bai 2 - kiem dinh gia thuyet cho ky vong

5/10/2018 Bai 2 - Kiem Dinh Gia Thuyet Cho Ky Vong - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/bai-2-kiem-dinh-gia-thuyet-cho-ky-vong 1/371

KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO KỲ VỌNG



Kiểm định cho kỳ vọng và Thống kê T 2

Kiểm định cho kỳvọng và Thống kêT 2

Mẫu ngẫu nhiên

Phân phối mẫu

Thống kê T 2

Tính bất biến củaT 2

Kiểm định Tỷ lệ hợplý

Miền tin cậy cho kỳvọng

So sánh các kỳ vọng

2



Mẫu ngẫu nhiên


Mẫu ngẫu nhiên

Phân phối mẫu

Thống kê T 2





3

Giả sử X1,X2, . . . ,Xn là một mẫu ngẫu nhiên được chọn từ N p(µ, Σ).

Các ước lượng điểm$ Ước lượng cho µ: X̄.

$ Ước lượng cho Σ: S.

$ X̄ và S đều là những ước lượng không chệch.



Phân phối mẫu


Mẫu ngẫu nhiên

Phân phối mẫu

Thống kê T 2





4

X̄ ∼ N p(µ, n−1Σ).

(n − 1)S ∼ W p(n − 1, Σ): phân phối Wishart với n − 1 bậc

tự do. X̄ và S độc lập với nhau.



Thống kê T 2


Mẫu ngẫu nhiên

Phân phối mẫu

Thống kê T 2





5

Nhắc lại: trong trường hợp một chiều ( p = 1), thống kê - t

t

2

=

(X̄

−µ0)2

s2/n (1)

Mở rộng cho trường hợp nhiều chiều ( p > 1) tương tự

t2 = n(X̄ − µ0)(s2)−1(X̄ − µ0)

ta định nghĩa

T 2 = nX̄− µ0

S−1X̄− µ0

(2)



Thống kê T 2


Mẫu ngẫu nhiên

Phân phối mẫu

Thống kê T 2





6

Mở rộng cho p > 1 sử dụng tổ hợp tuyến tính:

- Gọi tc là thống kê cho kiểm định

H 0(c) : cµ = cµ0 (3)

- Tìm tổ hợp tuyến tính thoả

maxc

t2c = T 2 (4)

Thống kê trên được gọi là Thống kê Hotelling T 2.

Dưới giả thuyết H 0 : µ = µ0,

(n − p)(n − 1) p

T 2 ∼ F p,n− p (5)



Thống kê T 2


Mẫu ngẫu nhiên

Phân phối mẫu

Thống kê T 2





7

Ta kiểm định giả thuyết không

H 0 : µ = µ0

với miền bác bỏ - αT 2 > T 20

với giá trị tiêu chuẩn T 20

là

T 20 =(n − 1) p

(n − p)F p,n− p(α)



Tính bất biến của T 2


Mẫu ngẫu nhiên

Phân phối mẫu

Thống kê T 2





8

Nếu Y = CX+ d với C là ma trận cỡ p × p không suy biến,thì thống kê T 2 cho kiểm định:

H 0(Y) : E (Y) = Cµ0 + d (6)

sẽ tương tự như thống kê T 2 cho kiểm định:

H 0(X) : E (X) = µ0 (7)

Tính chất bất biến của T 2 không chỉ đối với sự thay đổi về vịtrí và tỷ lệ của của từng biến ngẫu nhiên thành phần mà cònxảy ra khi thực hiện biến đổi các biến thông qua một tổ hợptuyến tính.



Kiểm định Tỷ lệ hợp lý


Mẫu ngẫu nhiên

Phân phối mẫu

Thống kê T 2





9

Hàm hợp lý: L(µ, Σ).

