arjana zitnik diskretna matematika 2 - fmf.uni-lj.sizitnik/dm2_zbirka_nalog.pdfpredgovor v...
TRANSCRIPT
Arjana Zitnik
DISKRETNA MATEMATIKA 2
Studijsko gradivo za studente matematike
Ljubljana, 2016
NASLOV: DISKRETNA MATEMATIKA 2PODNASLOV: Studijsko gradivo za studente matematikeAVTOR: Arjana ZitnikIZDAJA: 1. izdajaZALOZNIK: samozalozbaKRAJ: LjubljanaLETO IZIDA: 2016AVTORSKE PRAVICE: Arjana ZitnikCENA: publikacija je brezplacnaNATIS: elektronsko gradivo, dostopno na naslovu:http://www.fmf.uni-lj.si/~zitnik/DM2 zbirka nalog.pdf
Predgovor
V studijskih letih 2010/2011 do 2013/2014 sem na UL FMF vodila vaje iz Diskretnematematike 2 za studente 3. letnika matematike. V tem casu se je nabralo precej za-nimivih nalog iz razlicnih virov, ki sem jih uporabila za vaje ter za kolokvije in izpite.Te naloge so zbrane v pricujoci zbirki. Na koncu zbirke so namigi in resitve za izbranenaloge. Zbirka je namenjena studentom matematike za samostojen studij ter pripravo nakolokvije in izpite pri predmetu Diskretna matematika 2.
Arjana Zitnik
Ljubljana, april 2016
Kazalo
1 Delno urejene mnozice 7
2 Trije klasicni izreki 11
3 Nacrti 15
4 Simetrije in stetje 21
4.1 Grupe simetrij, orbite in stabilizatorji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Burnsidova lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 Ciklicni indeks, izrek Polya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Ramseyeva stevila 27
6 Metricna teorija grafov 29
7 Namigi in resitve 33
5
6
1. Delno urejene mnozice
1. Narisite Hassejev diagram za delni urejenosti
(a) (P({a, b, c}),⊆) in
(b) ({1, 2, . . . , 20}, |), kjer | pomeni relacijo deljivosti.
Poiscite mnozice minimalnih, maksimalnih, namanjsih in najvecjih elementov tersirino in visino za ti delni urejenosti.
2. Ali sta naslednja grafa lahko Hassejeva diagrama za kaksno delno urejeno mnozico?
3. Pokazite, da delni urejenosti (N,≤) in (Z,≤) nista izomorfni.
4. Poiscite linearno razsiritev za delno urejenost (P({a, b, c}),⊆), v kateri bo veljalo{a, b} ≤ {c}.
5. Koliko linearnih razsiritev imajo delne urejenosti, podane s spodnjimi Hassejevimidiagrami?
7
6. Naj bosta p in q razlicni prastevili, n naravno stevilo in A mnozica deliteljev stevilapn−1q. Koliko linearnih razsiritev ima delna urejenost (A, |)? Na spodnji sliki jeHassejev diagram te delne urejenosti za primer n = 4.
7. Naj bo P = (A,≤) delna urejenost in x, y ∈ A neprimerljiva elementa. Ali je potem(P,≤ ∪{(x, y)}) tudi delna urejenost?
8. Naj bo P = (A,≤) delna urejenost in x, y ∈ A neprimerljiva elementa. Pravimo,da sta x in y kriticen par, ce je tudi (P,≤ ∪{(x, y)}) delna urejenost. Pokazite, dakriticen par vedno obstaja, ce je A koncna mnozica.
9. V delni urejenosti, podani s spodnjim Hassejevim diagramom, poiscite vse kriticnepare, ki vsebujejo element g. Dolocite visino in sirino te delne urejenosti.
10. V navodilu za sestavo pohistva je treba opisati pravilen vrstni red opravil a, b, c, d, e, fin g. Vemo, da je potrebno pred opravilom a opraviti opravili b in e. Pred opravilomc je potrebno opraviti a in c mora biti opravljen preden zacnemo z opravili d, f ing. Sestavite primeren vrstni red opravil.
8
11. S spodnjimi Hassejevimi diagrami so podane delna urejenost P in linearni urejenostiL1 in L2. Pokazite, da je {L1, L2} realizator za P . Koliksna je dimenzija P? Poiscite
vlozitev P v R2.
12. Poiscite Schnyderjevo oznacitev triangulacije iz spodnje slike.
13. Poiscite Hassejev diagram za incidencno urejenost grafa G = K4 − e. Poisciterealizator moci 3 za to delno urejenost. Poiscite Schnyderjevo vlozitev grafa G vravnino.
14. S pomocjo Schnyderjevega izreka pokazite, da graf K3,3 ni ravninski.
Naloge iz kolokvijev in izpitov
15. Delna urejenost P je podana s Hassejevim diagramom na spodnji sliki.
(a) Poiscite realizator moci 3 za P .
(b) Koliksna je dimenzija P?
9
16. Poiscite Hassejev diagram za incidencno urejenost grafa G iz spodnje slike. Poisciterealizator moci najvec 3 za to delno urejenost. Poiscite Schnyderjevo vlozitev grafaG v ravnino.
17. Delna urejenost P je podana s Hassejevim diagramom na spodnji sliki.
(a) Poiscite realizator moci 3 za P .
