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http://xmaths.free.fr/ TS - Probabilités - Exercices page 1 / 1 Exercice A3 1°) On sait que p , p , p , p , p , p , sont, dans cet ordre, six termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison , on a alors : p p ; p p 2 ; p p 3 ; p p 4 ; p p 5 D'autre part, p , p , p , sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite géométrique. Si on note la raison de cette suite géométrique, on peut écrire p p donc p p et p p . Donc p p p x p donc p p (p ) . L'égalité (p ) p x p peut alors s'exprimer en fonction de p et de sous la forme : (p ) p x (p 3 donc (p ) 2 p (p ) 3 p donc p 0 soit ( p ) 0 Comme les faces ne sont pas équiprobables, on a nécessairement 0. On en déduit p . On obtient alors : p 2p ; p 3p ; p 4p ; p 5p ; p 6p . On sait de plus que : p p p p p p 1 donc p 2p 3p 4p 5p 6p 1 c'est-à-dire 21 p 1 , donc p 1 21 . Alors p 2 21 ; p 3 21 ; p 4 21 ; p 5 21 ; p 6 21 On a donc : p = 21 pour tout entier tel que 1 6 . 2°) a) A est l'événement «le nombre obtenu est pair» , donc p(A) p p p donc p(A) 2 21 4 21 6 21 12 21 donc p(A) 4 7 . B est l'événement «le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3», donc p(B) p p p p donc p(B) 3 21 4 21 5 21 6 21 18 21 donc p(B) 6 7 . C est l'événement «le nombre obtenu est 3 ou 4», donc p(C) p p 7 21 donc p(C 1 3 . b) La probabilité que le nombre obtenu soit supérieur ou égal à 3 sachant qu'il est pair est : p A (B). AB est l'événement «obtenir un nombre pair et supérieur ou égal à 3». Donc p(AB) p p 10 21 On sait que p A (B) p(AB) p(A) donc p A (B) 10 21 x 7 4 donc p A (B) 5 6 . c) p A (B) p(B) , donc les événements A et B ne sont pas indépendants . AC est l'événement «obtenir un nombre pair qui est 3 ou 4», c'est-à-dire «obtenir le numéro 4». On a donc p(AC) p 4 21 . D'autre part p(A) x p(C) 4 7 x 1 3 4 21 On a p(AC) p(A) x p(C) , donc les événements A et C sont indépendants . 3°) a) On a p(GA) p A (G) x p(A La probabilité de tirer une boule blanche sachant que l'on tire dans l'urne A est 1 4 puisque l'urne U contient une boule blanche sur quatre boules et que les tirages sont supposés équiprobables. On a donc p(GA) 1 4 x 4 7 c'est-à-dire p(GA) 1 7 . De même p(G A) p A (G) x p( A 2 3 x 3 7 2 7 (L'urne U contient deux boules blanches sur les trois) On a alors d'après la formule des probabilités totales : p(G) p(GA) p(G A ). Donc p(G) 1 7 2 7 donc p(G) 3 7 . b) La probabilité que le joueur ait obtenu un nombre pair sachant qu'il est gagnant est : p G (A) . On a p G (A) p(AG) p(G) 1 7 x 7 3 donc p G (A) 1 .

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  • http://xmaths.free.fr/ TS Probabilits Exercices page 1 / 1

    Exercice A3

    1) On sait que p, p, p, p, p, p, sont, dans cet ordre, six termes conscutifs d'une suite arithmtique de raison , on a alors : p p ; p p 2 ; p p 3 ; p p 4 ; p p 5

    D'autre part, p, p, p, sont, dans cet ordre, trois termes conscutifs d'une suite gomtrique. Si on note la raison de cette suite gomtrique, on peut crire p p donc p

    p

    et p p . Donc p p p

    x p donc p p (p) . L'galit (p) p x p peut alors s'exprimer en fonction de p et de sous la forme : (p ) p x (p 3 donc (p) 2 p (p) 3 p donc p 0 soit ( p) 0 Comme les faces ne sont pas quiprobables, on a ncessairement 0. On en dduit p . On obtient alors : p 2p ; p 3p ; p 4p ; p 5p ; p 6p . On sait de plus que : p p p p p p 1 donc p 2p 3p 4p 5p 6p 1 c'est--dire 21 p 1 , donc p

    121 . Alors p

    221 ; p

    321 ; p

    421 ; p

    521 ; p

    621

    On a donc : p =

    21 pour tout entier tel que 1 6 .

    2) a) A est l'vnement le nombre obtenu est pair , donc p(A) p p p donc p(A) 221

    421

    621

    1221 donc p(A)

    47 .

    B est l'vnement le nombre obtenu est suprieur ou gal 3, donc p(B) p p p p donc p(B) 321

    421

    521

    621

    1821 donc p(B)

    67 .

    C est l'vnement le nombre obtenu est 3 ou 4, donc p(C) p p 721 donc p(C 13 .

    b) La probabilit que le nombre obtenu soit suprieur ou gal 3 sachant qu'il est pair est : pA(B). AB est l'vnement obtenir un nombre pair et suprieur ou gal 3. Donc p(AB) p p 1021

    On sait que pA(B) p(AB)p(A) donc pA(B) 1021 x

    74 donc pA(B)

    56 .

    c) pA(B) p(B) , donc les vnements A et B ne sont pas indpendants . AC est l'vnement obtenir un nombre pair qui est 3 ou 4, c'est--dire obtenir le numro 4. On a donc p(AC) p 421 . D'autre part p(A) x p(C)

    47 x

    13

    421

    On a p(AC) p(A) x p(C) , donc les vnements A et C sont indpendants .

    3) a) On a p(GA) pA(G) x p(A

    La probabilit de tirer une boule blanche sachant que l'on tire dans l'urne A est 14 puisque l'urne U

    contient une boule blanche sur quatre boules et que les tirages sont supposs quiprobables.

    On a donc p(GA) 14 x 47 c'est--dire p(GA)

    17 .

    De mme p(GA) p A(G) x p(

    A

    23 x 37

    27 (L'urne U contient deux boules blanches sur les trois)

    On a alors d'aprs la formule des probabilits totales : p(G) p(GA) p(GA). Donc p(G) 17

    27 donc p(G)

    37 .

    b) La probabilit que le joueur ait obtenu un nombre pair sachant qu'il est gagnant est : pG(A) . On a pG(A) p(AG)p(G)

    17 x

    73 donc pG(A)

    1

    .