Nhắc lại:

maxµ,Σ

L(µ, Σ) =1

(2π)np/2|Σ̂|n/2 e−np/2 (8)

Với µ = µ0:

maxµ0,Σ

L(µ, Σ) =1

(2π)np/2

|Σ̂0|

n/2e−np/2 (9)

với Σ̂0 =1

n

n j=1 (x j − µ0) (x j − µ0)





Mẫu ngẫu nhiên

Phân phối mẫu

Thống kê T 2





10

Tỷ lệ hợp lý

Λ = |Σ̂|

|ˆΣ0|

n/2

(10)

Kiểm định tỷ lệ hợp lý: Bác bỏ H 0 nếu Λ < cα, với cα làphân vị dưới thứ (100α) của phân phối Λ ứng với giả thuyếtkhông.

Ta có

Λ =

det

n j=1 (x j − x̄) (x j − x̄)

det

n j=1 (x j − µ0) (x j − µ0)

n/2

(11)





Mẫu ngẫu nhiên

Phân phối mẫu

Thống kê T 2





11

• Vớin

j=1

(x j

−µ0) (x j

−µ0)

n j=1

(x j − x̄) (x j − x̄) + N (x̄− µ0) (x̄− µ0)

= (N − 1)S + N (x̄− µ0) (x̄− µ0)

• suy ra

det

n j=1

(x j − µ0) (x j − µ0)

= det [(N

−1)S]1 + N (x̄

−µ0)[(N

−1)S]−1(x̄

−µ0)





Mẫu ngẫu nhiên

Phân phối mẫu

Thống kê T 2





12

• Do đó

Λ2/n =1

1 + N (x̄

−µ0)[(N

−1)S]−1(x̄

−µ0)

=1

1 +T 2

n − 1

(12)

• Bởi vì Λ là một hàm đơn điệu của T 2 nên kiểm định dựa trênT 2, hay còn gọi là Hotelling T 2, sẽ tương đương với kiểm định tỷ lệhợp lý.



Miền tin cậy cho kỳ vọng


Mẫu ngẫu nhiên

Phân phối mẫu

Thống kê T 2





13

Giả sử X1,X2, . . . ,Xn là một mẫu ngẫu nhiên được chọn từ N p(µ, Σ).

Một ellipsoid tin cậy cho µ là tập hợp các véc-tơ µ thoả

n(X̄− µ)S−1(X̄− µ) ≤ p(n − 1)

(n − p)F p,n− p(α) (13)

Nếu một tập chứa giá trị thực µ0 với xác suất là 1 − α, thìnó là tập tin cậy cho µ0 với độ tin cậy 100(1 − α)%.





Mẫu ngẫu nhiên

Phân phối mẫu

Thống kê T 2





14

Việc xác định một miền tin cậy elliptic (hoặc ellipsoid) là rấtkhó.

Ta có thể chuyển đổi tương đương một miền tin cậy sangkhoảng tin cậy bằng một tổ hợp tuyến tính của µ.

Nhắc lại:

T 2 = n(X̄− µ)S−1(X̄− µ)

= maxc

t2c

= maxc

nc

(¯X− µ)

2cSc





Mẫu ngẫu nhiên

Phân phối mẫu

Thống kê T 2





15

Do đó, từ

n(X̄

−µ)S−1(X̄

−µ)

≤p(n − 1)

(n − p)

F p,n− p(α)

suy ra,

nc

(X̄− µ)2

cSc≤ p(n − 1)

(n − p)F p,n− p(α) (14)

với mọi c.





Mẫu ngẫu nhiên

Phân phối mẫu

Thống kê T 2





16

Do vậy, xác suất

c

X̄± cSc

n

p(n

−1)

(n − p) F p,n− p(α) (15)

chứa giá trị cµ, với mọi c, là (1 − α).