(b) Koliksna je dimenzija P? Nasvet: preverite, koliko je neprimerljivih parov(ai, bj) in kolikrat najvec je lahko ai > bj v linearni urejenosti.
a2a1 a3 a4 a5
b1 b2 b3 b4 b5
18. Naj bo n naravno stevilo in Πn mnozica razbitij mnozice {1, 2, . . . , n} na nepraznebloke. Na mnozici Πn definiramo relacijo v na naslednji nacin: π v σ, ce je vsakblok iz π vsebovan v nekem bloku σ. Ni tezko preveriti, da je (Πn,v) delna urejenost.
Primer: ce je π = {{1, 2}, {3}, {4, 5}} in σ = {{1, 2, 4, 5}, {3}}, potem je π v σ.
(a) Naj bo A ⊆ Π4 mnozica razbitij, pri katerih so vsi bloki velikosti najvec 2.Narisite Hassejev diagram za delno urejenost P = (A,v).
(b) Poiscite realizator moci 3 za P .
(c) Koliksna je dimenzija P?
19. Naj bo mnozica A = {3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16} delno urejena z relacijo deljivosti:x � y, ce in samo ce x deli y.
(a) Narisite Hassejev diagram za delno urejenost P = (A,�) ter poiscite njenovisino in sirino.
(b) Koliksna je dimenzija P?
10
2. Trije klasicni izreki
1. Naj bo zaporedje a1, a2, . . . , an2+1 permutacija mnozice {1, 2, . . . , n2 + 1}. Pokazite,da tedaj to zaporedje vsebuje podzaporedje dolzine n+1, ki je monotono. Definirajteustrezno delno urejenost in uporabite Dilworthov izrek.
Opomba: nalogo lahko enostavno resimo tudi s pomocjo Dirichletovega nacela.
2. Naj bo N = p1 · p2 · ... · pn, kjer so pi razlicna prastevila. Pokazite, da ima tedaj N
kvecjemu
(n
bn2c
)deliteljev, od katerih nobeden ne deli drugega.
Nasvet: vsakemu delitelju priredite primerno mnozico in nato uporabite Spernerjevizrek.
3. Dana so realna stevila a1, a2, . . . , an, ki so vsa vecja ali enaka 1. Pokazite, da tedaj
obstaja kvecjemu
(n
bn2c
)vsot oblike
n∑i=1
αi ai, αi ∈ {−1, 1}, ki so po absolutni
vrednosti manjse od 1.
4. Pokazite, da ima vsak dvodelen regularen graf popolno prirejanje.
Pokazite, da ima vsak dvodelen biregularen graf G = (X ∪ Y,E) popolno prirejanjeiz X v Y , ce je |X| < |Y |.
5. Oglejmo si naslednji trik s kartami. Prvi igralec dobi pet nakljucno izbranih kart izkompleta 52 kart. Eno zadrzi, stiri pa v izbranem vrstnem redu polozi v kuverto.To kuverto dobi drugi igralec (ki je tacas lahko celo v drugi sobi) in ugotovi, katerokarto je zadrzal prvi igralec. Pokazati moramo, da se igralca lahko dogovorita, kakos stirimi kartami zakodirati informcijo, katero karto je obdrzal prvi igralec.
Torej, iscemo injektivno funkcijo, ki izboru a petih kart izmed 52 priredi urejeniizbor stirih kart. Pri tem morajo biti te stiri karte vsebovane v mnozici a.
6. Urejena m-terica (a1, a2, . . . , am) je sistem razlicnih predstavnikov za mnoziceS1, S2, . . . , Sm ⊆ {1, 2, . . . , n}, ce velja
• ai ∈ Si za i = 1, 2, . . . ,m in
• ai 6= aj za i 6= j.
11
Pokazite, da sistem razlicnih predstavnikov za mnozice S1, S2, . . . , Sm obstaja natankotedaj, ko ima unija poljubnih k mnozic vsaj k elementov za k = 1, 2, . . . ,m.
7. Matrika A = (aij)ni,j=1 je dvojno stohasticna, ce velja
• aij ≥ 0 za i, j = 1, . . . , n,
•n∑
i=1
aij = 1 za j = 1, . . . , n in
•n∑
j=1
aij = 1 za i = 1, . . . , n.
Pokazite, da je vsaka dvojno stohasticna matrika konveksna kombinacija permuta-cijskih matrik.
8. Pokazite naslednji izrek.
Izrek. (Erdos-Ko-Rado) Naj bo A = {A1, . . . , Am} druzina razlicnih podmnozicmnozice {1, . . . , n} moci k ≤ n/2 z lastnostjo, da imata poljubni dve mnozici iz Aneprazen presek. Potem velja
m ≤(n− 1
k − 1
).
9. Pokazite naslednjo posplositev izreka Erdos-Ko-Rado.
Izrek. Naj bo A = {A1, . . . , Am} druzina razlicnih podmnozic mnozice {1, . . . , n},za katere velja Ai 6⊆ Aj in Ai ∩ Aj 6= ∅ za i 6= j. Naj velja se |Ai| ≤ k ≤ n/2 za vsei. Potem velja
m ≤(n− 1
k − 1
).
