บทที่ 4เสนขนาน (18 ช่ัวโมง)

4.1 เสนขนานและมุมภายใน (4 ช่ัวโมง) 4.2 เสนขนานและมุมแยง (4 ช่ัวโมง) 4.3 เสนขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน (4 ช่ัวโมง) 4.4 เสนขนานและรูปสามเหลี่ยม (6 ช่ัวโมง)

นักเรียนเคยเรียนรูเกี่ยวกับเสนขนานและสมบัติบางประการของเสนขนานมาแลว ในบทนี้จะเพิ่มเติมความรูเกี่ยวกับสมบัติของเสนขนานและการนําสมบัติเหลานั้นไปใชในการใหเหตุผลเกี่ยวกับขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม ซ่ึงสามารถนําไปใชในการใหเหตุผลอยางตอเนื่องเกี่ยวกับเงื่อนไขของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – มุม – ดาน ลักษณะการนําเสนอสาระในแตละหัวขอ จะมีกิจกรรมสํารวจที่เกี่ยวของกับสมบัติของเสนขนานซึ่งเปนทั้งทฤษฎีบทและบทกลับของทฤษฎีบทเหลานั้น ครูควรใหนักเรียนไดสรางขอความคาดการณจากผลการสํารวจแลวเขียนขอสรุปเปนทฤษฎีบท พรอมทั้งทําความเขาใจเกี่ยวกับขอความที่มีคําวา “ก็ตอเมื่อ” ในทฤษฎีบทดวย สําหรับแบบฝกหัดในบทนี้ตองการฝกใหนักเรียนรูจักใหเหตุผลบางเพียงเพื่อเปนพื้นฐานในการพิสูจนในชั้นตอไป ถึงแมวาโจทยแบบฝกหัดบางขอจะเปนการคํานวณหาขนาดของมุมตาง ๆ ครูก็อาจนําโจทยเหลานั้นมาใหนักเรียนไดบอกเหตุผลและเรียนรูรวมกันในชั้นเรียนดวย การเขียนคําอธิบายหรือการใหรายละเอียดในการบอกเหตุผลใหอยูในดุลพินิจของครู สําหรับตัวอยางการอางเหตุผลที่นําเสนอในหนังสือเรียนจะอางโดยใชขอความที่เปนทฤษฎีบท หรือสมบัติที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว ซ่ึงเปนการอางเหตุผลที่นิยมใชกันโดยทั่วไป อีกทั้งเพื่อใหนักเรียนคุนเคยและจดจําขอความนั้น ๆ ได

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป1. บอกสมบัติของเสนขนาน และบอกเงื่อนไขที่ทําใหเสนตรงสองเสนขนานกัน

2. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – มุม – ดาน เทากันทุกประการ 3. ใชสมบัติเกี่ยวกับเสนขนานและความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมในการ ใหเหตุผลและแกปญหาได

63

แนวทางในการจัดการเรียนรู

4.1 เสนขนานและมุมภายใน (4 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ 1. บอกบทนิยามของเสนขนานได 2. บอกไดวา ถาเสนตรงสองเสนขนานกัน แลวระยะหางระหวางเสนตรงคูนั้นจะเทากันเสมอ 3. บอกไดวา ถาเสนตรงสองเสนมีระยะหางระหวางเสนตรงเทากันเสมอ แลวเสนตรงคูนั้นจะ ขนานกัน 4. บอกไดวา มุมคูใดเปนมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด เมื่อกําหนดใหเสนตรง เสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง 5. บอกไดวา เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ ขนาด ของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดรวมกันเทากับ 180 องศา และนําสมบัตินี้ ไปใชได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูใหนักเรียนยกตัวอยางสิ่งตาง ๆ ในสิ่งแวดลอมรอบตัวที่มีลักษณะของเสนขนานบนระนาบเดียวกัน เพื่อนําเขาสูบทนิยามของการขนานกันของเสนตรง ครูควรชี้แจงใหนักเรียนเห็นวา บทนิยามดังกลาวนี้สามารถนําไปใชกับการขนานกันของสวนของเสนตรงและรังสี เมื่อสวนของเสนตรงและรังสีนั้นเปนสวนหนึ่งของเสนตรงที่ขนานกัน 2. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน เพื่อใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดเกี่ยวกับระยะหางระหวางเสนขนาน ครูอาจทบทวนความรูและทําความเขาใจเพิ่มเติมกับนักเรียนใน 2 ประเด็น ดังนี้ 1) ระยะหางระหวางจุดจุดหนึ่งกับเสนตรงจะหมายถึง ความยาวของสวนของเสนตรงที่ ลากจากจุดนั้นไปตั้งฉากกับเสนตรง ดังรูป