Với c cho trước, ta có thể sử dụng khoảng tin cậy - t

cX̄± tn−1 α

2 cSc

n(16)






So sánh theo cặp

So sánh kỳ vọng vớinhiều phương thứcthí nghiệm

So sánh kỳ vọnggiữa 2 mẫu

Khoảng tin cậy đồngthời choa

(µ1 − µ2)Phân tích Profile

17



So sánh theo cặp



So sánh theo cặp





18

• Nhắc lại trong trường hợp một chiều:

- X j,i = độ đo trên đối tượng thứ j, 1 ≤ j ≤ n, ứng với

phương thức thí nghiệm i, i = 1, 2.- Phân tích dược dựa trên D j = X j,1 − X j,2, thông qua thống

kê D̄ và sd.

- Giả thuyết H 0 : E (D) = δ được kiểm định bởi thống kê

t =D̄ − δ

sd/√

n

và khoảng tin cậy cho δ là

D̄ ± tn−1(α/2)sd√

n



So sánh theo cặp



So sánh theo cặp





19

• Mở rộng trong trường hợp nhiều chiều:

- X i,j,k = độ đo trên biến thứ k, 1 ≤ k ≤ p, đối tượng thứ j,

1 ≤ j ≤ n, ứng với phương thức thí nghiệm i, i = 1, 2.- p hiệu số trên mỗi đối tượng D j,k = X 1,j,k − X 2,j,k tạo

thành ma trận đáp ứng D với thống kê D̄ và Sd.

• Giả thuyết H 0 : E (D) = δ được kiểm định bởi thống kê

T 2 = n

D̄− δ

S−1d

D̄− δ

(17)



So sánh theo cặp



So sánh theo cặp



Khoảng tin cậy đồngthời cho

a


20

• Việc chuyển dữ liệu về D sẽ đưa bài toán về dạng kiểm định chokỳ vọng trong trường hợp một mẫu.

- Phân phối củaT

2 theo giả thuyếtH 0

là

(n − p)

(n − 1) pT 2 ∼ F p,n− p,

do đó ta bác bỏ H 0 với mức ý nghĩa α nếu

T 2 >(n − 1) p

(n

− p)

F p,n− p(α). (18)



So sánh kỳ vọng với nhiều phương thức thí nghiệm



So sánh theo cặp




a


21

• Ví dụ: Thử nghiệm gây mê trên những con chó với q = 4phương thức thí nghiệm.

- 4 phương thức thí nghiệm sử dụng cùng một độ đo vật lý(mili-giây giữa các nhịp đập) dưới 4 điều kiện thí nghiệmkhác nhau:

Phương thức TN CO2 Halothane

1 Cao Không có2 Thấp Không có3 Cao Có4 Thấp Có

- Một thí nghiệm như vậy gọi là thí nghiệm có độ đo lặp(Repeated Measure).






So sánh theo cặp




a


22

• Ta cần kiểm định các giả thuyết sau:

- Không có sự khác biệt giữa các phương thức thí nghiệm:H

0: µ

1= µ

2= µ

3= µ

4.

- Nếu ta bác bỏ giả thuyết không, ta sẽ kiểm định tác độngchính của CO2 và Halothane, và tương tác giữa chúng.

• Mỗi giả thuyết được biểu diễn dưới dạng sau:

H 0 : Cµ = 0

với ma trận C là cỡ ( p − 1) × p thích hợp.






So sánh theo cặp




a


23

• Ví dụ, giả thuyết µ1 = µ2 = µ3 = µ4 có thể được viết dưới dạng

1

−1 0 0

1 0 −1 01 0 0 −1

µ1

µ2µ3

µ4

=

0 0 0 0

với p − 1 = 3.• Ảnh hưởng chính của Halothane, ví dụ, có thể được ước lượngbởi

(µ3 + µ4) − (µ1 + µ2) = [−1, −1, 1, 1]

µ1µ2

µ3

µ4

với p − 1 = 1






So sánh theo cặp




a


24

• Với mỗi giả thuyết, thống kê

T 2 = n (Cx̄) CSC

−1

(Cx̄) (19)

là thống kê kiểm định Hotelling T 2, và dưới giả thuyết H 0:

