avaliação do método de lattice boltzmann aplicado a

Universidade Federal de GoiásRegional Catalão

Unidade Acadêmica Especial de BiotecnologiaCurso de Bacharelado em Ciências da Computação

Avaliação do Método de Lattice Boltzmannaplicado a turbinas hidráulicas

Luis Vinicius Costa Silva

Catalão – GO2018


Avaliação do Método de Lattice Boltzmann aplicado aturbinas hidráulicas

Monografia apresentada ao Curso deBacharelado em Ciências da Computação daUniversidade Federal de Goiás – Regional Catalão,como parte dos requisitos para obtenção dograu de Bacharel em Ciências da Computação.EXEMPLAR DE DEFESA I

Orientador: Prof. Dr. Marcos Aurélio Batista

Catalão – GO2018

Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor, através doPrograma de Geração Automática do Sistema de Bibliotecas da UFG.

Silva, Luis Vinicius CostaAvaliação do Método de Lattice Boltzmann aplicado a turbinas

hidráulicas [manuscrito] / Luis Vinicius Costa Silva. – 2018.59 p.: il.

Orientador: Prof. Dr. Marcos Aurélio BatistaMonografia (Graduação) – Universidade Federal de Goiás, Uni-

dade Acadêmica Especial de Biotecnologia, Ciências da Computa-ção, 2018.

Bibliografia.

1. CFD. 2. Método de Lattice Boltzman. 3. Hidroturbinas. I.Batista, Marcos Aurélio, orient. II. Título.

CDU 004


Avaliação do Método de Lattice Boltzmann aplicado aturbinas hidráulicas

Monografia apresentada ao curso deBacharelado em Ciências da Computação daUniversidade Federal de Goiás – RegionalCatalão.

Trabalho aprovado em 26 de Fevereiro de 2018.

Marcos Aurélio BatistaOrientador

Prof. Dr. Sérgio Francisco da SilvaUFG - Regional Catalão

Prof. Dr. Marcos Napoleão RabeloUFG - Regional Catalão

Catalão – GO2018

RESUMO

SILVA, L. V. C.. Avaliação do Método de Lattice Boltzmann aplicado a turbinas hidráuli-cas. 2018. 59 p. Monografia (Graduação) – Unidade Acadêmica Especial de Biotecnologia,Universidade Federal de Goiás – Regional Catalão, Catalão – GO.

O desenvolvimento de máquinas com designs cada vez mais complexos testadas sob condiçõesadversas tem posto à prova vários métodos de simulação de Fluidodinâmica Computacional(CFD - Computational Fluid Dynamics), visto que a viabilidade de simulações com resultadosfactíveis em tempo hábil tem decrescido a medida que os cenários de simulação ficam maiscomplexos. Tendo isto em mente, faz-se necessário o desenvolvimento e avaliação de novastécnicas de CFD que facilitem a simulação de escoamentos a fim de que os resultados dasmesmas sejam análogos aos resultados físicos reais, além destes serem obtidos em um tempode execução razoável, possibilitando o design eficiente de maquinário. O presente trabalho tempor objetivo apresentar e avaliar uma nova abordagem de simulação baseada em FluidodinâmicaComputacional utilizando o Método de Lattice Boltzmann para simulação de escoamentos nahidroturbina Francis. A aplicação bem sucedida de um método CFD eficiente ao problema desimular escoamento sobre turbinas d’água pode representar avanços na eficiência energética damatriz hidrelétrica nacional, visto que o design de hidroturbinas pode ser otimizado através deferramentas que possibilitem tal feito.

Atendendo a esta demanda, este trabalho visa apresentar a base teórica para investigação eavaliação do Método de Lattice Boltzmann simulando escoamentos em hidroturbinas a fim deoferecer firme fundamento para trabalhos futuros.

Palavras-chave: CFD, Método de Lattice Boltzman, Hidroturbinas.

ABSTRACT

SILVA, L. V. C.. Avaliação do Método de Lattice Boltzmann aplicado a turbinas hidráuli-cas. 2018. 59 p. Monografia (Graduação) – Unidade Acadêmica Especial de Biotecnologia,Universidade Federal de Goiás – Regional Catalão, Catalão – GO.

The development of machinery with increasing complexity regarding the design tested underadverse conditions has proven several Computational Fluid Dynamics (CFD) simulation methodsineffective, since the feasibility of simulations with realistic results in a timely manner hasdecreased as the simulation scenarios became more complex. Hence, it is necessary to developand evaluate new CFD techniques in order to facilitate the simulation of flows, assuring thefactuality of the simulation results, in addition to being obtainable in a reasonable amount oftime, enabling the efficient design of machinery. This dissertation aims to present and evaluate anew simulation approach based on Computational Fluid Dynamics using the Lattice BoltzmannMethod for simulation of flows in the Francis hydroturbine. The successful application of anew CFD technique to the problem of simulating flow over a water turbine may contributeto the improvement of the national hydroelectric grid energy efficiency, since the design ofhydroturbines can be optimized through tools that enable such task.

In response to this demand, this Course Final Project aims to supply the theoretical basis thatwill allow the investigation and evaluation of the Lattice Boltzmann Method simulating flow inhydroturbines in order to provide theoretical fundamentation for upcoming works.

Keywords: CFD, Lattice Boltzmann Method, Hydroturbines.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Composição da matriz elétrica brasileira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Figura 2 – Disposição dos principais componentes de uma hidrelétrica . . . . . . . . . 26Figura 3 – Corte seccional detalhando os principais componentes da Turbina Francis . 28Figura 4 – Exemplo de simulação CFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Figura 5 – Exemplo de autômato celular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Figura 6 – Exemplo de Reticulado de LGCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Figura 7 – Exemplo de Reticulado de LGCA e simulação de escoamento . . . . . . . . 36Figura 8 – Passo de colisão e propagação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Figura 9 – Representação de uma célula de um Lattice D2Q9 . . . . . . . . . . . . . . 41Figura 10 – Representação de uma célula de um Lattice D3Q15 . . . . . . . . . . . . . 42Figura 11 – Condição de contorno reagindo a colisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Figura 12 – Mudança da função de distribuição após os passos de colisão e propagação . 44Figura 13 – Fluxograma do algoritmo de simulação LBM . . . . . . . . . . . . . . . . 45Figura 14 – Escoamento turbulento em torno de um cilindro . . . . . . . . . . . . . . . 47

LISTA DE ALGORITMOS

Algoritmo 1 – Algoritmo de LBM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Cronograma de atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1 Considerações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.1 Objetivo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.2 Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4 Estrutura do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 MOTIVAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1 Geração de eletricidade em uma hidrelétrica . . . . . . . . . . . . . . 253.1.1 Hidroturbina Francis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Dinâmica dos fluidos e Mecânica Estatística . . . . . . . . . . . . . . 293.2.1 Mecânica dos Fluidos Tradicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.2 Aplicação de Mecânica Estatística a Dinâmica dos fluídos . . . . . . 303.3 Fluidodinâmica computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Predecessores do LBM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.1 Autômato celular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.2 Autômato celular de Lattice Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5 Método de Lattice Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5.1 Equação de Lattice Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5.2 Tipos de Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5.2.1 Lattice D2Q9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5.2.1.1 Lattice D3Q15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5.3 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5.4 O algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.6 Modelos de turbulência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 TRABALHOS CORRELATOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5 CONCLUSÃO DE PFC I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.1 Cronograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

17

CAPÍTULO

1INTRODUÇÃO

Neste capítulo apresentam-se informações gerais sobre o contexto deste trabalho, umabreve motivação e enunciação do problema-alvo, discute-se algumas técnicas empregadas para aresolução do mesmo. Os objetivos do trabalho são listados, e por fim, descreve-se a organizaçãodeste documento.

1.1 Considerações iniciais

A geração de energia por meios hidraúlicos foi uma das primeiras formas de geraçãode energia utilizadas pelos seres humanos. Há mais de 2000 anos atrás na Grécia Antiga e noOriente Médio, já eram utilizadas rodas e moinhos d’água para a realização da moagem de trigoem farinha, para a batedura de manteiga entre outros usos (SMITH, 1983; LEWIS; CIMBALA;WOUDEN, 2014).

Analogamente aos tempos antigos, a eficiência de produção de energia (no caso elétrica)ainda está diretamente relacionada a eficiência das máquinas de transformação. Assim comooutrora os moinhos d’água marcavam o passo da marcha do progresso, as turbinas hidraúlicas deusinas hidrelétricas o mesmo fazem nos dias de hoje. Este fato é inegável para a realidade brasi-leira, visto que 75% da nossa matriz elétrica é dependente de energia hidraúlica (GOVERNO DOBRASIL, 2010). Logo, o desenvolvimento de máquinas de transformação de energia hidraúlicaem elétrica é extremamente relevante, assim como o desenvolvimento de instrumentos e meiosque levam a tal objetivo.

