b iofysik - nbi.dkogendal/personal/lho/biofysikforgymnasiet.pdf · stigheden w (omega) bestemmer...

BIOFYSIK

Lars Øgendal

BiofysikLars Øgendal

Niels Bohr Institutet juni 2016

ii

BIOFYSIK

Lars Øgendal1. udgave 2016

c©Lars Øgendal 2016

Forsidebilledet af geparden er taget af Erik Damen.http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/54/Cheetah.JPG

Indhold

1 Det helt grundlæggende 31.1 Hastighed og acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Et sidespring: ”Systemer” i fysikken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Bevægelsesmængde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Newtons love og kraftbegrebet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Tyngdekraften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Gnidning mellem faste stoffer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 Arbejde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8 Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9 Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Drejningsmoment 292.1 Mekanisk ligevægt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Drejningsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Eksempel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4 Eksempel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Varme 473.1 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Organismers varmeregulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 Kroppens varme/energibalance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.4 Temaopgaver om geparder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A Regning med enheder 91A.1 Metersystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92A.2 Fysiske størrelser, deres symboler og enheder . . . . . . . . . . . . . . 96A.3 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

1

2 Indhold

1Det helt grundlæggende

Al forståelse af fysik kan i den sidste ende føres tilbage til forståelse af det, man kaldermekanikkens grundbegreber: Hastighed, acceleration, bevægelsesmængde, kraft, arbej-de, energi og effekt. Disse begreber indføres normalt i den nævnte rækkefølge, da debegrebsmæssigt er afhængige af hinanden, netop i denne rækkefølge. Begreberne (ellerde fleste af dem) er i princippet velkendte fra folkeskolen og gymnasiet, men man kangodt efterlades med det indtryk at disse begreber mest anvendes til at beregne hvor langten kanonkugle kan flyve og hvor stor en kraft en bil bliver udsat for ved kollision. Menbegreberne er selvfølgelig ligeså relevante i forbindelse med beregninger på biologiskesystemer: Hvor hurtigt strømmer blod eller saften i en plante? Hvor stor kraft påvirkesen viruspartikel af under centrifugering? Vi tager begreberne op fra en ende af:

1.1 Hastighed og accelerationSe figur 1.1. Hunden løber i en bestemt retning i en lige linje. Til tiden t = t1 befinderhundens sig stykket x1 fra et (tilfældigt valgt) fast punkt. Til tiden t2 har den nået at løbehen til punktet x2. Imellem de to tidspunkter t1 og t2 har hunden bevæget sig stykket∆x = x2− x1 og dens gennemsnitsfart vgns i tidsrummet er defineret som:

vgns =x2− x1

t2− t1=

∆x∆t

(1.1)

Hvis man forestiller sig, at tidspunktet t2 rykker meget tæt på tidspunktet t1 og der-med at x2 rykker tæt på x1 kan man sige, at gennemsnitsfarten i tidsrummet fra t1 til

3

4 Kapitel 1. Det helt grundlæggende

Figur 1.1: Hvis hunden til tiden t = t1 = 4,5 s befinder sig ved x1 = 8,0 m og til tiden t = t1 = 7,0 sbefinder sig ved x2 = 18,0 m, så er dens gennemsnitsfart i tidsrummet fra 4,5 s til 7,0 s lig med vgns =x2−x1t2−t1

= 18,0 m−8,0 m7,0 s−4,5 s = 10,0 m

2,5 s = 4,0 m · s−1

t2 repræsenterer den øjeblikkelige fart v(t1) til tidspunktet t1. Jo tættere på hinanden deto tidspunkter er, jo bedre repræsenterer gennemsnitsfarten den øjeblikkelige fart. Mandefinerer derfor farten tid tidspunktet t1 som grænseværdien af gennemsnitsfarten nårt2→ t1, dvs.:

v(t1) = limt2→t1

x2− x1

t2− t1=

(dxdt

)t=t1

(1.2)

altså differentialkvotienten af stedkoordinaten. Man ser, at hastigheden får dimensionenlængde divideret med tid og dermed SI-enheden m · s−1 (Se Appendix A).På samme måde som hastigheden beskriver, hvor hurtigt stedet ændrer sig med tiden,så beskriver accelerationen hvor hurtigt hastigheden ændrer sig med tiden. De figur 1.2.Til tiden t = t1 har hunden hastigheden (altså den øjeblikkelige hastighed) v1. Til tiden t2har den hastigheden v2. Imellem de to tidspunkter t1 og t2 har hundens hastighed ændretsig med ∆v = v2− v1 og dens gennemsnitsacceleration agns i tidsrummet er defineretsom:

agns =v2− v1

t2− t1=

∆v∆t

(1.3)

Ligesom vi ovenfor definerede den øjeblikkelige fart som en grænseværdi af gennem-snitsfarten, altså en differentialkvotient, så definerer man den øjeblikkelige accelerationtil tiden t1 som grænseværdien af gennemsnitsaccelerationen for t2→ t1:

a(t1) = limt2→t1

v2− v1

t2− t1=

(dvdt

)t=t1

(1.4)

altså differentialkvotienten af hastigheden. Man ser, at accelerationen får dimensionenhastighed divideret med tid, dvs. længde divideret med tid divideret med tid en gang til,

1.1. Hastighed og acceleration 5

Figur 1.2: Hvis hunden til tiden t = t1 = 4,5 s bevæger sig med hastigheden v1 = 1,5 m · s−1 og til tident = t2 = 6,5 s har opnået hastigheden v2 = 5,5 m · s−1, så er dens gennemsnitsacceleration i tidsrummetfra 4,5 s til 6,5 s lig med agns =

v2−v1t2−t1

= 5,5 m·s−1−1,5 m·s−1

6,5 s−4,5 s = 4,0 m·s−1

2,0 s = 2,0 m · s−2

og dermed SI-enheden m · s−2 (Se Appendix A).Denne gennemgang af begreberne hastighed og acceleration byggede på at bevægelsenforegik i en lige linje. Hvis dette ikke er tilfældet må begreberne defineres lidt ander-ledes, først og fremmest fordi steder nu ikke kan angives med et enkelt tal, men måangives som vektorer. Hvis vi som et eksempel ser på en flues bevægelse i rummet (sefigur 1.3), så er fluens position tiden t1 beskrevet ved vektoren ~r1 i et (tilfældigt valgt)koordinatsystem. Til tiden t2 har den nået at flyve hen til punktet givet ved vektoren~r2. Imellem de to tidspunkter t1 og t2 har fluen altså bevæget sig stykket ∆~r =~r2−~r1,der jo også er en vektor (vist med rødt i figuren). Fluens gennemsnitshastighed ~vgns itidsrummet er defineret som:

~vgns =~r2−~r1

t2− t1=

∆~r∆t

(1.5)

Bemærk, at vi her taler om hastighed og ikke fart. Forskellen er, i fysikkens fagsprog,at farten kun er et tal, medens hastigheden er en vektor, altså noget, der både har enstørrelse og en retning.Fuldstændigt i analogi til det retlinjede tilfælde defineres både hastighed og accelerationsom differentialkvotienter, der her er vektorer. Dette er der ikke noget sært ved, mandifferentierer bare vektorernes enkelte koordinater. Vi skal altså forestille os et objekt(f.eks. en flue) hvis position kan beskrives som en funktion af tiden:

~r(t) =

x(t)y(t)z(t)

(1.6)


x

y

z

r1

r2 t1

t2

(a)

x

y

z

r1

r2

Δr t1

t2

(b)

Figur 1.3: (a) Fluens position tiden t = t1 er beskrevet ved vektoren ~r1 i et (tilfældigt valgt) koordinatsy-stem. Til tiden t2 har den nået at flyve hen til punktet givet ved vektoren ~r2. (b) Imellem de to tidspunktert1 og t2 har fluen altså bevæget sig stykket ∆~r = ~r2−~r1, der jo også er en vektor, her vist med rødt.

hvor det eksplicit er vist, at koordinaterne x, y og z er funktioner af (dvs. afhængeraf) tiden. Så hastigheden ~v, der også er en funktion af tiden og derfor skrives ~v(t), erdefineret som:

~v(t) =

vx(t)vy(t)vz(t)

=

dxdtdydtdzdt

(1.7)

hvor differentialkvotienterne af de enkelte koordinater tages til tiden t. De enkelte ha-stighedskoordinater vx(t), vy(t), vz(t) eller om man vil, dx

dt , dydt og dz

dt kaldes hastighedenskomposanter.På tilsvarende måde defineres en genstands acceleration ~a, der selvfølgelig også er enfunktion af tiden og derfor skrives~a(t), som:

~a(t) =

ax(t)ay(t)az(t)

=

dvxdt

dvydtdvzdt

(1.8)

Alt dette er jo temmelig abstrakt, så vi ser straks på et mere konkret eksempel:

Jævn cirkelbevægelse

Et vigtigt eksempel på hvordan man anvender de generelle, vektorbaserede, definitionerpå hastighed og acceleration er den jævne cirkelbevægelse. Se figur 1.4. I dette tilfældehar vi ikke brug for alle tre koordinater, idet vi antager, at bevægelsen foregår i XY -planen, så z-koordinaten er 0. Vi nøjes derfor med at anvende to koordinater. Den jævne


θ

r

v

R

Figur 1.4: Partiklen bevæger sig i en cirkelformet bane, med radius R. Vektoren, der går fra koordinatsy-stemets begyndelsespunkt til partiklen, kaldes partiklens stedvektor og betegnes~r. Den har længden R ogdens koordinater i to dimensioner er (Rcosθ ,Rsinθ).

cirkelbevægelse er vigtig i laboratoriemæssig sammenhæng, fordi den er grundlaget forforståelse af hvordan centrifugering egentlig virker. Her ser vi foreløbig på fænomenetuden tanke for centrifugering, men ser bare på en partikel, der bevæger med konstantvinkelhastighed i en cirkelformet bane med en given radius, R (se figur 1.4). Vinkelha-stigheden ω (omega) bestemmer hvor hurtigt vinklen θ vokser:

θ = ωt +θ0 (1.9)

hvor θ0 bare er værdien af vinklen θ til tiden t = 0. Hvis ω er konstant, dvs. uafhængig aftiden, kaldes cirkelbevægelsen for jævn. Vinkelhastigheden har enheden radianer · s−1

idet vi, som det er almindeligt i matematikken, regner vinklen θ i radianer og ikke i gra-der. Dette får ingen praktisk betydning men har udelukkende noget at gøre med hvordanman differentierer sinus og cosinus funktionerne.Vi kan relatere vinkelhastigheden ω til noget mere velkendt: Omløbstiden T og om-løbsfrekvensen f , hvor omløbstiden er den tid det tager partiklen at foretage et omløb icirkelbanen, og omløbsfrekvensen er antallet af omløb pr. tidsenhed (f.eks. antal omløbpr. sekund eller pr. minut). Omløbstid og omløbsfrekvens hænger naturligvis sammen,idet:

f =1T

(1.10)


Idet vinkelhastigheden angiver antallet af radianer pr. tidsenhed og omløbsfrekvensenangiver antallet af omløb pr. tidsenhed bliver sammenhængen mellem vinkelhastighedenω og omløbsfrekvensen f :

ω = 2π f (1.11)

da en hel omgang i cirkelbanen svarer til 2π radianer.Vektoren, der går fra koordinatsystemets begyndelsespunkt til partiklen, kaldes partik-lens stedvektor. Den har længden R og betegnes~r. Stedvektoren kan som nævnt skrivesved brug af kun to koordinater, hvis vi antager at cirkelbevægelsen foregår i XY -planen:

~r =(

x(t)y(t)

)=

(Rcos(θ(t))Rsin(θ(t))

)(1.12)

Vi kan beregne hastigheden ved at benytte ligning 1.7 idet vi bare udelader z-koordinaten:

~v =( dx

dtdydt

)=

(−Rsin(θ(t)) · dθ

dtRcos(θ(t)) · dθ

dt

)=

(−Rsin(θ(t)) ·ω

Rcos(θ(t)) ·ω

)(1.13)

hvor vi bl.a. har brugt reglen for differentiation af sammensat funktion samt at dθ

dt = ω

ifølge ligning 1.9. Læg i øvrigt mærke til, at ~r ·~v = 0 (benyt ligning 1.12 og 1.13).Dette betyder, at hastigheden altid er vinkelret på stedvektoren, som det også er vistpå figur 1.4. Til slut beregner vi accelerationen ved at benytte ligning 1.8, altså ved atdifferentiere ligning 1.13:

~a =

(dvxdt

dvydt

)=

(−Rcos(θ(t)) ·ω · dθ

dt−Rsin(θ(t)) ·ω · dθ

dt

)=

(−Rcos(θ(t)) ·ω2

−Rsin(θ(t)) ·ω2

)=−ω

2~r (1.14)

Her ser man, at accelerationen er rettet fra partiklen mod cirkelbevægelsens centrum.Man kalder den for centripetalaccelerationen (det betyder ”den mod centrum rettedeacceleration”). Størrelsen af centripetalaccelerationen er ac = |ω2~r|= ω2|~r|. Da partik-lens stedvektor~r har længden R, som er radius is cirkelbanen fås:

ac = ω2R (1.15)

Vend tingene på hovedet!Vi har set, at hastighed (eller fart) er defineret ud fra et kendskab til en genstands position(se ligning 1.2 og 1.7). I princippet skal man kende positionen som funktion af tiden.På samme måde defineres en genstands acceleration ud fra et kendskab til genstandenshastighed som funktion af tiden (se ligning 1.4 og 1.8). Hvis vi tager det 1-dimensionaletilfælde, har vi altså:

v(t) =dxdt

a(t) =dvdt

(1.16)


Da integration er det omvendte af differentiation kan vi altså i princippet vende tingeneom og finde stedet x som funktion af tiden, hvis vi kender hastigheden som funktion aftiden. Og vi kan finde hastigheden som funktion af tiden hvis vi kender accelerationensom funktion af tiden. Med andre ord:

x(t) =∫

v(t)dt

v(t) =∫

a(t)dt (1.17)

Dette er naturligvis meget abstrakt, så vi kigger straks på et par konkrete eksempler påanvendelse af ligningerne 1.17:

Eksempel: Lad os først antage, at hastigheden v(t) er konstant (hvormedaccelerationen har værdien 0 og dermed også er konstant), og lad os kaldeværdien af hastigheden for v0. Så får vi stedet x som funktion af tiden:

x(t) =∫

v(t) ·dt =∫

v0 ·dt = v0 · t + x0 (1.18)

hvor x0 er den ”arbitrære konstant”, der her betyder genstandens position tiltiden t = 0.Lad os dernæst se på tilfældet hvor accelerationen a(t) er konstant, menikke nødvendigvis 0. Lad os kalde den konstante værdi af accelerationenfor a0. Her får vi først hastigheden som funktion af tiden:

v(t) =∫

a(t) ·dt =∫

a0 ·dt = a0 · t + v0 (1.19)

hvor v0 er den ”arbitrære konstant”, der her betyder genstandens fart tiltiden t = 0.Vi kan nu gå skridtet videre og finde stedet som funktion af tiden med detfundne udtryk 1.19 for hastigheden:

x(t) =∫

v(t) ·dt =∫(a0 · t + v0) ·dt =

12

a0 · t2 + v0 · t + x0 (1.20)

hvor, som før, x0 og v0 er hhv. stedet og farten til tiden t = 0.Bemærk, at ligning 1.18 er indeholdt i ligning 1.20. Man skal bare indsætte,at a0 = 0 når hastigheden er konstant.

Resultaterne i ovenstående eksempel er så vigtige, at vi skriver dem i en ramme for sigselv:


Stedet x, når farten er konstant v0 og stedet er x0 til tiden t = 0

x(t) = v0 · t + x0 (1.21)

Farten v, når accelerationen er konstant a0 og farten er v0 til tiden t = 0

v(t) = a0 · t + v0 (1.22)

Stedet x, når accelerationen er konstant a0 og farten er v0 og stedet er x0 til tident = 0

x(t) =12

a0 · t2 + v0 · t + x0 (1.23)

1.2 Et sidespring: ”Systemer” i fysikkenI fysikken høres ofte udtrykkene ”et lukket system” og ”et isoleret system”. Ved etsystem i fysikken forstås den del af verden, som man (fysikeren) er interesseret i at be-skrive. Hvad et system er, afhænger af omstændighederne, men det kan f.eks. være et ensukkeropløsning i et bægerglas, en enkelt celle, et enkelt molekyle, en hest, hele jorden,hele solsystemet osv. Til det aktuelle formål deles verden op i to ting: Systemet og omgi-velserne. Systemet beskrives ofte i stor detalje medens omgivelserne karakteriseres vednogle få størrelser, f.eks. tryk og temperatur.

Eksempel: En amøbe i Atlanterhavet. Amøben er systemet, Atlanterhaveter omgivelserne (faktisk er resten af universet omgivelser, men amøben ernaturligvis kun på virket af de relativt nære omgivelser). De biokemiskeprocesser i amøben er bestemt af temperatur og tryk i amøben. Disse erbestemt af temperaturen og trykket i omgivelserne ( = havet). Desuden kanamøben udveksle stof med havet gennem sin overflade, så den er, hvad mankalder et åbent system.

Når talen er om systemer skelner man mellem tre typer: Åbne, lukkede og isolerede. Iet åbent system kan der udveksles stof og energi med omgivelserne. I et lukket systemkan der udveksles energi med omgivelserne men ikke stof. Og i et isoleret system kander hverken udveksles stof eller energi med omgivelserne. De tre typer er illustreret ifigur 1.5.

Eksempel: Indholdet i en uåbnet ølflaske er et eksempel på et lukket sy-

1.2. Et sidespring: ”Systemer” i fysikken 11

(a) (b) (c)

Figur 1.5: (a) Åbent system. Der kan der udveksles stof og energi med omgivelserne. (b) Lukket system:Der kan udveksles energi med omgivelserne men ikke stof. (c) Isoleret system: Der kan hverken udvekslesstof eller energi med omgivelserne.

stem. Indholdet i en lukket termoflaske udgør med god tilnærmelse et iso-leret system.

Isolerede systemer forekommer ikke i den biologiske verden: Alle organismer udvekslerbåde stof og energi med deres omgivelser. Selv hvis det system, man betragter er megetstørre end en organisme, f.eks. en sø eller måske hele Jordens overflade, så sker derenergiudveksling med omgivelserne. Alligevel er begrebet ”et isoleret system” nyttigtfordi man ofte studerer eller beskriver fænomener, der foregår over så kort tid, at der ipraksis ikke kan nå at ske nogen stof- eller energiudveksling med omgivelserne.

Eksempel: En gepard, der lever på savannen udgør et åbent system: Denæder sit bytte og indånder luften og modtager derved stof fra omgivelserne.Den defækerer og udånder luft og afgiver derved stof til omgivelserne. Denudveksler også energi med omgivelserne: Den absorberer stråling fra solenog de nære omgivelser. Den reflekterer lys og udsender selv varmestrålingfra sin overflade. Desuden fordamper den vand fra sine åndedrætsorganerog afgiver herved varmeenergi til omgivelserne.Men når en gepard jagter sit bytte og løber over 100 kilometer i timen i en20 sekunders spurt, så kan den med god tilnærmelse betragtes som et iso-leret system, i hvert fald hvis man ser på dens energibalance: Den udviklerstore mængder varmeenergi i kroppen under spurten. Selvfølgelig udveks-ler den samtidig energi med omgivelserne som ovenfor beskrevet, men denmængde af energi, der kan udveksles med omgivelserne på denne måde, iløbet af 20 sekunder er meget lille i forhold til den mængde varmeenergider frigøres i gepardens krop, når den løber med maksimal hastighed. Der-for kan man med god tilnærmelse regne med at geparden udgør et isoleretsystem under spurten.


1.3 BevægelsesmængdeBegrebet kinetisk energi, eller bevægelsesenergi, er kendt for de fleste. For et objekt medmassen m er dets kinetiske energi Ekin =

12mv2, hvor v er ojektets fart. Mindre kendt er

begrebet bevægelsesmængde for et objekt. Bevægelsesmængde kaldes ofte, fejlagtigt,impuls.

Et objekt med massen m og hastighheden ~v har bevægelsesmængden ~pgivet ved udtrykket:

~p = m~v (1.24)

hvor m er genstandens masse og ~v er dens hastighed. Bevægelsesmængde harSI-enheden kg m · s−1

Man ser, at bevægelsesmængden ligesom hastigheden er en vektor. Det, der gør be-vægelsesmængden interessant er, at i et isoleret system er summen af alle objektersbevægelsesmængder konstant (se figur 1.6).

