บทที่ 2ความรูเบื้องตนเกี่ยวกับจํานวนจริง (18 ช่ัวโมง)

2.1 จํานวนตรรกยะ (3 ช่ัวโมง)2.2 จํานวนอตรรกยะ (2 ช่ัวโมง)2.3 รากที่สอง (7 ช่ัวโมง)2.4 รากที่สาม (6 ช่ัวโมง)

นักเรียนไดรูจักและใชจํานวนเต็ม เศษสวนและทศนิยมมาแลว ในบทนี้มุงใหนักเรียนมีความคดิรวบยอดเกีย่วกบัจาํนวนตรรกยะ จาํนวนอตรรกยะและจาํนวนจรงิ สําหรับสาระเกีย่วกบัจาํนวนอตรรกยะมีเจตนาเพียงใหนักเรียนไดรูจักจํานวนอตรรกยะและสามารถยกตัวอยางได ในบทนี้จะยังไมกลาวถึงสมบัติของจํานวนจริงและการคํานวณเกี่ยวกับจํานวนจริงที่อยูในรูป a เมื่อ a > 0 หัวขอรากที่สองและรากที่สามไดเสนอวิธีหารากไวหลายวิธี สําหรับรากที่สามจะไมกลาวถึงวิธีการประมาณ เพราะมีการคํานวณที่คอนขางยุงยาก ในการจัดการเรียนการสอน ครูจะตองดําเนินกิจกรรมใหนักเรียนรูและตระหนักเสมอวาจํานวนจริงจํานวนหนึ่งจะตองเปนจํานวนตรรกยะ หรือจํานวนอตรรกยะอยางใดอยางหนึ่งเทานั้น และรูวาในการคํานวณทั่ว ๆ ไปจะใชคาประมาณที่เปนจํานวนตรรกยะแทนจํานวนอตรรกยะ เชน ใช 7

22 แทนπ ใช 1.414 แทน 2 เปนตน

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. เขียนเศษสวนในรูปทศนิยมซ้ําและเขียนทศนิยมซ้ําในรูปเศษสวนได 2. ระบุหรือยกตัวอยางจํานวนจริง จํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะได 3. บอกความเกี่ยวของระหวางจํานวนเต็ม จํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะได

4. อธิบายและระบุรากที่สองและรากที่สามของจํานวนจริงได 5. บอกความสัมพันธของการยกกําลังและการหารากของจํานวนเต็มและจํานวนตรรกยะได 6. หารากที่สองของจํานวนตรรกยะที่กําหนดใหโดยการแยกตัวประกอบการประมาณ การเปดตาราง หรือการใชเครื่องคํานวณ และนําไปใชแกปญหาได 7. หารากที่สามของจํานวนตรรกยะที่กําหนดใหโดยการแยกตัวประกอบ การเปดตาราง หรือ การใชเครื่องคํานวณ และนําไปใชแกปญหาได 8. อธิบายผลที่เกิดขึ้นจากการหารากที่สองและรากที่สามของจํานวนเต็มและจํานวนตรรกยะได 9. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

27

แนวทางในการจัดการเรียนรู

2.1 จํานวนตรรกยะ (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. เขียนเศษสวนใหอยูในรูปทศนิยมซ้ํา 2. เขียนทศนิยมซ้ําใหอยูในรูปเศษสวน 3. บอกไดวาจํานวนที่กําหนดใหเปนจํานวนตรรกยะหรือไม 4. ยกตัวอยางจํานวนตรรกยะได 5. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.1

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรทบทวนการเขียนเศษสวนใหอยูในรูปทศนิยมซ้ํา และการเขียนทศนิยมซ้ําศูนยใหอยูในรูปเศษสวน เพื่อเชื่อมโยงไปสูการเขียนทศนิยมซ้ําอื่น ๆ ใหอยูในรูปเศษสวน 2. หลังจากที่นักเรียนไดเรียนการเขียนทศนิยมซ้ําที่ตัวซํ้าไมใชศูนยใหอยูในรูปเศษสวนแลวครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 2.1 และชวยกันหาวิธีลัดในการเขียนทศนิยมเปนเศษสวนไดอยางรวดเร็ว เชน ใหสังเกตแบบรูปดังตอไปนี้