(n − p + 1)

(n−

1)( p−

1)T 2 ∼ F p−1,n− p+1, (20)

Ta bác bỏ giả thuyết H 0 nếu:

(n

− p + 1)

(n − 1)( p − 1) T

2

> F α,p−1,n− p+1 (21)






So sánh theo cặp




a


25

• Các khoảng tin cậy đồng thời cho tổ hợp tuyến tính của kỳ vọngcác véc-tơ yi = Cxi có dạng: với mọi a ∈ R p−1, với xác suất(1 − α), ta có

aCµ ∈ aCx̄ ±

1

N

(n − 1)( p − 1)

n − p − 1F 1−α; p−1,n− p+1aCSCa

(22)






So sánh theo cặp




a


26

• Do tổng các phần tử trên các hàng của ma trận C bằng 0:C1 p = 0, do đó aC là một véc-tơ có tổng các phần tử triệt tiêu;điều này gọi là sự tương phản (Contrast). Gọi b = Ca, ta có

b

1 p = p

j=1 b j = 0. Điều này cung cấp cho ta tất cả các tươngphản của µ và các khoảng tin cậy đồng thời bµ với độ tin cậy(1 − α)

bµ ∈ bx̄ ±

1

N

(n − 1)( p − 1)

n − p − 1F 1−α; p−1,n− p+1bSb (23)



So sánh kỳ vọng giữa 2 mẫu



So sánh theo cặp




a


27

• Nếu X1,1,X1,2, . . . ,X1,n1 là mẫu ngẫu nhiên được chọn từ N p(µ1, Σ) và X2,1,X2,2, . . . ,X2,n2 là mẫu ngẫu nhiên được chọntừ N p(µ2, Σ) (giả sử ma trận hiệp phương sai Σ bằng nhau). • Ký

hiệu X̄ k, Sk, k = 1, 2 lần lượt là các véc-tơ trung bình mẫu và matrận hiệp phương sai mẫu của hai mẫu được chọn từ hai tổng thể.Đặt δ = µ1 − µ2. Ta có

X̄ 1 − X̄ 2

∼ N pδ,

1n1

+ 1n2

Σ

(24)

n1S 1 + n2S 2 ∼ W p (Σ, n1 + n2 − 2) (25)



So sánh kỳ vọng giữa 2 mẫu



So sánh theo cặp




a


28

• Thống kê Hotelling -T 2:

T 2 = X̄1

−X̄2

−δ 1

n1

+1

n2S p

−1

× X̄1

−X̄2

−δ(26)

vàF =

n1 + n2 − p − 1

(n1

+ n2 −

2) pT 2 ∼ F p,n1+n2− p−1 (27)

Với S p là ma trận hiệp phương sai chung (pooled variance matrix):

S p =(n1 − 1)S1 + (n2 − 1)S2

n1 + n2 − 2

(28)

Ta bác bỏ giả thuyết không H 0 : µ1 = µ2 với mức ý nghĩa α khi

F > F α,p,n1+n2−

p−

1



Khoảng tin cậy đồng thời cho a(µ1 − µ2)



So sánh theo cặp




a


29

Định lý 1. Nếu X̄ 1, X̄ 2 và S p thu được từ hai mẫu ngẫu nhiên độc lập chọn từ N p(µ1, Σ) và N p(µ2, Σ), thì khoảng tin cậy đồng thời 100(1 − α)% cho tổ hợp tuyến tính aδ = a(µ1 − µ2) cho bởi

a(µ1 − µ2) ± T α; p,n1+n2− p−1

n1 + n2

n1n2aSa (29)

với T α; p,n1+n2− p−2 =

T 2α; p,n1+n2− p−1.

• Nếu a = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0) ta sẽ thu được khoảng tin cậyđồng thời cho mỗi µ1 j

−µ2 j, j = 1, . . . , p,

x̄1 j − x̄2 j ± T α; p,n1+n2− p−1

n1 + n2

n1n2S p,jj

với S p,jj là đường chéo thành phần thứ j của ma trận S p.



