bab 01 - bbdwmath88.files.wordpress.com · referensi : kalkulus edisi 9 jilid 1 (varberg, purcell,...
TRANSCRIPT
-
Oleh : Bambang Supraptono, M.Si.
Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal 56 - 211
BAB 01
1. Limit Fungsi Definisi: Pengertian presisi tentang limit
Mengatakan bahwa lim ( )x c
f x L berarti bahwa untuk tiap 0 yang diberikan (betapun kecilnya), terdapat 0 yang
berpadanan sedemikian rupa sehingga ( )f x L asalkan bahwa 0 x c yaitu:
0 ( )x c f x L
Contoh soal 1:
Buktikan bahwa 4
lim (3 7) 5x
x
Penyelesaian:
Analisis Pendahuluan: akan ditentukan sedemikian rupa sehingga
0 4 (3 7) 5x x
Ruas kanan
(3 7) 5x 3 12x
3( 4)x
3 4x
43
x
Dengan demikian yang dipilih adalah 3
Bukti Formal: Misal diberikan 0 , pilih 3
. Maka, dari 0 4x diperoleh:
(3 7) 5 3 12 3( 4) 3 4 3x x x x
Contoh soal 2:
Buktikan bahwa 2
5
11 5lim 9
5x
x x
x
Penyelesaian
Bukti Formal: akan ditentukan sedemikian rupa sehingga
2 11 50 5 9
5
x xx
x
Ruas kanan: untuk 5x (ini diperlukan agar penyebutnya tidak nol)
2 11 5
95
x x
x
(2 1)( 5)9
5
x x
x
(2 1) 9x
2 10x
2( 5)x
2 ( 5)x
( 5)2
x
Dengan demikian yang dipilih adalah 2
-
Bukti Formal: Misal diberikan 0 , pilih 2
. Maka, dari 0 5x diperoleh:
2 11 5 (2 1)( 5)9 9 (2 1) 9 2 10 2( 5) 2 5 2
5 5
x x x xx x x x
x x
Soal untuk dibuktikan sendiri:
Dengan menggunakan definisi pengertian presisi limit, buktikan bahwa:
A. 2
5
25lim 10
25x
x B.
2
0
2lim 1x
x x
x
2. Teorema Limit Perhatikan Teorema A!
Teorema B
Jika f fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka
lim ( ) ( )x c
f x f c
Asalkan ( )f c terdefinisi, jika f fungsi rasional nila penyebut pada c tidak nol.
Teorema C:
Jika ( ) ( )f x g x untuk semua x di dalam suatu interval terbuka yang mangandung bilangan c, terkecuali mungkin pada
bilangan c itu sendiri, dan jika lim ( )x c
g x ada, maka lim ( )x c
f x ada dan lim ( )x c
f x = lim ( )x c
g x
Tips:
Untuk menyelesaikan soal-soal tentang limit fungsi rasional, ikuti diagram alir berikut
Ingat bentuk bentuk berikut:
2 2 ( )( )x a x a x a
3 3 2 2( )( )x a x a x ax a
Contoh Soal 3:
Selesaikan :
a. 2
2lim (2 4 2)
xx x
Solusi:
gunakan terorema B 2 2
2lim (2 4 2) 2( 2) 4( 2) 2 18
xx x
Subtitusi
Apakah
Gunakan teorema B
selesai
ya
tidak
Gunakan teorema C
Lakukan:
Faktorisasi atau kalikan dengan
bentuk sekawan, bagilah faktor
yang sama
-
b. 2
0
1limx
x
x
Solusi:
gunakan terorema B
2 2
0
1 (0) 1 1lim
0 0x
x
x
Ingat! Kita tidak pernah membaginya dengan nol, tetapi kita membaginya dengan bilangan yang sangat dekat dengan
nol.
