introdução a teoria dos números

Introduo a Teoria dos Nmeros.

Professor: Deivd Andrade Porto Disciplina: Matemtica Discreta

1

Mate

mti

ca D

iscre

ta.

IF - Serto Pernambucano /Licenciatura em Computao.

Os nmeros governam o universo.

Lema dos Pitagricos

2

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


Agora vamos discuti algumas propriedades dos nmeros inteiros. Essa rea da matemtica conhecida como teoria dos nmeros. A Teoria dos Nmeros, tem uma longa histria, originando-se desde as antigas civilizaes sendo utilizada ate os dias de hoje.

3

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


Introduo:

Divisibilidade de nmeros inteiros

Sejam a e b dois inteiros. Dizemos que a divide b , ou a um divisor de b, ou b um mltiplo de a, se existe um inteiro m tal que b = m a.

Para representar essas operaes usamos a notao a|b. Se a no um divisor de b, ento escrevemos a b. Se a 0, ento isso significa que a proporo a|b um inteiro.

4

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


Exemplos:

3|12,

5|15,

7|21.

5

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


O algoritmo de diviso

Se ab, e a0 , ento podemos ainda dividir b por a com resto. O resto r da diviso b:a um inteiro que satisfaz 0 r < |a|. Se o quociente da diviso com resto q, ento temos:

b = aq + r.

Essa uma maneira muito til de pensar sobre uma diviso com resto. Onde q chama-se o quociente, r o menor resto no-negativo na diviso de b por a.

6

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


Teorema. (Algoritmo de diviso geral):

Para quaisquer nmeros a, b Z com b 0 existem

nicos q, r Z tais que a = bq + r e 0 r < |b|

Consequncias:

a) Considerando-se b = 2 temos para qualquer a Z um q Z com a = 2q ou a = 2q + 1 e consequentemente

Z ={2q/ q Z} U { 2q + 1/ q Z} tal que

{2q/ q Z} { 2q + 1/ q Z}= isto , temos uma

decomposio do conjunto Z dos inteiros em dois subconjuntos disjuntos - os inteiros pares e os inteiros mpares.

7

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


b) De forma semelhante, considerando-se b = 3 temos para qualquer a Z um q Z com a = 3q ou a = 3q + 1 ou a = 3q + 2 e consequentemente Z ={ 3q /q Z} U { 3q + 1/ q Z} U {3q + 2/ q Z}, uma decomposio de Z em trs subconjuntos disjuntos.

c) Para b = 4 obtemos Z = {4q/ q Z} U {4q + 1/ q Z}{ 4q + 2/ q Z} U { 4q + 3/ q Z}.

d) Em geral, para b = n IN obtemos Z ={ nq/ q Z} U {nq + 1/ q Z} U ... U { nq + (n1) / q Z}. Observao: Os n conjuntos { nq/ q Z} , {nq + 1/ q Z}, ... ,{ nq + (n1) / q Z} chamam-se as classes de resto mdulo n

8

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


Para todos os nmeros a, b, c, d pertencentes aos nmeros inteiros (Z) valem as seguintes propriedades:

9

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


Estas propriedades so consequncias fceis da definio e a sua demonstrao fica como exerccio. Provemos, por exemplo, o item g):

a|b e a|c significa que existem q1 , q2 Z tais que a q1 = b e a q2 = c. Segue ento bx + cy = (a q1)x + (a q2)y = a(q1 x + q2y) com q1 x + q1 y Z, mostrando assim a|(bx + cy).

10

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


Mximo divisor comum de dois nmeros

Definio: Sejam a, b Z dois nmeros, pelo menos um deles diferente de zero. O mximo divisor comum entre a e b o nmero natural d = mdc(a, b) definido pelas duas propriedades:

a) d|a e d|b (i. e. d divisor comum de a e b)

b) Se algum c N dividir ambos a e b ento temos tambm c|d.

11

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


Teorema.

Sejam a, b Z no ambos zero e seja d = mdc(a, b).

Ento existem x1 , y1 Z tais que a x1 + b y1 = d .

Consequncia.

Sejam a, b Z, no ambos nulos e seja d = mdc(a, b).

Ento {ax + by/ x, y Z}={ dz/ Z}.

Em palavras: As combinaes lineares inteiras de a e

b so exatamente os mltiplos do mdc(a, b).

