Ôn tập toán rời rạc - chương 1

TOÁN RỜI RẠC

Discrete Mathematics

2

NỘI DUNG

Chương Tiêu đề chương Số tiết LT Số tiết BT

1 Mệnh đề & vị từ 4 3

2 Suy luận toán học 3 2

3 Tập mờ & logic mờ 1

4 Đại số Bool 7 4

5 Hàm bool 6 4

6 Đơn giản công thức 7 4

3

C1. MỆNH ĐỀ & VỊ TỪ

• Mệnh đề– Định nghĩa– Các phép toán logic– Biểu thức mệnh đề– Mệnh đề hệ quả & mệnh đề tương đương– Ví dụ & bài tập

• Vị từ– Định nghĩa– Sử dụng vị từ trong biểu diễn tri thức & biểu thức vị từ

4

MỆNH ĐỀ (1)

• Mệnh đề– Định nghĩa: phát biểu (có thể) xác định được đúng / sai

VD: xét các phát biểu sau

1. Hà Nội là thủ đô của Việt Nam

2. Thượng Hải là thủ đô của Trung Quốc

3. Nếu trời mưa, trận đấu tennis sẽ bị hoãn

4. x cộng y bằng 5

5. Mọi cô gái đều có mái tóc dài

6. Trong một tam giác đều, mỗi góc đều bằng 600

7. 1 cộng 1 bằng 2

8. Mọi số âm không là số chính phương

9. Nữ sinh An khá xinh

Giá trị đúng (T, True) / sai (F, False) của mệnh đề được gọi là chân trị của mệnh đề

5

MỆNH ĐỀ (2)

– Các phép toán logic• Mệnh đề nguyên tử: mệnh đề có một giá trị • Mệnh đề phức hợp: không là mệnh đề nguyên tử

Phép phủ định: P là một mệnh đề

phát biểu “không P” là một mệnh đề: mệnh đề phủ định của mệnh đề P , được ký hiệu P / PBảng chân trị

VD: P = “Phúc là sinh viên” , P = “Phúc không là sinh viên”

P P

T F

F T

6

MỆNH ĐỀ (3)

Phép hội (conjunction): P, Q là hai mệnh đề

phát biểu “P và Q” là một mệnh đề, được gọi là hội của P và Q, được ký hiệu là P Q

Bảng chân trị P Q PQT T TT F FF T FF F F

7

MỆNH ĐỀ (4)

Phép tuyển (disjunction)P, Q là hai mệnh đề

Phát biểu “P hoặc Q” là một mệnh đề, được gọi là tuyển của P và Q, được ký hiệu P Q

Bảng chân trị P Q PQT T TT F TF T TF F F

8

MỆNH ĐỀ (5)

Phép XORP, Q là hai mệnh đề

Phát biểu “hoặc P loại trừ Q, hoặc Q loại trừ P” là một mệnh đề, được gọi là hoặc loại trừ / XOR, được ký hiệu P xor Q / PQBảng chân trị:

P Q PQT T FT F TF T TF F F

9

MỆNH ĐỀ (6)

Phép kéo theoP, Q là hai mệnh đề,

phát biểu “Nếu P thì Q” là một mệnh đề , được gọi là mệnh đề kéo theo, được ký hiệu P Q / P QBảng chân trị:

Mệnh đề đảo của P Q: Q P

Mệnh đề phản đảo của P Q: Q P

P Q và Q P có cùng bảng chân trị

P Q PQT T TT F FF T TF F T

P P Q Q QPT F T F TT F F T FF T T F TF T F T T

10

MỆNH ĐỀ (7)

Phép tương đương (biconditional)P, Q là hai mệnh đề,

Phát biểu “P nếu và chỉ nếu Q” / “P khi và chỉ khi Q” là một mệnh đề, được gọi là tương đương của P và Q, được ký hiệu là P Q / P QBảng chân trị P Q P Q

T T TT F FF T FF F T

11

MỆNH ĐỀ (8)

– Thứ tự ưu tiên giữa các phép toán logic

Ưu tiên Phép toán1 Phủ định ( )2 Hội ( ), Tuyển ( )

12

MỆNH ĐỀ (9)

– Biểu thức mệnh đề (logical connectives): các mệnh đề nối kết với nhau bởi các phép toán logic