⋅7.0 = 9

7

⋅⋅34.0 = 99

43⋅⋅853.0 = 990

3 358 −

= 990535 หรือ 198

71

ครูอาจพบคําถามของนักเรียนวา ⋅9.0 เขียนเปนเศษสวนไดเทาไร ถาทําตามวิธีการดังที่เสนอ

ไวจะได ⋅9.0 = 9

9 หรือ ⋅9.0 = 1 ถามีนักเรียนไมยอมรับคําตอบนี้ ใหครูบอกวา ในทางคณิตศาสตร

ถือเปนขอตกลงในการเขียน ⋅9.0 เปนเศษสวนไดเปน 1

3. กิจกรรม “มารูจักจํานวนตรรกยะกันเถอะ” มุงใหนักเรียนอภิปรายเพื่อใหไดขอสรุปวาจํานวนตรรกยะทุกจํานวน สามารถแทนไดดวยจุดบนเสนจํานวนและไมมีจํานวนตรรกยะที่มากที่สุดและนอยที่สุด หลังจากนั้นครูจึงใหนักเรียนชวยกันสรุปเปนแผนผังจํานวนตรรกยะ

28

4. ครูควรใชการสนทนาใหเห็นการใชจํานวนตรรกยะในชีวิตประจําวัน ดังตัวอยางสถานการณที่เสนอไวในหนังสือเรียนหนา 40 ครูควรชี้ใหเห็นความจําเปนและประโยชนของการใชคาประมาณในชีวิตประจําวันประกอบกันดวย

5. สําหรับแบบฝกหัด 2.1 ขอ 5, 6 และ 7 มุงใหนักเรียนเห็นการใชจํานวนตรรกยะในชีวิตประจําวัน ซ่ึงอาจมีทางเลือกหลากหลายรวมทั้งใหสามารถตัดสินใจแกปญหาโดยใชขอมูลที่มีอยู บางขออาจมีคําตอบไดมากกวาหนึ่งคําตอบ ครูควรใหนักเรียนไดอภิปรายแสดงเหตุผลประกอบคําตอบดวย 6. สําหรับกิจกรรม “เปนจํานวนตรรกยะหรือไม” ตองการใหนักเรียนหาขอสรุปเกี่ยวกับผลลัพธที่เกิดจากการบวก ลบ คูณ และหารจํานวนตรรกยะกับจํานวนตรรกยะ โดยอาจใชการยกตัวอยางหลาย ๆ ตัวอยางเพื่อคาดการณหาขอสรุป 7. สําหรับกิจกรรม “หาไดอยางไร” มุงฝกการคิดและพัฒนาความรูสึกเชิงจํานวนของนักเรียนนักเรียนอาจใชวิธีคิดคํานวณที่แตกตางกัน ครูควรพิจารณาและยอมรับคําตอบที่สมเหตุสมผลของนักเรียน

2.2 จํานวนอตรรกยะ (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกไดวาทศนิยมที่กําหนดใหเปนทศนิยมซ้ําหรือไม 2. บอกไดวาจํานวนที่กําหนดใหเปนจํานวนอตรรกยะหรือไม 3. ยกตัวอยางจํานวนอตรรกยะได 4. บอกความเกี่ยวของระหวางจํานวนเต็ม จํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะได 5. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. เนื่องจากนักเรียนเคยรูจักและใช π ในการหาความยาวของเสนรอบวงของวงกลมและหาพื้นที่ของวงกลมมาแลว ครูอาจนําเขาสูบทเรียนโดยนําเรื่องของ π มาแนะนําเปนตัวอยางจํานวนอตรรกยะ แลวจึงแนะนําใหรูจัก 2 ซ่ึงเปนจํานวนอตรรกยะอีกจํานวนหนึ่งที่ใชบอยก็ได 2. ในการดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนหาคาประมาณของ 2 ตามหนังสือเรียน ครูอาจใหนักเรียนใชเครื่องคํานวณหาทศนิยมแสดงคา 2 ไปพรอม ๆ กับที่ครูอธิบายและแสดงใหเห็นคาประมาณที่ใกลเคียงเปนทศนิยมหลาย ๆ ตําแหนงตามที่ตองการ ครูควรยกตัวอยางทศนิยมที่ไมใชทศนิยมซ้ํา ใหนักเรียนสังเกตเห็นความแตกตางจากทศนิยมซํ้า และอาจใหนักเรียนยกตัวอยางทศนิยมที่ไมใชทศนิยมซ้ําเพิ่มเติม ครูควรใหนักเรียนอภิปรายเกี่ยวกับ π, 7

22 , 3.14, 3.141592… วาจํานวนใดเปนจํานวนตรรกยะ จํานวนใดเปนจํานวนอตรรกยะ เพราะเหตุใด