c. 2
21
1lim
1x
x
x
Solusi:
gunakan terorema B
2
21
1 1 1 0lim 0
1 1 21x
x
x
d. 2
1
2lim
1x
x x
x
Solusi:
Karena 0
( 1)0
f , gunakan teoreme C
2
1 1 1
2 ( 1)( 2)lim lim lim ( 2)
1 1x x x
x x x xx
x x
Gunakan teorema B pada bentuk terakhir
1lim ( 2) ( 1) 2 3
xx
e. 2
23
2 7 3lim
9x
x x
x
Solusi:
Gunakan teorema C
2
23 3 3
2 7 3 (2 1)( 3) (2 1) 2(3) 1 5lim lim lim
( 3)( 3) ( 3) (3) 3 69x x x
x x x x x
x x xx
f. 2
25
9 ( 1)lim
25x
x x
x
Solusi:
Kalikan dengan bentuk sekawannya
2
25
9 ( 1)lim
25x
x x
x =
2 2
2 25
9 ( 1) 9 ( 1)lim
25 9 ( 1)x
x x x x
x x x
= 2 2
5 2
9 ( 2 1)lim
( 5)( 5) 9 ( 1)x
x x x
x x x x
= 5 2
2 10lim
( 5)( 5) 9 ( 1)x
x
x x x x
= 5 2
2( 5)lim
( 5)( 5) 9 ( 1)x
x
x x x x
= 5 2
2lim
( 5) 9 ( 1)x x x x
= 2 2 1
10(4 4) 40(5 5) 25 9 (5 1)
-
Soal – soal untuk dikerjakan sendiri
Tentukanlah nilai limit berikut:
1. 2
2
7 10lim
2x
x x
x
2. 2 2
2 2
2 6 4limx
x x
x
3. 3
3
3 3lim
2 6x
x
x
4. 2
2
2lim
2x
x
x
5. 2
23
5 ( 1)lim
9x
x x
x
3. Limit Tak Berhingga
Cara menyelesaikan limit tak hingga (biasanya dalam bentuk rasional) adalah dengan cara membagi pembilang dan
penyebut dengan variabel berpangkat tertinggi
Contoh soal 4:
Selesaikan limit berikut:
a. 2
2
2 3 7lim
1x
x x
x
Solusi: pangkat tertinggi adalah 2, jadi bagilah pembilang dan penyebut dngan 2x
2
2
2 3 7lim
1x
x x
x =
2
2 2 2
2
2 2
72 3
2(1) 3(0) (0) 2lim 2
(0) 1 11x
x x
x x x
x
x x
b. 2 3
2
1 2lim
3 11 4x
x x x
x x
Solusi: pangkat tertinggi adalah 3, jadi bagilah pembilang dan penyebut dngan 3x
2 3
2 3 3 3 3 3
2 2
3 3 3
1 2
1 2 0 0 0 1 1lim lim
0 0 03 11 4 3 11 4x x
x x x
x x x x x x x
x x x x
x x x
c. 2
2 1lim
4x
x
x
Solusi
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1 0 0 0lim lim 0
1 0 14 4x x
x
x x x
x x
x x
d. 2lim 3 1 ( 4)x
x x x
Solusi: munculkan bentuk dengan mengalikan bentuk sekawannya
2lim 3 1 ( 4)x
x x x =2
2
2
3 1 ( 4)lim 3 1 ( 4)
3 1 ( 4)x
x x xx x x
x x x
=2 2
2
3 1 ( 8 16)lim
3 1 ( 4)x
x x x x
x x x
=2 2
2
3 1 ( 8 4)lim
3 1 ( 4)x
x x x x
x x x
-
=2
2 2 2
5 15
5 0 5lim
21 0 0 (1 0)3 1 4( )
x
x
x x
x x x
x xx x x
Soal untuk dikerjakan sendiri:
Tentukan nilai limit berikut:
1. 3 2
3
2 3 2 3lim
1 9x
x x x
x x
2. 2lim 4 8 1 (2 3)x
x x x
4. Limit Fungsi Trigonometri Perhatikan Teorema A
Teorema B: Limit Fungsi Trigonometri Khusus
1. 0
sinlim 1x
x
x 2.
0
1 coslim 0x
x
x
Secara umum:
0
sinlimx
ax a
bx b
0
tanlimx
ax a
bx b
0lim
sinx
ax a
bx b
0lim
tanx
ax a
bx b
Contoh Soal 5:
a. 0
coslim
1x
x
x
Solusi:
0
cos 0 0lim 0
1 0 1 1x
x
x
b. 0
sin 3lim
tan 5x
x
x
Solusi:
0 0 0 0 0
sin3 sin3 3 5 sin3 5 3 3 3lim lim lim lim lim 1 1
tan5 tan5 3 5 3 tan5 5 5 5x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
c. 2
30
3 tanlim
sin 2x
x x
x
Solusi: perhatikan pangkat masing-masing fungsinya!