Eksempel: I Hollywoodfilm ser man ofte helten blive ramt af skud fra enpump gun, hvorved han flyver flere meter gennem luften. Lad os se på fy-sikken i dette:En pump gun udsender kuglen med en hastighed på 229 m · s−1. Kuglenvejer 13 g. En typisk hollywoodhelt (Mel Gibson) vejer 70 kg. Lad for sim-pelheds skyld antage, at vores helt bærer skudsikker vest og at kuglen, efterat have ramt ham, har hastigheden 0 m · s−1. Vi vil antage, at kuglen oghelten kan opfattes som et isoleret system. Endvidere antager vi, at al be-vægelse foregår på en ret linje, så vi ikke behøver regne med vektorer. Viberegner komponenternes samlede bevægelsesmængde før kuglen rammerog opskriver et udtryk for bevægelsesmængden efter at kuglen har ramt.Hensigten er at beregne heltens hastighed efter at han er blevet ramt af kug-len:

ptotal, før = phelt, før + pkugle, før

ptotal, efter = phelt, efter + pkugle, efter

1.3. Bevægelsesmængde 13

Figur 1.6: Et isoleret system med 12 objekter, der har forskellig masse m1, m2 osv. og forskellige ha-stigheder v1, v2 osv. Summen af de enkelte partiklers bevægelsesmængde ~ptotal = ~p1 + ~p2 + . . .+ ~p12 erkonstant. Selvom objekterne bevæger sig rundt imellem hinanden, støder sammen og hele tiden ændrerhastighed, så er ~ptotal altid uforandret. Hvis man også tager i betragtning, at objekterne støder ind i ”behol-derens” vægge, så skal beholderens egen bevægelsesmængde inkluderes i den totale bevægelsesmængde.

eller:

ptotal, før = mhelt · vhelt, før +mkugle · vkugle, før

ptotal, efter = mhelt · vhelt, efter +mkugle · vkugle, efter

Da ptotal, før = ptotal, efter, skal vi løse ligningen

mhelt · vhelt, før +mkugle · vkugle, før = mhelt · vhelt, efter +mkugle · vkugle, efter

med hensyn til vhelt, efter. Resultatet er:

vhelt, efter =mhelt · vhelt, før +mkugle · vkugle, før−mkugle · vkugle, efter

mhelt

=70 kg ·0 m · s−1 +0,013 kg ·229 m · s−1−0,013 kg ·0 m · s−1

70 kg= 0,0425 m · s−1

Alså ”flyver” helten gennem luften med hastigheden 0,0425 m · s−1 = 4,25 cm · s−1

efter at være blevet ramt !


1.4 Newtons love og kraftbegrebetVi skal nu se på årsagerne til at noget bevæger sig.Det er en almindelig erfaring at bevægelse stopper hvis ikke den ”holdes ved lige” vedhjælp af en kraftpåvirkning: En bil går i stå hvis motoren slukkes, indkøbsvognen isupermarkedet standser, hvis man holder op med at skubbe den, gyngen på legepladsenender med at hænge stille hvis ikke den bliver holdt i gang af en tålmodig forælder elleraf det gyngende barn selv. Denne erfaring indeholder to elementer

• Der er ”noget” der kendetegner styrken af et træk eller et skub. Vi kalder det enkraft.

• Al vedvarende bevægelse har en ”årsag”, nemlig en vedvarende påvirkning af enkraft.

Mennesker havde tænkt over dette i flere tusinde år før det blev klart at den alminde-lige dagligdags opfattelse af sammenhængen mellem kræfter og bevægelse er forkert!Grunden er til misforståelsen er, at der ud over den kraft der synes nødvendig for atopretholde en given bevægelse næsten altid er en nærmest usynlig kraft i spil, nemligfriktion (gnidning). Det var først med Newton i slutningen af 1600-tallet, at det blevklart, at bevægelse ikke nødvendigvis kræver nogen årsag. I den forbindelse blev ogsåkraftbegrebet gjort mere præcist. Newton’s indsigt blev formuleret i tre love, som vi nukalder Newtons første, anden og tredje lov. De lyder:

Newtons 1. lov Et legeme, der ikke påvirkes af nogen ydre kraft, bevæger sigenten jævnt (dvs. med konstant fart) og retlinjet eller også ligger det stille.

Newtons 2. lov Summen af ydre kræfter ~Fres. på et legeme giver det en accele-ration~a, givet ved ligningen ~Fres. = m ·~a, hvor m betegner legemets masse.

Newtons 3. lov Hvis et legeme (lad os kalde det legeme 1) påvirker et andetlegeme (legeme 2) med en kraft, ~F1,2 så vil legeme 2 påvirke legeme 1 meden ligeså stor og modsat rettet kraft ~F2,1, altså ~F1,2 =−~F2,1

Det er altså ikke hastigheden, der har en årsag, men accelerationen. Hvis vi ser på ek-semplet med bilen, der går i stå hvis der ikke er en ydre kraft, der holder den i gang,så er forklaringen at bilen, når den bevæger sig er udsat for friktion, der altid er ret-tet imod bevægelsesretningen. Friktionen kommer både fra luften, fra friktion i lejerne ihjulophæng og motor samt såkaldt rullemodstand mellem dækkene og underlaget. Udenanden ydre kraftpåvirkning vil bilens bevægelse høre op efterhånden. Dvs. at hastighe-den falder, hvad der jo er det samme som at bilen har en negativ acceleration. Hvis bilen

1.5. Tyngdekraften 15

skal bevæge sig med konstant hastighed (så accelerationen er nul) skal der en ydre krafttil, der er præcis lige så stor som friktionen men modsat rettet. Newtons 3. lov kaldesogså loven om aktion og reaktion. Med nogen omtanke kan man indse, at både første ogtredje lov er indeholdt i Newtons 2. lov.Vi skal nu se på nogle specielle kræfter, nemlig tyngdekraften og gnidningskræfter mel-lem faste stoffer. Der er mange andre kræfter, men dem behandler vi i den relevantesammenhæng.

1.5 TyngdekraftenNewton var den første til at formulere den universelle tyngdelov, nemlig at to masser,m1 og m2 trækker i hinanden med en kraft Ft, der kan beregnes som:

Ft = G · m1 ·m2

r2 (1.25)

hvor r er afstanden mellem de to massers massemidtpunkter (tyngdepunkter) og G =

6,67384 · 10−11 N ·m2 ·kg−2 er den universelle tyngdekonstant. Jordens massemidt-punkt ligger i dens centrum, så tyngdekraften, der påvirker en genstand med massenm på jordens overflade, hvor afstanden mellem jordens og genstanden massemidtpunk-ter er jordens radius rjord, kan skrives som

Ft = G ·mjord ·m

r2jord

=G ·mjord

r2jord

·m (1.26)

Størrelsen foran m kan beregnes:

G ·mjord

r2jord

=(6,67384 ·10−11 N ·m2 ·kg−2) · (5,97219 ·1024 kg)

(6,371 ·106 m)2 = 9,81961 m · s−2

Resultatet kaldes jordens tyngdeacceleration og betegnes g. Det er en konvention atskrive tyngdeaccelerationen efter massen (lige som i Newton’s 2. lov, F = m ·a). Dettebetyder, at:

Ved jordens overflade kan tyngdekraften på en genstand med massen m skrives:

Ft = m ·g (1.27)

hvor g≈ 9,82 m · s−2 kaldes jordens tyngdeacceleration. Se også bemærkninger-ne nedenfor.


Ligning 1.27 gælder strengt taget kun ved jordens overflade, men benyttes som regeluden hensyn hertil, bare man er ”nær” jordens overflade. Faktoren G·mjord

r2 ændrer signemlig meget lidt ved at benytte en afstand r, der lidt større end jordens radius: Man skalop i en højde på 3 km over jorden før faktoren er faldet fra 9,82 m · s−2 til 9,81 m · s−2,altså et fald på ca. 0,1%. Jordens tyngdeacceleration varierer i praksis med stedet påjorden, idet jordens overflade jo ikke er en eksakt kugle, så forskellige steder på jor-dens overflade har lidt forskellig afstand til jordens centrum. Desuden kan der der værelokale forskelle på, hvor megen masse, der ligge under jordens overflade (om det ermineraler med høj eller lav densitet). Endelig roterer jorden, så den effektive tyngdeac-celeration bliver reduceret lidt, jo tættere man kommer på ækvator (på grund af ”cen-trifugalkraften”). Man regner derfor ofte med en slags gennemsnitstyngdeacceleration,standardtyngdeaccelerationen g= 9,80665 m · s−2. Til beregninger i Danmark kan manbenytte den her gældende værdi g = 9,816 m · s−2.

1.6 Gnidning mellem faste stofferGnidning, også kaldet friktion mellem to faste stoffer i kontakt med hinanden (se fi-gur 1.7) er et fænomen eller en kraft der opstår, når en ydre kraft forsøger at få de tofaste stoffer til at glide i forhold til hinanden. Hvis den ydre kraft, der skubber, er forlille vil de to faste stoffer ikke glide i forhold til hinanden. Op til en vis størrelse af”skubbekaften” sker der ingen bevægelse (se figur 1.7). Dette betyder, ifølge Newton’s2. lov, at friktionen i dette tilfælde hele tiden har samme størrelse men modsat retning af”skubbekraften”. Skubbes der til gengæld med en tilstrækkelig stor kraft begynder derat ske glidning mellem de to materialer. Man siger at gnidningskraften - eller friktionen -er blevet overvundet. Gnidningskraften har altså en vis maksimal størrelse. Denne mak-simale gnidningskraft kan let beregnes: Hvis en glat klods af tyngdekraften og eventueltogså af andre kræfter presses mod en glat overflade af et materiale, der kan være et andetend klodsen er lavet af, vil overfladen presse tilbage på klodsen. Denne kraft, normal-kraften eller normalreaktionen, forhindrer at klodsen bliver presset igennem overfladen,og den betegnes Fn. Normalkraften er vinkelret på kontaktfladen mellem klodsen og un-derlaget. Det viser sig, at det kræver det en vis sidelæns kraft at få klodserne til at glidei forhold til hinanden. Den mindste kraft, der skal til for at klodsen bevæger sig, er denmaksimale værdi af friktionskraften. Denne maksimale værdi kaldes blot friktionskraf-ten, Ff. Størrelsen af denne afhænger af normalkraftens størrelse og af de to materialersindbyrdes friktionskoefficient, µ . Sammenhængen er simpel:

Ff = µ ·Fn (1.28)

Størrelsen af friktionskoefficienten afhænger af, hvilke to materialer, der er i kontaktmed hinanden. Friktionskoefficienten er et rent tal (dvs. uden enhed), og størrelsen an-

1.7. Arbejde 17

Figur 1.7: En glat klods presses mod en glat overflade af tyngdekraften og eventuelt af andre kræfter.Overfladen presser tilbage på klodsen med en kraft Fn, normalkraften, der er vinkelret på kontaktfladenmellem dem. For at få klodsen til at glide i forhold til fladen, skal der skubbes med en vis kraft. Denmindste kraft, der skal til før klodsen bevæger sig, kaldes friktionskraften, Ff. Størrelsen af denne afhæn-ger af normalkraftens størrelse og af de to materialers indbyrdes friktionskoefficient, µ . Sammenhængener: Ff = µ ·Fn

ses normalt for at være uafhængig af den hastighed hvormed klodserne bevæger sig iforhold til hinanden.Det er dog sådan, at det ofte kræver en større kraft at sætte denindbyrdes bevægelse i gang end at holde den i gang, når først bevægelsen er begyndt.Man opererer derfor med to friktionskoefficienter, den statiske friktionskoefficient, µs,der gælder i ligning 1.28 lige før bevægelsen går i gang, og den dynamiske friktionsko-efficient, µd , der gælder, når bevægelsen først er i gang. Tabel 1.1 viser nogle eksemplerpå størrelsen af friktionskoefficienter. Bemærk, at

• Friktionskraftens størrelse afhænger ikke af størrelsen af kontaktfladen mellemklodserne

• Den dynamiske friktionskrafts størrelse afhænger ikke af hvor hurtigt klodsernebevæger sig i forhold til hinanden

• Friktionskoefficienten er ikke en materialekonstant men afhænger af, hvilke tostoffer der er i kontakt med hinanden

1.7 ArbejdeI fysikken er et arbejde en kraft gange en vejstrækning. Figur 1.8 forestiller en mand, dertrækker en tung sæk hen over jorden. Vi siger, at manden udfører et arbejde på sækken,men i fysisk forstand er det kraften, der udfører arbejdet. Faktisk er det kun den del afkraften, der går i bevægelsens retning, der udfører et arbejde.


FriktionskoefficientMateriale 1 Materiale 2 Statisk (µs) Dynamisk (µd)Aluminum Aluminum 1,05 - 1,35 1,4Aluminum Stål 0,61 0,47Bly Støbejern 0,43Bronze Støbejern 0,22Bronze StålDiamant Diamant 0,1Diamant Metal 0,1 - 0,15Glas Glas 0,9 - 1,0 0,4Glas Metal 0,5 - 0,7Grafit Grafit 0,1Grafit Stål 0,1Gummi Asfalt (Tør) 0,5 - 0,8Gummi Asfalt (Våd) 0,25 - 0,75Gummi Beton (Tør) 0,6 - 0,85Gummi Beton (Våd) 0,45 - 0,75Jern Jern 1Kobber Støbejern 1,05 0,29Kobber Kobber 1Kobber Stål 0,53 0,36Læder Træ 0,3 - 0,4Læder Metal 0,6Læder Egetræ 0,61 0,52Messing Støbejern 0,3Mursten Træ 0,6Nylon Nylon 0,15 - 0,25Plexiglas Plexiglas 0,8Plexiglas Stål 0,4 - 0,5Polyetylen Stål 0,2Polystyren Polystyren 0,5Polystyren Stål 0,3 - 0,35Støbejern Støbejern 1,1 0,15Støbejern Egetræ 0,49Stål Stål 0,75Stål Is 0,02Teflon Stål 0,04Teflon Teflon 0,04

Tabel 1.1: Liste over friktionskoefficienter for nogle (tilfældige) kombinationer af materialer. For noglekombinationer er anført såvel den statiske som den dynamiske friktionskoefficient.

1.7. Arbejde 19

Figur 1.8: Der udføres i fysikkens forstand et arbejde når en kraft flytter en genstand i kraftens retning,eller mere præcist: Kun den del af kraften, der går i bevægelsens retning, udfører et arbejde.

Arbejdet W (fra engelsk work):beregnes som prikproduktet af kraften og vejstrækningen:

W = ~F ·~s (1.29)

hvor både kraften ~F og strækningen ~s er vektorer. Ligning 1.29 forudsætter, atbevægelsen går langs en ret linje over en bestemt strækning (så bevægelsen kanbeskrives ved en vektor) og at kraften er konstant i størrelse og retning.Arbejde har ifølge ligning 1.29 SI-enheden Nm der normalt skives som J (joule).

Bemærk, at hvis kraften og bevægelsen er vinkelret på hinanden, så udføres der ikkenoget arbejde (altså, W = 0)! Hvis kraften ikke er konstant, men afhænger af ”stedet”,eller hvis bevægelsen ikke foregår langs en ret linje, så gælder ligning 1.29 selvfølgeligikke. For at beregne det udførte arbejde under disse, mere generelle omstændighederdeler man (i tankerne) bevægelsen op i mindre stykker, hvor kraften kan antages at værekonstant og bevægelsen foregår langs en ret linje (se figur 1.9). Arbejdet, der udføres in-denfor hvert af disse mindre stykker, beregnes efter ligning 1.29. Dette svarer til arealetaf de smalle rektangler i figur 1.9. Det samlede udførte arbejde beregnes så som sum-men af disse bidrag. Som det ses, er summen af disse arealer altid mindre end arealetunder kurven, men jo flere og smallere rektangler, der deles op i, jo nærmere kommersummen af rektanglernes areal til arealet under kurven. Dette beregnes som bekendt vedat integrere funktionen med den blå graf, dvs. ved at integrere kraften fra startpositiontil slutposition. Vi har altså:


Figur 1.9: Den blå kurve viser den ydre kraft F som funktion af ”stedet” x. Det arbejde, kraften udførerved at flytte sit angrebspunkt fra 0 til x, er arealet under kurven.

Hvis kraften F kendes som funktion af stedet x, beregnes det arbejde, W , somkraften udfører ved at flytte sit angrebspunkt fra xstart til xslut som

W =∫ xslut

xstart

F(x) ·dx (1.30)

1.8 EnergiDet arbejde der er udført ved at trække sækken hen over gulvet bliver omdannet tilvarme og kan ikke leveres tilbage i form af nyt arbejde1

Som eksemplerne nedenfor viser, kan man indrette sig anderledes og opnå, at det arbejdeder udføres, kan genvindes og bruges til at lave mekanisk arbejde. De to tilfælde visereksempler på såkaldt mekanisk energi, hhv. potentiel og kinetisk energi. Varme er ogsåen form for energi. Da alle energiformerne stammer fra arbejde, der bliver oplagret, erdet klart at energi har samme SI-enhed som arbejde, nemlig J (joule).

Potentiel energi Epot

Hvis vi i stedet for at trække en sæk hen over gulvet løfter den op i luften (figur 1.10) erder ingen gnidning at overvinde, kun trækket nedad fra tyngdekraften. I modsætning til

1Dette er ikke helt rigtigt: Varme kan i et vist omfang omdannes til arbejde, men det kræver at der kon-strueres en maskine, der arbejder mellem to temperaturer, Thøj og Tlav. Man taler om Carnot-effektivitetenη = 1− Tlav

Thøjaf omsætningen fra varme til mekanisk arbejde. Carnot-effektiviteten er den teoretisk øvre

grænse for hvor stor en del af varmen, der kan omdannes til mekanisk arbejde. Temperaturerne Thøj ogTlav er absolutte temperaturer.

1.8. Energi 21

Figur 1.10: Der udføres et arbejde ved at løfte sækken op. Dette arbejde kan leveres tilbage ved at ladesækken ”falde” medens den f.eks. løfter noget andet eller evt. driver en el-generator og derved laverelektrisk energi.

hvad der sker, når man trækker en genstand under overvindelse af gnidningsmodstander det arbejde der udføres ved at løfte sækken imod tyngdekraften ikke tabt. Hvis snorenbindes fast når sækken er løftet op, kan man altid løsne snoren og genvinde det arbejdeder er udført, f.eks. ved at lade den ”faldende” sæk løfte en anden sæk eller evt. driveen el-generator, der laver elektrisk energi. Man siger at den løftede sæk indeholder po-tentiel energi, der bare er et andet ord for at det udførte arbejde er blevet ”gemt”. Hvissækken løftes stykket h udføres der ifølge ligning 1.29 arbejdet W = Fsnor ·h på sækken,hvor Fsnor er kraften, som snoren påvirker sækken med. For at sækken overhovedet skalkunne bevæge sig opad, skal snorekraften være mindst lige så stor som tyngdekraftenpå sækken. Denne har størrelsen Ft = m · g, hvor m er sækkens masse og g er jordenstyngdeacceleration, der i Danmark2 har den værdien g = 9,82 m · s−2. Hvis vi siger atsnorekraften lige netop har samme størrelse som tyngdekraften, så bliver det udførtearbejde lig med den potentielle energi:

Den potentielle energi i jordens tyngdefelt (nær jordens overflade):

Epot = mgh (1.31)

hvor massen m løftes stykket h lodret, og g er jordens tyngdeacceleration.

2Tyngdeaccelerationen varierer ca. 0,5%, alt efter hvor på jorden overflade man befinder sig: Vedpolerne har den værdien 9.832 m · s−2 og ved ækvator værdien 9.780 m · s−2


Det er en egenskab ved tyngdekraften (eller egentlig ved jordens tyngdefelt), at det ud-førte arbejde ved at løfte en genstand bliver gemt i form af potentiel energi. I tilfældetmed sækken der trækkes hen over underlaget er den kraft, der skal overvindes for at flyt-te sækken, gnidningskraften mod underlaget. Gnidningskraften har ikke den egenskab,at den kan levere det udførte arbejde tilbage. Man kalder kræfter, der leverer arbejde til-bage for konservative kræfter. Tyngdekraften samt elektrisk tiltrækning og frastødninger eksempler på konservative kræfter. Og gnidningskraften er et eksempel på en kraft,der ikke er konservativ.Begrebet potentiel energi er derfor mere generelt end ligning 1.31 antyder. Arbejde, derudføres imod en konservativ krafts modstand, bliver altid gemt som en form for po-tentiel energi, f.eks. elastisk potentiel energi eller elektrisk potentiel energi. Hvordandisse konkret beregnes, er bestemt af, hvordan kraften i det aktuelle tilfælde afhængeraf stedet. Ligning 1.31 har sit simple udseende fordi kraften, der skal overvindes, ertyngdekraften, og den har størrelsen m ·g alle steder, dvs. uafhængigt af højden h.

Kinetisk energi Ekin

Hvis snorekraften i ovenstående eksempel er større end tyngdekraften, bliver den resul-terende kraft Fres = Fsnor−Ft > 0. Ifølge Newtons 2. lov får sækken herved en acce-leration a, der er større en 0, givet ved Fres = m · a. En del af det udførte arbejde gåri dette tilfælde til at forøge genstandens (sækkens) hastighed. Arbejde, der benyttes tilat forøge en genstands hastighed kan også (i princippet) genvindes, f.eks. ved at bindeen snor i genstanden og (ved passende brug af trisser) lade den løfte en anden genstandhvorved den selv bremses, dvs. mister hastighed. Det arbejde, der medgår til at give engenstand en vis hastighed bliver således gemt i genstanden. Vi sige at genstanden gem-mer arbejdet i form af kinetisk energi Ekin. Størrelsen af den kinetiske energi afhængerkun af genstandens hastighed, ikke af, hvordan hastigheden blev opnået, f.eks. en lilleacceleration over lang tid eller en stor acceleration over kort tid. Vi vil udlede udtrykketfor hvor stort et arbejde, der udføres på en genstand med massen m, når den påvirkes afen konstant kraft F igennem tidsrummet t. Vi vil gå ud fra, at vi har indrettet os sådan,at genstanden til tiden t = 0 har hastigheden v0 = 0.Ifølge Newtons 2. lov giver kraften F genstanden en acceleration a givet ved:

F = m ·a

Ifølge ligning 1.23 gennemløber genstanden strækningen s i løbet af tiden t givet ved

s = x(t)− x0 =12

a · t2

idet jo v0 = 0. Herved udføres arbejdet W givet ved:

W = F · s

1.9. Effekt 23

= (m ·a) · s

= (m ·a) · (12

a · t2)

=12

m(a · t)2

=12

m · (v(t))2

hvor vi til den sidste omskrivning har benyttet ligning 1.22 (med v0 = 0). Som nævntkan dette udførte arbejde genvindes og siges derfor at være lagret i genstanden i form afbevægelsesenergi eller kinetisk energi Ekin, der er givet ved genstandens hastighed v:

Den kinetiske energi af et objekt:

Ekin =12

m · v2 (1.32)

hvor m er tingens masse og v er dens hastighed.