จากรูป PQ ตั้งฉากกับ AB จะได PQ คือระยะหางระหวางจุด P กับ AB

P

A Q B

64

2) เมื่อกลาวถึงระยะหางระหวางเสนขนานที่กลาววา มีระยะหางระหวางเสนตรง เทากันเสมอนั้น ในการตรวจสอบการเทากันของระยะหางของเสนขนานนี้ ในทางปฏิบัติ จะวัดหาระยะหางจากจุดที่แตกตางกันอยางนอยสองจุดบนเสนตรง เสนหนึ่งไปยังเสนตรงอีกเสนหนึ่งก็เปนการเพียงพอแลว ทั้งนี้เนื่องจากมีเสนตรงเพียง เสนเดียวเทานั้นที่ลากผานจุดสองจุดที่กําหนดใหได 3. สําหรับกิจกรรม “เสนตรงคูใดขนานกัน” เปนกิจกรรมที่ทําใหนักเรียนเกิดความตระหนักวาในการตรวจสอบวาเสนตรงคูใดขนานกันหรือไม ถาใชบทนิยามของเสนขนานโดยตรงหรือพิจารณาจากระยะหางระหางเสนตรงทั้งสองนั้นอาจไมสะดวก จึงใชกิจกรรมนี้นําเขาสูการตรวจสอบโดยใชวิธีการอื่นเชน ตรวจสอบจาก ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดของเสนตรงสองเสนที่กําหนดใหนั้น 4. ในกิจกรรม “ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด” สําหรับกิจกรรมขอ 3 ตองการใหนักเรียนสรางขอความคาดการณจากกิจกรรมขอ 1 และขอ 2 เพื่อใหไดผลสรุปเกี่ยวกบัผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด กิจกรรมนี้ไดเชื่อมโยงสมบัติของเสนขนานที่เปนประโยคเงื่อนไข “ถา…แลว…” สองประโยคเปนทฤษฎีบทที่ใชคําวา “ก็ตอเมื่อ”ซ่ึงความรูในสวนนี้ เคยกลาวไวแลวในสาระการเรียนรูเพิ่มเติม ม.1 เลม 2 เร่ืองการเตรียมความพรอมในการใหเหตุผล จึงอาจมีนักเรียนบางคนไมไดเรียนเนื้อหานี้มากอน ครูจึงตองใหความรูเพิ่มเติมกับนักเรียนกลุมนี้และอาจทบทวนความรูกับกลุมนักเรียนที่เคยรูจักคํานี้มาแลว ดังนั้นในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ครูจะตองใหนักเรียนเขาใจความหมายของทฤษฎีบทและบทกลับของทฤษฎีบทนั้น พรอมทั้งชี้ใหเห็นวา เมื่อพบขอความที่ตองพิสูจนมีคําวา“ก็ตอเมื่อ” เชื่อมขอความอยู เราจะตองแยกขอความนั้นเปนประโยคเงื่อนไขสองประโยคแลวพิสูจนวาทั้งสองประโยคเปนจริง จึงจะถือวาเปนการพิสูจนขอความที่มีคําวา “ก็ตอเมื่อ” ซ่ึงขอความเหลานี้มักเปนทฤษฎีบทที่มีบทกลับ เชน ทฤษฎีบทที่กลาววา “เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่งเสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดรวมกันเทากับ 180 องศา” 5. หลังจากนักเรียนไดเรียนตัวอยางที่ 4 แลว ครูควรสรุปใหนักเรียนเห็นวาการขนานกันของเสนตรงมีสมบัติถายทอด เมื่อมีเสนตรงสามเสนขนานกันก็จะไมใชสัญลักษณ เชน AB // CD // EF แตจะใชขอความวา AB, CD และ EF ขนานกัน 6. สําหรับแบบฝกหัด 4.1 มีโจทยบางขอไดเชื่อมโยงความรูโดยใชสมการมาชวยหาขนาดของมุมที่เกี่ยวกับเสนขนาน ครูควรประเมินโดยการสังเกตวา นักเรียนสามารถเชื่อมโยงความรูดังกลาวนี้ไดหรือไม

65

4.2 เสนขนานและมุมแยง (4 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ 1. บอกไดวามุมคูใดเปนมุมแยง เมื่อกําหนดใหเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง 2. บอกไดวาเมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมแยงมี ขนาดเทากัน และนําสมบัตินี้ไปใชได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในหัวขอนี้ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นการเชื่อมโยงสาระวา การพิจารณาหรือตรวจสอบวาเสนตรงสองเสนขนานกันหรือไม นอกจากจะใชความรูเกี่ยวกับเสนขนานและขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด มาตรวจสอบแลวยังสามารถใชสมบัติของมุมแยงมาตรวจสอบได ดังกิจกรรมที่เสนอไวในหัวขอนี้ 2. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน เพื่อใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดเกี่ยวกับลักษณะของมุมแยงและขนาดของมุมแยง ครูควรกลาวถึงในประเด็นตอไปนี้ 1) มุมแยงที่เกิดจากเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง อาจเกิดจากเสนตรงที่ขนานกัน หรือไมขนานกันก็ได 2) มุมแยงที่มีขนาดเทากันจะตองเกิดจากเสนตรงที่ขนานกันเทานั้น ดังนั้นเมื่อกลาวถึง มุมแยงทั่ว ๆ ไป จะสรุปวามีขนาดเทากันไมได 3) การอางดวยสมบัติของมุมแยง ควรเขียนขอความของสมบัตินั้นใหสมบูรณ ไมควร เขียนอางวา “เพราะเปนมุมแยง” หรือเขียนวา “มุมแยงยอมมีขนาดเทากัน” 4) การพิสูจนทฤษฎีบทที่กลาววา “เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้น ขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมแยงมีขนาดเทากัน” จะตองรูวาประโยคนี้คือประโยคเงื่อนไข “ถา…แลว…” สองประโยคไดแก (1) ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน (2) ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยงมีขนาดเทากัน แลว เสนตรงคูนั้นขนานกัน

