BAB 2BAB 2

PROGRAM LINEARPROGRAM LINEAR

BAB 2BAB 2

PROGRAM LINEARPROGRAM LINEAR

Standar Kompetensi:Standar Kompetensi:Menyelesaikan masalah program linear.

Kompetensi Dasar:Kompetensi Dasar:• Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear

dua variabel.

• Merancang model matematika dari masalah program linear.

• Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya.

Program linear Program linear merupakan bagian dari matematika terapan yang banyak

membantu kita dalam masalah sehari-hari, terutama tentang nilai maksimum dan nilai minimum. 

Program LinearProgram Linear

Pertidaksamaan linear dua variabel merupakan suatu pertidaksamaan linear yang memiliki dua variabel (peubah).

Contoh:Contoh:

1. 2x + y < 5

2. x – y ≤ 3

3. x > y – 1

Sistem Pertidaksamaan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua VariabelLinear Dua Variabel

1. 1. Gambarlah garis lurus dengan mengubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda persamaan:

jika ≥ atau ≤maka digambarkan dengan garis kontinu ( ___ ),

jika > atau < maka digambarkan dengan garis putus-putus (-----).Garis lurus ini akan membagi bidang koordinat menjadi 2 daerah bagian.

2. 2. Tentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan dengan cara mengujinya dan memilih sebuah titik.

Langkah-Langkah Penyelesaian Langkah-Langkah Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Pertidaksamaan Linear Dua

VariabelVariabel

Contoh:Contoh:Tentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan x + y ≤ 4, x + 3y ≤ 6, x ≥ 0, dan y ≥ 0.

Langkah-langkah penyelesaiannya:Langkah-langkah penyelesaiannya:1. 1. Gambarkan garis lurus x + y = 4 dan garis x + 3y = 6 pada bidang koordinat cartesius.2.2. Uji setiap pertidaksamaan dengan substitusi sembarang titik, misalnya titik (0,0) pada pertidaksamaan x + y ≤ 4, x + 3y ≤ 6, serta titik (1,1) pada pertidaksamaan x ≥ 0, dan y ≥ 0. Dengan mengarsir daerah yang bukan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan maka didapatkan daerah segi empat (daerah yang bersih atau tidak diarsir seperti tampak pada gambar berikut.

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan x + y 4, x + 3y 6, x 0, dan y 0

xx44

yy

00x+y=4x+y=4

22

44

66x+3y=6x+3y=6

1.1. Persamaan garis lurus yang melalui titik

P(x1, y1) dengan gradien m adalah

y – yy – y11 = m(x – x = m(x – x11))

2.2. Persamaan garis lurus yang melalui titik

P(x1, y1) dan Q(x2, y2) adalah

Beberapa cara menentukan Beberapa cara menentukan persamaan garis luruspersamaan garis lurus

P(x1, y1)g

Q(x2, y2)g P(x1, y1)

1 1

2 1 2 1

y y x xy y x x

3. 3. Persamaan garis lurus yang memotong sumbu x di titik A(a, 0) dan memotong sumbu y di titik B(0, b) adalah

4. 4. Dua garis yang saling sejajar, seperti gambar di samping memiliki besar

gradien yang sama, yaitu

mm11 = m = m22

yx1

a b

A(a, 0)

bB(0, b).

.a

yy

xx

g1

g2

m1 = gradien garis g1

m2 = gradien garis g2

5. 5. Dua garis yang saling tegak lurus seperti gambar di samping, memiliki hasil

kali kedua gradien sama dengan –1, yaitu

mm11 × m × m22 = –1 = –1

g1

g2

Model Matematika dari Model Matematika dari Masalah Program LinearMasalah Program Linear

Model matematika Model matematika merupakan terjemahan dari suatu masalah menjadi bahasa matematika

(bentuk matematika) sehingga agar lebih sederhana dan mudah dipahami. Untuk menyelesaikan soal cerita, cara yang paling mudah adalah dengan membuat model matematika menggambar daerah penyelesaiannya. Nilai yang dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi obyektiffungsi obyektif (fungsi sasaranfungsi sasaran). Nilai maksimum Nilai maksimum atau nilai minimum nilai minimum dapat dicari

dengan substitusi titik-titik di ujung-ujung daerah penyelesaian atau di dekatnya.

Contoh:Contoh:Seorang pedagang jam ingin membeli dua jenis jam tangan, yaitu jam tangan digital dan jam tangan mekanik, untuk persediaan. Dia menginginkan jumlah jam tangan yang dibelinya tidak lebih dari 25 buah dengan modal yang tersedia Rp4.200.000,00. Tiap jam tangan digital harganya Rp150.000,00 dan jam tangan mekanik harganya Rp200.000,00. Laba yang diperoleh setiap penjualan sebuah jam tangan digital Rp50.000,00 dan sebuah jam tangan mekanik Rp70.000,00. Jika pedagang itu ingin menentukan masing-masing banyaknya jenis jam tangan yang akan ia beli agar labanya maksimum, buatlah model matematikanya!

Penyelesaian:Penyelesaian:Buatlah tabel seperti berikut.

