Fermats siste teorem

Arne B. Sletsjøe

Universitetet i Oslo

3√8.198.204.823

Sir Andrew Wiles

(1954-)

Teorem (Wiles, 1993-95)

Likningen

xn + yn = zn

har ingen ikke-trivielleheltalls-løsninger for n > 2.

Pierre de Fermat

(1601/1607 - 1665)

Cubum autem in duos cubos, autquadratoquadratum in duos quadra-toquadratos et generaliter nullamin infinitum ultra quadratum potes-tatem in duos eiusdem nominis fas estdividere cuius rei demonstrationemmirabilem sane detexi. Hanc margi-nis exiguitas non caperet.

Det er umulig a dele en tredjepotens i to tredjepotenser, elleren fjerdepotens i to fjerdepotenser, eller helt generelt, en høyerepotens enn to i to ledd av samme type. Jeg har funnet et prak-tfullt bevis for dette, men margen er for liten til a romme det.

Metrodorus sier om Diophantus:

’Here lies Diophantus,’ the wonder behold.Through art algebraic, the stone tells how old:’God gave him his boyhood one-sixth of his life,One twelfth more as youth while whiskers grew rife;And then yet one-seventh ere marriage begun;In five years there came a bouncing new son.Alas, the dear child of master and sageAfter attaining half the measure of his father’s life chill fate took him.After consoling his fate by the science of numbers for four years, heended his life.’

x

6+

x

12+

x

7+ 5 +

x

2+ 4 = x gir x = 84

Teorem (Euklid)

Et hvert primitivt Pythagoreisk trippel x2 + y2 = z2 kan skrives paformen

x = p2 − q2 y = 2pq z = p2 + q2

der p og q er innbyrdes primiske positive heltall.

Eksempler:32 + 42 = 52, p = 2, q = 1

52 + 122 = 132. p = 3, q = 2

Teorem (de Fermat, ca. 1640)

Det finnes ingen rasjonale rettvinklede trekanter med areal lik etkvadrattall.

En rasjonal rettvinklet trekant er en rettvinklet trekant der allesidelengdene er rasjonale tall. Ved a multiplisere medfellesnevneren kan vi anta at alle sidekantene er heltallige.

x=3

y=4

z=5areal = 3·4

2 = 6

Bevis-ide: Anta at det finnes heltallige rettvinklede trekanter medkvadratisk areal. Velg trekanten med minst areal. Fermat viser atved a bruke PPT-teoremet, sa kan vi finne en heltallig rettvinklettrekant med ekte mindre (kvadratisk) areal. Dette gir oss enmotsigelse. Bevis-metoden kalles uendelig nedstiging og basererseg pa at det finnes et minste positivt heltall (nemlig 1).

Teorem (de Fermat, ca. 1640)

FLT er sann for n = 4.

Bevis-ide: Anta at det finnes Fermat-tripler for n = 4. Velg tripletmed minst z-verdi. Fermat viser at ved a bruke PPT-teoremet, sakan vi finne et nytt Fermat-trippel med ekte mindre z-verdi. Dettegir oss en motsigelse. (Uendelig nedstiging)

Teorem (Euler, 1772)

Dersom a2 + 3b2 = z3, hvor a og b er innbyrdes primiske, sa er a,b og z pa formen

a = p3 − 9pq2 b = 3p2q − 3q3 z = p2 + 3q2

der p og q er innbyrdes primiske positive heltall.

Nødvendig betingelse:

(p3 − 9pq2)2 + 3(3p2q − 3q3)2

= p6 − 18p4q2 + 81p2q4 + 27p4q2 − 54p2q4 + 27q6

= p6 + 9p4q2 + 27p2q4 + 27q6 = (p2 + 3q2)3

Teorem (Euler, 1772)

FLT er sann for n = 3.

Bevis-ide: Anta at det finnes Fermat-trippel x3 + y3 = z3, hvor xog y er oddetall. Vi kan da skrive x + y = 2p og x − y = 2q, somgir x = p + q og y = p − q, hvor p og q ikke har noen fellesfaktor. Anta at dette er triplet med minst z-verdi. Vi har

z3 = x3 + y3 = (p + q)3 + (p − q)3 = 2p(p2 + 3q2)

Ved a bruke forrige resultat viser Euler at vi kan finne et nyttFermat-trippel med ekte mindre z-verdi. Dette gir oss enmotsigelse. (Uendelig nedstiging)

Niels Henrik Abel

(1802 - 1827)

Foruden at jeg læser arbeider jeg ogsaaselv. Saaledes har jeg søgt at beviseUmuligheden af Ligningen an = bn + cn

i hele Tal naar n er større end 2; men jeghar jeg været hældet. Jeg har ikke kom-met videre end til indlagte Theoremer,som ere snorrige nok.

Teorem (de Fermat, 1640)

Dersom p er et primtall og a et tall som ikke er delelig med p, savil ap−1 − 1 være delelig med p.

Eksempler:

56 − 1 = 15 624 = 7 · 2 232 (a = 5, p = 7)

810 − 1 = 1 073 741 823 = 11 · 97 612 893 (a = 8, p = 11)

Teorem (Abel, 1823)

Ligningenan = bn + cn

hvor n er et Primtal er umuelig naar een eller flere af Størrelserne:

a, b, c , a + b, a + c , b − c , m√a,

m√b, m√c

ere Primtal.

Bevis-skisse med a primtall. Vi antar at n 6= 2. Observer at

an = bn + cn = (b + c)(bn−1 − bn−2c + · · ·+ cn−1)

Siden a er et primtall, sa ma b + c være delelig med a. Det girc ≡ −b (mod a) og vi far

bn−1 − bn−2c + · · ·+ cn−1 ≡ nbn−1 ≡ 0 (mod a)

Siden n er et primtall ma vi ha n = a eller b ≡ 0 (mod a). Hvis adeler b, sa vil a ogsa dele c . Men dette strider mot at a, b og cikke har noen felles faktor. Dermed far vi at n = a.

