restos como

Substituindo uma na outra, obtemos

= − ⋅

= − ⋅

1 5 2 2

2 12 2 5

( )= − ⋅ − ⋅

= ⋅ − ⋅

1 5 2 12 2 5

1 5 5 2 12

Portanto, uma solução particular é x0 = 5 e y0 = –2. Logo, a solução geral do problema é dada por x = 5 + 12t e y = –2 –5t, ∈ .t

Como queremos o menor múltiplo de 5, e este podemos encontrar em X, é

intuitivo perceber que t = 0, proporcionando x = 5, pois, qualquer outro, tornaria um número maior. Portanto, o menor valor positivo no X que é uma solução da Equação Diofantina 5X – 12Y = 1, e da congruência ( )5 1 12X mod≡ , é o x = 5, o nos mostra que ⋅ =5 5 25 é o número procurado.


132

Perceba que multiplicamos o resultado por 5, pois, tínhamos apenas encontrado o valor X, e não o múltiplo de 5 que se soluciona o problema.A

NOTA

Seria possível continuar com muitos outros exemplos, e, em cada situação, alguma estratégia para sua solução. Porém, agora, cabe a você realizar as autoatividades e colocar em prática todo o conceito aprendido.

No próximo tópico, estudaremos muitas outras aplicações desta ferramenta importantíssima para a matemática, a congruência, entre elas, destacamos o Pequeno Teorema de Fermat e o teste de divisibilidade.

133

RESUMO DO TÓPICO 1


• Se m é um número natural diferente de zero, diremos que dois números inteiros a e b são congruentes módulo m, se os restos de sua divisão euclidiana por m são iguais. Quando os inteiros a e b são congruentes módulo m, escreve-se

( ) .a b modm≡

• Se supormos ∈, ,a b m , com m > 1. Tem-se que ( ) .a b modm≡ se, e somente se, − ⇔ − = ⇔ = +|m b a a b km a km b .

• Se m é um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b, c, d inteiros quaisquer, então:(i) Se ( ) .a b modm≡ e se n|m, com n > 0, então ( ) a b modn≡ .(ii) Se ( ) .a b modm≡ e se ( ) c d modm≡ , então ( ) a c b d modm+ ≡ + . (iii) Se ( ) .a b modm≡ e se ( ) c d modm≡ , então ( ) ac bd modm≡ .(iv) ( ) ( )Se a c b c modm a b modm+ ≡ + ⇔ ≡ ;

(v) ( ) ( )Se .,

mac bc modm a b modmdc c m

≡ ⇔ ≡

(vi) ( ) ( )Se e se 0 , então a b modm c ac bc modmc≡ > ≡ ;(vii) ( )Se e se , , são todos divisíveis pelo inteiro a b modm a b m≡

1, então .a b md modd d d

> ≡

(viii) Se ( ) .a b mod m≡ então ( ) n na b modm≡ para todo ∈n .

• Se tivermos ∈,a b , e também, m1, ..., mr inteiros maiores que 1, temos que ( ) ( )( )1 , 1, , , , .i ra b modm i r a b mod mmc m m≡ ∀ = … ⇔ ≡ …

134

1 Classifique (V) para verdadeiro e (F) para falso as congruências a seguir.

AUTOATIVIDADE

( )( )

( )( )

( )( )

a) ( ) 91 0 7

b) ( ) 3 5 7 5 10

c) ( ) 437 68 3

d) ( ) 326 123 7

e) ( ) 42 1 7

f) ( ) 76 2 6

mod

mod

mod

mod

mod

mod

≡

+ + ≡

≡

≡

≡

≡ −

( )( )

( )( )

( )( )

g) ( ) 45 13 4

h) ( ) 17 1 3

i) ( ) 21 6 5

j) ( ) 2 2 4

k) ( ) 12 45 11

l) ( ) 23 101 4

mod

mod

mod

mod

mod

mod

− ≡ −

≡ −

≡

≡ −

− ≡

− ≡

2 Sabendo-se que ( )726 675 mod m≡ , ache todos os possíveis valores do módulo m.

3 Ache todos os inteiros x tais que:

a) ( )0 15 e 3 6 15x x mod< < ≡ .b) ( )1 100 e 7 17x x mod< < ≡ .

4 Sabendo-se que ( )1 mod 4k ≡ , mostrar que ( )6 5 3 mod 4k+ ≡ .

5 Ache o resto da divisão:

a) de 710 por 51.b) de 2100 por 11.c) de 14256 por 17.d) de 1212 por 5.e) de 4165 por 7.

6 Mostre que para todo ∈n , mostre que:

a) 1016n – 1 é divisível por 70.b) 31000 + 3 é divisível por 28.(Dica item a: mostre é divisível por 7 e por 10)

7 Mostre que para todo ∈n , mostre que ( )2 110 1 mod 11n+ ≡ − .

135

8 (ENC, 2000) Se ( )2 1 mod 5x ≡ , então,


a) ( ) ( )1 5 .x mod≡d) ( ) ( )2 5 .x mod≡c) ( ) ( )4 5 .x mod≡d) ( ) ( )1 5 .x mod≡ ou ( )4 5 .x mod≡e) ( ) ( )2 5 .x mod≡ ou ( )4 5 .x mod≡

9 Encontre o menor múltiplo positivo de 7 que deixa resto 1 quando dividido por 2, 3, 4, 5 e 6.

10 Encontre o menor múltiplo positivo de 6 que deixa resto 1 quando dividido por 2, 3, 4 e 5.

11 Ache o menor número natural que deixa restos 5, 4, 3 e 2 quando dividido, respectivamente, por 6, 5, 4 e 3.

137

TÓPICO 2

APLICAÇÃO DE CONGRUÊNCIA

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃONeste tópico, veremos extraordinárias aplicações de congruências,

associadas, de forma geral, a importantes teoremas, como: O Pequeno Teorema de Fermat, Teorema de Euler e o Teorema de Wilson. Todos eles nos darão uma grande contribuição, ajudando-nos a solucionar problemas com congruência e primalidade.

Inicialmente, você aprenderá sobre uma ferramenta muito curiosa para verificar erros cometidos em operações básicas. Essa ferramenta pode ser utilizada em todos os anos escolares, seja pela curiosidade, pela objetividade ou mesmo por instigar os alunos a outros conhecimentos matemáticos. Acompanhe seu desenvolvimento e demonstração!

2 PROVA DOS NOVE

A “prova dos nove” ou “noves fora” é um método para identificar erros em cálculos manuais, envolvendo qualquer uma das quatro operações básicas: adição, multiplicação, subtração e divisão de números inteiros.

Você deve lembrar que já estudamos como verificar se um número é divisível por 9. Para isso bastava somar os seus algarismos, desprezando-se, ao efetuar a soma, cada parcela igual a nove. No final, se o resto for 0 então o número é divisível por 9. Por outro lado, se o resultado da soma não for múltiplo de 9 haverá um resto compreendido entre os números 1 a 8.

A regra dos noves fora ou prova dos nove leva em consideração para sua análise, os restos da divisão por nove, de todos os números envolvidos, seja os que estão operando e também o resultado final. Antes de demonstrar, veremos o procedimento em exemplos simples!

Exemplo 15: verifique se a soma de 341 e 605 resulta em 946.Resolução: um pequeno desafio inicial é encontrar então o resto da divisão

por 9 dos números envolvidos. Então

⇒ + + =

⇒ + + = ⇒ + =

⇒ + + ⇒ ⇒ + = ⇒ + =

341 3 4 1 8 (ou seja, o resto é 8)

605 6 0 5 11 1 1 2 (ou seja, o resto é 6)

946 9 4 6 19 1 9 10 1 0 1.

138


É intuitivo verificar que o 11 já deixaria resto 2, e que 19 deixaria resto 1 na divisão por 9, porém, realizamos o procedimento até o final, para mostrar a você, que pode ser realizado desta forma.

NOTA

Como somamos os números 341 e 605 devemos somar seus restos, ou seja, + = ⇒ + =8 2 10 1 0 1. Note que é o mesmo resto da solução proposta, o que mostra

que os cálculos passarão pelo teste dos noves fora.

Encontrar o mesmo valor ao término de teste não significa que o cálculo foi feito correto, porém dá mais credibilidade para a solução encontrada. Agora, se o resultado não passar pelo teste, isso conclui que houve algum equívoco na operação. Vejamos mais um exemplo!

Exemplo 16: verifique se a multiplicação de 592 e 462 resulta em 273504.Resolução: o resto da divisão por 9 dos números envolvidos são

⇒ + =

⇒ + + = ⇒ + =

⇒ + +

592 5 2 7 (noves fora sobrando o resto é 7)

462 4 6 2 12 1 2 3 (ou seja, o resto é 3)

273504 3 (noves fora para 2 7 e 5 4, sobrando o resto é 3)

Como multiplicamos os números 592 e 462, devemos também multiplicar seus restos, ou seja, + = ⇒ + =7 3 21 2 1 3 , passando pelo teste dos noves fora. Entenderemos como isso é possível e por que funciona. Note, no primeiro exemplo, que poderíamos reescrever a situação como sendo:

( )( )

341 8 9

605 6 6 ,

mod

mod

≡

≡

e aplicando uma propriedade de congruência, podemos escrever:

( )( )( )

341 605 8 6 9

946 15 9

946 6 9 .

mod

mod

mod

+ ≡ +

≡

≡

TÓPICO 2 | APLICAÇÃO DE CONGRUÊNCIA

139

Note que os restos se somam e que basta analisar a divisão por 9 dessa soma. O mesmo acontece com a multiplicação, mudando apenas a propriedade usada.

É importante relembrar que a regra dos noves fora não indica que resolução está correta, pois, um conjunto de erros pode não ser detectado. Por outro lado, caso a regra não seja satisfeita, a resolução estará incorreta. Esse método não serve apenas para adição e multiplicação, mais para as quatro operações básicas.