29

3. 2 และ π เปนตัวอยางของจํานวนอตรรกยะที่มีการนําไปใชงานมาก แตไมสามารถเขียนในรูปเศษสวนหรือทศนิยมซ้ําได นักเรียนจึงอาจสงสัยวาจะเขียน 2 และ π บนเสนจํานวนไดหรือไมการหาจุดบนเสนจํานวนที่แทน 2 โดยใชทฤษฎีบทพีทาโกรัส และแทน π โดยการกลิ้งรูปวงกลมที่มีเสนผานศูนยกลางยาวเทากับ 1 หนวย ที่นําเสนอไวมีเจตนาใหนักเรียนเห็นวา เราสามารถเขียนแทนจํานวนอตรรกยะ ดวยจุดบนเสนจํานวนไดเชนเดียวกับจํานวนตรรกยะ 4. สําหรับกิจกรรม “ลองคิดดู” ตองการใหนักเรียนไดอภิปรายกันและใหไดขอสรุปวา จํานวนตรงขามของจํานวนอตรรกยะบวกเปนจํานวนอตรรกยะลบ และไมมีจํานวนจริงใดที่เปนทั้งจํานวนตรรกยะและจํานวนอตรรกยะ 5. π เปนจํานวนอตรรกยะที่ใชในการคํานวณหาพื้นที่และความยาวของเสนรอบวงของวงกลมในหลายระดับชั้น แตนักเรียนอาจยังไมทราบรายละเอียดเกี่ยวกับ π กรอบความรูเร่ือง “คาของ π” จึงมุงใหนักเรียนไดความรูเกี่ยวกับ π และวิธีการคํานวณคาของ π ตั้งแตในอดีตจนถึงปจจุบัน ครูอาจใหนักเรียนหาความรูเพิ่มเติมเกี่ยวกับคาของ π จากหนา 128 – 129 ของหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 1 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2

2.3 รากที่สอง (7 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. อธิบายความหมายของรากที่สองของจํานวนจริงบวกหรือศูนยได 2. อานและใชสัญลักษณ ไดถูกตอง 3. อธิบายความสัมพันธของการยกกําลังสองและการหารากที่สองของจํานวนจริงบวกหรือศูนยได 4. หารากที่สองของจํานวนจริงที่กําหนดใหโดยการประมาณ การเปดตาราง หรือการใช เครื่องคํานวณ และนําไปใชแกปญหาได 5. อธิบายผลที่เกิดขึ้นจากการหารากที่สองของจํานวนจริงบวกหรือศูนยได 6. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการกลาวถึงรากที่สองของจํานวนจริงบวกใด ๆ หรือศูนย ครูควรจัดกิจกรรมใหนักเรียนมีความคิดรวบยอดและเห็นความแตกตางระหวางการหา “รากที่สอง” กับ “ ” ครูอาจแนะใหนักเรียนเรียกจํานวน เชน 2 วา กรณฑที่สองของ 2 และเรียก 2- วาลบกรณฑที่สองของ 2 2. ในการเรียนการสอนหากนักเรียนเขียนคําตอบของรากที่สองอยูในรูปที่มีเครื่องหมายกรณฑเชน ตอบวารากที่สองของ 81 คือ 81 และ 81- ครูก็ไมควรถือวาผิด ถึงแมวาจะไมใชคําตอบที่

30

สมบูรณ เพื่อใหนักเรียนไดตระหนักถึงคําตอบในกรณีเชนนี้ที่นิยมเขียนเปนจํานวนเต็ม ครูจึงควรย้ําใหนักเรียนพิจารณาและตรวจสอบวาสามารถหาคําตอบเปนจํานวนเต็มไดหรือไม ถาไดก็ควรตอบเปนจํานวนเต็ม 3. สําหรับกิจกรรม “ทําไดหรือไม” มีเจตนาใหนักเรียนเห็นความแตกตางของคําสั่งเกี่ยวกับรากที่สอง ครูควรฝกใหนักเรียนอานโจทยอยางชา ๆ และตีความหมายโจทยใหถูกตอง 4. สําหรับแบบฝกหัด 2.3 ก ขอ 3 ไมตองการใหครูสอนการหาคําตอบดวยวิธีการแกสมการโดยใชสมบัติของการเทากัน แตตองการใหใชบทนิยามมาวิเคราะหหาคําตอบ เชน

x2 = 9 (จํานวนที่ตองการ (x) คือ จํานวนที่ยกกําลังสองแลวได 9) x = 5 (จํานวนที่ตองการ (x) คือ จํานวนซึ่งมีรากที่สองเปน 5 ซ่ึงจะหาไดงาย โดยหากําลังสองของ 5) 5. การหาคารากที่สองของจํานวนนับที่กําหนดใหโดยวิธีแยกตัวประกอบจะกลาวถึงเฉพาะคําตอบที่เปนจํานวนเต็ม ครูจึงควรระมัดระวังในการใหโจทยเพิ่มเติม อยาใหโจทยมีคําตอบที่ตองเขียนอยูในรูปที่มีเครื่องหมายกรณฑ เชน 32 6. การหารากที่สองโดยการประมาณ มีขอสังเกตสําหรับครูวาในหนังสือเรียนไดใหตัวอยางจํานวนเต็มที่นักเรียนสามารถบอกไดอยางรวดเร็ววา รากที่สองที่ประมาณเปนจํานวนเต็มคือจํานวนใดในการหาคําตอบลักษณะนี้ ครูควรตรวจสอบวานักเรียนไดใชความรูสึกเชิงจํานวนมาชวยในการหาคําตอบดวยหรือไม

