Download - Bab6b Optika Fourier
-
6. OPTIKA FOURIER
6.2. OPTIKA FOURIER
-
1. Transformasi Fourier 1D (Review)( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ''sin';''cos'
sincos1
0 0
dxkxxfkBdxkxxfkA
dxkxkAdxkxkAxf
+
+
==
+=
pi
Dalam bentuk fungsi kompleks :
( ) ( )
( ) ( )xx
dxexfkF
dkekFxf
ikx
ikx
=
=
=
+
+
'
21pi
F(k) adalah transformasiFourier dari f(x)
F(k) = Y Y Y Y { f(x)}
-
Karena F(k) adalah fungsi kompleks :F(k) = A(k) + iB(k)
A(k) bagian riil dari F(k) dan B(k) bagian imajinernya. Dalam bentuk amplitudo dan fasa :
Invers Fourier Transform
FT untuk fungsi waktu, f (t) f()
( ) ( ) ( )kiekFkF =f(x) = Y Y Y Y -1{ F(k)} = Y Y Y Y -1{YYYY {f(k)}}
( ) ( ) ( ) ( ) dtetfFdeFtf titi +
+
== ;
-
Contoh : Campuran fungsi(komposit) dan FT-nya
-
Fungsi Gauss (Distribusi Gauss 1D)( ) aCeCxf ax /;2 pi==
FT-nya :
( ) ( ) ( )
ak
ak
ak
ikxaxikxax
e
ea
C
aikaxdeea
C
dxeCdxeeCkF
4/
4/
4/
2
2
22
22
2/;
+
+
++
=
=
==
==
pi
-
FT
Fungsi Gauss (a) dan FT-nya (b)
-
2. FT 2D
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) dydxeyxfkkFdkdkekkFyxf
ykxkiyx
yxykxki
yx
yx
yx
++
+
++
+
=
=
,,
,
21
, 2pi
dengan kx dan ky adalah frekuensi sudut ruang(angular spatial frequencies) dari sumbu-x dansumbu-y
-
FT Fungsi Silindris
( )
>+
+=
ayx
ayxyxf
22
22
;0
;1,
y
x
( )yxf ,a
1
ddrrdydxryrx
kkkk
y
x
=
=
=
=
=
sincos
sincos
-
Fourier Transform-nya
( ) ( ) drrdekFa
r
rik = =
=
0
2
0
cos,
pi
Karena fungsinya simetris, maka FT-nya jugasimetris, sehingga F(k,) tidak bergantung pada .
( )
( ) drrrkJ
drrdekF
a
a
rik
pi
pi
=
=
00
0
2
0
cos
2
( )rkJ 0 Fungsi Bessel orde-nol
-
Definisikan :
( ) ( )
( )( )
=
=
= =
akakJ
a
akJakk
dwwwJk
kFak
w
pi
pi
12
12
002
2
2
1
dwkdrrkw 1==
-
APLIKASI DALAM OPTIK1. LENSADifraksi cahaya oleh celah sempit transparanmelalui sebuah lensa konvergen membentuk poladifraksi pada layar (titik fokus lensa).
-
Distribusi medan listrik dari celah (fungsi apertur) ditransformasi oleh lensa menjadi pola difraksi.Jika celah/objek memiliki kerapatan yang hanyabervariasi sepanjang satu sumbunya, maka profile transmisinya adalah segitiga.
(a). Fungsi segitiga, dan (b) Transformasi Fourier-nya
-
FUNGSI DELTA DIRAC Banyak fenomena fisis terjadi
pada durasi yang sangatpendek. Sehingga diperlukanfungsi Delta-Dirac
Contoh : bagaimana responrangkaian tertentu berperilakujika diberi input arussingkat/pulsa.
( )
( ) 10;0;0
=
=
=
+
dxx
x
xx
( ) ( ) ( )00 xfdxxfxx =+
-
Bentuk kompleks fungsi Delta-Dirac
( )
( ){ } ( )
+
+
+
=
==
dkexxxx
dkedkex
ikx
ikxikx
00
21
21
pipi
YYYY
FOURIER TRANSFORM dapat merubah sinyaldiskrit (spektrum) menjadi kontinu atausebaliknya dengan fungsi Delta-Dirac.
-
Contoh : 1. Fungsi Cosinus dan Sinus
( ) ( )( )[ ] ( )[ ]2/2/ dxdx
xxxfj
j
++=
=
FT
( ){ } ( )2/cos22/2/ kdeexf ikdikd =+= YYYY
-
FT
( ) ( )[ ] ( )[ ]2/2/ dxdxxf +=
( ){ } ( )2/sin22/2/ kdieexf ikdikd == YYYY
-
2. FT beberapa fungsi
-
2. FT beberapafungsi (lanj.)
-
2. Sistem Linier
Teknik Fourier menyediakan kerangkakerja yang elegan untuk menggambarkanpembentukan citra.
Kunci dari analisis adalah konsep sistemlinier, yang menggambarkan hubunganinput-output.
-
( ) ( ){ }zyfZYg ,, = L
Jika sinyal input f(y,z) melewati suatu sistemoptik menghasilkan output g(Y,Z). Sistemdisebut linier jika : Mengalikan fungsi f(y,z) dengan suatu
konstanta a menghasilkan ag(Y,Z) Jika inputnya af1(y,z)+ bf2(y,z) menghasilkan
output ag1(Y,Z)+ bg2(Y,Z) , dimana f1(y,z) danf2(y,z) mengenerate g1(Y,Z) dan g2(Y,Z)
Secara umum ditulis :
-
Contoh :
-
Fourier Transform dalam kasus Difraksi
1. Celah tunggal 1D
>
=
2/;02/;)( 0
bxbxA
zA
sinkkz =
( ) { }
( )2/sinc
)(
0
2/
2/0
bkbA
dzeA
zAkE
z
b
b
zik
z
z
=
=
=
+
Y
-
2. Celah tunggal 2D
>
=
2/;02/;),( 0
bxbxA
zyA
( ) { }( )
=
=
=
+
=
+
=
RakZ
RbkYbaA
dzeAA
zyAkkEb
by
zkkia
az
zy
zy
2sinc
2sinc
),(,
0
2/
2/
2/
2/00
ba = luas celah
-
3. Eksperimen Young (Celah Ganda)
Fungsi aperturg(x) diperolehdari konvolusifungsi h(x).G(k) adalahpola difraksicelah ganda(FT dari g(x)).
-
3. Tiga celah
Bandingkan pola difraksi secara analitik(Bahasan 4. Difraksi)Rujukan utama : E. Hechts,Optics, wesley, 2002