As técnicas de CFD são inseridas no contexto de simulação de escoamento sobre turbo-máquinário hidraúlico pelo fato das mesmas lidarem com a simulação numérica de qualquer

18 Capítulo 1. Introdução

processo físico e/ou físico/químico que apresenta escoamento. Esta simulação é feita por suavez, através de modelos computacionais baseados nos princípios de conservação de massa, daenergia e da quantidade de movimento linear, no domínio do espaço e do tempo (HIRSCH, 2007).

Segundo Sayma (2009), as simulações CFD servem de recurso vital a engenheiros e cientistas,no que tange compreender de antemão alguns problemas no design de componentes sensíveisao escoamento fluídico de operação do mesmo (e.g: cavitação, formação de vórtices), sem anecessidade imediata de construção de protótipos e testes em túneis de vento. Através da criaçãode uma malha geométrica representando a geometria do componente a ser testado em adiçãoa um algoritmo de simulação CFD, vários experimentos podem ser conduzidos sob diversascondições, aferindo algumas variáveis relevantes como a distribuição de pressão, arrasto, atritoentre outros. Dada a crescente demanda por novos métodos CFD que beneficiam uma simulaçãocom mais acurácia, e otimizando o uso de recursos computacionais, este trabalho apresenta oMétodo de Lattice Boltzmann aplicado a simulação de escoamentos sobre a hidroturbina Francis,a fim de dar luz sobre a seguinte questão:

O método de Lattice Boltzmann é adequado para simulações CFD de hidroturbinas?

1.2 ProblemaSegundo (CHEN et al., 2014), as técnicas tradicionais de CFD atuais não são computaci-

onalmente eficientes para simulações complexas sobre geometrias complexas, geralmente seusproblemas decorrem da resolução de EDP’s clássicas (e.g: equações de Navier-Stokes) atravésde métodos numéricos dispendiosos como relaxamentos e iterações. Este trabalho visa explorara eficiência do LBM na simulação de escoamento fluídico sobre hidroturbinas, visto que estatécnica tem se mostrado extremamente eficiente em diversos nichos de problemas relacionados aCFD como simulações de fluídos multi-fásicos, meios porosos e geometrias complexas (QIAN;SUCCI; ORSZAG, 1995). Além disso, sua natureza permite um processamento paralelizável,fazendo uso máximo dos recursos computacionais disponíveis.Uma avaliação do LBM neste problema contribuirá para o avanço nas técnicas de CFD atu-ais, e provavelmente, o desenvolvimento de solvers de CFD mais eficientes do ponto de vistacomputacional.

1.3 Objetivos

1.3.1 Objetivo Geral

O principal objetivo deste trabalho é avaliar a performance do método de Lattice Boltz-mann na simulação de escoamento de fluídos em hidroturbinas, a fim de que técnicas mais

1.4. Estrutura do trabalho 19

eficientes de simulação CFD sejam desenvolvidas. O desenvolvimento de técnicas de CFD efici-entes em aspecto numérico (i.e: velocidade na convergência da solução, estabilidade numéricae etc.) e computacional(e.g: exploração de paralelismo) tem como objetivo-fim neste trabalho,apresentar contribuições no processo de design de hidroturbinas, possibilitando uma geraçãode energia eficiente. Note que a eficiência de uma turbina hidraúlica não está necessariamenterelacionada a quantidade de energia dissipada/desperdiçada durante o escoamento. Outros fatorescomo a vida útil da turbina e mortalidade de peixes que a mesma apresenta podem servir demétrica para a eficiência da mesma. Com o intuito de tornar a leitura mais simplista, este trabalhoadota o conceito de eficiência da turbina em função da quantidade de energia dissipada pelamesma durante o escoamento.Com o desenvolvimento de novas técnicas CFD para componentes turbomaquinários, designsmais eficientes de hidroturbinas podem ser desenvolvidos, e talvez, com a máxima utilização daqueda d’água na geração de energia, a construção de hidrelétricas pode ser minimizada, dadoque o potencial de geração de energia de cada unidade é otimizado, minimizando o impactoambiental da matriz hidrelétrica.

1.3.2 Objetivos Específicos

• Estudar modelos computacionais relacionados a CFD;

• Gerar malhas geométricas da turbina Francis;

• Realizar simulações CFD utilizando o LBM nas malhas geradas na etapa anterior;

• Interpretar os resultados em relação a acurácia e o tempo de execução do algoritmo.

• Avaliar a performance do LBM nos experimentos desenvolvidos, em termos de acuráciada solução, quantidade de iterações necessárias até a convergência, aproveitamento derecursos computacionais e etc.

1.4 Estrutura do trabalhoO presente trabalho foi dividido em cinco capítulos, o capítulo 1 discorre de maneira

breve sobre o trabalho no que tange a definição do problema-alvo, a definição de objetivos e umabreve motivação para a resolução do mesmo.

O Capítulo 2 apresenta de forma concreta a motivação do trabalho, discorrendo acercado papel das hidrelétricas na matriz energética brasileira e a importância da pesquisa de novastécnicas CFD em prol de um design eficiente de turbinas hidraúlicas.

O Capítulo 3 tem por objetivo apresentar alguns conceitos relevantes que fundamentameste trabalho, a fim de que o mesmo seja o mais autocontido possível, fazendo com que a

20 Capítulo 1. Introdução

leitura dos capítulos posteriores seja amigável ao leitor visto que os conceitos apresentadosposteriormente já estarão bem apresentados ao leitor. Os principais tópicos discorrem acercade: mecânica estatística aplicada a dinâmica dos fluídos, definição de CFD, o modelo LBM,funcionamento de hidrelétricas e hidroturbinas e etc.

A revisão de trabalhos correlatos é realizada no capítulo 4, listando artigos seminais eseus conceitos relevantes assim como outras dissertações e teses relacionadas a este tema. Umparalelo é traçado entre o presente trabalho e outros trabalhos desenvolvidos na literatura. A sele-ção de alguns trabalhos é realizada nesta etapa a fim de oferecer dados para alguns experimentosque serão realizados posteriormente.

O capítulo 5 apresenta as conclusões da pesquisa até o momento, realizando um balançodas atividades desempenhadas e apresentando um cronograma de atividades para a etapa posteriordo trabalho.

21

CAPÍTULO

2MOTIVAÇÃO

A energia hidrelétrica representa de 15 a 20% de toda a eletricidade gerada no mundo.Este meio de produção de energia compõe 70,1% da matriz energética brasileira, uma porçãosubstancial da matriz, visto a abundância de recursos hídricos disponíveis para a construção dehidrelétricas. O gráfico 1 demonstra a composição da matriz elétrica brasileira:

Figura 1 – Composição da matriz elétrica brasileira

Fonte: Adaptada de ANEEL (2014).

A energia hidrelétrica teve um papel fundamental na ascensão do Brasil para a sétimomaior economia do mundo em 2012 em relação ao PIB. A viabilidade do crescimento do PIBnacional neste período foi dependente do produção de energia elétrica produzida através das hi-

22 Capítulo 2. Motivação

drelétricas. Em 2010, a matriz nacional produziu 349 mil GWh de eletricidade, e em 2011 houveum crescimento de 40%, levando a produção nacional a 489 mil GWh/ano, sendo que 80% destaenergia é oriunda de fontes hidraúlicas (INTERNATIONAL HYDROPOWER ASSOCIATION,2013).

Logo, um pequeno aumento na performance das hidroturbinas pode representar umgrande ganho econômico, visto que uma quantidade maior de energia poderá ser gerada como mesmo potencial energético da queda d’água, além disso um design mais eficiente podecontribuir também para a durabilidade da turbina. Com turbinas mais eficientes em hidrelétricas,a demanda pela construção das mesmas é minimizada, diminuindo o impacto ambiental dasmesmas como um todo. Além disso, designs eficientes podem estar relacionados a mortalidadede peixes ou a duração da vida útil da turbina.

O crescimento contínuo do poder computacional tem motivado a academia e a indústriana adoção de técnicas CFD para simulações numéricas envolvendo dinâmica dos fluidos. Em umrelatório apresentado pela National Science foundation em uma comissão independente sobresimulação baseada em engenharia física (SBES - Simulation based engineering science), Atkins(2006) afirma que “simulação é um elemento chave para alcançar progresso em engenharia eciência” complementado por:

“A simulação é onipresente na indústria. Ela desempenha um papelessencial no design de materiais, processos de fabricação e produtos.Cada vez mais, a simulação está substituindo testes físicos para garantir aconfiabilidade e a qualidade do produto. Menos testes significam menosprotótipos, e o resultado é um ciclo de projeto mais curto.” (ATKINS,2006).

O LBM surge como método CFD alternativo, que propõe a simulação de escoamentoutilizando uma abordagem de simulação análoga aos autômatos celulares e suas variantes, atravésde outro conjunto de equações(i.e: equação de Boltzmann) adicionado a um modelo probabilís-tico. Este método visa explorar ao máximo os recursos de computação paralela, simulando oescoamento de fluidos de maneira mais precisa e em situações mais complexas (e.g: geometriascomplexas, fluidos multifásicos, etc.).