7. สําหรับกิจกรรม “คาประมาณของรากที่สอง” มุงเนนใหนักเรียนใชวิธีการเดียวกันกับการประมาณคา 2 ในการประมาณรากที่สองของจํานวนเต็มบวกเปนทศนิยมตําแหนงตาง ๆ 8. สําหรับกิจกรรม “ดูตารางรากที่สอง” มีเจตนาใหนักเรียนใชความเขาใจเรื่องรากที่สองแกปญหา เชน ใหหาคา n เมื่อ n = 5041 นักเรียนไมสามารถหา n จากตาราง แตนักเรียนตองดูชองn2 วาแถวใดคือ 5041 จะได n ของแถวนั้นเปนคําตอบของ 5041 ซ่ึงเปนความสัมพันธระหวางการยกกําลังสองกับการหารากที่สอง 9. สําหรับกิจกรรม “เปนจริงหรือไม” มีเจตนาเพื่อตรวจสอบความรูความเขาใจเกี่ยวกับรากที่สองและเพื่อฝกทักษะการใชความรูสึกเชิงจํานวนชวยในการหาคําตอบ 10. สําหรับกิจกรรม “คิดไมยาก” มีเจตนาที่จะใหนักเรียนแกปญหาโดยใชวิธีการใดก็ได เชนการแยกตัวประกอบ การเปดตาราง หรือการใชเครื่องคํานวณหรือจะใชมากกวา 1 วิธีก็ได แตวิธีที่สะดวกคือเปดตารางทายเลม 11. สําหรับกิจกรรม “คิดไดไหม” มีเจตนาเชื่อมโยงความรูกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซ่ึงอาจมีนักเรียนบางคนสังเกตพบคําตอบบางขอจากหนาปกของหนังสือเรียน ก็ถือวาเปนเรื่องที่ดี

31

12. เมื่อจบหัวขอการหารากที่สอง นักเรียนควรเขาใจวาการหารากที่สองแตละวิธีมีขอดีและขอจํากัดตางกัน นักเรียนจึงตองมีทักษะในการตัดสินใจเลือกใชวิธีหารากที่สองใหเหมาะสมกับขอมูล และเครื่องมือที่ตนมีอยู 13. ครูควรใหนักเรียนอภิปรายเพื่อหาขอสรุปวา รากที่สองของจํานวนจริงที่กําหนดใหอาจนอยกวา มากกวาหรือเทากับจํานวนนั้นก็ได เชน 4 = 2 และ 2 < 4 ดังนั้น 4 < 4 0 = 0 และ 0 = 0 ดังนั้น 0 = 0 01.0 = 0.1 แต 0.1 > 0.01 ดังนั้น 01.0 > 0.01 2.4 รากที่สาม (6 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. อธิบายความหมายของรากที่สามของจํานวนจริงได 2. อานและใชสัญลักษณ 3 ไดถูกตอง 3. อธิบายความสัมพันธของการยกกําลังสามและการหารากที่สามของจํานวนจริงได 4. หารากที่สามของจํานวนจริงที่กําหนดใหโดยการแยกตัวประกอบ การเปดตาราง หรือการใช เครื่องคํานวณ และนําไปใชแกปญหาได 5. อธิบายผลที่เกิดขึ้นจากการหารากที่สามของจํานวนจริงได 6. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.4

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรใหนักเรียนอภิปรายในประเด็นตอไปนี้ 1.1 เพราะเหตุใดจึงไมสามารถหา x เมื่อ x เปนจํานวนลบแตสามารถหา 3 x เมื่อ x เปนจํานวนจริงลบได 1.2 จํานวนคําตอบของรากที่สองและรากที่สามของจํานวนที่กําหนดให 2. แบบฝกหัด 2.4 ก ขอ 3 มุงใหนักเรียนเห็นความแตกตางระหวางการหารากที่สามของจํานวนจริงใด ๆ และการหาจํานวนใด ๆ เมื่อทราบรากที่สามของจํานวนนั้น ซ่ึงนักเรียนตองคิดโดยใชความสัมพันธระหวางการยกกําลังสามกับการหารากที่สาม การหาคําตอบของขอ 3 ไมตองการใหครูสอนการหาคําตอบดวยวิธีการแกสมการโดยใชสมบัติของการเทากัน แตครูควรใหนักเรียนวิเคราะหและพิจารณาหาคําตอบ ดังเชน