3 PEQUENO TEOREMA DE FERMAT

Apesar de este tema ser normalmente apresentado nos números primos, deixamos para este momento do seu estudo com o conceito de congruência. Segundo Hefez (2016, p. 92), “desde, pelo menos, 500 anos antes de Cristo, os chineses sabiam que se p é um número primo então p|2p – 2. Coube a Pierre de Fermat, no Século XVII, generalizar este resultado, enunciando um pequeno, mas notável teorema”.

Teorema (Pequeno Teorema de Fermat): dado um número primo p, tem-se que p divide o número ap – a, para todo ∈a . Com a notação de congruências, o Pequeno Teorema de Fermat se enuncia como se segue:

Teorema (Pequeno Teorema de Fermat): dado um número primo p, então ap a(mod p). Além disso, se p a , então ( )1 1 .pa mod p− ≡Demonstração: consideremos os (p –1) primeiros positivos de s, isto é, os inteiros a, 2a, 3a, ..., (p –1)a. Obviamente, nenhum desses (p –1) inteiros é divisível por p e, além disso, dois quaisquer deles são incongruentes módulo p, pois, se

( ) , 1 1ra sa mod p r s p≡ ≤ < ≤ − fosse, então o fator comum a poderia ser cancelado, visto que o mdc(a,p) = 1, e teríamos ( ) ,r s mod p≡ isto é, p| (a – x) o que é impossível, porque 0 < s – r < p.

Assim, dois quaisquer dos (p –1) inteiros a, 2a, 3a, ..., (p –1)a divididos por p deixam restos distintos, e, por conseguinte, cada um desses p –1 inteiros é congruente módulo p a um único dos inteiros 1, 2, 3, ..., p –1, naturalmente numa certa ordem, multiplicando ordenadamente essas p –1 congruências, teremos:

( ) ( ) ( )2 3 1 1 2 3 1 a a a p a p mod p⋅ ⋅ ⋅…⋅ − ≡ ⋅ ⋅ ⋅…⋅ − , ou seja,

( ) ( ) ( )1 1 ! 1 ! .pa p p mod p− − ≡ −

Como o mdc(p,(p – 1)!) = 1, porque p é primo e p não divide (p – 1)!, podemos cancelar o fator (p – 1)!, o que dá a congruência de Fermat: ( )1 1 .pa mod p− ≡

140


Exemplo 17: seja o primo p = 7 e o inteiro a = 4 tais que 7 não divide 4, temos os p – 1 = 6 e tomemos os 6 primeiros múltiplos positivos de 4:

4, 8, 12, 16, 20 e 24.

Nenhum desses 6 inteiros é divisível por 7, todos são incongruentes módulo 7, e cada um deles é congruente módulo 7 a um único dos inteiros 1, 2, 3, 4, 5, ou 6 observe:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

4 4 7 16 2 7

8 1 7 20 6 7

12 5 7 24 3 7 .

mod mod

mod mod

mod mod

≡ ≡

≡ ≡

≡ ≡

Ao multiplicar ordenadamente essas 6 congruências, já que são todas (mod 7), temos:

( )4 8 12 16 20 24 4 1 5 2 6 3 7mod⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≡ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , ou seja,

Como o mdc(7,6!) = 1 podemos cancelar o fator comum 6!, que resulta em:

( )( )

6

6

4 6! 6! 7

4 1 7

mod

mod

⋅ ≡

≡

Exatamente a ideia do Pequeno Teorema de Fermat (PTF). Acompanharemos dois exemplos mais práticos da aplicação do PTF.

Exemplo 18: determine o resto da divisão de 2102 por 11.


141

( )

( ) ( )

( )( )

( )

10

1010 10

100

100 2 2

102

2 1 11

2 1 11

2 1 11

2 2 1 2 11

2 4 11

mod

mod

mod

mod

mod

≡

≡

≡

⋅ ≡ ⋅

≡

Resolução: pelo PTF, podemos escrever que

Portanto, o resto da divisão de 2102 por 11 é 4.

Exemplo 19: para todo ∈n , mostre que 1016n – 1 é divisível por 70.Resolução: perceba que o problema pode ser reescrito como

( )6101 1 70 .n mod≡

Note que:

( )( )

( ) ( )

( )

6 6

6

6

101 1 10

101 1 10

101 1 10

101 1 10 .

n n

n

mod

mod

mod

mod

≡

≡

≡

≡

Pelo PTF, podemos escrever que:

( )

( ) ( )

( )

6

6

6

101 1 7

101 1 7

101 1 7 .

n n

n

mod

mod

mod

≡

≡

≡

Usando da propriedade XXX e sabendo que mmc(7,10) = 70 obtemos ( )6101 1 70n mod≡ o que equivale a dizer que 1016n – 1 é divisível pelo 70.

Como visto, são interessantes as aplicações desta ferramenta, principalmente por conseguirmos encontrar o resto 1, que nos fornece grandes contribuições quando queremos aplicar potenciações. A seguir, mais um importante teorema, O Teorema de Euler.

142


4 TEOREMA DE EULER

Antes de anunciarmos o Teorema de Euler, necessitamos de alguns conhecimentos prévios.

Definição 1: um sistema reduzido de resíduos módulo m é um conjunto de números inteiros r1, ... , rs tais que

a) ( , ) 1, para todo 1, ... ;

b) (mod ), se ;

c) Par tal que ( , ) 1, existe um a tal qu e cada (mod ).

i

i j

in

mdc r m i s

r r m i j

n mdc m i n r m∈ =

= =

≡ ≠

≡

Esclareceremos, por meio de um exemplo, como é possível obter um sistema reduzido de resíduos a partir de um sistema completo e como as definições de cada item são relevantes.

Um sistema completo de resíduos é um conjunto que apresenta por meio de números, todos os possíveis restos da divisão por um certo número. Exemplo para o 4: A={0, 1, 2, 3} ou A’={4, 9, 14, 7}. Perceba que ambos possuem todas as possibilidades de restos.

NOTA

Exemplo 20: determine um sistema reduzido de resíduos módulo 10.Resolução: primeiramente, escreveremos um sistema completo de

resíduos para o módulo 10, que pode ser:

{ }{ }

=

=

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9 ,ou, também,

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 , 18, 19 .

A

B

Lembre-se de que, o único fato importante para obter o sistema completo, é ter todos os possíveis restos na divisão por 10, o que notado em qualquer um dos dois conjuntos.

O primeiro item da definição nos informa que o máximo divisor comum entre o m = 10 e seus restos, devem ser um, ou seja, primos entre si. Já no segundo item, podemos claramente notar que os restos desses primos devem ser diferentes.


143

Portanto, se escolhermos o conjunto A, teremos os seguintes valores que são primos com o 10, A' = {1,3,7,9} ou escolhendo o conjunto B, os seguintes números B' = {11,13,17,19}.

Note como o conjunto B' é equivalente ao módulo 10 ao A', e que a quantidade de elementos de cada conjunto é a mesma.

O terceiro item da definição nos informa que para um n inteiro que é primo com m existe dentro do conjunto reduzido de resíduos, o resto da divisão de n por m. Completando então esse exemplo, se escolhermos um n = 27 que é primo com o m = 10, teremos que ( )27 7 10mod≡ mostrando que o resto 7, está presente ao conjunto reduzido de resíduos.

Definição 2: designaremos por ( )ϕ m o número de elementos de um sistema reduzido de resíduos módulo m > 1, que corresponde à quantidade de números naturais entre 0 e m – 1 que são primos com m. Pondo ( )ϕ =1 1 , isso define uma importante função ϕ →: , chamada “função fi de Euler”.

Pela definição, temos que ( )ϕ ≤ −1m m , para todo ≥ 2n . Além disso, se ≥ 2m , então ( )ϕ = −1m m se, e somente se, m é um número primo.

Mais adiante, mostraremos como calcular ( )ϕ m , em geral. A função ( )ϕ m é de grande utilidade em Teoria dos Números.

Teorema (Euler): sejam ∈, m a com m > 1 e mdc(a,m) = 1. Então, ( ) ( )ϕ ≡ 1 .ma mod mProposição 1: sejam ∈′, m m tais que mdc(m,m') = 1. Então ( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ⋅ ′ ′= .m m m mLema: se p é um número primo e r, um número natural, então se tem que

( )ϕ − = − = ⋅ −

1 11 .r r r rp p p p

p

Demonstração: de 1 até pr, temos pr números naturais. Temos que excluir desses os números que não são primos com pr, ou seja, todos os múltiplos de p, que são precisamente p, 2p, ..., pn–1p, cujo número é pn–1. Portanto, ( )ϕ −= − 1r r rp p p , provando o resultado.

Exemplo 21: encontre a quantidade de elementos do conjunto reduzido de resíduos para 81.

144


Resolução: encontrar a quantidade de elementos no conjunto reduzido de resíduos é exatamente encontrar o valor para ( )ϕ 81 . Portanto, pelo lema anterior e sabendo que 81 = 34, segue

( )( )( )

ϕ

ϕ

ϕ

−= −

= −

=

4 4 4 1

4

4

3 3 3

3 81 27

3 54

Teorema: seja m > 1 e seja αα=

11

nnm p p a decomposição de m em fatores

primos. Então:

( ) ααϕ

= − −

11

1

1 11 1 .nn

n

m p pp p

ou pode ser reescrita como:

( ) ( ) ( )ααϕ −−= − −

1 111 1 1 1 .n

n nm p p p p

Exemplo 22: encontre o ( )ϕ 24 .Resolução: usando do último teorema e sabendo que = ⋅324 2 3 , temos:

( ) ( ) ( )( )

( )

ϕ

ϕ

ϕ

− −= ⋅ ⋅ − ⋅ −

= ⋅ ⋅ ⋅

=

3 1 1 1

2 0

24 2 3 2 1 3 1

24 2 3 1 2

24 8.