– Mệnh đề hệ quả & mệnh đề tương đương• Hằng đúng: luôn có chân trị đúng (vd: P P)• Hằng sai: luôn có chân trị sai (vd: P P)• Tiếp liên: biểu thức mệnh đề không là hằng đúng, cũng không

là hằng sai• Mệnh đề hệ quả: P, Q là hai mệnh đề, nếu P Q là hằng đúng,

Q được gọi là mệnh đề hệ quả của P / Q suy ra được từ P• P, Q được gọi là tương đương logic nếu P Q là hằng đúng,

được ký hiệu P Q

13

MỆNH ĐỀ (10)

Các quy tắc tương đương logic thường dùng

P T T Domination laws (P Q) R P (Q R) = P Q R Associative laws

P F F (P Q) R P (Q R) = P Q R

P F P Identity laws P (Q R) (PQ) (PR) Distributive laws

P T P P (Q R) (PQ) (PR)

P P P Idempotent laws ¬(P Q) ¬P ¬Q De Morgan’s laws

P P P ¬(P Q) ¬P ¬Q

¬(¬P) P Double negation laws P (P Q) P Absortion laws

P ¬P T Complement laws P (P Q) P

P ¬P F P Q ¬P Q

P Q Q P Commutative laws

P Q Q P

14

VÍ DỤ & BÀI TẬP (1)

Viết chương trình giải phương trình bậc 1

ax + b = 0

khi biết các hệ số a, b

Nhận xét: nếu a ≠ 0 phương trình có nghiệm duy nhất x = -b/a, nếu a = 0 mà b ≠ 0, phương trình vô nghiệm, nếu a = 0 mà b = 0, phương trình vô định.

if(a != 0) printf(“phuong trinh co nghiem duy nhat: x = %f”, -b/a);

else if(b != 0) printf(“phuong trinh vo nghiem”

else printf(“phuong trinh vo dinh”)

15


• Viết chương trình, tìm số lớn nhất trong ba số đã cho a, b, c

Nhận xét: Nếu a ≤ b & nếu b ≤ c thì c lớn nhất nếu không ( b > c) thì b lớn nhất

Nếu a > b & nếu a ≥ c thì a lớn nhất, nếu không ( a < c ) thì c lớn nhất

if( a <= b) if(b <= c) printf(“%f la so lon nhat”, c);

else printf(“%f la so lon nhat”, b);

else if(a >= c) printf(“%f la so lon nhat”, a);

else printf(“%f la so lon nhat”, c)

16


• Xét đoạn code sau:

a = 0; b = 1

while((a <= 10) && (b <= 10)) {b = b + a; a = a + b; }

Giá trị của a, b khi kết thúc vòng lặp while bằng bao nhiêu?

L1: a = 1, b = 1 (điều kiện while còn thoả)



L4: a = 21, b = 13 (điều kiện while không còn thoả)

KL: a = 21, b = 13

17


• Biết P Q là sai, xác định chân trị của P Q,

P Q, Q PP Q = F P = T & Q = F

vậy thì P Q = F, P Q = F, Q P = T

• Biết (P Q R) (S M) là sai, xác định chân trị của P, Q, R, S, M(P Q R) (S M) = F

FM&Fs&Tr&TQ&TP

TM&TS&TR&TQ&TP

FMS&TR&TQ&TP

18


• a, b là các số nguyên dương, biết ba trong bốn mệnh đề sau là đúng, mệnh đề còn lại là sai. Tìm a, b1. a+1 chia hết cho b

2. a = 2b + 5

3. a + b chia hết cho 3

4. a + 7b là số nguyên tố

Nhận xét

2. & 3. không thể cùng đúng (a + b = 2b + 5 + b = 3b + 5 chia hết cho 3Þ 5 chia hết cho 3!!! )

3. & 4. không thể cùng đúng (a + 7b = a + b + 6b chia hết cho 3 !!!)

Vậy thì 1. & 2. & 4. đúng, 3. sai

ta có a + 1 = bp = 2b + 6 b(p – 2) = 6 b=1, a=7, a+7b=14 loại;

b=2, a=9, a+7b=23; b=3, a=11, a+7b=32 loại, b=6, a=17, a+7b=59

19


• Xét lời khai của ba nghi can A, B, C

A : “B có tội và C vô tội”

B : “Nếu A có tội thì C có tội”

C : “Tôi vô tội nhưng một trong hai người kia có tội”

Biết các lời khai của họ là đúng. Ai có tội ?