Nos últimos anos o uso de simulações numéricas para escoamento de fluidos tornou-seuma importante ferramenta no processo de design de turbomáquinas. Casartelli e Mangani (2013)afirmam que o emprego de técnicas de CFD no design de tais componentes reduz significamenteo custo na fase de projeto, no que tange a criação de protótipos, manutenção de instalações deteste e a diminuição em geral no ciclo de desenvolvimento do componente.

23

Zhang (2011) lista uma série de trabalhos na literatura a fim de apontar o o Métodode Lattice Boltzmann como uma alternativa promissora aos métodos CFD tradicionais emaplicações voltadas a microfluidos e fluidos multifásicos. É afirmado também que o LBM,através de sua natureza paralelizável, promove a diminuição do tempo de execução mantendoa precisão da simulação. Visto que este é um modelo de simulação muito novo, a literaturaque documenta a avaliação deste em diferentes tipos de problema relacionados a escoamentoé escassa. Logo, o presente trabalho visa preencher tal lacuna, avaliando o LBM aplicado asimulação de escoamento em hidroturbinas, aproveitando-se da natureza paralelizável do mesmopara atingir uma performance computacional eficiente na resolução do problema em questão.

25

CAPÍTULO

3FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Para o desenvolvimento deste trabalho, foi realizada um estudo extensivo sobre o métodode Lattice Boltzmann, a fundamentação teórica da física que o resguarda e uma breve introduçãosobre o funcionamento da hidroturbina Francis.

Inicialmente, é apresentado uma breve descrição sobre o funcionamento das hidrotur-binas e seu papel em usinas hidrelétricas, posteriormente a definição de fluido juntamentecom a equação de Navier-Stokes e a equação de Boltzmann são apresentadas, fornecendo afundamentação teórica acerca da porção de dinâmica dos fluídos que foi explorada neste trabalho.

Uma vez que a porção de dinâmica dos fluídos é apresentada como modelo matemáticono trabalho, o Modelo de Lattice Boltzmann é apresentado, enfatizando as partes relevantes domesmo que irão compor o algoritmo de simulação.

3.1 Geração de eletricidade em uma hidrelétrica

Uma hidrelétrica gera energia através da transformação da energia mecânica oriunda daágua em energia elétrica. Em geral, uma hidrelétrica é composta pelas seguintes partes: barragem,conduto forçado, casa de força,vertedouro, turbina e canal de fuga.

Segundo (WAGNER; MATHUR, 2011), a barragem é uma contenção do rio a qualdesempenha duas funções: a primeira é desviar o curso natural do rio formando um reservatóriode água. Devido a esta contenção de um grande volume de água em um reservatório, uma quedad’água é naturalmente formada até o vertedouro caracterizando a segunda função (i.e: a entradado conduto forçado). A água é conduzida pelo conduto forçado até as turbinas, localizadas nacasa de força. Lá a água move as pás da turbina, a turbina por sua vez transfere essa energia

26 Capítulo 3. Fundamentação Teórica

mecânica para um hidrogerador que transforma a energia mecânica em elétrica. Finalmente aágua sai da turbina pelo tubo de sucção até o canal de fuga da usina, onde retorna ao cursonatural do rio.

A Figura 2 ilustra os principais componentes de uma hidrelétrica e o funcionamento dosconjunto dos mesmos em uma unidade hidrelétrica. Esta ilustração de unidade hidrelétrica égeneralista visto que existe uma série de variações no modelo de hidrelétrica. Segundo Pereira(2015), as vantagens da geração de energia elétrica por meios hidraúlicos são claras: a possibili-dade de represamento da fonte de energia, permitindo o controle da quantidade de energia gerada,o impacto ambiental mínimo, a eficiência na geração de energia e a facilidade de construção.

Figura 2 – Disposição dos principais componentes de uma hidrelétrica

Fonte: Adaptada de Energié NB Power (2014).

3.1. Geração de eletricidade em uma hidrelétrica 27

3.1.1 Hidroturbina Francis

Segundo Wagner e Mathur (2011), as hidroturbinas são componentes vitais de unidadeshidrelétricas que tem como papel a captação da energia mecânica oriunda do fluxo de água e suaposterior transformação em energia elétrica (em conjunto com um hidrogerador). Existem váriosmodelos de hidroturbinas, onde cada uma destas são adequadas para uma certa faixa de altura dequeda d’água. Este trabalho dará ênfase a Turbinas Francis, devido a sua popularidade no mundo(PAISH, 2002), em especial no Brasil.

A hidroturbina Francis foi inventada pelo americano James Bicheno Francis em 1849,e ainda é uma das turbinas hidraúlica mais usadas até hoje. Seu funcionamento começa coma água percorrendo o conduto forçado até a entrada da turbina, que passa por um sistema deguias móveis, estas controlam a vazão volumétrica fornecida à turbina. No intuito de aumentara potência as guias se abrem, para diminuir a potência elas se fecham, visto que a potência daturbina em um instante de tempo está relacionada com a velocidade do fluído que por ela passa.Na sequência, a água chega ao rotor da turbina, onde a energia cinética do choque da água étransferida para a superfície do rotor na forma de torque e velocidade de rotação. Após passarpelo rotor, um duto chamado tubo de sucção conduz a água até a parte de jusante do rio, no nívelmais baixo (DIXON; HALL, 2013).

Os principais componentes da Turbina Francis são (NPTEL, 2009):

Caixa espiral: O fluído entra pelos túneis de adução e é conduzido até a caixa espiral.Este tipo de caixa espiral é conhecida também como caixa caracol, visto que a caixa espiralcircunscreve o rotor em formato caracol. A área transversal da caixa espiral decresce de maneirauniforme ao longo da circunferência do rotor, a fim de manter a velocidade do fluido constanteao longo das palhetas diretrizes.

Palhetas diretrizes: O propósito básico das palhetas diretrizes é converter parte dapressão exercicida pelo fluido em sua superfície para energia cinética e posteriormente desviaro fluido para o rotor. Além disso, as palhetas diretrizes agem como mecânismo regulador querege a quantidade de água por instante de tempo desviada para o rotor. As palhetas de guiaproporcionam uma velocidade tangencial e, portanto, um momento angular para a água antes daentrada no tubo difusor.

Tubo de sucção/difusor: O tubo de sucção é um duto que liga a saída do rotor ao canalde fuga da usina, no qual a água deixa o interior da turbina. A função primária do tubo de sucçãoé reduzir a velocidade da água descartada a fim de minimizar a perda de energia cinética nasaída. Isso permite que a turbina seja colocada acima do canal de fuga sem qualquer quedaapreciável da cabeça disponível. Uma compreensão clara da função do tubo de descarga em


qualquer turbina de reação, de fato, é muito importante para o propósito de sua concepção. Oobjetivo de fornecer um tubo de rascunho será melhor entendido se estudarmos cuidadosamentea cabeça disponível na rede através de uma turbina de reação.

Pás do rotor: As pás do rotor são a parte principal da turbina, eles recebem a energiacinética decorrente do choque da água em sua superfície, a força tangencial causa a rotação dorotor produzindo torque, neste momento o hidrogerador recebe a energia mecânica necessáriapara gerar eletricidade. A angulação das pás do rotor na turbina é um fator determinante paraextrair o máximo de potencial energético decorrente do choque da água. A Figura 3 ilustra umcorte seccional da turbina Francis, exibindo os componentes listados:

Figura 3 – Corte seccional detalhando os principais componentes da Turbina Francis

Fonte: Adaptada de NPTEL (2009).

3.2. Dinâmica dos fluidos e Mecânica Estatística 29

3.2 Dinâmica dos fluidos e Mecânica Estatística

Esta seção tem como objetivo introduzir ao leitor uma pequena revisão da mecânica dosfluidos “tradicional”, i.e: a descrição do comportamento dos fluidos através das equações deNavier-Stokes. Após isso é apresentada uma abordagem ao problema do escoamento baseada namecânica estatística. Esta fundamentação é necessária para a apresentação do Método de LatticeBoltzmann avaliado no trabalho, visto que seus conceitos-chave derivam da fundamentaçãoteórica aqui apresentada.

3.2.1 Mecânica dos Fluidos Tradicional

Fluido é toda substância que se deforma continuamente quando submetida a uma ínfimatensão de cisalhamento. O comportamento de fluidos no domínio do espaço contínuo é descritopelas equações de Navier-Stokes. Estas equações se originam da aplicação da segunda lei deNewton a um elemento infinitesimal de fluido, levando em conta a hipótese de proporcionalidadeentre tensão e deformação. Para um escoamento incompressível e isotérmico, as equações deNavier-Stokes são expressas em sua forma diferencial como:

ρ

(∂u∂ t

+u ·∇u)= ρg−∇p+µ(∇2u) (3.1)

onde ρ é a densidade do fluido, u é a velocidade vetorial do escoamento, ∇ é o operador diferen-cial del , g representa acelerações de corpo (tais como gravidade, campos elétricos, aceleraçõesinerciais, etc.), p é a pressão, µ é a viscosidade dinâmica e ∇2 é o operador laplaciano.