Exemplo 23: encontre o ( )ϕ 60 .Resolução: seguindo a mesma ideia da resolução anterior, temos que o

número 60 pode ser escrito em produtos de números primos, como = ⋅ ⋅260 2 3 5 , então:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

ϕ

ϕ

ϕ

− − −= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

2 1 1 1 1 1

0 0

60 2 3 5 2 1 3 1 5 1

60 2 3 5 1 2 4

60 16.


145

Exemplo 24: determine os valores de m com ∈m , tais que ( )ϕ = 12m .Resolução: pelo Teorema de Euler ( ) ( )αα −−= − −

1 111 112 1 1 ,n

n np p p p ou seja, cada termo das multiplicações, devem dividir o 12.

Na primeira parte αα −−

1 111

nnp p podemos encontrar potências sendo

zeradas, resultando no valor 1, portanto, não daremos relevância para esta parte. Porém, na segunda parte, ( ) ( )− −1 1 1 ,np p cada número primo é apenas subtraído de uma unidade. Assim, devemos procurar pelos números primos, que quando subtraídos por 1, resultam em um divisor do 12. Estes números são o 2, 3, 5, 7 e 13, portanto, α αα α α= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅3 51 2 42 3 5 7 13m . Analisaremos cada caso.

( )( )( )( )

α

α

α

α

−

−

−

−

=

= ⇒ ⋅ − =

= ⇒ ⋅ − =

= ⇒ ⋅ − =

= ⇒ ⋅ − =

1 11

2 11

3 11

4 11

• Para 2

1 2 2 1 1

2 2 2 1 2

3 2 2 1 4

14 2 2 1 8, não serve, pois, 8 12.

p

( )( )( )

α

α

α

−

−

−

=

= ⇒ ⋅ − =

= ⇒ ⋅ − =

= ⇒ ⋅ − =

1 12

2 12

3 12

• Para 3

1 3 3 1 2

2 3 3 1 6

3 3 3 1 18, não serve, pois, 18 12.

p

( )( )

α

α

−

−

=

= ⇒ ⋅ − =

= ⇒ ⋅ − =

1 13

2 13

• Para 5

1 5 5 1 4

2 5 5 1 20, não serve, pois, 20 12.

p

( )( )

α

α

−

−

=

= ⇒ ⋅ − =

= ⇒ ⋅ − =

1 14

2 14

• Para 7

1 7 7 1 6

2 7 7 1 42, não serve, pois, 42 12.

p

( )( )

α

α

−

−

=

= ⇒ ⋅ − =

= ⇒ ⋅ − =

1 15

2 15

• Para 13

1 13 13 1 12

2 13 13 1 156, não serve, pois, 156 12.

p

146


Organizando as possibilidades das potências para os αi, temos:

Então, o 12 = φ(m) pode ser escrito como sendo:

{ } { } { } { } { }α α α α α= = = = =1 2 3 4 51,2,3 , 1,2 , 1 , 1 e 1 .

Os resultados que estão a seguir são os possíveis valores para o produto de cada primo, obtido pelas possibilidades das potências dos αi. Quais as possíveis combinações, de modo que o produto seja 12?

• Podemos obter pelo produto de ⋅ ⋅ =1 2 6 12 . Essa combinação é verificada nas multiplicações dos primos 2, 3 e 7, em que α1 = 1, α2 = 1 e α4 = 1. Então,

= ⋅ ⋅ =1 1 12 3 7 42m .• Podemos também ter a opção de ⋅ =1 12 12 . Essa outra combinação é observada

nas multiplicações dos primos 2 e 13, em que α1 = 1 e α5 = 1. Então, m = 2¹ . 13¹ = 26.

• Outra possibilidade é o produto de ⋅ =2 6 12 . Porém, neste caso, há três possibilidades:ᵒ Podemos multiplicar os primos 2 e 3, usando para este caso, α1 = 2 e α2 = 2.

Então, = ⋅ =2 22 3 36m .ᵒ Podemos multiplicar os primos 2 e 7, usando para este caso, α1 = 2 e α4 = 1.

Então, = ⋅ =2 12 7 28m .ᵒ Podemos multiplicar os primos 3 e 7, usando para este caso, α2 = 1 e α5 = 1.

Então, = ⋅ =1 13 7 21m .• Por fim, é possível obter o 12, utilizando apenas o primo 13, em que α5 = 1, e

com isso, = =113 13.m

Por fim, são 6 as possibilidades de φ(m) = 12, em que m pode assumir os valores 13, 21, 26, 28, 36 e 42.

Agora que você já sabe como encontrar o valor para o φ(m), podemos utilizar isso combinado com o Teorema de Euler, para resolver alguns problemas. Talvez você possa estar se perguntando: como essa combinação pode ser eficiente para resolver congruências?

Na verdade, é muito forte o resultado obtido no Teorema de Euler. Pense um pouco! Podemos escrever uma congruência como sendo uma potência em que o resto da divisão é 1. E o que há de interessante nisso? A resposta é simples, podemos trabalhar com potências em ambos os lados, e, com isso, manter o resto da divisão em 1. Acompanhe este exemplo, em que procuramos aplicar esta ideia.


147

Exercício: encontre o resto da divisão de 22020 por 21.Resolução: como o mdc(2,21) = 1 podemos usando o teorema de Euler

para escrever ( ) ( )212 1 21 .modϕ ≡

Vamos, então, determinar o φ(21), obtendo ( ) ( ) ( )ϕ − −= ⋅ ⋅ − ⋅ −1 1 1 121 3 7 3 1 7 1

( )ϕ =21 12.

Com isso, podemos escrever a congruência como sendo ( )122 1 21 .mod≡

Perceba também que = ⋅ +2020 12 168 4 , então, podemos proceder com a congruência anterior da seguinte forma:

( ) ( )

( )( )

( )( )

16812 168

2016

2016 4 4

2020 4

2020

2 1 21

2 1 21

2 2 1 2 21

2 2 21

2 16 21 .

mod

mod

mod

mod

mod

≡

≡

⋅ ≡ ⋅

≡

≡

Portanto, resto da divisão de 22020 por 21 é 16.

É possível resolver congruências lineares pelo Teorema de Euler. A congruência linear ( ) a x b modm⋅ ≡ no caso em que o mdc(a,m) = 1, admite uma única solução módulo m, que se pode facilmente obter usando o Teorema de Euler.

Exemplo 25: resolva a congruência ( )2 5 7x mod⋅ ≡ .Resolução: note inicialmente que mdc(2,7) = 1, então ( ) ( )7 15 2 7 . x modϕ −≡ ⋅

Como φ(7) = 7 – 1 = 6, então:

( )( )( )

( )

6 15 2 7

5 32 7

160 7

6

7 .

x mod

x mod

x mod

x mod

−≡ ⋅

≡ ⋅

≡

≡

Então, o x procurado é 6.

148


Exemplo 26: determinar o inverso de 6 módulo 11, ou seja, queremos resolver a congruência linear ( )6 1 11x mod≡ .

Resolução: queremos encontrar o menor valor inteiro positivo que satisfaça a congruência

( ) ( )11 11 6 11 .x modϕ −≡ ⋅

Como ( )ϕ = − =11 11 1 10 , então:

( )( )

( )( )

( )( )( )

( )

10 1

9

2 2 2 2

6 11

6 11

6 6 6 6 6 11

36 36 36 36 6 11

3 3 3 3 6 11

81 6 11

4 6 11

2 11 .

x mod

x mod

x mod

x mod

x mod

x mod

x mod

x mod

−≡

≡

≡ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

≡ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

≡ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

≡ ⋅

≡ ⋅

≡

Então, temos que x = 2 é a menor solução positiva para o problema.

5 TEOREMA DE WILSON Há um detalhe muito curioso sobre este teorema, acompanhe o fato

histórico.

Este teorema foi descoberto primeiramente por John Wilson (1741–1793), estudante do matemático inglês Edward Waring. Em 1770, Waring anunciou o teorema, embora nenhum deles tenha conseguindo prová-lo. Lagrange deu a primeira prova em 1773. Há uma evidência que Leibniz estava ciente do resultado um século antes, mas nunca o publicou (FONSECA, 2011, p. 147).

Após apreciarmos um pouco sobre a história do Teorema de Wilson, ou melhor, de Lagrange, vamos conhecê-lo.

Teorema de Wilson: se p é um número primo, então ( ) ( )1 ! 1 .p mod p− ≡ −Demonstração: o teorema é verdadeiro para p = 2 e para p = 3, pois


149

de modo que vamos supor ≥ 5p . Considere a congruência ( )1 a x mod p⋅ ≡ , em que a é um dos (p – 1) primeiros inteiros positivos 1, 2, 3, ..., p – 1 de modo que o mdc(a,p) = 1. Nessas condições, existe um único inteiro positivo a', com ≤ ≤ −1 ’ 1a p , tal que ( )’ 1 .a a mod p⋅ ≡

Como p é primo, tem-se que a = a' se, e somente se, a = 1, ou a = p – 1, visto que ( )2 1 a mod p≡ implica em ( )( ) ( )1 1 0 a a mod p− + ≡ e, portanto,

( )1 0 ,a mod p− ≡ ou ( )1 0 a mod p+ ≡ , isto é, a = 1 ou a = p – 1.

Exemplo 27: mostre que a divisão de 17! por 19 deixa resto 1?.Resolução: pelo Teorema de Wilson, sabemos que ( )18! 1 19 .mod≡ − Usando

a definição de fatorial, obtemos ( )18 17! 1 19 .mod⋅ ≡ − Note que ( )1 18 19 ,mod− ≡ então, trocando no resultado anterior ( )18 17! 18 19 .mod⋅ ≡ Como o mdc(18,19) = 1, podemos dividir ambos os lados por 18, obtendo ( )17! 1 19 .mod≡ Portanto, o resto da divisão de 17! por 19 é 1.

