automática. capítulo 4. respuesta de régimen transitorio · 2017-05-18 · rampa. además, es...

DepartamentodeTecnologíaElectrónicaeIngenieríadeSistemasyAutomáca

JoséRamónLlataGarcíaEstherGonzálezSarabiaDámasoFernándezPérezCarlosTorreFerrero

MaríaSandraRoblaGómez

Capítulo4.RespuestadeRégimenTransitorio

Automáca

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/

Respuesta de Régimen Transitorio

4 Respuesta de Régimen Transitorio

4.1. INTRODUCCIÓN

Como se ha indicado previamente, la respuesta de un sistema dinámico estable, ante una señal de entrada limitada en amplitud, presenta dos zonas claramente diferentes. El capítulo anterior se enfocaba hacia la primera de ellas, el régimen permanente. Esto es, la zona de la respuesta en la que las señales se han estabilizado, de forma que toman valores constantes o crecimientos sostenidos. Este capítulo, por el contrario, se centra en la zona inmediatamente posterior a la introducción de la señal de entrada y donde, debido a esta entrada, se producirá una evolución de las diferentes señales del sistema hasta un nuevo estado. A esta zona se la denomina como "régimen transitorio" o "régimen dinámico".

Con objeto de comparar las características de los diferentes sistemas de control, se analiza el comportamiento de éstos ante señales típicas de prueba, tales como impulso, escalón y rampa. Además, es importante señalar que, básicamente, la respuesta de todos los sistemas dinámicos lineales puede dividirse en tres grandes grupos: sistemas de primer orden, sistemas de segundo orden y sistemas de orden superior, y que este último se puede obtener como agregación de los dos anteriores.

1

Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.

4.2. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

La función de transferencia de un sistema de primer orden tiene la forma siguiente:

1Ts

K)s(G

Donde: T: Constante de tiempo del sistema. K: Ganancia del sistema en estado estacionario.

4.2.1. Respuesta al impulso:

T1sT

K·

1Ts

K)s()·s(G)s(Y

T

t

eT

K)t(y

Valor inicial: T

Ke

T

K)0(y 0

Valor final: 0eT

K)(y

4.2.2. Respuesta al escalón unitario:

)T1s(s

T1

Ks

1

1Ts

K)s(U)·s(G)s(Y

Tiempo

Respuesta al impulso

0 T 2T 3T 4T 5T0

K/T

2


T1s

1

s

1K)s(Y

Tomando transformadas inversas de Laplace se tendrá:

T

t

e1K)t(y

Valor inicial: 0)e1(K)0(y 0

Valor final: K)e1(K)(y

Cuando t=T se alcanza el 63.2% del valor final de la respuesta:

K632.0)e1(K)T(y 1

Luego cuanto menor sea la constante de tiempo del sistema T, más rápido es el sistema.

4.2.3. Respuesta a la rampa.

)T1s(s

T1

Ks

1

1Ts

K)s(R)·s(G)s(Y

22

T1s

T

s

T

s

1K)s(Y

2

Tiempo

Respuesta al escalón

0 T 2T 3T 4T 5T

K

3


Tomando transformadas inversas de Laplace se tendrá:

T

t

TeTtK)t(y

EJEMPLO 4.1.

A un sistema cuya función de transferencia de lazo cerrado es M s)s

( 1

1 se le aplica una

entrada como la de la figura:

Calcular y dibujar, de forma aproximada, la salida.