Misalkan:– banyaknya jam tangan digital = xx buah (x ≥ 0x ≥ 0; x ∈ C),dan– banyaknya jam tangan mekanik = yy buah (y ≥ 0y ≥ 0; x ∈ C).

Jumlah jam tangan yang dibeli tidak lebih dari 25 buah, yaitu x + y ≤ 25x + y ≤ 25.

Dari tabel di atas, diketahui sebagai berikut.1) harga beli tidak boleh melebihi modal, yaitu

150.000x + 200.000y ≤ 4.200.000.150.000x + 200.000y ≤ 4.200.000.2) laba penjualan yang akan diperoleh sebesar:

50.000x + 70.000y.50.000x + 70.000y.Jadi, model matematikanya adalah menentukan labamaksimum /fungsi tujuan/ fungsi objektif: f(x,y)= 50.000x + 70.000y f(x,y)= 50.000x + 70.000y dengan syarat:

150.000x

x y 25

x 0;x C

y 0;x C

+ 200.000y ≤ 4.200.000

Nilai Optimum Suatu Fungsi Nilai Optimum Suatu Fungsi TujuanTujuan

Nilai optimum suatu fungsi tujuan Nilai optimum suatu fungsi tujuan merupakan nnilai maksimum ilai maksimum atau nilai nilai minimum minimum fungsi tujuan tersebut.

Penentuan nilai optimum suatu fungsi tujuan (fungsi objektif) dapat menggunakan dua cara, yaitu:

1)1) uji titik sudut dan 2)2) garis selidik.

Uji Nilai Optimum dengan Uji Titik SudutUji Nilai Optimum dengan Uji Titik Sudut

Langkah-langkahnya:Langkah-langkahnya:1) 1) Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala- kendala masalah program linearnya.2) 2) Tentukan koordinat titik-titik sudut dari daerah penyelesaiannya itu.3) 3) Substitusikan koordinat setiap titik sudut ke

dalam fungsi tujuan.4) 4) Tentukan nilai terbesar atau nilai terkecil fungsi tujuan. Nilai terbesar menunjukkan nilai

maksimum, sedangkan nilai terkecil menunjukkan

nilai minimum.

Contoh:Contoh:Sebuah pesawat udara mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 50 penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi paling banyak 60 kg, sedangkan untuk setiap penumpang kelas ekonomi bagasinya dibatasi 30 kg. Pesawat itu hanya dapat membawa bagasi tidak lebih dari 1.800 kg. Bila harga tiket untuk setiap penumpang kelas utama Rp800.000,00 dan untuk setiap penumpang kelas ekonomi Rp400.000,00, berapakah banyaknya penumpang masing-masing kelas agar diperoleh pendapatan maksimum? Hitunglah pendapatan maksimum tersebut!

Penyelesaian:Penyelesaian:Langkah-langkah penyelesaiannya:Langkah 1:Langkah 1:Membuat model matematikanya dalam bentuk tabel berikut.

Misalkan: - banyaknya penumpang kelas utama = xx

orang,- banyaknya penumpang kelas ekonomi = yy

orang

maka syarat tempat duduk: x + y < 50x + y < 50

Dari tabel di atas, diperoleh:a. syarat berat bagasi:

60x + 30y < 1.800 60x + 30y < 1.800 atau 2x + y < 602x + y < 60;b. fungsi tujuan adalah memaksimumkan pendapatan

f(x, y) = 800.000x + 400.000yf(x, y) = 800.000x + 400.000y

Jadi, model matematika adalah menentukan pendapatanmaksimum f(x, y) = 800.000x + 400.000y f(x, y) = 800.000x + 400.000y dengan syarat:

2x y 60

x y 50

x 0;x C

y 0;x C

Langkah 2:Langkah 2:Menggambarkan daerah penyelesaiannya. Terlebihdahulu buat tabel seperti tabel berikut.

Dengan menguji suatu titik pada setiap persamaan garis maka daerah penyelesaian sistem

pertidaksamaannya adalah daerah OABC (tidak diarsir) pada gambar berikut.

_

Titik B adalah titik potong garis 2x + y = 60 dan x + y = 50

2x + y = 60 x + y = 50 x = 10 y = 40

Jadi, titik potongnya di titik B(10, 40).

Langkah 3:Langkah 3:Menentukan nilai optimum fungsi tujuannya dengan

menyelidiki titik-titik sudut daerah penyelesaian. (perhatikan tabel berikut).

Jadi, pendapatan maksimumnya Rp24.000.000,00 banyaknya penumpang kelas utama = 10 orang

dan banyaknya penumpang kelas ekonomi = 40 orang,

atau banyaknya penumpang kelas utama = 30 orang

dan banyaknya penumpang kelas ekonomi = 0.

Uji Nilai Optimum dengan Garis SelidikUji Nilai Optimum dengan Garis Selidik

Garis selidik adalah garis-garis yang sejajar.

Garis selidik diperoleh dari bentuk obyektif disamakan dengan k (k konstanta, nilai k dapat 0 dan dapat positif).

Garis selidik yang menyentuh daerah penyelesaian mendekati titik O(0,0) adalah nilai minimum. Sedangkan yang menjauhi titik O(0,0) adalah nilai maksimum.