66

ความรูเพิ่มเติมสําหรับครู

มุมแยงที่กลาวถึงในบทเรียนเปนมุมแยงภายใน (alternate interior angles) ในทางคณิตศาสตรกําหนดมุมแยง เปนดังนี้ กําหนดให EF เปนเสนตัด AB และ CD ดังรูป

∧2 และ

∧8 เปนมุมแยงภายนอก (alternate exterior angles)

∧1 และ

∧7 เปนมุมแยงภายนอก

∧3 และ

∧5 เปนมุมแยงภายใน

∧4 และ

∧6 เปนมุมแยงภายใน

เนื่องจาก ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน จึงทําใหได ∧1 =

∧3 ,

∧2 =

∧4 ,

∧5 =

∧7 และ

∧6 =

∧8

ดังนั้นสมบัติตาง ๆ ของเสนขนานที่เกี่ยวกับมุมแยงภายใน จึงยังคงเปนจริงสําหรับมุมแยงภายนอกดวย หนังสือหลายเลมเมื่อกลาวถึงสมบัติตาง ๆ ของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยง จึงไมระบุวาเปนมุมแยงภายในหรือมุมแยงภายนอก

1

8

A B

DC

243

756

E

F

67

4.3 เสนขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน (4 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ 1. บอกไดวา มุมคูใดเปนมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัด เมื่อ กําหนดใหเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง 2. บอกไดวา เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน และนํา สมบัตินี้ไปใชได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนในหัวขอนี้ ก็ทําเชนเดียวกันกับหัวขอ 4.2 นักเรียนจะตองเกิดความคิดรวบยอดวา ในการตรวจสอบวาเสนตรงสองเสนขนานกันหรือไมนั้น นอกจากจะตรวจสอบโดยใชผลบวกของขนาดของมุมภายในหรือพิจารณาขนาดของมุมแยงแลว ยังสามารถตรวจสอบไดอีกวิธีหนึ่งโดยใชความสัมพันธของขนาดของมุมภายนอกและมุมภายใน ตามกิจกรรมที่เสนอไวในหัวขอนี้ 2. การพิสูจนทฤษฎีบท “ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัด มีขนาดเทากัน” วิธีพิสูจนที่นําเสนอในหนังสือเรียนใชสมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยง ครูอาจแนะนําใหนักเรียนพิสูจนโดยใชสมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับผลบวกของขนาดมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด เพื่อใหเห็นความหลากหลายของวิธีการพิสูจนก็ได ดังการพิสูจนตอไปนี้

กําหนดให AB // CD มี EF เปนเสนตัดตองการพิสูจนวา ∧

1 = ∧5 ,

∧2 =

∧6 ,

∧7 =

∧3 และ

∧8 =

∧4

1

8

A B

DC

243

75 6

E

F

68

พิสูจน AB // CD (กําหนดให)

∧5 +

∧3 = 180o (ขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของ

เสนตัดเสนขนาน รวมกันเทากับ 180o)

∧1 +

∧3 = 180o (ขนาดของมุมตรง)

∧1 +

∧3 =

∧5 +

∧3 (สมบัติของการเทากัน)

ดังนั้น ∧1 =

∧5 (นํา

∧3 มาลบทั้งสองขางของสมการ)

การพิสูจนวา ∧2 = ∧6 , ∧7 = ∧3 และ ∧8 = ∧4 อาจใหนักเรียนลองพิสูจนโดยใชสมบัติ

ดังตัวอยางขางตนก็ได ในทํานองเดียวกันการพิสูจนทฤษฎีบท “ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน”วิธีพิสูจนที่นําเสนอไวในหนังสือเรียน ใชสมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด ครูอาจแนะนําใหนักเรียนพิสูจนโดยใชสมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยงดังการพิสูจนตอไปนี้

กําหนดให EF ตัด AB และ CD ทําให EXA∧

= XYC∧

ตองการพิสูจนวา AB // CDพิสูจน เนื่องจาก EXA

∧ = YXB

∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมี

ขนาดเทากัน) และ EXA

∧ = XYC

∧ (กําหนดให) จะได YXB

∧ = XYC

∧ (สมบัติของการเทากัน) เนื่องจาก YXB

∧ และ XYC

∧ เปนมุมแยงที่มีขนาดเทากัน ดังนั้น AB // CD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนาน

กัน)

A B

DCY

XE

F

69

1

3

22 3 1

4.4 เสนขนานและรูปสามเหลี่ยม (6 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ 1. บอกไดวา ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา และ นําสมบัตินี้ไปใชได 2. บอกไดวา ถาตอดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาด เทากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น และนําสมบัตินี้ ไปใชได 3. บอกไดวา รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ มุม – มุม – ดาน เทากันทุกประการและนําสมบัตินี้ไปใชได 4. ใชสมบัติเกี่ยวกับเสนขนานและความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมในการใหเหตุผล และแกปญหาได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจจัดกิจกรรมเพื่อทบทวนวา “ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา” ดวยการใหนักเรียนสังเกตผลจากการลงมือปฏิบัติ เชน การใหนักเรียนเขียนรูปสามเหลี่ยม กลุมละ 3 – 4 รูป วัดขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมแตละรูป แลวหาผลรวมโดยบันทึกผลในตาราง