En t=0 sea aplica una entrada escalón unitario:

s

1)s(R1)t(r

Tiempo

Respuesta a la rampa

0 T 2T 3T 4T0

4


)1s(s

1)s(Y

1s

1

)s(R

)s(Y)s(M

te1)t(y

Para t= 1 segundo: y e( ) .1 1 0 6321

En t= 1 segundo la entrada es de un escalón de amplitud -2:

s

2)s(R2)t(r

1s

B

s

A

)1s(s

2)s(Y

2B2A

te12)t(y

Para t = 2 segundos: y e( ) . .2 0 632 2 1 0 6321

En t = 2 segundos la entrada es un escalón de amplitud +2:

s

2)s(R2)t(r

te12)t(y

Para t = 3 segundos: 632.0e12632.0)3(y 1

0 1 2 3 4 5

-1

-0.632

0

0.632

1

5


4.3. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Forma canónica de un sistema de segundo orden:

n2

n2

n2

wsw2s

w)s(G

Ecuación característica:

0wsw2s n2

n2

1wws 2nn2,1

2nn2,1 1jwws

Frecuencia natural amortiguada: 2

nd 1ww

dn2,1 jwws

4.3.1. Sistema no amortiguado ( 0 )

Formado por dos polos imaginarios puros:

n2,1 jws

jw

Re

2n

2

n2

nn

n2

ws

w

)jws)(jws(

w)s(G

Respuesta a un escalón unidad:

s)ws(

w)s(Y

2n

2

n2

2n

2 ws

NMs

s

A)s(Y

6


A=1; M=-1; N=0

2n

2 ws

s

s

1)s(Y

)tW(Cos1)t(y n

EJEMPLO 4.2.

Para el sistema mostrado en la figura obtener la respuesta ante un escalón unitario.

L

C

R

i VoVi

Suponiendo: 0R y F1C ;Hr1L

n2

n2

n2

i

0

wsw2s

w

)s(V

)s(V

LC1wn ; L4CR

Suponiendo: 0R y F1C ;Hr1L

1wn ; 0

1s

1

)s(V

)s(V2

i

0

;

1s

s

s

1

s)1s(

1)s(V

220

)t(Cos1)t(vo

7


EJEMPLO 4.3.

Calcular la respuesta del sistema ante un escalón unitario suponiendo:

)s/m/(N0f y m/N1k ;Kg25.0M .

k F

x

Mf

n2

n2

n2

wsw2s

wC

)s(F

)s(X

Mkwn ; k4Mf ; k/1C

2wn ; 0 ; 1C

4s

4

)s(F

)s(X2

Escalón unitario: s

1)s(F

4s

s

s

1

s)4s(

4)s(X

22

)t2(Cos1)t(vo

8


4.3.2. Sistema subamortiguado ( 10 )

Formado por dos polos complejos conjugados.

2nn2,1 1jwws

n1 ws ;

21

arctg

jw

Rewn wd

s1

s2

)arccos(


s)wsw2s(

w)s(Y

n2

n2

n2

twsene1

11)t(y d

tw

2n

twsene1

11)t(y d

tw

2n

1- e-w tn

21-

1+ e-w tn

21-

1+21-

1

1-21-

1

9


EJEMPLO 4.4.

Calcular la respuesta del sistema de la figura al escalón unitario suponiendo:

6.0R y F1C ;Hr1L

L

C

R

i VoVi

n2

n2

n2

i

0

wsw2s

w

)s(V

)s(V

LC1wn ; L4CR

1wn ; 3.0

1s6.0s

1

)s(V

)s(V2

i

0

Escaló unitario: s

1)s(Vi

s)1s6.0s(

1)s(V

20

54.72t954.0sene3.01

11)t(v t3.0

20

10


EJEMPLO 4.5.

Calcular la respuesta del sistema de la figura ante un escalón unitario suponiendo:

)s/m/(N125.0f y m/N1k ;Kg25.0M

k F

x

Mf

n2

n2

n2

wsw2s

wC

)s(F

)s(X

Mkwn ; )Mk2(f ; k/1C

2wn ; 125.0 ; 1C

4s5.0s

4

)s(F

)s(X2


1)s(F

s)4s5.0s(

4)s(X

2

81.82t98.1sene125.01

11)t(x t25.0

2

11


4.3.3. Sistema con amortiguamiento crítico ( 1 )

Formado por un polo real doble.

n2,1 ws

jw

Res1s2

2n

n2

nn

n2

)ws(

w

)ws)(ws(

w)s(G


s)ws(

w)s(Y

2n

n2

)ws(

C

)ws(

B

s

A)s(Y

n2

n

1C ;wB 1;A n

)ws(

11

)ws(

w

s

1)s(Y

n2

n

n

twtwn

nn ee tw1)t(y

twn

ne)tw1(1)t(y

12


EJEMPLO 4.6.