Proposição 2: seja ≥ 2p um inteiro. Se ( ) ( )1 ! 1 p mod p− ≡ − , então p é primo.

Exemplo 28: mostre que o número 5 é primo.Resolução: pela proposição anterior, se ( ) ( )5 1 ! 1 5 ,mod− ≡ − ou ainda ( )4! 1 5 ,mod≡ − então p é primo.

Como = ⋅ ⋅ ⋅ =4! 4 3 2 1 24 , e é simples notar que ( )4! 4 5 ,mod≡ ou seja ( )4! 1 5 ,mod≡ − mostrando que é verdade que 5 é primo.

Apesar da simplicidade do exemplo, podemos admitir que este não é um método muito eficiente para verificar um número é primo. Caso duvide, calcule para 131!.

IMPORTANTE

Apesar de não demostrarmos, o Teorema de Wilson é válido sua recíproca, ou seja, se acontecer a congruência, então o p será primo. No próximo tópico, você aprofundará melhor a resolução de sistemas de congruência e também um pouco sobre um assunto aqui já mencionado, classes de resíduos.

150

RESUMO DO TÓPICO 2


• Dado um número primo p, então ( ) . pa a mod p≡ Além disso, se p a , então ( )1 1 .pa mod p− ≡

• Caso tenhamos ∈, m a com m > 1e mdc(a,m) = 1. Então, ( ) ( )1 .ma modmϕ ≡

• Caso tenhamos m > 1 e seja αα=

11

nnm p p a decomposição de m em fatores

primos. Então ( ) ( ) ( )ααϕ −−= − −

1 111 1 1 1 .n

n nm p p p p

• Se p é um número primo, então ( ) ( )1 ! 1 .p mod p− ≡ −

151

AUTOATIVIDADE

1 Verificar utilizando o PTF que:

2 Encontre o algarismo das unidades do inteiro 3400 com auxílio do PTF.

3 Demonstrar que 13|(270 + 370) através do PTF.

4 Encontre o resto da divisão de 21137 por 17.

5 Verificar o Teorema de Wilson para p = 5 e para p = 7.

6 Mostrar que 11, 13, 17 e 19 são primos usando o Teorema de Wilson.

7 Mostrar que 8 é composto usando o Teorema de Wilson.

8 Achar o resto da divisão de 21! por 23.

9 Mostrar que ( )18! 1 0 437 mod + ≡ .

10 Sendo p um primo ímpar, demonstrar que ( ) ( )p mod p2 3 ! –1 ⋅ − ≡ .

11 Calcular φ(420), φ(120), φ(1000), φ(50) e φ(200).

12 Verifique que φ(n) = φ(n + 1), para n = 5186.

13 Resolva em naturais as seguintes equações:

a) φ(n) = 12.b) φ(n) = 18.c) φ(n) = 20.d) φ(n) = 30.e) φ(n) = 4!.

14 Resolva as seguintes congruências lineares:

( )( )

( )

50

933

38

a) 18 2 7 .

b) 19 8 31 .

c) 5 4 11 .

mod

mod

mod

≡

≡

≡

152

( )( )( )( )( )

x mod

x mod

x mod

x mod

x mod

a) 5 7 12 .

b) 2 3 9 .

c) 7 1 10 .

d) 2 1 17 .

e) 5 2 24 .

≡

≡

≡

≡

≡

153

TÓPICO 3

CONGRUÊNCIAS LINEARES E CLASSES

RESIDUAIS

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃOEste tópico se dedica, inicialmente, ao estudo de uma aplicação importante

das congruências. A resolução de congruências e sistemas de congruências lineares. Introduziremos o conceito de congruência linear e estenderemos a análise aos sistemas, principalmente utilizando o famoso Teorema Chinês dos Restos.

Deste teorema, relata-se que possui este nome, pois os generais chineses, na antiguidade, contavam os seus soldados após uma batalha, a fim de contar e monitorar o número de perdas do combate, alinhando-os em diversas colunas com um certo tamanho, contando no fim a tropa restante. Verificaremos, ao longo do texto, como isso é importante.

Na sequência, abordaremos a aritmética de classes residuais, que são importantes para realizar as operações de adição e multiplicação de elementos que possuem restos de uma divisão por m sempre iguais, para um determinado resto r.

2 CONGRUÊNCIAS LINEARES

Neste ponto de nossas análises, iremos, inicialmente, dedicar para a resolução de equações do tipo: ( )aX b mod m ≡ , em que ∈ >, , , 1.a b m comm

A esse tipo de equação damos o nome de congruência linear, que consiste em determinar, caso existam, quais os números inteiros x, em que ( )ax b mod m ≡ . Deste modo, nossa primeira análise deve ser a decisão de quando este tipo de congruência possui solução:

Proposição 3: dados ∈ >, , , 1.a b m comm , a congruência: ( )aX b mod m ≡ admite solução, se e somente se, mdc(a,m)|b.Demonstração: vamos supor que a congruência linear ( )aX b mod m ≡ , tenha uma solução, x. Desta forma, temos que m|ax – b, o que equivale dizer que existe um y, onde ax – b = my. E, desta forma a equação aX – mY = b tem solução. Implicando ainda que mdc(a,m)|b.


154

De modo recíproco, vamos supor que mdc(a,m)|b. A partir disso, sabemos que a equação aX – mY = b possui solução (x,y). A partir disso, temos que ax – b = my, e, em consequência, x será solução da congruência, pois

( )ax b mod m ≡ .

Devemos notar que se xo é uma solução da congruência ( )aX b mod m ≡ , então teremos que todo x, em que ( )ox x mod m ≡ também será solução da mesma, pois: ( )ox x mod m ≡ .

Isso quer dizer que toda solução particular determinará uma infinidade de soluções para a congruência.

Exemplo 29: resolva a congruência linear ( )X mod8 4 12≡ .Resolução: como mdc(8,12) = 4|4, temos que a congruência possui 4

soluções. Sabendo que ( )X mod X X m8 4 12 12| 8 4 8 4 12 .≡ ⇒ − ⇒ − = Isolando X, temos:

12 48

mX +=

logo, X = {2,5,8,11}.

Corolário 1: se mdc(a,m) = 1, temos que a congruência ( )aX b mod m ≡ , possui uma única solução módulo m.

Exemplo 30: resolver a congruência ( )X mod13 4 42≡ .Resolução: como mdc(13,42) = 1, temos que a congruência possui apenas 1

solução. Sabendo que ( )X mod X X m13 4 42 42| 13 4 13 4 42 .≡ ⇒ − ⇒ − = Isolando X, temos:

42 413mX +

=

logo, a solução única é para m = 3, e, consequentemente, X = 10. Uma outra forma de analisar o mesmo problema é o fato de que 42 =

4 x 3 x 4 e mmc(2,3,7) = 42. Notamos que xo será solução para a congruência anterior, se e somente se xo for uma solução simultânea das congruências:

( ) ( ) ( )X mod mod mod13 4 2 , 3 , 7≡ .

É fácil notar que xo = 10 é solução para as congruências anteriormente citadas. Deste modo, todas as soluções para este caso são dadas por: 10 42 .t t+ ∈

TÓPICO 3 | CONGRUÊNCIAS LINEARES E CLASSES

155

3 TEOREMA CHINÊS DOS RESTOS

Na introdução deste tópico, falamos brevemente sobre as origens históricas do teorema chinês dos restos. Explicaremos um pouco melhor.

Digamos que o general chinês tivesse 2000 soldados em um front de guerra. Após a batalha, o general, para contabilizar as perdas, ordenou que os soldados realizassem a formação de 7 em 7 soldados, sobrando 5 soldados. Em seguida, ordenou que as filas fossem de 9 em 9 soldados, sobrando 4, e, por fim, filas de 10 em 10, sobrando 5 soldados. Deste modo, qual a quantidade de soldados (ainda vivos), que satisfazem estas condições?

Na questão formulada, temos o seguinte sistema de congruências lineares para resolver:

( )( )( )

N mod

N mod

N mod

5 7

4 9

5 10

≡

=

=

Significa, de modo mais simplificado: que número que dividido por 7, deixa resto 5, quando dividido por 9, deixa resto 4, e dividido por 10, deixa resto 5? São esses tipos de problemas que o Teorema Chinês dos restos irá nos auxiliar.

Teorema (chinês dos restos): dado o sistema de congruências:( )( )( )

X c modm

X c modm

X c modm

1 1

2 2

3 3

≡

=

=

Em que mdc(mi, mj) = 1, para todo i jm m≠ , possuirá uma única solução módulo

1 2 rM m m m= ⋅ ⋅ ⋅ . Essa solução pode ser obtida com:

1 1 1 ,r r rx M y c M y c= + + onde,

( )i i i ii

MM y M Y modm i rm

e é a solução de 1 , 1, , .= ≡ = …

Demonstração: inicialmente, temos que mostrar que x é uma solução simultânea do sistema de congruências em questão. De fato, como mi| Mj, se i j≠ , e ( )i i iM y modm1 ≡ , que segue:


156

( )1 1 1 r r r i i i i iM y c M y c M y c c modm+ + ≡ ≡

.

Por outro lado, se x' também for solução para o sistema, então: ( )´ para todo .ix x modm i≡

Como ( )i jmdc m m i j, 1, para = ≠ , segue que ( )1 1, , r rmmc m m m m M… = ⋅ ⋅ = , e, consequentemente, temos que ( )x x mod M ′≡ .

Exemplo 31: determinaremos a solução para o problema dos soldados chineses, citado anteriormente.

Resolução: para o caso, teremos:

1 2 3630 630 6307 9 10 630, 90, 70, 637 9 10

M M M M= × × = = = = = = =

Desta forma, montamos as seguintes congruências:

( ) ( ) ( )Y mod Y mod Y mod90 1 7 , 70 1 9 , 63 1 10≡ ≡ ≡

que possuem, respectivamente, y1 = 13, y2 = 13, y3 = 17. Dessa forma, uma solução módulo 630 é dada por:

1 1 1 2 2 2 3 3 3 90 13 5 70 13 4 63 17 5 14845x M y c M y c M y c= + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = . E, assim, concluímos que o general chinês ainda dispunha de 14845 soldados.

