1

§B. 生産者行動の理論

仮定B.1(企業の目的）

§B.1. 生産者(企業)の目的と制約

企業≡生産活動を行う経済主体

利潤最大化

財・サービスの生産

販売収入－生産費用 定義B.1

仮定B.2(完全競争的企業)

各企業：価格受容者（価格を与件として行動）

2

定義B.2 (計画期間 - planning horizon)

企業が意思決定を行う時間単位

短期 - short run：固定生産要素有り長期 - long run：全生産要素が可変{

定義B.3 (生産技術 - production technology)

対象となる計画期間で実現可能な投入・産出量の関係

3

§B.2. 生産技術

§B.2.1. 生産可能集合

定義B.4 (生産計画 - production plan)

企業の産出ベクトル：

投入ベクトル：

生産計画（投入・産出ベクトルの組み合わせ)：

y = (y1, . . . ym) ∈ Rm+

x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn+

xj ≥ 0

(x, y) ∈ Rm+n+

yi ≥ 0生産財 i の産出量：

生産要素 j の投入量：

4

定義B.5 (生産可能集合 - production possibility set)

企業により実行可能な全ての生産計画の集合：Y ⊂ Rm+n+

O x1

x2

y

5

O x1

x2

y

Y(x2)

x2

定義B.6 (短期生産可能集合 - short-run production possibility set)

xv ≡ (x1, . . . , xk) ∈ Rk+

x̄f ≡ (x̄k+1, . . . , x̄n) ∈ Rn−k+

Y(x̄f ) = {(xv, y) ∈ Rm+k+ |(xv, x̄f , y) ∈ Y}

可変生産要素：固定生産要素：

短期生産可能集合：

6

定義B.7 (必要投入量集合 - input requirement set)

V(y) = {x ∈ Rn+|(x, y) ∈ Y}

O x1

x2

y

y

V(y)

7

仮定B.3 (非空 - nonempty）：

生産可能集合の性質に関する仮定

Y �= ∅

仮定B.4 (閉集合 - closed set）

仮定B.5 (フリーランチ不可能 - no free lunch）：

y > 0 & (x, y) ∈ Y ⇒ x > 0

Y( )x

x

y

O x

y

O(a) (b)

Y( )x

フリーランチ可能

8

仮定B.6 (操業停止可能 - possibility of inaction）：

y

Y

x

(a)

yx2

x1

x2

45°

(b)

O

短期生産可能集合長期生産可能集合

埋没費用

O

(0, 0) ∈ Y

操業停止不可能

9

仮定B.7 (無償廃棄可能 - free disposability）：

(x, y) ∈ Y

x� ≥ x

y� ≤ y

⇒ (x�, y�) ∈ Y}生産要素・生産財を資源を使わずに廃棄可能

O

A

B

C

y

x

}必要投入量集合の単調性：

⇒

⇒ V(y�) ⊂ V(y)y� ≥ y ≥ 0

y �= y�

10

定義B.8 (効率的生産計画 - efficient production plan）：

「　　 は　　　 に優越する」(x, y) (x�, y�)かつ

x ≤ x� & y ≥ y�

x < x� or y > y�} ⇒

他のどの生産計画にも優越されない生産計画

(x, y) (x�, y�) /∈ Y}

定義B.9 (効率的生産集合 - efficient production set）：

が に優越するならば

(x�, y�) ∈ Y(x�, y�) �= (x, y) であるどの 　にも優越されない}

Y ∗ ≡ {(x, y) ∈ Y|

= {(x, y) ∈ Y|(x�, y�)

11

O x

y

(a) O x

y

Y*(x)

(b)

Y*(x)

Y(x)

Y(x)

定義B.10 (生産関数 - production function）：

効率的生産可能集合のグラフ

複数生産財：

単一生産財：f(x) = y

F (x, y) = 0⇔ (x, y) ∈ Y∗}

12

生産財が1種類の場合：

仮定B.5 (フリーランチ不可能）：f(0) = 0

仮定B.7 (無償廃棄可能）：

y ∈ [0, f(x)] ⇒ (x, y) ∈ Y

x > x� ⇒ f(x) ≥ f(x�)

