avstander i rommet

Avstander i rommet

Stord Vidaregåande skule

Høsten 2009

Tor Espen Kristensen Avstander i rommet

Minner om:

Dersom P = (a,b, c) og Q = (x,y ,z) så er avstandenmellom punkta gitt som

d(P ,Q) =√(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2


Minner om:

Dersom P = (a,b, c) og Q = (x,y ,z) så er avstandenmellom punkta gitt som

d(P ,Q) =√(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2

Spørsmål

Hva er avstanden mellom

en linje og et punkt?

to linjer?

et punkt og et plan?

To plan?

En linje og et plan?


Avstanden mellom linje og punkt

Gitt et punkt P og en linje l som ikke går gjennom

punktet. Hva er da avstanden mellom punktet og linja?





l ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 1 + 2ty = 3 − tz = 7 − 4t

og P = (1,2,4)

v⃗

bcP





l ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 1 + 2ty = 3 − tz = 7 − 4t

og P = (1,2,4)

v⃗

bcP

bc

Q





l ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 1 + 2ty = 3 − tz = 7 − 4t

og P = (1,2,4)

v⃗

bcP

bc

Q = (1 + 2t,3 − t,7 − 4t)



Q = (1 + 2t,3 − t,7 − 4t), P = (1,2,4) og v⃗ = [2,−1,−4]



Q = (1 + 2t,3 − t,7 − 4t), P = (1,2,4) og v⃗ = [2,−1,−4]Ð→PQ = [1 + 2t − 1,3 − t − 2,7 − 4t − 4] = [2t,1 − t,3 − 4t]

Vi får at v⃗ ⋅Ð→PQ = 0 siden de står normalt på hverandre. Det

vil si:

2 ⋅ 2t − 1 ⋅ (1 − t) − 4 ⋅ (3 − 4t) = 0⇕

4t − 1 + t − 12 + 16t = 0⇕

t = 1321



Q = (1 + 2t,3 − t,7 − 4t), P = (1,2,4) og v⃗ = [2,−1,−4]Ð→PQ = [1 + 2t − 1,3 − t − 2,7 − 4t − 4] = [2t,1 − t,3 − 4t]

Vi får at v⃗ ⋅Ð→PQ = 0 siden de står normalt på hverandre. Det

vil si:

2 ⋅ 2t − 1 ⋅ (1 − t) − 4 ⋅ (3 − 4t) = 0⇕

4t − 1 + t − 12 + 16t = 0⇕

t = 1321

Det vil si at PQ = [2621

,

8

21,

11

21]



PQ = [2621

,

8

21,

11

21]

Avstanden mellom P og linja er derfor

∣Ð→PQ∣ = 121

√262 + 82 + 112 =

√861

21≈ 1,4



Mer teoretisk:

Vi kan finne en formel for avstanden mellom en linje og et

punkt ved å finne to uttrykk for arealet til en trekant

dannet av retningsvektoren til linjen og punktet P:

l

v

bcP

bc

h

Q

areal = 12∣v⃗ ∣ ⋅ h

og

areal = 12∣Q⃗P × v⃗ ∣



Mer teoretisk:

Vi kan finne en formel for avstanden mellom en linje og et

punkt ved å finne to uttrykk for arealet til en trekant

dannet av retningsvektoren til linjen og punktet P:

l

v

bcP

bc

h

Q

areal = 12∣v⃗ ∣ ⋅ h

og

areal = 12∣Q⃗P × v⃗ ∣

1

2∣v⃗ ∣ ⋅ h = 1

2∣Q⃗P × v⃗ ∣⇔ h = ∣

Ð→QP × v⃗ ∣∣v⃗ ∣


Eksempel

l ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x = 1 + 2ty = 3 − tz = 7 − 4t

og P = (1,2,4)


Eksempel

l ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x = 1 + 2ty = 3 − tz = 7 − 4t

og P = (1,2,4)

Her kan vi la Q = (1,3,7). Dette gir Ð→QP = [0,−1,−3]. Videreer v⃗ = [2,−1,−4].Vi får Ð→

QP × v⃗ = [1,−6,2]Dette gir oss:

d(P , l) = ∣Ð→QP × v⃗ ∣∣v⃗ ∣ =

√1 + 36 + 4√4 + 1 + 16

=√41√21≈ 1,4


Avstanden mellom to linjer

Gitt to linjer med retningsvektorer henholdsvis u⃗ og v⃗ og

et punkt på hver av linjene (henholdsvis A og B). Hva er da

avstanden mellom linjene?

bB

bA

bQ

bP

v⃗

u⃗

Må finne P og Q slik atÐ→PQ står normalt på begge linjene.