Energiens bevarelse

Den, måske vigtigste, af alle fysikkens love er loven om energiens bevarelse, der siger:

Loven om energiens bevarelse:I et isoleret system er summen af alle energiformer bevaret (dvs. konstant).

Det vil sige, at systemets samlede energi til et givet tidspunkt er den samme som til et-hvert andet tidspunkt. Det er muligt, f.eks., at systemets samlede potentielle energi fal-der, men så vil andre energiformer stige, så summen af alle energiformer er uforandret.At energien er bevaret i et isoleret system kan ikke bevises, men er et eksperimenteltfaktum i den forstand, at der aldrig er fundet holdbare eksempler på det modsatte.

1.9 EffektBegrebet effekt beskriver hvor hurtigt arbejde udføres eller hvor hurtigt energi overføres.


Effekten P (af engelsk power) er defineret som:

P =Wt

eller P =Et

(1.33)

hvor W er størrelsen af et arbejde, E er størrelsen af den overførte energi og t erden tid det tager at udføre arbejdet eller at overføre energien.SI-enheden for effekt er ifølge ligning 1.33 J · s−1, der også skrives W (watt).

Der findes mange situationer, hvor effekten kan beregnes direkte. Dette er f.eks. tilfæl-det hvor en kraft flytter sit angrebspunkt med en given hastighed, v. I løbet af en tidt vil kraften have flyttet sit angrebspunkt stykket s, givet ved ~s =~v · t. Indsættes detteudtrykket for arbejde (ligning 1.29) får man

W = ~F ·~s = ~F ·~v · t (1.34)

som ved indsættelse i ligning 1.33 giver P = Wt =

~F ·~v·tt = ~F ·~v. Vi har altså:

Effekten P når kraften ~F flytter sit angrebspunkt med hastigheden~v:

P = ~F ·~v (1.35)

Man skelner mellem effekt forbrug og effekt ydelse:

Eksempel: En gammeldags pære3 til en arkitektlampe har påstemplet 60 W.Det betyder at denne pære forbruger 60 J hvert sekund. Det indebærer og-så, at pæren udsender elektromagnetisk stråling med en samlet effekt på lidtunder 60 W. Lidt under fordi noget af energien går til at opvarme luften, derhar kontakt med pæren. Den elektromagnetiske stråling (se afsnit 3.2) bestårdels af synligt lys (2 - 5% af energien, afhængigt at glødetrådens tempera-tur) samt af varmestråling (infrarød stråling, ca. 90% af energien).

En bilmotor, der yder 70 kW (det samme som 95 hk4) forbruger kemiskenergi fra benzin med en effekt på 250 kW idet en benzinmotor i bedstefald leverer 25 – 30% af den forbrugte kemiske energi tilbage i form af me-kanisk arbejde.

3Nu forbudt iflg. et EU direktiv. I stedet skal man benytte lavenergipærer eller LED’er4hk (hestekræfter) har ikke noget at gøre med kraft, men er et mål for den effekt motoren kan levere i

form af mekanisk arbejde. Omregningsfaktoren er 1 hk = 735,5 W

1.9. Effekt 25

Ligning 1.35 giver i øvrigt forklaringen på, at en bil er dårligere til at accele-rere, når den i forvejen kører hurtigt. Dette har selvfølgelig også noget at gø-re med luftmodstanden, der vokser med bilens hastighed, så der bliver min-dre og mindre kraft til rådighed for selve accelerationen: Det, der bestem-mer accelerationen er den resulterende kraft, Fres. = Fhjulene−Fluftmodstand.Men selv uden luftmodstand ville accelerationen blive mindre ved stigendehastighed. Bilens acceleration a er givet ved Newtons 2. lov, Fres. = m · a,som indsat i ligning 1.35 giver P = m ·a · v. Heraf følger, at

a =P

m · v

hvor P er den effekt bilens motor yder og m er bilens masse. Man ser heraf,at jo større hastigheden v er, jo mindre acceleration får man ud af motorenseffekt.


Opgaver

Opgave 1.1En bil, kommer kørende med 60 km/time, og udsættes for en frontal kollision, hvorvedden stoppes på 0,25 s.

a: Hvad sker der med passagererne, hvis de ikke bærer sikkerhedsseler?Hvilket fysisk princip anvendte du til at komme til din konklusion?

Antag nu, at de bærer sikkerhedsseler og, som en første tilnærmelse, at accelerationen(der er negativ) er konstant i løbet af de 0,25 s.

b: Hvor stor bliver passagerernes acceleration?

c: Hvor stor er den gennemsnitlige kraft, der virker på kroppen af en passager medmasse 75 kg i løbet af kollisionen?

Opgave 1.2En kontormand kører hver dag til sin arbejdsplads i bil, og hans daglige energibehov er1,00 ·107 J ·døgn−1. En dag beslutter han, at han fra nu af vil cykle på arbejde. Dettemedfører, at han dagligt kommer til at cykle 20 km med en gennemsnitliggnidningsmodstand på 10 N. Hans energibehov bliver dermed forøget til1,10·107 J ·døgn−1.

a: Hvor stor en procentdel af det ekstra energiforbrug bliver omsat til hanscykelarbejde?

Opgave 1.3Forestil dig, at du er ude at lufte din hund, og I er kommet 1 km væk hjemmefra ognetop er på vej hjem, da hunden i et anfald af trods nægter at gå længere. Du forsøgerat lokke hunden ved at love, at den må få en King Size Mars (= 100 gram lækkerchokolade) når I kommer hjem, hvis den vil være så venlig at gå selv. Hunden viser sigubestikkelig da den ved, at hunde ikke kan tåle chokolade, og du må slæbe den hjemved at trække med en kraft på 100 N i vandret retning. Det tager 20 minutter.

a: Hvor stort arbejde udfører du ved at trække hunden hjem (1 km)?

b: Hvor stor er effekten af det udførte arbejde?

1.9. Effekt 27

Træt og fuld af selvmedlidenhed føler du dig berettiget til at spise Mars’en selv. Denindeholder energien 2000 kJ. Idet den slankende effekt af selvmedlidenhed desværre ernoget overvurderet, så skal du

c: lave en nøgtern beregning af hvor mange procent af Mars’en du kan tillade dig atspise, hvis du bare skal kompensere for det ekstra arbejde, du netop har udført.Husk, at musklerne kun er 20% effektive.


Facit til opgaver

Opgave 1.1a: Fortsætter med 60 km/timen til de rammer forruden iflg. Newtons 1. lov: Ingen

sikkerhedsseler ⇒ ingen kraft på passagererne ⇒ uændret bevægelsesmængde(og dermed hastighed) af passagerer.

b: −66,7 m · s−2

c: -5000 N

Opgave 1.2a: 20%

Opgave 1.3a: 105 J

b: 83,33 W

c: Der kan spises 25% af Mars’en

2Drejningsmoment

Begreberne Kraft, arbejde og energi er velkendte, og de fleste der har beskæftiget sigmed fysik i nogle år har en ret klar fornemmelse af, hvad disse begreber står for, oghvordan de anvendes. Anderledes stiller det sig med begrebet drejningsmoment (ogsåkaldet kraftmoment), som kun få har hørt om og endnu færre har en klar forståelse for.Ikke desto mindre er det et centralt begreb i beskrivelsen af samspillet mellem dyrs ellermenneskers skelet og deres muskler. Begrebet er et (næsten uundværligt) hjælpemiddeltil at forstå og beregne kræfter og spændinger i knogler og muskler.

2.1 Mekanisk ligevægtVi skal lige se nærmere på Newtons 2. lov:

~F = m ·~a (2.1)

Den udtaler sig om et ”legeme” med massen m, der påvirkes af en kraft ~F . Herved fårlegemet, eller rettere, legemets massemidtpunkt, accelerationen~a.Den kraft, F , der indgår i Newtons 2.lov er summen af alle de kræfter, der virker pålegemet, dvs. det, der kaldes den resulterende kraft på legemet. På figur 2.1 er vist etlegeme, der er påvirket af fem kræfter, ~F1, . . . , ~F5, der alle angriber i forskellige punkterog har forskellige størrelser og retninger. Vektorsummen ~Fres, af disse kræfter, er denresulterende kraft på legemet og giver det en bevægelse, så massemidtpunktet får enacceleration, der kan beregnes ud fra Newtons 2. lov. ”Beregningen” af den resulteren-de kraft er vist på figuren ved siden af. Hvis summen af alle kræfter, der virker på et

29

30 Kapitel 2. Drejningsmoment

Figur 2.1: Legemet påvirkes af kræfterne ~F1, . . . , ~F5, der angriber i forskellige punkter. På figuren til højreer vist, hvordan den resulterende kraft ~Fres findes ved at ”beregne” vektorsummen. I det viste tilfælde erkræfterne tæt på at ophæve hinanden.

legeme, er nul, har legemets massemidtpunkt derfor accelerationen nul, hvilket vil sige,at legemets masssemidtpunkt enten ligger stille eller bevæger sig jævnt og retlinjet. Ibiologisk sammenhæng er det som regel den første situation, der er relevant. Når denresulterende kraft på et legeme er 0, siges legemet at være i translationsligevægt.

2.2 DrejningsmomentLegemet vist på figur 2.2 er klart i translationsligevægt, da de to kræfter, der virker pådet, er lige store og modsat rettede, så de tilsammen giver nul (vektoren). Men det erogså klart, at legemet vil begynde at dreje sig. Drejningen vil stoppe, når de to kræfterligger i forlængelse af hinanden.For at kunne regne på kræfters evne til at dreje legemer har man indført begrebet drej-ningsmoment, somme tider kaldet kraftmoment. På svensk kaldes det vridningsmoment,hvad der måske bedre giver en forståelse af, hvad det handler om. Begrebet bliver måskelette at forstå hvis man sammenligner kraft og drejeningsmoment:Hvis et legeme er påvirket af en (resulterende) kraft vil det (dvs. dets massemidtpunkt),så længe kraften virker og er forskellig fra 0

• enten ændre hastighed

• eller ændre bevægelsesretning

2.2. Drejningsmoment 31

Figur 2.2: De to kræfter på legemet er lige store og modsat rettede, så deres vektorsum er nul, hvor-for legemets massemidtpunkt ikke bliver accelereret. Men legemet vil til gengæld begynde at dreje sigomkring massemidtpunktet.

• eller begge dele

Hvis et legeme er påvirket af et (resulterende) drejningsmoment vil det, så længe drej-ningsmomentet virker og er forskellig fra 0

• enten ændre omdrejningshastighed

• eller ændre den akse drejningen foregår omkring

• eller begge dele

Der skal tre ting til at definere et drejningsmoment:

1. Størrelsen af kraften

2. Placeringen af omdrejningspunktet, O

3. Placeringen af kraftens angrebspunkt, A

4. Vinklen mellem kraften og linjen OA

Vi kan nu give en mere generel og præcis definition af begrebet drejningsmoment:


Figur 2.3: Man skal forestille sig, at legemet er tvunget til at dreje omkring punktet O, f.eks. ved at derer sat et søm igennem det. Kraften ~F trækker i legemet i angrebspunktet A, der ligger i retning og afstand~r fra O.

Drejningsmoment (eller kraftmoment):Med henvisning til figur2.3 defineres drejningsmomentet M for kraften F medhensyn til omdrejningspunktet O ved ligning 2.2

M = F · r sin(θ) (2.2)

hvor θ angiver vinklen mellem kraften og forbindelseslinjen mellem kraftens an-grebspunkt A og det angivne omdrejningspunkt O.Drejningsmoment har SI-enheden N ·m. Konventionen er, at hvis kraften for-søger at dreje legemet mod uret, er drejningsmomentet positivt, og hvis kraftenforsøger at dreje legemet med uret, regnes drejningsmomentet for negativt.

Bemærk, at størrelsen F sin(θ) udtrykker, hvor stor en del af kraften, der er vinkelret påvektoren~r. Det er med andre ord kun den del af kraften, der er vinkelret på forbindel-seslinjen OA, der bidrager til drejningsmomentet, dvs. forsøger at dreje legemet.I dette tilfælde vil drejningen stoppe, når forbindelseslinjen OA ligger i forlængelse afkraften ~F (de er parallelle, se figur 2.4). Når forbindelseslinjen OA ligger i forlængelseaf kraften ~F er vinklen θ = 180, så når legemet når sin stabile position er drejnings-momentet nul (jf. ligning 2.2), idet sin(180) = 0. Hvis et legeme er påvirket af flerekræfter samtidig (som vist i figur 2.1) beregnes det samlede drejningsmoment på lege-met (med hensyn til et på forhånd valgt omdrejningspunkt) ved at beregne drejnings-momentet med hensyn til det valgte omdrejningspunkt for hver enkelt kraft og dernæstlægge de beregnede drejningsmomenter sammen. De enkelte drejningsmomenter skalnaturligvis regnes med fortegn. Efterhånden som legemet drejer sig under indflydelseaf kræfterne, ændres det samlede drejningsmoment, indtil det er nul. Legemet siges at

2.3. Eksempel 1 33

Figur 2.4: Kraften har her fået drejet legemet, så forbindelseslinjen OA ligger i forlængelse af kraften.

være i rotationsligevægt når det samlede drejningsmoment på legemet er lig med nul.

Mekanisk ligevægt:Et legeme siges at være i mekanisk ligevægt når to ting er opfyldt:

1. Det er i translationsligevægt (summen af kræfter er nul)

2. Det er i rotationsligevægt (summen af drejningsmomenter er nul for ethvertmuligt omdrejningspunkt)

I biologisk sammenhæng er den relevante situation, at legemet ligger helt stille, dvs.hverken flytter sig (mht. massemidtpunktet) eller drejer sig.

2.3 Eksempel 1Vi skal nu se på et eksempel på, hvad alt dette kan bruges til:Vi ser på en (under-)arm (figur 2.5), der bliver belastet ved at hånden løfter et lod medmassen 10 kg.Afstanden fra albueleddet A til muskelhæftningspunktet B er |AB| = 3 cm, og afstandenfra A til midten af hånden C er |AC| = 30 cm.Underarmen bevæger sig ikke. Det betyder, at der er såvel translationsligevægt som ro-tationsligevægt. Underarmen er vandret og bicepsmusklen er lodret, hvorved den kraft,musklen trækker i underarmen med, også er lodret. Vi vil beregne

1. hvor stor kraft FB, musklen trækker i underarmen med, og

2. hvor stor kraft FA overarmsknoglen presser på underarmsknoglen med.


Figur 2.5: Når bicepsmusklen har en passende spænding, er underarmen i ro, medens den holder loddet,der vejer 10 kg.

For at illustrere brugen af de to ligevægtsprincipper vil beregningerne blive gennemgåetpå tre forskellige måder (men der er også andre måder). Først forsimples figur 2.5,og kræfterne indtegnes i figur 2.6: Underarmen har fysisk kontakt med omgivelserne i

Figur 2.6: En forsimplet udgave af figur 2.5, hvor de relevante kræfter er indtegnet. Overarmsknoglen ertegnet stiplet, men kunne ligeså godt have været udeladt, da vi kun ser på kræfter, der virker på under-armsknoglen.

2.3. Eksempel 1 35

punkterne A, B og C, så det er kun her, der kan virke kræfter (på nær tyngdekraften påselve armen; men den vil vi se bort fra).Vi kan først bemærke, at vi kender én kraft, nemlig FC, idetFC = m ·g = 10 kg ·9,82 m · s−2 = 98,2 N.

Metode 1 (A som omdrejningspunkt)Først benyttes rotationsligevægt: Summen af drejningsmomenter mht. ethvert punkt ernul. Vi kan altså vælge omdrejningspunktet som vi selv vil. Beregningerne bliver let-test, hvis man vælger enten A, B eller C, men alle andre punkter er brugbare, selvomberegningerne bliver mere besværlige. For at beregne FB, kan man med fordel vælgealbuepunktet A som omdrejningspunkt.Rotationsligevægt kan så udtrykkes:

−|AC| ·FC · sin(θC)+ |AB| ·FB · sin(θB)+ |AA| ·FA · sin(θA) = 0 (2.3)

eller, med nogle af de kendte størrelser indsat

−|AC| ·FC · sin(90)+ |AB| ·FB · sin(90)+0 ·FA · sin(θA) = 0 (2.4)

som giver

−|AC| ·FC + |AB| ·FB = 0 (2.5)

Heraf findes muskelkraften: FB = |AC|·FC|AB| = 98,2 N·0,3 m

0,03 m = 982 NBemærk, at kraften FA ikke kan findes af denne ligning, da FA er blevet ganget med 0i ligning 2.4. Hvis man vil bruge rotationsligevægt til at beregne størrelsen af en kraft,kan man altså ikke benytte denne krafts angrebspunkt som omdrejningspunkt. Her kanvi til gengæld benytte:Translationsligevægt: ~FA + ~FB + ~FC =~0.Da kræfterne ~FB og ~FC ikke har nogen vandret komposant, har kraften ~FA det hellerikke, da summen er~0. Det betyder, at også ~FA er lodret. Translationsligevægten kan såudtrykkes

FA−FB +FC = 0 (2.6)

hvormed størrelsen af kraften ~FA findes:FA = FB−FC = 982 N−98,2 N = 883,8 N

Vi prøver nu at foretage beregningerne på en lidt anden måde:


Metode 2 (B som omdrejningspunkt)Vi kender FC og ønsker at finde FA og FB. Vælg punktet B som omdrejningspunkt:Rotationsligevægt kan så udtrykkes:

|AB| ·FA · sin(θA)−|BB| ·FB · sin(θB)−|BC| ·FC · sin(θC) = 0 (2.7)

eller|AB| ·FA · sin(90)−0 ·FB · sin(90)−|BC| ·FC · sin(90) = 0 (2.8)

som giver|AB| ·FA−|BC| ·FC = 0 (2.9)

Heraf findes størrelse af kraften ~FA:FA = |BC|·FC

|AB| = (0,3 m−0,03 m)·98,2 N0,03 m = 883,8 N

Bemærk, at kraften FA her blev fundet uden brug af translationsligevægt. Til gengældkan vi nu ikke finde kraften FB, da den udgår af beregningerne (pga. multiplikation med0 ligning 2.8). Men vi benytter så translationsligevægt (ligning 2.6) igen, hvoraf FB fin-des.FB = FA +FC = 883,8 N+98,2 N = 982 N

Metode 3 (C som omdrejningspunkt)Det er også muligt at benytte punktet C som omdrejningspunkt, men udregningernebliver lidt mere besværlige, da den kendte kraft, FC, udgår af ligningen for rotationsli-gevægt:

|AC| ·FA · sin(θA)−|BC| ·FB · sin(90)+ |CC| ·FC · sin(90) = 0 (2.10)

der kan skrives som

|AC| ·FA−|BC| ·FB · sin(90)−0 ·FC · sin(90) = 0 (2.11)

hvormed|AC| ·FA−|BC| ·FB = 0 (2.12)

Sammen med ligningen 2.6 for translationsligevægt udgør ligning 2.12 et lineært lig-ningssystem (”to ligninger med to ubekendte”):

|AC| ·FA−|BC| ·FB = 0 (2.13)

−FA +FB = FC (2.14)

2.4. Eksempel 2 37

Indsættelse af de kendte størrelser giver:

(0,30 m) ·FA− (0,27 m) ·FB = 0 (2.15)

−FA +FB = 98,2 N

Ligningssystemet kan f.eks. løses ved først at gange den nederste ligning med 0,3 m påbegge sider af lighedstegnet:

(0,30 m) ·FA− (0,27 m) ·FB = 0 (2.16)

−(0,30 m) ·FA +(0,30 m) ·FB = (0,30 m) ·98,2 N

og dernæst lægge de to ligninger sammen:

(0,30 m−0,30 m) ·FA +(0,30 m−0.27 m) ·FB = (0,30 m) ·98,2 N (2.17)

hvormed(0 m) ·FA +(0,03 m) ·FB = (0,30 m) ·98,2 N (2.18)

så

FB =(0,30 m) ·98,2 N

0,03 N= 982 N (2.19)

Indsættelse af dette resultat i den anden af ligningerne i 2.15, giver så

FA = 982 N−98,2 N = 883,8 N (2.20)

2.4 Eksempel 2Vi ser nu igen på en arm, men antager nu ikke som i eksempel 1, at alle vinkler er 90.Se på figur 2.7. Lad os sige, at θB = 120 og θC = 70. Loddet har stadig massen 10kg og alle længder er som i eksempel 1. Lad os igen beregne størrelsen af musklenstræk FB i underarmen. Igen kan det gøres på utallige måder, afhængigt af hvor man væl-ger sit omdrejningspunkt. Vælg omdrejningspunktet til at være A, svarende til metode1 i eksempel 1. Med albuepunktet A som omdrejningspunkt kan rotationsligevægt såudtrykkes:

|AC| ·FC · sin(θC)−|AB| ·FB · sin(θB)+ |AA| ·FA · sin(θA) = 0 (2.21)

Bemærk, at leddene har modsat fortegn af, hvad de havde i eksempel 1, metode 1.Årsagen er, at tegningen nu er vendt modsat, så tyngdekraften FC nu drejer underarmenmod uret og muskelkraften FB nu drejer underarmen med uret. eller, med |AA| = 0indsat:

|AC| ·FC · sin(θC)−|AB| ·FB · sin(θB) = 0 (2.22)


Figur 2.7: En arm hvor underarmen er løftet, så tyngdekraften på loddet nu ikke længere danner en retvinkel i forhold til armen. Og over-og underarm danner nu en vinkel med hinanden, så musklens trækkraftikke er vinkelret på underarmen.