ขนาดของมุม (องศา)รูปสามเหลี่ยม ∧1

∧2

∧3

ผลรวมของขนาดของมุมทั้งสาม(องศา)

ครูอาจแนะใหนักเรียนตัดหรือฉีกมุมทั้งสามของกระดาษรูปสามเหลี่ยม เพื่อแสดงผลบวกของขนาดของมุมทั้งสามมุม ดังรูป

3

1 2

70

1 2

3

1 23

นอกจากนี้แลว ครูอาจแนะใหนักเรียนทํากิจกรรม “หมุนดินสอแลวไดอะไร” หนา172 – 177 หนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 1 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตรช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2 ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544 พิมพคร้ังที่ 1 ขอคนพบหรือผลสรุปจากการสํารวจตัวอยางหลาย ๆ ตัวอยางเปนการใหเหตุผลแบบอุปนัยผลสรุปที่ไดนี้อาจเปนจริงทุกกรณีหรือไมก็ได เพื่อเปนการยืนยันวา ผลสรุปนี้เปนจริง จึงตองใชการใหเหตุผลแบบนิรนัย ซ่ึงแสดงไดโดยการพิสูจน สมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่วา “ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา” สามารถนําไปใชพิสูจนเกี่ยวกับความสัมพันธของขนาดของมุมภายนอกและมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม” และที่สําคัญคือนําไปใชในการพิสูจนวา “รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ มุม – มุม – ดาน จะเทากันทุกประการ” 2. ในการดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนในหัวขอนี้ ครูอาจชี้ใหนักเรียนเห็นการเชื่อมโยงความรูในการนําสมบัติของเสนขนานมาใชในการพิสูจน ซ่ึงทําใหไดทฤษฎีบทใหม ๆ ตอเนื่องกันดังแผนภูมิตอไปนี้

สมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยง

สมบัติเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม

สมบัติเกี่ยวกับขนาดของมุมภายนอกและมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม

สมบัติเกี่ยวกับความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมแบบ ม.ม.ด.

ทําใหไดความคิดรวบยอดวาความสัมพันธแบบ ม.ด.ม. มีความสัมพันธแบบ ม.ม.ด. ดวย

71

3. สําหรับกิจกรรม “x และ y มีคาเทาไร” มีเจตนาใหเปนแบบฝกหัดระคนที่นําความรูทั้งหมดมาใชในการแกปญหา ครูอาจใหนักเรียนชวยกันทําเปนกลุมยอยและสุมใหนักเรียนออกมานําเสนอหนาช้ันเรียนและใหบอกเหตุผลในการคิดคํานวณดวย 4. สําหรับกิจกรรม “หาไดหรือไม” นอกจากจะมีเจตนาใหนักเรียนไดฝกทักษะการคํานวณโดยใชสมบัติตาง ๆ ที่เรียนรูมาแลว ยังมีเจตนาใหนักเรียนเห็นรูปที่มีความสวยงามคลายรูปดาวหาแฉก และสามารถเขียนรูปจากการลากเสนตอเนื่องกันไดในครั้งเดียว (ไมตองยกดินสอขึ้น) 5. สําหรับแบบฝกหัด 4.4 ขอ 8 หลังจากนักเรียนไดพิสูจนแลว ครูอาจใหนักเรียนพิสูจนวา“ขนาดของมุมภายนอกของรูปสี่เหล่ียมใด ๆ รวมกันเทากับ 360 องศา” 6. ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 4.4 เพื่อใหเห็นวา สมบัติเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม สามารถนํามาใชหาสูตรผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป n เหล่ียมเมื่อ n แทนจํานวนเต็มบวก และเมื่อนักเรียนไดทํากิจกรรมนี้แลว ครูอาจใหนักเรียนวิเคราะหตอวาผลบวกของขนาดของมุมภายนอกของรูป n เหล่ียมเทากับเทาไร 7. สําหรับกิจกรรม “เฉลว” มีเจตนาเชื่อมโยงความรูทางคณิตศาสตรกับงานจักสานซึ่งเปนภูมิปญญาทองถ่ิน ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาที่จริงแลวงานจักสานลวนมีความเกี่ยวของกับสมบัติทางเรขาคณิต ผูจักสานประดิษฐงานโดยใชความรูเกี่ยวกับขนาดของมุม ความยาวของดาน ตลอดจนใชเสนขนานมาประดิษฐเปนลวดลายที่สวยงาม เชน ทําฝาชีครอบอาหาร ทําหมวก ตะกรา ฯลฯ ซ่ึงความรูทางดานเรขาคณิตนี้ ผูจักสานเรียนรูมาจากบรรพบุรุษที่ไดส่ังสอนกันตอ ๆ มา อาจ ไมไดเรียนรูเชิงทฤษฎีโดยตรง นอกจากนี้ครูอาจสนทนาและใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางสิ่งตาง ๆ ที่ใชประโยชนจากเสนขนาน เชน การสรางรั้วสนามที่ทําใหลูกกรงอยูในแนวขนานกัน การตัดถนนหรือทําขอบสนามใหขนานกัน การทําขอบประตูหรือหนาตางใหขนานกนั เพื่อใหดูสวยงามและปดเปดไดสะดวก