A fim de descrever corretamento o comportamento dos fluídos, a equação 3.1 é restritaao princípio de conservação da massa, o qual é representado pela Equação da Continuidade:

~∇× ~J− ∂ρ

∂ t(3.2)

onde ~J é a densidade de corrente e ρ a densidade do fluido. Esta equação dita que a variação dadensidade da corrente de fluido em relação ao tempo é proporcional a variação da densidade emrelação ao tempo. Segundo Fox, Pritchard e McDonald (2000), tais equações admitem soluçõesanalíticas apenas para casos clássicos de escoamento com características bem definidas. Assim,o uso de métodos numéricos se torna indispensável para a resolução destas equações.

Os escoamentos de fluido podem ser classificados em:

• Fluido Laminar;

• Fluido Turbulento;


• Fluido Transicional;

A classificação de cada escoamento sob tais categoriais se baseia em um parâmetroadimensional chamado de número de Reynolds, o qual pode ser entendido como a razão entre asforças inerciais e as forças viscosas:

Re =ULv

, v =µ

ρ(3.3)

onde U é a velocidade na corrente livre, L é o comprimento característico e v é a viscosidadecinemática, expressa pela razão entre a viscosidade dinâmica µ e densidade ρ .

Escoamentos que apresentam características uniformes no movimento das partículas queo compõem são denominados laminares. Em contrapartida o regime turbulento é caracterizadopor movimentos rápidos e aleatórios das partículas que compõem o fluido. Entre tais estados,temos um regime de transição no qual os regimes se alternam entre os dois – a este tipo de regimedenomina-se de transitório (FOX; PRITCHARD; MCDONALD, 2000). É sabido que fluidoscom Re > 2400 possuem escoamento turbulento, Re < 2000 possuem escoamento laminar, econsequentemente 2000 < Re < 2400 caracterizam um fluido transicional.

3.2.2 Aplicação de Mecânica Estatística a Dinâmica dos fluídos

A mecânica estatística começou com os estudos do físico Ludwig Boltzmann em 1870acerca do comportamento macroscópico de sistemas físicos compostos por um elevado númerode entidades microscópicas (e.g: moléculas, átomos,...) através de modelos probabilísticos. Aabordagem probabilística da mecânica estátistica à dinâmica de fluídos é motivada pela naturezaestocástica de uma grande quantidade desconhecida de partículas que compõem o fluído.Suponha 1 cm3 de ar expostos a 0 C sob uma pressão atmosférica de 1 atm, existem aproxima-damente 2,69 ·1019 partículas. No modelo de Boltzmann, a dinâmica “atomística”, i.e: de cadaentidade microscópica é regina pelas equações da mecânica clássica de Newton:

dxi

dt=

pi

m(3.4)

d pi

dt= Fi (3.5)

no qual i = 1, . . . ,N , xi é a coordenada da i-ésima partícula, pi = mεi, o momento linear eFi é a força externa oriunda das interações interparticulares ou forças externas como forçagravitacional ou campo elétrico. Em um espaço tridimensional, existem 6N funções temporais(xi(t), pi(t)), i = 1, . . .N (CERCIGNANI, 1988). As equações 3.4 e 3.5 fornecem uma descriçãodetalhada de todas as N partículas do sistema, a partir delas é possível capturar o comportamento

3.2. Dinâmica dos fluidos e Mecânica Estatística 31

do sistema inteiro (i.e: simular o sistema), através da computação de cada partícula inscritano sistema. É perceptível que a computação do comportamento do sistema inteiro através dascomputações de todas as partículas que o compõem é impraticável, visto que a quantidade departículas de um sistema com um volume de apenas 1 cm3 é exorbitante, tornando a simulaçãoatravés desta estratégia inviável para qualquer sistema computacional disponível atualmente eprovavelmente no futuro. Além disso simular toda partícula do sistema é desnecessário, vistoque uma porção de partículas pode “cancelar” o movimento de outra porção.

Segundo Harris (2004), Boltzmann propõe uma abordagem estatística a fim de contornaro problema de computar todos as entidades microscópicas de um sistema a fim de aferir seucomportamento macroscópico. Esta abordagem estatística se baseia em aplicar uma função dedistribuição fN(x1 p1, . . . ,xN pN , t) a uma porção de N partículas, onde N é um número menorque a quantidade de partículas no sistema original. A probabilidade de encontrar uma partículano intervalo de [x1,x1 +dx1]× [p1, p1 +d p1]×·· ·× [xN ,xN +dxN ]× [pN , pN +d pN ] é dada porfN(x1 p1, . . . ,xN pN , t), onde fN compreende toda a informação estatística necessária para capturaro comportamento de uma porção arbitrária de partículas. Logo não é mais necessário computartodo os elementos microscópicos do sistema para computar o comportamento macroscópicodo mesmo, visto que o domínio do problema é dividido em porções de partículas, onde suascaracterísticas (e.g: velocidade vetorial, temperatura) são computadas através de uma função dedistribuição, diminuindo significamente a quantidade de computações necessárias em relação aestratégia anterior.Portanto, Boltzmann propõe que o comportamento das partículas de um fluido devam ser compu-tadas de forma agrupada, ao invés de individualmente, fazendo-se uso do conceito de funçãodistribuição de partículas. O sistema é descrito pelas leis da mecânica clássica sob a probabilidadede um grupo de partículas se deslocar dentro de um dado intervalo de velocidades e posições emum instante de tempo t(CERCIGNANI, 1988). Além disso a computação do comportamento me-soscópico do sistema é possível, em contraste a simulações utilizando equações macroscópicascomo a de NS. Com estas informações podemos escrever a Equação do Transporte de Boltzmann(ETB) para um sistema termodinâmico fora de equilíbro:

∂ f∂ t

+ c ·∇ f = Ω( f ) (3.6)

onde f é a função de distribuição correspodente a densidade probabilística de encontrar umconjunto de partículas localizadas no volume dx na posição x e com velocidades entre c e c+dc

no intervalo de tempo ∆t ; c é a velocidade microscópica das partículas, e Ω( f ) é o operadorde colisão. O primeiro lado da igualdade representa a advecção de f e o segundo termo daigualdade é um termo fonte representando o operador de colisão. Visto que esta EDO tem seutermo fonte dependente da variável que se deseja resolver, a solução analítica não é possível,sendo necessário o uso de métodos numéricos para a resolução da mesma.


3.3 Fluidodinâmica computacionalConforme Bhaskaran e Collins (2002) a Fluidodinâmica Computacional (CFD) é um

ramo da mecânica dos fluídos com uma grande interseção em computação científica e modela-gem computacional. Este campo se concentra na simulação de escoamentos utilizando métodoscomputacionais para a resolução numérica de uma EDP/EDO.

É sabido que o movimento dos fluidos incompressíveis é regido pelas Equações deNavier-Stokes, um conjunto de EDP’s não lineares derivadas das leis básicas acerca da conserva-ção de massa, momento linear e energia. Infelizmente, a solução analítica de muitos problemaspráticos não é possível para problemas práticos, logo a resolução das EDP’s que descrevemo problema deve ser feita de forma numérica. As técnicas de CFD tem papel fundamental nocontexto de tais problemas.

Uma série de vantagens é apresentada por simulações CFD como: a rápida prototipação eavaliação de equipamentos, dispensando (em alguns casos) túneis de vento e instalações análogas;Montagem de experimentos complexos com pouco esforço; Diminuição em custos do projeto eetc.

Segundo Roache (1998), uma simulação de CFD clássica geralmente apresenta asseguintes etapas:

1. Geração de malha geométrica:

A geometria do sistema físico precisa ser gerada através de um modelo 3D/2D, no qual umconjunto de polígonos mimetiza a forma dos componentes do sistema. Quanto maior aquantidade de detalhes na geometria do sistema, maior será a acurácia dos resultados,entretanto geometrias extremamente complexas resultam em simulações dispendiosas,além disso, o acréscimo de detalhes em uma geometria poderá não melhorar a acurácia dasimulação, visto que o modelo já convergiu a um resultado.

2. Criação de uma malha númerica inscrita na geometria do sistema simulado:

Para identificar os finitos locais discretos em que as variáveis devem ser calculadas, a geometriaé dividida em um número finito de células que compõem a grade numérica do sistema.Previamente a esta tarefa, é necessário identificar os fenômenos de escoamento particularesda simulação (e.g: turbulência, fluxo compressível, choques, combustão, fluxo multifásico,mistura, etc.), de modo que a grade gerada seja adequada para captura o fenômenodesejado.