かつ：増加関数

(x, y) /∈ Y

f(x)

x

f(x)

x

13

定理B.1 (必要投入量集合の凸性）：

生産関数 f が準凹関数 ⇒ 必要投入量集合　　　は凸集合 V(y)

実数値関数 f : X → R

凸集合⊂ Rn

上方位集合{x ∈ X : f(x) ≥ y}

f(αx+ (1− α)x�) ≥ min{f(x), f(x�)}

任意 y ∈ R

が凸集合について

x, x� ∈ X

α ∈ [0, 1]} ⇒

準凹関数

同値

y

x1

x2

14

実数値関数 f : X → R

凸集合⊂ Rn

強い意味の準凹関数

x, x� ∈ X}⇒α ∈ (0, 1)

x �= x� f(αx+ (1 + α)x�) > min{f(x), f(x�)}

15

f(x)

f(x�)f(x��)

x�� = αx+ (1− α)x�

強準凹関数の例

16

準凹だが強準凹でない関数の例

水平部分を持つ場合 平面部分を持つ場合

17

※ 準凹関数のエッセンス：　　　等量曲線の垂直接断面が凹関数（最適2階条件)

18

定理B.2 (必要投入量集合の凸性）：

生産関数 f が準凹(凹)関数 ⇒ 短期生産関数 も の準凹(凹)関数f(xv, xf ) xv

19

§B.2.2. 生産性の概念

定義B.11 (収穫非逓増 - non-increasing returns to scale）：

∀t ∈ [0, 1], ∀(x, y) ∈ Y ⇒ (tx, ty) ∈ Y

20

定義B.12 (収穫非逓減 - non-decreasing returns to scale）：

∀t ≥ 1, ∀(x, y) ∈ Y ⇒ (tx, ty) ∈ Y

21

定義B.13 (収穫一定 - constant returns to scale）：

∀t ≥ 0, ∀(x, y) ∈ Y ⇒ (tx, ty) ∈ Y

22

いずれでもない場合

23

定義B.14 (収穫逓増 - increasing returns to scale）：

生産財が1種類の場合：

f(0) = 0f(tx) ≥ tf(x), ∀t > 1, ∀x > 0f(tx) > tf(x), ∀t > 1, ∃x > 0

(i) 広義の意味

45°

f(x)

xO

24

(ii) 狭義の意味�

f(0) = 0f(tx) > tf(x) ∀t > 1, ∀x > 0

f(x)

xO

y = f(x)

x tx

ty

f(tx)

25

f(0) = 0f(tx) ≤ tf(x), ∀t > 1, ∀x > 0f(tx) < tf(x), ∀t > 1, ∃x > 0

定義B.15 (収穫逓減 - decreasing returns to scale）：

(i) 広義の意味

45°

f(x)

x

26

(ii) 狭義の意味�

f(0) = 0f(tx) < tf(x) ∀t > 1, ∀x > 0

f(x)

xO x tx

y = f(x)

ty

f(tx)

27

定義B.16 (収穫一定 - constant returns to scale）：

f(tx) = tf(x) ∀t ≥ 0, ∀x ≥ 0

O

f(x)

xx tx

ty

y

28

仮定B.10 (可分性 - divisibility) ⇐ 定義B.13(収穫非逓増）：

ある投入ベクトルを x 使って産出量 y が実現可能

同じ生産工程(投入量比)でいくらでも比例縮小生産できる。

(x, y) ∈ Y & 0 < λ < 1 ⇒ (λx,λy) ∈ Y

⇒

x1

x2

λx2

λx1

λy

y

O

29

O x

y

A

B

C

x x’

y

y’

D

E

仮定B.11 (加法性 - additivity）：

(x, y) ∈ Y & (x�, y�) ∈ Y ⇒ (x+ x�, y + y�) ∈ Y

2つの生産工程を分けて行う 1つの生産工程としてまとめて行う

i.e., まとめることによるメリットもデメリットもない

30

定理B.3 (Yの加法・可分性）：

Yが加法・可分性を満たす ⇒ Yは(0,0)を頂点とする凸錘

α,β ≥ 0

(x, y), (x�, y�) ∈ Y(αx+ βx�,αy + βy�) ∈ Y⇒}

O x1

x2

y

y

Y(x) ⇒ Yは収穫一定かつ凸

α > 0 & (x, y) ∈ Y

(αx,αy) ∈ Y

⇒

※ (0,0) を頂点とする錘

31

x tx

∆f(tx)

x1

x2

yε(x) ≡ df(tx)

dt

t

f(tx)