72

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบกิจกรรม “เสนตรงคูใดขนานกัน”

1. ขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวเทากัน 2. ไมขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวไมเทากัน 3. ไมขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวไมเทากัน 4. ไมขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวไมเทากัน

คําตอบกิจกรรม “มุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด”

1. FEA∧

และ EFC∧

FEB∧

และ EFD∧

2. YXM∧

และ XYP∧

YXN∧

และ XYQ∧

คําตอบกิจกรรม “ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด”

1. 1) ไมเทากับ 180o 2) ไมเทากับ 180o

2. 1) เทากับ 180o 2) เทากับ 180o

3. 1) ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดเสนตรงคูหนึ่งที่ไมขนานกัน ไมเทากับ 180o

2) ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดเสนตรงคูหนึ่งที่ขนานกัน เทากับ 180o

คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.1

1. 1) ขนานกัน เพราะ 117 + 63 = 180o 2) ไมขนานกัน เพราะ 112 + 58 ≠ 180o

3) ไมขนานกัน เพราะ 90 + 80 ≠ 180o 4) ขนานกัน เพราะ 90 + 90 = 180o

73

2. 1) x = 79 2) x = 88 3) x = 60 4) x = 61 3. 1)

FDC∧

= 148o

2)

FDC∧

= 50o

4. CDA∧

= 127o และ DCB∧

= 109o

5.

เนื่องจาก PL // MN และมี AB เปนเสนตัด (กําหนดให) LKM

∧ + NMK

∧ = 180o (ขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของ

เสนตัดเสนขนาน รวมกันเทากับ 180o)

P

BN

LA

M

K

A B

FE D

C 32o

D

130o

CA B

FE

74

NMB∧

+ NMK∧

= 180o (ขนาดของมุมตรง) จะได NMB

∧ + NMK

∧ = LKM

∧ + NMK

∧ (สมบัติของการเทากัน)

ดังนั้น NMB∧

= LKM∧

(นํา NMK∧

มาลบทั้งสองขาง ของสมการ) 6. x = 90 และ y = 90 7. ขนานกัน เพราะ ถาขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดเสนตรงคูหนึ่ง รวมกัน เทากับ 180o แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน

คําตอบกิจกรรม “สํารวจมุมแยง”

1. 1) FEA

∧ และ EFD

∧

FEB∧

และ EFC∧

2) FEA∧

และ EFD∧

FEB∧

และ EFC∧

2. 1) FEA

∧ และ EFD

∧

FEB∧

และ EFC∧

2) FEA∧

และ EFD∧

FEB∧

และ EFC∧

คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.2 ก

1. BAF∧

= NBA∧

เพราะ BN // FM มี AB เปนเสนตัด จะไดมุมแยงมีขนาดเทากัน 2. AEM

∧ = KAE

∧ เพราะ EM // KY มี NB เปนเสนตัด จะไดมุมแยงมีขนาดเทากัน

3. EBO∧

= 126o

4. ECA∧

= 131o

5. EDC∧

= 40o

75

6.

เนื่องจาก AB // CD (กําหนดให) จะได CBA

∧ = DCB

∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด

แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) เนื่องจาก BC // DE (กําหนดให) จะได DCB

∧ = EDC

∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด

แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) ดังนั้น CBA

∧ = EDC

∧ (สมบัติของการเทากัน)

7.

เนื่องจาก PQ // RS (กําหนดให) จะได CAP

∧ = SBA

∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด

แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)SBA

∧ = CBR

∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม

มีขนาดเทากัน) ดังนั้น CAP

∧ = CBR

∧ (สมบัติของการเทากัน)

AB

CD

E

R

B C

Q S

P

A

76

8.

เนื่องจาก AD // CF (ดานตรงขามของรูปสี่เหล่ียมดานขนาน ยอม ขนานกัน) จะได EAD

∧ = EBF

∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด

แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) AE = BE (E เปนจุดกึ่งกลางของ AB )

DEA∧

= FEB∧

(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม มีขนาดเทากัน) จะได ∆ AED ≅ ∆ FEB

∧(ม.ด.ม.)

ดังนั้น DE = FE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)

9.

