b2001 matematik 2 unit2

7/18/2019 B2001 Matematik 2 UNIT2

http://slidepdf.com/reader/full/b2001-matematik-2-unit2 1/13

B2001/UNIT 2/1

PEMBEZAAN

PEMBEZAAN

OBJEKTIF

Objektif Am : Memahami konsep pembezaan dan idea had serta boleh melakukan

pembezaan dengan cara Prinsip Ppertama.

Objektif Khusus : Di akhir unit ini, anda pelajar :

Menyatakan pembezaan sebagai perubahan suatu kuantiti

terhadap suatu kuantiti yang lain.

Mencari had dengan menggunakan jadual.

Mencari had dengan menggunakan kaedah gantian memusat.

Mendapatkan pembezaan suatu fungsi dengan menggunakan

idea had.

Mendapatkan pembezaan dengan kaedah Prinsip Pertama.

UNIT 2



B2001/UNIT 2/2

PEMBEZAAN

2.0 PENENA!AN PEMBEZAAN

Pembezaan adalah proses mencari k"#"$ %e$ub"h"& suatu kuantiti terhadap suatu

kuantiti yang lain. Ia adalah satu cabang ilmu Kalkulus yang mula diperkenalkan

sejak kurun ke !. Ia digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam pelbagai

bidang misalnya kejuruteraan, perubatan, perdagangan, pertanian dan lain"lain.

Pada setiap hari #abu, $nit Polibriged politeknik dikehendaki berjogging

mendaki sebuah anak bukit berhampiran politeknik tersebut. %hmad, seorang ahli

Polibriged terpaksa berjogging dengan hati"hati kerana kecerunan bukit yang

berbeza"beza. Kadangkala %hmad bergerak perlahan kerana tanahnya yang curam

dan kadang kala dia memecut kerana tanahnya lebih landai.

Kecerunan bukit pada titik"titik tertentu %hmad menapak boleh ditentukan

dengan proses yang dinamakan PEMBEZAAN.

INPUT INPUT

Istilah &te$bit"&&

boleh jugadigunakan untuk

perkataan &%embe'""&&.

P'

%

•

xδ

(%)*I%) +++

'emoga

kejayaan

sentiasa

mengiringi

hidup anda

Perubaha

n dalam

Perubahan dalam y



B2001/UNIT 2/(

PEMBEZAAN

Kecerunan bukit boleh ditentukan dengan mempertimbangkan %e$ub"h"& %"#"

&i)"i me&e*"k+ , terhadap %e$ub"h"& &i)"i me&*ufuk+ -.

Kecerunan bagi satu garis lurus ditakrifkan sebagai:

Kee$u&"& Pe$ub"h"& %"#" ,

Pe$ub"h"& %"#" -

$ntuk fungsi linear, kecerunannya sentiasa tetap iaitu tiada kadar perubahan. -ika

fungsi bukan linear dipertimbangkan, didapati bahaa kadar perubahannya tidak

tetap. /leh kerana kecerunan pada setiap titik %hmad menapak sentiasa berubah,

adalah lebih mudah nilai kecerunan ini diterangkan dengan proses pembezaan.

Proses menentukan perubahan y berbanding ialah proses pembezaan dan boleh

ditulis sebagaidx

dy.

Konsep pembezaan boleh diaplikasikan dalam konsep halaju dan sesaran.

")"ju, 0 ialah be'""& ses"$"&, s terhadap m"s", t dan ditulis sebagaidt

ds

sementara, %eut"& , a ialah be'""& h")"ju, 0 terhadap m"s", t dan ditulis sebagai

dt

dv.

Jik" , i")"h su"tu fu&*si - i"itu , f-+ %embe'""& , te$h"#"% -+

dx

dy b3)eh #itu)is ju*" seb"*"i f 4- +

dx

dy f 4-.



B2001/UNIT 2/5

PEMBEZAAN

2.1 I6EA A6

Di sekitar kampus P'%, had laju maksimum bagi

kenderaan bermotor ialah 12 km3j. Pemandu yang

melebihi had laju tersebut akan disaman. Daripada

situasi ini, had laju kenderaan ialah 12 km3j. %pakah

yang dimaksudkan dengan istilah &h"#&.