Exemplo 32: determinar as soluções do sistema de congruências:

( )( )( )

X mod

X mod

X mod

2 3

3 5

2 7

≡

=

=

Resolução: para o caso, teremos:

1 2 3105 105 1053 5 7 70, 35, 21, 15

3 5 7M M M M= × × = = = = = = =

Desta forma, montamos as seguintes congruências:

( ) ( ) ( )Y mod Y mod Y mod35 1 3 , 21 1 5 , 15 1 7≡ ≡ ≡

105


157

que possuem, respectivamente, y1 = 2, y2 = 6, y3 = 8. Desta forma, uma solução módulo 105 é dada por: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 35 2 2 21 6 3 15 8 2 758x M y c M y c M y c= + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

Exemplo 33: determinar qual o número x que deixa resto 1, 2, 5 e 5, respectivamente, quando divididos por 2, 3, 6 e 12.

Resolução: nosso problema se resume a:

( )( )( )( )

x modx modx mod

x mod

1 22 35 6

5 12

≡

≡

≡ ≡

As duas últimas equações são equivalentes, pois temos que:

( )( )( ) ( )

x mod mdc

x mod x mod

5 6,12

5 6 5 12

≡

⇒ ≡ = ≡

Portanto, temos que resolver apenas:

Resolvendo:

( )( )( )

x modx modx mod

1 22 35 12

≡

≡ ≡

( )( )

x modx mod

1 22 3

≡

≡

Como o mdc(2,3) = 1 pelo Teorema Chinês de Restos admite solução módulo 2 3 6M = ⋅ = .

( )

( )

MMm

x mod x

MMm

x mod x

11

1 1

22

2 2

6 32

3 1 2 1

6 23

2 1 3 2

= = =

⇒ ≡ ⇒ =

= = =

⇒ ≡ ⇒ =


158

As soluções são:

Resta então:

( )

x c x M c x M tM

x t

x t

x t

x t

x mod

1 1 1 2 2 2

1 1 3 2 2 2 6

11 6

6 5 6

5 6 '

5 6

= + +

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

= +

= + +

= +

⇒ ≡

( )( )

x modx mod

5 65 12

≡

≡

O que sabemos pelo começo da resolução que são equivalentes. Logo, a solução do sistema está em: x = 5 + 6t'

4 ARITMÉTICA DAS CLASSES RESISUAIS

Quando falamos das congruências módulo m > 1, conseguimos definir outros tipos de análises que elevam a própria Teoria dos Números, com diversas aplicações, até mesmo fora do âmbito da matemática. Esse novo tipo de aritmética é bastante utilizado em diversos cálculos na computação e outras tecnologias.

Particionaremos o conjunto dos números inteiros , em subconjuntos, que são formados por números que deixam o mesmo resto na divisão por um certo número m > 1. Resultando em:

( ){ }( ){ }

( ) ( ){ }

x x modm

x x modm

m x x m modm

0 : 0

1 : 1

1 : 1

= ∈ ≡

= ∈ ≡

− = ∈ ≡ −

Vamos parar em m – 1, pois teremos que [m] = [0], [m – 1] = [1], ...

Definição 3: o conjunto ( ){ }a x x a mod m: = ∈ ≡ é chamado de classe residual de módulo m do elemento a, em . O conjunto de todas as classes residuais de módulo m será representado por m .


159

{ }0 , 1 , , 1m m= … −

Exemplo 34: Para m = 2, temos: ( ){ } { }

( ){ } { }

x x mod x x é par

x x mod x x é ímpar

0 : 0 2 ;

1 : 1 2 ;

= ∈ ≡ = ∈

= ∈ ≡ = ∈

Temos também que: 0 , se e somente se, a é par

1 , se e somente se, a é ímpar

a

a

=

=

Exemplo 35: para n = 3, temos: { }{ }{ }

0 3 ;

1 3 1;

2 3 2;

t t

t t

t t

= ∈

= + ∈

= + ∈

Isso quer dizer que:

0 , se a é múltiplo de 31 , se a deixa resto 1 na divisão por 32 , se a deixa resto 2 na divisão por 3

a

∈

Proposição 4: para cada a∈ existe um e somente um r natural, com 0 r m≤ <, em que [a] = [r].Demonstração: se a∈ , recordando da divisão euclidiana, sabemos que existem dois números q e r, com r < m, tais que a m q r= ⋅ + . E, dessa forma, r é o único número natural em que r < m e ( )a r modm ≡ . Consequentemente, o único onde [a] = [r].

Corolário 2: existem exatamente m classes residuais de módulo m distintas.Demonstração: é elementar perceber que existem {a1, ..., am} é um sistema completo de resíduos módulo m, se e somente se, { }1 ., , m ma a … =

Isso será bastante útil, pois podemos escrever a congruência ( )a b modm ≡ ,

como sendo [a] = [b]. Definiremos, agora, em m as seguintes operações:

Adição: [a] + [b] = [a + b]Multiplicação: a b a b ⋅ = ⋅

Verificaremos as propriedades das operações definidas, ficando a cargo do leitor suas demonstrações.


160

Propriedades da adição

Propriedades da multiplicação

( ) ( )1

2

3

4

A ) Associatividade:

A ) Comutatividade:

A ) Elemento neutro: 0

A ) Elemento Simétrico: 0

a b c a b c

a b b a

a a

a a

+ + = + +

+ = +

+ =

+ − =

( ) ( )

( )

1

2

3

4

M ) Associatividade:

M ) Comutatividade:

M ) Elemento neutro: 1

M ) Distributividade:

a b c a b c

a b b a

a a

a b c a b a c

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ = ⋅

⋅ =

⋅ + = ⋅ + ⋅

Conhecidas essas propriedades, dizemos que um conjunto que é munido das operações de adição e multiplicação (e suas respectivas propriedades), será chamado de anel. Desse modo, m é um anel, chamado de anel das classes residuais de módulo m.

Como consequência disso, um elemento a ∈ , é dito invertível, quando existir mb ∈ , onde: 1a b ⋅ = , diremos, assim, que [a] e [b] são inversos.

Exemplo 36: tabelas de adição e multiplicação em { }2 0 , 1=

+ [0] [1][0] [0] [1][1] [1] [0]

. [0] [1][0] [0] [0][1] [0] [1]

Exemplo 37: tabelas de adição e multiplicação em { }3 0 , 1 , 2=

+ [0] [1] [2] [3][0] [0] [1] [2] [3][1] [1] [2] [3] [0][2] [2] [3] [0] [1][3] [3] [0] [1] [2]

. [0] [1] [2] [3][0] [0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2] [3][2] [0] [2] [0] [2][3] [0] [3] [2] [1]


161

Exemplo 38: tabelas de adição e multiplicação em { }4 0 , 1 , 2 , 3=

+ [0] [1] [2] [3][0] [0] [1] [2] [3][1] [1] [2] [3] [0][2] [2] [3] [0] [1][3] [3] [0] [1] [2]

. [0] [1] [2] [3][0] [0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2] [3][2] [0] [2] [0] [2][3] [0] [3] [2] [1]

Note que 4 possui dois elementos não nulos, em que seu respectivo produto é nulo: [ ] [ ]≠2 0 , contudo, [ ] [ ] [ ]⋅ =2 0 0 .

NOTA

Exemplo 39: tabelas de adição e multiplicação em

{ }5 0 , 1 , 2 , 3 , 4=

+ [0] [1] [2] [3] [4][0] [0] [1] [2] [3] [4][1] [1] [2] [3] [4] [0][2] [2] [3] [4] [0] [1][3] [3] [4] [0] [1] [2][4] [4] [0] [1] [2] [3]

. [0] [1] [2] [3] [4][0] [0] [0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2] [3] [4][2] [0] [2] [4] [1] [3][3] [0] [3] [1] [4] [2][4] [0] [4] [3] [2] [1]

Notamos, finalmente, que em 2 3 5, , todo elemento diferente de [0] é invertível. Contudo, isso não ocorre em todos os casos, conforme vimos em 4. Podemos afirmar que 2 3 5, , são ditos corpos. Pois todo corpo é o conjunto que possui todos os seus elementos invertíveis.


162

Deste modo, finalizamos esse tópico dando o desfecho dos conteúdos acerca da aritmética e teoria dos números. Na sequência, verificaremos uma das suas principais aplicações.

Os elementos m são corpos, sempre que m é primo. Tente comprovar tal fato!

DICAS

163

RESUMO DO TÓPICO 3


• Dados, , , , 1a b m comm∈ > , a congruência: ( ) aX bmod m≡ admite solução, se, e somente se, mdc(a,m)|b.

• Dado o sistema de congruências: ( )( )( )

X c modm

X c modm

X c modm

1 1

2 2

3 3

≡

=

=

onde mdc(mi,mj) = 1, para todo i jm m≠ , possuirá uma única solução módulo 1 2 rM m m m= ⋅ ⋅ ⋅ . Esta solução pode ser obtida com: 1 1 1 , r r rx M y c M y c= + +

onde,

( )i i i ii

MM y M Y modm i rm

e é a solução de 1 , 1, , .= ≡ = …

• O conjunto, ( ){ }: a x x a mod m = ∈ ≡ é chamado de classe residual de módulo m do elemento a, em . O conjunto de todas as classes residuais de módulo m será representado por m .

{ }0 , 1 , , 1m m= … −

• Um elemento a ∈ , é dito invertível, quando existir mb ∈ , onde: 1a b ⋅ = .