Siden n = a far vi

bn + cn ≡ b + c ≡ 0 (mod n)

Vi har ogsa at b, c ≤ n, og derfor ma vi ha b + c = n. Det gir

bn + cn = nn = (b + c)n = bn +n−1∑i=1

(n

i

)bn−ic i + cn

og summen av positive ledd

n−1∑i=1

(n

i

)bn−ic i = 0

noe som opplagt gir oss en motsigelse.

Abel daterer brevet til Holmboe:

3√

6.064.321.219

og føyer til tag Decimalbrøken med. Gjør vi det far vi

1823, 59083

Vi trekker fra 1823, og regner ut

0, 59083 ∗ 365 = 215, 65

Dag nr. 216 i aret 1823 er 4. august, som antas a være datoenAbel har datert brevet.

Sophie Germain

(1776 - 1831)

Teorem (Germain, 1823)

La n være et odde primtall. Anta at detfinnes et annet primtall p slik at

(1) hvis xn + yn + zn er delelig med p,sa er en av x , y eller z delelig medp

(2) xn − n er ikke delelig med p

Da er Tilfelle I av FLT sann for n.Tilfelle I av FLT er nar ingen av de tretallene x , y og z delelig med n.

La n = 7. Restene av 07, 17, 27, . . . , 287 nar vi deler med 29 erbegrenset til 0, 1, 12, 17 og 28. Dersom summen av tre slike7-potenser skal bli delelig med 29, sa ma minst en av dem væredelelig med 29. (sum av tre av 1, 12, 17 og 28 gir oss tallene 1, 3,4, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 17, 19, 22, 23, 25, 26, 28, men ikke 29,addisjon skjer modulo 29).I tillegg vil xn − n gi oss rester 1-7=23 (!), 12-7=5, 17-7=10 og28-7=21, ingen av dem er 0.Dermed er betingelsene i Germains teorem oppfyllt og FLT, TilfelleI er sann for n = 7.

Gabriel Lame (1795-1870)

Joseph Liouville (1809-1882)

Augustin Louis Cauchy(1787-1859)

Ernst Kummer (1810-1893)

La r være et kompleks tall slik at rn = 1. Da kan vi skrive

xn + yn = (x + y)(x + ry)(x + r2y) . . . (x + rn−1y)

Ide: Vi kan drive med aritmetikk i Z[r ], dvs. finne primfaktorer,sjekke om vi har entydig faktorisering, etc. Dersom det er tilfellet,og zn = xn + yn, sa kan vi konkludere med at alle faktorenex + r jy er n-te-potenser, for sa a bruke uendelig nedstiging til avise at vi ikke kan ha noen løsninger.

Definisjon

Et odde primtall p sies a være regulært dersom det ikke delerklasse-tallet til den syklotome kroppsutvidelsen Q( p

√1).

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61,

71, 73, 79, 83, 89, 97, . . . regulære primtall < 100

37, 59, 67, . . . irregulære primtall < 100

Definisjon

Et odde primtall p sies a være regulært dersom det ikke delerklasse-tallet til den syklotome kroppsutvidelsen Q( p

√1).

Teorem (Kummer, 1846)

Dersom x , y , z og n er positve heltall med n et regulært oddeprimtall, sa har ikke Fermat-likningen

xn + yn = zn

noen ikke-trivielle løsninger.

Niels Henrik Abel

(1802 - 1827)

Den lille Afhandling som Du erindrerhandlede om de omvendte Functioneraf Transcendantes elliptiqves, og hvorijeg havde beviist noget umueligt harjeg bedet ham læse igjennom;men hankunde ikke opdage nogen Feilslutning,eller begribe hvori Feilen stak; Gud veedhvorledes jeg skal komme ud deraf.

Yutaka Taniyama (1927-1958)

Goro Shimura (1928-)

Formodning(Taniyama-Shimura, 1955-57)

Elliptiske kurver er modulære.

E = {(x , y) ∈ R2 | y2+y = x3−x2}

Gerhard Frey (1944-)

Ken Ribet (1948-)

En løsning

an + bn = cn

av Fermats llikning gir opphav tilen elliptisk kurve

y2 = x(x − an)(x + bn)

(Frey-kurven)

Teorem (Ribet, 1986)

Frey-kurven er ikke modulær.

- En tenkt løsning av Fermats likning gir opphav til en elliptiskkurve, Frey-kurven

- Frey-kurven er ikke modulær

- Alle elliptiske kurver er modulære

Formodning (de Fermat, 1637)

Likningenxn + yn = zn

har ingen ikke-trivielle heltalls-løsninger for n > 2.

- En tenkt løsning av Fermats likning gir opphav til en elliptiskkurve, Frey-kurven

- Frey-kurven er ikke modulær

- Alle elliptiske kurver er modulære

Teorem (Frey, Ribet, Taylor, Wiles, 1993-95)

Likningenxn + yn = zn

har ingen ikke-trivielle heltalls-løsninger for n > 2.

18. mai 2015 kl 11:00 Kunnskapsministeren overrekkerHolmboeprisen til Ingunn Valbekmo, Aulaen, Oslo katedralskole

18. mai 2015 kl 17:00 Kransenedlegging ved Abelmonumentet,Slottsparken, Oslo

19. mai 2015 kl 14:00 Abelprisutdeling i Universitetets Aula,Universitetets Aula, Oslo

20. mai 2015 kl 10:00 Abelforelesningene 2015, Georg SverdrupsHus, Universitetet i Oslo