เนื่องจาก AE // HB (กําหนดให) จะได FAE

∧ = GBH

∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด

แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) AF = BG (กําหนดให) เนื่องจาก FE // HG (กําหนดให)

CD

F

E BA

E

FG

H

BA

77

จะได GFE∧

= FGH∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) EFA

∧ + GFE

∧ = 180o (ขนาดของมุมตรง)

HGB∧

+ FGH∧

= 180o (ขนาดของมุมตรง) EFA

∧ + GFE

∧ = HGB

∧ + FGH

∧ (สมบัติของการเทากัน)

ดังนั้น EFA∧

= HGB∧

(สมบัติของการเทากัน โดยนํา GFE∧

และ FGH

∧ ที่มีขนาดเทากันมาลบทั้งสองขางของ

สมการ) จะได ∆ AFE ≅ ∆ BGH (ม.ด.ม.โดยมี FAE

∧ = GBH

∧, AF = BG,

EFA∧

= HGB∧

) ดังนั้น FE = GH (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)

คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.2 ข

1. 1) AE // BC 2) AD // BM 3) SR // PQ 4) ไมมีสวนของเสนตรงคูใดขนานกันเลย

2. x = 98 และ y = 60 3.

เนื่องจาก AO = BO (กําหนดให CD แบงครึ่ง AB ที่จุด O) DOA

∧ = COB

∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม

มีขนาดเทากัน) DO = CO (กําหนดให AB แบงครึ่ง CD ที่จุด O)

DA

C B

O

78

ดังนั้น ∆ AOD ≅ ∆ BOC (ด.ม.ด.) จะได ODA

∧ = OCB

∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน

ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) นั่นคือ AD // BC (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่งทําให มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้น ขนานกัน)

4.

เนื่องจาก BAC∧

= DBE∧

(กําหนดให) EBA

∧ + DBE

∧ = 180o (ขนาดของมุมตรง)

จะได EBA∧

+ BAC∧

= 180o (สมบัติของการเทากัน โดยแทน DBE∧

ดวย BAC

∧)

เนื่องจาก EBA∧

และ BAC∧

เปนมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด AB ซ่ึงตัด AC และ BE ดังนั้น AC // BE (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให ขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของ เสนตัดรวมกันเทากับ 180o แลวเสนตรงคูนั้น ขนานกัน) ในทํานองเดียวกันจะพิสูจนไดวา BC // DE

คําตอบกิจกรรม “สํารวจมุมภายนอกและมุมภายใน” 1. 1) PRA

∧และ PSC

∧

SRA∧

และ QSC∧

PRB∧

และ PSD∧

SRB∧

และ QSD∧

A B D

EC

79

2) PRA∧

และ PSC∧

SRA∧

และ QSC∧

PRB∧

และ PSD∧

SRB∧

และ QSD∧

2. 1) และ 2) PEA

∧ และ PFC

∧

QEA∧

และ QFC∧

QEB∧

และ QFD∧

PEB∧

และ PFD∧

คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.3 ก

1. QPA∧

= SRP∧

และ SRB∧

= QPR∧

เพราะวา ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู ตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน 2. TSN

∧ = MSQ

∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน)

TSN∧

= KTS∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) TSN

∧ = PTL

∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู

ตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน) 3. DYX

∧ = 52o

4. DCE∧

= 128o

5. BAD∧

= DCB∧

= 47o

CBA∧

= CDA∧

= 133o

6. x = 65

80

7.

เนื่องจาก AB // CD (กําหนดให) จะได CAB

∧ = ECD

∧ (เสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว

มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน) AC = CE (กําหนดให) เนื่องจาก CB // ED (กําหนดให)

จะได BCA∧

= DEC∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขาง เดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน) ดังนั้น ∆ ABC ≅ ∆ CDE (ม.ด.ม.)

คําตอบแบบฝกหัด 4.3 ข

1. 1) DF // CB เพราะ DAE

∧ เปนมุมภายนอกและ CBA

∧ เปนมุมภายในที่อยูตรงขามบน

ขางเดียวกันของเสนตัด BE มีขนาดเทากัน 2) AB // MN เพราะ CNM

∧ เปนมุมภายนอกและ CBA

∧ เปนมุมภายในที่อยูตรงขามบนขาง

เดียวกันของเสนตัด BC มีขนาดเทากัน 3) AB // CD เพราะ ABP

∧ เปนมุมภายนอกและ CDB

∧ เปนมุมภายในที่อยูตรงขามบน

ขางเดียวกันของเสนตัด PD มีขนาดเทากับ 44o เทากัน 4) MN // PQ

เนื่องจาก QDA∧

+ 50 = 180 (ขนาดของมุมตรง) จะได QDA

∧ = 180 – 50

= 130o

เนื่องจาก NBA∧

= 130o (กําหนดให)

DB

A C E

81

ดังนั้น NBA∧

= QDA∧

= 130o (สมบัติของการเทากัน) นั่นคือ MN // PQ (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่งทําให มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขาง เดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลวเสนตรง คูนั้นขนานกัน) QR // NP เพราะ FEQ

∧ = DCN

∧ = 96o (ใหเหตุผลในทํานองเดียวกันกับขางตน)

2. ECD∧

= 98o

3.

เนื่องจาก YM // QR (กําหนดให) จะได MAP

∧ = RQP

∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว

มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน) MYX

∧ = RQP

∧ (กําหนดให)

จะได MAP∧

= MYX∧

(สมบัติของการเทากัน) ดังนั้น YX // QP (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลว เสนตรงคูนั้นขนานกัน)

Y

Q R

M

PX

A

82

4.