Naloge iz kolokvijev in izpitov
10. Naj bo A = {I1, I2, . . . , In} mnozica razlicnih odprtih intervalov. Na mnozici Adefiniramo relacijo � na naslednji nacin: (a, b) � (c, d) natanko tedaj, ko je b ≤ cali a = c in b = d. Ni tezko preveriti, da je P = (A,�) delna urejenost.
(a) Kaj so verige v P?
(b) Kaj so antiverige v P?
(c) Pokazite, da imamo v A vsaj d√n e paroma disjunktnih intervalov ali pa vsaj
d√n e intervalov z nepraznim presekom.
(d) Naj bo A = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}. Poscite najmanjsi realiza-tor za P = (A,�).
12
Mnozica intervalov iz R je vgnezdena, ce za vsak par intervalov iz te mnozice velja,da je eden popolnoma vsebovan v drugem. Naj bo I mnozica intervalov iz R moci n,ki nima nobene vgnezdene podmnozice moci vec kot k. Pokazite, da potem obstajapodmnozica I moci dn/ke, v kateri noben interval ne vsebuje drugega.
11. Naj bo F druzina mnozic, za katero velja
• poljuben element F ima najvec n elementov,
• za poljubne tri razlicne mnozice Ai, Aj, Ak ∈ F velja Ai ∩ Aj 6⊆ Ak.
Pokazite, da tedaj F vsebuje najvec 1 +(
nbn2c
)mnozic.
Nasvet: izberite mnozico B ∈ F in obravnavajte druzino mnozic F ′ = {Ai∩B;Ai ∈F\B}.
13
14
3. Nacrti
1. Za katere od spodnjih parametrov obstaja nacrt s taksnimi parametri? Utemeljite,zakaj ne obstaja, oziroma ga konstruirajte.
(a) (6, 3, 1)
(b) (5, 2, 1)
(c) (9, 3, 3)
2. Naj bo B nacrt s parametri (v, k, λ) nad mnozico X in B′ = {X\B; B ∈ B} kom-plementi mnozic iz B. Pokazite, da je tudi B′ nacrt in poiscite njegove parametre.
3. Naj bo X = E(K5), v mnozici blokov B pa naj bodo vse mnozice povezav moci stirinaslednjih tipov A : {uv, uw, uz, ux}, B : {uv, vw, uw, zx} in C : {uv, vw,wz, uz}.Na predavanjih ste pokazali, da je B nacrt s parametri (10, 4, 12). Pokazite, da je Btudi 2-nacrt s parametri (10, 4, 4) in 3-nacrt s parametri (10, 4, 1).
4. Naj bo X = {0, 1}n\{0}n mnozica vseh 0/1 zaporedij dolzine n brez zaporedja izsamih nicel. Za u, v ∈ X definiramo u+ v ∈ {0, 1}n takole:
(u+ v)i = ui + vi (mod 2).
Pokazite, da je B = {{u, v, u + v}; u, v ∈ X, u 6= v} potem 2-nacrt s parametri(2n − 1, 3, 1). Koliko blokov ima tak nacrt za n = 3, 4? Zapisite mnozico blokov zan = 3.
5. Hadamardova matrika reda n je matrika H dimenzije n×n, pri kateri so vsi elementienaki 1 ali −1 in velja HHT = nI.
Dve Hadamardovi matriki sta ekvivalentni, ce lahko eno dobimo iz druge s per-mutacijo vrstic/stolpcev oziroma nekatere vrstice/stolpce pomnozimo z −1. VsakaHadamardova matrika je ekvivalentna Hadamardovi matriki, pri kateri so v prvivrstici in prvem stolpcu same enke. Taksna matrika je v normalizirani obliki.
Naj bo H Hadamardova matrika reda 4n v normalizirani obliki.
(a) Matriki H odstanimo prvo vrstico in prvi stolpec. Dobljeno matriko oznacimos H ′. Mnozico X naj sestavljajo vrstice matrike H ′, bloki B pa naj ustrezajostolpcem matrike H ′: vrstica i je v bloku j, ce je hij = 1. Pokazite, da je B2-nacrt s parametri (4n− 1, 2n− 1, n− 1).
15
(b) Matriki H odstanimo prvo vrstico. Dobljeno matriko oznacimo s H ′′. MnozicoX naj sestavljajo stolpci matrike H ′′, vsaka vrstica i matrike H ′′ pa ustrezadvema blokoma B: v enem so stolpci, ki imajo na mestu i vrednost 1, v drugempa tisti, ki imajo na mestu i vrednost -1. Pokazite, da je B 3-nacrt s parametri(4n, 2n, n− 1).
6. Steinerjev trojcek je 2-nacrt s parametri (v, 3, 1). Pokazite, da Steinerjev trojceklahko obstaja le v primeru, ko je v ≡ 1 (mod 6) ali v ≡ 3 (mod 6).
7. Na predsedniskih volitvah v Sloveniji leta 1997 je bilo 8 kandidatov. TV se jeodlocila, da v osmih oddajah predstavi 8 kandidatov tako, da v vsaki oddaji nastopijopo trije kandidati in vsak kandidat pride trikrat na vrsto. Pripravili so razpored,pri katerem sta se dva kandidata srecala po dvakrat.
(a) Ali se da sestaviti razpored, pri katerem se vsak par kandidatov sreca natankoenkrat?