Ký hiệu A = “A có tội”, B = “B có tội”, C =“C có tội”

ta có: B C = T, A C = T, C (A B) = T

B=T & C=T & (A=T C=T) & C=T & (A B)=T

B = T & C = F & A = F

vậy B có tội, A và C không có tội

20


• Dùng bảng chân trị, chứng minh mệnh đề (P Q) P là hằng đúng

P Q P Q

T T TT F FF T FF F F

PQ P

T TF TF FF F

P QP

TTTT

21


• Bằng biến đổi tương đương, chứng minh (P Q) P là hằng đúng

(P Q) P (P Q) P

(P Q) P (De Morgan laws)

(Q P) P (commutative laws)

Q (P P) (associative laws)

Q T (complement laws)

T (domination laws)

22


• Bằng biến đổi tương đương, chứng minh(P Q) R là hệ quả của P (Q R)

CM: (P (Q R)) ((P Q) R) là hằng đúng

(P (Q R)) ((P Q) R)

(P (Q R)) ((P Q) R)

(P (Q R) ((P Q) R)

((P Q) ( P R)) ((P Q) R)

((P Q) (P Q) R) (( P R) (P Q) R))

P R (P Q) R T

23


• Bằng biến đổi tương đương, chứng minh

(P Q) (P Q) tương đương với P

(P Q) (P Q)

(P Q) (P Q)

(P P) (P Q) (Q P) (Q Q)

P (P Q Q)

P T P

24


• Sử dụng biến đổi đồng nhất chứng minh

¬xy ¬yz ¬zx ¬yx ¬xz ¬zyxy yz zx

xy(zz) yz(xx) zx(yy)

xyz xyz yzx yz x zxy zxy yx(zz) xz(yy) zy(xx)

yx xz zy

25


• Tìm giá trị của các biến mệnh đề x, y, z, u, v để biểu thức sau nhận giá trị sai

(y (x z)) (x u) (y v)(y (x z)) (x u) (y v) = F

y (x z) = F & x u = F & y v = F

y=T & x z = F & (x=F u=F) & (y=F v=F)

y=T & x=T & z=F & (x=F u=F) & (y=F v=F)

y=T & x=T & z=F & u=T & v=F

26

VỊ TỪ (1)

• Định nghĩa: vị từ là một phát biểu có chứa biến– Mỗi biến của một vị từ nhận giá trị trong một miền giá trị xác

định (miền giá trị của biến vị từ)– Khi tất cả các biến của một vị từ có các giá trị xác định, ta

nhận được một mệnh đề (xác định rõ đúng/sai)

Ví dụ: P(x) = “x < 10” với x R là một vị từ

Khi x = 7 ta nhận được mệnh đề đúng: 7 < 10

Khi x = 12 ta nhận được mệnh đề sai 12 < 10

P(x, y) = “x + y = 10” với x, y R là một vị từ

Khi x = 3, y = 7 ta nhận được mệnh đề đúng: 3 + 7 = 10

Khi x = 6, y = 9 ta nhận được mệnh đề sai: 6 + 9 = 10

27

VỊ TỪ (2)

Vị từ được xem như một hàm

P: E1 x E2 x … x En { 0, 1 }

(x1, x2, …, xn) P(x1, x2, …, xn)

Ei = tập các giá trị mà biến vị từ Xi có thể nhận

P(x1, x2, …, xn) là một mệnh đề

P(x1, x2, …, xn) = 0 : mệnh đề sai; P(x1, x2, …, xn) = 1 : mệnh đề đúng

E1 x E2 x … x En : không gian vị từ

n : trọng lượng của vị từ

Ví dụ P(x, y) = “x + y = 10” với x, y R được xét như hàm

P: R x R {0, 1}; P(3, 7) = 1; P(6, 9) = 0

28

VỊ TỪ (3)

• Sử dụng vị từ để biểu diễn tri thức & biểu thức vị từXét các tri thức sau:

Nam thích Mai nhưng không thích Huệ, Mai thích Long nếu Long không thích Huệ, Long thích Huệ nhưng không thích Mai, Huệ thích Nam hoặc Huệ thích Long

Ta có thể sử dụng vị từ like(X, Y)=“X thích Y” để biểu diễn các “tri thức” trên

like(Nam, Mai) like(Nam, Huệ)

like(Long, Huệ) like(Mai, Long)

like(Long, Huệ) like(Long, Mai)

like(Huệ, Nam) like(Huệ, Long)

29

VỊ TỪ (4)