3 32 2 2 2 2
3 3 2 3 2 3 30 0 0 0 0
2 23 tan 3 tan tan 3 3 3lim lim lim lim lim 1 1
8 8sin 2 sin 2 sin 22 2x x x x x
x xx x x x x x x x
x x x x xx x
d. 20
1 cos 2lim
3t
t
t
Solusi:
Ingat rumus 2 2cos 2 1 2sin 1 cos 2 2sint t t t
2 2
2 2 20 0 0
1 cos 2 2sin 2 sin 2 2lim lim lim 1
3 3 33 3t t t
t t t
t t t
Soal untuk dikerjakan sendiri:
Tentukan nilai limit berikut:
20
3 sin 4lim
tan 3x
x x
x
20
1 cos 4lim
sin 3x
x
x
-
BAB 02
1. TURUNAN FUNGSI
Defisi Turunan
Turunan fungsi f adalah fungsi lain 'f (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah
0
( ) ( )'( ) lim
h
f c h f cf c
h
Asalkan limit ini ada dan bukan atau
Notasi Leibniz
0
( ) ( )'( ) lim
h
dy f c h f cf x
dx h
Contoh 1:
Jika 2( ) 3 2f x x x , tentukan '( )!f x
PENYELESAIAN
'( )f x = 0
( ) ( )limh
f c h f c
h
=
2 2
0
3( ) 2( ) 3 2limh
x h x h x x
h
=
2 2
0
3( 2 ) 2( ) 3 2limh
x xh h x h x x
h
=
2 2 2
0
3 6 3 2 2 ) 3 2limh
x xh h x h x x
h
=2
0
6 2 3limh
xh h h
h
=0
lim 6 2 3h
x h
= 6 2x
Soal untuk dicoba sendiri:
Dengan menggunakan definisi turunan, tentukanlah turunan fungsi berikut:
1. 2( ) 2 4 1f x x x
2. 2( ) 3 2f x x
2. ATURAN MENCARI TURUNAN FUNGSI
Tiga notasi untuk turunandari fungsi f , yaitu '( ) atau atau D ( )xdy
f x f xdx
Resume dari Teorema A s.d. H
A. Jika ( )f x k , maka '( ) 0f x
B. Jika ( ) ,f x x maka '( ) 1f x
C. Jika ( ) ,nf x ax maka 1'( ) nf x nax
D. Jika ( )f x ( ),kg x maka '( ) . '( )f x k g x
E. Jika ( )f x ( ) ( ),u x v x maka '( ) '( ) '( )f x u x v x
F. Jika ( )f x ( ) ( ),u x v x maka '( ) '( ) '( )f x u x v x
G. Jika ( )f x ( ) ( ),u x v x maka '( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x u x v x
H. Jika ( )f x ( )
,( )
u x
v x maka
2
'( ) ( ) ( ) '( )'( )
( )
u x v x u x v xf x
v x
-
Contoh Soal 2:
Tentukan turunan setiap fungsi berikut:
a. 7( ) 3f x x
Solusi
Teorema C sangat sering digunakan!
( ) ,nf x ax → 1'( ) nf x nax
7 1 6'( ) 7 3 21f x x x
b. 2( ) 4 3 12f x x x
Solusi:
'( ) 8 3 0
'( ) 8 3
f x x
f x x
Begini ceritanya …… 2( ) 4 3 12f x x x → 2 1'( ) 2 4 3 1 0f x x
c. ( )f x x
Solusi: sederhanakan menjadi pangkat rasional
12( )f x x x
1 112 2
12
1 1 1 1 1'( )
2 2 2 2f x x x
xx
d. 3 2( ) 3f x x
Solusi: Sederhanakan menjadi pangkat rasional 1 1 2
3 2 2 3 33( ) 3 3 3f x x x x
1 2 1 1 2 11 13 3 3 3 3 32'( ) 3 3 2 3
3f x x x x …. Ingat
1 dan
mn m n
n n
aa a
a a
Bila dijadikan pangkat positif, maka diperoleh
2 1 1 3
23 3 3
1 1 1'( )
93 3
f xx
x x
e. 3( ) (3 1)f x x x
Solusi: gunakan teorema G
( )f x ( ) ( ),u x v x → '( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x u x v x
3 2 3 3 2 3 2'( ) 3 (3 1)(3 ) 3 9 3 12 3f x x x x x x x x x
f. 22
( )(3 1)
xf x
x
Solusi: gunakan teorema I
( )f x ( )
,( )
u x
v x →
2
'( ) ( ) ( ) '( )'( )
( )
u x v x u x v xf x
v x
2 2 2 2
2 2 2
4 (3 1) 2 3 12 4 6 6 4'( )
(3 1) (3 1) (3 1)
x x x x x x x xf x
x x x
Soal untuk dicoba sendiri:
Tentukan turunan setiap fungsi berikut:
1. 4( ) 5f x x
2. 5
4( )f x
x
3. 3 211
( ) 12 6 3f x x x xx
4. 2 3( ) 3 2 3f x x x x
5. 215
( )(1 3 )
xf x
x
C B A
Turunan x = 1
Turunan konstanta = 0
-
3. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Teorema A
(sin ) cos dan (cos ) sinx xD x x D x x
Teorema B 2(tan ) secxD x x
2(cot ) cscxD x x (sec ) sec tanxD x x x (csc ) csc cotxD x x x
Dalil rantai
( ( ( ))) '( ( )) '( ) atau xdy dy du
D f g x f g x g xdx du dx
Contoh Soal 3:
Tentukan turunan fungsi berikut:
1. 12( ) (4 2)f x x
Solusi: misal 12( )f x u , maka (4 2)u x sehingga
11
11
'( )
12 4
48(4 2)
dy dy duf x
dx du dx
u
x
2. ( ) sin4f x x
Solusi:
Misal ( ) sin ,f x u maka 4u x sehingga
'( )
cos 4
4cos
dy dy duf x
dx du dx
u
x
3. 3( ) sinf x x
Solusi:
Bila dipandang sebagai komposisi fungsi, maka 3( ) ; sinf x u u x sehingga
2 23 cos 3sin cos
dy dy duu x x x
dx du dx
Dengan rumus sin 2 2sin cosx x x , dapat disederhanakan menjadi
2 3 3'( ) 3sin cos sin (2sin cos ) sin sin 22 2
f x x x x x x x x
4. 2( ) 4cos (3 1)f x x
Solusi: 2( ) 4 ; cos ; 3 1f x u u v v x
8 ( sin ) 3 24cos(3 1)sin(3 1)
12(2sin(3 1)cos(3 1)
12sin(2(3 1))
12sin(6 2)
dy dy du dvu v x x
dx du dv dx
x x
x
x
Soal untuk diselesaikan sendiri:
Tentukan turunan masing-masing fungsi berikut:
1. 10( ) (3 2 )f x x
2. 24
( ) 2 1f x x
3. 4( ) 6sin 5f x x
4. 4 3( ) 3cos (2 )f x
-
4. TURUNAN TINGKAT TINGGI
Turunan kedua dari fungsi f dinotasikan dengan 2
2
2''( ) atau atau x
d yf x D y
dx
Contoh Soal 4:
Tentukan turunan pertama dan kedua fungsi 3 3 2( ) sin (2 )f x x x
PENYELESAIAN 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
'( ) 3 3sin (2 ) cos(2 ) 2(2 ) 2
3 24sin 4 cos 4
3 12sin 4 sin8
''( ) 6 12(8 sin 4 sin8 sin 4 16 sin8 )
6 288 sin 4 sin8
f x x x x x
x x x
x x x
f x x x x x x x x
x x x x
5. APLIKASI TURUNAN
a. Persamaan garis singgung suatu kurva Perhatikan gambar di samping
gradien garis PQ adalah
( ) ( )PQ
f x h f xm
h
Jika titik Q digeser sepanjang kurva sedekat mungkin dengan titik P
maka diperoleh garis singgung. Dengan demikian, gradien garis
singgungnya adalah
0
( ) ( )lim '( )gh
f x h f xm f x
h
Contoh soal:
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva 3 21
32y x x x yang mempunyai kemiringan 1.
Solusi:
2
2
1 2
81 2 3
'( ) ' 1
' 1 2 2 1
2 3 0
( 3)( 1) 0
3; 1
12;
m f x y
y x x
x x
x x
x x
y y
Soal untuk diselesaikan:
1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva 2 2 1y x x di titik (2, 1)
2. Tentukan 22y x x yang mempunyai kemiringan garis 1 .
b. Maksimum dan Minimum Teorema
A. Jika f kontinu pada interval tertutup ,a b , maka f mencapai nilai maksimum dan minimum di sana
B. Titik kritis: misal f didefinisan pada interval I yang memuat titik c. Jika ( )f c adalah nilai ekstrim, maka c
haruslah berupa suatu titik kritis, dengan kata lain c adalah salah satu dari:
(i) Titik ujung dari I
(ii) Titik stasioner dari f ; yakni titik di mana '( ) 0f c
(iii) Titik singular dari f ; yakni di mana '( )f c tidak ada
C. Misalkan f kontinu pada interval I dan terdeferensial pada setiap titik dalam I
(i) Jika '( ) 0f x untuk semua titik dalam I , maka f naik pada I
(ii) Jika '( ) 0f x untuk semua titik dalam I , maka f turun pada I
x h
P
Q
X
Y
g
nilai y diperoleh dengan mensubtitusikan nilai x pada persamaan kurvay.