32

x3 = 216 (จํานวนที่ตองการ (x) คือ จํานวนที่ยกกําลังสามแลวได 216) 3 x = -7 (จํานวนที่ตองการ (x) คือ จํานวนที่มีรากที่สามเปน -7 ซ่ึงจะหาไดงาย โดยหากําลังสามของ -7) 3. สําหรับกิจกรรม “ดูตารางรากที่สาม” เชน ใหหา 3 4096 นักเรียนตองใชความรูเกี่ยวกับความสัมพันธของการยกกําลังสามและการหารากที่สาม ครูควรแนะนําใหนักเรียนดูที่ชอง n3 วาแถวใดมีคา 4096 จะได n ของแถวนั้นเปนคําตอบของ 3 4096 4. กิจกรรม “จริง – ไมจริง” มุงใหนักเรียนใชความรูเร่ืองรากที่สามในการตอบคําถามและใหเหตุผล โดยเฉพาะขอ 12 ที่ตองการใหนักเรียนเห็นวารากที่สามของจํานวนจริงอาจนอยกวา มากกวา หรือเทากับตัวเองได เชน

3 8 = 2 และ 2 < 8 ดังนั้น 3 8 < 8 3 0 = 0 และ 0 = 0 ดังนั้น 3 0 = 0 3

271 = 3

1 แต 31 > 27

1 ดังนั้น 3271 > 27

1

5. สําหรับกิจกรรม “ระนาบจริง” เจตนาเพื่อเพิ่มเติมความรูที่นักเรียนเคยมีเกี่ยวกับเสนจํานวนและระนาบครอบคลุมถึงตําแหนงที่แทนจํานวนอตรรกยะบนเสนจํานวน ในการหาตําแหนงของจุดที่มีพิกัดเปนจํานวนอตรรกยะ เชน )3 ,2( ครูควรใหนักเรียนเขียนรองรอยแสดงการหาตําแหนงของจุดดังกลาวประกอบดวย เชน จุด R )3- ,2( ที่เสนอไวในคําตอบกิจกรรม “ระนาบจริง” แสดงรองรอยการหา 2 และ 3 โดยการสรางสวนของเสนตรงใหยาวเทากับ 2 และ 3 บนเสนจํานวนและนําความยาวที่เทากับ 2 และ 3 มาใชหาตําแหนงของจุด R ที่มีพิกัดเปน R )3- ,2(ในจตุภาคที่ 4 6. สําหรับกิจกรรม “ลูกบาศกมหัศจรรย” มุงใหนักเรียนไดใชความรูเกี่ยวกับรากที่สามโดยการวิเคราะหหาจํานวนที่ทําใหไดผลลัพธสอดคลองกับเงื่อนไขโจทย 7. หลังจบบทเรียนแลว ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 2.4 เพื่อเปนการนําความรูเกี่ยวกับจํานวนจริงไปใชในการแกปญหา

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบกิจกรรม “มารูจักจํานวนตรรกยะกันเถอะ”

1. ได 2. ได 3. ได 4. เปน เพราะจํานวนเต็ม a ที่กําหนดให สามารถเขียนแทนไดดวยเศษสวน 1

a

33

5. ไมสามารถบอกได 6. ไมมี 7. ไมมี 8. ไมมี 9. ไมมี

คําตอบกิจกรรม “นาคิด”

เปน เพราะ ab เขียนแทนไดดวยเศษสวนที่ทั้งตัวเศษและตัวสวนเปนจํานวนเต็มซึ่ง

ไมเทากับศูนย

คําตอบแบบฝกหัด 2.1

1. 1)

⋅6.0 2) -1.875

3) ⋅3458.1 4)

⋅⋅45.0

5) ⋅⋅8703.0- 6)

⋅⋅504.0

2. 1) 9

7 2) 9047

3) 3316 4) 55

13

3. 1) เปน เพราะ เขียนไดเปน 5

11

2) เปน เพราะ เขียนไดเปน 1332

3) เปน เพราะ ไดผลลัพธเปน 2129

4) เปน เพราะ ไดผลลัพธเปน -8.37 5) เปน เพราะ ไดผลลัพธเปน 3.22

6) เปน เพราะ ไดผลลัพธเปน 1415

7) เปน เพราะ เขียนไดเปน 1156-

34

8) เปน เพราะ เขียนไดเปน 303-

4. ปาซื้อไดถูกกวา เพราะ แมซ้ือผลละ ⋅3.0 แตปาซื้อไดผลละ 0.33 บาท

5. ตัวอยางคําตอบ ซ้ือคร่ึงโหล เพราะ ถาซื้อคร่ึงโหลราคาตออันจะถูกกวา 6. 1)