����t=1

=df(tx)

f(tx)

�dt

t

定義B.17 (局所的な規模の生産性 - local returns to scale）：

投入ベクトル x における生産規模の弾力性：

32

一要素の場合：

df(x)

dx=

BC

AB

x

f(x)=

OB

BC

�(x) < 1 ⇒

�(x) > 1 ⇒

�(x) = 1 ⇒

収穫逓減

収穫逓増

収穫一定{

限界生産性平均生産性

ε(x) =df(x)

dx

x

f(x) =

O x

yA

A B

CD

29

x2

tx1 (t+dt)x1

tx2

(t+dt)x2

tx

(t+dt)x

O

(dt/t) 100%

(dt/t) 100

(dt/t) 100

(dt/t) 100

x133

定義B.18 (生産要素 i に関する産出量弾力性 - output elasticity of factor i)：

εi(x) ≡∂f(x)

∂xi

xi

f(x)

定理B.6 (生産規模と生産要素に関する産出量弾力性）：

ε(x) =n�

ι=1

εi(x)

34

定義B.19 (生産要素の生産性 - 単一生産財の場合)

O x

y

O x

D A B

C

E

APMP

f(x)

MP(x)AP(x)

(a)

(b)

APi(x) =f(x)

xi

MPi(x) =∂f(x)

∂xi

要素 i の平均生産性：

要素 i の限界生産性：

MP (x) > AP (x) ⇒ ∂f(x)

∂x> 0

局所的収穫逓増：

局所的収穫逓減：

MP (x) < AP (x) ⇒ ∂f(x)

∂x< 0

平均生産性の上昇局面

平均生産性の低下局面

35

定義B.21 (等量曲線 - isoquant)

V∗(y) ≡ {x ∈ V(y)|x� < x ⇒ x� /∈ V(y)}(⊂ V(y))

必要投入量集合の中で効率的な投入ベクトルの集合：

O x1

x2

y

y

V(y)

y

y

x1

x2

V(y)

V∗(y)

36

定義B.22 (技術的限界代替率 - marginal rate of technical substitution)

TRSij(x, y) = − dxj

dxi

����dy=0

dxk=0,k �=i,j

=∂f(x)/∂xi

∂f(x)/∂xj

O x1A B

CD

x2

f(x) = y

x1

x2

f(x) = y

∂f(x)

∂xidxi +

∂f(x)

∂xjdxj = 0

TRS12 =AC

AB

所与の産出量の下で 要素 i 1単位と同等な生産性を持つ要素 j の単位数

37

定理B.7 (限界代替率逓減の原理)

x, x� ∈ V∗(y)

x�i/x

�j > xi/xj

xk = x�k ∀k �= i, j

V(y)が凸集合

TRSij(x�, y) ≤ TRSij(x, y)}

⇒

※1. 特定の生産要素を集約度⤴ → その要素の生産性⤵

※2. 規模の経済の存在：　　 特定の生産要素を集約度⤴ → その要素の生産性⤴

38

定義B.23 (技術的代替の弾力性 - elasticity of technical substitution)

σij ≡ − fi/fjxi/xj

d(xi/xj)

d(fi/fj)= −TRSij

xi/xj

d(xi/xj)

dTRSij

・等量曲線の一種の曲率

−d(x1/x2)

x1/x2=

d(x2/x1)

x2/x1≈ ∆x2/x1

x2/x1

σ12 ≈ ∆x2/x1

x2/x1

�∆TRS12

TRS12⇒

・等量曲線上で　　要素iの(jに対する)相対的生産性１%の変化に対する　　　　　　　　　　　　　　　　　　投入量比の変化%数

x2

(x1*, x2*)

x2*/x1* x1

x2/x1

(x1,x2)