(b) Ali se da sestaviti razpored, pri katerem se vsak par kandidatov sreca najvecenkrat? Ce se to da, ga sestavite.
(b) Ali se da sestaviti razpored, pri katerem se vsak par kandidatov sreca natankoenkrat? Ce se ne da, ali lahko to dosezemo z drugim stevilom oddaj, prikaterem se v vsaki oddaji sreca enako stevilo kandidatov, ki je lahko vecje alimanjse od 3?
8. Katere od spodnjih mnozic so mnozice razlik?
(a) {2, 3, 5, 11} v Z13,
(b) {0, 1, 3, 9} v Z13,
(c) {0, 1, 3, 5} v Z13,
(d) {0, 3, 4, 9, 17, 24} v Z29.
9. Za katere x bo mnozice {1, 5, 24, 25, 27, x} mnozica razlik v Z31?
10. Pokazite naslednjo trditev.
Ce je S mnozica razlik v Zm, potem je tudi Zm − S mnozica razlik v Zm.
Poiscite tudi parametre ustreznega 2-nacrta.
11. Za katere k, 2 ≤ k ≤ 5, obstaja mnozica razlik moci k v Z7?
12. Konstruirajte 2-nacrt s parametri (7, 4, 2).
13. Naj za 2-nacrt s parametri (v, k, λ2) velja b = v. Pokazite, da je k − λ2 popolnkvadrat, ce je v sodo stevilo.
14. Naj bo A incidencna matrika 2-nacrta s parametri (v, k, λ2), za katerega velja b = v.Pokazite, da je potem tudi AT incidencna matrika nekega 2-nacrta.
16
15. Kirkmanov problem solark (1850). Petnajst solark se sprehaja vsak dan v tednu vpetih vrstah, po tri v vrsti. Njihove sprehode je treba organizirati tako, da nobenidve ne bosta hodili v isti vrsti vec kot enkrat. Predstavite problem v jeziku t-nacrtov.Sestavite tudi ustrezno razporeditev.
16. Naj bo B nacrt s parametri (v, k, λ), ki vsebuje vse k-podmnozice v-mnozice. Kolikoje λ?
17. Naj bo X mnozica. Pokazite, da
(a) imamo vsaj(n−1k−1
)k-podmnozic mnozice X, od katerih ima vsak par neprazen
presek.
(b) obstaja vsaj(
nbn2c
)podmnozic X, od katerih nobena ni podmnozice druge.
18. Prodekan za studijske zadeve bi rad dosegel, da bi vsak student ISRM izbral tocno 4izmed 7 matematicnih izbirnih predmetov. Poleg tega zeli, da vsak predmet izbereenako stevilo studentov.
(a) Oznacimo z v stevilo studentov in s k stevilo studentov pri vsakem predmetu.Kaksna je zveza med v in k?
(b) Zapisite razpored za v = 7 in k = 4.
19. Naj bo B mnozica blokov t-nacrta nad mnozico X s parametri (v, k, λt). Izberimox ∈ X in naj bo B′ mnozica blokov, ki jo dobimo iz B tako, da najprej odstranimovse bloke, ki ne vsebujejo x, nato pa se iz preostalih blokov odstranimo x. Pokazite,da je B′ (t− 1)-nacrt nad mnozico X − x in poiscite njegove parametre.
20. Naj bo B′ 2-nacrt s parametri (v′, 3, λ′2) nad mnozico X ′ in B′′ 2-nacrt s parametri(v′′, 3, λ′′2) nad mnozico X ′′. Naj bo X = X ′ ×X ′′ in B druzina vseh mnozic oblike{(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)}, za katere velja ena od naslednjih moznosti:
• x1 = x2 = x3 in {y1, y2, y3} je blok nacrta B′′;• y1 = y2 = y3 in {x1, x2, x3} je blok nacrta B′;• {x1, x2, x3} je blok nacrta B′ in {y1, y2, y3} je blok nacrta B′′.
(a) Pokazite, da je B 1-nacrt in poiscite njegove parametre (izrazite jih z v′, λ′2, v′′, λ′′2).
(b) Pokazite, da je B 2-nacrt natanko tedaj, ko je λ′2 = λ′′2 = 1. V tem primerutudi poiscite njegove parametre.
Naloge iz kolokvijev in izpitov
21. Naj bo n = 2t+ 1 in X = Zn ×Z3. V mnozici blokov B naj bodo vse podmnoziceX naslednjih dveh tipov:
{(x, 0), (x, 1), (x, 2)}, x ∈ Zn
17
in{(x, i), (y, i), ((t+ 1)(x+ y), i+ 1)}, za x 6= y iz Zn in i ∈ Z3.
Pokazite, da je B 2-nacrt in poiscite njegove parametre. Koliko blokov ima B? Vkoliko blokih je vsebovan vsak element mnozice X?
Opomba: t+ 1 je tuj z n.
22. (2. kolokvij)Elemente mnozice X = {0, 1, 2, . . . , 15} zlozimo v kvadratno matriko
A =
0 1 2 34 5 6 78 9 10 1112 13 14 15
.Za vsak x, 0 ≤ x ≤ 15, definiramo blok Bx, ki vsebuje vse elemente, ki so v istivrstici ali istem stolpcu matrike A kot x, razen x. Naj bo B = {Bx; 0 ≤ x ≤ 15}.Pokazite, da je B nacrt in poiscite njegove parametre. Ali je B tudi 2-nacrt? Ali jeB 3-nacrt? V primeru pozitivnega odgovora tudi poiscite ustrezne parametre.
