aula 07

Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis

Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

Aula 07



II.1. Introdução

II.2. Tração e Compressão de Barras

II.3. Flexão Pura de Barras

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura





xddz

ydzdw z com varia:

dwdzAA'

xx yddzdyAA'

xdydw dz

dθy

dz

dw xz

Supondo :0 e 0 yx MM

dz

dEyE x

z

zLogo,

dz

z

x

y

AxM

M M

dz

(variável) dw

eixo da barra

A A’dz

dx

y




0 0 A

x

A z dAdz

dEydAN

0 0 A

x

A zy dAdz

dExydAxM

O eixo de flexão x é central

Os eixos x e y são principais

eixo da barra

A A’dz

dx

y

dz

z

x

y

AxM

M M

dz

(variável) dw

0 0 xASydA

0 0 xyAIxydA






Flexão Reta:

eixo da barra

A A’dz

dx

y

dz

z

x

y

AxM

M M

dz

(variável) dw

O momento resultante M = Mx atua segundo um eixo principal






A

xxA zx dA

dz

dEyMdAyM

2

, Como z dz

dEy x

x

x

I

yMz

x

x

EI

yMz

eixo da barra

A A’dz

dx

y

dz

z

x

y

AxM

M M

dz

(variável) dw

x

xxx

xxA

xx EI

M

dz

dI

dz

dEMdAy

dz

dEM

2






dz

xM

zy

z

eixo da barra

A A’dz

dx

y

z

x

SN: Superfície Neutra

LN: Linha Neutra

dz

z

x

y

AxM

M M

dz

(variável) dw

x

x

I

yMz

x

x

EI

yMz

LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas.

As tensões variam linearmente com y.

De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão






x

x

I

yMz

Resumindo:

0 0 xA z SdAN

0y Equação da LN

0A zy dAxM

dAyMA zx

Flexão Reta (os eixos x e y são principais)

x

x

EI

yMz

dz

z

x

y

AxM

M M

dz

(variável) dw

0 xyI






xdzdw z com varia:

eixo da barra

A A’dz

dy

xdz

dθx

dz

dw yz

dz

dExE y

z

z

M M

dz

(variável) dwAnalogamente,

dz

z

x

y

A

yMII.3. Flexão Pura de Barras





dz

z

x

y

A

yM

M M

dz

(variável) dw

0 0 A

y

A z dAdz

dExdAN

0 0 A

y

A zx dAdz

dExydAyM

O eixo de flexão y é central

Os eixos x e y são principais

0 0 yASxdA

0 0 xyAIxydA eixo da barra

A A’dz

dy

x






dz

z

x

y

A

yM

M M

dz

(variável) dwFlexão Reta:

O momento resultante M = My atua segundo um eixo principal

dAxMA zy

y

y

I

xMz

y

y

EI

xMz

eixo da barra

A A’dz

dy

x






dz

z

x

y

A

yM

M M

dz

(variável) dw

eixo da barra

A A’dz

dy

x

y

y

I

xMz

y

y

EI

xMz

LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas.

As tensões variam linearmente com x.

De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão

dz

yM

zx

zz

y

SN: Superfície Neutra

LN: Linha Neutra






dz

z

x

y

A

yM

M M

dz

(variável) dw

y

y

I

xMz

Resumindo:

0 0 yA z SdAN

0x Equação da LN

0A zx dAyM

dAxMA zy

Flexão Reta (os eixos x e y são principais)

y

y

EI

xMz

0 xyI






Se o eixo de flexão não é um eixo principal, obtém-se, do PSE,

22yx MMM y

y

x

x

I

xM

I

yMz

As tensões e as deformações variam linearmente com x e com yy

y

x

x

EI

xM

EI

yMz

y

y

x

xy EI

xM

EI

yM x

M M

dz

(variável) dw

dz

z

x

y

A

M






22yx MMM

M M

dz

(variável) dw

dz

z

x

y

A

M

Flexão Oblíqua:

O momento resultante M não atua segundo um eixo principal






Equação da LN:

22yx MMM

0zy

y

x

x

I

xM

I

yM xM

M

I

Iy

x

y

y

x

,sen e cos Se MMMM yx

x

y M

xI

Iy

y

x

tan ou xy tan

LN

A LN não coincide necessariamente com o eixo de flexão

M M

dz

(variável) dw

dz

z

x

y

A

M






Tensões Máximas:

22yx MMM

x

y M

LN

y

y

x

x

I

xM

I

yMz é a equação de um plano que

intercepta a seção na LN.