⋅3.108 บาท

2) ไมได เพราะ เหรียญที่มีหนวยเปนสตางคและใชแลกเปลี่ยนกันในทองตลาดคือ 25 สตางค และ 50 สตางค ไมสามารถรวมกันเปน 33 สตางค หรือ

⋅3.0 บาท ได

3) อาจใชการปดขึ้นหรือลงเพื่อใหไดผลรวมเปน 325 บาท เชน 108.25 108.25 และ 108.50 หรือ 108.50 108.50 และ 108.00 หรือ 109 109 และ 107 หรืออาจปดเปนจํานวน ชุดอื่นตามที่นักเรียนจะคิดได 7. ตัวอยางคําตอบ 1) น้ํามันเบนซินออกเทน 95 ราคาลิตรละ 21.79 บาท 2) กิ่งและกอยแบงน้ําเปลากันคนละคร่ึงขวด

คําตอบกิจกรรม “เปนจํานวนตรรกยะหรือไม”

1. เปน 2. เปน 3. เปน 4. เปน

คําตอบกิจกรรม “หาไดอยางไร”

ผืนละ 45.75 บาท หาคําตอบโดยนํา 15 ไปคูณ 4 จะได 60 ตัวเลขขางหนาสุดจึงเปน 6 จากนั้นจึงนํา 15 ไปหาร 686.2 จะไดตัวเลขขางหลังสุดเปน 5 และไดผลลัพธเปน 45.75

35

คําตอบกิจกรรม “ลองคิดดู”

1. เปน 2. เปน 3. ไมมี

คําตอบแบบฝกหัด 2.2

1. 1) ตรรกยะ 2) ตรรกยะ

3) ตรรกยะ 4) ตรรกยะ5) ตรรกยะ 6) ตรรกยะ7) อตรรกยะ 8) ตรรกยะ9) ตรรกยะ 10) อตรรกยะ

2. ⋅61391.153 บาท เปนจํานวนตรรกยะ

คําตอบกิจกรรม “ทําไดหรือไม”

1. 0, 1, 9, 16, 91 , 0.04, 6, 5

2

2. 1 และ -1 3 และ -3 5 และ -5 7

2 และ 72-

0.04 และ -0.04 1.1 และ -1.1 8 และ 8-

36

คําตอบแบบฝกหัด 2.3 ก

1. 1) 14 และ -14 2) 27 และ -27 3) 36 และ -36 4) 110 และ 110- 5) 115 และ 115- 6) 7

3 และ 73-

7) 115 และ 11

5- 8) 20715 และ 207

15- 9) 0.08 และ -0.08 10) 0.012 และ -0.01211) 0116.0 และ 0116.0- 12) 40.0 และ 40.0-

2. 1) 25 2) -51 3) 3.6 4) -0.06 5) 25

9- 6) 19

7) 1712 8) -0.037

3. 1) 6 และ -6 2) 0.09 และ -0.09

3) 0 4) 81 5) 0.0625 6) 9

4

คําตอบกิจกรรม “คาประมาณของรากที่สอง”

1. 1) 3 2) 5

3) 11 4) -15 2.

1) 2.65 2) 4.47 3) 5.57 4) 7.28

37

คําตอบกิจกรรม “ดูตารางรากที่สอง”

1. 1) 4 2) 4.243 3) 17 4) 18

2. 1) 4.472 2) 39 3) 76 4) 71 5) 5.099 6) 31

คําตอบกิจกรรม “เปนจริงหรือไม”

1. ไมจริง เพราะ รากที่สองของ 25 คือ 5 และ -5 2. ไมจริง เพราะ รากที่สองที่เปนบวกของ 25 คือ 5 เทานั้น 3. ไมจริง เพราะ ไมมีจํานวนเต็มใดที่ยกกําลังสองแลวได -16 4. ไมจริง เพราะ 4

1 = 21 และ 2

1 > 41

5. จริง เพราะ 01.0 = 0.1 และ 0.1 > 0.01 6. จริง เพราะ 04.0 = 0.2 และ 0004.0 = 0.02 จะได 0.2 > 0.02 7. ไมจริง เพราะ เมื่อใชคาประมาณของ 2 คือ 1.414 และคาประมาณของ 3

คือ 1.732 จะได 2 + 3 ≈ 1.414 + 1.732 = 3.146 แต คาประมาณของ 5 คือ 2.236

8. ไมจริง เพราะ 27 = 7 และ 2)7-( = 7 9. ไมจริง เพราะ 22- = 4- และไมมีจํานวนเต็มใดที่ยกกําลังสองแลวได -410. ไมจริง เพราะ ถา x2 = 4 แลว x = 2 หรือ x = -211. จริง เพราะ 32 = 912. ไมจริง เพราะ รูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบางรูปมีพื้นที่เปนจํานวนคี่ แตมีความยาวของแตละ

ดานไมเปนจํานวนคี่ เชน มีพื้นที่เปน 3 ตารางหนวย มีความยาวของแตละ ดานเปน 3 หนวย

38

คําตอบกิจกรรม “คิดไมยาก”

3,741

คําตอบแบบฝกหัด 2.3 ข

1. 1) 51 2) 55

3) 65 4) 70 5) 78 6) 90

2. 6 และ 9 ตามลําดับ 3. 15.8 4.