23. Naj bo B nacrt nad mnozico X s parametri (v, k, λ), za katerega je b = v. Pokazite,da ima B sistem razlicnih predstavnikov.
Izberemo poljubna B ∈ B in x ∈ B. Ali ima B tudi sistem razlicnih predstavnikov,kjer je x predstavnik B?
24. Naj bo X = E(K6), v mnozici blokov B pa naj bodo vse mnozice povezav moci tri,ki sestavljajo bodisi popolno prirejanje bodisi cikel dolzine tri. Pokazite, da je Bnacrt in dolocite njegove parametre. Ali je B tudi 2-nacrt?
25. Naj bo X = E(K7), v mnozici blokov B pa naj bodo vse mnozice povezav moci pettreh tipov: (a) povezave podgrafov izomorfnih K1,5, (b) povezave ciklov dolzine 5in (c) pet povezav, ki sestavljajo trikotnik in po dve disjunktni povezavi. Pokazite,da je B nacrt in dolocite njegove parametre. Ali je B tudi 2-nacrt? Ali je B tudi3-nacrt?
26. Naj bo B′ 2-nacrt s parametri (v′, 3, λ′2) nad mnozico X ′ in B′′ 2-nacrt s parametri(v′′, 3, λ′′2) nad mnozico X ′′. Naj bo X = X ′ ×X ′′ in B druzina vseh mnozic oblike{(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)}, za katere velja ena od naslednjih moznosti:
• x1 = x2 = x3 in {y1, y2, y3} je blok nacrta B′′;• y1 = y2 = y3 in {x1, x2, x3} je blok nacrta B′;• {x1, x2, x3} je blok nacrta B′ in {y1, y2, y3} je blok nacrta B′′.
(a) Pokazite, da je B 1-nacrt in poiscite njegove parametre (izrazite jih z v′, λ′2, v′′, λ′′2).
(b) Pokazite, da je B 2-nacrt natanko tedaj, ko je λ′2 = λ′′2 = 1. V tem primerutudi poiscite njegove parametre.
18
27. Naj bo A 0/1 matrika velikosti 11× 11, za katero velja:
• v vsaki vrstici je natanko 6 enic in
• skalarni produkt poljubnih dveh vrstic je najvec 3.
Pokazite, da je A incidencna matrika 2-nacrta s parametri (11, 6, 3). Konstruirajteprimer taksnega 2-nacrta.
19
20
4. Simetrije in stetje
4.1 Grupe simetrij, orbite in stabilizatorji
1. Poiscite grupo avtomorfizmov grafa G iz spodnje slike, ki deluje na vozlisca. Nalogoresite v vec korakih (cisto vse ni potrebno za resitev naloge).
(a) Dolocite orbite vseh vozlisc pri delovanju te grupe na mnozico tock grafa G.
(b) Dolocite stabilizator enega od vozlisc (z veliko orbito).
(b) Izracunajte moc grupe avtomorfizmov grafa G.
(c) Poiscite grupo avtomorfizmov grafa G.
2. Dolocite velikost grupe avtomorfizmov grafa kocke, ki deluje na vozlisca. Nasvet:dolocite velikost orbite in stabilizatorja za enega od vozlisc.
3. Dolocite grupo rotacij pravilnega 6−kotnika v ravnini (ki deluje na ogliscih 6−kotnika).
4. Poiscite grupo simetrij kocke, ki deluje na ploskve kocke v R3(rotacijske simetrije).
Opomba: to je hkrati tudi ciklicni indeks za grupo simetrij oktaedra, ki deluje naoglisca.
4.2 Burnsidova lema
5. Na koliko nacinov lahko oznacimo ploskve kocke s puscicami (vsako od ploskev zeno puscico, ki lahko kaze v stiri razlicne smeri), ce upostevamo simetrije kocke?
21
6. Roko pri varianti pokra Texas hold’em sestavljata dve karti. Vsaka karta je dolocenaz barvo (4 barve; oznacimo jih z a, b, c, d) in vrednostjo (13 vrednosti, oznacimo jihs stevili od 1 do 13).
Dve roki sta ekvivalentni, ce dobimo eno iz druge s permutacijo barv. Na mnozicirok torej deluje grupa S4.
(a) Naj bo g = (a, b, c)(d) in x = {(a, 10), (c, 8)}. Poiscite g(x).
(b) Poiscite orbito in stabilizator elementa y = {(a, 10), (a, 9)}.(c) Izracunajte velikost orbite za z = {(a, 10), (b, 9)}.(d) Poiscite mnozico fiksnih tock za permutaciji g1 = (a, b)(c)(d) in g2 = (a, b)(c, d).
(e) S pomocjo Burnsidove leme izracunajte stevilo neekvivalentnih rok, to je steviloorbit pri delovanju grupe S4 na mnozici rok.
Opomba: to se sicer da izracunati hitreje s pomocjo osnovnih pravil prestevanja.
