attapl 輪講 ( 第４回 ) 続 dependent types
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ATTAPL 輪講 ( 第４回 ) 続 Dependent Types. 2006/06/21 稲葉 一浩. 今日の内容. Dependent Types と多相型 Calculus of Construction (2.6) λ-cube (2.7) Dependent Types を使ったプログラミング DML (2.8). Calculus of Construction (CC). λLF の拡張. t::= x | λx:T.t | t t | all x:T.t - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
ATTAPL 輪講 ( 第４回 ) 続 Dependent Types
2006/06/21
稲葉 一浩
今日の内容
ه Dependent Types と多相型ه Calculus of Construction (2.6)ه λ-cube (2.7)
ه Dependent Types を使ったプログラミングه DML (2.8)
Calculus of Construction (CC)
ه λLF の拡張t ::= x | λx:T.t | t t | all x:T.tT ::= X | Πx:T.T | T t | Prop | PrfK ::= * | Πx:T.K
Γ├ Prop :: *Γ├ Prf :: Πx:Prop.*
Γ├ T :: * Γ,x:T ├ t : Prop Γ├ all x:T.t : Prop
Γ├ T :: * Γ,x:T ├ t : Prop________ Γ├ Prf(all x:T.t) ≡ Πx:T.(Prf t) :: *
Calculus of Construction (CC)
ه おおまかな気持ちه 型 Prop を持つ term とは
命題ىデータ型ى
ه 型 Prf p を持つ term とは命題 p の証明ىデータ型 p のメンバى
例
ه 自然数のエンコーディングه zero = λz.λs.z : X. (X→(X→X)→X)∀ه one = λz.λs. s z : X. (X→(X→X)→X)∀ه succ = λm.λz.λs. s (m s z) : 略
ه 自然数というデータ型を項 nat として表現ه nat : Prop
all a:Prop. all z:Prf a. all s:Prf a→Prf a. aىه Prf nat
≡ Πa:Prop. Πz:Prf a Πs:Prf a→Prf a. Prf a
例
ه Prf nat 型をもつ項ه zero : Prf nat
λa:Prop. λz:Prf a. λs:Prf a→Prf a. zى
ه succ : Prf nat → Prf nat.λn:Prf nat. λa:Propى
λz:Prf a. λs:Prf a→Prf a. s (n a z s)
CC のできることه さまざまな Abstraction
ه λx:T. t 項に依存する項 λ→ふつうのى λ 抽象
ه Πx:T. T 項に依存する型 λLFDependent Typesى
ه ΛX::*.t 型に依存する項 Fه ∀X::*.T 型に依存する型 F
∀多相型 id = ΛX::*.λx:X. x : X.X→Xىه ΛX::K. t 高階の型に依存する項 Fωه ∀X::K. T 高階の型に依存する型 Fω
高階の多相型ى
λx:Prop→Prop. t 等
all x:Prop. T
λx:Prop. t
all x:Prop→Prop. T 等
論理結合子と推論規則の表現
ه and = λp:Prop. λq:Prop. all a:Prop. all pair:Prf p→Prf q→Prf a. a
ه left : Prf(and p q) → Prf(p)ه λx:Prf(and p q). (x p) (λa.λb.a)
ه right: Prf(and p q) → Prf(q)ه λx:Prf(and p q). (x q) (λa.λb.b)
論理結合子と推論規則の表現
ه eq = λa:Prop. λx:Prf a. λy:Prf a. all p:Prf a→Prop. all h:Prf (p x). p y
ه eqRefl : Πa:Prop. Πx:Prf a. Prf (eq a x x)ه λa:Prop. λx:Prf a. λp:Prf a→Prop. λh:Prf(p x). h
ه eqSym : Πa:Prop. Πx:Prf a. Πy:Prf a. Prf (eq a x y) → Prf (eq a y x)
ه eqRefl : 略
いろいろ
ه Algorithmic Typingه 67 ページ
ه Strong Normalization of Well-Typed Termsه Fω に帰着して証明するなど
ه CC + Sigma Typesه T ::= ... | Σx:S.T