164

AUTOATIVIDADE

1 Pode o dobro de um número natural deixar resto igual a 9 quando dividido por 26? E quando dividido por 25?

2 Resolva as seguintes congruências lineares:

a) ( )3 5 7X mod≡ .b) ( )6 21 18X mod≡ .

3 Ache todos os números inteiros que deixam restos 2, 3 e 4 quando divididos por 3, 4 e 5, respectivamente.

4 Ache o menor número natural que deixa restos 1, 3 e 5 quando dividido por 5, 7 e 9, respectivamente.

5 Resolva os seguintes sistemas de congruências:

a)

( )( )( )

x modx modx mod

2 114 125 13

≡

≡ ≡

b)

( )( )( )

x modx modx mod

3 1 75 2 114 3 13

≡

≡ ≡

6 Construa a tabela de adição e multiplicação de 6 .

7 Determine os elementos invertíveis de 6 . .

8 (ENADE–2008) no anel 12 :

FONTE: Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes – INEP (2008)

a) ( ) Não há divisores de 0.b) ( ) Todo elemento não nulo é invertível.c) ( ) O subconjunto dos elementos invertíveis forma um subanel de

12 .d) ( ) A multiplicação não é comutativa.e) ( ) Há exatamente 4 elementos invetíveis.

165

TÓPICO 4

NOÇÕES DE CRIPTOGRAFIA RSA

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃOEste tópico é dedicado para apresentar uma das principais aplicações

da aritmética das congruências, a criptografia. Basicamente, todos os sistemas cibernéticos de acessos e de segurança de dados, recorrem a algum dispositivo de criptografia para que estes dados não possam ser acessados (ou decifrados) por qualquer pessoa sem a devida permissão (chave de acesso).

Em especial, dedicaremos-nos a compreender a criptografia RSA, que possui esse nome pois foi criada por três matemáticos computacionais, Ron Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman. Note que RSA é justamente as iniciais de cada sobrenome.

Não está descartado que você, acadêmico, procure outros tipos de criptografias existentes, tais como a criptografia de César, o código Morse e a máquina Enigma, e se aproprie de mais conhecimentos. Trataremos da RSA por utilizar conceitos aritméticos em sua essência.

Como o ojbetivo é ser bastante prático neste último tópico do material, definiremos o método de criptografia e mostrar como ele é utilizado em um exemplo prático, para que você possa mais tarde testar em outros tipos de mensagens.

2 CRIPTOGRAFIA RSA

Definiremos, de modo breve, os processos para a resolução do sistema RSA e deixaremos para o final algumas justificativas: o passo a passo para o método segue a seguir:

1. Tomam-se, a escolher, dois primos p e q, distintos.2. Calcula-se um valor ( )( ) 1 1 .NN p q e p qϕ= ⋅ = − −3. Escolhe-se um valor e, que fará parte da chave pública, que deverá seguir a

regra em que ( ), 1Nmdc e ϕ = , com 1 .Ne ϕ< <4. Resolve-se a congruência ( )Ne d mod 1 ϕ⋅ ≡ em que se encontra d, que será a

chave privada.5. Utilizando uma tabela (pré-formulada), e de domínio público, é feita a transição

de todos os caracteres da mensagem em números, em que se obtém uma


166

mensagem numérica. Esses números devem ser colocados em blocos b, em que 1 b N≤ < . Esse processo garante a unicidade do resultado.

6. Tendo a Chave Pública (e, N) o próximo passo é criptografar os blocos b com a congruência: ( ) ( )eb C b mod N ≡ , onde C(b) é a mensagem criptografada.

7. Para descriptografar, basta ter a posse da Chave Privada (d, N) realizando o processo de acordo com a congruência: ( ) ( )( ) ( )C b d D C b mod N ,⋅ ≡ em que D(C(b)) é a mensagem descriptografada, ( )( )1 .D C b N≤ <

8. Por fim, cada bloco D(C(b)) tem que ser colocado em sequência, e utilizando a mesma tabela citada no item 5 os números conseguem ser transformados novamente em caracteres.

Exemplo 40: criptografar e descriptografar a palavra “CHAVE”.Resolução: neste exemplo, serão usados números primos menores,

que facilitem o cálculo com o uso de uma calculadora comum. Dado os primos p e q da forma 6n + 5, sendo p = 11 e q =17, pode-se obter

( ) ( )11 17 187 11 1 17 1 160.NN eϕ= × = = − × − = Dada a tabela a seguir:

A21

B22

C23

D24

E25

F26

G27

H28

I29

J31

K32

L33

M34

N35

O36

P37

Q38

R39

S41

T42

U43

V44

W45

X46

Y47

Z48

049

151

252

353

454

555

656

757

858

959

TABELA 1 – TABELA PARA CONVERSÃO

FONTE: Os autores

O valor de e deve ser escolhido de modo que ( ), 1Ne ϕ = , deste modo, será escolhido o número 3 e d deverá seguir a congruência ( )Ned mod 1 ϕ≡ , assim:

( )d mod3 1 160 .≡

Assim, 160 3 1 1 3 160k d d k= − ⇔ = − , resolvendo pelo método do algoritmo de Euclides: 160 3 53 1 1 160 3 53.= × + ⇔ = − × Como o valor de d não pode ser negativo e as soluções desta equação são: 53 160d t=− + e 1 3k t=− −

5353 160 0160

t t− + > ⇔ >

Substituindo t = 1 tem-se o menor valor possível para d que é 107. Deste modo já se tem a chave para Ciptografar (e, N) = (3, 187) e para Descriptografar (d, N) = (107, 187).

TÓPICO 4 | NOÇÕES DE CRIPTOGRAFIA RSA

167

A mensagem é “CHAVE”, primeiro é preciso transformar as letras em números de acordo com a tabela, assim, tem-se: C = 23, H = 28, A = 21, V = 44 e E = 25.

Ficando: 23 – 28 – 21 – 44 – 25. A mensagem deve ser separada em blocos b de modo que cada bloco

tenha números menores que 187. Como os primos escolhidos são pequenos, os blocos também devem ser assim:

2328214425 = 2 – 32 – 82 – 14 – 42 – 5

Para codificar a mensagem usaremos a chave (3, 187) e a congruência ( ) ( )eb C b mod N :≡

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

C b mod N C b

C b mod N mod N C b

C b mod N mod N C b

C b mod N mod N C b

C b mod N

31 1

3 32 2

3 33 3

3 34 4

3 35

2 8

32 32 32768 43

82 82 551368 92

14 14 2744 126

42 42 74088

≡ ⇔ =

≡ ⇔ ≡ ⇔ =

≡ ⇔ ≡ ⇔ =

≡ ⇔ ≡ ⇔ =

≡ ⇔ ≡ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

mod N C b

C b mod N mod N C b

5

3 36 6

36

5 5 125 125

⇔ =

≡ ⇔ ≡ ⇔ =

O bloco codificado será: 8 – 43 – 92 – 126 – 36 – 125. Para decodificar é preciso da chave (107, 187) e da congruência: ( ) ( )( )( )C b d D C b mod N .≡

Como 107 é um número primo e usá-lo como expoente faz com que não seja possível usar uma calculadora, porém, podemos utilizar algumas propriedades de congruênicas. Para decodificar o primeiro bloco: 8 deve-se usar:

( )( ) ( )D C b mod1078 187≡ . Assim como 107 = 3 x 7 x 5 + 2 temos: ( )mod38 512 138 187 .≡ ≡ Seguindo: ( ) ( )mod

53 5 8 138 187≡ . Como:

( )

5 2 2

15 5 2 2

138 138 138 138 19044 19044 138,

8 138 138 138 138 187mod

= × × = × ×

≡ ≡ × ×

Ainda,

( )( )

mod

mod

15

15

8 19044 19044 138 187

8 157 157 138 187 ,

≡ × ×

⇔ ≡ × ×


168

Continuando:( )( )

( )

( ) ( )

( )( )

mod

mod

mod

mod

mod

mod

15

715 7 3 3

105

105

19044 157 187

3401562 32 187

8 32 187 .

8 32 ^ 32 32 32 187

8 32768 32768 32 43 43 32 187

8 59168 75 187 .

≡

≡

⇔ ≡

⇔ ≡ ≡ × ×

⇔ ≡ × × ≡ × ×

⇔ ≡ ≡

Finalmente conclui-se que: ( )mod105 2 2 8 8 76 8 4864 2 187 .⇔ × ≡ × ≡ ≡ ( )mod107 8 2 187 .⇔ ≡

Contudo, com esse método, é gasto muito tempo e devem-se fazer muitos cálculos, um modo mais fácil é usar o Teorema Chinês do Resto. Assim, sabe-se que N = 187 = 11 x 17, pelo Teorema de Fermat tem-se que: ( )p pp a a mod p1 1| 1 1 .− −− ⇔ ≡ Desta forma:

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

mod

mod

mod

mod

mod

mod

mod

mod

10

16

1010 10

100 7 7

107

616 6

96 5 5

105

8 1 11

8 1 17 .

8 1 11

8 8 1 8 2 11

8 2 11

8 1 17

8 8 1 8 17

8 9 17

≡

≡

≡

× ≡ × ≡

≡

≡

× ≡ ×

≡


169

E, ainda,

O que gera:

Resultando em:

( )( )

( )

mod

mod

mod

101 5 5

106

107

8 8 9 8 9 9 13 17

8 8 13 8 2 17

8 2 17

× ≡ × ≡ × ≡

× ≡ × ≡

≡

Substituindo 8107 por x tem-se um sistema de congruências:( )( )

x mod

x mod

2 11

2 17 .

≡

≡

Pelo Teorema Chinês do Resto: M = 11 x 17 = 187

1

2

187 1711

187 1117

M

M

= =

= =

( )( )

y mod y

y mod y

1 1

2 2

17 1 11 2

11 1 17 14

≡ ⇔ =

≡ ⇔ =

17 2 2 11 14 2 187

376 187.