เนื่องจาก ∆ ABC และ ∆ DEF เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว จะได CAB

∧ = ACB

∧ (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีขนาด

เทากัน) และ FDE

∧ = DFE

∧ (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีขนาด

เทากัน) CAB

∧ = DFE

∧ (กําหนดให)

ดังนั้น CAB∧

= FDE∧

และ ACB∧

= DFE∧

(สมบัติของการเทากัน) นั่นคือ AB // DE และBC // EF (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลว เสนตรงคูนั้นขนานกัน)

คําตอบกิจกรรม “x และ y มีคาเทาไร”

1. x = 48 2. x = 75 และ y = 15 3. x = 130 และ y = 110 4. x = 54 และ y = 78 5. x = 107 6. x = 56 และ y = 68 7. x = 25 และ y = 10

แนวคิด เนื่องจาก 2x + y + 120 = 180 2x + y = 60 y = 60 – 2x

A D C F

EB

83

เนื่องจาก 2x – y + 140 = 180 จะได 2x – (60 – 2x) + 140 = 180 (แทน y ดวย 60 – 2x) 2x – 60 + 2x + 140 = 180 4x = 100 x = 25 จะได y = 60 – (2 × 25) = 10 8. x = 15 และ y = 57.5

แนวคิด เนื่องจาก 3x + 25 = x + 55 2x = 30 x = 15 เนื่องจาก (x + 55) + (2y – 5) = 180 15 + 55 + 2y – 5 = 180 (แทน x ดวย 15) 2y + 65 = 180 2y = 115 y = 57.5 9. x = 8 และ y = 12

แนวคิด เนื่องจาก (5x + y) + (5x – y) + 100 = 180 10x + 100 = 180 10x = 80 x = 8 เนื่องจาก 100 + (5x + y) + (2x + y) = 180 100 + (5 × 8) + (2 × 8) + 2y = 180 (แทน x ดวย 8) 100 + 40 + 16 + 2y = 180 2y = 24 y = 12

84

10. x = 12 และ y = 28แนวคิด

เนื่องจาก HEA∧

= CGH∧

= 48o

จะได 2x + 2y = 32 + 48 = 80 เนื่องจาก 5y – 8 + 48 = 180 5y = 140 y = 28 จะได 2x + (2 × 28) = 80 2x = 24 x = 12

คําตอบกิจกรรม “หาไดหรือไม”

m = 26 r = 36n = 50 s = 72p = 86 t = 118q = 22 u = 44

คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.4

1. 1. DCE

∧, XCA

∧, EDC

∧, YDB

∧ และ EBA

∧

2. BAE∧

= 68o

2. PQ // ADเนื่องจาก PAB

∧ = 32 + 28 (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม

เทากับผลบวกของขนาดของมุมภายใน ที่ไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น)

= 60o

PAB∧

+ PAD∧

= 180o (ขนาดของมุมตรง)

85

จะได PAD∧

= 180 – 60 (แทน PAB∧

ดวย 60) = 120o

ดังนั้น PQ // AD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลว เสนตรงคูนั้นขนานกัน)

3.

สราง ลาก BDเนื่องจาก

∧1 +

∧2 +

∧3 = 180o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูป

สามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o)

∧4 +

∧5 +

∧6 = 180o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูป

สามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o) จะได

∧1 +

∧2 +

∧3 +

∧4 +

∧5 +

∧6 = 180 + 180 (สมบัติของการเทากัน)

หรือ ∧1 + (

∧2 +

∧5 ) +

∧4 + (

∧3 +

∧6 ) = 360o

ดังนั้น DAB∧

+ CDA∧

+ BCD∧

+ ABC∧

= 360o (สมบัติของการเทากัน) นั่นคือ ขนาดของมุมภายในทั้งสี่มุมของรูปสี่เหล่ียมใด ๆ รวมกัน เทากับ 360 องศา

4.

เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว

52

13 6

4

AB

CD

A FE

B C

86

ดังนั้น CBA∧

= BCA∧

(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาด เทากัน) เนื่องจาก EF // BC (กําหนดให) จะได EAB

∧ = CBA

∧ และ FAC

∧ = BCA

∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกัน

และมีเสนตัด แลวมุมแยง มีขนาดเทากัน) ดังนั้น EAB

∧ = FAC

∧ (สมบัติของการเทากัน)

5.

เนื่องจาก AB = EF (กําหนดให) CG // DH มี AE เปนเสนตัด (กําหนดให)

จะได FBG∧

= BFH∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว มุมแยงมีขนาดเทากัน)

FBG∧

= CBA∧

และ BFH∧

= DFE∧

(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลว มุมตรงขามมีขนาดเทากัน) ดังนั้น CBA

∧ = DFE

∧ (สมบัติของการเทากัน)

BC = FD (กําหนดให) จะได ∆ ABC ≅ ∆ EFD (ด.ม.ด.) ดังนั้น BAC

∧ = FED

∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน

ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) นั่นคือ AC // ED (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้น ขนานกัน)

F E

DGBA

C H

87

6.