」 ×ى ex y:T.t : Prop 」 「 Prf(ex y:T.t) ≡ Σy:T.Prf t 」」 ○ى σy:Prf s.t : Prop 」 「 Prf(σy:Prf s.t)≡Σy:Prf s.Prf t 」
Calculus of Inductive Construction
ه さっきのやり方では、「数学的帰納法」が「証明」できないه 以下の型をもつ term natInd が構成できな
い
ه natInd : Πp:Prf nat→Prop. Prf (p zero) →Πx:Prf nat. (Prf (p x) → Prf (p succ(x)) →Πx:Prf nat. Prf (p x)
CIC
ه プリミティブとして、帰納法を表す term を追加ه nat:Prop
zero : Prf natىى succ : Prf nat → Prf nat
ه natInd : Πp:Prf nat→Prop. Prf (p zero) →Πx:Prf nat. (Prf (p x) → Prf (p succ(x)) →Πx:Prf nat. Prf (p x)
ه natInd p hz hs zero ≡ hzه natInd p hz hs (succ n) ≡ hs n (nadInt p hz hs n)
自動的に宣言
CIC
ه 任意の帰納的な Prop に対しても同様ه list : Prop
nil: Prf list cons: Prf nat → Prf list → Prf list
ه listInd : Πp:Prf list→Prop. Prf (p nil) → Πx:Prf nat. Πy:Prf list. (Prf (p y) → Prf (p (cons x y)) →Πx:Prf list. Prf (p x)
ه listInd p hn hc nil ≡ hn
ه listInd p hn hc (cons x y) ≡hc x (listInd p hn hc y)
自動的に宣言
注： 帰納法と再帰関数
ه Strong Normalization を保証する言語では、任意の再帰関数は定義できない（停止しない可能性があるため）
ه CIC では、 Induction term を使ってある程度の再帰関数は記述できる
Coq (Barras et al., 1997)
ه CIC に基づくه T ::= .. | Prop | Setه CC の Prop を「 Prop 」と「 Set 」に分割
命題として使うところではى Prop
データ型として使うところではى Set を使うあとでى Prop 部分を除いて Set 部分だけ残した
プログラムを抽出すると、普通の関数型言語のプログラムが抽出できる
λ-cube
ه さまざまな Abstraction
F
λ→
Fω CC
λP
・
・
Pure Type Systems
t ::= s | x| λx:t.t | t t | Πx:t.ts ::= * | □
Γ├ ＊：□ x:t ∈ Γ Γ├ x:t
Γ├ S : * Γ,x:S├ t:T Γ├λx:S.t : Πx:S.T
Γ├t1 :Πx:S.T Γ├t2:S Γ├t1 t2 : [x→t2]T
Γ├t:T T≡S Γ├S:s Γ├ t: S
Γ├ S : si Γ,x:S ├ T : sj Γ├Πx:S.T : sj
where (si, sj) ∈ {(*,*)} λ←
{(*,*) (*,□)} λP {(*,*) (□, *)} F {(*,*) (□, *), (□,□)} Fω {(*,*) (*,□) (□, *), (□,□)} CC
今日の内容
ه Dependent Types と多相型ه Calculus of Construction (2.6)ه λ-cube (2.7)
ه Dependent Types を使ったプログラミングه DML (2.8)
Dependent Types を導入した言語
ه 古くはه Pebble (Lampson and Burstall, 1988)
ه Quest(Cardelli and Longo, 1991)
ه 最近ではه Cayenne (Augustsson, 1998)
Haskell ベースى
ه Dependent ML (Xi and Pfenning, 1998)SML ベースىCaml ベースの実装 (de Caml) もありى
問題点と解決策ه Dependent Types の型チェックは term の equality 検査が必要ه 一般の言語では、 term の reduction は止まらないことがあるه 停止性は決定不能
ه Cayenneه 任意の term への依存を許すه 十分長い時間走らせて計算が止まらなければ型エラー
ه Dependent MLه 依存できる term を制限して、
効率的に equality を決定可能な範囲に限る
Dependent ML (Simplified)
ه 依存できる term を、整数の線形な部分集合に限る
I ::= int | {x:I | P}P ::= P ∧ P | i≦i
i ::= x | q | qi | i + i (q∈Z)t ::= x | λx:I.t | λx:T.t | t[i] | t t
T ::= X | Πx:I.T | T→T
Dependent ML 例
ه append
ه brake