I#e" h"# ini boleh digunakan untuk menerangkan pembezaan

73&t3h 2.1

Pertimbangkan persamaan linear f45 6 7 8 . Dengan menggunakan kalkulator,

tentukan had apabila menghampiri 2.

Pe&,e)es"i"&

Dari kiri

"2. "2.2 "2.22 "2.222 2

y ".7 ".27 ".227 ".2227 "

Dari kanan

2 2.222 2.22 2.2 2.

y " "2.999 "2.99 "2.9 "2.

-adual 7.

30

INPUT INPUT



B2001/UNIT 2/8

PEMBEZAAN

Daripada jadual 7., didapati bahaa apabila nilai menghampiri 2 dari kiri atau

dari kanan, had fungsi f45 6 7 8 ialah tetap 8. /leh itu, nilai had f45 ialah 8.

'ecara am, persamaan matematik untuk menulis idea had ini ialah

had 4 7 8 5 6 "

δ 2

'elain daripada kaedah jadual, kita juga boleh mengira had suatu fungsi dengan cara

menggunakan sifat"sifat had.

73&t3h 2.2

Kirakan had abgi fungsi"fungsi berikut:

a. had 4 ; 7 5 b. had 4 7 7 ; < 5→ → 2

Pe&,e)es"i"&

a. had 4 ; 7 5 6 had ; had 7 6 2 ; 7 6 7→ 2 → 2 → 2

b. had 4 7 7 ; < 5 6 7 had 7 ; had < 6 745 ; < 6 !

→ → →

Dibaca had 7 " apabila

δ menghampiri 2 ialah "

9if"t:9if"t "# ;

1. h"# f- < * - h"# f - < h"# *

-

-→" - → " - → "

2.

h"# f- : * - h"# f - : h"# *-

-→" - → " - → "

(. h"# f-.* - h"# f - . h"# * -

-→" - → " - → "

5. h"# #im"&" i")"h %em")"$

-→"

8. h"# . *- h"# *- #im"&" i")"h-→" %em")"$

=. h"# -& "& -→"



B2001/UNIT 2/=

PEMBEZAAN

Akti>iti 2.1

UJIKAN KEFAAMAN AN6A '=>=?$M M=*=#$'K%* I*P$(

'=?%*-$(*@%AA..+

. Dengan menggunakan jadual, tentukan nilai had fungsi"fungsi berikut:

a. y 6 7 ;, apabila menghampiri 2

b. y 6

7

; B apabila menghampiri

7. Dengan menggunakan sifat"sifat had, tentukan nilai had bagi fungsi"fungsi

berikut:

a. s 6 7t ;!, apabila t menghampiri 2

b. y 6 1 ; , apabila menghampiri 7

c. y 6 C ; B , apabila menghampiri



B2001/UNIT 2/?

PEMBEZAAN

M"k)um B")"s Akti>iti 2.1

. a.

2← "2.22 "2.2 "2.

y ← 2.99 2.9 2.

b.

← 2.99 2.9< 2.9

y <← B.9 B.92 B.

7. a. had 7t ;! 6 7 had t ; had !

→2 →2 →2

6 7 4 2 5 ; !

6 !

b. had 1 ; 6 had 1 ; had

→7 →7 →7

6 71 ;

6 9

c. had C ; B 6 37 had ; had B

→ → →

6 37 4 5 ; B

6 B.<



B2001/UNIT 2/@

PEMBEZAAN

2.2 PEMBEZAAN MENUNAKAN PIN9IP PETAMA

Pertimbangkan y6 f45 dan titik P 4 , y 5 di atas lengkung pada rajah 7..

-ika bertambah sebanyak δ, y bertambah sebanyak δy, maka koordinatnya

menjadi satu titik baru iaitu 4 ; δ , y ; δy 5.

Perhatikan apabila menghampiri P, δ menghampiri sifar,ditulis sebagai

δ 2.

/leh yang demikian, daripada idea had, pembezaandx

dy meakili kecerunan

lengkung pada suatu titik dan kita akan memperolehi bahaa

dx

dy

≅ x

yhad x δ

δ

δ 2→

y

P4 , y 5

#ajah 7.

y 6 f 4 5

4 ; δ , y ; δy 5

δ

δy

INPUT INPUT



B2001/UNIT 2/

PEMBEZAAN

Dengan demikian+dx

dy boleh diterbitkan sebagai had

x

y

δ

δ apabila menghampiri

sifar.