1) 27.71 2) -97.89 3) 2.87 4) -60.97

5. 4.12 เซนติเมตร 6. ประมาณ 18 เซนติเมตร 7. ประมาณ 35.36 หนวย 8. ประมาณ 7.07 หนวย 9. ตองหาความยาวของผนังหอง ซ่ึงได 18 เมตร หรือประมาณ 4.24 เมตร จุดกึ่งกลางผนังอยูหาง จากมุมหองประมาณ 2

24.4 หรือ 2.12 เมตร10. ไมได เพราะ รูปสี่เหล่ียมจัตุรัสมีดานแตละดานยาวประมาณ 12.41 เซนติเมตร และรูปวงกลม มีเสนผานศูนยกลางยาว 14 เซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “คิดไดไหม”

1. 3 หนวย 2. OJ 3. 20 หนวย

39

คําตอบแบบฝกหัด 2.4 ก

1. 1) 3 2) 3 40

3) 8 4) 3 650 5) 4

3- 6) 96

7) 35018 8) 0.2

9) 3 05.0 10) 0.09

2. 1) 5 2) 7 3) 2 4) 5

4

5) 83- 6) -0.2

7) -0.6 8) 0.03

3. 1) 6 2) 3 350

3) 0.3 4) 3 49.0- 5) 0 6) -343 7) 125

8 8) 2.197

คําตอบกิจกรรม “ดูตารางรากที่สาม”

1. 1) 2.759 2) 22 3) 19 4) 10,648

2. 1) 2.924 2) 12 3) 50 4) -4.309 5) 2.351 6) 16 7) -22

40

คําตอบกิจกรรม “จริง – ไมจริง”

1. ไมจริง เพราะ รากที่สามของ 64 คือ 4 เทานั้น 2. ไมจริง เพราะ 3 27-- = 3 3. จริง เพราะ 8 ≈ 2.83 และ 3 8 = 2 4. ไมจริง เพราะ 3

81 = 2

1 และ 21 > 8

1

5. จริง เพราะ 3 064.0 = 0.4 และ 0.4 > 0.064 6. ไมจริง เพราะ 3 32 = 2 แต 3 3)2-( = -2 7. ไมจริง เพราะ 3 3 + 3 5 ≈ 3.152 แต 3 8 = 2 8. ไมจริง เพราะ ถา x3 = 2 แลว x = 3 2 9. ไมจริง เพราะ ถา 3 x = 8 แลว x = 83 = 512 10. จริง เพราะ รากที่สามของ 125 คือ 511. ไมจริง เพราะ รากที่สามของจํานวนคู อาจไมเปนจํานวนคู เชน 3 1612. ไมจริง เพราะ รากที่สามของจํานวนจริงใด ๆ อาจเทากับจํานวนจริงนั้น เชน

3 0 = 0

คําตอบแบบฝกหัด 2.4 ข

1. 1) -1 2) 3 20 3) 3 116 4) -12 5) 3

752 6) 7

3-

7) 1513- 8) -0.4

9) 0.07 10) 3 180.0 2. 1) -6 2) 6.4 3) 50 4) -39 5) 0.04 3. 12 นิ้ว 4. 3 นิ้ว

41

5. ไมถูกตอง เพราะ บอเดิมมีปริมาตร 1 ลูกบาศกเมตร มีความกวาง ยาว และลึก 1 เมตร ถาขุดบอมีความกวาง ยาว และลึกเปน 2 เมตร จะมีปริมาตรเปน 8 ลูกบาศกเมตร ซ่ึงไมเปน สองเทาของหนึ่งลูกบาศกเมตร ขนาดของบอใหมจะตองมีความกวาง ยาว และลึกเปน 3 2 เมตร หรือประมาณ 1.260 เมตร 6. ของออม เพราะ 33 = 27 และ 43 = 64 จึงไดวา 33 ใกลเคียง 30 มากกวา

คําตอบกิจกรรม “ระนาบจริง”