Xét các phát biểu sau:1. Nếu một người mạnh khoẻ thì người đó hạnh phúc

2. Thành là người hạnh phúc

3. Nếu X là cha mẹ của Y và Y là cha mẹ của Z thì X là ông bà của Z

4. Hoa là ông bà của cúc

5. Người ta ai cũng phải chét

6. Trung là người

Để biểu diễn các phát biểu trên trong vị từ, trước tiên ta phải định nghĩa các vị từ “nguyên thuỷ”

happy(X) = “X hạnh phúc”

healthy(X) = “X mạnh khoẻ”

30

VỊ TỪ (5)

parent(X, Y) = “X là cha mẹ của Y”

grandparents(X, Y) = “X là ông bà của Y”

person(X) = “X là người”

dead(X) = “X phải chết”

Bây giờ ta có thể dịch các phát biểu sang logic vị từ:

Nếu một người mạnh khoẻ thì người đó hạnh phúc

X: healthy(X) happy(X)

Thành là người hạnh phúc

happy(Thành)

Nếu X là cha mẹ của Y và Y là cha mẹ của Z thì X là ông bà của Z

X, Y, Z: parent(X, Y) parent(Y, Z) grandparents(X, Z)Hoa là ông bà của cúc

grandparents(Hoa, Cúc)

31

VỊ TỪ (6)

Người ta ai cũng phải chết

X: person(X) dead(X)

Trung là người

person(Trung)

Thành là người

person(Thành)

Do vị từ trở thành mệnh đề khi các biến của nó nhận các giá trị xác định, các vị từ có thể được kết nối với nhau thông qua các phép toán logic để trở thành biểu thức vị từ

Lượng tử tồn tại : X: P(X) ý nghĩa là tồn tại giá trị của X, sao cho P(X) đúng

Lượng tử phổ dụng : X: P(X) ý nghĩa là với mọi giá trị của X, P(X) đúng

32

VỊ TỪ (7)

R(X), S(X) là hai vị từ trên cùng không gian E

Định lý 1: XY: P(X, Y) YX: P(X, Y)

XY: P(X,Y) YX: P(X, Y)

(X: P(X)) X: P(X)

(X: P(X)) X: P(X)

X: (R(X) S(X)) X: R(X) X: S(X)

X: (R(X) S(X)) X: R(X) X: S(X)

Định lý 2: XY: P(X, Y) YX: P(X, Y)

YX: P(X, Y) XY: P(X, Y)

X: (R(X) S(X)) (X: R(X) X: S(X))

X: R(X) X: S(X) X: (R(X) S(X))

33

VỊ TỪ (8)

P(X), Q(X) là các vị từ trên không gian E, C EA = {x E | P(x) = 1}

B = {x E | Q(x) = 1}

khi đó AB = {x E | P(x) Q(x) = 1}

AB = {x E | P(x) Q(x) = 1}

Nếu XC: P(X) là đúng, thì với c C, P(c) là mệnh đề đúng

Nếu với mỗi c C, P(c) đúng thì XC: P(X) đúng

Nếu với c C, P(c) đúng thì XC: P(X) đúng

Nếu với c C, P(c) sai thì X C: P(X) sai

Nếu với một c C, P(c) sai thì XC: P(X) sai

34


• Xét vị từ p(n) = “n 3”, q(n) = “n+1 là số lẻ”, r(n) = “n > 0” trên không gian Z các số nguyên, xác định chân trị của các mệnh đề sau:1) p(1) 2) q(2) 3) p(3) 4) p(2) q(3) 5) p(2) q(2)

6) p(4) q(2) r(8) 7) p(2) (q(3) r(5))

8) p(1) (q(4) r(-7)) 9) (p(3) q(4)) r(9)

10) p(-5) q(5) r(-4)

p(1) = “1 < 3” = F, q(2) = “2 + 1 lẻ”=T, p(3)= ”3 3” =F

p(2) q(3) = T F = F …

35


• Cho p(x) = “n3 = 4n” trên không gian Z các số nguyên, xác định chân trị của các mệnh đề sau:1) p(0) 2) p(2) 3) p(-2) 4) p(4) 5) n: p(n) 6) n: p(n)

p(0) = “03 = 4.0” = 1, p(2) = “23 = 4.2” = 1,

p(-2) = “(-2)3 = 4.(-2)” = 1

p(5) = “53 = 4.5” = 0

p(0) = 1 n: p(n) = 1

p(5) = 0 n: p(n) = 0

36


• Xét các vị từ p(x) = “x3 – 4x = 0”, q(x) = “x 0”. Xác định x sao cho 1. p(x) = 1

