Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) Hình học không gian

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -

Loại 1: Sử dụng trực tiếp các công thức tính thể tích.

Phương pháp giải: sử dụng các công thức tính thể tích

+ Hình chóp: 1

3V Sh

+ Hình hộp, lăng trụ: V = Sh.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD, đáy là hình thang vuông tại A và D. Biết AB = AD = 2a; CD = a. Góc

tạo bởi (SBC) và (ABCD) bằng 060 . (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy ABCD, I là trung điểm của

AD. Tính thể tích hình chóp S. ABCD.

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ACB. A’B’C’. Biết rằng đáy là tam giác vuông ABC vuông tại B. Giả sử

AB = a, AA’ = 2a, AC’ = 3a. Goi M là trung điểm của A’C’, và AM cắt A’C’ tại I. Tìm thể tích tứ diện

IABC.

Loại 2: Phương pháp phân tích hình đã cho thành tổng (hiệu) các hình cơ bản (hình chóp, lăng trụ,

hộp…)

Phương pháp giải:

- Phân tích hình đã cho thành tổng (hiệu) các hình cơ bản

- Sử dụng công thức: cho hình chóp tam giác S.ABC và 1 hình chóp khác có chung một góc tam diện S.

S.A’B’C’ ( ' , ' , 'A SA B SB C SC )

. ' ' '

.

' ' '. .S A B C

S ABC

V SA SB SC

V SA SB SC . Áp dụng trong cả trường hợp ' , ' , 'A A B B C C

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thoi có cạnh 5 cm, đường chéo AC = 4cm. Gọi O là giao

điểm 2 đường chéo, SO đáy, 2 2SO . Gọi M là trung điểm của SC; giả sử (ABM) cắt SD tại N. Tìm

thể tích hình chóp S. ABMN.

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy là tam giác đều cạnh a. Giả sử SA = 2a ABC . Gọi M và

N lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC. Tìm thể tích khối chóp A.BMNC.

Loại 3: Sử dụng thể tích để tìm khoảng cách

Phương pháp giải

BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH

TÀI LIỆU BÀI GIẢNG

Giáo viên: PHAN HUY KHẢI

Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài toán về thể tích thuộc khóa học LTĐH KIT-3: Môn

Toán (Thầy Phan Huy Khải) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức Bài 01. Phương pháp bất đẳng

thức Côsi, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

Tham gia ôn luyện thi đại học online & thi thử đại học tại Hocmai.vn để đỗ đại học!

Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) Hình học không gian

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -

Cho tứ diện ABCD, giả sử cần tính khoảng cách h từ A tới BCD, biết ABCDV , BCDS thì : 3

BCD

Vh

S

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ACB. A’B’C’. Biết rằng đáy là tam giác vuông ABC vuông tại B. Giả sử

AB = a, AA’ = 2a, AC’ = 3a. Goi M là trung điểm của A’C’, và AM cắt A’C’ tại I. Tìm khoảng cách từ A

tới (IBC) .

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của

AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.

Giáo viên: Phan Huy Khải

Nguồn : Hocmai.vn

Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) Hình học không gian

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, 2AB a . Gọi I là trung điểm của

BC, hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn 2IA IH

. Góc giữa SC và mặt

phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt

phẳng (SAH).

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = 2 3a , BD = 2a và cắt

nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ

O đến mặt phẳng (SAB) bằng 3

4

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Bài 3. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,

3AC a và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính thể

tích khối chóp A’ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC’B’).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp. Cho

AB = a, SA = 2a . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD.

Chứng minh SC ( )AHK và tính thể tích hình chóp OAHK.

Giáo viên: Phan Huy Khải

Nguồn : Hocmai.vn

BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: PHAN HUY KHẢI

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài toán về thể tích thuộc khóa học LTĐH KIT-3: Môn

Toán (Thầy Phan Huy Khải) tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên

truyền đạt trong bài Bài toán về thể tích. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài

tập trong tài liệu này.

Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) Hình học không gian

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -

I

A

C

B

S

H

K'

K

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, 2AB a . Gọi I là trung điểm của

BC, hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn 2IA IH

. Góc giữa SC và mặt

phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt

phẳng (SAH).

Giải:

a) ( )SH ABC HC là hình chiếu của SC trên (ABC) SC tạo với đáy góc 060SCH .