3.3. Fluidodinâmica computacional 33

3. Computar valores de variáveis durante simulação:

A discretização produz um grande número de equações algébricas. Estas equaçõessão geralmente resolvidas utilizando um método numérico iterativo, começando comum valor inicial especulativo para todas as variáveis, e com o decorrer da simulação,estes assumem os valores reais. Os resíduos são computados através das equaçõesdiscretizadas. Após uma dada quantidade de iterações, o valor de resíduo de cadavariável será reduzido significativamente até o ponto que a solução da iteração atualtenha convergido – neste ponto a solução final do sistema é dada como computada.

4. Determinar uma solução suficientemente convergente:

Um aspecto chave no processo de computar a solução é determinar quando a soluçãoalcançou um nível adequado de convergência. Quando a soma dos resíduos no sistemafor suficientemente pequena, considera-se que a solução convergiu e novas iteraçõesnão são mais necessárias.

5. Pós-processamento:

Uma vez que uma solução final foi calculada, os resultados podem ser apresentadoscomo uma lista de valores, gráficos, imagens representando valores de variáveis namalha, velocidades vetoriais e/ou linhas de contorno.

6. Interpretação de resultados, verificação e validação:

Uma vez que todas as outras etapas são completadas, a solução deve ser verificada evalidada. Se o resultado obtido falhar nesta etapa, logo a simulação provavelmenteedeve ser realizada novamente, reavaliando o fenômeno alvo com algumas mudançascomo: a mudança na geometria e grade do sistema simulado, com a finalidade demelhorar a resolução do sistema; reavaliar os detalhes do modelo computacionalcomo as condições de contorno e algumas suposições feitas acerca da natureza dosistema.

Na Figura 4 podemos observar um exemplo de saída de uma simulação CFD.


Figura 4 – Exemplo de simulação CFD

Fonte: ANSYS Inc. (2013).

Como pode ser observado, foi modelada uma malha geométrica correspondente a um avião,e após uma simulação de escoamento sobre a estrutura do mesmo, foram computadas as ve-locidades vetoriais do fluido tangente a carcaça do avião. Com estas informações, melhoriasaerodinâmicas podem ser executadas a fim de minimizar atrito, arrasto, calor, etc. Este tipo deteste facilita o trabalho de engenheiros e projetistas visto que testes de protótipos podem (em suamaioria) ser realizados de forma computacional.

3.4 Predecessores do LBM

3.4.1 Autômato celular

Autômatos Celulares (CA’s) são modelos computacionais para simulações generalistas.São organizados em arranjos regulares de células individuais do mesmo tipo. Cada célula possuium número finito de estados discretos, e esses estados são atualizados simultaneamente a cadapasso de tempo. As regras para essa atualização dependem somente dos estados da célula e davizinhança local de células ao redor dela (WOLF-GLADROW, 2008a).Um autômato celular (CA) é composto por um conjunto de células que podem assumir doisestados de forma exclusiva ao longo do tempo: ocupado/ativo ou livre/desativao. Autômatoscelulares podem possuir a disposição de células em n dimensões. A fim de simplificar estereferencial teórico, podemos definir o estado atual de uma célula em um autômato celular 1D daseguinte forma determinado através da equação 3.7:

ait = F [at−1

i−r ,at−1i−r+1, · · · ,a

t−1i , · · · ,at−1

i+r ] (3.7)

com a sendo o estado da célula i no tempo t, e como função dos estados anteriores (t−1) dascélulas num raio entre −r a r.

A Figura 5 exemplifica um autômato celular e suas respectivas regras.

3.4. Predecessores do LBM 35

Figura 5 – Exemplo de autômato celular

Fonte: Weisstein (2002).

À medidade que a quantidade de dimensões de um CA aumenta, este começa a possuirmais liberdade para para arranjar as células, definir seus vizinhos e regras de atualização. Emsíntense, CA’s simulam comportamentos complexos com regras de atualização simples, as quaissão fáceis de implementar e são naturalmente paralelizáveis. Entretanto o autômato celular nãoconsegue implementar de forma factível as leis de conservação de massa, momentum e energiacaracterística das simulação de fluídos.

3.4.2 Autômato celular de Lattice Gas

O LGCA (Lattice Gas Cellular Automata) simplifica o problema da construção deautômatos celulares para a simulação de fenômenos físicos, dividindo a regra de atualização emduas partes: propagação e colisão.Basicamente, o LGCA é construído como um modelo simplificado composto por partículasfictícias, no qual espaço, tempo e velocidades vetoriais das partículas são discretos.Em geral um LGCA consiste de um grade regular composta por células (analogamente a umCA), no qual todas as partículas fícticias da simulação se encontram nas arestas das células. Umconjunto de variáveis booleanas ni(x, t)(i = 1, · · · ,b) descrevem como as partículas são ocupadas,onde b é o número de direções das velocidades vetoriais de cada nó (WOLF-GLADROW, 2008b).As Figuras 6 e 7 ilustram a representação de grade do LGCA e o campo vetorial resultante deuma simulação de fluxo potencial em torno de um cilindro circular:


Figura 6 – Exemplo de Reticulado de LGCA

Fonte: Coveney e Fowler (2005).

Figura 7 – Exemplo de Reticulado de LGCA e simulação de escoamento

Fonte: OpenStax (2009).

Partindo do estado inicial do LGCA, i.e: t = 0, as conFigurações das partículas de cada“passo de tempo” (iteração do algoritmo de simulação representando um instante discreto detempo) se desenrola em duas fases distintas que se intercalam entre si, são elas propagão e colisão.

1. Propagação: onde cada partícula se move para o nó (i.e: aresta da próxima célula) maispróximo obedecendo sua velocidade vetorial naquele instante.

2. Colisão: as partículas chegam no nó e interagem com elementos de sua vizinha, pos-sivelmente alterando sua velocidade vetorial de acordo com as regras de dispersão doautômato.

É perceptível pela descrição de tal modelo que uma quantidade substancial de memóriaé necessária, visto que, além da quantidade de partículas do LGCA ser maior que a de um CA

3.5. Método de Lattice Boltzmann 37

comum, visto que as partículas não são as próprias células da grade, mas sim partículas queresidem em todas as arestas de todas as células da grade com velocidades vetoriais distintas.Brown, Munro e Kendon (2010) sugerem que o Princípio de Exclusão de Pauli seja adotadono espaço da simulação (conceito emprestado da mecânica quântica), com dois propósitos:restringir o sistema simulado, de tal forma que não haja mais que uma única partícula em umdado instante de tempo e nó se movendo a uma determinada direção, diminuindo o númerode partículas redundantes do sistema e consequentemente minimizando o uso de memória eprocessamento; além disso, o equilíbrio do sistema sob uma distribuição de equilíbrio de Fermi-Dirac é alcançado através de tal restrição, levando a duas vantagens do ponto de vista físico(FRISCH; HASSLACHER; POMEAU, 1986):

1. a construção do modelo será a mais simples possível capaz de representar o “microcosmo”de um sistema composto por várias partículas indistinguíveis;

2. as características essenciais dos processos reais de colisão interpartículas serão factíveis,de tal forma que um sistema com uma grande quantidade de partículas simulado por umagrande quantidade de tempo terá seus fenômenos de transporte em escala macroscópicabem representados.

Dada a natureza mesoscópica da simulação, algumas vantagens numéricas ficam clarascomo a estabilidade numérica do modelo, a facilidade de implementar condições de contornoalém da facilidade de paralelização da simulação.Entretanto, alguns problemas emergem deste modelo computacional.Frisch, Hasslacher e Pomeau(1986) listam problemas como o ruído estatístico, uma representação incorreta da pressão nasimulação, onde a mesma fica dependente da velocidade vetorial das partículas, além disso oreferencial inercial das partículas começa a mudar drasticamente, um fenômeno conhecido comoInvariância não Galileana.

3.5 Método de Lattice Boltzmann

O LBM se diferencia das técnicas tradicionais de CFD pelo fato de não utilizar a equaçãode Navier-Stokes para a simulação de escoamentos. Ao invés disso o mesmo utiliza-se dascaracterísticas dos modelos predecessores baseados em reticulado/lattice apresentados anteri-ormente, concomitante ao uso de modelos mesoscópicos baseado nas equações da MecânicaEstatística apresentadas no item 3.2. Segundo Wolf-Gladrow (2008c), a ideia chave do LBMreside na construção de modelos cinéticos simplificados a partir da Equação de Transportede Boltzmann de modo que as propriedades macroscópicas médias do sistema obedeçam àsequações macroscópicas desejadas.


A premissa básica para a factualidade deste modelo é que a dinâmica macroscópica deum fluido é o resultado do comportamento coletivo e aleatório de muitas partículas microscópicasno sistema e que a dinâmica macroscópica não é sensível aos detalhes físicos microscópicos deum fenômeno (CHEN; DOOLEN, 1998). Com o desenvolvimento de uma versão simplificadadas equações cinéticas dos gases, a resolução de equações mais complicadas é evitada (e.g:equação de transporte de Boltzmann), além disso a simulação desse modelo se torna facilitadado ponto de vista computacional, visto que a necessidade de computar o movimento de cadapartícula é evitada.