4.3 Ciklicni indeks, izrek Polya
7. Koliko je razlicnih ogrlic iz treh rdecih in treh modrih kroglic? Ogrlico v prostorulahko zasukamo in/ali obrnemo.
8. Koliko je razlicnih sahovnic velikosti 3 × 4, ce dve polji pobarvamo z rdeco barvo,ostala polja pa z modro barvo? Kaj pa, ce z rdeco barvo pobarvamo stiri polja?Opomba: na zadnji strani je sahovnica siva; sahovnico lahko torej zasukamo za 180stopinj, ne moremo pa je obrniti.
9. Izracunajte ciklicni indeks za grupo
(a) S2, ki deluje na mnozici {1, 2},(b) S3, ki deluje na mnozici {1, 2, 3},(c) S4, ki deluje na mnozici {1, 2, 3, 4},(d) S5, ki deluje na mnozici {1, 2, 3, 4, 5}.
10. Izracunajte ciklicni indeks najvecje podgrupe S5, ki ohranja razbitje {1, 2, 4}∪{3, 5}.
11. Poiscite ciklicni indeks za grupo simetrij spodnje risbe grafa
(a) za tocke v R3,
(b) za povezave v R3.
12. Izracunajte ciklicni indeks za grupo simetrij tetraedra, ki deluje na oglisca v R3
(rotacijske simetrije).
13. Izracunajte ciklicni indeks za grupo simetrij kocke, ki deluje na ploskve kocke v R3
(rotacijske simetrije). Opomba: to je hkrati tudi ciklicni indeks za grupo simetrijoktaedra, ki deluje na oglisca.
22
14. Na tekaskem tekmovanju vsak tekmovalec dobi oznako kvadratne oblike, ki je se-stavljena iz stirih manjsih pobarvanih kvadratov. Pri pripenjanju oznake je mogocezamenjati spodnjo in zgornjo stran, sprednjo in zadnjo stran ali oboje naenkrat.Zapisite ciklicni indeks za grupo simetrij, ki deluje na oznakah. Koliko najmanjbarv potrebujemo, da sestavimo oznake za 160 tekacev?
15. Na koliko nacinov lahko oglisca stirikotnika pobarvamo z dvema barvama? Zapisitese rodovno funkcijo za stevilo neekvivalentnih barvan stirikotnika z dvema barvama.
16. Koliko razlicnih ogrlic lahko sestavimo iz treh crnih in trinajstih belih biserov?
17. Poiscite ciklicni indeks za grupo simetrij, ki deluje na (nepobarvana) polja sahovnicevelikosti 3× 4. Koliko je razlicnih sahovnic velikosti 3× 4, ce polja barvamo z beloin crno barvo (na zadnji strani je sahovnica siva). Kaj pa, ce je natanko sest poljbelih in natanko sest polj crnih? Kaj pa, ce barvamo s tremi barvami in so stiripolja bela, stiri polja crna in stiri polja siva?
18. Koliko je razlicnih igralnih kock? Opomba: vsako ploskev oznacimo s stevilkamiod 1 do 6. Vsako stevilko uporabimo natanko enkrat, vendar ne zahtevamo, da jevsota stevilk na nasprotnih ploskvah enaka 7.
Naloge iz kolokvijev in izpitov
Naj bo A grupa avtomorfizmov, ki deluje na vozliscih grafa G iz spodnje slike.Poiscite orbite vozlisc grafa G. Poiscite se stabilizator vozlisca 1 in izracunajte mocgrupe A. S pomocjo ciklicnega indeksa grupe A nato poiscite stevilo neekvivalentnihbarvanj vozlisc grafa G z dvema barvama.
23
19. Pri igri “Krizci in krozci” igralca izmenicno izpolnjujeta tabelo velikosti 3×3 s krizciin krozci. Med dvema tabelama ne razlikujemo, ce eno dobimo iz druge z rotacijoali zrcaljenjem.
(a) Koliko je razlicnih izpolnjenih tabel (ki vsebujejo poljubno stevilo krizcev inkrozcev, skupaj 9)?
(b) Po koncu prave igra vsebuje pet krizcev in stiri krozce (pri tem ne upostevamo,da se igra konca, ko eden od igralcev dobi tri v vrsti). Koliko je razlicnihizpolnjenih tabel s petimi krizci in stirimi krozci?
Navodilo: nalogo je treba natancno utemeljiti; tocko (a) s pomocjo Burnsidove lemein tocko (b) s pomocjo izreka Polye. Drugacne resitve ne bodo stele.
20. Dve kocki zlepimo skupaj v blok, kot je prikazano na sliki spodaj. Na blok delujegrupa G simetrij bloka v prostoru (rotacije).
(a) Poiscite orbite ploskev in stabilizator ploskve 1 pri delovanju grupe G na blok.Izracunajte moc grupe G.
(b) S pomocjo ciklicnega indeksa grupe G nato poiscite stevilo neekvivalentnihbarvanj ploskev bloka z dvema barvama.
(c) Vsako od ploskev oznacimo s puscico (ki lahko kaze v stiri mozne smeri). Nakoliko neekvivalentnih nacinov lahko to storimo? Nasvet: Burnsidova lema.
21. Grupa avtomorfizmov grafa G iz spodnje slike deluje na vozlisca grafa.
(a) Dolocite orbite vseh vozlisc. Da sta dve vozlisci v isti orbiti utemeljite s tem,da zapisete ustrezen avtomorfizem. Utemeljiti je treba tudi, zakaj dve vozliscinista v isti orbiti.