Tam giác ABC vuông cân tại A nên BC = 2 2AB a I là trung điểm BC

3.

2

aAI BI IC a AH

Trong tam giác vuông ICH có 2

2 2 2 5 5

4 2

a aCH IH IC CH

Trong tam giác vuông SHC: SH = HC 0 15

tan 602

a

321 1 1 15 15

. . 23 3 2 2 6

SABC ABC

a aV S SH a

b) ',K K là trung điểm SB, SI , 'K K là đường trung bình của tam giác SBI

' '

' '

'

/ / ,2

( ), \ \ ( )

,2

aKK IB KK

IB SHIB SAH KK BI KK SAH

IB AH

ad K SAH KK

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = 2 3a , BD = 2a và cắt

nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ

O đến mặt phẳng (SAB) bằng 3

4

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Giải:

Từ giả thiết, ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = 3a ; BO = a , do đó 060ABD . Hay

ABD đều. Do ;SAC SBD ABCD nên giao tuyến của chúng SO (ABCD).

BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: PHAN HUY KHẢI

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài toán về thể tích thuộc khóa học LTĐH KIT-3: Môn

Toán (Thầy Phan Huy Khải) tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên

truyền đạt trong bài Bài toán về thể tích. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài

tập trong tài liệu này.

Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) Hình học không gian

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -

B

A

C

B'

A'

C'

HK

Gọi H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH AB và DH = 3a ; OK // DH và

1 3

2 2

aOK DH OK AB AB (SOK)

Gọi I là hình chiếu của O lên SK OI (SAB), hay OI 3

4

aOI

Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao

2 2 2

1 1 1

2

aSO

OI OK SO

Diện tích đáy 24 2. . 2 3D SABC ABOS OAOB a ;

đường cao của hình chóp 2

aSO .

Thể tích khối chóp S.ABCD:

3

.

1 3.

3 3D DS ABC ABC

aV S SO

Bài 3. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,

3AC a và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính thể

tích khối chóp A’ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC’B’).

Giải:

Theo giả thiết ta có: ' ( )A H ABC

Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên

1

2AH BC a .

Xét tam giác A’AH vuông tại H nên ta có:

2 2' ' 3A H A A AH a

Do đó: 3

'

1 . 33.

3 2 2A ABC

a a aV a .

Mặt khác: '

. ' ' '

1

3

A ABC

ABC A B C

V

V

Suy ra: 3

3

'. ' ' . ' ' '

2 2.3.

3 3 2A BCC B ABC A B C

aV V a

Ta có: '. ' '

' '

3', ( ' ') A BCC B

BCC B

Vd A BCC B

S

Vì ' ' ' ' ' 'AB A H A B A H A B H vuông tại A’.

Suy ra 2 2' 3 2 ' 'B H a a a BB BB H cân tại B’.

Gọi K là trung điểm của BH ta có: 'B K BH . Do đó: 2 2 14

' '2

aB K BB BK

Suy ra: 2

' '

14' '. 2 . 14

2BCC B

aS B C BK a a

Vậy 3

2

3 3 14',( ' ')

1414

a ad A BCC B

a .

S

A

B K

H

C

O

I D 3a

a

Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) Hình học không gian

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -

I

O

D

C

AB

S

K

H

M

E

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp. Cho

AB = a, SA = 2a . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD.

Chứng minh SC ( )AHK và tính thể tích hình chóp OAHK.

Giải:

+ BC vuông góc với (SAB)

BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB

AH vuông góc với (SBC) AH vuông góc SC (1)

+ Tương tự AK vuông góc SC (2)

Từ (1) và (2) SC vuông góc với (AHK )

2 2 2 23SB AB SA a

6SB 3 AH.SB SA.AB AH

3

aa

2 3 2 3SH    SK

3 3

a a

(do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A)

Ta có HK song song với BD nên 2 2

3

HK SH aHK

BD SB .

Kẻ OE// SC ( )( ( ))OE AHK doSC AHK suy ra OE là đường cao của hình chóp OAHK và

2 4 2

IC SC aOE (Vì SAC cân tại A , AI là đường cao, là đường trung tuyến).

Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta có 2

2 2 2 4

9

aAM AH HM AM=

2

3

a

31 1 1 2. . .

3 3 2 2 27OAHK AHK

a aV OE S HK AM

Giáo viên: Phan Huy Khải

Nguồn : Hocmai.vn