2.4. Eksempel 2 39

Heraf findes muskelkraften:

FB =|AC| · sin(θC) ·FC

|AB| · sin(θB)=

(0,3 m) · sin(70) ·98,2 N(0,03 m) · sin(120)

= 1056,5 N


Opgaver

Opgave 2.1Skinnebensknoglen kan holde til at blive vredet med et drejningsmoment på mellem50 N ·m og 250 N ·m afhængigt af alder, køn, mineralisering m.m. Antag, at foden erspændt fast på midten af en ski, der er 2,0 m lang.

a: Beregn, hvor stor kraft vinkelret på skispidsen (i vandret plan) der skal til for atbrække underbenet på en skiløber (én beregning for hvert af de to tilfælde).

b: Hvor stor masse skulle et lod have for at tyngdens træk i loddet svarer til kraftenberegnet i spørgsmål a? (Ét svar for hver kraft).

Opgave 2.2Figur 2.8 forestiller en arm med biceps. Loddet, der hviler på hånden, har massen10 kg. Dimensionerne er følgende:|SM| = 25 cm, |AM| = 4 cm, |AH| = 30 cmUnderarmen er vandret, og vinklen θM = 90

Figur 2.8

a: Hvor stor en kraft holder bicepsmusklen?

Nu strækkes armen lidt, så underarmen stadig er vandret, men vinklen θM = 150

b: Hvor stor en kraft holder bicepsmusklen nu?

Til slut løftes hånden og albuen ved at dreje i skulderen, så underarmen kommer til atdanne vinklen 30 i forhold til vandret (se figur 2.9). Vinklen θM = 150, stadigvæk.

2.4. Eksempel 2 41

Figur 2.9

c: Hvor stor en kraft holder bicepsmusklen nu?

d: Hvor stor er den kraft, overarmsknoglen påvirker albueleddet med under sammeforhold som under spørgsmål a? (altså som figur 2.8)

Opgave 2.3Den hastighed, hvormed skeletmuskulaturens fibre (maksimalt) kan trække sigsammen, afhænger af, hvor stor ydre belastning, de skal overvinde. Figur 2.10 viser enprincipskitse af sammenhængen mellem størrelsen af den ydre belastning F på énmuskelfiber og den hastighed v, hvormed den kan trække sig sammen. Sammenhængener givet ved udtrykket

v = a · F0−FF1 +F

(2.23)

hvor a = 72 mm · s−1, F0 = 400 µN, og F1 = 300 µN.Figur 2.11 viser en skitse af en arm, hvor afstanden |AC| = 3 cm og afstanden |BC| = 30cm. Bicepsmusklen M består af 4 ·106 parallelforbundne muskelfibre af typenbeskrevet ved ovenstående ligning. Vi ser i opgaven bort fra massen af selveunderarmen.

a: Vis, at musklen maksimalt kan trække sig sammen med hastigheden 96 mm · s−1,og at den enkelte fiber højst kan trække med en kraft på 400 µN.

b: Beregn, hvor stor kraft musklen i belastes med, når et lod med massen 15 kgophænges i punktet B.

c: Beregn, hvor stor kraft overarmsknoglen påvirker underarmsknoglen med ipunktet C, når der hænger et lod med massen 15 kg i punktet B. (Hvis du ikkehar svaret på spm. b, kan du sætte belastningen på musklen til 1450 N).


d: Hvor lang tid tager det (mindst) for musklen at trække sig 1 cm sammen (punktetA løfter sig 1 cm), når der hænger 15 kg i B?

Når en muskelfiber trækker sig sammen med hastigheden v, medens den overvinderden ydre kraft F , udfører den et arbejde med effekten P = F · v .

e: Ved hvilken sammentrækningshastighed yder muskelfiberen den maksimaleeffekt?(Vink: Skitsér en graf af P som funktion af v ved at vælge nogle værdier for F ogdernæst beregne de tilhørende værdier for v og P).Man kan også løse opgaven analytisk. Det nemmeste er, at isolere kraften F iligning 2.23, så den udtrykkes som funktion F(v) af hastigheden v. Lav dernæsten funktionsundersøgelse af funktionen f (v) = v ·F(v).

Figur 2.10 Figur 2.11

2.4. Eksempel 2 43


Facit til opgaver

Opgave 2.1a: 50 N

250 N

b: Hvis Fmax = 50 N er m = 5,09 kgHvis Fmax = 250 N er m = 25,46 kg

Opgave 2.2a: 736,5 N

b: 1473 N

c: 1275,7 N

d: 638,3 N

Opgave 2.3a: 96 mm · s−1

Maximalt træk når F =400 µN

b: (−)1473 N

c: 1326 N

d: 2,9 s

e: Se figur 2.12: ca. 40 mm · s−1

For de ambitiøse/nysgerrige: Opgaven kan også løses eksakt algebraisk.Den eksakte løsning er (72 mm · s−1) · (

√7/3−1)≈ 38,0 mm · s−1

2.4. Eksempel 2 45

Figur 2.12

3Varme

Hovedformålet med dette kapitel er at beskrive hvordan levende organismer opretholderen relativt konstant legemstemperatur.

3.1 TemperaturMennesker og dyr har specialiserede nerveceller, termoreceptorer, der reagerer på var-me og kulde. Man kender mindst 6 forskellige termoreceptorer. Varmt og koldt refererertil sanseindtryk. De er et groft mål for hvad vi også kalder temperatur. Men termore-ceptorerne giver ikke noget pålideligt eller reproducerbart mål for nogen egenskab vedstof. Hvis man holder den venstre hånd ned i vand med en temperatur på 10 C og denhøjre hånd ned i vand med temperaturen 40 C vil de føle hhv. varme og kulde. Mentermoreceptorerne tilpasser sig påvirkningen, så hvis man efter et minut holder beggehænder ned i vand med temperaturen 25 C vil den venstre hånd føle det som varmtmedens den højre hånd vil føle det som koldt. Desuden er nogle af termoreceptorernefølsomme for visse kemiske forbindelser: Varmereceptoren TRPV1, der aktiveres vedtemperaturer over 43 C aktiveres også af syre (H+-ioner), kamfer og af capsaicin, detaktive stof i chilepeber. Kuldereceptoren TRPM8, der aktivieres ved temperaturer under28 C reagerer også på mentol. Man forsøgte derfor i mange år at finde metoder til atmåle varme og kulde kvantitativt, men ført med opfindelsen af kviksølvtermometeret(Daniel Gabriel Fahrenheit 1724) blev det praktisk muligt at måle temperaturer repro-ducerbart. Fahrenheit indførte også sin egen temperatureskala (inspireret af arbejder afGalilei og Ole Rømer). Fahrenheit skalaen har undergået mindre ændringer nogle gange

47

48 Kapitel 3. Varme

siden, den blev indført, men er nu fastlagt ved to temperaturfixpunkter: Is smelter ved32 F og vand koger ved 212 F.Nogle år senere indførte Anders Celsius en anden skala, der bærer hans navn. Dennevar i mange år defineret ved de to temperaturfixpunkter: Is smelter ved 0 C og vandkoger ved 100 C. Definitionen er nu baseret på kelvinskalaen (se nedenfor), der bla erbaseret på at vands tripelpunkt1 er 0,01 C. I mange år var Fahrenheit skalaen den mestbenyttede i engelsktalende lande, men i dag er det næsten kun USA der benytter den.Stort set resten af verden benytter celsiusskalaen.

KelvinskalaenEfterhånden blev man opmærksom på, at temperaturer ikke kunne blive vilkårligt lave,eller med andre ord, at der fandtes en mindste temperatur. Omkring 1848 blev det be-regnet, at den lavest mulige temperatur måtte være ca. −273 C. Dette betyder, at dettil mange videnskabelige formål er mere naturligt at benytte en temperaturskala, derhar sit nulpunkt ved den lavest mulige temperatur. Dette gav anledning til kelvinskala-en, der oprindeligt skulle have samme afstand mellem kelvintemperaturerene som dervar mellem temperatur-inddelingerne i celsiusskalaen. Kelviskalaen er nu defineret vedto fixpunkter: Det absolutte nulpunkt, 0 K og at vands tripelpunkt er præcis 273,16 K.Herved kommer vands kogepunkt ikke ind i billedet og det viser sig da også, at meddenne definition bliver vands kogepunkt ikke præcis 100 C men 99,9839 C, hvad derikke har den store praktiske betydning. Vi kan derfor skrive sammenhængen mellemcelsiusskalaen og kelvinskalaen:

Sammenhængen mellem celsius og kelvin skalaerne:

kelvintemperatur = celsiustemperatur+273.15 (3.1)

En temperaturforskel på 1 K er også en temperaturforskel på 1 C

Temperatur måles med et termometer, der kan være udformet meget forskelligt. Ter-mometre kan være baseret på mange forskellige principper, f.eks.:

• Varmeudvidelse af en væske (f.eks. kviksølv eller sprit)

• Forskel i varmeudvidelse mellem to sammensvejste metaller

• Ændring af elektrisk modstand ved temperaturændring

1Vands tripelpunkt er den temperatur, hvor vanddamp, flydende vand og is eksisterer samtidig.

3.1. Temperatur 49

• Dannelse af elektrisk spændingsforskel mellem to punkter hvor forskellige metal-ler er loddet sammen

• Måling af den udsendte varmestråling

De fleste laboratorietermometre har (ligesom vejrtermometre) en nøjagtighed på ca.1 C. Dyre termometre og termometre med lille temperaturområde (til lægelig brug)har en nøjagtighed på ca. 0,1 C. Det er meget vanskeligt at måle temperatur med ennøjagtighed, der er bedre end 0,01 C.

Varme og temperatur

I daglig tale er varme og temperatur næsten synonyme. I fysikken betyder begrebernenoget vidt forskelligt:

Varme En af formerne for energi

Temperatur Det, man måler med et termometer.

Vi skal senere se, at et stofs temperatur blot er et mål for molekylernes gennemsnitligekinetiske energi.Varme kan opbevares på flere forskellige måder: Ved at forøge temperaturen for et ob-jekt, ved at smelte materiale og opbevare det smeltede eller ved af fordampe materialeog opbevare det fordampede. Vi ser på de tre måder hver for sig:

Varme ved temperaturændring

Det var den engelske fysiker og ølbrygger, James Prescott Joule der gennem en række– dengang kontroversielle forsøg – op igennem 1800-tallet beviste at varme er en formfor energi. Han bestemte hvor meget mekanisk arbejde, det krævede at varme en givenmængde vand op og nåede til en værdi af omregningsfaktoren, der lå mindre en 0,5%fra den værdi, der er den accepterede i dag. Den accepterede værdi i dag er, at detkræver 4,1855 J at forøge temperaturen af 1 gram vand fra 14,5 C til 15,5 C. Dennevarmemængde kaldtes også 1 calorie (1 cal). Denne enhed er stadig i brug i dag indenforvisse fag, selvom den jo ikke er en SI-enhed. Indenfor ernærings- og fødevarevidenskaber en almindelig anvendt enhed for energiindholdet i fødemidler Cal (skrevet med stortC), der er det samme som 1000 cal. Altså:

50 Kapitel 3. Varme

Stof ckJ ·kg−1 ·K−1

vand 4,18is 2,09ethyl alkohol 2,72olivenolie 1,97organismens væv 3,47lithium 3,58jern 0,45bly 0,13luft 1,01

Tabel 3.1: Specifikke varmekapaciteter for en række stoffer, de fleste ved 25 C. Værdien for luft gælderved konstant tryk (1 atm). Værdien for organismens væv er en gennemsnitsværdi.

Sammenhængen mellem Cal, cal, og joule:

1 cal er den varmemængde, der går til at opvarme 1 gram vand fra 14,5 C til15,5 C

1 Cal = 1000 cal = 1 kcal

1 cal = 4,1855 J

Varmeenergi betegnes traditionelt med symbolet Q.

Hvis en portion af et materiale (det kan være f.eks. vand, fedt, egetræ, gummi ellernoget helt femte) med massen m tilføres varmemængden Q uden at der smelter ellerfordamper noget vil temperaturen ændre sig fra Tfør til Tefter, dvs. med værdien ∆T =

Tefter−Tfør. ForholdetQ

m ·∆T= c (3.2)

kaldes den specifikke varmekapacitet for materialet. SI-enheden er J ·kg−1 ·K−1Denspecifikke varmekapacitet er en materialekonstant, ligesom f.eks. et stofs densitet. Li-gesom et stofs densitet afhænger noget (lidt) af temperaturen, gør den specifikke var-mekapacitet det også. For vand er det klart, at c = 4,1855 ·103 J ·kg−1 ·K−1. Tabel 3.1viser specifikke varmekapaciteter for nogle udvalgte stoffer. Af alle biologisk relevantestoffer har vand den højeste specifikke varmekapacitet.Ud fra definitionen på specifik varmekapacitet (ligning 3.2) kan man beregne hvor me-

3.1. Temperatur 51

gen energi en temperaturstigning i et givet materiale kræver:

Sammenhængen mellem temperaturstigning ∆T og varmetilførsel Q:

Q = c ·m ·∆T (3.3)

hvor m er stoffets masse og c er stoffets specifikke varmekapacitet

I et isoleret system, hvor der ikke foregår smeltning, fordampning eller udføres me-kanisk eller andet arbejde kan princippet om energiens bevarelse bruges til at bereg-ne temperaturændringer for et systems komponenter: Figur 3.1 viser et isoleret systembestående af vand med massen m1 og temperaturen T1 samt et andet materiale medmassen m2 og temperaturen T2. Hvis stoffet med massen m2 kommes ned i vandet, vil

Figur 3.1: To stoffer med masse m1 og m2, temperatur T1 og T2 befinder sig i et isoleret system. Debringes i varmekontakt med hinanden og opnår ved temodynamisk ligevægt ligevægtstemperaturen ellerblandingstemperaturen T3

varmeenergi flyde fra stoffet med højest temperatur til stoffet med lavest temperatur.Til sidst (efter i princippet uendelig lang tid, men i praksis meget kort tid) opstår dertermodynamisk ligevægt og de to stoffer opnår en fælles temperatur T3. Det ene stofmodtager varmeenergien Q1 = c1 ·m1 · (T3−T1) og det andet stof modtager varmeener-gien Q2 = c2 ·m2 · (T3−T2), hvor c1 og c2 er de to stoffers specifikke varmekapaciteter.Da de to stoffer udgør et isoleret system, er den samlede energitilvækst lig nul, dvs.Q1 +Q2 = 0 eller

c1 ·m1 · (T3−T1)+ c2 ·m2 · (T3−T2) = 0

Heraf fås ligevægtstemperaturen T3, også somme tider kaldet blandingstemperaturen:

52 Kapitel 3. Varme

Beregning af ligevægts- eller blandingstemperatur:

T3 =c1 ·m1 ·T1 + c2 ·m2 ·T2

c1 ·m1 + c2 ·m2(3.4)

hvor to stoffer bringes i varmekontakt med hinanden. Stofferne har masse m1 ogm2, specifikke varmekapaciteter c1 og c2 samt begyndelsestemperaturer T1 og T2.Det er uden betydning om temperaturerne alle angives i enheden C eller i K.

Ligningen 3.4 kan anvendes til f.eks. at beregne temperaturen der opnås når to væs-ker med forskellig temperatur blandes eller den temperatur en organisme opnår ved atindtage en given mængde vand ved en given temperatur. Ved sådanne anvendelser an-tager man, at blandingen foregår så hurtigt, at varmeudveksling med omgivelserne kannegligeres i det tidsrum det tager for blandingens komponenter at opnå termodynamiskligevægt med hinanden. Altså at vi i løbet af den korte blandingstid kan opfatte de tostoffer som et isoleret system.

Varme og faseovergange

Ovenfor har vi set på, hvordan energitilførsel til et stof giver anledning til at stoffetstemperatur stiger, hvis ikke der sker smeltning eller fordampning af stoffet.Man kalder stoffets tilstansformer for faser af stoffet. Stof kan befinde sig i (højst)tre forskellige faser: Fast, flydende og gasformig. Nogle stoffer kan ikke befinde sig iandet en fast form, da de dekomponerer hvis man forsøger at smelte dem ved at varmedem op. Dette gælder mange organiske forbindelser samt biologisk væv. I forbindelsemed faseovergange, sker der optagelse eller frigivelse af varmeenergi. Faseovergangenekaldes:

Smeltning: Fast til flydende form (kræver energi)Størkning: Flydende til fast form (afgiver energi)Fordampning: Flydende form til gas (kræver energi)Fortætning: Gas til flydende form (afgiver energi)Sublimation: Fast form til gas (kræver energi)Deposition: Gas til fast stof (afgiver energi)

Faseovergange foregår uden at temperaturen ændrer sig. Energitilførslen går til at bringeen del af stoffet i en anden tilstandsform. Hvis tilførsel af varmemængden Q smeltereller fordamper massen m af stoffet ved konstant temperatur, er forholdet

Qm

= L (3.5)

3.1. Temperatur 53

konstant for et givet stof og for en given type faseovergang. Forholdet L har SI-enhedenJ ·kg−1 og kaldes stoffets specifikke smeltevarme eller stoffets specifikke fordampnings-varme. Det er kun smeltevarme og fordamningsvarme for vand, der har nogen biologiskbetydning. Medens den specifikke smeltevarme for vand (is) kun er relevant ved tem-peraturen 0 C, kan vand fordampe ved alle temperaturer, selv under 0 C, hvor der såer tale om sublimation. Tabel 3.2 viser den specifikke fordampningsvame for vand vedforskellige temperaturer. Vi kalder for klarheds skyld fordampningsvarmen for Lv→d ogsmeltevarmen for Li→v Man ser, at der er en tendens til at fordampningsvarmen aftager

T T Lv→d Li→vC K MJ ·kg−1 MJ ·kg−1

0 273 2,50 0,33410 283 2,48 ikke def.20 293 2,45 ikke def.30 303 2,43 ikke def.37 310 2,41 ikke def.40 313 2,41 ikke def.50 323 2,38 ikke def.70 343 2,33 ikke def.

100 373 2,26 ikke def.

Tabel 3.2: Den specifikke fordampningsvarme for vand ved forskellige temperaturer, samt den specifikkesmeltevarme for is.

lidt med stigende temperatur.Ved brug af ligning 3.6 samt et stofs specifikke faseovergangsvarme (smeltevarme ellerfordampningsvarme) kan man beregne den nødvendige energi til smeltning eller for-dampning:

Energiforbrug ved smeltning eller fordampning:

Q = m ·L (3.6)

hvor m er massen af det fordampede eller smeltede stof og L er den specifikkesmelte- eller fordampningsvarme.

54 Kapitel 3. Varme

3.2 Organismers varmereguleringPattedyr og fugle skal have en kropstemperatur for at fungere, der ligger indenfor snæv-re rammer, som regel mellem 36 C og 40 C afhængigt af dyret. Fisk og krybdyr kanklare sig ved omgivelsernes temperatur i et noget større temperaturinterval. Da omgi-velsernes temperatur kan variere stærkt og dyr og mennesker også kan blive opvarmetved at opholde sig i solen, er det vigtigt for sådanne organismer at kunne regulere derestemperatur, så den hverken bliver for lav eller for høj. For at beskrive hvordan, detteforegår skal vi først se på, hvordan varme(energi) flytter sig, altså hvilke forhold, derbestemmer hvor meget varmeenergi der flytter sig og hvor hurtigt, det sker.

Varme (varmeenergi) har den egenskab, at den flytter sig mellem steder, der har for-skellig temperatur, men varme kan også flytte sig af andre grunde, som vi kommer indpå nedenfor. Når det drejer sig om levende væseners temperaturregulering handler detegentlig om regulering af transporten af varme mellem organismen og omgivelserne.Varmetransport foregår i princippet ved fire forskellige mekanismer:

• Konduktion

• Konvektion

• Evaporation

• Elektromagnetisk stråling

Vi gennemgår de fire mekanismer én ad gangen. Der er en oversigt over de fire princip-per i enden af kapitlet.

KonduktionKonduktion hedder også varmeledning og somme tider varmediffusion. Konduktionkræver direkte, fysisk kontakt mellem de stofdele, der udveksler varme.