Kaedah mencari pembezaan menggunakan idea had dikenali sebagaai kaedah

P$i&si% Pe$t"m".

73&t3h 2. (

Dengan menggunakan prinsip pertama, bezakan y terhadap bagi persamaan

y 6 7 ; .

Pe&,e)es"i"&

y 6 7 ; persamaan 45

y ; δy 6 4 ; δ 57 ;

y ; δy 6 7 ;7 δ ;4 δ57 ; persamaan 7

Eantikan persamaan 45 ke dalam persamaan 475

7 ; ; δy 6 7 ;7 δ ;4 δ57 ;

δy 6 7 δ ;4 δ57

6 δ47 ; δ5

>ahagikan δy dengan δ

x x x

yδ

δ

δ += 7

x

y

had x δ

δ

δ 2→ 6 7 ; 2

dx

dy6 7

(ambahkan y 6 y ; δy

6 ; δ

>ahagikan δy

dengan δ



B2001/UNIT 2/10

PEMBEZAAN

Akti>iti 2.2

UJIKAN KEFAAMAN AN6A '=>=?$M M=*=#$'K%* I*P$(

'=?%*-$(*@%AA..+

. Dengan menggunakan Prinsip Pertama, bezakan yang berikut:

a. y 6 77

b. y 6 7 ; 7 8 B

c. x

y 1=



B2001/UNIT 2/11

PEMBEZAAN

M"k)um B")"s Akti>iti 2.2

. a. y 6 7 7 45

y ; δy 6 74 ; δ 57 4 7 5

6 77 ; B δ ; 74 δ57

Eantikan persamaan 45 ke dalam persamaan 4 7 5

7 7 ; δy 6 77 ;B δ ; 74 δ57

δy 6 B δ ;74 δ57

6 δ4 B ; 7δ5

>ahagikan δy dengan δ

x x x

yδ

δ

δ += B

/leh kerana x

yhad

dx

dy

dx δ

δ

2→

=

x

yhad dx δ

δ

2→

6 B ; 2

dx

dy6 B

b. 7 ; 7

c.7

1

x−

>agi soalan 4b5 dan 4c5,

ikut seperti soalan 4a5



B2001/UNIT 2/12

PEMBEZAAN

PENI!AIAN KEN6II 2

%nda telah menghampiri kejayaan. 9i)" ub" semu" s3")"& dalam penilaian kendiri

ini dan semak jaapan anda pada maklum balas yang disediakan.

-ika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda.

'elamat mencuba dan semoga anda berjaya+++A

. Dengan membina jadual yang sesuai, cari nilai bagi setiap had yang berikut:

a. had 4 7 8 1 5 b. had 47 7 ; 5

2 2

7. Dengan menggunakan sifat"sifat had , cari nilai bagi setiap had yang berikut:

a. had 4 < ; 5 b. had 74 1 ; 7 5

2 2

1. Dengan menggunakan kaedah prinsip pertama, bezakan yang berikut:

a. f45 6 17

b. f4t5 6t

7

B. Fari kecerunan f45 6 1 ; <. %pakah kecerunan f45 apabila 6! dan 6 "7

%pakah yang anda boleh simpulkan mengenai f45 G

<. %pakah kecerunan f45 6 7 7 ; B 8 apabila 6 2.



B2001/UNIT 2/1(

PEMBEZAAN

M"k)um B")"s Pe&i)"i"& Ke&#i$i 2

%dakah anda telah mencuba dahuluGGG..-ika H@%, sila semak jaapan anda.

. a. b.

7. a. b. 2

1. a. J b.7

7

t −

B 1, 1 f45 adalah suatu garislurus

<. "

77 ;

7.< 7.<2

7.J B.<7

7.! <.<

7. J.J

7.9 !.77.99 .7

1.2 9.92

47 " 15

.2 "7.22

2. "7.1J

2.J "7.JB

2.B "7.B

2.7 "7.9J

2. "7.99

2 "1.22

(%)*I%) +++

'emoga kejayaan sentiasa

mengiringi hidup anda

b2001 matematik 2 unit2

Documents