Sehingga diperoleh titik singgung (3, 12) dan
Di titik (3, 12) persamaan garis singgungnya adalah:
Tentukan persamaan garis yang lainnya.
-
Tanda di sekitar titik kritis
+ + + - - - - - - - - + + +
1
D. Misalkan f terdeferensialkan dua kali pada setiap titik dalam I
(i) Jika ''( ) 0f x untuk semua titik dalam I , maka f cekung ke atas pada I
(ii) Jika ''( ) 0f x untuk semua titik dalam I , maka f cekung ke bawah pada I
E. Uji turunan pertama untuk maksimum dan minimum
Misal kontinu pada interval terbuka ( , )a b yang memuat sebuah titik c.
(i) Jika '( ) 0f x untuk semua x dalam (a,c) dan '( ) 0f x untuk semua x dalam (c,b) maka ( )f c adalah
nilai maksimum lokal f .
(ii) Jika '( ) 0f x untuk semua x dalam (a,c) dan '( ) 0f x untuk semua x dalam (c,b) maka ( )f c adalah
nilai minimum lokal f .
(iii) Jika '( )f x bertanda sama pada kedua pihak c, maka ( )f c bukan nilai ekstrim lokal f .
F. Uji turunan kedua untuk maksimum dan minimum
(i) Jika ''( ) 0f x , maka ( )f c adalah nilai minimum lokal f .
(ii) Jika ''( ) 0f x , maka ( )f c adalah nilai maksimum lokal f .
Contoh soal:
Diketahui fungsi 3 24 3 6 12y x x x . Tentukanlah:
a. Titik kritis f
b. Interval di mana f naik dan di mana f turun
c. Nilai maksimum dan nilai minimum f
d. Titik maksimum dan minimum f
PENYELESAIAN
'( ) 0f x
2
2
11 22
12 6 6 0
2 1 0
(2 1)( 1) 0
dan 1
x x
x x
x x
x x
5512 4
( )f ; (1) 7f
a. Titik kritis ( '( ) 0f c )
Yaitu titik 5512 4
( , ) dan (1,7)
b. Perhatikan perubahan tada pada '( )f x
( )f x akan naik jika '( )f x > 0, yaitu pada interval 12
( , ) atau pada (1, ) .
Dengan notasi lain, ( )f x naik pada interval 12
x atau pada 1x
( )f x akan turun jika '( )f x < 0, yaitu pada interval 12
( ,1)
c. Nilai maksimumnya adalah 5512 4
( )f , dan nilai minimumnya adalah (1) 7f
(coba menggunakan uji turunan ke dua)
d. Titik maksimumnya 5512 4
( , ) dan titik minimumnya (1,7)
-
Tanda di sekitar titik kritis
+ + + - - - - - - - - + + +
2 9
Contoh Soal lagi:
Kotak segi empat tanpa tutup akan dibuat dari selembar kartun
dengan panjang 26 cm dan lebar 9 cm dengan cara memotong
keempat sudut kartun dengan bentuk persegi yang identik. Tentukan
volume kotak maksimum yang dapat dibuat, hitunglah volume
maksimal tersebut.
PENYELESAIAN
Misalkan ukuran sisi persegi yang harus dipotong pada keempat
sudutnya adalah x. Maka volume kotak tersebut adalah
2
2 3
(24 2 )(9 2 )( )
(216 48 18 4 )( )
216 66 4
V x x x
x x x x
x x x
Perhatikan bahwa ukuran potongan tidak akan melebihi 4,5 cm.
Titik kritis
2
2
1 2
'( ) 0
216 132 12 0
12( 11 18) 0
( 2)( 9) 0
2; 9
f x
x x
x x
x x
x x
Hanya ada sebuah titik kritis yang memenuhi yaitu pada
x = 2, dan 2 3(2) 216(2) 66(2) 4(2) 200f
Nilai ekstrim
a) Uji tanda '( )f x
Disekitar x = 2 tanda berubah dari (+) menjadi (–) atau
dengan kata lain, di sekitar x = 2 funggsi f berubah dari
naik menjadi turun. Ini berarti bahwa f melalui titik
maksimum.
b) Uji turunan kedua 2'( ) 216 132 12
''( ) 132 24
''(2) 132 24(2)
84 0
f x x x
f x x
f
Jadi (2)f maksimum
Dengan demikian, agar volume kotak yang terbentuk maksimum, maka ukuran kotak terbut harus: Panjang = 24 – 2x = 24 – 2(2) = 20 cm
Lebar = 9 – 2x = 9 – 2(2) = 5 cm
Tinggi = x = 2 cm
Volume terbesarnya = 20 x 5 x 2 = 200 3cm