Varmeledning gennem flere lag

Dette afsnit handler om varmetransport gennem lagdelt materiale. Det drejer sig først ogfremmest om transport gennem forskellige vævslag, såsom underhudsfedt eller pels hosdyr. Formalismen kan selvfølgelig også benyttes i en plantefysiologisk sammenhæng tilat beskrive transporten af varme gennem forskellige jordlag. Jordlagene, der eventueltkan være dækket af et lag sne, kan have forskellig tykkelse og forskellig varmelednings-evne.Vi ser først på varmeledning gennem et plant lag med tykkelsen x og tværsnitsarealetA (se figur 3.2). Temperaturen på de to sider af materialet er hhv. T1 og T2. Mængden

3.2. Organismers varmeregulering 55

Figur 3.2: Varmestrømmen Q er bestemt af temperaturforskellen mellem de to sider af materialet, var-meledningsevnen λ tykkelsen x og tværsnitarealet, A

af varmeenergi, der strømmer gennem et materiale afhænger af flere faktorer: Det, derdriver varmeenergien, er temperaturforskellen mellem de to sider af materialet. Jo størretemperaturforskel T1−T2 = ∆T , jo større bliver varmetransporten. Jo større tværsnitsa-real og jo tyndere materiale desto større bliver varmetransporten. Og endelig: Jo længeretid temperaturforskellen opretholdes jo mere varme transporteres der selvfølgelig. Dettebetyder, at det er relevant at se på, hvor meget varmeenergi, der transporteres pr. tidsen-hed (dvs. effekten. Dette kaldes varmestrømmen og betegnes Q. SI-enheden for varme-strømmen er W (watt). Prikken ovenover Q symboliserer, at vi ser på Q pr. tidsenhed,altså at

Q =dQdt

Skrivemåden er almindelig i fysikken, når der er tale om differentiation mht. tiden. Var-mestrømmen Q er givet ved det simplest mulige udtryk der afspejler de nævnte egen-skaber for varmetransport:

Varmestrømmen ved konduktion gennem ét lag materiale:

Qkond. = A ·λ · T1−T2

x(3.7)

hvor A er (tværsnits-) arealet, varmen passerer igennem, og x er tykkelsen afmaterialet, altså afstanden mellem fladerne, der har temperatur hhv. T1 og T2.Størrelsen λ kaldes for materialets varmeledningsevne.

56 Kapitel 3. Varme

Materiale Varmeledningsevne, λ

( W ·m−1 ·K−1)Luft 0,026Hydrogen 0,183Vand 0,596Is (0 C) 2,22Ethanol 0,15Fedt 0,2Pels 0,035Kork 0,05Glas 1Jern 80Aluminium 239Sølv 418Guld 312Kobber 390

Tabel 3.3: Varmeledningsevnen λ for nogle udvalgte materialer ved temperaturen 20 C, på nær for is.

Værdien afhænger af varmeledningsevnen λ afhænger af, hvilket materiale varmenstrømmer igennem. Hvis vi omskriver ligning 3.7 til λ = Qkond.·x

(T1−T2)·A ser vi, at SI-enheden

for varmeledningsevne er W ·m−1 ·K−1. Hvis varmeledningsevnen er et ”stort” tal, si-ger man, at materialet er en god varmeleder. Eksempler på gode varmeledere er metaller,med sølv, guld, kobber og aluminium som nogle af de bedste. Årsagen til, at metallerleder varmen godt er den samme som at metaller leder eletrisk strøm godt, nemlig, atmetaller indeholder fri elektroner, altså elektroner, der ikke er bundet til noget enkeltatom. Disse fri elektroner kan bevæge sig gennem metallet og udveksle kinetisk energimed hinanden og med atomerne i metalgitteret. Hvis varmeledningsevnen er et lille tal,siges materialet at være en dårlig varmeleder eller en god varmeisolator. Eksempler pågode isolatorer er materialer, der er elektriske isolatorer, dvs. ikke er metaller. De bedsteisolatorer er materialer, der indeholder meget luft, da luft i sig selv er en fremragendeisolator. I tabel 3.3 er vist varmeledningsevnen for nogle udvalgte materialer.

Vi ser dernæst på varmeledning gennem to parallelle lag med tykkelse hhv. x1 og x2 (sefigur 3.3), der adskiller temperaturerne T1 og T2. De to lag har varmeledningsevne hhv.λ1 og λ2. Temperaturen i grænselaget kaldes T1,2. Den udgår af den færdige formel.

Da der ikke ophobes varmeenergi i materialet, er varmestrømmen gennem de to lag den


Figur 3.3: Varmestrømmen Qkond. er bestemt af temperaturforskellen mellem de to sider af materialet,varmeledningsevnerne λ1 og λ2, tykkelserne x1 og x2 samt tværsnitarealet, A. Temperaturen i grænselagetmellem de to materialer er T1,2

samme. Anvendes ligning 3.7 på hvert af de to lag fås

Qkond. = A ·λ1 ·T1−T1,2

x1(3.8)

= A ·λ2 ·T1,2−T2

x2

hvor T1,2 er temperaturen i grænselaget. Hvis man løser ligningerne 3.8 mht. tempera-turforskellen fås

T1−T1,2 =Qkond.

A· x1

λ1og (3.9)

T1,2−T2 =Qkond.

A· x2

λ2(3.10)

Når man adderer ligningerne 3.9 og 3.10 går temperaturen i grænselaget ud, og man får

T1−T2 =Qkond.

A·(

x1

λ1+

x2

λ2

)(3.11)

som løses mht. Q, hvorved vi får udtrykket for varmestrømmen gennem to materialelagmed forskellig tykkelse og varmeledningsevne:

Qkond. = A · T1−T2x1λ1+ x2

λ2

(3.12)

58 Kapitel 3. Varme

Bemærk at ligningen 3.7 for varmestrømmen gennem et enkelt lag kan skrives på for-men

Qkond. = A · T1−T2xλ

Forskellen på dette udtryk og ligning 3.12, er antallet led i nævneren, der åbenbart svarertil antallet af materialelag. Det er derfor let at indse, at udtrykket 3.11 for to lag kangeneraliseres til at gælde for varmestrømmen gennem n lag:

Varmestrømmen gennem flere lag:

Qkond. = A · T1−Tnx1λ1+ x2

λ2+ · · ·+ xn

λn

(3.13)

hvor T1 og Tn er temperaturerne på hver sin side af de n lag af forskellige mate-rialer, x1, x2, . . . ,xn er tykkelserne og λ1, λ2, . . . ,λn er varmeledningsevnerne forde n forskellige lag.

KonvektionVed konvektion flyttes varmen fra et objekt til et andet ved at det ene objekt opvar-mer luften (eller vandet, hvis det er det mellemliggende medium) ved direkte kontakthvorefter luften (eller vandet) flytter sig til et sted hvor et andet objekt med en laveretemperatur end luften befinder sig. Her afgiver luften så noget af sin varmeenergi til detkoldere objekt ved direkte kontakt (se figur 3.4). Der er altså i forbindelse med kon-vektion tale om, at varme bliver flyttet ved at et stof (luften) flytter sig. Eksempler påvarmetransport ved konvektion er tab af varme i koldt vejr, når det blæser. Man kan godtholde varmen ved en lufttemperatur på 10 C, hvis man bare har en sweater på. Hvis detblæser er dette ikke nok til at holde varmen, da den kolde luft trænger igennem sweate-ren og køler kroppens overflade af.Man skelner mellem

• fri konvektion

• tvungen konvektion

Varmetab ved blæst er et eksempel på tvungen konvektion. Fri konvektion er varmetabved at en varm overflade opvarmer luften, der har kontakt med den, hvorved den udvidersig, bliver lettere og stiger til vejrs. Derved strømmer så kold luft til i stedet, hvorefterden opvarmes, stiger til vejrs, osv. En almindelig radiator fungerer ved fri konvektion


Figur 3.4: Luften (mediet) har temperaturen T1 og strømmer forbi fladen, der har arealet A og overflade-temperaturen T2. Efter at have været i kontakt med fladen har den strømmende luft fået temperaturen T3.I processen er der udvekslet varme mellem fladen og luften med en ”hastighed” Qkonv = k ·A · (T2−T1),hvor k er konvektionskoefficienten.

medens varmeblæsere fungerer ved tvungen konvektion. Varmetransporten ved konvek-tion kan beskrives ved en simpel ligning:

Varmestrømmen ved konvektion:

Qkonv. = k ·A · (Toverflade−Tluft) (3.14)

hvor k kaldes konvektionskoefficienten. Den har SI-enheden W ·m−2 ·K−1. Tal-værdien afhænger af bl.a. vindhastigheden og luftens fugtindhold.

EvaporationEvaporation kaldes også for fordampning.Dyr og mennesker benytter evaporation til at skille sig af med overskudsvarme, så deikke bliver overophedede. Fordampningen sker enten fra huden eller fra åndedrætsorga-nerne. Mennesker, heste og mange større pattedyr har svedkirtler, der udskiller væske påhudens overflade, hvorfra den kan fordampe ved at tage varme fra huden. Dyr, der ikkekan svede, f.eks. hunde, katte og svin, fordamper vand fra åndedrætsorganerne ved atgispe overfladisk. Varmemængden Qevap, der kan fjernes pr. tidsenhed på denne måde,

60 Kapitel 3. Varme

er givet ved ligning 3.6

Varmestrømmen ved evaporation:

Qevap. = Lv→d ·dmdt

(3.15)

hvor differentialkvotienten angiver hvor meget vand, der fordamper pr. tidsenhed(SI-enhed kg · s−1)

På grund af vands store fordampningsvarme er evaporation er en meget effektiv mådeat skaffe varme bort på.

Eksempel: Under ekstrem anstrengelse kan et menneske udvikle varmesvarende til Q = 800 W. For ikke at blive overophedet slipper man af meddenne varmeproduktion primært ved evaporation. Ifølge ligning 3.15 er for-dampningshastigheden fra hud og lunger så givet ved

dmdt

=Qevap.

Lv→d=

800 W2,45 ·106 J ·kg−1 = 3,2 ·10−4 kg · s−1

Varmen bortskaffes altså ved at fordampe 0,32 g vand pr. sekund svarendetil 1,16 liter i timen.Bemærk, at det er kun den sved, der fordamper, der bidrager til bortskaffelseaf varme. Den sved, der drypper ned på jorden fjerner ingen varme.

Elektromagnetisk strålingDen sidste måde hvorpå varme kan flyttes er ved elektromagnetisk stråling. Ifølge Plan-ck’s strålingslov udsender alle overflader der er varmere end det absolutte nulpunktelektromagnetisk stråling. Det er kun hvis overfladen, der udsender strålingen har enmeget høj temperatur (se figur 3.5) at den udsendte stråling er synlig for det menneske-lige øje. Det er bølgelængden af den udsendte stråling samt intensiteten af strålingen,der bestemmer, om den kan ses. Mennesker kan se elektromagnetisk stråling (lys) medbølgelængder i intervallet ca. 0,4−0,7 µm. Stråling med bølgelængde lidt kortere end0,3 µm kaldes ultraviolet lys, bølgelængder længere end 0,7 µm kaldes infrarød strå-ling eller varmestråling. Det er sådan, at de bølgelængder, der udsendes ved en given


Figur 3.5: Alle ting udsender elektromagnetisk stråling på grund af overfladens temperatur. Men tempe-raturen skal højt op, før der udsendes stråling, der er synlig for det menneskelige øje. Den viste jernstanghar en overfladetemperatur på ca. 1000 C. Når temperaturen bliver lavere lyser metallet med en mørkererød fave og efterhånden så svagt, at det ikke kan ses. Når temperaturen er nået ned på omkring 480 C erder kun en svag rødlig glød tilbage.Billede: Fir0002/Flagstaffotos på Wikimedia

overfladetemperatur bliver længere jo lavere temperaturen er. Samtidig bliver den sam-lede energi, der udsendes mindre når temperaturen bliver lavere. Ved temperaturer afbiologisk relevans (0− 100 C) er den udsendte stråling så langbølget (med maximumomkring 10 µm) og samtidig så svag, at det er helt umuligt at se den. Men den kan føles,når den absorberes i huden, fordi strålingens energi omdannes til varme i huden. Mankan vise, at den effekt Qstr. der udsendes af en overflade kan skrives som:

Den udsendte strålingseffekt fra en overflade:

Qstr. = ε ·A ·σ ·T 4overflade (3.16)

hvor A er arealet af overfladen, T er overfladens absolutte temperatur, σ =5,67 · 10−8 W·m−2·K−4 kaldes Stefans konstant og ε er overfladens emissivi-tet. Emissiviteten er et tal mellem 0 og 1. For biologisk relevante overflader eremissiviteten tæt på værdien 1.

Emissiviteten ε er en egenskab ved den overflade, der udsender strålingen. For et så-kaldt absolut sort legeme har ε værdien 1, da en sådan flade udsender alle bølgelængdermed maksimal effektivitet. Emissiviteten er mærkeligt nok også den effektivitet hvor-med overfladen absorberer stråling der rammer den. En overflade, der er absolut sortabsorberer stråling af alle bølgelængder 100%. Da som sagt en overflades evne til at

62 Kapitel 3. Varme

udsende stråling ved opvarmning er den samme som dens evne til at absorbere strålinger det et absolut sort legeme, der er den mest effektive strålingsgiver. Man skal huske,at emissiviteten beskriver fladens evne til at absorbere og udsende lys ved lange bøl-gelængder. Så f.eks. sne, der ikke absorberer synligt lys, har en emissivitet på ca. 0,98fordi det absorberer langbølget infrarødt lys næsten fuldstændigt. De fleste biologiskrelevant overflader, hud, pels, bark, jord osv., har emissiviteter på mellem 0,9 og 1. Kunblanke metaller har emissiviteter, der er meget mindre end 1.Hvis et dyr eller menneske befinder sig i omgivelser, der har den absolutte tempera-tur Tomg. vil disse udsende varmstråling med effekten pr. arealenhed Qstr., omg./A =

εstr., omg. ·σ · T 4omg., hvor εstr., omg. er omgivelsernes emissivitet. Da dyrets/menneskets

evne til at absorbere stråling afhænger af εstr., overflade vil der absorberes en effekt fraomgivelsene af størrelsen

Qstr. absorberet = εoverflade · (εomg. ·A ·σ ·T 4omg.) (3.17)

Ved at kombinere ligning 3.16 og 3.17 kan vi beregne nettoudstrålingen fra en overflade:

Den udsendte nettostrålingseffekt fra en overflade:

Qstr., netto = A ·σ · εoverflade(T 4overflade− εomg. ·T 4

omg.) (3.18)

hvor A er arealet af overfladen, Toverflade er overfladens absolutte temperatur,σ = 5,67 · 10−8 W·m−2·K−4 er Stefans konstant, εoverflade er overfladens emis-sivitet, Tomg. er omgivelsernes absolutte temperatur, og εomg. er omgivelsernesemissivitet.

De effekter, der udsendes og aborberes ved elektromagnetisk stråling er store, men vil imange tilfælde næsten ophæve hinanden.

Eksempel: Menneskers hud har en overfladetemperatur på ca. 30 C, nårdet føles behageligt. En person med et overfladeareal på 1,6 m2 udsenderen strålingseffekt på:

Qstr. = ε ·A ·σ ·T 4overflade

≈ 1 · (1,6 m2) · (5,67 ·10−8 W·m−2·K−4) · (303 K)4 = 765 W

En person, der står stille har en energiomsætningshastighed (= vameproduk-tion) på ca. 120 W. Personen afgiver derfor øjensynligt meget mere energiend han producerer og skulle forventes at blive afkølet meget hurtigt. Menvi har ikke taget hensyn til at personen står i omgivelse, der også har en

3.3. Kroppens varme/energibalance 63

temperatur. Antag, at personen står i sin stue, hvor alting har temperaturen20 C.Vi kan så beregne personens nettostrålingstab af energi (vi antager igen, atalle emissiviteter er 1):

Qstr., netto

= A ·σ · εoverflade · (T 4overflade− εomg. ·T 4

omg.)

= (1,6 m2) · (5,67 ·10−8 W·m−2·K−4) ·1 · ((303 K)4−1 · (293 K)4)

= 96 W

altså ikke mere end at kroppens egen energiproduktion kan opretholde tem-peraturen.

3.3 Kroppens varme/energibalanceVi er nu i en position til at diskutere en organismes varme- og energibalance. Vi vilbruge mennesket som eksempel, men de opnåede resultater kan uden videre overførespå andre organismer (eller i hvert fald pattedyr og fugle). Vi starter med at se på, hvordankroppen frembringer varme.

Kroppens varmeproduktionAlle dyr skal have tilført energi for at opretholde livet og for at kunne bevæge sig.Energien leveres af den føde der indtages samt af oxygen. Den derved tilførte (ellerforbrugte) energi benyttes til vævsopbygning (dyret vokser), til at udføre mekanisk,såkaldt ”nyttigt” arbejde, såsom at bevæge sig eller at løfte ting samt til at udviklevarme. Hvad angår det første, vævsopbygning, udgør det en forsvindende lille del afenergiforbruget, så det vil vi her se bort fra. Vi kan altså formelt skrive:

Etilført =Wy +Q (3.19)

hvor Wy er det ”nyttige” arbejde, der udføres på omgivelserne og Q er den udvikledevarmemængde. Energitilførslen (eller energiforbruget) pr. tidsenhed kaldes for organis-mens energiomsætningshastighed og betegnes EOH. Vi kan altså skrive:

Definition af energiomsætningshastighed (stofskifte):

EOH =dEtilført

dt(3.20)

64 Kapitel 3. Varme

Fødemiddel QO2

MJ · (m3 O2)−1

Kulhydrat 22Protein 18Fedt 20Blandet kost 20-21

Tabel 3.4: Den kaloriske koefficient QO2 , der angiver energiudbyttet ved omsætning af et fødemiddelved hjælp af 1 kubikmeter tør oxygen, er næsten ens for alle fødemidler.

Et menneske eller dyr, der ligger afslappet har en energiomsætningshastighed, der kal-des hvileenergiomsætningshastigheden, EOHhvile. Størrelsen af denne afhænger for men-nesker af vægt, træningstilstand, alder og køn. Under fysisk anstrengelse kan energiom-sætningshastigheden hos et menneske stige med en faktor, der er større end 10. Hvormeget den kan stige afhænger af træningstilstanden og beskrives med ”konditallet”.Med anvendelse af ligning 3.19 kan energiomsætningshastigheden skrives:

EOH =dWy

dt+

dQdt

(3.21)

eller

EOH = P+ Q (3.22)

hvor P er effekten af det udførte arbejde og Q er den udviklede varmeeffekt.Energiomsætningshastigheden kan måles ud fra organismens iltforbrug. Dette kommeraf, at den kemiske energi, der omsættes i kroppen er betinget af iltforbruget. Den kemi-ske energi, der frigives fra forskellige fødemidler afhænger som bekendt af, om der ertale om fedt, protein eller kulhydrat. Men hvis man siger, at man har 1 m3 oxygen tilrådighed, så viser det sig, at alle tre fødemidler giver samme energiudbytte (pr. kubik-meter oxygen). Se tabel 3.4. Energiudbyttet pr. kubikmeter oxygen kaldes iltens kalori-ske koefficient og betegnes QO2 . Som det ses af tabel 3.4 kan man sætte den kaloriskekoefficient til i gennemsnit at have værdien 20 MJ · (m3 O2)

−1. Man skal naturligvisspecificere tryk og temperatur for oxygenen, da der jo skal være tale om et bestemt an-tal mol. Man går ud fra standardbetingelserne, at oxygenen er tør, at trykket er 1 atm ogat temperaturen er 273 K. Disse standardbetingelser omtaler man som STPD (”StandardTemperature, Pressure, Dry”), så mere korrekt skulle den kaloriske koefficient angivessom 20 MJ · ( m3 O2,STPD)

−1. Dette vil altså sige, at et dyr, der forbruger et volumenoxygen, VO2 , forbruger energien Etilført, der kan beregnes:


Beregning af den tilførte kemiske energi:

Etilført = QO2 ·VO2 (3.23)

hvor QO2 er den kaloriske koefficient for ilten og VO2 er rumfanget STPD afoxygenen, der bliver forbrugt.

Dette betyder nu, at hvis man kan måle et dyrs eller menneskes oxygenforbrug, kan manderved bestemme energiomsætningshastigheden ved ligning 3.20 samt differentiation afligning 3.23:

Beregning af EOH ud fra iltforbruget:

EOH = QO2 ·dVO2

dt(3.24)

hvordVO2

dt står for det forbrugte rumfang oxygen pr. tidsenhed og QO2 er denkaloriske koefficient for ilten.

I princippet er ilforbruget pr. tidsenhed relateret til forskellen i koncentrationen af ilt iarterieblod og i veneblod, idet forskellen jo er et udtryk for at ilt er blevet forbrugt. Mankan derfor udtrykke energiomsætningshastigheden ud fra faldet i iltkoncentration fraarterieblod til veneblod samt den hastighed hvormed blodet pumpes rundt i kredsløbet,dvs. hvor hurtigt hjeretet pumper blodet ud igennem aorta. Altså:

Beregning af EOH ud fra iltkoncentrationen i blodet:

EOH = QO2 · (O2,arterie−O2,vene) ·Vaorta (3.25)

O2,arterie og O2,vene står for hhv. koncentrationen af oxygen i arterieblod og i ve-neblod udtrykt som m3 O2,STPD · ( m3 blod)−1, QO2 er den kaloriske koefficientfor ilten og Vaorta er volumenhastigheden af blodet i aorta.

Nyttevirkning

En del af et dyrs eller menneskes energiforbrug går til at udføre ”nyttigt” (dvs. meka-nisk) arbejde, i forbindelse med at man bevæger sig eller løfter eller skubber ting. Når enmuskel trækker sig sammen og derved udfører arbejde forbruger den energi. Den energien muskel forbruger for at udføre en given mængde arbejde er meget større end selve

66 Kapitel 3. Varme

arbejdet: Musklen har som maskine betragtet en lille effektivitet eller nyttevirkning, N.Hvis et menneske (dyr) udfører mekanisk arbejde definerer man bruttonyttevirkningenaf arbejdet som:

Definition I af muskelarbejdets bruttonyttevirkning:

Nbrutto =Wy

Etilført(3.26)

hvor Wy er størrelsen af det udførte arbejde.