12

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


Nmeros primos entre si. Dois nmeros a, b Z chamam-se relativamente

primos (ou primos entre si) se mdc(a, b) = 1.

Por exemplo, mdc(12, 35) = 1 i.e. 12 e 35 so primos entre si.

Proposio:

Dois nmeros a, b Z no ambos nulos, so relativamente primos, se e somente se existem x1, y1 Z tais que a x1 + b y1 = 1 .

13

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


Consequncias.

1) Sejam a, b Z, no ambos nulos e d = mdc(a, b). Ento mdc (a/d, b/d) = 1 . (Observamos que a/d e b/d so nmeros inteiros!)

2) Sejam a, b, c Z tais que a|c e b| c. Se mdc(a, b) = 1, ento temos tambm ab|c.

3) (O Lema de Euclides) Sejam a, b, c Z tais que a|bc e mdc(a, b) = 1. Ento a|c.

4) Sejam a, b, c Z tais que mdc(a, b) = mdc(a, c) = 1. Ento temos tambm mdc(a, bc) = 1,

14

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


O algoritmo Euclidiano Para dois nmeros a, b Z com b 0 consideremos o

seguinte processo:

15

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


16

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


17

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


O processo o qual acabamos de descrever, chama-se

o algoritmo Euclidiano para a e b. Temos o seguinte

Teorema.

No algoritmo Euclidiano para a e b temos que rn =

mdc(a, b) .

Em palavras: O ltimo resto no nulo no algoritmo

Euclidiano o mximo divisor comum de a e b.

18

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


Exemplo. Determinar mdc(7519, 8249) .

Podemos nos restringir a valores positivos e encarar a =

7519 e b = 8249. O algoritmo Euclidiano d:

7519 = 0 8249 + 7519

8249 = 1 7519 + 730

7519 = 10 730 + 219

730 = 3 219 + 73

219 = 3 73.

Concluso: mdc(7519, 8249) = 73.

19

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


Ilustramos ainda neste exemplo como o algoritmo Euclidiano til para se conseguir solues x, y Z com ax+by = mdc(a, b) : Subindo a partir da penltima equao do algoritmo, vemos:

73 = 730 3 219 = 730 3 (7519 10 730) = 31 730 3 7519 = 31 (8249 7519) 3 7519 = 34 7519 + 31 8249.

20

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


O mnimo mltiplo comum Sejam a, b Z dois nmeros, ambos no nulos. O

mnimo mltiplo comum entre a e b o nmero natural m = mmc(a, b) definido pelas duas propriedades:

a) a|m e b|m (i. e. m mltiplo comum de a e b.)

b) Se a|c e b|c para algum c N ento temos tambm m|c.

21

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


Proposio.

Sejam 0 a, b Z, d = mdc(a, b) e m = mmc(a, b). Ento vale a relao md = |ab| .

Exemplo.

Sabemos mdc(7519, 8249) = 73. Consequentemente:

mmc(7519, 8249) = (7519 8249)/73 = 849647

22

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


Equaes Diofantinas Uma relao em n incognitas x1 , x2 , . . . , xn da forma

f(x1 , x2 , . . . , xn) = 0 considerada uma equao Diofantina, quando o interesse dirigido s solues inteiras x1 , x2 , . . . , xn Z dela.

Por exemplo, a relao:

equao da hiper-esfera de raio 10 no espao n dimensional, pode ser considerada uma equao Diofantina, quando as n-uplas de coordenadas inteiras x1 , x2 , . . . , xn so procuradas.

23

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


Uma equao Diofantina linear se ela tiver a forma:

a1x1 + a2x2+ . . . + anxn= c .

Em particular, queremos tratar agora as equaes

Diofantinas lineares de grau 2 ou seja, ax + by = c com

a, b, c Z.

24

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


TEOREMA: Sejam a, b, c Z, a, b no ambos zero.

a) A equao Diofantina ax + by = c (1) admite pelo menos uma soluo x, y Z se e somente se d = mdc(a, b)|c.

b) Suponha d|c e seja (x0 , y0) uma soluo (particular) de (1). Ento a soluo geral (i. e. o conjunto de todas as solues) de (1) dada por:

25

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


Exemplos:

26

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


Exemplo 2:


27

Mate

mti

ca D

iscre

ta.

28

Mate

mti

ca D

iscre

ta.


introdução a teoria dos números

Documents