Assim como os autômatos celulares e autômatos celulares de Lattice Gás, o LBM sebaseia na divisão do espaço em partículas fictícias, seu principal foco é aferir o comportamentomacroscópico do fluido utilizando médias do comportamento microscópico de tais partículas.A adoção de artíficios da mecânica estatística neste modelo provê várias vantagens, comoum cenário de simulação física claro, facilidade na implementação de condições de contorno,remoção de ruído estatístico e paralelização da solução. A última vantagem faz este métodoextremamente promissor, dada a disponibilidade de hardware atual com uma característicaextremamente paralela.

3.5.1 Equação de Lattice Boltzmann

A derivação do modelo computacional parte da modelagem matemática sobre fluídosapresentada no item 3.2, empregando uma versão discretizada da Equação de Transporte deBoltzmann (equação 3.6). As variáveis de tempo, espaço e velocidades vetoriais são discre-tizadas. Enquanto que o modelo matemático apresentado anteriormente descreve um espaçocontínuo no qual um conjunto de partículas se desloca livremente, o modelo computacionaltransforma o espaço contínuo em um arranjo de células em um Lattice/grade na qual cada célulaabriga uma porção de partículas, toda célula possui n vetores, determinando a vizinhança da cé-lula na grade e consequentemente define em quais direções a propação de partículas pode ocorrer.

Qian, d’Humières e Lallemand (1992) desenvolveram uma aproximação para o operadorde colisão Ω( f ) da Equação 3.6 utilizando um único tempo de relaxação, pelo qual a relaxaçãopara a função de distribuição de equilíbrio ocorre a uma taxa constante. A simplificação dooperador de colisão da Equação de Boltzmann adicionada a discretização das variáveis do modelooriginaram a Equação de Lattice Boltzmann:

fi(x+ cei, t +∆t)− fi(x, t) =−fi(x, t)− f eq

i (x, t)τ

(3.8)

onde i representa a i-ésima velocidade vetorial do conjunto de velocidades vetoriais, x corres-ponde a posição discreta da partícula no lattice, cei∇t = ∆x representa a distância internodal do


lattice, ∆t é um intervalo de passos de tempo de simulação, c = ∆x∆t é a velocidade do Lattice,

medida em luts , e ei é a velocidade microscópica da rede na i-ésima direção no modelo de lattice

adotado.

O LBM pode ser encarado como um método de diferenças finitas para a solução daEquação de Boltzmann de maneira numérica. Caso a ETB seja escrita em termos da função dedistribuição discreta teremos:

∂ fi

∂ t+ cei ·∇ fi = Ωi (3.9)

caso operador diferencial e o operador de colisão seja discretizado teremos:

fi(x, t +∆t)− fix, t∆t

+fi(x+ cei∆t, t +∆)− fi(x, t +∆t)

∆t=−

fi(x, t)− f eqi (x, t)

τ(3.10)

supondo que ∆t = 1 e ∆x = 1, a equação do Método de Lattice Boltzmann é descrita daseguinte maneira:

Ωi( fi(x, t)) =fi(x, t)− f eq

i (x, t)τ

(3.11)

em que f eqi é a função de distribuição de equilíbrio de Maxwell-Boltzmann discretizada,

τ é um parâmetro de relaxamento para o equilíbrio local da aproximação BGK e eωi é o operadorde colisão que atua sobre fi (BHATNAGAR; GROSS; KROOK, 1954).

Como dito anteriormente, o espaço é discretizado no LBM, logo a solução é obtidaatravés de duas etapas que são executadas repetidamente, são elas: colisão e propagação. Ascélulas abrigam um conjuntos de partículas, as quais são propagadas para os nós vizinhos apósa etapa de colisão. A equação utilizada para computar o passo de colisão é definida através dasoma do operador de colisão com as funções de distribuição locais, como pode ser visto naequação 3.12:

fi(x, t +∆t) = fi(x, t)+Ωi( fi(x, t)) (3.12)

O passo da propagação no algoritmo é dado pela equação 3.13:

fi(x+ cei, t +∆t) = fi(x, t +∆t) (3.13)

A Figura 8 ilustra como a colisão e propagação ocorrem no Lattice:


Figura 8 – Passo de colisão e propagação

Fonte: Adaptada de Land (2017).

O número de direções de propagação é determinado pelo arranjo do lattice, o qual éestabelecido pelo tipo de Lattice adotado. He e Luo (1997) demonstram que a formulaçãodiscretizada da ETB é equivalente a equação de Navier-Stokes para fluídos incompressíveis, oque teoricamente permite simular com a mesma acurácia os mesmos fenômenos modelados pelaequação de NS, apenas em escalas diferentes.

3.5.2 Tipos de Lattice

O LBM realiza as computações sobre uma grade n−dimensional de partículas, no qualcada partícula possui m vetores representando as possíveis direções na qual cada uma delas podese deslocar. Cada um destes vetores é ponderado por uma função distribuição (no caso umaDistribuição de Maxwell-Boltzmann) de tal forma que cada um tenha uma probabilidade de ser“escolhido” a deslocar o fluido inscrito na célula para uma determinada direção. Vários tipos delattice podem ser usados, todos com dimensões ou quantidade de vetores por células distintos.Assim como em trabalhos relacionados, este trabalho irá se utilizar da notação DnQm que irádenotar que um Lattice DnQm possui n dimensões com m vetores.

3.5.2.1 Lattice D2Q9

O Lattice D2Q9 permite a simulação bidimensional de escoamentos, de tal forma queuma célula do Lattice possui 9 vetores distintos que descrevem o próximo movimento da partículainscrita. Estes vetores apontam para a as células vizinhas diagonais e ortogonais, totalizando 8vetores, o último vetor aponta para a própria célula, i.e: ~v0 =~0

A Figura 9 ilustra um exemplo de célula do Lattice e como estes vetores são definidosassim como os respectivos pesos atribuídos aos mesmos.

As equações 3.14 e 3.15 descrevem respectivamente os vetores da célula assim como os


Figura 9 – Representação de uma célula de um Lattice D2Q9

Fonte: Elaborada pelo autor.

pesos iniciais atribuidos pela função distribuição a cada um deles.

en =

e0 = (0,0)

e1 = (1,0)

e2 = (0,1)

e3 = (−1,0)

e4 = (0,−1)

e5,...,8 = (±1,±1) · c

(3.14)

A função de distribuição de partículas pondera cada vetor da célula com uma probabili-dade do mesmo deslocar a porção de partículas inscrita no mesmo em uma determinada direção,estes pesos podem ser observados na equação 3.15:

wn =

w0 =

49

w1,··· ,4 =19

w5,··· ,8 =136

n ∈ N,0 6 n 6 8 (3.15)

Estes pesos derivam de uma Quadratura Gaussiana da Equação de Boltzmann descritapor Shizgal (1981), esta derivação fica como exercício ao leitor, visto que a derivação da isotropiado lattice não pertence ao escopo deste trabalho.


3.5.2.1.1 Lattice D3Q15

O Lattice D3Q15 é uma extensão do D2Q9 e permite a simulação tridimensional deescoamentos. Como pode ser visto, a extensão do tipo de Lattice é trivial. Analogamente aoLattice D2Q9, uma célula do Lattice D3Q15 possui 15 vetores distintos que descrevem o próximomovimento da partícula inscrita. Estes vetores apontam para a as células vizinhas de tal formaque 6 vetores são perpendiculares as faces da célula tridimensional o qual estão inscritos, 8vetores no sentido dos vértices da célula, totalizando 14 vetores, o último vetor aponta para aprópria célula indicando a possibilidade da partícula permanecer em repouso, i.e: ~v0 =~0

A Figura 10 representa uma célula do Lattice descrito e com os seus respectivos vetorese pesos associados.

Figura 10 – Representação de uma célula de um Lattice D3Q15


As equações 3.16 e 3.17 descrevem respectivamente os vetores da célula assim como ospesos iniciais atribuidos pela função distribuição a cada um deles.

en =

e0 = (0,0,0)

e1,2 = (±1,0,0) · c

e3,4 = (0,0,±1) · c

e5,6 = (0,±1,0) · c

e7,··· ,14 = (±1,±1,±1)) · c

(3.16)

wn =

w0 =

29

w1,··· ,6 =19

w7,··· ,14 =1

72

n ∈ N,0 6 n 6 15 (3.17)


Outras tipos de Lattice existem, e sua estrutura é análoga a estes apresentados, todo laticepossui um tipo de célula distinto com vetores definindo os possíveis sentidos que uma partículapode se deslocar e um peso atrelado a cada um destes vetores. Modelos como D2Q7, D3Q19 eD3Q27 são meras variações dos modelos apresentados aqui.(WOLF-GLADROW, 2008c) Asdiferenças nos resultados das simulações tangem a acurácia da solução,o tempo de convergênciadas mesmas e o tipo de fenômeno macroscópico detectado, por exemplo: o D3Q27 conseguedenotar transferência de calor enquanto que o D3Q15 não. Os tipos de lattice apresentados nestetrabalho foram utilizados nos protótipos das simulações desenvolvidas.