2R y F1C ;Hr1L

L

C

R

i VoVi

n2

n2

n2

i

0

wsw2s

w

)s(V

)s(V

LC1wn ; L4CR

1wn ; 1

2i

0

1s

1

)s(V

)s(V


1)s(Vi

s1s

1)s(V

20

t0 e)t1(1)t(v

13


EJEMPLO 4.7.


)s/m/(N1f y m/N1k ;Kg25.0M

k F

x

Mf

n2

n2

n2

wsw2s

wC

)s(F

)s(X


2wn ; 1 ; 1C

24s

4

)s(F

)s(X

Entrada escalón: s

1)s(F

s4s

4)s(X

2

t2e)t21(1)t(x

14


4.3.4. Sistema sobreamortiguado ( 1 )

Formado por dos polo reales.

2nn2,1 1jwws

1wws 2nn2,1

jw

Res1 s2

)ss)(ss(

w)s(G

21

n2


s)ss)(ss(

w)s(Y

21

n2

2

ts

1

ts

2

n

s

e

s

e

12

w1)t(y

21

Si >>1 21 ss

)ss(

s)s(G

2

2

;

)ss(s

s)s(Y

2

2

ts2e1)t(y

15


EJEMPLO 4.8.

Calcular la respuesta del sistema ante un escalón unitario suponiendo:

4R y F1C ;Hr1L

L

C

R

i VoVi

n2

n2

n2

i

0

wsw2s

w

)s(V

)s(V

LC1wn ; L4CR

1wn ; 2

)26.0s)(73.3s(

1

1s4s

1

)s(V

)s(V2

i

0

Entrada escalón unitario: s

1)s(Vi

s)26.0s)(73.3s(

1)s(V0

t26.0t73.30 e07.1e0773.01)t(v

t26.00 e1)t(v

16


EJEMPLO 4.9.

Calcular la respuesta del sistema mostrado en la figura suponiendo:

)s/m/(N4f y m/N1k ;Kg25.0M

k F

x

Mf

n2

n2

n2

wsw2s

wC

)s(F

)s(X


2wn ; 4 ; 1C

)25.0s)(74.15s(

4

4s16s

4

)s(V

)s(V2

i

0

s)25.0s)(74.15s(

4)s(V0

t254.0t74.150 e01.1e0163.01)t(v

t254.00 e1)t(v

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4.3.5. Especificaciones de la respuesta transitoria

Las características de la respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón unitario son:

- Tiempo de retardo td: Tiempo necesario para alcanzar el 50% del valor final de la respuesta.

- Tiempo de subida tr : Tiempo necesario para que la respuesta pase del 0 al 100%, del 10 al 90%, o del 5 al 95% del valor final. Para sistemas sobreamortiguados suele usarse del 10 al 90%. Para sistemas subamortiguados del 0 al 100%.

drt

- Tiempo de pico tp: Tiempo necesario para que la respuesta alcance el valor máximo.

dpt

- Tiempo de establecimiento ts : Tiempo necesario para que la respuesta se estabilice dentro de un margen del 2 al 5% del

valor final.

nst

- Máximo sobreimpulso Mp: Valor máximo de la respuesta en tanto por ciento del valor final.

y

y)t(y(%)M p

p

21p e100(%)M

Tiempo00

0.5yp

yp

Mp

td tr tp ts

+5%

-5%

18

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