X t

X t

= × × + × × + ⋅

= + ⋅

O menor valor de X no conjunto dos naturais para a equação é com t = –2, desta forma X = 2. Obtem-se, assim, o primeiro bloco decodificado. Para obter o segundo bloco decodificado o processo é o mesmo.

Repetindo o processo em todos os blocos será obtida a mensagem decodificada: 2 – 32 – 82 – 14 – 42 – 5. Como é conhecida a Tabela 1, basta reagrupar a mensagem e trocar os números pelas letras voltando à mensagem “CHAVE”.

Antes de dar sequência a mais um exemplo, vamos procurar compreender “por que o método funciona?” Vamos lá?

Devemos notar que, para o processo funcionar, a mensagem b deve ser igual a D(C(b)), conforme o processo a seguir:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

e

d

N

b C b modN

C b D C b mod N

e d mod

1)

2)

3) 1 ϕ

≡

≡

⋅ ≡


170

Em que ( ) ( ), 1 1 .NN p q p qϕ= ⋅ = − ⋅ −

Como temos que ( )( ) b N e D C b N< < , para conseguirmos confirmar o método RSA basta verificar que ( )( ) ( )D C b b mod N ≡ é válido. Usando algumas propriedades de congruências e as equações 1 e 2, anteriores:

( ) ( )( ) ( )deb D C b mod N ≡ . Verificando a equação 3, notamos que existe um k, inteiro, em que: ( )( ) ( )e d D C b mod N ⋅ ≡ , e, ainda, ( )( ) ( )Nkb D C b mod N1 ϕ + ≡ , se p|b, segue que: ( ) ( ) ( )e d e db mod p b mod p b b mod p0 0 ⋅ ⋅≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡ o que prova que:

( )( ) ( )D C b b mod p .≡

Agora supondo que p e q não dividam b, usamos o Pequeno Teorema de Fermat, para: ( )pb mod p1 1 − ≡ e ( )qb modq1 1 − ≡ , implicando em

( )p q qb mod p1 1 1( 1 )− − −≡ e ( )q p pb modq1 1 1( 1 )− − −≡ , ou seja, ( )Nb mod pq1 ϕ ≡ . Logo,

( ) ( )Nk

b b b mod N ϕ ⋅ ≡ o que implica, usando transitividade: ( )( ) ( ) .b D C b mod N≡ Esse último resultado comprova que a mensagem b é equivamente a

mensagem codificada D(C(b)).

Vamos para mais um exemplo, este com a utilização de números maiores como sendo os primos p e q, para que consiga simular melhor casos reais (em que a escolha é de números primos de alto valor).

Para o próximo exemplo, sugere-se resolver as congruências com um software matemático. Isso se deve ao fato de que os cálculos ficam demasiadamente grandes. Um software on-line muito bom é o WolframAlpha. Você pode acessar em: https://www.wolframalpha.com/.

DICAS

Exemplo 41: criptografar e descriptografar a frase “NÚMER0S D0M1N4M 0 MUND0”. Note que está sendo usado o número 0, no lugar da letra “O”. Lembrando que a escolha dos números primos é livre, porém, neste exemplo, a ideia é utilizar números maiores, então, dados os primos p e q da forma 6n + 5, sendo p = 857 e q = 2207, pode-se obter:

( ) ( )NN 857 2207 1891399 e 857 1 2207 1 1888336.ϕ= × = = − × − =


171

Considererando a tabela usada no exemplo anterior: O valor de e deve ser escolhido de modo que ( ), 1Ne ϕ = . Vejamos algumas

opções:

3,5,7,11,13,15,17,19,25,29,31,35,55...

O valor escolhido será e = 3. Para obter d é preciso utilizar a congruência:( )Ne d mod 1 .ϕ⋅ ≡

Substituindo, temos: ( )d mod3 1 1888336 ,× ≡ ou seja,

3 1 1888336 3 1888336 1d k d k− = ⇔ − = .

Temos então, uma equação diofantina, uma vez que ( )mdc 3, 1888336 1 | 1.= Assim resolvendo a equação diofantina:

1888336 3 629445 1= × + 1888336 3 629445 1.⇔ − × =

Logo, as soluções para d e k nos inteiros é dada por: d = –629445 + 1888336t e k = 1 – 3t. Porém, a ideia é ter números da forma: –629445 + 1888336t > 0. Encontrando que t > 0,33. Substituindo t por 1 obtem-se: d = 1258891. Desta forma, a chave pública será: ( ) ( ), 3, 1891399e N ⇒ e a chave privada, ( ) ( ), 1258891, 1891399 .d N ⇒

Em possa da chave pública codificaremos a messagem solicitada: NÚMER0S D0M1N4M 0 MUND0. De acordo com a tabela do exemplo anterior, temos a seguinte mensagem: 3543342539494124493451355434493443352449 .

Dividiremos a mensagem em blocos de três dígitos (escolha livre), exceto o último, pois a quantidade de números não é múltipla de três:

O próximo passo é realizar a conversão, usando a congruência correta, de cada um destes blocos:

Bloco 354:( )mod3354 859687 1891399≡

Logo, temos que o primeiro bloco será: 859687. Continuando:

354 334 253 949 412 449 345 135 543 449 344 335 244 9.− − − − − − − − − − − − −

Bloco 334:( )mod3334 1323123 1891399≡

Bloco 253:( )mod3253 1063085 1891399≡


172

Bloco 949:( )mod3949 1649400 1891399≡

Bloco 412:( )mod3412 1844164 1891399≡

Bloco 449:( )mod3449 1623096 1891399≡

Bloco 345:( )mod3345 1344246 1891399≡

Bloco 135:( )mod3135 568976 1891399≡

Bloco 543:( )mod3543 1225491 1891399≡

Bloco 449:( )mod3449 1623096 1891399≡

Bloco 344:( )mod3344 988205 1891399≡

Bloco 335:( )mod3335 1658794 1891399≡

Bloco 244:( )mod3 244 1286991 1891399≡

Bloco 9:( )mod39 729 1891399≡

Mensagem criptografada: 859687 1323123 1063085 1649400 1844164 1623096− − − − −

Vamos, agora, descriptografar a mensagem. Para tal, utilizaremos a chave privada (1258891, 1891399): O primeiro bloco: ( )mod1258891 859687 354 1891399 .≡E, assim por diante, com a ajuda do software, fazendo todo o processo inverso retornamos para a mensagem original:

3543342539494124493451355434493443352449⇒

35 43 34 25 39 49 41 24 49 34 51 35 54 34 49 34

43 35 24 – 49

⇒ − − − − − − − − − − − − − − −

− − −

1344246 568976 1225491 1623096 988205 1658794 1286991 729.− − − − − − − −

354 334 253 949 412 449 345 135 543 449 344 335 244 – 9− − − − − − − − − − − −


173

0 0 1 4 0 0NÚMER S D M N M MUND⇒

Pudemos perceber, neste tópico, uma aplicação muito importante da aritmética dos restos. Quem nunca acessou sites ou computadores e se preocupou com a segurança de seus dados? Então, a aritmética dos restos e os números primos nos trouxeram grande auxílio para essas e outras diversas questões. Para saber mais acerca dos números primos, faça a leitura complementar onde trata-se dos primos especiais.


174


PRIMOS ESPECIAIS

Ary Camargo Rizel

PRIMOS GÊMEOS

Dizemos que 𝑝 e 𝑞 são primos gêmeos se 𝑝 e 𝑞 são primos e |𝑝 − 𝑞| = 2 (RIBENBOIM, 2012).

Conjectura-se que existem infinitos pares de primos gêmeos. Os menores números primos são: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19). Alguns primos gêmeos muito grandes são também conhecidos, como 65.516.468.355 ∙ 2333333 ± 1, que tem 100.355 dígitos cada um.

Os números primos gêmeos foram caracterizados por Clement, em 1949, da seguinte maneira:

Proposição: seja 𝑛 ≥ 2. Os inteiros 𝑛 e 𝑛 + 2 são ambos primos, se e somente se:

4[(𝑛 − 1)! + 1] + 𝑛 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑛 + 2)

Demonstração: se a congruência for satisfeita, então 𝑛 ≠ 2,4 e (𝑛 − 1)! + 1 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 𝑛 e, pelo Teorema de Wilson, 𝑛 é primo. Por outro lado,

4(𝑛 − 1)! + 2 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑛 + 2).

Que multiplicada por 𝑛(𝑛 + 1), dá:

[4(𝑛 + 1)! + 1] + 2𝑛2 + 2𝑛 − 4 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑛 + 2).

E então:

4[(𝑛 + 1)! + 1] + (𝑛 + 2)(2𝑛 − 2) ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑛 + 2).

Logo:

(𝑛 + 1)! + 1 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑛 + 2)

De acordo com o Teorema de Wilson, 𝑛 + 2 é também primo. Reciprocamente, se 𝑛 e 𝑛 + 2 são primos, então 𝑛 ≠ 2 e:

(𝑛 − 1)! + 1 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑛), (𝑛 + 1)! + 1 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑛 + 2).


175

Ora, 𝑛(𝑛 + 1) = (𝑛 + 2)(𝑛 − 1) + 2 e daí 2(𝑛 − 1)! + 1 = 𝑘(𝑛 + 2) onde 𝑘 é inteiro. De (𝑛 − 1)! ≡ −1 (𝑚𝑜𝑑𝑛), resulta que 2𝑘 + 1 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) e, fazendo uma substituição, 4(𝑛 − 1)! + 2 ≡ −(𝑛 + 2) (𝑚𝑜𝑑 𝑛(𝑛 + 2)).

E então: 4[(𝑛 − 1)! + 1] + 𝑛 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑛(𝑛 + 2)).

Entretanto, essa caracterização não tem qualquer interesse prático para determinar primos gêmeos. O problema principal é decidir se existe uma infinidade de pares de primos gêmeos.