0 1 2 3 4-1-2-3-4

3

11

2

R )- ,( 32

Q ) ,-( 23

0 1 2 3-1-2-3-1

-2

-3

1

2

3

X

Y

2

2- 3

- 3

P ) ,( 22

S )- ,-( 33

42

22

11

18

27

25

7 21

8 19

1 17

23 16

10 26

13 20

6

3

14

15

24

129

2

4

5

คําตอบกิจกรรม “ลูกบาศกมหัศจรรย”

43

กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

44

กิจกรรมเสนอแนะ 2.1

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนสังเกตแบบรูปการเขียนทศนิยมซ้ําบางแบบที่ไมใชทศนิยมซํ้าศูนยใหเปนเศษสวนไดอยางรวดเร็ว

1. ใหนักเรียนพิจารณาการแปลงทศนิยมซ้ําเปนเศษสวนจากตัวอยางที่กําหนดใหแลวเขียนคําตอบเติมในชองวางในตารางตอไปนี้

ชุดที่ 1 ชุดที่ 2 ชุดที่ 3ทศนิยมซ้ํา เศษสวน ทศนิยมซ้ํา เศษสวน ทศนิยมซ้ํา เศษสวน

1) ⋅1.0 9

1 1) ⋅⋅21.0 99

12 1) ⋅⋅432.0 990

2 234 − หรือ 990223

2) ⋅2.0 9

2 2) ⋅⋅53.0 99

35 2) ⋅⋅615.0 990

5 516 − หรือ 990511

3) ⋅3.0 9

3 3) ⋅⋅46.0 99

64 3) ⋅⋅568.0 990

8 865 − หรือ 990657

4) ⋅4.0 ....................... 4)

⋅⋅15.0 ....................... 4)

⋅⋅194.0 ..............................................

5) ⋅7.0 ....................... 5)

⋅⋅57.0 ....................... 5)

⋅⋅837.0 ..............................................

6) ⋅8.0 ....................... 6)

⋅⋅38.0 ....................... 6)

⋅⋅719.0 ..............................................

2. ใหนักเรียนใชแบบรูปการแปลงทศนิยมซ้ําเปนเศษสวนที่สังเกตเห็นจากการตอบในขอ 1 แปลงทศนิยมซ้ําตอไปนี้ใหเปนเศษสวน 1)

⋅⋅613.0 2)

⋅⋅1835.0

3) ⋅⋅2407.3 4)

⋅⋅6543.1

45

คําตอบกิจกรรมเสนอแนะ 2.1

1. ชุดที่ 1 94 , 9

7 และ 98

ชุดที่ 2 9951 , 99

75 และ 9983

ชุดที่ 3 9904 491− หรือ 990

874

9907 738 − หรือ 990

731

9909 917 − หรือ 990

908

2. 1) 999

316 2) 990035 3581− หรือ 9900

3546

3) 999974023 4) 9990

34531

แนวคิด ⋅⋅6543.1 = 1 + 9990

3 3456 −

46

กิจกรรมเสนอแนะ 2.4

กิจกรรมนี้เสนอไวเพื่อใหนักเรียนไดนําความรูเร่ืองจํานวนตรรกยะ อตรรกยะ รากที่สองและรากที่สาม ไปใชในการแกปญหา

1. ครูจัดเตรียมบัตรคําเปน 2 กลุม เขียนขอความในบัตรคํากลุมที่หนึ่งและกลุมที่สองให สัมพันธกัน ดังตัวอยางตอไปนี้

กลุมที่หนึ่งเปนบัตรคําถาม กลุมที่สองเปนบัตรคําตอบ

หนาบัตร หลังบัตร

ครูเตรียมจํานวนบัตรทั้งสองกลุมใหมีจํานวนเทา ๆ กัน และตองระวังมิใหบัตรมีคําตอบซ้ํากัน 2. ครูแบงนักเรียนเปน 2 กลุม จํานวนเทากัน กลุมหนึ่งเปนฝายคําถาม อีกกลุมหนึ่งเปนฝายคําตอบ ใหนักเรียนถือบัตรไวคนละ 1 ใบ 3. ครูสุมเรียกนักเรียน 1 คน จากฝายคําถาม ชูหนาบัตรที่เปนตัวเลขใหเพื่อน ๆ ดู พรอมกับอานคําถามหลังบัตร 4. ใหนักเรียนที่ถือบัตรคําตอบออกมายืนคูกันหนาหอง เพื่อใหเพื่อน ๆ ตรวจสอบความถูกตอง ทําเชนนี้เร่ือย ๆ ไปตามเวลาที่มีในชั้นเรียน

2x = 3

⋅⋅284.0

3 0

จงหาคําตอบของสมการ 2x = 3

⋅⋅284.0 เปนจํานวน

ตรรกยะหรืออตรรกยะ

กรณฑที่สามของ 0เปนเทาไร

3 และ -3

จํานวนตรรกยะ

0