Logo, as máximas tensões na seção ocorrerão nos pontos mais afastados da LN: A e B A

B

xAyA

xB

yB

tA xx

tA yy cB xx

cB yy

M M

dz

(variável) dw

dz

z

x

y

A

M






Tensões Máximas:

22yx MMM

yt

y

xt

x

y

ty

x

txTmáx W

M

W

M

I

xM

I

yM

LN

yc

y

xc

x

y

cy

x

cxCmáx W

M

W

M

I

xM

I

yM onde

t

xxt y

IW

t

yyt x

IW

c

yyc x

IW

c

xxc y

IW x

y M

LN

A

B

xAyA

xB

yB

M M

dz

(variável) dw

dz

z

x

y

A

M






22yx MMM

LN

yt

y

xt

xTmáx W

M

W

M

yc

y

xc

xCmáx W

M

W

M

y

y

x

x

EI

xM

EI

yMz

y

y

x

xy EI

xM

EI

yM x

W [cm3]: Módulos de Resistência à Flexão da Barra

EI [kN.cm2]: Módulos de Rigidez à Flexão da Barra

x

y M

LN

A

B

xAyA

xB

yB

M M

dz

(variável) dw

dz

z

x

y

A

M






22yx MMM

LNx

y M

LN

A

B

xAyA

xB

yB

M M

dz

(variável) dw

dz

z

x

y

A

M

,sen e cos Se MMMM yx

tytxtyt

y

xt

xTmáx W

M

WWM

W

M

W

M

sencos

cycxcyc

y

xc

xCmáx W

M

WWM

W

M

W

M

sencos

onde ctiWWW yixii , ,sencos1





Cálculo dos Deslocamentos


xddz

eixo da barra

A A’dz

dx

y 23

21

1

v

v

Da Geometria Analítica, dz

z

x

y

AxM

M M

dz

(variável) dw

(equação da curvatura)

xM

S

v

vx

z

x

xx

EI

M

dz

d

1


:0 e 0 yx MM




xddz

23

21

1

v

v

Da Geometria Analítica, dz

z

x

y

AxM

M M

dz

(variável) dwx

xx

EI

M

dz

d

1

(equação da curvatura)

xM

S

vz

vx

Como 1x(hipótese das pequenas deformações),

x

x

EI

M

dz

vdv

12

2



:0 e 0 yx MM




dz

z

x

y

AxM

M M

dz

(variável) dwx

x

EI

M

dz

vd

2

2

Equação Diferencial da Linha Elástica (LE)

Integrando esta equação,

1 CdzEI

M

dz

dv

x

xx (expressão da rotação)

21 CzCdzEI

Mv

x

x (expressão da flecha)



:0 e 0 yx MM




dz

z

x

y

AxM

M M

dz

(variável) dw

1 CdzEI

M

x

xx

21 CzCdzEI

Mv

x

x As constantes de integração são determinadas a partir de:

a) condições de apoio;

b) condições de continuidade da LE

Observação importante:Não se deve utilizar condições relacionadas ao carregamento; não são gerais para a viga e sim particulares para aquele carregamento específico.



:0 e 0 yx MM




dz

z

x

y

AxM

M M

dz

(variável) dw

1 CdzEI

M

x

xx

21 CzCdzEI

Mv

x

x

2

22z

qz

qLM x

Exemplos:q

L

S

za)

2qL2qL Condições de apoio:e 0 ,0 em vz. 0 , em vLz

Substituindo-se a expressão de Mx e as condições de apoio nas expressões da rotação e da flecha, determina-se C1 e C2.