(b) Dolocite stabilizator enega od vozlisc (z veliko orbito).
(c) Izracunajte moc grupe avtomorfizmov grafa G.
22. Dvostranska triomina je tabela velikosti 1 × 3 iz treh kvadratkov, ki so na vsakistrani pobarvani z eno od petih barv (rdeca, modra, zelena, bela, crna). Koliko jerazlicnih dvostranskih triomin?
23. Na koliko neekvivalentnih nacinov lahko pobarvamo ploskve pravilne 9-strane pi-ramide z rdeco, modro in zeleno barvo, ce imamo piramidi za ekvivalentni, kadarlahko spremenimo eno v drugo zgolj z rotacijo? Kaj pa, ce vsako barvo uporabimonatanko trikrat?
24
24. Ciklicni indeks grupe G, ki deluje na mnozici X, je enak
Z(G;x1, x2, x3, x4) =1
24x1
4 +1
4x1
2x2 +1
3x1x3 +
1
8x22 +
1
4x4.
Denimo, da je delovanje zvesto (le enota grupe G fiksira vse elemente mnozice X).
• Koliko elementov premore grupa G?
• Koliko elementov premore mnozica X?
• Koliko elementov reda 3 premore grupa G? Koliko elementov reda 4 premoregrupa G?
• Kateri dobro znani grupi je izomorfna grupa G?
25
26
5. Ramseyeva stevila
1. Povezave grafa K17 poljubno pobarvamo s tremi barvami. Pokazite, da vsebujemonokromaticni trikotnik.
2. Pokazite, da lahko povezave grafa K13 pobarvamo z rdeco in modro barvo tako, dagraf ne vsebuje niti rdecega trikotnika, niti modrega polnega podgrafa na 5 vozliscih.
3. Naj bosta stevili N(a− 1, b; 2) in N(a, b− 1; 2) obe sodi. Pokazite, da potem veljaneenakost
N(a, b; 2) ≤ N(a− 1, b; 2) +N(a, b− 1; 2)− 1.
4. Pokazite, da velja N(3, 4; 2) = 9.
5. Pokazite, da velja N(3, 5; 2) = 14.
6. Pokazite, da za vsako naravno stevilo m obstaja taksno naravno stevilo n, da vsakozaporedje n realnih stevil vsebuje monotono podzaporedje dolzine m.
7. Pokazite, da veljaN(3, 3, . . . , 3︸ ︷︷ ︸
k–krat
; 2) ≤ be k!c+ 1.
8. (Schurov izrek) Pokazite, da za vsako naravno stevilo k obstaja naravno stevilo n,da za vsako k-barvanje elementov mnozice {1, 2, . . . , n} obstajajo stevila x, y, z iz{1, 2, . . . , n} iste barve z lastnostjo x+ y = z.
9. Povezave grafaK5 pobarvamo z rdeco in modro barvo tako, da ni nobenega monokro-maticnega trikotnika. Pokazite, da povezave rdece barve sestavljajo cikel dolzine 5in povezave modre barve sestavljajo cikel dolzine 5.
10. Pokazite, je N(2K3, K3) = 8.
Naloge iz kolokvijev in izpitov
11. Pokazite neenakost
N(a, b, c ; 2) ≤ N(a− 1, b, c ; 2) +N(a, b− 1, c ; 2) +N(a, b, c− 1; 2)− 1.
27
12. Pokazite, da je N(P4, P4) = 5. Koliko je N(P4, C4)?
13. Naj bo m naravno stevilo.
(a) Pokazite, da ima za dovolj velik n vsaka 0/1 matrika glavno podmatriko ve-likosti m, pri kateri so vsi elementi nad diagonalo enaki.
(a) Pokazite, da ima za dovolj velik n vsaka 0/1 matrika glavno podmatriko ve-likosti m, pri kateri so vsi elementi nad diagonalo enaki in vsi elementi poddiagonalo enaki.
14. Pokazite, da je N(C3, P3) = 7.
28
6. Metricna teorija grafov
1. Naj bosta u in v vozlisci grafa Qn na razdalji k.
(a) Poiscite I(u, v) za n = 3 in k ∈ {1, 2, 3}.(b) Poiscite I(u, v) za poljuben n in poljuben k ≤ n.
2. Pokazite, da je vsak konveksen podgraf tudi izometricen. Pokazite, da obratno nires: izometricen podgraf ni nujno konveksen.
3. Pokazite, da graf G z minimalno stopnjo δ(G) ≥ 2 vsebuje pot dolzine δ(G) in cikeldolzine vsaj δ(G) + 1.
4. (Domaca naloga - tezja) Pokazite, da povezan graf G vsebuje pot dolzine vsajmin{2δ(G), |V (G)| − 1}. Nasvet: naj bo P najdaljsa pot in predpostavimo, daP ni Hamiltonova pot (sicer ze ima dolzino |V (G)| − 1). Potem ne obstaja cikel, kibi vseboval vsa vozlisca iz poti P .
5. Poiscite razdaljno particijo Petersenovega grafa
(a) glede na eno vozlisce;
(b) glede na dve vozlisci.