f(x1,x2) = y

O

A

B

E

D C39

∆x2

x1≡ x∗

2x∗1− x2

x1=

BD

OD− ED

OD=

BE

OD

ステップ1) 投入比率の変化

∆x2

x1

�x2

x1= BE

OD

�ED

OD=

BE

ED

!f1 /f2

!f1 */f2*

O F

K

J

I

H

G

D

(x1*, x2*)B

(x1,x2)A

f(x1,x2) = y

x2

x1

40

ステップ2) 限界代替率の変化

∆TRS12 ≡ ∆f1f2

=f∗1

f∗2

− f1f2

=BD

DH− KD

DH=

BK

DH

∆TRS12/TRS12 = BK

DH

�KD

DH

=BK

KD

O C F

K

J

I

H

G

E

D

(x1*, x2*)B

(x1,x2)A

f(x1,x2) = y

!f1 */f2*

!f1 /f2

x2*/x1*x2/x1

x2

x1

41

σ12 ≈∆

x2x1

�x2x1

∆TRS12/TRS12=

BE

ED

�BK

KD

ステップ3) 技術的代替弾力性と生産要素の代替・補完関係

σ12 > 1

σ12 < 1

：代替的

：補完的{ → 限界代替率変化に敏感に反応

42

σ12 低い

σ12 高い

O

K

M

E

D L

>>

>>

//

//

(x1*, x2*)B

(x1,x2)A f(x1,x2) = y

x2

x1

43

定義B.24 (CES生産関数)f(x1, x2) = [αxρ

1 + (1− α)xρ2]

1ρ

生産要素が2種類の場合α ∈ (0, 1), ρ < 1

σ ≡ σ12 = σ21 = 1/(1− ρ)

x2

x1

(x1,x2)

O

A

B

CD

! = ! ", " = 0! = 1, " = "! = 0, " = 1#/(1!#)

(x1 *,x2*)

45°

E//

// y = αx1 + (1− α)x2

limρ→0

y = xα1 x

1−α2

limρ→∞

y = min {x1, x2}レオンチェフ型

コブ=ダグラス型

3つの特殊ケース

44

定義B.26 (同次関数)

f : Rn+ → R

∀t > 0 ∀x ∈ Rn+ f(tx) = tkf(x)

s.t.

k次同次関数

( ) (k < 1) 規模に関して収穫逓減 ( ) (k > 1)規模に関して収穫逓増

O

( )(k = 1) 規模に関して収穫一定

2x

1x

2x

1x

yyy

2x

1x

O O

k < 1規模に関して収穫逓減

k > 1規模に関して収穫逓増

k = 1規模に関して収穫一定

45

定理B.9 (オイラーの定理 - Euler’s law)

n�

i=1

xi∂

∂xif(x) = kf(x)

f : Rn+ → R微分可能なk 次同次関数

定理B.11 (同次関数の導関数)

f : Rn+ → R微分可能な k>0 次同次関数

∂

∂xif(x) (i = 1, . . . , n)：(k-1)次同次→

46

定義B.27 (ホモセテイック関数 - homothetic function)

f : Rn+ → R微分可能な同次関数

g : R → R

φ(x) ≡ g(f(x))

：微分可能な単調増加関数

O x1A B

D

x2

//

>>

>>

//

f(x) = y

f(x) = y

定理B.12 (等量曲線の相似性)

∀(x, y), (x�, y�) ∈ Yxi

xj=

x�i

x�j

⇒ TRSij(x, y) = TRSij(x�, y�)

s.t.

：ホモセティック関数

例：CES関数

47

定義B.28 (生産物変形曲線 - product transformation curve)

異なる生産財間の産出量のトレードオフ

T (x) ≡ {y ∈ Rm+ |(x, y) ∈ Y∗}

O y1

y2

x1+x2 = x

x1

x2

F(x,y1,y2) = 0

x

y1

y2

O

x

(a)

(b)

T(x)

y2

48

O y1

y2

x1+x2 = x

x1

x2

F(x,y1,y2) = 0

x

y1

y2

O

x

(a)

(b)

T(x)

※ 同じ生産要素 x

x1 → 財1の生産x2 → 財2の生産{

y1

y2

x2

x1

x1 + x2 = x

T (x)

y2 = f2(x)

y1 = f1(x)