Ð→OP =Ð→OA + su⃗Ð→OQ =Ð→OB + tv⃗

Ð→PQ =Ð→PO +Ð→OQ =Ð→OB −Ð→OA + tv⃗ − su⃗ = Ð→AB + tv⃗ − su⃗


Eksempel

Finn avstanden mellom linjene

l =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x = 3 + t1 + t

2t

og m ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x = sy = 4 + sz = 1

Her er u⃗ = [1,1,2] og v⃗ = [1,1,0]. Vi kan bruke punktaB = (3,1,0) og A = (0,4,1).Vi får

Ð→PQ = Ð→AB + tv⃗ − su⃗= [3,−3,−1] + t[1,1,2] + s[1,1,0]= [3 + t + s,−3 + t + s,−1 + 2t]


Eksempel

Finn avstanden mellom linjene

l =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x = 3 + t1 + t

2t

og m ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x = sy = 4 + sz = 1

Her er u⃗ = [1,1,2] og v⃗ = [1,1,0]. Vi kan bruke punktaB = (3,1,0) og A = (0,4,1).Vi får

Ð→PQ = Ð→AB + tv⃗ − su⃗= [3,−3,−1] + t[1,1,2] + s[1,1,0]= [3 + t + s,−3 + t + s,−1 + 2t]

Vi bruker så at denne vektorene må stå normalt på u⃗ og v⃗ .

Merk at det er nye tall s og t i dette uttrykket (i forhold til

parameterframstillingene).


Eksempel

Ð→PQ = [3 + t + s,−3 + t + s,−1 + 2t]u⃗ = [1,1,2] og v⃗ = [1,1,0]Vi får:

u⃗ ⊥Ð→PQ

⇕

3 + t + s − 3 + t + s − 2 + 4t = 0⇕

6t + 2s = 2

v⃗ ⊥Ð→PQ

⇕

3 + t + s − 3 + t + s = 0⇕

2t + 2s = 0Subtraherer vi de to likningene fra hverandre får vi:

4t = 2 ⇔ t = 12

Dette gir igjen at s = −t = −12.


Eksempel

Vi får med andre ord:

Ð→PQ = [3,−3,0]

Dette gir oss ∣Ð→PQ∣ =√9 + 9 = 3√2


Avstanden fra punkt til plan

Gitt et plan Σ med likningen ax + by + cz = d og et punktP = (x1,y1,z1) utenfor planet.



Gitt et plan Σ med likningen ax + by + cz = d og et punktP = (x1,y1,z1) utenfor planet.Hva kan du si om vektoren

n⃗ = [ a√a2 + b2 + c2

,

b√a2 + b2 + c2

,

c√a2 + b2 + c2

]



Gitt et plan Σ med likningen ax + by + cz = d og et punktP = (x1,y1,z1) utenfor planet.Hva kan du si om vektoren

n⃗ = [ a√a2 + b2 + c2

,

b√a2 + b2 + c2

,

c√a2 + b2 + c2

]Den står normalt på planet og har lengde lik 1.



La Q = (x,y ,z) være fotpunktet til P ned på planet. Viønsker å finne lengden h = ∣Ð→PQ∣.Forklar hvorfor

Ð→PQ = ±h ⋅ n⃗.



La Q = (x,y ,z) være fotpunktet til P ned på planet. Viønsker å finne lengden h = ∣Ð→PQ∣.Forklar hvorfor

Ð→PQ = ±h ⋅ n⃗.

FordiÐ→PQ ∥ n⃗ (begge står normalt på Σ. Siden lengden til n⃗

er 1, og lengden tilÐ→PQ er h, så må

Ð→PQ = ±h ⋅ n⃗.



Bruk dette til å vise atÐ→PQ ⋅ n⃗ = ±h




Finn skalarproduktet ved å bruke vektorkoordinater.




Finn skalarproduktet ved å bruke vektorkoordinater.

Ð→

PQ ⋅Ð→n =

[x − x1, y − y0,z − z0] ⋅ [ a√a2 + b2 + c2

,

b√a2 + b2 + c2

,

c√a2 + b2 + c2

]=

a(x − x1) + b(y − y0) + c(z − z0)√a2 + b2 + c2

=

ax + by + cz + ax1 + by1 + cz1√a2 + b2 + c2

=

d + ax1 + by1 + cz1√a2 + b2 + c2



Setning

Avstanden fra punktet P = (x1,y1,z1) til planet medlikningen Σ ∶ ax + by + cz = d er gitt ved:

d(P ,Σ) = ∣ax1 + by1 + cz1 + d√a2 + b2 + c2

∣


avstander i rommet

Education