Para todo 𝑥 > 1, seja 𝜋2(𝑥) o número de primos 𝑝, tais que 𝑝 + 2 seja também primo e 𝑝 + 2 ≤ 𝑥. Brun anunciou, em 1919, que existe um inteiro 𝑥0, efetivamente calculável, tal que se 𝑥 ≥ 𝑥0, então:

2 2

100( )(log ) .

xxx

π <

A demonstração foi publicada em 1920. Em outro artigo de 1919, Brun demonstrou o célebre resultado:

1 12p p

+ +

∑

Onde a soma é estendida a todos os primos 𝑝 tais que 𝑝 + 2 também seja primo, é convergente, o que significa que, mesmo que existam infinitos pares de primos gêmeos, eles acabam por se afastar uns dos outros. A soma:

1 1 1 1 1 1 1 13 5 3 7 11 13 2

Bp p

= + + + + + + + + + +

É chamada constante de Brun. Apoiando-se em considerações heurísticas sobre a distribuição dos primos gêmeos, essa constante foi calculada por Shanks e Wrench (1974), por Brent (1976) e mais recentemente por Nicely (2001) e por Sebah (2002), com o valor:

𝐵 = 1,90216051823 ⋯

Brun também demonstrou que para todo 𝑚 ≥ 1, existem 𝑚 primos sucessivos que não primos gêmeos. A estimativa dada para 𝜋2(𝑥) foi melhorada com a determinação da constante e do respectivo limite de erro. Isso foi executado, entre outros, por Bombieri e Davenport em 1966, através da aplicação do método do crivo. Eis o resultado:

2 2 22

( 2)( ) 2( 1) (log )p

p p xx Cp x

π>

−≤ ∏

−


176

Hardy e Littlewood (1923) conjecturaram que a constante 𝐶 seria igual a 1. Os melhores resultados obtidos até agora para a constante 𝐶 foram:

𝐶 = 3,5, por Bombieri, Friedlander e Iwaniec (1986)𝐶 = 3,13, por S. Lou (não publicado)

O produto infinito:

2 22

( 2)( 1)p

p pCp>

−= ∏

−

é chamado a constante dos primos gêmeos e seu valor 0,66016 ⋯ foi calculado por Wrench em 1961.

PRIMOS DE SOPHIE GERMAIN

Sophie Germain provou o chamado primeiro caso do último Teorema de Fermat para os primos 𝑝 para os quais 2𝑝 + 1 é primo. Por isso, os primos que apresentam esta forma são chamados de primos de Sophie Germain. No dia 28 de junho de 1993, o matemático britânico Andrew Wiles fez a demonstração do teorema de Fermat, também conhecido como o último Teorema de Fermat.

Sophie Germain demonstrou o seguinte teorema: se 𝑝 e 2𝑝 + 1 são primos com 𝑝 > 2, então não existem inteiros 𝑥, 𝑦, 𝑧 com 𝑚𝑑𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 e 𝑝 ∤ 𝑥𝑦𝑧 tais que 𝑥𝑝 + 𝑦𝑝 + 𝑧𝑝 = 0. Em outras palavras: o primeiro caso do último Teorema de Fermat é verdadeiro para todo expoente primo de Sophie Germain.

Demonstração: observe, inicialmente, que 2𝑝 + 1 | 𝑥𝑦𝑧: caso contrário, pelo pequeno Teorema de Fermat, 𝑥2𝑝 ≡1 (mod 2p+1), o que equivale a (𝑥𝑝 − 1)(𝑥𝑝 + 1) ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 2𝑝 + 1). Assim, temos que 𝑥𝑝 ≡ ±1 (𝑚𝑜𝑑 2𝑝 + 1) e analogamente 𝑦𝑝 ≡ ±1 (𝑚𝑜𝑑 2𝑝 + 1) e 𝑧𝑝 ≡ ±1 (𝑚𝑜𝑑 2𝑝 + 1). Mas 𝑥𝑝 + 𝑦𝑝 + 𝑧𝑝 ≡ ±1 ± 1 ± 1 ≢ 0 (𝑚𝑜𝑑 2𝑝 + 1), um absurdo.

Por outro lado temos (−𝑥)𝑝 = (𝑦 + 𝑧)(𝑦𝑝−1 − 𝑦𝑝−2𝑧 + ⋯ − 𝑦𝑧𝑝−2 + 𝑧𝑝−1). Vamos mostrar que os dois fatores da direita são primos entre si. Se 𝑞 é um primo que divide ambos os termos, então 𝑦 ≡ −𝑧 (𝑚𝑜𝑑 𝑞) e, portanto, 0 ≡ 𝑦𝑝−1 − 𝑦𝑝−2𝑧 + ⋯ + 𝑧𝑝−1 ≡ 𝑝𝑦𝑝−1 (𝑚𝑜𝑑 𝑞); temos 𝑞 ≠ 𝑝 pois 𝑞 | 𝑥, assim 𝑞 | 𝑝𝑦𝑝−1 ⟹ 𝑞 |𝑦, mas então 𝑧 ≡ −𝑦 ≡ 0 (mod q) e q dividiria simultaneamente x,y,z, contrariando a hipótese mdc(x,y,z) = 1. Assim, pela fatoração única em primos existem inteiros a, d tais que:

1 2 2 1 e p p p p p pa y z d y y z yz z− − − −= + = − + − +

e analogamente:

1 2 2 1

1 2 2 1

e

e

p p p p p p

p p p p p p

b x z e x x z xz z

c x y f x x y xy y

− − − −

− − − −

= + = − + − +

= + = − + − +


177

para b,c,e,f inteiros.

Como 2p + 1|xyz, podemos supor sem perda de generalidade que 2p + 1|x. Assim, de 2x = bp + cp – ap, temos que 2p + 1| bp + cp – ap e o mesmo argumento no início da demonstração mostra que 2p + 1|abc também.

Se 2p + 1|b = x + z ou 2p + 1|c = x + y, como 2p + 1|x e xp + yp + zp = 0 teríamos que 2p + 1|mdc(x,y,z) = 1 um absurdo.

Por outro lado, temos p pf y mod p1 ( 2 1)−≡ + e se 2p + 1|a, então 2 1|p d+ e p py z mod p d py mod p1( 2 1) ( 2 1)−≡ − + ⇒ ≡ + . Assim, 2p + 1|f, pois caso contrário

teríamos: p p pp pf py d mod p1 1 ( 2 1)−± ≡ ≡ ≡ ≡ ± + um absurdo.

Neste caso, 2p + 1|z também, o que é impossível já que mdc(x,y,z) = 1, completando a prova.

Conjectura-se a existência de uma infi nidade de primos de Sophie Germain, porém sua demonstração pode ser tão difícil quanto à da existência de uma infi nidade de primos gêmeos.

O teorema de Sophie Germain foi estendido por Legendre e Dénes (1951) e mais recentemente, por Fee e Grandville (1991). A estimativa do número de primos de Sophie Germain inferiores a um número x > 1 é dada por e mais recentemente, por Fee e Grandville (1991). A estimativa do número de e mais recentemente, por Fee e Grandville (1991). A estimativa do número de

:

2( )(log ) .SG

C xxx

π <

Acredita-se que 𝜋𝑆𝐺(𝑥) seja assintótico a 2(log )

C xx

para algum 𝑐 > 0, mas

como dito, não se sabe demonstrar sequer a existência de infi nito primos de Sophie Germain.

FONTE: RIZEL, A. C. Números primos. 2014. Monografi a (Especialização Latu Senso para professores com ênfase em cálculo) – Departamento de Matemática do Instituto de Ciências Exatas (ICEX), Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte: UFMG.

178

RESUMO DO TÓPICO 4


• Para criptografar uma mensagem, você deve seguir os seguintes passos:

1. Tomam-se, a escolher, dois primos p e q, distintos.2. Calcula-se um valor ( )( ) 1 1 .NN p q e p qϕ= ⋅ = − −3. Escolhe-se um valor e, que fará parte da chave pública, que deverá seguir a

regra em que ( ), 1Nmdc e ϕ = , com 1 .Ne ϕ< <4. Resolve-se a congruência ( )Ne d mod 1 ϕ⋅ ≡ onde encontra-se d, que será a chave

privada.5. Utilizando uma tabela (pré-formulada), e de domínio público é feita a

transição de todos os caracteres da mensagem em números, onde se obtém uma mensagem numérica. Estes números devem ser colocados em blocos b, onde 1 b N≤ < . Este processo, garante a unicidade do resultado.

6. Tendo a Chave Pública (e,N) o próximo passo é criptografar os blocos b com a congruência: ( ) ( )be C b mod N ≡ , onde C(b) é a mensagem criptografada.

7. Para descriptografar, basta ter a posse da Chave Privada (d,N) realizando o processo de acordo com a congruência: ( ) ( )( ) ( )C b d D C b mod N ,⋅ ≡ onde D(C(b)) é a mensagem descriptografada, ( )( )1 .D C b N≤ <

8. Por fim, cada bloco D(C(b)) tem que ser colocado em sequência, e utilizando a mesma tabela citada no item 5 os números conseguem ser transformados novamente em caracteres.


CHAMADA

179

AUTOATIVIDADE

1 Utilizando pares de primos distintos (a escolher) e a tabela utilizado nos exemplos deste tópico, criptografe e descriptografe as seguintes mensagens:

a) Primos.b) Divisor.c) Números.d) Aritmética.

181

REFERÊNCIAS

ABBAGNANO, N. Dicionário de filosofia. São Paulo: Martins Fontes, 2003.

FONSECA, R. V. Teoria dos números. Belém: UEPA, 2011.

HEFEZ, A. Aritmética. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2016.

HEFEZ, A. Iniciação à aritmética. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2009.

HEFEZ, A. Elementos de aritmética. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006.

MAIER, R. R. Teoria dos números. Brasília: Universidade de Brasília, 2005.

ROQUE, T. História da matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 2012.

aritmética e teoria dos números

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