6. Na bo G graf z maksimalno stopnjo ∆(G) ≤ d, d ≥ 3, in radijem rad(G) ≤ k.Pokazite, da ima G najvec
d
d− 2(d− 1)k
vozlisc.
7. Oznacimo
n0(d, g) =
{1 + d
∑r−1i=0 (d− 1)i; g = 2r + 1,
2∑r−1
i=0 (d− 1)i; g = 2r.
Naj bo G graf z minimalno stopnjo d = δ(G) in ozino g. Pokazite, da potem velja
|V (G)| ≥ n0(d, g).
8. Naj bo G graf z minimalno stopnjo vsaj 3 in ozino g. Pokazite, da velja
g < 2 log2 |V (G)|.
29
9. Pokazite, da za poljuben povezan graf velja
rad(G) ≤ diam(G) ≤ 2rad(G).
10. Koliko povezav in trikotnikov ima graf iz spodnje slike? Koliko je sprehodov dolzine4 med tocko 1 in tocko v, v ∈ {2, 3, 4, 5, 6}? Sprehode prestejte na roko in njihovastevila primerjajte z ustreznimi elementi ustreznih potenc matrike sosednosti grafa.
11. Naj bo G graf s premerom d in m stevilo razlicnih lastnih vrednosti matrike sosed-nosti grafa G. Pokazite, da velja d ≤ m− 1.
12. Naj bo G graf, Q Laplaceova matrika grafa G in D incidencna matrika poljubneusmeritve grafa G.
(a) Pokazite, da velja Q = DDT .
(b) Pokazite, da je matrika Q pozitivno semidefinitna, z najmanjso lastno vred-nostjo 0 in lastnim vektorjem (1, 1, . . . , 1)T .
13. Pokazite, da povezan graf G vsebuje pot dolzine vsaj min{2δ(G), |V (G)| − 1}.
14. Naj bo G graf s premerom d in m stevilo razlicnih lastnih vrednosti matrike sosed-nosti grafa G. Pokazite, da velja d ≤ m− 1.
15. Naj bo G regularen graf s stopnjo k. Pokazite, da je k lastna vrednost A(G) zlastnim vektorjem (1, 1, . . . , 1)T in da je eckratnost lastne vrednosti k je enaka stevilupovezanih komponent grafa G.
16. Naj bo G graf in λ lastna vrednost A(G). Pokazite, da velja |λ| ≤ ∆(G).
17. Naj bo G povezan graf. Pokazite, da je ∆(G) lastna vrednost A(G) natanko tedaj,ko je G regularen.
18. Pokazite, da imata kospektralna grafa isto liho ozino.
19. Poiscite Wienerjev indeks naslednjih grafov:
(a) zvezd K1,n za n ≥ 3,
(b) poti Pn za n ≥ 2,
30
(c) ciklov Cn za n ≥ 3,
(d) koles Wn za n ≥ 4 in
(e) prizem Cn�P2 za n ≥ 3.
20. Pokazite, da ima med vsemi drevesi z n povezavami zvezdaK1,n najmanjsi Wienerjevindeks. Pokazite, da ima med vsemi drevesi z n povezavami pot Pn+1 najvecjiWienerjev indeks.
21. Naj bosta u in v vozlisci grafa Qn na razdalji k.
(a) Poiscite I(u, v) za n = 3 in k ∈ {1, 2, 3}.(b) Poiscite I(u, v) za poljuben n in poljuben k ≤ n.
22. Pokazite, da je vsak konveksen podgraf tudi izometricen. Pokazite, da obratno ni res:izometricen podgraf ni nujno konveksen (poiscite neskoncno druzino protiprimerov).
Naloge iz kolokvijev in izpitov
23. Naj bo G graf premera d, ki vsebuje vsaj en cikel. Z g oznacimo dolzino najkrajsegacikla grafa G.
(a) Pokazite, da velja g ≤ 2d+ 1.
(b) Naj za G velja enakost g = 2d+ 1. Pokazite, da je potem G regularen. Nasvet:naj bosta x in y vozlisci na razdalji d, pokazite, da imata isto stopnjo (ce stau, v soseda x, ali imata najkrajsi poti med u in y ter v in y lahko kaksno skupnonotranje vozlisce?)
24. Za poljuben graf G pokazite:
(a) Ce je premer grafa G vsaj 4, je premer grafa G najvec 2.
(a) Ce je premer grafa G vsaj 3, je premer grafa G najvec 3.
25. Pokazite, da za poljuben povezan graf velja
rad(G) ≤ diam(G) ≤ 2rad(G).
31
32
7. Namigi in resitve
1. Naj bo B nacrt s parametri (v, k, λ), ki vsebuje vse k-podmnozice v-mnozice. Kolikoje λ?
Vseh blokov je
b =
(v
k
).
Izv λ = b k
izracunamo
λ =b k
v=
(v
k
)· kv
=v! k
k!(v − k)! v=
(v − 1)!
(k − 1)!(v − k)!
=
(v − 1
k − 1
)
Oziroma, lahko sklepamo tudi takole. Naj bo x element v-mnozice. Vsak blok, kivsebuje x, je dolocen z izbiro preostalih k − 1 elementov. Le-te pa lahko izberemona(v−1k−1
)nacinov. Torej je λ =
(v−1k−1
).
33