3.5.3 Condições de contorno

As condições de contorno são restrições necessárias para a solução de um problema devalore sobre contorno. Problemas de valores sobre contorno são extremamente importantes vistoque estes modelam uma série de fenômenos e aplicações como: transferência de calor, propa-gação acústica, e é claro, mecânica dos fluídos. Condições de contorno surgem naturalmenteem qualquer problema que envolva a resolução de EDP’s nos limites do domínio computacio-nal.(ANSUMALI; KARLIN, 2002)

As condições de contorno geralmente podem ser classificadas em duas categorias:

• condição de deslizamento: a velocidade vetorial normal (i.e: vetor velocidade perpendicularao contorno) do contorno é definida com valor zero, enquanto que a velocidade vetorialparalela ao contorno é deixada livre para mudanças;

• condição de não-deslizamento: tanto a velocidade vetorial perpendicular ao contorno (vetornormal) quanto a velocidade vetorial paralela ao contorno são definidas como zero.

Neste trabalho as condições de contorno são necessárias a fim de modelar o compor-tamento das partículas quando estas atingem os limites/contornos do domínio computacionalapós as etapas de colisão e propagação. Nesta parte da simulação as funções de distribuição dedensidade de partículas não são fornecidas para o próximo passo, necessitando de um tratamentoespecial, que fica a cargo das condições de contorno. Este trabalho utiliza a condição de contornodenominada “Half-way Bounce-Back”. Esta condição de contorno foi escolhida visto que estaconsegue tratar de forma correta as condições do sistema. A Figura 11 ilustra o comportamentoda condição de contorno ante a uma colisão:

A mudança na função de distribuição é ilustrada na Figura 12:

Este esquema de condição de contorno usa uma condição de contorno não deslizantepara os contornos do domínio. Ziegler (1993) relata que este método possibilita a computação desolução com precisão de segunda ordem nas regiões planas do contorno e de primeira ordem


Figura 11 – Condição de contorno reagindo a colisão


Figura 12 – Mudança da função de distribuição após os passos de colisão e propagação


nas regiões curvas do contorno. A razão do nome se dá pelo fato desta condição de contornoimplementar a condição de deslizamento de partículas entre a fronteira da célula e o primeironó interno simplesmente “rebatendo” as partículas recebidas em suas direções opostas, i.e:f0 = f ′0, f1 = f ′1, · · · , fn = f ′n onde f e f ′n denotam respectivamente a função de distribuição departículas após a colisão e as funções de distribuições de partícula do passo de tempo anterior aoprocesso de propagação respectivamente.

Bao e Meskas (2011) que este tipo de condição de contorno torna o método bastantesimples e preciso na simulação de escoamentos sobre geometrias complexas, obtendo umaprecisão numérica de até segunda ordem.


3.5.4 O algoritmo

Os algoritmos de simulação utilizando o LBM podem ser representados através dofluxograma da Figura 13:

Figura 13 – Fluxograma do algoritmo de simulação LBM


Ou através do pseudocódigo equivalente:

Algoritmo 1 – Algoritmo de LBM

1: procedimento LBM(Parametros P, Sistema S, tempomaxatualt, erroatual

min e)2: condicoesIniciais← P . Defina as características iniciais do sistema3: enquanto condicao de parada nao atingida faça4: para todo x ∈ S faça . Aplique a função de distribuição em toda partícula x do

sistema S5: x = f (x, t)6: fim para7: para todo x ∈ S faça. Aplique a função de colisão em toda partícula x do sistema S8: f i

desloca(x, t) = fi(x, t)− 1τ· ( fi(x, t)− f eq

i (x, t))9: se f i

desloca ∈Contorno C então10: f0 = f ′0, f1 = f ′1, · · · , fn = f ′n . Condições de contorno11: fim se12: fim para13: para todo x ∈ S faça . Aplique a função de propagação em toda partícula x do

sistema S14: fi(x+ cei, t +1) = f desloca

i (x, t) . Passo da propagação15: se f i

desloca ∈Contorno C então16: fi = f ′i . Condições de contorno17: fim se18: fim para19: Saida[t]← S[t] . Armazene as característica do instante t20: fim enquanto21: retorna Saida22: fim procedimento


As principais etapas do algoritmo são descritas abaixo:

1. Definição de condições iniciais:

Nesta etapa são definidos as variáveis relevantes a simulação, o domínio computacional assimcomo as propriedades macroscópicas do sistema.

2. Aplicação de funções de distribuição de equilíbrio:

O estado inicial do fluído é definido nesta etapa. As condições iniciais do campo vetorials dasvelocidades e as perturbações inerentes são definidas nesta etapa

3. Passo de colisão:

A força externa que simula o gradiente da pressão deslocando o fluído é iniciada aqui. Comodito na seção 3.5.3 deste capítulo, os nós pertencentes ao contorno não participam destepasso. A colisão das partículas é computada através da função dada pela equação 3.18:

f idesloca(x, t) = fi(x, t)−

1τ( fi(x, t)− f eq

i (x, t)) (3.18)

4. Condições de contorno:

Após a colisão as condições de contorno são impostas a fim de tratar particularidades inerentesaos limites do domínio de simulação e da malha.

5. Passo de propagação:

A propagação das partículas de um nó ao outro ocorrem neste passo.

fi(x+ cei, t +1) = f deslocai (x, t) (3.19)

6. Pós-processamento

Após a condição de parada ser atingida, o conjunto de dados gerado é pós-processado paravisualização, formas de visualização podem ser a plotagem das variáveis, geração deimagens

3.6 Modelos de turbulênciaA turbulência ocorre quando o escoamento sofre uma mudança brusca, onde o escoa-

mento deixa de ser uniforme(laminar) e passa a ser desordenado e caótico. Este comportamentose apresenta quando o número de Reynolds ultrapassa um limiar de 2600. Durante este evento,o escoamento se apresenta de maneira caótica e com altas taxas de difusividade, transferênciasde calor, massa e momento, tornando impraticável a simulação do sistema.

3.6. Modelos de turbulência 47

Um exemplo de simulação usando turbulência pode ser observado na Figura 14, ondenota-se a formação de vórtices devido ao escoamento turbulento em um canal onde um cilindrose encontra inscrito. A fim de representar a norma da velocidade vetorial no espaço simulado, umcampo escalar foi projetado sobre a geometria de tal forma que as cores indicam o valor da normada velocidade vetorial no espaço simulado. Cores menos intensas como o azul representambaixas velocidades enquanto que cores mais intensas como o vermelho indicam velocidadesmaiores.

Figura 14 – Escoamento turbulento em torno de um cilindro

Como Dixit e Babu (2006) relatam, o Método de Lattice Boltzmann, diferentemente deoutras técnicas CFD, pode ser usado para simulação de fluídos turbulentos sem a necessidade deum modelo de turbulência, i.e: não é necessário um modelo matemático adicional para tratamentode turbulência na simulação. Este fato se dá pela natureza estatística do método aliada a umamalha de domínio computacional com resolução adaptativa. Entretanto como pode ser vistona literatura , a instabilidade numérica gerada pela turbulência desencadeia uma subdivisãoda malha em escalas impráticaveís devido a inconsistência numérica da solução em malhasgrosseiras, especialmente com coeficientes de Reynolds altos. Assim um modelo que simplifiquea representação de turbulência na simulação se faz necessário(WILCOX et al., 1993).

Este trabalho utilizou o modelo de turbulência Estático de Smagorinsky disponibilizadopela biblioteca Palabos para simulação(PALABOS - CFD, COMPLEX PHYSICS, 2011), estemodelo foi escolhido devido ao fato do mesmo ser o único implementado na biblioteca utilizadano trabalho.

O modelo de turbulência de Smagorisnky parte do pressuposto que a escala das submalhasno domínio computacional tem o efeito de uma correção de viscosidade proporcional a normada taxa do tensor de deformação nas malhas do domínio, i.e: nu = nu0 +nuT . A fórmula para acorreção de viscosidade turbulenta nuT é:

vT =C2|S| (3.20)

onde C é a constante de Smagorinsky, e a norma do tensor da taxa de deformação é definidocomo |S| =

√S : S. Este modelo é denotado de estático pela biblioteca visto que a constante


de Smagorinsky, uma vez imposta não se altera durante a execução. A taxa de deformação écalculada através do tensor de stress Π. É ressaltado que o relacionamento entre S e Π depende dotempo de relaxação τ , e consequentemente da viscosidade nu. Logo, a fórmula para a viscosidadeturbulenta de nuT é implícita (PALABOS - CFD, COMPLEX PHYSICS, 2011).