Phân tích Profile



So sánh theo cặp




a


30

• Các vấn đề về độ đo lặp (Repeated measurements): thực hiệnthí nghiệm theo các điều kiện, phương thức khác nhau cho cùng 1nhóm, hoặc so sánh các đặc tính có cùng độ đo giữa các nhóm

khác nhau.• Profile: các véc-tơ trung bình khi thực hiện theo p điều kiện(phương thức) khác nhau.

•Xét bài toán so sánh hai kỳ vọng giữa hai nhóm

X i1 ∼ N p(µ1, Σ) i = 1, . . . , n1

X i2 ∼ N p(µ2, Σ) i = 1, . . . , n2

với tất các các biến độc lập.



Phân tích Profile



So sánh theo cặp




a


31



Phân tích Profile



So sánh theo cặp




a


32

Có ba câu hỏi được đặt ra:

1. Các profile tương tự nhau nhau có xu hướng song song?(Nghĩa là không có sự tương tác giữa điều kiện thí nghiệm vàcác nhóm)

2. Nếu các profile song song, liệu chúng có cùng cấp?

3. Nếu các profile song song, liệu có điều kiện (phương thức)thí nghiệm nào có ảnh hưởng?



Phân tích Profile



So sánh theo cặp




a


33

• Các profile song song?• Xét ma trận C cỡ ( p − 1) × p

C =

1−

1 0· · ·

00 1 −1 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · −1

• Để trả lời câu hỏi 1, cần thực hiện kiểm định

H (1)0 : C(µ1 − µ2) = 0

• Thống kê T 2:

T 2 =n1n2

n1 + n2 C(X̄1 − X̄2)

(CSC)−1C(X̄1 − X̄2)



Phân tích Profile



So sánh theo cặp




a


34

• Thống kê F :

F =n1 + n2 − p

(n1 + n2

−2)( p

−1)

T 2 ∼ F p−1,n1+n2− p

Bác bỏ H (1)0 với mức ý nghĩa α nếu

F > F α; p−1,n1+n2− p

• Nếu hai Profile song song, liệu chúng có cùng cấp (bằng nhau).Ta cần kiểm định giả thuyết

H (2)0 : 1 p(µ1−µ2) = 0



Phân tích Profile



So sánh theo cặp




a


35


T 2 =n1n2

n1 + n2 1 p(X̄1 − X̄2)

(1 pS p1

p)−1 1 p(X̄1 − X̄2)có phân phối Hotelling - T 2 với bậc tự do là 1 và n1 + n2 − 2. •Bác bỏ giả thuyết H

(2)0 khi

T > T 21,n1+n2−2 = F 1,n1+n2−2

• Bác bỏ H (2)0 khi F > F α;1,n1+n2−2 với F = T 2.



Phân tích Profile



So sánh theo cặp




a

(µ1−µ2)

Phân tích Profile

36

• Để trả lời câu hỏi thứ ba, ta cần kiểm định giả thuyết:

H (3)0 : C(µ1 + µ2) = 0

Xét profile trung bình X̄ :

X̄ =n1X̄ 1 + n2X̄ 2

n1 + n2

và

X̄ ∼ N pn1µ1 + n2µ2

n1 + n2,

1

n1 + n2Σ


T 2 = (n1 + n2)X̄ C(CSC)−1CX̄



Phân tích Profile



So sánh theo cặp




a

(µ1−µ2)

Phân tích Profile

37

• Khi giả thuyết H (3)0 đúng, ta có

F =n1 + n2 − p

(n1 + n2 − 2)( p − 1)

T 2

∼F p−1,n1+n2− p

• Bác bỏ H (3)0 khi F > F α; p−1,n2+n2− p.

bai 2 - kiem dinh gia thuyet cho ky vong

Documents