Man kan også udtrykke nyttevirkningen som forholdet mellem arbejdet pr. tidsenhed,P og den tilførte energi pr. tidsenhed. Sidstnævnte er jo det samme som EOH, så enalternativ definition af nyttevirkning er:

Definition II af muskelarbejdets bruttonyttevirkning:

Nbrutto =P

EOH(3.27)

hvor P er effekten af det udførte arbejde og EOH er organismens energiomsæt-ningshastighed.

Man definerer somme tider en nettonyttevirkning for en enkelt muskel eller muskelgrup-pe ud fra hvor meget organismens samlede energiomsætningshastighed stiger når denpågældende muskel eller muskelgruppe arbejder:

Definition af muskelarbejdets nettonyttevirkning:

Nnetto =∆P

∆(EOH)(3.28)

hvor ∆P er effekten af det arbejde, der udføres af den ekstra muskel eller muskel-gruppe, og ∆(EOH) er organismens resulterende stigning i energiomsætnings-hastighed.

Bruttonyttevirkningen er altid lavere end nettonyttevirkningen, da bruttonyttevirkningenindregner organismens hvileenegiomsætningshastighed i beregningen. Nettonyttevirk-ningen for skeletmuskulatur ligger på ca. 20 - 25% maksimalt. Hjertemuskulatur harlavere nyttevikningsgrad.


Kroppens varmeafgivelseKroppen vitale organer, hjerte, lever nyrer, fordøjelsessystem og hjernen kaldes krop-pens kerne. Det er vigtigt for funktionen af de vitale organer, at kernetemperaturen erkonstant og så tæt på de optimale ca. 37 C (for et menneske) som muligt. Hvis kroppenbliver udsat for kulde reduceres blodforsyningen i de ydre områder af kroppen, så blodetikke kommer så tæt på den kolde overflade at det afkøles for meget (se figur 3.6). Vi kan

Figur 3.6: Kroppens vitale organer udgør kroppens kerne, der helst skal have en temperatur nær 37 C.Størrelsen af kernen varierer med omgivelserne temperatur. Når det er koldt bliver kernen mindre, nåromgivelsetemperaturen er høj bliver kernen større. Størrelsen bestemmes af hvor kraftig blodgennem-strømningen er i kroppens ydre lag. Kroppens overflade (eventuelt inklusive beklædning) kaldes kroppensskal.

formelt opdele kroppens varmeafgivelse i to trin:

1. Varmen transporteres fra kernen ud til skallen: Qk→sk

2. Varmen transporteres fra skallen og ud i omgivelserne: Qsk→o

Disse to størrelser er lige store. Vi kan skrive varmestrømmen fra kernen og ud til skallensom:

Qk→sk = K′ · (Tk−Tsk) (3.29)

68 Kapitel 3. Varme

hvor Tk er kernens temperatur, Tsk er skallens (overfladens) temperatur og K′ er en pro-portionalitetsfaktor. Dette minder jo om ligningen 3.7 for varmeledning gennem et en-kelt lag, men ligning 3.30 kan ikke skrives på denne, mere præcise måde, da tykkelsen afskallen ikke er den samme overalt og endda kan variere med tiden, ligesom heller ikkevarmeledningsevnen λ kan angives, da den afhænger af vævets blodgennemstrømning,der kan variere. Det er lidt mere kompliceret at skrive et udtryk for varmestrømmen bortfra overfladen, Qsk→o. Denne består i princippet af flere led, konduktion, konvektion,stråling og evaporation. Selvom strålingsenergitabet afhænger af forskellen mellem T 4

skog T 4

o (omgivelsernes absolutte temperatur) er det tilnærmelsesvis proportionalt medTsk−To, hvis der ikke er for stor forskel på de to temperaturer2. Man gør således ofteden forsimplende antagelse, at sammenfatte varmeafgivelsen ved konduktion, konvek-tion og stråling i ét led QCCR (Conduction, Convection, Radiation) og skriver dette:

QCCR = K′′ · (Tsk−To) (3.30)

Det sidste led, evaporationsleddet Qevap. er givet ved ligning 3.15. Vi kan sammenfatteorganismens varmeafgivelse i følgende ligning:

Qk→sk = Qafgivet = QCCR + Qevap. (3.31)

Hvis organismen producerer mere varme end den afgiver, vil dens temperatur stige,hvis den producerer mindre varme end den afgiver vil dens temperatur falde. Det ses afligning 3.3, at den hastighed hvormed varmeenergi ophobes i organismen (eller tabesfra organismen) er givet ved:

Qophobet = cvæv ·morganisme ·dTdt

(3.32)

Hvis temperaturen falder med tiden, bliver Qophobet negativ, dvs. at der forsvinder var-meenergi ud af organismen. Tager vi endelig hensyn til at organismen også kan udførenyttigt arbejde med en effekt P har vi hermed gjort rede for hele organismens energi-regnskab:

2Hvis man Taylorrækkeudvikler T 41 −T 4

2 får man T 41 −T 4

2 = 4 ·T 31 · (T1−T2)+ . . .. Medtag kun det

første led.


Det samlede energiregnskab for en organisme:

EOH = P+ QCCR + Qevap + Qophobet (3.33)

eller skrevet ud:

EOH = P+K′′ · (Tsk−To)+Lv→d ·dmdt

+ cvæv ·morganisme ·dTdt

(3.34)

hvor P er effekten af det udførte arbejde, K′′ er en ”konstant”, Tsk er organismensoverfladetemperatur, To er omgivelsernes temperatur, Lv→d er vands specifikkefordampningsvarme, dm

dt er fordampningsraten (hvor mange kilogram, der for-damper pr. sekund), cvæv er den specifikke varmekapacitet af organismens væv,morganisme er massen af organismen og dT

dt er opvarmningsraten (hvor mangegrader temperaturen stiger pr. sekund). Undertiden benyttes en variant af lig-ning 3.33, hvor også leddet QCCR beregnes i detaljer ud fra faktisk varmeledning,konvektion og strålingstab.

70 Kapitel 3. Varme

Opgaver

Opgave 3.1En mand, der vejer 70 kg har en (gennemsnits-) legemstemperatur på 36 C. Handrikker hurtigt 1/4 liter kaffe med en temperatur på 60 C. Vi antager at han drikkerkaffen så hurtigt, at han ikke kan nå at afgive eventuel overskudsvarme tilomgivelserne, altså at manden og kaffen udgør et isoleret system i kort tid.

a: Hvor meget stiger hans kropstemperatur? (Find de nødvendige data i noterne.)

Opgave 3.2En mand, der vejer 70 kg står 1 time i stærkt solskin og absorberer solstråling med enenergi på i alt 4,2 ·105 J. I samme tidsrum producerer han i sit stofskifte 3,6 ·105 J. Iløbet af denne time stiger hans kropstemperatur fra 37 C til 38 C. Antag, at mandenkun kan afgive varme til omgivelserne ved fordampning af sved.

a: Hvor meget sved fordampede manden på 1 time? (Find de nødvendige data inoterne.)

Opgave 3.3En person indtager i løbet af et døgn 100 g protein, 70 g fedtstof og 350 g kulhydrat.Kulhydrat og protein frigiver ved omsætning i kroppen 16,7 MJ ·kg−1 og fedt frigiver37,7 MJ ·kg−1. I løbet af et døgn omdannes 10% af den indtagne fødeenergi til”nyttigt” arbejde medens resten bliver til varme. Af den dannede varme afgives 30%ved fordampning fra hud og lunger (medens resten afgives ved andre mekanismer).

a: Hvor meget vand fordamper personen i løbet af et døgn? (Find de nødvendigedata i noterne.)

Opgave 3.4En persons energiomsætningshastighed EOH varierer med vægt, køn og alder. Hvisman ser på EOH i forhold til personens overfladeareal, altså EOH ·A−1 er der næstenkun en variation med alderen som vist på figur 3.7 Man kan beregne en personsoverfladeareal A ud fra du Bois’ formel:

A = (0,202 m2) ·(

m1 kg

)0,425

·(

h1 m

)0,725

hvor m er personens masse og h er personens højde.


25

30

35

40

45

50

55

60

0 10 20 30 40 50 60 70

EOH/A (W

·m‐2)

Alder (år)

Figur 3.7: Hvileenergiomsætningshastigheden pr. overfladearealenhed som funktion af alder.

a: Hvor stort overfladeareal har et barn på 10 år, når det er 1,40 m højt og vejer34 kg?

b: Benyt kurven i figur 3.7 til at bestemme energiomsætninghastigheden i hvile fordet 10-årige barn ovenfor.

En anden person har en energiomsætningshastighed i hvile på 250 kJ · time−1. Hanvejer 50 kg og han afgiver i alt 0,75 liter vand pr. døgn ved fordampning fra hud oglunger.

c: Hvor mange grader ville personens kropstemperatur stige i løbet af 3 timer, hvisfordampningen blev forhindret?

d: Hvor mange procent af den varme, der udvikles ved personens energiomsætningafgiver han igen ved andre processer end fordampning?

72 Kapitel 3. Varme

Opgave 3.5Havoddere kan leve i koldt vand uden athave et tykt spæklag til isolering. Der erto grunde til at de kan klare sig uden dettykke spæklag: For det første at de harden tætteste pels af alle dyr (de har ligeså mange hår i 1 cm2 pels, som et men-neske har på hele hovedet) og for detandet, at de har en energiomsætnings-hastighed EOH, der er tre gange så storsom for landlevende dyr af tilsvarendestørrelse. Figur 3.8: Foto: Mike Baird, kilde: WikimediaEn havodder, der vejer 20 kg, æder 4 kg føde i døgnet! Føden (mest muslinger) harenergiindholdet 4,2 MJ pr. kg.

a: Beregn hvor mange watt odderens energiomsætningshastighed er i gennemsnitover et døgn.

For normale landlevende pattedyr kan energiomsætningshastigheden i hvile beregnesud fra dyrets kropsvægt mdyr v.h.a. følgende formel:

EOHhvile = EOH0 ·(

mdyr

m0

)0,75

hvor EOH0 er en konstant, der gælder for alle normale dyr, og m0 = 1 kg. Etmenneske, der vejer 80 kg, har en energiomsætningshastighed i hvile på 100 watt.

b: Beregn energiomsætningshastigheden i hvile for en havodder, der vejer 20 kg.(Tip: Bestem først værdien af EOH0 og husk, at havodderensenergiomsætningshastighed er tre gange større end for andre landlevende dyr aftilsvarende størrelse).

En havodder, der vejer 20 kg, har et overfladeareal A = 0,6 m2. Når den svømmer, erdens energi-omsætningshastighed 425 W, hvoraf 340 W bliver til varme, der skalbortskaffes ved varmeledning. Odderens hudtemperatur er 37 C, og vandetstemperatur er 5 C. Havodderens pels har samme varmeledningsevne som luft,λ = 0,025 W ·m−1 ·K−1.

c: Beregn, hvor tykt pelslaget skal være, for at der afgives 340 W ved konduktion.

d: En af de største trusler mod havodderen er olieforurening af vandet. Forklarhvorfor.


Opgave 3.6Man kan beregne energiomsætningshastigheden for en mand, der dagligt er moderatfysisk aktiv, ved hjælp af følgende formel:

EOH = k1 ·FFM+ k2 ·FM− k3 ·alder+ k4 (3.35)

hvor FFM betegner mandens fedtfri masse, og FM betegner massen af rent fedt ikroppen. Tilsammen udgør FFM og FM således hele mandens masse. Konstanterne iligning 3.35 har værdierne

k1 = 0,0986 MJ ·døgn−1 ·kg−1 k2 = 0,0442 MJ ·døgn−1 ·kg−1

k3 = 0,0306 MJ ·døgn−1 · år−1 k4 = 6,639 MJ ·døgn−1

En slank mandlig studerende 1,80 m høj, på 23 år (moderat fysisk aktiv), og som vejer75 kg, indeholder 11 kg rent fedt. Hans daglige kost indeholder lige så meget energi,som han forbruger.

a: Hvor mange MJ indtager (forbruger) han pr. døgn?

b: Hvor mange watt svarer dette til i gennemsnit?

En undersøgelse fra 2007 viser, at i gennemsnit stammer 23% af energien iamerikaneres kost fra drikkevarer (soft drinks). Desværre mætter drikkevarerne ikke,så man spiser ikke mindre, hvis man drikker sodavand i stedet for vand. Antag, at denslanke mandlige studerende flytter til USA og nu ud over sin normale kost ogsåbegynder at indtage læskedrikke, så disse kommer til at dække 23% af hans samledeenergiindtag. Hans ekstra energiindtag lagres som fedt i kroppen. Et kg rent fedtindeholder energien 37,7 MJ.

c: Hvor mange kg rent fedt vil han tage på pr. år, hvis hans energiforbrug forbliverdet samme, som da han vejede 75 kg? (Hvis du ikke har svaret på spørgsmål a,kan du sætte dette energiforbrug til 12 MJ pr. døgn).

Men faktisk stiger energiforbruget efterhånden som man bliver tungere (seligning 3.35), forudsat man stadig er moderat fysisk aktiv. Energiforbruget stiger, indtilman er blevet så tung, at energi-forbruget svarer til energiindtagelsen. Antag, at denfedtfri masse forbliver uforandret, medens den studerende tager på.

d: Hvor mange kg fedt skulle han tage på, for at det nye, forøgede energiindtagkommer til at svare til hans energiforbrug? (Tip: Brug ligning 3.35, og antag, atalderen er uforandret. Hvis du ikke i forbindelse med løsningen af spørgsmål char beregnet størrelsen af forøgelsen af energiindtaget, kan du sætte denne til4 MJ pr. døgn).

74 Kapitel 3. Varme

Efterhånden som han tager på, skal hans hjerte pumpe mere blod ud i kroppen hvertsekund.

e: Hvor mange procent mere blod (end da han vejede 75 kg) skal hans hjerte pumpeud hvert sekund, når han har nået sin slutvægt? (Tip: Der er en sammenhængmellem energiomsætningshastighed og hjertets udpumpningshastighed. Og hvisdu ikke selv beregnede størrelsen af forøgelsen af energiindtaget under spm. c,kan du sætte den til 4 MJ pr. døgn).

Opgave 3.7En fisk med massen 10 kg, der lever ved en vandtemperatur på 16 C, har enenergiomsætningshastighed i hvile på 0,76 W. Ilten har den kaloriske koefficientQO2 = 20 MJ · ( m3 O2,STPD)

−1 .

a: Hvor stor mængde ilt forbruger fisken pr. sekund? (Angiv svaret i enheden(m3 O2,STPD) · s−1).

Iltindholdet i fiskens arterier og vener er hhv.O2,arterie = 0,20 ( m3 O2,STPD) · ( m3 blod)−1 ogO2,vene = 0,10 ( m3 O2,STPD) · ( m3 blod)−1.

b: Beregn, hvor mange ml blod fiskens hjerte pumper ud pr. sekund, når den er ihvile (dvs., at EOH = 0,76 W).

I en artikel i Science (september 2001) har James F. Gillooly, James H. Brown,Geoffrey B. West, Van M. Savage og Eric L. Charnov vist, atenergiomsætningshastigheden (i hvile) for fisk kan skrives:

EOH = EOH0 ·(

mfisk

m0

)0,75

· e−T0/T

hvor EOH0 = 6,42 ·1012 W, m0 = 1 kg, T0 = 9,10 ·103 K, og T er fiskens absoluttetemperatur.

c: Hvor mange gange lavere end for ovenstående tempererede (16 C) fisk erhvile-energiomsætningshastigheden for en iskold antarktisk isfisk, der også harmassen 10 kg men temperaturen 0 C?

76 Kapitel 3. Varme

Facit til opgaver

Opgave 3.1a: 0,10 C

Opgave 3.2a: 0,22 kg

Opgave 3.3a: 1,12 kg = 1,12 liter

Opgave 3.4a: 1,154 m2

b: 56,2 W

c: 1,3 K

d: 69,6%

Opgave 3.5a: 194 W

b: 106 W

c: 1,41 ·10−3 m = 1,41 mm

d: . . .

Opgave 3.6a: 12,785 MJ ·døgn−1

b: 148,0 W

c: 37,0 (kg fedt) · år−1

d: 86,4 kg


e: 29,87%

Opgave 3.7a: 3,8 ·10−8 (m3 O2) · s−1

b: 3,8 ·10−7 m3 · s−1 = 0,38 ml · s−1

c: 6,3 gange lavere

78 Kapitel 3. Varme

3.4 Temaopgaver om geparderGeparden er jordens hurtigste landdyr.Den siges at kunne løbe med hastig-heder på over 30 m · s−1 over korterestrækninger. Hvis den ikke fanger sitbytte inden for nogle hundrede metergiver den op. Derefter er den øjensyn-lig nødt til at holde en pause, før denkan gøre et nyt forsøg. Vi skal se, omdet er muligt at forstå gepardens jag-tadfærd på baggrund af biofysik samttilgængelige data.

Figur 3.9: Foto, Malene Thyssen(http://commons.wikimedia.org/wiki/User:Malene)

Opgave 3.8I 1973 publicerede Taylor og Rowntree resultaterne af forsøg med geparder påløbebånd, der viste, at en gepard omsætter (forbruger) energien 4,2 kJ pr. kg den vejerog pr. km den løber (Taylor, C.R. and Rowntree, V.J., 1973, Temperature regulationand heat balance in running cheetahs: a strategy for sprinters?, American Journal ofPhysiology, Volume: 224 Issue: 4).Geparden , der vejer 50 kg, forfølger en gazelle (300 m) med en hastighed på30 m · s−1. Vi vil først - urealisk - antage, at det svarer til at løbe 300 meter påløbebånd.

a: Hvor stor energimængde omsætter geparden i løbet af de 300 m?

Et menneske kan under ekstreme forhold presse sin energiomsætningshastighed op på1500 W. Til sammenligning:

b: Hvor stor er gepardens energiomsætningshastighed (i enheden watt) når denløber med hastigheden 30 m · s−1?

Iltens kaloriske koefficient QO2 = 20 MJ · ( m3 O2,STPD)−1.

c: Hvor mange liter O2,STPD forbruger en gepard på 50 kg, der løber 300 m?

I ovenstående beregninger er der ikke taget hensyn til at geparden skal bruge energi påat opnå den kinetiske energi svarende til at den har hastigheden 30 m · s−1. Når denløber på løbebånd har den ikke nogen kinetisk energi, da dens hastighed i forhold tiljorden er 0 m · s−1. Desuden forbruger den energi på at overvindegnidningsmodstanden fra luften, når den løber hen over jorden. Antag, at luften yder engnidningsmodstand på 15 N gennem hele spurten.

3.4. Temaopgaver om geparder 79

d: Hvor stor er gepardens kinetiske energi, når den har nået sin topfart (30 m · s−1)?Og hvor stort arbejde har geparden udført efter 300 meters løb ved at overvindeluftmodstanden?

Vi vil antage, at gepardens muskler har en nyttevirkning (effektivitet) på 20%. Denforbrugte energi til at overvinde luftmodstand og opnå kinetisk energi er således 5gange større end beregnet ovenfor.For at finde det samlede energiforbrug for at gennemføre en jagt på 300 m skal dette taladderes til resultatet i spørgsmål a.

e: Hvor meget varmeenergi udvikles der i løbet af jagten (husk musklerne tegnersig for de 20% medens resten går til varme)?

Spurten er så kortvarig (ca. 10 sekunder), at stort set intet af den udviklede varmeenergii kroppen kan nå at slippe væk (hverken ved stråling, konvektion eller fordampning).Når spurten indledes er gepardens kropstemperatur 39 C (ifølge ovennævnte artikel).

f: Hvor høj er gepardens temperatur når den stopper efter 300 m? Brug data frabogens tabel 3.1.

Ifølge artiklen holder geparder op med at løbe når deres kropstemperatur når 40,5 C

g: Hvor langt (og længe) ville geparden kunne løbe på denne måde før den villestoppe p.g.a. overophedning?

Efter løbeturen på 300 m skal geparden køle ned til 39 C igen. Den skal derfor af medden ophobede varmeenergi. Dette sker ved at der fordamper vand fra (de øverste deleaf) åndedrætsorganerne. Hver kubikmeter indåndingsluft kan maksimalt optage 35 gvand fra gepardens åndedrætsorganer. Geparden gisper 200 gange i minuttet ogind-/udånder 0,5 liter luft pr. gisp.

h: Hvor lang tid tager det for geparden at køle ned igen? (Husk, den har løbet 300m, så brug varmeenergien fra spørgsmål e). Brug data fra bogens tabel 3.2

Hvis man kun tager højde for luftmodstanden og energiomsætningen, som den findersted på løbebånd, bliver gepardens energiomsætningshastighed EOH = 8,55 ·103 W(Vi har altså set bort fra den indledende ”investering” i kinetisk energi. Med andre ord,vi ser på det ”løbende” energiforbrug.)

i: Hvor stort er volumenhastigheden af blodet ud gennem gepardens aorta? (Brugligning 3.25). Angiv i liter pr. minut og sammenlign med gepardensblodvolumen (gæt på 5 liter). Antag, at iltinholdet i arterieblodet er0,20 m3 O2,STPD · ( m3 blod)−1 og at iltinholdet i veneblodet er0,10 m3 O2,STPD · ( m3 blod)−1

80 Kapitel 3. Varme

Opgave 3.9

I en artikel fra 2013 (Robyn S. Hetem et al., 2013, Cheetah do not abandon huntsbecause they overheat, Biology Letters Volume: 9 Issue: 5) bestrider forfatterneforklaringen på gepardens jagtadfærd fra foregående opgave. De fulgte 6 geparder ideres naturlige omgivelser gennem 7 måneder. Geparderne var udstyret med halsbåndmed radiosendere og med temeperaturregistrerende dataloggere indopereret ibughulen. Temperaturen blev målt med en nøjagtighed på 0,1 C. Resultatet var, at derikke kunne måles nogen temperaturstigning i forbindelse med løb. I øvrigt var denhøjest målte hastighed for en jagende gepard 93 km · time−1, hvilket er mindre end detraditionelt hævdede 30 m · s−1. Så der er nu grund til at regne på gepardensenergiomsætning på en anden måde:

Det er blevet målt, at en gepard kan accelerere fra 0 km · time−1 til 93 km · time−1 iløbet af 3 sekunder. Geparden vejer 50 kg.

a: Beregn gepardens kinetiske energi når den har opnået hastigheden 93 km · time−1

b: Beregn den (mekaniske) effekt gepardens muskler leverer i løbet af de 3sekunder.