สราง ลาก BDเนื่องจาก AB // CD มี BD เปนเสนตัด (สมบัติของรูปสี่เหล่ียมดานขนาน)

จะได DBA∧

= BDC∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว มุมแยงมีขนาดเทากัน) เนื่องจาก AD // BC มี BD เปนเสนตัด (สมบัติรูปสี่เหล่ียมดานขนาน)

จะได BDA∧

= DBC∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว มุมแยงมีขนาดเทากัน) BD = DB (เปนดานรวม) ดังนั้น ∆ ABD ≅ ∆ CDB (ม.ด.ม.) นั่นคือ

∧A =

∧C (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน

ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) ในทํานองเดียวกัน ถาลาก AC จะพิสูจนไดวา

∧B =

∧D

7.

เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (กําหนดให) จะได CBA

∧ = CAB

∧ (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาด

เทากัน) CE // AB (กําหนดให)

จะได DCE∧

= CBA∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขาม บนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน)

B

D

A

C

E

D

A

B C

88

และ CAB∧

= ACE∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)

จะได CAB∧

= DCE∧

(สมบัติของการเทากัน โดยตางก็มีขนาดเทากับ CBA

∧)

ดังนั้น ACE∧

= DCE∧

(สมบัติของการเทากัน โดยตางก็มีขนาดเทากับ CAB

∧)

นั่นคือ CE แบงครึ่ง DCA∧

8.

เนื่องจาก ∧1 +

∧4 =

∧2 +

∧5 =

∧3 +

∧6 = 180o (ขนาดของมุมตรง)

∧1 +

∧4 +

∧2 +

∧5 +

∧3 +

∧6 = 180 + 180 + 180 (สมบัติของการเทากัน)

= 540 o

แต ∧1 +

∧2 +

∧3 = 180o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ

รูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o)จะได

∧4 +

∧5 +

∧6 = 540 – 180 (สมบัติของการเทากัน)

= 360 o

ดังนั้น ขนาดของมุมภายนอกของ ∆ ABC รวมกันเทากับ 360 o

9.

C

B

A3

6

2514

E

BD

C

F

A

89

เนื่องจาก ∧A +

∧B +

∧C = 180o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม

รวมกันเทากับ 180o) และ

∧D +

∧E +

∧F = 180o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม

รวมกันเทากับ 180o) จะได

∧A +

∧B +

∧C +

∧D +

∧E +

∧F = 180 + 180

= 360o (สมบัติของการเทากัน) ดังนั้น ขนาดของมุมภายในที่จุดยอดทั้งหกมุมของรูปดาวหกแฉกใด ๆ รวมกัน เทากับ 360o

10.

เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มี BC เปนฐานจะได

∧1 =

∧2 (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีขนาด

เทากัน) เนื่องจาก BC // ED (กําหนดให) จะได

∧1 =

∧3 และ

∧2 =

∧4 (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด

แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) ดังนั้น

∧3 =

∧4 (สมบัติของการเทากัน)

∧3 +

∧5 =

∧4 +

∧6 = 180o (ขนาดของมุมตรง)

จะได ∧5 =

∧6 (สมบัติของการเทากัน)

EG = DF (กําหนดให) GAE

∧ = FAD

∧ (กําหนดให)

ดังนั้น ∆ AEG = ∆ ADF (ม.ม.ด.) นั่นคือ AE = AD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)

1

A

DE 5 6

B C

FG243

90

คําตอบกิจกรรม “เฉลว”

พิจารณามุมภายในและมุมภายนอกของ ∆ BDF จะได

∧1 =

∧B +

∧D (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเทากับ

ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น)

พิจารณามุมภายในและมุมภายนอกของ ∆ CEG จะได

∧2 =

∧C +

∧E

เนื่องจาก ∧A +

∧1 +

∧2 = 180o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ

รูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o) นั่นคือ

∧A +

∧B +

∧D +

∧C +

∧E = 180o

(สมบัติของการเทากันโดยแทน ∧1 ดวย

∧B +

∧D และแทน

∧2 ดวย

∧C +

∧E )

หรือ ∧A +

∧B +

∧C +

∧D +

∧E = 180o

E

D C

B

A

F G1 2

91

กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

92

กิจกรรมเสนอแนะ 4.4

กิจกรรมนี้มีจุดประสงคใหนักเรียนสามารถนําสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่วา “ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา” ไปใชสรางขอความคาดการณเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยม

1. จงหาผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมตอไปนี้ 1) รูปสี่เหล่ียม 2) รูปหาเหล่ียม 3) รูปหกเหลี่ยม

2. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมในขอ 1 เกี่ยวของกับผลบวกของขนาดของ มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมหรือไม อยางไร

3. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยม เกี่ยวของกับจํานวนเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยม หรือไม อยางไร

4. จงหาสูตรการหาผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป n เหล่ียม

คําตอบกิจกรรมเสนอแนะ 4.4

1. 1) 360 องศา

2) 540 องศา 3) 720 องศา

2. 1) เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสี่เหล่ียมเทากับสองเทาของผลบวก ของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม 2) เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหาเหล่ียมเทากับสามเทาของ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม 3) เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหกเหลี่ยมเทากับสี่เทาของ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม

93

3. เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมเทากับ จํานวนเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมลบดวย 2 แลวคูณดวยผลบวกของขนาดของมุมภายในของ รูปสามเหลี่ยม 4. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป n เหล่ียม เทากับ 180(n – 2) องศา