49

CAPÍTULO

4TRABALHOS CORRELATOS

A literatura relata o uso do método de Lattice Boltzmann em diversas aplicações que vãoda simulação de fluídos multifásicos a simulação de locomotivas(ZHANG; JOHNSON; POPEL,2008; WANG et al., 2008). Visto que o método de Lattice Boltzmann vem demonstrando uminteresse crescente da comunidade científica para simulação de escoamentos, este trabalho buscaavaliar o Método de Lattice Boltzmann para a simulação de escoamento em hidroturbinas.

Os artigos de (OUARED; CHOPARD, 2005; TAMAGAWA; MATSUO, 2004) são umdos trabalhos mais proeminentes na hemodinâmica visto que estes conseguiram relacionar adistribuição de pressão nas paredes das artérias com a formação de trombos em artérias. Tal fatosó foi possível através de um estudo conduzido por simulação através do LBM, visto que umasérie de investigações acerca do comportamento do sangue em pequenos segmentos de artériafoi necessária para a elicitação de dados do estudo, além disso a simulação empiríca era inviáveldevido ao fato dos experimentos envolverem condições demasiadas complexas para reproduçãoin situ.

Outro aspecto alvo de pesquisa é a otimização do uso de recurso computacional peloLBM, o artigo de (POHL et al., 2003) apresenta técnicas que buscam melhorar a eficiência deexecução de simulações LBM em computadores single-core através de estratégias para o acessoordenado a memória cache. Pesquisas em computação distribuída e aplicações baseadas emGPGPU estão em estado inicial mas já apresentam resultados igualmente relevantes (BERNAS-CHI et al., 2010; SCHÖNHERR et al., 2011; HABICH et al., 2013).

No que tange a problema de simulação de fluidos em escala “clássica”, alguns avançostem sido feitos através do LBM. O artigo de (WANG et al., 2011) utiliza o LBM para umainvestigação de um dispositivo de canalização utilizado em hidroturbinas, obtendo resultados

50 Capítulo 4. Trabalhos correlatos

com uma boa acurácia em relação a dados empíricos. Os trabalhos de (MANN et al., 2012; LUet al., 2002) exploraram o uso de geometria móvel na investigação CFD utilizando o LBM, alémde modelos de turbulência. Os trabalhos se concentraram na simulação de predição aeroacústicade ventoinhas e simulação de turbulência em tanques agitados, problemas com clara correspon-dência na indústria.

A investigação CFD para hidroturbinas já ocorre com métodos tradicionais como ométodo dos volumes finitos, entretanto tais métodos possuem um custo computacional elevado,além disso a paralelização dos mesmos é inviável. Devido a natureza complexa das hidroturbinas,muitos estudos elicitaram e avaliaram questões ligadas a otimização da turbina no rotor, canal defuga, desgaste das pás guias do rotor (cavitação).

Muitos destes trabalhos levantaram dados experimentais a fim de validar os dados gera-dos pela simulação dos mesmos, isso é de grande valia para o presente trabalho visto que ofereceuma base de resultados consistente para avaliar a eficiência do LBM aplicado a hidroturbinasutilizando os dados já elicitados em trabalhos correlatos nas comparações de acurácia que ametodologia deste trabalho define.

Por exemplo, Avellan (2000) realizou uma estudo com software comercial acerca doformato do canal de fuga em relação a eficiência da turbina, os dados experimentais elicitadosem seu artigo podem servir como base para a avaliação do método de Lattice Boltzmannm,dada a replicação do experimento computacional conduzido em seu artigo. Estudos acerca demodelos de turbulência já foram realizados aplicados a turbinas hidraúlicas, WANG et al. (2007)realiza uma avaliação do LES como modelo de turbulência para simular corretamente fluxosturbulentos em hidroturbinas. É provável que o LBM apresente alguma vantagem na simulaçãode turbulência dada a natureza probabilística do método. Assim é interessante possuir umaquantidade de dados aberta e vasta para elaboração de experimentos e avaliação do LBM damaneira mais diversa possível.

Fenômenos como a cavitação nas pás guias da turbina estão bem documentados naliteratura,Liu et al. (2009) realizou um trabalho simulando modelos de mistura sobre a turbina eo efeito da cavitação na mesma. Para isso, foi documentado alguns dados experimentais acercado fenômeno. Destacam-se o artigo de (NILSSON; DAVIDSON, 2003) acerca da validação desimulações desenvolvidas no software OpenFOAM, estas por sua vez investigavam a quantidadede pressão exercida pelo fluido no rotor da turbina Francis. As influências deste artigo no presentetrabalho tangem a seleção de métricas para mensuração de erro nos experimentos, além da coletade dados experimentais que serão utilizados posteriormente na avaliação do LBM.

51

O artigo de (SHULIANG; YULIN; FUZHENG, 1997) explorou a simulação numéricade escoamento turbulento em uma turbina Francis, este trabalho utilizou uma malha intermediá-ria com resolução não-uniforme para tratar a simulação de escoamento turbulento de maneirafactível em termos de recurso computacional, subdividindo a malha em regiões onde o algoritmode simulação SIMPLEC acumulava altos resíduos. As dificuldades em paralelização e geraçãode malha intermediária foram devidamente observadas. Assim como em trabalhos anteriores, osexperimentos realizados foram documentados a fim de serem replicados neste trabalho para quea avaliação do LBM seja executada.

Visto que o LBM é uma nova técnica de simulação e ainda não foi avaliada para oproblema de escoamento de fluídos em hidroturbinas, a investigação do LBM adotado a esteproblema pode revelar melhorias significativas no processo de simulação de tais máquinas,provavelmente envolvendo a paralelização da simulação.

53

CAPÍTULO

5CONCLUSÃO DE PFC I

Este trabalho ofereceu a fundamentação teórica acerca do LBM (Método de LatticeBoltzmann) como parte da disciplina de Projeto Final de Curso I. Os produtos desenvolvidos seresumiram ao levantamento da fundamentação teórica e revisão bibliográfica, elementos funda-mentais no prosseguimento do trabalho. Adicionalmente, a modelagem da malha geométrica daTurbina Francis foi realizada assim como a programação de um protótipo de simulação. Taisprodutos serão discutidos em mais detalhes nos trabalhos vindouros.

Como esperado, este trabalho possui um alto grau de interdisciplinariedade com as áreasde Modelagem Computacional, Dinâmica dos fluídos e a própria Ciência da Computação. Opapel das hidrelétricas na matriz energética brasileira foi apresentado a fim de justificar a escolhada aplicação na qual o LBM está sendo avaliado.

Para uma descrição correta do LBM, fez-se necessário a abordagem de alguns tópicosacerca da fundamentação física do método. Podemos destacar a dinâmica dos fluídos, como basepara qualquer trabalho que aborde o escoamento através de forças mecânicas. Após a apresen-tação das equações de Navier-Stokes, uma motivação a abordagem estatística ao problema deescoamento de fluídos foi apresentada, fazendo-se uso da Equação de Transporte de Boltzmann.

Com os modelos matemáticos apresentados de forma clara, a fluidodinâmica computaci-onal foi introduzida como instrumento para resolução de EDP’s não lineares que não possuemsoluções analíticas. Após isso, o método de Lattice Boltzmann pôde ser apresentado

Através da discretização da ETB (Equação de Transporte de Boltzman) foi possívelextrair as duas equações que representam o passo da colisão e propagação do algoritmo de simu-lação. Finalmente o conceito de condições de contorno é introduzido assim como o algoritmo de

54 Capítulo 5. Conclusão de PFC I

simulação. Modelos de turbulência são brevemente discutidos.

As próximas etapas do trabalho devem se concentrar no desenvolvimento dos protótipose elaboração de experimentos, a fim de aferir a eficiência do LBM. A revisão da literaturarevelou a necessidade de paralelizar as simulações desenvolvidas devido ao custo dispendiosodas mesmas, logo recursos como MPI (Message Passing Interface) devem ser utilizados.

5.1 CronogramaAs atividades previstas são listadas abaixo:

1. Estudo da bibliográfia existente sobre CFD (Computational Fluid Dynamics), modelosmatemáticos de hidroturbinas e ferramentas de simulação;

2. Elaboração do modelo computacional;

3. Geração de malhas geométricas das turbinas;

4. Implementação do software de simulação;

5. Coleta de dados experimentais;

6. Experimentação comparada entre: dados da simulação usando o software desenvolvido edados obtidos da literatura.

7. Escrita do Trabalho de Conclusão de Curso e documentos relacionados

A tabela 1 representa a distribuição de atividades ao longo do tempo, atividades mar-cadas com "X"representam atividades executadas enquanto que atividades marcadas com"O"representam atividades pendentes:

Tabela 1 – Cronograma de atividades

PFC - 1 PFC - 2Mês 1 Mês 2 Mês 3 Mês 4 Mês 5 Mês 6 Mês 7 Mês 8 Mês 9 Mês 10

T1 X X X XT2 X X XT3 X X X O OT4 X X X O O O OT5 X O O O OT6 X O O O OT7 X X X X X O O O O O

55

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