Det er beregnet (Nicklas, R.B., A quantitative comparison of cellular motile systems,Cell Motility 4: 1-5. (262), 1984), at muskler maksimalt kan yde en gennemsnitlig3

(mekanisk) effekt på 200 W pr. kg muskel.

c: Hvis vi antager, at gepardens muskler opererer med denne maksimale effekt,hvor mange procent af gepardens masse udgør så de muskler, der bidrager til atden løber? Er det realistisk?

Gepardens muskler antages at have en nyttevirkning på 20%, dvs. at kun 20% af dentilførte energi omdannes til mekanisk energi, resten bliver til varme.

d: Hvor stort er musklernes samlede effektforbrug og hvor stor varmeeffektudvikler musklerne under de 3 sekunders løb?

Vi vil antage, at det, der bestemmer, hvor hurtigt geparden kan løbe, er, hvor stor effektmusklerne kan udvikle. Vi antager endvidere, at geparden kan opretholde sineffektydelse fra de første tre sekunder gennem en jagt på 300 meter.

3I selve sammentrækningsfasen, kan musklen yde den dobbelte effekt, men musklen skal jo strækkesud mellem sammentrækningerne


e: Hvor stor varmemængde udvikler geparden i løbet af sin 300 meter lange løbeturmed en hastighed på 93 km · time−1? (Tip: Regn først ud, hvor lang tid turentager)

f: Hvor stor en temperaturstigning opnår geparden efter de 300 meters spurt?

g: Sammenlign med resultatet fra foregående opgave. Begge måder at regne pågiver en temperaturstigning, der helt klart burde kunne måles, når deindopererede termometre kan registrere 0,1 grads temperaturstigning.Overvej, hvorfor beregningerne og målingerne slet ikke stemmer overens. (Ingenkender svaret).Du kan starte med at overveje om det ville betyde noget for resultaterne omgeparden havde en anden masse end 50 kg. Måske noget af forklaringen har atgøre med sidste spørgsmål i opgave 2.3 og det tilhørende facit på side 45.

Opgave 3.10Vi prøver endnu en gang at regne med nye forudsætninger. Måske det er antagelsenom, at musklerne yder samme effekt under hele løbet som i løbet af de første 3sekunder, der er forkert.I en artikel fra 1990 (Rodger Kram & C. Richard Taylor, Energetics of running: a newperspective, NATURE, VOL 346, 19 JULY 1990) finder forfatterne, at når en langrække dyr (fra kængururotte på 32 gram til pony på 141 kg) testes på løbebånd, såbruger de en energimængde, der kun afhænger af hvor langt de løber, hvor meget devejer og hvor lange skridt de tager. Resultatet kan udtrykkes i ligningen:

Eomsat = c ·mg · sL

(3.36)

hvor m er dyrets masse, g = 9.81 m · s−2 er jordens tyngdeacceleration,s erstrækningen, der løbes, og L er dyrets skridtlængde. Konstanten c = 0.2 J ·N−1 gælderfor alle de undersøgte dyr indenfor ca. ±10% uafhængigt af løbehastigheden. Dyrenepå løbebånd opbygger ikke nogen kinetisk energi og skal heller ikke overvindeluftmodstand, så disse to faktorer skal med i det samlede energiregnskab for en gepard,der løber hen over Serengeti-sletten.

a: Beregn det samlede energiforbrug for en 50 kg gepard, der løber 300 meter medhastigheden 93 km/t og en skridtlængde på 6 meter. Husk at musklerneseffektivitet er 20% når omkostningen til overvindelse af luftmodstand ogopnåelse af kinetisk energi beregnes.

82 Kapitel 3. Varme

Vi antager som sædvanlig, at 80% af energiforbruget ophobes i kroppen på geparden iform af varme.

b: Beregn gepardens temperaturstigning.

Vi kan også estimere den løbende gepards energiomsætningshastighed ved at se på det”løbende” energiforbrug (altså ved at se bort fra energiomkostningen til at opnåkinetisk energi).

c: Beregn igen hvor meget blod gepardens hjerte udpumper pr. minut.

Opgave 3.11Her er forsag til nogle supplerende opgaver, man kan dykke ned i for at se, om der erhold i de antagelser, der er gjort i de foregående opgaver.

a: Luftmodstanden F kan beregnes efter formlen F = 12ρv2 ·CD ·A, hvor ρ er

luftens densitet, v er hastigheden, CD er drag-koefficienten og A er gepardensfrontale tværsnitsareal. De to sidstnævnte størrelser kan estimeres på forskelligvis.

De to næste spørgsmål knytter sig til beregning af nedkølingstiden:

b: Hvor meget vand fordampes ved at udånde en kubikmeter luft, der er indåndet påSerengeti-sletten? Brug relativ fugtighed på sletten og i lungerne samttemperatur på sletten (om morgenen) og i lungerne. Brug en damptrykstabelsamt idealgasligningen.

c: Hvor hurtigt gisper en gepard og hvor meget luft skifter den pr. gisp?

Vi har antaget, at man kan se bort fra den varme geparden afgiver ved fordampninggennem åndedrættet, når den løber. Men er dette rimeligt?

d: Prøv at estimere hvor meget varme, der kan afgives ved fordampning under enspurt på 300 m. Man skal bl.a. bruge antallet af ind-og udåndinger under spurtensamt volumenet af hver ind- og udånding.

e: Kan det have nogen betydning, hvis hele spurten foregår som anaerobt arbejde?Påvirker dette muskeleffektiviteten?

84 Kapitel 3. Varme

Facit til gepard opgaver

Opgave 3.8a: 63 kJ

b: 6300 W

c: 3,15 liter

d: 22500 J

e: 1,548 ·105 J

f: 39,91 C

g: 747 m25 s

h: 18,8 min

i: 256 liter ·min−1

Opgave 3.9a: Ekin = 1,668 ·104 J

b: P = 5,56 ·103 W

c: 55,6%

d: EOHmusk = 2,78 ·104 W

Q = 2,22 ·104 W

e: Q = 2,58 ·105 J

f: ∆T = 1,49 C

g: 1) Gepardens masse er (næsten) uden betydning.2) Når geparden løber så hurtigt som den kan, er musklernes sammentræknings-hastighed formodentlig så stor, at musklernes effektydelse (og dermed varmepro-duktion) er langt forbi det maksimale, jvf. figuren på side 45.


Opgave 3.10a: 1,11 ·105 J

b: 0,51 C

c: Mængden af blod, der bliver udpumpet pr. minut kan beregnes på forskellig vis.Hvis vi antager, at vi i dette regnskab kun skal tage hensyn til ”løbende” energifor-brug, d.v.s. løbebåndsværdien plus energien til at overvinde luftmodstand (altså atvi ser bort fra den indledende investering i opnåelse af kinetisk energi), så bliverhjertets minutvolumen 71 liter ·min−1

86 Kapitel 3. Varme

Løsningsforslag til gepard opgaver

Opgave 3.8a: Eforbrugt = (50 kg) · (0,3 km) · (4,2 ·103 J ·kg−1 ·km−1) = 63 kJ

b: EOH =Eforbrugt

tid = 63000 J10 s = 6300 W

c: Ligning 3.23 siger:Etilført = QO2 ·VO2 såVO2 =

EforbrugtQO2

= 63000 J20·106 J·(m3 O2)−1 = 3,15 ·10−3 m3 = 3,15 liter

d: Wluftmodstand = F · s = (15 N) · (300 m) = 4500 JEkin =

12mv2 = 1

2 · (50 kg) · (30 m · s−1)2 = 22500 J

e: Q =(

63000 J+ 4500 J+22500 J0,20

)·0,80 = 1,548 ·105 J

f: Af ligning 3.3 fås: ∆T = Qmc =

1,548·105 J(50 kg)·(3,47·103 J·kg−1·K−1)

= 0,91 KNy temperatur: 30 C+∆T = 39 C+0,91 K = 39,91 C

g: Dette spørgsmål kan løses på flere måder. Her regner vi ud, hvor meget længereend de 300 meter geparden skal løbe for at forøge sin temperatur med yderligere1,5 C−0,91 C = 0,59 C således at dens temperatur når op på 40,5 C. Dennetemperaturforøgelse giver en forøgelse i gepardens varmeenergi på∆Q = mc ·∆T = (50 kg) · (3,47 ·103 J ·kg−1 ·K−1) · (0,59 K) = 1,024 ·105 J.Denne varmemængde udgør 80% af den (ekstra) forbrugte energi Eekstra, så

Eekstra =∆Q

0,80=

1,024 ·105 J0,80

= 1,28 ·105 J

Vi beregner nu, hvor denne ekstra energi kommer fra: Hvis geparden løber denekstra strækning s bliver ”løbebåndsbidraget” hertil (se spørgsmål a)(50 kg) · s

1000 m· km−1 · (4,2 · 103 J ·kg−1 ·km−1) = (210 J ·m−1) · s, og energibi-

draget fra arbejdet for at overvinde luftmodstanden på 15 N bliver (15 N)·s0,20 (idet

musklernes arbejde har en effektivitet på 20%). Den samlede forbrugte energi,Eekstra, til at løbe den ekstra strækning s kan således skrives

Eekstra = (210 J ·m−1) · s+ (15 N) · s0,20

= (210 J ·m−1 +75 N) · s

Bemærk at enheden J ·m−1 er det samme som N, så de to led i parentesen ovenforkan lægges sammen.Heraf fås den ekstra strækning s = Eekstra

(210 J·m−1+75 N)= 1,28·105 J

285 N = 449 m

Geparden kan altså i alt løbe4 300 m+449 m = 749 m

4Hvis der regnes med flere decimaler i mellemregningerne, får man strækningen 747 m


Tiden i alt: 749 m30 m·s−1 = 25 s

h: Vi går ud fra nedkøling efter 300 meters løb, dvs. varmemængdenQ = 1,548 ·105 J beregnet i spørgsmål e. Varmen går til fordampning af vand iflg.ligning 3.6, hvormed den fordampede vandmasse bliver:m = Q

L = 1,548·105 J2,41·106 J·kg−1 = 65,73 ·10−3 kg = 65,73 g

Den ind- og udåndede luftmængde bliver så 65,73 g35 g·m−3 = 1,878 m3

Antal gisp à 0,5 liter: 1,878 m3·1000 l·m−3

0,5 l = 3756Tid for at foretage 3756 gisp: 3756

200 min−1 = 18,8min

i: Vi benytter ligning 3.25, EOH = QO2 · (O2,arterie−O2,vene) ·Vaorta og får dermed:

Vaorta =EOHløbende

QO2 · (O2,arterie−O2,vene)

=8,55 ·103 W

(20 ·106 J · (m3 O2)−1) · (0,20−0,10) m3 O2 · ( m3 blod)−1

= 4,27 ·10−3 m3 · s−1 = 4,27 liter · s−1 = 256 liter ·min−1

Dette tal er urealistisk højt, da det betyder at praktisk talt hele gepardens blodvo-lumen cirkuleres én gang pr. sekund. Til sammenligning cirkulerer et menneskei moderat aktivitet hele sit blodvolumen én gang pr. minut. Da beregningerne erbaseret på målinger af iltoptagelse ved moderate løbehastigheder, kan vi konklu-dere, at en sprintende gepard ikke kan få dækket sit iltbehov. Kredsløbet tilladerdet ikke.

Opgave 3.9

a: Først omregne til SI enheder: 93 km/t = 93·1000 m60·60 s = 25,83 m · s−1

Ekin =12mv2 = 1

2 · (50 kg) · (25,83 m · s−1)2 = 1,668 ·104 J

b: Pmek =Ekin

t = 1,668·104 J3 s = 5,56 ·103 W

c: Massen af muskler, der bidrager til løb er mmusk., så vi har, at Pmek = mmusk. ·(200 W ·kg−1), hvormed mmusk. =

Pmek200 W·kg−1 =

5,56·103 W200 W·kg−1)

= 27,8 kg

Procentdel af gepardens vægt: 27,8 kg50 kg ·100% = 55,6%

d: Vi ved, at Pmek = 0,20 ·EOHmusk., hvormedEOHmusk. =

Pmek0,20 = 5,56·103 W

0,20 = 2,78 ·104 W

Q = EOHmusk.−Pmek = 2,78 ·104 W−5,56 ·103 W = 2,22 ·104 W

88 Kapitel 3. Varme

e: Tiden er t = 300 m93 km/t =

300 m25,83 m·s−1 = 11,61 s

Q = Q · t = (2,22 ·104 W) · (11,61 s) = 2,58 ·105 J

f: Idet Q = mc ·∆T fås:∆T = Q

mc =2,58·105 J

(50 kg)·(3,47·103 J·kg−1·K−1)= 1,49 K ( C)

Dette er endnu mere end den tidligere beregnede temperaturstigning, og stadig ca.15 gange så meget som måleusikkerheden.

g: Hvad angår gepardens masse så er den uden større betydning. Den kinetiske ener-gi og andet arbejde relateret til løb varierer proportionalt med gepardens masse.Kun luftmodstanden vil ændre sig ikke-proportionalt med massen: Da luftmod-standen afhænger af frontarealet af geparden og dette varierer med de lineære di-mensioner i anden potens medens rumfanget - og dermed massen - varierer medtredje potens fås, at luftmodstanden varierer med gepardens masse i potensen 2/3.Det sidste betyder, at hvis geparden bliver større, så vokser luftmodstandsarbejdetmindre end de øvrige energibidrag, så i princippet skulle en større gepard oplevemindre temperaturstigning. Men indenfor mindre massevariationer betyder detteikke ret meget. Herved fås, at den udviklede varme er stort set proportional medmassen, men så bliver temperaturstigningen uafhængig af massen.Hvad angår den anden overvejelse, så virker det plausibelt, at når geparden løberså hurtigt som den kan, så er musklernes sammentrækningshastighed formodent-lig så stor, at musklernes effektydelse (og dermed varmeproduktion) er langt forbidet maksimale, jvf. figuren på side 45. Den mindre effektydelse er formodenligogså mulig, når geparden kun skal opretholde og ikke opbygge sin kinetiske ener-gi.

Opgave 3.10a: Vi beregner de tre komponenter af det totale energiforbrug, E0 (300 m løb på

løbebånd), Eomsat, kin (til at opnå kinetisk energi), samt Eomsat, luftmodst. (til at over-vinde luftmodstand på 15 N):E0 = c ·mg · s

L = (0,2 J ·N−1) · (50 kg) · (9,81 m · s−2) · 300 m6 m = 4905 J

Eomsat, kin =12 mv2

0,20 =12 ·(50 kg)·(25,83 m·s−1)2

0,20 = 8,34 ·104 J

Eomsat, luftmodst. =(15 N)·(300 m)

0,20 = 2,25 ·104 JIalt omsat energi Etotal, omsat = 1,11 ·105 J

b: Antag, at 80% af den omsatte energi bliver til varme:Q = 0,80 · (1.11 ·105 J) = 8,87 ·104 J

Temperaturstigning ∆T = Qmc =

8,87·104 J(50 kg)·(3,47·103 J·kg−1·K−1)

= 0,51 CDette er stadig 5 gange højere end de 0,1 C, der er måleusikkerheden.


c: Mængden af blod, der bliver udpumpet pr. minut kan beregnes på forskellig vis.Hvis vi antager, at vi i dette regnskab kun skal tage hensyn til ”løbende” energifor-brug, d.v.s. løbebåndsværdien plus energien til at overvinde luftmodstand (altså atvi ser bort fra den indledende investering i opnåelse af kinetisk energi), så bliverden omsatte energi hertil (se udregningerne i spørgsmål a):Eomsat, løbende = 4905 J+2,25 ·104 J = 2,74 ·104 J.Da det tager 11,6 s at løbe de 300 meter fås hermedEOHløbende =

Eomsat, løbende11,6 s = 2,74·104 J

11,6 s = 2362 WVi benytter ligning 3.25, EOH = QO2 · (O2,arterie−O2,vene) ·Vaorta og får dermed:

Vaorta =EOHløbende

QO2 · (O2,arterie−O2,vene)

=2362 W

(20 ·106 J · (m3 O2)−1) · (0,20−0,10) m3 O2 · ( m3 blod)−1

= 1,18 ·10−3 m3 · s−1 = 71 liter ·min−1

Dette tal kan virke urealistisk højt, men er ”kun” det dobbelte af, hvad cykelrytte-ren Lance Armstrong’s hjerte præsterede, da han var på sit højeste.

EfterskriftSelv den sidste beregning gav, at der skulle kunne måles en temperaturstigning. Aleneenergibidraget til at opbygge den kinetiske energi har som sideeffekt at der udvikles var-meenergi (80% af 8,34 ·104 J), der alene ville give anledning til en temperaturstigningpå 0,38 C, så dette er et absolut minimum af temperaturstigning. Vi har selvfølgeligset bort fra, at der kan afgives varme under løbet. Men afgivelse ved stråling i 11,6sekunder (se ligning 3.18) giver ikke mere end ca. 1000 J med realistiske antagelserom temperaturer og overfladeareal. Konvektionstab vil være af samme størrelsesorden.Tilbage er fordampning. Hvis temperaturstigningen beregnet ovenfor (0,51 C) skullebringes ned under måleusikkerheden på 0,1 C, skulle den ophobede varmemængde be-regnet i opgave 3.10, spørgsmål b (dvs. 8,34 ·10 C) altså reduceres med 4/5, dvs. med6,67 ·104 J. For at klare dette ved fordampning skulle geparden i løbet af 11,6 sekunderind/ud-ånde 0,84 m3 luft (samme beregning som i opgave 3.8, spørgsmål h). Man måformode, at geparden er nødt til at ånde ind og ud i takt med sine skridt, da den vekslermellem helt sammenkrummet og helt udstrakt (à lá harmonika). Dens skridt er 6 meterlange, så den foretager 50 skridt, og dermed ind- og udåndinger, i løbet af de 300 meter,den løber. Dette ville betyde, at den, for at fordampe nok vand til at holde tempera-turstigningen nede under 0,1 C, skulle udskifte 0,84 m3/50 = 16,8 liter pr. åndedrag.Dette er urealistisk højt (formentlig ca. 3 gange det fysiologisk mulige).

90 Kapitel 3. Varme

Alt dette betyder, at selv med alle tænkelige justeringer i beregningerne, kan det ikkeforstås, at temperaturstigningen skal være under 0,1 C. Den eneste tilbageværende for-klaring er, at selv om temperturfølerne er indopereret i gepardernes bughuler og ifølgeartiklens forfattere skulle være i temperaturligevægt med blodet gennem musklerne, såkan dette ikke være tilfældet. Man kunne forestille sig, at under en spurt lukker ge-pardens organisme sin blodcirkulation til de indre organer ned og kan derved sende såmeget desto mere blod til musklerne. Men herved kan blodet i bughulen være afkobletfra blodet i musklerne, der således godt kan have en målelig temperaturstigning (somberegnet). Denne forklaring er også i overensstemmelse med, at der blev målt en tem-peraturstigning i geparderne i tiden efter en afsluttet eller opgivet jagt. Dette ville kunneforklares med at efter en spurt normaliseres blodkredsløbet så, der igen kommer frisk(varmt) blod til bughulen.Tilbage står så spørgsmålet om, hvorfor geparder opgiver jagten efter så kort tid (ellerstrækning). Dette kan med ovenstående kommentarer måske stadig være et spørgsmålom overophedning i hjernen, som altså ikke registreres i bughulen. Eller det skyldesblot, at gepardens løb i nogen udstrækning er anaerobt, så den efter kort tid ”syrer til”på grund af iltmangel i musklerne.

ARegning med enheder

Der skal to ting til at angive en fysisk størrelse som f.eks. en afstand, en tid eller enhastighed: nemlig et tal og en enhed. Tallet alene er meningsløst.

Eksempel: Det giver ingen mening at sige, at tykkelsen af en bog er 2,5.Derimod giver det mening at sige, at tykkelsen er 2,5 cm eller at den er 2,5mm eller 2,5 tommer.Afstande kan f.eks angives i enheden meter, tommer, kilometer, fod osv. Tidkan angives i døgn, år, sekunder, millisekunder, timer osv. Hastigheder kanangives i vilkårlige kombinationer af disse enheder, f.eks. kilometer/time,tommer/år, meter/sekund osv.