2. q(x) = 0

3. p(x)q(x) = 1

4. p(x)q(x) = 1

5. p(x) = 1

6. q(x) p(x) = 1

7. p(x) q(x) = 1

8. p(x) q(x) = 1

x = 0, 2, -2x < 0x = 0, 2x 0 x = -2

x 0, x 2, x -2x = -2

x > 0 , x 2x < 0 , x -2

37


• Xét các vị từ sau trên các số nguyên1) negative(n) = “n < 0”

2) even(n) = “n là số chẵn”

3) square(n) = “n là số chính phương”

4) divivible4(n) = “n chia hết cho 4”

5) divisible5(n) = “n chia hết cho 5”

Biểu diễn các phát biểu sau dưới dạng biểu thức vị từ của các vị từ trên

1. Có ít nhất một số nguyên chẵn

2. Tồn tại một số nguyên không âm là số chẵn

3. Nếu n chẵn thì n không chia hết cho 5

4. Không có số nguyên chẵn nào chia hết cho 5

5. Tồn tại một số nguyên chẵn chia hết cho 4

6. Nếu n chẵn và n là số chính phương thì n chia hết cho 4

n: even(n)

n: negative(n)even(n) n: even(n) divisible5(n)

(n: even(n) divisible5(n))

n: even(n) divisible4(n)

n: even(n) square(n) divisible4(n)

38


Xác định chân trị của mỗi phát biểu1) even(2) đúng n: even(n) đúng

2) 2 0 & even(2) đúng n: negative(v) even(n) đúng

3) even(10), divisible5(10) n: even(n) divisible5(n) sai

4) even(10), divisible5(10) (n: even(n) divisible5(n)) sai

5) even(4), divisible4(n) n: even(n) divisible4(n)

6) n = 2k = m2 2 \ m2, 2 nguyên tố 2 \ m m=2p n = m2 = 4p2 n chia hết cho 4

vậy thì n: even(n) square(n) divisible4(n) đúng

39


Dịch sang các phát biểu các biểu thức vị từ sau:1) n: square(n) negative(n)

mọi số nguyên chính phương đều không âm

2) n: divisible4(n) even(n)

mọi số nguyên chia hết cho 4 là số chẵn

3) n: divisible4(n) divisible5(n)

Mọi số nguyên chia hết cho 4 thì không chia hết cho 5

4) n: divisible4(n) square(n)

Tồn tại số nguyên chia hết cho 4 nhưng không là số chính phương

5) n: square(n) even(n) divisible4(n)

Mọi số nguyên hoặc không là số chính phương hoặc không là số chẵn hoặc chia hết cho 4

40


• Xét các phát biểu sau1) Không có sinh viên nào ngu dốt

2) Có sinh viên lười học

3) Có sinh viên chăm học

4) Mọi sinh viên học kém đều vô tích sự

5) Mọi sinh viên lười học đều học kém

6) Tất cả các sinh viên học giỏi đều chăm học

7) Người không ngu dốt mà chăm học thì học giỏi

8) Tất cả các sinh viên học giỏi đều tìm được việc làm tốt

Không gian là tập tất cả các con người

Định nghĩa các vị từ nguyên thuỷ

Dịch các phát biểu trên thành các biểu thức của các vị từ nguyên thuỷ

41


person(X) = “X là con người” ; stupid(X) = “X ngu dốt”

student(X) = “X là sinh viên”

lazy(X) = “X lười học”

studious(X) = “X chăm học”

no_good_learn(X) = “X học kém”

good_learn(X) = “X học giỏi”

ineffective(X) = “X vô tích sự”

good_work_found(X) = “X tìm được việc làm tốt”

0) Sinh viên là con người: X: student(X) person(X)

1) Không có sinh viên nào ngu dốt

(X: student(X) stupid(X))

2) Có sinh viên lười học

X: student(X) lazy(X)

42


3) Có sinh viên chăm học

X: student(X) studious(X)

4) Mọi sinh viên học kém đều vô tích sự

X: student(X) no_good_learn(X) ineffective(X)

5) Mọi sinh viên lười học đều học kém

X: student(X) lazy(X) no_good_learn(X)

6) Tất cả các sinh viên học giỏi đều chăm học

X: student(X) good-learn(X) studious(X)

7) Người không ngu dốt mà chăm học thì học giỏi

X: person(X) stupid(X) studious(X) good_learn(X)

8) Tất cả các sinh viên học giỏi đều tìm được việc làm tốt

X: student(X) good_learn(X) good_work_found(X)

43

END OF CHAPTER ONE

Ôn tập toán rời rạc - chương 1

Documents