:0 e 0 yx MM




dz

z

x

y

AxM

M M

dz

(variável) dw

Exemplos:

20 ,21

LzzP

MSx

P

2L

1S

zb)

2P2P

2S

2Lz

LzLPL

zP

MSx 2 ,

222e

11

1 Cdz

EI

M

x

x

xS

S

211

1 CzCdz

EI

Mv

x

x

SS

32

2 Cdz

EI

M

x

x

xS

S

432

2 CzCdz

EI

Mv

x

x

SS



:0 e 0 yx MM




dz

z

x

y

AxM

M M

dz

(variável) dw

Exemplos:P

2L

1S

zb)

2P2P

2S

2Lz

Condições de apoio:e 0 ,0 em vz. 0 , em vLz

Substituindo-se a expressão de Mx e as condições de apoio nas expressões da rotação e da flecha, determina-se C1, C2, C3 e C4.

Condições de continuidade da LE:e ,2 em

21Sx SxLz . ,2 em

21 SS vvLz



:0 e 0 yx MM




M M

dz

(variável) dwy

y

EI

M

dz

ud

2

2

Equação Diferencial da Linha Elástica (LE)

Integrando esta equação,

1 CdzEI

M

dz

du

y

yy (expressão da rotação)

21 CzCdzEI

Mu

y

y (expressão da flecha)

dz

z

x

y

A

yMCálculo dos Deslocamentos


:0 e 0 yx MM




M M

dz

(variável) dwy

y

EI

M

dz

ud

2

2

dz

duy

22yx

dz

z

x

y

A

M

x

x

EI

M

dz

vd

2

2

dz

dvx

22 vu

(expressão da rotação)

(expressão da flecha)



:0 e 0 yx MM




Convenção de Sinais: zq

zVy

zM x

zdVzV yy

zdMzM xx

dz

0v0x






Analogia de Mohr:

2

2

dz

Mdq x

x

x

EI

M

dz

vd

2

2

equação diferencial da LE

equação fundamental da Estática

Viga Real: Viga Conjugada:

x

x

EI

M

dz

vd

2

2

qdz

Md x 2

2

viga real viga conjugada

v xM

xdzdv yx VdzMd

xx EIM q





Analogia de Mohr:


A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE)

viga real: 0x 0x

0yVviga conjugada:

0xM

q

xx EIM

viga conjugadaviga real

v xM

xdzdv yx VdzMd

xx EIM qq

0x0v0v 0v

0xM0yV

0x0v

0yV0xM

0yV0xM

xx EIM






viga real: 0x 0x

0yVviga conjugada:

0xM

q


v xM

xdzdv yx VdzMd

xx EIM q

0v 0v

0xM

diry

esqy VV

dirx

esqx

0v

0yV0xM

xx EIM

Analogia de Mohr:A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE)






viga real: 0x 0x

0yVviga conjugada:

dirx

esqx MM


v xM

xdzdv yx VdzMd

xx EIM q

0v 0v

0xM

diry

esqy VV

dirx

esqx

diresq vv

0yV0xM

xx EIM

q







viga real: 0x 0x

0yVviga conjugada:

0xM


v xM

xdzdv yx VdzMd

xx EIM q

0v 0v

0xM

diry

esqy VV

dirx

esqx

0v

0yV0xM

xx EIM

q






M M

dz

(variável) dw

dz

z

x

y

A

MProjeto de Barras Submetidas ao Momento Fletor


R

limd

Resistência e Estabilidade: onde

lim

R

d é a máxima tensão de cálculo

é a tensão limite (função do estado limite considerado) e

é o coeficiente de resistência

R

Tlim

t

dTmáxdd W

M

,

R

Clim

c

dCmáxdd W

M

,

RTlimtd WM

RClimcd WM

e




limyx 22

limvu 22


Projeto de Barras Submetidas ao Momento Fletor

M M

dz

(variável) dw

dz

z

x

y

A

M

Rigidez: e/ou

onde

é a rotação limite elim

é a flecha limitelim

Ex:q

L 2qL2qL300384

5 4 L

EI

qLv

xmáx

máxv

3256,0

L

EIq x




Fim da Aula 07

aula 07

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