At det er muligt, at angive fysiske størrelser i alle mulige enheder og kombinationeraf dem betyder ikke at det er praktisk, så forskellige lande og forskellige fagområderbenytter traditionelt kun et begrænset udpluk af alle mulighederne. I størstedelen afEuropa måles længder i meter, centimeter, kilometer osv, masser i gram, kilogram osv,rumfang i kubikmeter, liter osv. Men tømrere angiver stadig længden og tykkelsen afuhøvlede brædder i fod og tommer. Er brædderne derimod høvlede angives tykkelsernei millimeter og længderne i meter! Ældre mennesker, som er på slankekur, fortæller atder har tabt sig tre pund. Men værre endnu, der er forskelle fra land til land: en fod erikke helt det samme i England som i Frankrig eller i Danmark, så omregning er ikkesimpelt. Men selv inden for samme land er omregning mellem store og små mål for den

91

92 Appendix A. Regning med enheder

samme størrelse (f.eks. længde) ikke simpelt. Eksempel: I England går der 12 tommerpå en fod, 3 fod på en yard og 1760 yards på en mile.

A.1 MetersystemetI et forsøg på at gøre en ende på forvirringen og for at gøre omregning mellem storeog små enheder simplere opfandt man metersystemet i Frankrig i 1799. Det blev dogførst indført ved lov (i Frankrig)i 1840. Der blev indført nye fundamentale enheder, derikke skulle kollidere med nogens nationalfølelse: En meter, f.eks. var oprindelig defi-neret som 1/10000000 af afstanden fra ækvator til nordpolen. (Derfor er det ikke nogentilfældighed, at jordens omkreds er et ”pænt” tal, nemlig 40000 km). Større og mindrelængdeenheder blev defineret ved at gange eller dividere meteren med potenser af 10:F.eks. 1 kilometer = 1000 ·1 m og skrives 1 km, 1 decimeter = 1 m/10 og skrives 1 dm.Enheden for masse, et kilogram, var oprindelig defineret som massen af en kubikde-cimeter vand, hvad der ikke burde kunne fornærme f.eks. englænderne eller tyskerne.Enheden for tid, sekunder holdt man fast ved. Til trods for systemets indlysende for-dele har det været længe om at brede sig. Metersystemet indførtes i Danmark i 1907.England indførte systemet så sent som i 1970’erne, medens USA endnu ikke har gjortdet.

Grundlæggende enhederMetersystemet har gennemgået adskillige forfininger siden starten og kaldes nu SI-systemet (Système international d′unités). De grundlæggende enheder er vist i skemaetnedenfor:

Fysisk størrelse Enhed ForkortelseLængde meter mMasse kilogram kgTid sekund sTemperatur kelvin KStrømstyrke ampere AStofmængde mol molLysstyrke candela cd

Alle enheder modsvares af større og mindre enheder, der fremgår af de grundlæggen-de ved at gange eller dividere med potenser af 10 og give disse udvalgte ti’er potensernavne, som f.eks. kilo, der betyder 1000 (altså 103) og forkortes ”k”, eller centi, der be-tyder hundrededel (dvs. 10−2) og forkortes ”c”. Kun visse udvalgte 10’er potenser haret navn. Disse navne kaldes dekadiske præfixer. De mest almindelige er vist i skemaetnedenfor.

A.1. Metersystemet 93

Lær dem udenad. Der opstår mange fejl i udregninger fordi man er usikker på betyd-ningen af f.eks. M (mega) eller lignende.

Lær dette skema med dekadiske præfixer udenad. Præfixerne i de grå celler ermedtaget for fuldstændighedens skyld, men de er ikke i almindelig brug.

Faktor Navn Forkortelse1018 exa E1015 peta P1012 tera T109 giga G106 mega M103 kilo k10−1 deci d10−2 centi c10−3 milli m10−6 mikro µ

10−9 nano n10−12 pico p10−15 femto f10−18 atto a

Husk, hvordan negative potenser skal forstås, f.eks.: 10−6 = 1106 , dvs. en milliontedel.

Eksempel: 3,55 km betyder 3,55 · 103 m, dvs. 3550 m, da km betyder103 m6,78 µs betyder 6,78 · 10−6 s, da µs betyder 10−6 s. Man kan naturligvisskrive dette om til 0,00000678 s, men det er egentlig ikke særlig overskue-ligt.

Sammensatte enhederHvis en bil kører 120 meter (= x) på 4 sekunder (= t), så er bilens hastighed v = x

t =120 m

4 s = 30 m1 s , der også skrives 30 m/s. Hastigheden har således enheden m/s (meter pr

sekund). Dette er et eksempel på en sammensat enhed. Enhver fysisk størrelse har enenhed, der kan skrives ved at gange eller dividere de grundlæggende enheder medhinanden.


Eksempel: Acceleration beskriver hvor hurtigt en hastighed ændrer sig.Hvis en bil forøger sin hastighed fra 30 m/s (= v1) til 39 m/s (= v2) i lø-bet af 3 sekunder (= ∆t), er dens acceleration a = v2−v1

∆t = 39 m/s−30 m/s3 s =

9 m/s3 s = 3 m/s

1 s , hvad der skrives 3 m/s2. Enheden for acceleration er altsåmeter pr. sekund i anden potens, dvs. meter divideret med sekund i andenpotens.

En kraft (F) kan iflg. Newtons 2. lov beregnes ud fra hvor stor en accelera-tion (a), den giver anledning til, når den påvirker en ting med kendt masse(m): F = m ·a. Hvis bilen, der ovenfor fik accelerationen a = 3 m/s2, vejer800 kg, så kan vi beregne den kraft, der var nødvendig for at give accelera-tionen 3 m/s2:F = m ·a = 800 kg ·3 m/s2 = 2400 kg ·m/s2

Her ser man, at enheden for kraft er kg ·m/s2, der jo også er fremkommetved multiplikation og division af fundamentale enheder. Denne kombina-tion af enheder kalder man af bekvemmelighedsgrunde for newton, forkor-tet N. Den beregnede kraft kan altså angives som 2400 N.

Det viser sig, at disse skrå streger i enhedsangivelserne, der angiver division, bliverbesværlige at holde rede på, når man foretager beregninger, hvori der indgår mange be-nævnte størrelser eller når enhederne i sig selv bliver lidt mere komplicerede. F.eks. hargaskonstanten SI-enheden J

K ·mol , der enten kan skrives som vist, eller som J/ K/ moleller som J/( K · mol).I praksis kan det bedre betale sig, at benytte potensnotation af enheder, hvor negativeeksponenter er tilladt.

Potensnotation ... eller hvordan man undgår at dividereMan benytter, som tidligere nævnt, den matematiske definition af negative eksponenter:

x−n =1xn

Herved kommer alle fundamentale enheder, der står under en brøkstreg (eller skråstreg)i en sammensat enhed, blot til at indgå med en negativ eksponent i et gangestykke afenheder med forskellig eksponent. Skrivemåden kan være lidt besværlig at vænne sigtil, men det betaler sig i længden i form af simplere mellemregninger og færre fejl. Viser lige på, hvordan de sammensatte enheder, vi indtil nu har stødt på, kommer til at seud med anvendelse af denne udvidede potensnotation:

A.1. Metersystemet 95

Fysisk størrelse Gammel skrivemåde Ny skrivemådeHastighed m/s m · s−1

Acceleration m/s2 m · s−2

Kraft kg ·m/s2 kg ·m · s−2

Gaskonstanten J/( K · mol) J ·K−1 ·mol−1

SI-systemet igen-igen

Ovenfor så vi på de grundlæggende enheder i SI-systemet. Men alle enheder,der ersammensat af SI-systemets grundenheder er også SI-enheder. SI-systemet udgør et sætaf afstemte enheder. Eksempel: SI-enheden for hastighed er m · s−1 og ikke km/t, fordihverken km eller timer er SI-enheder. SI-enheden for areal er m2.NB! Enheden liter er ikke en SI-enhed for rumfang; SI-enheden for rumfang hedder m3.Sammenhængen er 1 m3 = 1000 liter

Regning med fysiske størrelser

Principperne er simple og indlysende:

1. Man kan multiplicere og dividere enhver fysisk størrelse med en anden

2. Man kan kun addere og subtrahere fysiske størrelser, som har samme enhed

3. Hvis et regneudtryk med fysiske størrelser skal benyttes som funktionsargument,skal regneudtrykket, hvori de fysiske størrelser indgår, ikke have nogen enhed.

Grunden til regel nummer et er, enhederne jo i sig selv er fremkommet ved at multipli-cere og dividere. Ved at gange eller dividere fysiske størrelser fremkommer derved bareenheder, hvori de fundamentale enheder bliver ganget og divideret.Grunden til regel nummer to er, at størrelser med forskellig enhed også fysisk set er afforskellig art. Det er indlysende absurd at forsøge at addere 5 kg med 25 m2. Det er ligeså absurd at forsøge, at addere 5 m med 25 m2. Hvilken enhed skulle resultatet have?Grunden til regel nummer 3 ligger egentlig i regel nummer 2. Man ser det lettest ved eteksempel:

Eksempel: Vi definerer funktionen f således:

f (x) = x+ x2

Lad os forsøge, at beregne funktionen af 3 m (funktionens argument er 3m):

f (3 m) = (3 m)+(3 m)2 = 3 m+9 m2


hvad der ikke kan lade sig gøre iflg. regel nummer 2 (det er absurd). Hvisargumentet derimod er et regneudtryk, der ikke har nogen enhed, går det tilgengæld godt. Med den samme funktion, f og argumentet x = 2 m+4 m

12 m fås:

f (2 m+4 m

12 m) = f (

6 m12 m

) = f (0,5) = 0,5+0,52 = 0,75

Undtaget fra regel nummer tre er selvfølgelig funktioner, der er potensfunktioner,f.eks. f (x) = x2, fordi der så ikke skal adderes størrelser med forskellig enhed. Men foralle andre funktionstyper gælder reglen, da funktionens Taylorrække jo indeholder mereend ét led.

A.2 Fysiske størrelser, deres symboler og enhederHer er en oversigt over almindeligt forekommende fysiske størrelser med deres alminde-ligt anvendte symboler samt almindeligt anvendte enheder for dem. Skemaet indeholderen kolonne med størrelsernes SI-enheder samt en kolonne med eksempler på andre en-heder, der enten ikke direkte er SI-enheder, men måske afledt deraf (som enheden cm erafledt af enheden m), eller enheder der er helt udenfor SI-systemet, som f.eks. enhedenatm for tryk. Husk, at enheder, der er sammensat af SI-enheder, også er SI-enheder.

Bemærk, at symbolerne for fysiske størrelser ikke nødvendigvis er entydige,nogle af dem har flere betydninger:F.eks. kan P betyde både tryk og effekt.Derimod er symbolerne for enheder entydige: m betyder altid meter, W betyderaltid watt osv.

Bemærk i forbindelse hermed:Symboler for fysiske størrelser betegnes altid med kursivskrift.F.eks. betegner m en masse og W et arbejde (work).Symboler for måleenheder skrives altid med almindelig opret skrift, såm betyder meter (og ikke masse), W betyder watt (og ikke arbejde). Ligeledesskrives de dekadiske præfikser også med opret skrift (m for milli, c for centi, kfor kilo, osv.).

A.2. Fysiske størrelser, deres symboler og enheder 97

FYSISKE STØRRELSER, DERES SYMBOLER OG ENHEDER

Fysisk størrelse Symbol SI-enhed Andre enheder

Længde x, l, . . . m cm, mm, µm

Masse m kg g, mg

Tid t s ms, time, minut, døgn

Temperatur T K C

Strømstyrke I A mA

Spænding U eller ψ V mV

Elektrisk modstand R Ω

Ladning q C

Stofmængde n mol mmol, µmol

Massefylde (densitet) ρ kg ·m−3 g · cm−3

Koncentration C kg ·m−3, mol ·m−3 M

Areal A m2 cm2, mm2

Rumfang V m3 cm3, mm3, liter, ml

Hastighed v m · s−1 km/time

Kraft F N mN

Tryk P Pa atm, mm Hg, PSI

Arbejde og energi W , E J kJ, eV, MeV

Effekt P W kW, HK

Frekvens f Hz (= s−1) kHz

Permeabilitet P m · s−1

Diffusionskoefficient D m2 · s−1 cm2 · s−1

Viskositet η Pa · s P (poise)

Volumenhastighed V m3 · s−1 l/time, ml/minut

Hydrodyn. modstand R Pa · s ·m−3


A.3 Opgaver

Opgave A.1Hvilke af nedenstående fysiske størrelser er angivet i SI-enheder?

a: 12,5 cm

b: 25,3 m

c: 100 km/t

d: 10 m/minut

e: 103 minutter

f: 5,25 m3

g: 9.81 m · s−2

h: 100 liter

i: 103 s

j: 1,0 cm2

k: 11,2 mol

l: 10,3 mmol

m: 0,2 M (molær)

n: 24,5 C

o: 0,05 mol ·m−3

p: 224,5 K

A.3. Opgaver 99

Opgave A.2Vi begynder lige med et par eksempler:Første eksempel: Omregn 25 mm til m:Pr. definition er milli = 10−3, dvs. 25 mm = 25 ·10−3 m = 2,5 ·10−2 mAndet eksempel: Omregn 0,035 m til µmPr. definition betyder µ jo 10−6, så hvis det søgte antal µm kaldes x, fås0,035 m = x µm = x ·10−6 m⇒ x = 0,035 m

10−6 m = 0,035 ·106 = 3,5 ·104, hvormed0,035 m = 3,5 ·104 µm

a: Omregn 4,7 cm til SI-enhed (m)

b: Omregn 25,5 mm til SI-enhed

c: Omregn 2,5 µm til SI-enhed

d: Omregn 0,55 km til SI-enhed

e: Omregn 0,33 m til mm

f: Omregn 0,023 m til cm

g: Omregn 0,0123 m til µm

Opgave A.3Igen begynder vi med et eksempel:Eksempel: Omregn 0,0025 km til cm.Vi bruger definitionerne af kilo og centi:0,0025 km = x cm⇔ 0,0025 ·103 m = x ·10−2 m⇒x = 0,0025·103 m

10−2 m = 0,0025 ·103 ·102 = 0,0025 ·103+2 = 0,0025 ·105 = 250, hvormed0,0025 km = 250 cm

a: Omregn 4,7 cm til mm

b: Omregn 0,7 cm til µm

c: Omregn 0,7 mm til µm

d: Omregn 23,7 µm til mm

e: Omregn 0,7 kg til g

f: Omregn 0,7 g til kg

g: Omregn 0,7 µN til mN


Opgave A.4Igen begynder vi med et eksempel:Eksempel: Omregn 0,0325 m2 til cm2.Det søgte antal cm2 kaldes x. Der gælder så0,0325 m2 = x cm2 = x · (1 cm) · (1 cm) = x · (10−2 m) · (10−2 m) = x ·10−4 m2⇒x = 0,0325 m2

10−4 m2 = 325, hvormed0,0325 m2 = 325 cm2

Man kan også se på det sådan her:

Omregning fra m til cm: gang med 100

Omregning fra m2 til cm2: gang med 1002

Omregning fra m3 til cm3: gang med 1003

a: Hvor mange cm2 er 0,25 m2?

b: Hvor mange mm2 er 0,05 m2?

c: Hvor mange m2 er 225 cm2?

d: Hvor mange m2 er 1225 mm2?

e: Hvor mange cm3 er 0,025 m3?

f: Hvor mange mm3 er 0,025 m3?

g: Hvor mange m3 er 1,025 ·104 cm3?

h: Hvor mange m3 er 1,025 ·106 mm3?

i: Hvor mange m3 er 6,25 ·106 µm3?

A.3. Opgaver 101

Opgave A.5a: Omregn 100 km/t til m · s−1

b: Omregn 0.5 km/minut m · s−1

c: Omregn 10 m · s−1 til km/t

d: Omregn 0,2 l/minut til m3 · s−1

e: Omregn 250 l/timen til m3 · s−1

f: Omregn 14,5 l/døgn til m3 · s−1

g: Omregn 5,25 ·10−4 m3 · s−1 til liter/døgn

Opgave A.6Kinetisk energi beregnes ved formlen Ekin =

12 ·m · v

2, hvor m er massen og v erhastigheden.

a: Beregn enheden for kinetisk energi ud fra formlen

Potentiel energi beregnes ved formlen Epot = m ·g ·h, hvor m er massen,g = 9.81 m · s−2 og h er højden over jorden.

b: Beregn enheden for potentiel energi ud fra formlen

Når en konstant kraft F flytter en ting stykket s, udfører den arbejdet W = F · sEnheden for kraft kaldes newton og skrives N. I fundamentale enheder er newton detsamme som kg ·m · s−2

c: Beregn enheden for arbejde ud fra formlen ovenfor

Opgave A.7SI-enheden for arbejde og energi er J (joule), jvf. opgaven ovenfor. Ifølge formlen forarbejde ovenfor kan enheden for arbejde skrives N ·m. Tryk har SI-enheden Pa, der eren forkortelse for N ·m−2 (newton pr. kvadratmeter). I visse beregninger, hvor manskal beregne et tryk, kan man komme ud for at resultatet får enheden J ·m−3 (joule pr.kubikmeter).

a: Er enheden J ·m−3 det samme som Pa? (Begrund)


Opgave A.8I forbindelse med beregninger på strømmende væsker har man ofte brug for at beregnedet såkaldte Reynolds tal, der betegnes Re, og er defineret som

Re =ρ · v · r

η

hvor ρ er væskens massefylde (densitet), der har enheden kg ·m−3, v er væskensstrømningshastighed, der har enheden m · s−1, r er den indvendige radius af det rør,væsken strømmer i, og har enheden m, og endelig er η væskens viskositet, der harenheden Pa · s. Hvad angår enheden Pa, så se opgave 7.

a: Hvilken enhed har Reynolds tal, når den udtrykkes så simpelt som muligt?

A.3. Opgaver 103

Facit til opgaverne

Opgave A.1a: Ikke SI

b: SI

c: Ikke SI

d: Ikke SI

e: Ikke SI

f: SI

g: SI

h: Ikke SI

i: SI

j: Ikke SI

k: SI

l: Ikke SI

m: Ikke SI (molær er mol/liter. Liter er ikke en SI enhed)

n: Ikke SI

o: SI

p: SI

Opgave A.2a: 0,047 m

b: 0,0255 m

c: 2,5 ·10−6 m

d: 550 m

e: 330 mm

f: 2,3 cm

g: 1,23 ·104 µm


Opgave A.3a: 47 mm

b: 7 ·103 µm

c: 7 ·102 µm

d: 2,37 ·10−2 mm

e: 700 g

f: 7 ·10−4 kg

g: 7 ·10−4 mN

Opgave A.4a: 2,5 ·103 cm2

b: 5 ·104 mm2

c: 2,25 ·10−2 m2

d: 1,225 ·10−3 m2

e: 2,5 ·104 cm3

f: 2,5 ·107 mm3

g: 1,025 ·10−2 m3

h: 1,025 ·10−3 m3

i: 6,25 ·10−12 m3

Opgave A.5a: 27,78 m · s−1

b: 8,33 m · s−1

c: 36 km/t

d: 3,33 ·10−6 m3 · s−1

e: 6,94 ·10−5 m3 · s−1

f: 1,68 ·10−7 m3 · s−1

g: 45360 l/døgn

A.3. Opgaver 105

Opgave A.6a: kg ·m2 · s−2

b: kg ·m2 · s−2

c: kg ·m2 · s−2

Opgave A.7a: Ja. Regn om til produkter af fundamentale enheder og check. Eller bemærk, at

J = N ·m, så J ·m−3 = N ·m ·m−3 = N ·m−2 = Pa

Opgave A.8a: Reynolds tal har ingen enhed.

Det kan ses således: Enheden er

( kg ·m−3) · ( m · s−1) · ( m)

Pa · s

Bemærk at Pa = N ·m−2 = ( kg ·m · s−2) ·m−2 = kg ·m−1 · s−2

Herved kan enheden for Reynolds tal altså skrives:

( kg ·m−3) · ( m · s−1) · ( m)

Pa · s=

( kg ·m−3) · ( m · s−1) · ( m)

( kg ·m−1 · s−2) · s

hvor man ser at tæller og nævner kan forkortes ud med hinanden, så resultatetbliver 1, dvs ingen enhed.

Index

absolut temperatur, 62, 67absolutte nulpunkt, 48, 60angrebspunkt, 32, 35aorta, 65

blandingstemperatur, 51bruttonyttevirkning, 66

drejningsmoment, 29, 39

effektdefinition, 24

elasticitetsmodul, Se Young’s modulemissivitet, 62energiomsætningshastighed, 63, 64

og iltforbrug, 64–66evaporation, 60

friktion, 16, 17friktionskoefficient, 16, 17

dynamisk, 17statisk, 17

friktionskoefficientertabel, 18

gepard, 11, 78gnidningsmodstand, Se friktion

kalorisk koefficient, 64–66, 74konduktion, 54, 58

gennem flere lag, 58konvektion, 58, 59kraftmoment, 29, 30

ligevægt

mekanisk, 29, 33rotations-, 33, 35, 36translations-, 30, 33, 35, 36

ligevægtstemperatur, 51

massemidtpunkt, 29–31, 33muskeleffektivitet, 66

nervecelle, 47nettonyttevirkning, 67normalkraft, 16, 17normalreaktion, Se normalkraftnyttevirkning, 66–67

omdrejningspunkt, 32, 33, 35, 36

temperatur, 47tyngdeaccelerationen, 15tyngdeacclerationen

i Danmark, 16standard, 16

tyngdekraften, 15tyngdeloven, 15

varmekapacitet, 50–52, 69varmeledning, Se konduktionvarmeledningsevne, 54

tabel, 56varmestrøm, 55–58vridningsmoment, 30

106

b iofysik - nbi.dkogendal/personal/lho/biofysikforgymnasiet.pdf · stigheden w (omega) bestemmer...

Documents